A305 Makine Dinamigi Uygulamalari

8/2/2019 A305 Makine Dinamigi Uygulamalari

1/22

YTMAKiNE *A305teyim.com

rnek: Yayla aslm bir cisim yerden 1 ve 1,5 sm yksek olan iki konum

arasnda dey titreimer yapmaktadr. Her saniye st konuma yirmi kere varyor. T,f,

ve xo edir

zm: xo = 0,25 sm, T=1/20 san., f= 20 titr./san. Ve = 2f = 126

radyan/san.

rnek: x1 = 5 sin 25t sm ve x2 = 10sin (25t+1) sm hareketlerin toplamnn

maksimum genlii nedir?

zm: birinci hareket, yn aa doru olan 5 sm uzunluunda bir dey

vektrle gsterilebilir. Bu konumda vektrn yatay izdm olmadnda, sz geen

vektr t=0 annda ilk hareketi gsterir. Bu anda ikinci hareket x 2 = 10 sin 1 olup, ilk

vektre gre radyan (57o) ileride bulunan 10 sm uzunluunda bir vektrle

gsterilecektir. Grafik vektrel toplama, bileke vektrn 13,4 sm uzunluunda

olduunu gsteriyor.

rnek: Bir cisim x1 = 3 sin 40t sm. ve x2 = 4 sin 41 t sm. titreimlerini

yapmaktadr. Bileke hareketin maksimum ve minimum genlii ve vuru frekans nedir?

zm: Maksimum genlik 3+4 = 7 sm.; minimum 4-3 = 1 sm. dir.

ek: vuru

Vurunun pulzasyonu b = 41-40 = 1 rad/san. O halde fb = b/2 = 1/2 titr./san

olur. Bir tam vurunun sresi veya Tb peryodu: Tb = 1/fb = 6,28 san dir.


2/22

2

rnek: Sayfa 6daki rnei kompleks metodla znz.

zm: lk vektr 5j ve ikincisi de 10j cos 57o +10sin57o= -5,4j+8,4 ile

gsterilmitir. kisinin toplam 8,4 10,4 j olup,22

4,104,8 + = 13,4 sm uzunluundabir vektr gsterir.

(7) yi tretirsek

a (-sin t+j cost) = j.a (cos t+j sin t)

bulunur; nk jnin tarifinden j2-1dir. bylece (7) kompleks saysnn

tretmesinin j ile arpmaya edeer olduu grlr.

rnek: 10 sin 2 60t gibi bir kuvvet (birimler kg ve san) 1/10 sin[2 60t-45o]

hareketine (birimler sm ve san) tesir etmektedir. lk saniye ve saniyenin ilk 1/1000i

esnasnda yaplan i nedir?

zm: Kuvvet yerdeiiminden 45 derece geri olup, genlikleri 10 2 kg olan

ve yerdeiimi ile ayn fazda ve 90 derecede geri bulunan iki bileen i yapmaz. 90

derece geride bulunan bileen evrim bana Poxo = 101.210 = 2,22 kg i yapar. lk

saniyede 60 evrim mevcut olup, yaplan i 60x2,22 = 133 kg smdir.

Saniyenin ilk 1/1000 inde 60/1000 = 0,06 evrim mevcut olup, diyagramdaki

vektrler ancak 0,06x360o = 21,6okadar dner. (9) forml yalnz tam bir evrim iin

caridir. evrimin bir paras iin btn integrasyonun yaplmas gerekir.

W = Pdx = Po sin t.xo.cos (t-) dt

= Po xo o6,21

0

sin (t) cos (t-) d(t)

= 10. 1/10. o6,21

0

sin (t) [cos(t) cos +sin(t) sin] d (t)

= cos o6,21

0

sin(t) cos(t). d(t)+sin o6,21

0

sin2 (t) d (t)


3/22

3

= cos sin2 (t) +sin [1/2 t-1/4 sin 2 t]o6,21

0

= cos 45o sin2 21,6o+1/2

3,57

6,21sin 45o sin45o.sin43,2o

= .0,707.0,3682+0,707.4

685,0.707,0

6,114

6,21

= 0,048+0,133 0,021 =0,060 sm kg.

Bu deer tam bir saniyede yaplan iin 1/1000 inden olduka kktr. nk

bu ilk 1/1000 saniyede kuvvet ok kk olup, 0 ile 0,368 Po arasnda deimektedir.

rnek: ek. 254deki c erisi, harmonik hareket yapan bir cismi trblan

havadan gelen snm kuvvetini yaklak olarak gsterir. ekil. 254deki koordinat

balangc evrimin drtte biri kadar sola nakledilirse, erinin matematik ifadesi

0


4/22

4

sin2t sin nt = (2

1

2

1 cos 2t) sin nt

= 2

1

sin nt - 2

1

sin (n+2) t - 4

1

sin (n-2) t

formlleri yardmyla deitirilebilir (sayfa 17ye baknz).

Bunun belirsiz integrali

F(t) = tnn

tnn

tnn

)2(cos)2(4

1)2cos(

)2(4

1cos

2

1

++

++

eklindedir. an harmonii belirli integralin 1/ katdr.

F(2) = F(0) olduundan

an =

1[F()-F(0)-F(2)+F()] =

2[F()-F(0)]

=)4(

1cos4

)2(4

1

)2(4

1

2

1)1(cos

22

=

+

++

nn

n

nnnn

elde edilir.

rnek: ek. 23 deki tavan ve ktle arasndaki y bal hareketini diferansiyel

denklemini, Po = 0 ve tavann harmonik olarak hareket etmesi halinde bulunuz.

y = x-ao sin t

zm: Arka arkaya trev alarak

x = y+ao sin t

tayx o sin.

+=

2....

oayx = sin t

bulunur. Bunlar denk. (12d) ye korsak:


5/22

5

tkakycayctmaym sincossin 00.

20

..

++++

= ka0 sin t + ca0cos t

veya

...

ycym + +ky = ma02 sin t

Elde edilir. Bylece ktle ile hareket eden tavan arasndaki bal hareket,

tavann sabit kalp ktleye genlii ma02 olan bir kuvvet tesir etmesi halindeki mutlak

hareketin ayndr. Sa taraf, a0 genlii yaparm gibi grnen ktlenin atalet kuvvetidir.

O halde bu, yay sert olduu, yani y hareketine mani olduu taktirde yayn stne tatbiki

gereken kuvvet gibi dnlebilir.

rnek: ek. 33de gsterilen sistemde ktle 0,1 kg. yay katsays 10 kg/sm,

l=4 sm; a=b=2 smdir. Bundan baka kiriin ortasna, yani yayn baland noktaya bir

dapot mekanizmas balanmtr. Dapot 1 sm/san lik hz iin 0,01 kg lk kuvvet

dourur.

a. Serbest titreimlerin azalma oran nedir?

b. Dapottaki kritik snm ne olacaktr?

c. Kritik snm halinde pseudo-periodu bulunuz.

zm: lk defa Denk. (22) sayesinde (b) sorusuna cevap verelim. Snmsz

natrel frekans o = mk/ dir. ek. 33n edeer yay katsaysnn ka2/l2 veya k/4 =

2,5 kg/sm olduu bilinir. O halde:

o = 1,0/9815,2 x = 157 rad/san

dir. Sistemin kritik snm sabiti (yani ktlede bulunan hayali bir dapotun

kritik snm) Denk. (22) den

2 x981

1,0x 157 = 0,032 kg sm-1 san


6/22

6

dir. Dapot kriin ortasnda bulunduundan ve ortadaki yayn edeer yaydan

4 defa sert olmas sebebiyle depotun sabiti drt defa byktr. Bylece (b) ye cevap

olarak

cc = 0,128 kg sm-1 san

a. Azalma oran Denk. (24) den bulunacaktr. lk nce hakiki snmn kritik

snmnn 1/16s olduu ve dolaysyla q ile n arasndaki farkn ihmal edilecei ek.

36dan grlr. Titreimler e - tm

c

2gibi azalr ve tam bir titreim (ayn tarafta

mteakip iki sapma) iin

t = T =251

157221 ==

qfsan.

Bulunur. c snm sabiti, dapottakinden 4 defa kk olan, ktledeki snm

sabitidir: c = 0,01/4, bylece mteakip genlikler arasndaki oran

61,049,01,0252498101,0

21 ====

+ eeex

x xxxx

tm

c

n

n

olur.(c) sorusu, yalnz ktlesiz bir sistem iin tarif edilmi olan zayflama zamannn

hesaplanmasn gerektirir. Ktlenin olmadn fark edersek yalnz yay ve dapotun ara

tesiri

trelaks =10

128,0=

k

c= 0,0128 san.

Verir. Sistemdeki ktle hareketi ksmen yavalatacaktr. Bu halde Denk.

(20a)nn iki kknn eit olduunu ve diferensiyel denklemin zmnn burada

incelenmiyecek kadar zorlatna iaret edelim. Bu teoriye aina olan okuyucular

ktlenin de mevcut olmas halinde zayflama zamann hesapladklar taktirde biraz

daha byk deer elde edeceklerdir.

rnek: Bir motor-rete grubu, bir doru akm retecine balanm 25

periodluk endksiyon motorundan mrekkeptir. Grup 725 dev/dak da 200 Bg


7/22

7

vermektedir. Balama milinin ap 9 sm ve uzunluu 36 sm dir. motor rotorunun atalet

momenti 200 kg san2 sm, retecinki ise 800 kg sm san2dir. motorun dndrme

momenti sabit olmayp (Ksm 20) akm frekansnn iki kat yani (50 titr/san) ile 0 ve

2To arasnda deiir:

To+Tosin (2.50t)

Buna karlk doru akm retecinin kar momenti sabittir. Milde tam ykteki

maksimum gerilmeyi bulunuz.

zm: lk defa milin yay katsaysn hesaplayalm:

k =3236

4/36,65108.32. 54

x

xxx

l

dG

l

Gl

a

moment ===

= 143x105 kg sm/rad

Sistem ek. 26 da ematik gsterilmi olup, diferansiyel denklemi (12 c)dir.

Natrel asal frekans (plzasyon)

n =

800200

100010143 5

21

21 x

xx

ll

ll

k=

+

= 299 rad/san.

Zorlayc frekans 50 titr/san veya

= 2f = 314 rad/san

dir. Sistem, rezonans frekansnn 1,05 kat ile zorlandndan; ek. (38) veya

Denk. (28)e gre momentin tesiri

75,9)05,1(1 1 2 =

faktryle bytlecektir. Mevzu bahis momentin (800/1000).To veya

momentin deiken bileeninin 4/5 olduu Denk. (12c) den grlr. Sylendii gibi

moment bir sabit To ve bir de ayn To genlikli deiken ksmdan mteekkildir. Bu

halde mildeki maksimum burulma momenti

To + 9,75x 4/5 To = 8,8 To

dr. Sabit To momenti hz ve gten bulunabilir:


8/22

8

To =60/2725

10075200

xxg= = 19800 kg.sm

Bu sabit burulma momentinden milde doan kayma gerilmesi

Sn = 334 9

198001,516

.

32.

2.

x

d

T

d

dT

l

rT oo

p

o ===

= 138,5 kg/sm2 dir.

Bu gerilme, rezonans yaknnda bulunmas sebebiyle 8,8 ile arplmaldr.

Bylece toplam kayma gerilmesi 1220 kg/sm2 olur. Bir eliin yorulma direnci ekme

deneyinde bulunur; eki gerilmesi kayma gerilmesinin iki katdr. Adi elik millerin

yorulma snr 2540 kg/sm2 den alak olup, milin krlmas beklenebilir. Vaziyet mil

apn 8 sm ye indirmekle islah edilebilir. Bu halde natrel frekans 236 rad/san veoaltma faktr 1,30 olur. Yeni maksimum eki gerilmesi 197 (1+1,3x4/5) = 400

kg/sm2 olur ki, emniyetlidir.

rnek: Bir otomobilin 1500 kg gelen gvdesi, bu yk altnda 20 sm ezilen

drt eit yay zerinde bulunmaktadr. Drt amortisrde her biri 1 sm/san lik hz iin 1,5

kglk snm kapasitesine maliktir. Otomobil drt tekerlekle, otomobilin natrel

frekans ile rezonans halinde ve maksimum genlii 2 sm olan aa ve yukar hareket

eden bir deney platformu zerine konmutur. Arlk merkezinin tekerlek kaidesinin

arlk merkezinde olduunu kabul ederek, yay zerindeki otomobil gvdesinin

genliini bulunuz.

zm: Denk. (17a) dan natrel frekans iin:

n = 2fn = 2.5 at/1 =20

10= 7 rad/san

bulunur. sistemin snm (drt amortisr)

c = 4x1,5 = 6 kg sm-1 san

dir.

hareketin diferensiyel denklemi (12d) dir. rezonansta zorlayc kuvvet

20

20 )()( caka


9/22

9

dir. Burada k =20

1500= 75 kg/sm, a0 = 2 sm, c=6 kg sm

-1 san ve =a = 7

rad/san olduundan

2220

20 )84()150()()( +=+ caka = 172 kg

bulunur. Otomobil gvdesinin genlii Denk. (34a) dan elde edilir:

x0 =42

172=

c

Po = 4,1 sm

rnek: Vibrograf bazen sismik parasz olarak, yani kaydedici cihaz gibi

kullanlr. Bu halde alet titreimden ari bir yere, mesela bir fabrikada bir gezer kprye

aslm bir ktle stne konur. Titreyen cisimle yegane balant bir yayla cisme yegane

balant bir yayla cisme bastrlm olan inedir. nenin br ucu kayt mekanizmasn

iletir. neyi br ucu kayt mekanizmasn iletir. neyi a0 sin t gibi titreyen bir

cisim zerinde tutabilmek iin gereken yay basncn bulunuz. nenin ve buna bal

olan kaydedici tertibin hareket eden ksmlarnn ktlesi m dir.

ekil: Yatay ve dey hareketler iin vibrometre.

zm: Yay olmasayd, titreyen cisim ve gerileme ivmesine malik olur olmaz

ine ucu ile temas kaybedecekti. Temas olmaynca inenin cisme doru ivme P/mdir;

burada P, yay basncdr. Bu ivme hi olmazsa titreyen cismin maksimum ivmesine eit

olmaldr. O halde:

20a

m

P=

veya

P = ma02


10/22

10

dir.

Burulma titreimlerinin kayd iin bir vibrografn tadil edilmii olan bir

seismik alet kullanlr. Torsiograf, yaylar zerine asl bir ktle yerine, burulma yaylar

zerine yerletirilmi bir volan ihtiva eder. ok hafif bir a alminyum kasna (ek. ) b

miline kamalanmtr. Ar c volan mil zerinde serbeste dnebilir; fakat mile

yumuak d yay ile balanmtr. Kasnak tutulduu zaman volan mil etrafnda ok alak

natrel frekansl serbest burulma titreimleri yapabilir. Kasnaa alternatif bir asal

hareket verildii zaman, volan ve kasnak arasndaki bal hareket (ek. 23 ve 24

edeerlii sebebiyle) ek.40 daki diyagrama uygun olacaktr. bu tipten torsiograflar,

alak ve orta hzl iten yanmal motorlarn krank millerinin burulma titreimlerinin

llmesi iin ok kullanlr. Byle bir mil, llecek titreimden baka, dzgn bir

dnmeye de maliktir. Alet kullanlrken, a kasna bir kk bez kay vastasyla krank

mili tarafndan tahrik edilir. krank mili dzgn ekilde dnerse, volan takip eder ve a ile

c arasnda hi bal hareket vukua gelmez. Milin dnmesi dzgn deilse (yani

dnmeye eklenmi burulma titreimi varsa)

ekil: Bir torsiografn seismik ksm

a hafif kasna mili sandkane takip edecektir. Bununla beraber c volan o kadar ok

atalete maliktir ki, ancak dzgn hzla dnebilir. Bylece titreim, a ve c arasndaki bal bir hareket gibi tezahr eder. Bu hareket kk kollar ile bo b mili ortasnda

geen ince bir ubuun tekil ettii sistemle nakledilir. ubuk, saat mekanizmas

tarafndan hareket ettirilen kat zerine izen kalemi hareket ettirir. 1916dan beri

Geiger vibro ve torsiograf adyla bilinen bu alet Commercial Engineering Laboratories,

Detroit, Mich. Tarafndan imal edilmektedir. Bu alet gemilerdeki gibi alak hzl

pervaneye dorudan doruya bal makinelere hala uygundur. Bununla beraber modern

yksek hzl Diesel motorlarnda kaydedici u sistemi mevzii rezonansa girer ve ayrca


11/22

11

kaydn bytme derecesi (24 e kadar) kafi deildir. bu halde General Motors Research

Laboratories, Detroit, Mich. n yapt Summers mekanik torsiograf kullanlabilir. Bu

alet dakikada 10000 titreime kadar iyi iler ve polar diyagram eklinde bir kayt verir.

rnek: ek. 48deki torsiografn c volan yaklak olarak 11 sm apnda ve 5

sm kalnlnda bir dolu elik diskle gsterilsin. Kasnan d a 13 smdir. eer c

volan tutulur, kasnaa bir ip sarlr ve ipin bir ucuna 0,3 kglk arlk aslrsa, kasnak

evresi 1,5 sm dner (yani arlk 1,5 sm iner).

Eer bu aletle saniyede 3 titreim yapan bir burulma titreiminin kayt alnrsa,

kayttaki hata nedir? Bu erinin nc harmoniinin kaydedilen genliindeki hatanedir?

zm: lk defa aletin natrel frekansn bulmalyz. k burulma rijitlii

(kg.sm/rad), 0,3x6,5 kg.smlik bir moment 1,5/6,5 radyanlk dnmeye sebep olmas

keyfiyetinden bulunur. Bylece

k =5

5,6

5,6/5,1

5,63,0 2=

X= 8,45 kg.sm/rad

dr. volann arl

4

1x112 x 5x 0,008 = 3,8 kg

ve atalet momenti:

l =2

1mr2 = 3,8x

2981

5,5 2= 0,0585 kg sm san2

dir. bylece natrel frekans

n = 3,1440585,0

45,8==

l

k= 12,0 rad/san

fn =2

n = 1,92 titr/san

olur.


12/22

12

Kaydedilecek frekans 56% yksektir. O halde Denk. (30) dan kaydedilen ve

hakiki genliklerin oran

43,1

43,2

56,11

56,12

2

== 1,70

dir.

nc harmonik, aletin natrel titreiminden 9/1,92 = 4,7 defa hzldr;

bylece bytme katsays

05,11,21

1,22

7,41

7,42

2

==

olur.

rnek: Dakikada 10000 devir yapan bir makinann ekseninden 6 sm uzaktaki

bir noktay stroboskopla mahede etmek istiyoruz. Eer 0,5 mm den az bir kayma

istiyorsak, ziyann devam mddeti ne olmaldr?

zm: mevubahis nokta saniyede

2.60.60

10000= 62800 mm

kateder.

Bylece ziya 1/120000 san. Veya daha az devam etmelidir.

rnek: Arl 200 kg olan drt silindirli bir otomobil motoru ek.58deki

gibi mesnetlenmitir. Motorun A4 eksenine gre jirasyon yar ap 15 sm, a uzakl 45

sm, ve en yksek viteste arka tekerlekelrin bir dn iin motor be dn

yapmaktadr. Motor aslnn yksek viteste 3,6 km saatlik hz iin rezonasta olmas

istenmektedir.

a. Ankastre yayn ya katsays ne olmaldr?

b. Drt silindirden birinde ateleme iyi olmazsa, baka hangi hzda zorluk

beklenebilir?


13/22

13

zm: a. Tekerlein evresi 75 = 236 sm dir. kritik hzda tekerlek 0,425

devir/saniye ve makine da 5x0,425 = 2,13 devir/san yapacaktr. Makinann dndrme

momenti erisi her ateleme iin tam bir devre yapacaktr. Drt silindirli drt stroklu bir

makinada dnme bana iki ateleme olduundan, saniyede 4,26 ateleme olacaktr.

makinann natrel frekansnn fn = 4,26 titreim/san veya

n2 = 42(4,26)2 = 720 rad2/san2 = k/l

olmas isteniyor. Burada k, ankastre yayn motor blokunun bir radyanlk

dnmesi halinde dourduu momenttir.

Ankastre yayn radyanlk bir dnme iin ucundaki sehimi 45 sm dir. yayn

dorusal rijitlii k1 (kg/sm) ise, 45 sm uzaklkta tesir eden yay kuvveti 45k1 kg ve

moment de 45x45 k1 dir. bylece

k = 2020 k1

olur. Bundan baka

l =981

15200 2x= 45,8 kg sm san2

olduundan

n2 =

8,45

2020 1k = 44k1 = 720

ve buradan da

k1 = 16,4 kg/sm

bulunur.

b. Silindirin biri iyi atelemedii zaman, motorun her iki dn iin moment

erisinde yeni bir periyodiklik vardr. Bu bozucu tesir incelenenden drt kere yava

olduundan, makinann natrel frekans ile 4x3,6 = 15 km/saat hznda rezonansa girer.

rnek: Ktlesi m ve boyu 21 olan dzgn bir ubuk her bir uta yayla

mesnetlenmitir. (ek. 70c). Yaylar ayn sertlikte olmayp, sabitleri mtekabilen


14/22

14

(soldan) k ve (sada) 2k dir. iki natrel frekans ve tekabl eden titreim eitlerinin

ekillerini bulunuz.

zm: ubuun ortasnn yukar doru yer deiimi x ve dnme as (saat

ibresi ynnde) olsun. O halde sol ucun yerdeiimi x+l ve sa ucunki de x-l dir.

Yay kuvvetleri, srasyla, k(x+l) ve 2k(x-l) dir. Bylece diferensiyel denklemler

m..

x +k(x+l)+2k (x-l) = 0

0)(2)(12

4 ..2 =++

lxkllxklml

dr. denk. (39) daki kabullerle

(m2+3k) xo-klo = 0

-klxo + (-3

1m2l2+3kl2)o = 0

bulunur ki, buradan frekans denklemi

(-m2+3k) (-3

1m2l2+3kl2) k2l2 = 0

veya

4-12m

k2+24

2

m

k= 0

eklinde olup, zmleri

12 = 2,54

m

kve 2

2 = 9,46m

k

dir.

Bu frekanslara tekabl eden hareketin ekilleri

33

1 2 += k

m

l

x

o

o

eklinde yazlabilen ikinci diferansiyel denklemden bulunur. 2nin henz

bulunan deerleri buraya konursa


15/22

15

1

o

o

l

x

= +2,16

2

o

o

l

x

= -0,15

elde edilir. Bu, ubuun birinci natrel frekans iin merkezinden saa doru2,16 l ve ikinci natrel frekans iin merkezin sol tarafnda 0,15 l uzaklndaki bir nokta

etrafnda dnme titreimleri yaptn gsterir.

rnek: ekil 73 deki sistem iin, bozucu kuvvetin her bir frekansnda alacak

bir damper yaplmas istenilmektedir; bu sistemde Mg = 5 kg, mg = 0,5 kg, P o = 0,5 kg,

K = 20 kg/smdir. eer absorber yay k = 2 kg/sm olacak ekilde alnmsa:

a. Absorberdeki en iyi snm katsays nedir?

b. Esas ktlenin maksimum genlii nedir?

c. Absorber yayndaki maksimum gerilme nedir?

Ayrca k/K = m/M artn atarsak:

d. En iyi tesir hangi k iin elde edilir?

e. Yeni k deeri iin (a) daki soruf. Yeni k deeri iin (b) deki soru.

g. Yeni k deeri iin (c) deki soru

zm: Btn cevaplar ek. 81 a,b ve c de bulunmaktadr.

a. eki. 81c den: c/

mn =, veya

c = ,m n =981

205,041,0 xx= 0,0131 kg sm-1 san bulunur.

b. ek. 81a veya Denk. (65): 2,7=stx

x

xst = Po/K = 1/40

verir, bylece

x = 7,2/40 = 0,18 sm dir.


16/22

16

c. ek. 81b absorber yayndaki bal hareket iin xba/xst = 12,8 verir; bylece

xba = 12,8/40 = 0,32 sm dir. kuvvet kxba = 2x0,32 = 0,64 kg dir.

d. En uygun ayar Denk. (63) den elde edilir:

11

10

1

1=

+=

n

a yleki121

1002

=

n

a

olur. m, M ve K nceki sorulardakinin ayn olduundan, (n/n)2 bykl k

ile orantldr. Bylece yeni absorber yay

k = 2.121

100= 1,65 kg/sm

olmaldr.

e. ek. 81c den:mm

c

2= 0,166 bulunur. 2mn bykl (a) sorusundakinin

ayn olduundan

c = 0106,0205,0

0131,0166,0=

xkg sm-1 san

elde edilir.

f. ek. 81a veya Denk. (64) den:stx

x= 4,6 bulunur. (b) den xst =

40

1

olduundan, maksimum genlik

x =40

6,4= 0,115 sm

olur.

g. ek 81b den:st

ba

x

x= 19,5 bulunur; bylece

xba =40

5,19= 0,49 sm

olur. k = 1,65 kg/sm ile, yayadaki maksimum kuvvet iin

1,65x0,49 = 0,81 kg


17/22

17

bulunur.

rnek: Bir geminin kesiti dkdrtgen eklinde ve su iindeki ksm da,kenarlarnn uzunluu 2a olan bir karedir. Arlk merkezi geminin dibinden x

yksekliinde ve dey simetri dorusu zerindedir. xin kk deerleri iin gemi

kararl, xin byk deerleri iin statik olarak kararszdr. Dengenin gam bozulmaz.

(indifferent) olduu x deerini bulunuz.

zm: Geminin, boyutlar 2ax2ax1sm olan, su iindeki bir parasn gz

nne alalm. birim kalnlkl bir dilim almakla su iindeki hacimlerin tekabl eden

alanlara nmerik olarak eitliinin dourduu fayday elde ediyoruz. as kadaryatrrsak; su iindeki ekilde bir kareden, iinden sol taraftan kk bir gen

karlm ve sa tarafna kk bir gen eklenmi bir kare ekline girer. Byle bir

genin alan a/2xa = a2/2 dir. bu genlerin arlk merkezleri tabandan itibaren

yksekliinin te birinde bulunduundan, genin sadan sola gitmesi a2/2 alannn

arlk merkezini 2/3.2a uzakl kadar kaydrr. Bu byklklerin arpm, karenin

toplam alan 4a2 nin btn eklin arlk merkezinin y yatay kaymas ile arpmna

eittir. Bylece

4a2y = 33

2a veya y =

6

a

olur. Su iindeki eklin arlk merkezi ilk dey simetri ekseninden sola doru

bu uzaklk kadar kaymtr. Bu yeni arlk merkezinden geen dey doru simetri

eksenini, arlk merkezinden geen dey doru simetri eksenini, arlk merkezinin ilk

konumundan a/6 kadar yukarda keser. Bu ara kesit M metansantr olduundan, Mnin

geminin dibinden a+6

7

6

aa= uzaklnda olduunu buluruz. Bu ayn zamanda geminin

bozulmaz dengesi iin arlk merkezinin istenilen konumudur.

rnek: Bir gemi tahriki: bir makine, 50 m uzunluunda ve 25 sm apnda bir

mil ve (atalet momenti 10 sm kalnlnda ve 1,20 m anda dolu bir diskinkine eit)


18/22

18

bir uskurdan mteekkildir. Makinann ataleti sonsuz byk kabul edilebilir. Burulma

titreiminin natrel frekansn bulunuz.

zm: Makinann byk ataleti sebebiyle, milin makinadaki ucu ankastre

gibi dnlebilir ve sisteme bir burulma ankastresi denilebilir. Sapma erisinin ekli

(yani makinadan x uzaklna gre as), uskur olmasayd sins dalgasnn drtte biri,

ve eer mil ataleti uskurunkine gre kabili ihmal olsayd orjinden geen bir doru

olacakt. Son doruyu Rayleigh ekli olarak seip, =Cx alalm.

Mukavemetten aadaki iki neticeyi alalm:

1. M momenti ile burulma as arasndaki bant:

d =pGl

Mdx

2. Milin bir dx diliminde toplanan potansiyel enerji:

dPot =pGl

dxM

2

2

dir; burada Glp milin burulma rijitliidir.

Kabul ettiimiz Rayleigh erisinin eimi d/lx = C sabit olduundan,

yukardaki ilk denklemden M = CGlp momentinin mil boyunca sabit olduu kar.

Bylece ikinci denklem derhal integre edilebilir:

Pot =pGl

lM

2

2

Bir dx ml elemannn kinetik enerjisi (l1dx)2 dir; burada l1, milin birim

uzunluunun ktle atalet momentidir. Ayrca, = = Cx = Mx/Glp dir.

Milin kinetik enerjisi

Kin2 = =

1

0

22

32212

2

1 .62

plG

lMldxx

Glp

Ml

Olur. (Ataleti l olan) uskurun asal genlii p = Cl = Ml/Glp ve kinetik enerjisi


19/22

19

Kinp = 22

222

2

1

plG

lM

dir. Kinetik enerjilerin toplamn potansiyel enerjiye eit klar ve

2

ye grezersek

2 =

+3

1 1ll

l

Glp

buluruz. Buradan, milin ataletinin te birinin uskurda toplanyormu gibi

dnlmesi gerektii grlr.

Problemin nmerik verilenlerine gre:

l =2

1mr2 =

2

1

981

008,0..60.10 2 .602 = 1650 kg sm san2

l1l =2

1mr2l =

4

25.

981

1.

4

008,0..25.5000

2

1 22

= 1550 kg sm san2

2

l

G

l

Gl= r4 = 606.104 kg sm

ve bylece

2 =5171650

10.606 4

+= 2880 rad2/san2

ve

f = 28802

1

2 = = 8,43 litr/san

buluruz.

rnek: Uzunluu l ve birim uzunluunun ktlesi 1 (toplam ktlesi m=1l)

olan bir El konsol krii ucunda M konsantre ktlesini tayor. Natrel freknas Reyleigh

metodu ile bulunuz; ve zel olarak sayfa 47deki (16) formlnn tatbik edilebilmesi

iin mnin ne kadarnn M^ye eklenmesinin gerektiini bulunuz.


20/22

20

zm: Sehim erisinin ekli, Denk. (113) elde edilirken kullanlan artlar

gereklemelidir; onun iin orada kullandmz ifadeyi muhafaza edeceiz. Potansiyel

enerji ubuunun ucuna M ktlesinin eklenmesinnden messir olmaz; fakat bu ucun

genlii yo olduundan, kinetik enerji

1/2M2yo2

kadar artar. m= 1l ile, toplam kinetik enerji

Kin = )23,0(2

14

2

3

2

1 2222mMymMy oo +=

+

eklinde yazlabilir.

2 =)23,0(

03,33 mMl

El

+

olur. Bylece ubuk ktlesinin 23% utaki ktleye eklenmelidir. ubuun

arlksz kabul edilmesi halinde (m=0), burada bulunan 2 deeri, katsays 3 olan kati

deerlerden 1% byktr.

rnek: genilemeli buhar makinas pistonlar arlklarnn bir birine oran

1: :2dir. bu makinann birinci mertebeden kuvvetlerinin dengelenmesi isteniyorsa,

krank alar nasl yaplmaldr?

zm: Diyagramdaki vektrler istenilen orandaki uzunluklara maliktir.

ek.139daki gibi iki birim uzunlukta bir dey vektr izersek; denge, dier iki

vektrn yatay bileenleri birbirini ifna edecek ve dey bileenlerinin toplam iki

birime eit olacak ekilde tertip edilmesini gerektirir. ek. 169 daki ve alarna

gre

1. sin = 1 sin

1. cos +1 cos = 2

yazlr. Bunlar zmek iin birinci denklemden cos yi hesaplayalm:


21/22

21

cos = 22 sin4/121sin1 =

ve bu deeri ikinci denkleme gtrelim:

= 2sin4/121 2-1 cos

6 cos = 5

ve buradan

cos.= 0,88 ve = 28o

cos = 2-2/3.0,88 = 0,68 ve = 47o

elde edilir.

Bu vektr diyagramlarnn sonularn basit matematik dilde ifade etmek

mmkndr. Birinci mertebeden kuvvetlerin dengelenmesi iin gereken art. ek. 136c

deki btn vektrlerin geometrik toplam sfr olmasdr. Eer bu byle ise, yatay ve

dey izdmlerinin toplam sfr, yani

n

nSin = 0 ve n

ncos = 0 (140)

olmaldr. Benzer olarak, ikinci mertebeden kuvvetlerin dengelenmesi iin

gereken artlar

n

n2sin = 0 ve n

n2sin = 0 (141)

dr. Birinci mertebeden momentler iin

n

nnl sin = 0 ve n

nnl sin = 0 (142)

dr. kinci mertebeden momentler iin

nnl 2sin = 0 ve nnl 2sin = 0 (143)

dr. Btn bu formller ancak eit piston ktleleri iin dorudur.

ek. 136daki drt silindirli makinada 1 = 0, 2 = 90, 3 = 270, 4 = 0

derecedir; dolaysyla (140) denklemleri


22/22

0+1-1+0 = 0 ve 1+0+0-1 = 0

olur; bylece birinci mertebeden kuvvetler dengelenmitir.

Fakat (142) denklemleri

0.0+1.1 12.1+3.0 = 1-2 0

0.1+1.0 2.0 + 3.1 = 30

olur ki, bu da birinci mertebeden momentlerin dengelenmediini gsterir.

Documents

A305 Makine Dinamigi Uygulamalari