A4_Mecanica_1.pdf

Dorel STOICA MECANICĂ: NOŢIUNI DE CURS ŞI APLICAŢII

Editura NAPOCA STAR Cluj-Napoca este acreditată de

Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice din Învăţământul Superior (CNCSIS)

Tehnoredactor: Cornelia Catrina

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României STOICA, DOREL Mecanică : noţiuni de curs şi aplicaţii / Dorel Stoica. - Cluj-Napoca : Napoca Star ; Braşov : Mecatrin, 2013 Bibliogr. ISBN 978-973-647-988-5 ISBN 978-606-93135-4-1 621(075.8)

Editura Mecatrin Braşov

Tel: 0727 535 298 www.editura.mecatrin.ro

e-mail: [email protected]

Editura NAPOCA STAR Cluj Napoca

Dorel STOICA

MECANICĂ: NOŢIUNI DE CURS ŞI APLICAŢII

Braşov, 2013

5

CUPRINS CUPRINS............................................................................................................... 5 1. INTRODUCERE.................................................................................................. 9

1.1. Generalităţi.........................................................................................................9 1.2. Scurt istoric al mecanicii ......................................................................................9 1.3. Obiectul mecanicii .............................................................................................12 1.4. Sisteme şi unităţi de MĂSURĂ............................................................................13

CAPITOLUL 2 ...................................................................................................... 15 2.1. Noţiuni de calcul vectorial..................................................................................15 2.2. Operaţii cu vectori.............................................................................................16

2.2.1. Adunarea a doi vectori a şi b . ...................................................................16 2.2.2. Produsul scalar a doi vectori a şi b . ...........................................................18 2.2.3. Produsul vectorial a doi vectori liberi a şi b . ...............................................19 2.2.4. Produsul mixt a trei vectori a , b şi c .........................................................20 2.2.5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi a , b şi c ....................................21 2.2.6. Descompunerea unui vector după trei direcţii. ..............................................22

CAPITOLUL 3 ...................................................................................................... 23 3.1. Statica punctului ...............................................................................................23

3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la legături ...............................23 3.1.2. Echilibrul punctului material liber .................................................................23 3.1.3. Probleme rezolvate .....................................................................................24

3.2. Punctul material supus la legături ......................................................................27 3.2.1. Axioma legăturilor. Legăturile punctului material...........................................27 3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături fără frecare .............................28 3.2.3. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare................................31

3.3. Probleme rezolvate ...........................................................................................35 3.4. Probleme propuse.............................................................................................44

CAPITOLUL 4 ...................................................................................................... 47 4.1. Statica rigidului.................................................................................................47

4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forţei ce acţionează un rigid......................47 4.1.2. Momentul unei forţe în raport cu un punct. ..................................................48 4.1.3. Momentul unei forţe în raport cu o axă. .......................................................50 4.1.4. Cupluri de forţe ..........................................................................................51 4.1.5. Caracterizarea unui vector alunecător. .........................................................52 4.1.6. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon). .............................................53 4.1.7. Sisteme de forţe echivalente. Operaţii elementare de echivalenţă. .................54 4.1.8. Reducerea unei forţe aplicată într-un punct al unui rigid................................54 4.1.9. Reducerea unui sistem de forţe aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variaţia torsorului cu punctul de reducere. Invarianţi ..........................................................55 4.1.10. Torsorul minimal. Axa centrală...................................................................57 4.1.11. Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare................................58

4.2. Reducerea sistemelor particulare de forţe...........................................................59 4.2.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente....................................................59 4.2.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare......................................................59

Dorel STOICA

6

4.2.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele ........................................................ 60 4.2.4. Reducerea forţelor paralele, distribuite ........................................................ 63

4.3. Probleme rezolvate .......................................................................................... 65 4.4. Probleme propuse ............................................................................................ 72 4.5. Centre de greutate (centre de masă) ................................................................. 74

4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale................................. 74 4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor.................................................................. 75 4.5.3. Teoremele Pappus - Guldin ......................................................................... 78

4.6. Centre de masă pentru corpuri uzuale ............................................................... 79 4.7. Probleme rezolvate ........................................................................................... 81 4.8. Probleme propuse ............................................................................................ 94

CAPITOLUL 5 Echilibrul rigidului ...................................................................... 97 5.1. Echilibrul rigidului liber ....................................................................................97 5.2. Echilibrul rigidului supus la legături fără frecare .................................................99

5.2.1. Generalităţi ...............................................................................................99 5.2.2. Legătura rigidului ....................................................................................100 5.2.3. Cazurile particulare de echilibru ................................................................107

5.3. Echilibrul rigidului spus la legături cu frecare ...................................................111 5.3.1. Generalităţi asupra fenomenului de frecare ...............................................111 5.3.2. Frecare de alunecare ...............................................................................112 5.3.3. Frecarea de rostogolire ............................................................................114 5.3.4. Frecarea de pivotare ............................................................................... 118 5.3.5. Frecarea în lagărul radial (articulaţia cilindrică) ..........................................120

5.4. Probleme rezolvate ........................................................................................123 5.5. Probleme propuse .........................................................................................130

CAPITOLUL 6 Statistica sistemelor materiale ..................................................133 6.1. Echilibrul sistemelor materiale ........................................................................133

6.1.1. Sistemul material .....................................................................................133 6.1.2. Torsorul forţelor intercalare ......................................................................133 6.1.3. Teoreme şi metode pentru studiul echilibrului sistemelor materiale .............134 6.1.4. Sisteme static determinate şi static nedeterminate .....................................136

6.2. Probleme rezolvate ........................................................................................137 6.3. Probleme propuse .........................................................................................153 6.4. Grinzi ci zăbrele .............................................................................................156

6.4.1. Ipoteze simplificatoare .............................................................................156 6.4.2. Eforturi de bare .......................................................................................157 6.4.3. Grinzi cu zăbrele static determinate ...........................................................158 6.4.4. Metode pentru determinarea eforturilor din bare ....................................... 159

6.5. Probleme rezolvate ........................................................................................160 6.6. Probleme propuse .........................................................................................173 6.7. Statica firelor ................................................................................................174

CAPITOLUL 7 Cinematica punctului .................................................................183 7.1. Noţiuni fundamentale ....................................................................................183

7.1.1. Legea de mişcare ....................................................................................183 7.1.2. Traiectoria ..............................................................................................183 7.1.3. Viteza .....................................................................................................184 7.1.4. Acceleraţia ..............................................................................................185

Mecanică: Noţiuni de curs şi aplicaţii

7

7.1.5. Viteza şi acceleraţia unghiulară .................................................................186 7.2. Studiul mişcării punctului în sistemele de coordonate cartezian şi natural............187

7.2.1. Sistemul de coordonate cartezian .............................................................187 7.2.2. Cinematica punctului material în coordonate polare ...................................188 7.2.3. Sistemul de coordonate intrinseci .............................................................190

7.3. Mişcarea circulară ..........................................................................................192 7.3.1. Studiul mişcării circulante în coordonate carteziene ...................................192 7.3.2. Studiul mişcării circulante în coordonate naturale ......................................193


CAPITOLUL 8. Cinematica rigidului .................................................................211 8.1. Mişcarea generală a rigidului ..........................................................................211

8.1.1. Mobilitatea rigidului .................................................................................211 8.1.2. Distribuţia de viteze .................................................................................212 8.1.3. Distribuţia de acceleraţii ...........................................................................214

8.2. Mişcarea de rotaţie ........................................................................................215 8.2.1. Distribuţia de viteze .................................................................................216 8.2.2. Distribuţia de acceleraţii ...........................................................................217

8.3. Mişcarea plan paralelă ...................................................................................218 8.3.1. Distribuţia de viteze .................................................................................220 8.3.2. Centrul instantaneu de rotaţie ..................................................................220 8.3.3. Distribuţia de acceleraţii ..........................................................................222

8.4. Mişcarea rigidului cu un punct fix ....................................................................223 8.4.1. Generalităţi .............................................................................................223 8.4.2. Studiul vitezelor ......................................................................................224 8.4.3. Studiul acceleraţiilor ................................................................................229

8.5. Mişcarea generală a rigidului ..........................................................................230 8.5.1. Generalităţi .............................................................................................230 8.5.2. Studiul vitezelor ......................................................................................230 8.5.3. Studiul acceleraţiilor ................................................................................232

8.6. Probleme rezolvate........................................................................................233 8.7. Probleme propuse..........................................................................................252

CAPITOLUL 9 Mişcarea relativă........................................................................255 9.1. Mişcarea relativă a punctului material .............................................................255

9.1.1. Derivata absolută şi relativă (locală) a unui vector .....................................255 9.1.2. Studiul vitezelor ......................................................................................256 9.1.3. Studiul acceleraţiilor ................................................................................257

9.2. Mişcarea relativă a rigidului ............................................................................259 9.2.1. Generalităţi .............................................................................................259 9.2.2. Studiul vitezelor ......................................................................................259


CAPITOLUL 10 Dinamica punctului material ..................................................269 10.1. Noţiuni fundamentale ..................................................................................269

10.1.1. Lucrul mecanic .....................................................................................269 10.1.2. Funcţia de forţă ....................................................................................270 10.1.3. Puterea ................................................................................................271

Dorel STOICA

8

10.1.4. Randamentul mecanic ...........................................................................272 10.1.5. Impulsul .............................................................................................. 272 10.1.6. Momentul cinetic ..................................................................................273 10.1.7. Energia mecanică ................................................................................. 273

10.2. Teoreme generale în dinamica punctului material ..........................................274 10.2.1. Teorema impulsului ...............................................................................274 10.2.2. Teorema momentului cinetic ................................................................. 275 10.2.3. Teorema energiei cinetice ..................................................................... 275

10.3. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului material ........................................276 10.3.1. Generalităţi ..........................................................................................276 10.3.2. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului material .................................277

10.4. Probleme rezolvate ......................................................................................279 CAPITOLUL 11 Dinamica sistemelor de puncte materiale şi a rigidului ..........287

11.1. Noţiuni fundamentale ..................................................................................288 11.1.1. Momente de inerţie mecanice ...............................................................288

11.2. Probleme rezolvate .....................................................................................296 11.3. Probleme propuse ......................................................................................300 11.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de forţe care acţionează asupra

unui rigid ............................................................... .................................. 301 11.4.1. Cazul general ..................................................................................... 301 11.4.2. Cazuri particulare ............................................................................... 302 11.4.3. Impulsul ............................................................................................ 302 11.4.4. Momentul cinetic ................................................................................ 303 11.4.5. Energia cinetică ...................................................................................307

11.5. Teoreme generale în dinamica sistemelor de puncte materiale şi a rigidului.... 312 11.5.1. Teorema impulsului ............................................................................. 312 11.5.2. Teorema momentului cinetic ................................................................ 315 11.5.3. Teorema energiei cinetice .................................................................... 318

11.6. Probleme rezolvate .................................................................................... 321 11.7. Probleme propuse ..................................................................................... 333

9

1. INTRODUCERE

1.1. GENERALITĂŢI

Materia, mişcarea, spaţiul şi timpul fac parte din noţiunile cele mai generale ale

cunoaşterii umane. Materia este categoria filozofică care desemnează realitatea obiectivă, dată omului prin

simţurile sale. Prima modalitate de existenţă a materiei, sesizată de cunoaşterea umană este substanţa,

aspectul ei cantitativ fiind masa. Substanţa are o structură discretă fiind constituită din particule (electroni, protoni, neutroni) care formează ansambluri relativ stabile, numite corpuri.

O altă formă de existenţă a materiei este câmpul fizic (gravitaţional, electromagnetic) conceput ca un mediu material continuu, aspectul cantitativ fiind caracterizat de intensitatea câmpului.

Mişcarea ca mod de existenţă a materiei cuprinde toate schimbările, transformările şi procesele care au loc în univers. Mişcarea este concepută în spaţiu şi timp care sunt forme fundamentale, universale şi obiective de existenţă a materiei.

Spaţiul este o reprezentare generalizată a dimensiunilor corpurilor şi a distanţelor dintre ele.

Timpul reprezintă imaginea generalizată a intervalelor dintre evenimente şi a duratei fenomenelor.

1.2. SCURT ISTORIC AL MECANICII Ca ştiinţă, Mecanica apare odată cu acumularea şi generalizarea experienţei în epoca

creării primelor mijloace de producţie. În primul rând a apărut Statica, dezvoltarea ei fiind legată de arta construcţiilor încă din antichitate.

Arhitas din Tarent (430 – 365 î.H) filozof din şcoala lui Platon s-a ocupat de primele probleme teoretice ale mecanicii; atribuindu-i-se descoperirea scripetelui şi a şurubului.

Aristotel (384 – 322 î.H) a făcut multe observaţii juste asupra Staticii, îndeosebi asupra echilibrului, fiind preocupat de problema căderii verticale a corpurilor grele deşi a tratat-o metafizic, elaborând o teorie după care “corpul tinde spre locul său din natură”. Tot el este primul filozof care abordează problema relativităţii mişcării.

Arhimede (287 – 212 î.H), mare geometru şi mecanician, adevăratul întemeietor al Staticii rezolvă aproape toate problemele mecanicii care s-au pus în timpul său. În lucrările sale, “Despre pârghii”, “Cartea reazemelor” şi “Despre echilibrul suprafeţelor” dă teoria pârghiilor, rezolvă echilibrul sistemului format din două greutăţi suspendate pe o bară care se poate roti în jurul unui punct, elaborează regulile compunerii şi descompunerii forţelor paralele, dă definiţia centrului de greutate, stabileşte unele legi de bază ale hidrostaticii şi face referiri la ceea ce mult mai târziu va fi numit momentul forţelor.

Dorel STOICA

10

În timpul Renaşterii, odată cu înflorirea artelor şi a celorlalte ştiinţe, Mecanica ia un avânt considerabil, făcându-se saltul de la Statică la Dinamică, studiul mişcării şi al forţelor fiind în prim plan.

Marelui învăţat şi artist Leonardo da Vinci (1452 – 1518) îi datorează Mecanica, multe dintre ideile originale şi îndrăzneţe care i-au trasat căile de dezvoltare în viitor. Leonardo da Vinci execută primele cercetări experimentale asupra căderii libere a unui corp greu, introduce noţiunea de moment sub denumirea de „momento” sau pârghie potenţială. La Leonardo da Vinci găsim unele indicaţii cu privire la principiul deplasărilor virtuale, legile echilibrului, egalitatea acţiunii cu reacţiunea, etc.; el studiază ciocnirile şi stabileşte unele reguli privitoare la frecare.

Evenimentul cel mai revoluţionar al acestei epoci îl constituie apariţia concepţiei lui N. Copernic (1473 – 1543) asupra sistemului heliocentric şi tot acum apar lucrările lui Johan Kepler (1571 – 1630) cu privire la mişcarea planetelor în jurul Soarelui – celebrele trei legi ale lui Kepler.

Întreaga epocă e dominată de lucrările lui Galileo Galilei (1564 – 1642), unul din cei mai mari învăţaţi ai epocii, luptător neînfricat împotriva învăţăturii geocentriste şi a scolasticii, descoperitor al multor legi de bază ale Mecanicii clasice. Galileo Galilei formulează noţiunile principale ale Cinematicii (viteza şi acceleraţia) şi stabileşte formula căderii corpurilor; introduce noţiunea de forţă ca agent mecanic şi emite ideea relativităţii mişcării. Se poate spune că istoria Dinamicii începe de la Galilei. El formulează legea inerţiei aproape sub forma în care este cunoscută astăzi, teoria mişcării corpului greu pe un plan înclinat, legile mişcării corpului lansat. Sub forma “regulii de aur” a Mecanicii, el arată că, în ceea ce priveşte maşinile mecanice, cât se câştigă în forţă, se pierde în viteză.

Cr. Huygens (1629 – 1695) a formulat sub o formă incipientă, noţiunile de acceleraţie centrifugă şi centripetă şi de moment de inerţie. A studiat mişcările oscilatorii, centrul de oscilaţie al pendulului fizic, ciocnirea corpurilor elastice.

Isaac Newton (1643 – 1727) în lucrarea sa fundamentală “Principiile matematice ale filozofiei naturale” a formulat cele trei principii fundamentale ale Mecanicii clasice pe a căror bază se pot studia mişcările tuturor corpurilor, inclusiv mişcarea corpurilor cereşti. Newton descoperă legea atracţiei universale, a aprofundat studiul forţelor, a studiat şi descoperit legile fundamentale ale opticii, a pus bazele calculului infinitezimal (diferenţial şi integral).

V. Varignon (1654 – 1722) este cunoscut prin metodele sale geometrice aplicate în mecanică, prin definirea completă a noţiunii de moment şi prin teorema momentelor.

L. Euler (1707 – 1783) a dezvoltat dinamica punctului material utilizând calculele analitice şi diferenţiale. El este creatorul Mecanicii corpului solid, studiind primul, metoda mişcării corpului solid, în special a solidului cu un punct fix, cu ajutorul celor trei unghiuri cunoscute sub numele de unghiurile lui Euler. El este fondatorul Hidrodinamicii şi al Teoriei stabilităţii barelor elastice.

M. L. Lomonosov (1711 – 1765) este primul care formulează principiul conservării energiei, studiază problema interacţiunii între corpuri, propagarea căldurii, etc.

C. A. Coulomb (1736 – 1806) a stabilit legile experimentale ale frecării de alunecare şi rostogolire, a studiat torsiunea firelor stabilind legile torsiunii.

Spre mijlocul secolului al XVIII-lea încep să fie formulate şi principiile variaţionale ale Mecanicii.

P. Maupertuis (1698 – 1759) formulează în 1744 Principiul minimei acţiuni, pe care îl aplică la explicarea legilor reflexiei şi refracţiei luminii şi la teoria ciocnirilor. Demonstraţia matematică a acestui principiu a fost dată însă de Euler, iar generalizarea a fost făcută într-o primă formă de Lagrange şi în formă completă de Jukovski.


11

J. d’Alembert (1717 – 1783) publică “Traité de Dynamique” unde este formulată celebra sa metodă cinetostatică utilizată la rezolvarea problemelor de dinamică.

J. L. Lagrange (1736 – 1813) a fost acela care a dezvoltat însă considerabil partea teoretică a Mecanicii, îndeosebi în lucrarea sa “Mecanica analitică”. Lagrange a creat Mecanica analitică pe baza principiului deplasărilor virtuale, încercând să demonstreze analitic, atât cât era posibil, Principiul deplasărilor virtuale. El a demonstrat analitic Principiul d’Alembert şi a rezolvat problema oscilaţiilor mici ale unui sistem de corpuri.

M. V. Ostrogradski (1801 – 1861) studiază legăturile dependente de timp, introduce noţiunea de legături exprimate analitic prin inegalităţi şi aplică pentru astfel de legături, principiul deplasărilor virtuale. Ostrogradski a dat o nouă formă ecuaţiei generale a Dinamicii, ecuaţie care integrată în raport cu timpul, conduce la expresia cea mai generală a Principiului Hamilton-Ostrogradski.

W. R. Hamilton (1805 – 1865) aplică calculul variaţional în Mecanică şi formulează principiul care-i poartă numele.

Din nevoia de a explica numeroase fenomene care în Mecanica clasică apăreau ca inexplicabile, în secolul al XX-lea se reexaminează multe dintre tezele şi principiile Mecanicii newtoniene. Ca o consecinţă apar: Mecanica relativistă, Mecanica cuantică, Mecanica ondulatorie, Mecanica statistică. Numele savanţilor A. Einstein, Max Plank, L. de Broglie, Fok, Vasilov, etc. sunt legate de aceste mecanici noi.

Albert Einstein (1879 – 1955) a arătat că se poate construi o teorie fizică, perfect consecventă considerând rezultatul experienţei lui Michelson (constanta vitezei de propagare a luminii în vid, indiferent de sistemul de referinţă) ca un principiu. Acceptarea acestui principiu cerea în schimb să se renunţe la noţiunile de spaţiu absolut şi timp absolut ale mecanicii newtoniene. În cadrul noii teorii, denumită de el teoria relativităţii, distanţele şi duratele erau relative, depinzând de sistemul de referinţă în care erau măsurate. Totul se petrece ca şi cum s-ar desfăşura într-o varietate cu patru dimensiuni, trei dimensiuni fiind spaţiale şi una temporală, cunoscută sub numele de universul lui Minkowski, matematician lituanian care a dat această interpretare geometrică, teoriei relativităţii. Unul dintre rezultatele teoriei relativităţii îl reprezintă legea de variaţie a masei în funcţie de viteză.

2

0

)c/v(1

mm

−= (1.1)

unde m0 este masa de repaus, v este viteza şi c reprezintă viteza de propagare a luminii în vid.

Această lege a dat naştere multor discuţii filozofice, deoarece pornind de la definiţia masei dată de Newton, ca fiind o măsură a cantităţii de materie, rezulta că materia se putea crea sau distruge după cum viteza v a corpului creştea sau descreştea.

A trebuit corectată şi această definiţie a lui Newton, în sensul că masa este doar o măsură a inerţiei corpului şi nu a cantităţii de materie. De remarcat că, deşi ecuaţiile mecanicii relativiste sunt diferite de ecuaţiile mecanicii newtoniene, tind către acestea când vitezele relative ale corpurilor sunt neglijabile în raport cu viteza de propagare a luminii în vid.

În ţara noastră, trebuie să menţionăm pentru activitatea lor, în domeniul Mecanicii teoretice, pe Spiru Haret (1851 – 1912), Andrei Ioachimescu (1868 – 1913) şi Dimitrie Pompei (1873 – 1954) care au lăsat importante studii de Mecanică teoretică iar în cel al Mecanicii aplicate pe Anghel Saligny (1854 – 1925), Ion Ionescu (1870 – 1946), G. E. Filipescu (1885 – 1937), valoroşi ingineri care au executat importante lucrări inginereşti şi au lăsat studii de seamă în domeniul mecanicii teoretice şi aplicate.

Dorel STOICA

12

1.3. OBIECTUL MECANICII Mecanica este ştiinţa care studiază una din cele mai simple forme de mişcare a materiei

cunoscută sub numele de mişcare mecanică. Mişcarea mecanică se defineşte ca modificare a poziţiei unui corp sau a unei părţi a acestuia, în raport cu un alt corp considerat reper sau sistem de referinţă.

Mişcarea mecanică raportată la un sistem de referinţă fix se numeşte mişcare absolută iar cea raportată la un sistem de referinţă mobil se numeşte mişcare relativă. Întrucât în univers nu există corpuri (repere) fixe, mişcarea mecanică este relativă.

Repausul este starea unui corp sau a unor sisteme de corpuri a căror poziţii, faţă de un sistem de referinţă rămân neschimbate. Repausul fiind un caz particular al mişcării are un caracter relativ ca şi aceasta.

S-au întâmpinat mari dificultăţi în găsirea unor sisteme de referinţă absolute. Începând cu sistemul geocentric al lui Ptolemeu care considera Pământul fix, continuând cu sistemul heliocentric al lui Copernic care considera Soarele fix, s-a acceptat, mai târziu, un nou sistem de referinţă (care constituie la ora actuală, cel mai preferabil reper), cu originea în centrul de masă al galaxiei din care face parte Soarele şi axele orientate către stele extrem de îndepărtate, în raport cu care legile mecanicii se verifică experimental. Primul model al mecanicii a fost definitivat de Isaac Newton în opera sa fundamentală „Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica”, publicată în 1686 şi reprezintă mecanica clasică. Mecanica clasică sau newtoniană studiază mişcarea corpurilor materiale macroscopice, având viteze mici în comparaţie cu viteza luminii.

Noţiunile fundamentale ale mecanicii clasice - spaţiul, timpul şi masa - sunt considerate ca fiind complet independente, iar proprietăţile lor sunt absolute.

Spaţiul este o reprezentare generalizată a dimensiunilor corpurilor, a poziţiilor reciproce şi a distanţelor dintre ele. În mecanica clasică, spaţiul este considerat tridimensional, infinit, continuu, omogen (diferite porţiuni ale sale nu se deosebesc între ele) şi izotrop (proprietăţile după diferitele direcţii care pleacă din acelaşi punct nu se deosebesc între ele).

Timpul este o formă obiectivă de existenţă a materiei. Noţiunea de timp oglindeşte timpul real existent în mod obiectiv. În mecanica clasică, timpul este nelimitat, continuu, omogen şi ireversibil (se scurge într-un singur sens).

Masa este concepută ca o mărime fizică scalară strict pozitivă, care măsoară două proprietăţi importante ale materiei, existentă sub formă de substanţă: inerţia şi câmpul atracţiei universale (în particular, câmpul gravitaţional).

Inerţia este proprietatea materiei de a-şi conserva starea de mişcare mecanică pe care o are la un moment dat.

Câmpul atracţiei universale se manifestă prin forţa gravitaţiei universale care se exercită între două corpuri materiale.


13

1.4. SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ Întrucât între mărimile fizice există o serie de relaţii, se poate alege un număr restrâns

de mărimi fizice, independente numite mărimi fundamentale, în funcţie de care se pot exprima celelalte mărimi numite mărimi derivate.

Unităţile de măsură ale acestor două categorii de mărimi se numesc unităţi de măsură fundamentale şi unităţi de măsură derivate.

În ţara noastră se utilizează Sistemul internaţional de unităţi de măsură (SI) care are 7 unităţi fundamentale: metrul (m), pentru lungime, kilogramul (kg), pentru masă, secunda (s), pentru timp, amperul (A), pentru intensitatea curentului electric, kelvinul (K), pentru temperatura termodinamică, candela (cd), pentru intensitatea luminoasă şi molul (mol), pentru cantitatea de substanţă.

Unităţile de măsură fundamentale utilizate în mecanică sunt: metrul, kilogramul şi secunda.

Metrul este lungimea egală cu 1 650 763, 73 lungimi de undă în vid ale radiaţiei care corespunde tranziţiei atomului de kripton 86 între nivelele sale 2p10 şi d5.

Kilogramul este masa prototipului internaţional de platină iridiată adoptat în anul 1889 de Conferinţa Generală de Măsuri şi Greutăţi şi păstrat la Sèvre în Franţa.

Principalele unităţi de măsură derivate, utilizate în mecanică sunt: newtonul (N), pentru forţă, joule-ul (J), pentru lucru mecanic, wattul (W), pentru putere şi pascalul (Pa), pentru presiune.

Newtonul (N) reprezintă forţa care imprimă unei mase de 1 kg, o acceleraţie de 1 m/s2. Joule-ul (J) reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forţă de 1 N care se deplasează cu 1

m pe propriul său suport. Wattul (W) reprezintă lucrul mecanic de 1 J efectuat într-o secundă. Pascalul (Pa) reprezintă presiunea exercitată de 1 N pe 1 m2. Mărimile fundamentale utilizate în mecanică fiind: lungimea L, masa M şi timpul T,

mărimile derivate se obţin din acestea cu ajutorul ecuaţiei de dimensiuni: γβα TMLD =][ (1.2)

unde α, β, γ sunt numere pozitive, negative, întregi, fracţionare sau nule. Principalele mărimi utilizate în mecanică sunt date în Tabelul 1.1

Dorel STOICA

14

Tabelul 1.1

Mărimea Simbolul Ecuaţia de definiţie

Dimensiunile în SI

Unitatea de măsură

în SI Lungimea l - L m Masa m - M kg Timpul t - T s Aria A A = l2 L2 m2 Volumul V V = l3 L3 m3

Unghiul plan α α = l/R - -(rad) Perioada T T = 2π/ω T s Frecvenţa f f = 1/T T-1 Hz Viteza v rv &= LT-1 m/s

Acceleraţia a ra &&= LT-2 m/s2

Viteza unghiulară ω θω &= T-1 s-1

Acceleraţia unghiulară ε θε &&= T-2 s-2

Masa specifică ρ ρ = m/V L-3M kg/m3 Greutatea specifică γ γ = G/V L-2MT-2 N/m3

Momentul de inerţie J 2ii lmJ ∑= L2M kgm2

Forţa F amF = LMT-2 N

Momentul forţei M FxrM = L2MT-2 Nm

Impulsul H vmH = LMT-1 kgm/s

Momentul cinetic K HxrK = L2MT-1 kgm2/s

Energia cinetică E E = mv2/2 L2MT-2 J Lucrul mecanic L ∫= rdFL L2MT-2 J

Puterea P P = dL/dt L2MT-3 W Percuţia P ∫= dtFP LMT-2 Ns

Presiunea p F/A L-1MT-2 Pa

15

Fig. 2.1: Elementele unui vector

CAPITOLUL 2

2.1. NOŢIUNI DE CALCUL VECTORIAL În studiul mărimilor fizice se deosebesc: - mărimi scalare sau scalari, care sunt complet determinate prin valoarea lor numerică (care este un număr pozitiv sau negativ), urmată de unitatea de măsură.

Exemple: distanta între două puncte, intervalul de timp, temperatura, energia, etc. - mărimi vectoriale sau vectori, care sunt complet determinate prin valoarea lor numerică, prin direcţia şi sensul lor. Spre deosebire de scalari, vectorii sunt mărimi

orientate (dirijate). Un asemenea vector, reprezentat printr-un segment de dreaptă orientat, se numeşte

vector liber. Exemple: deplasarea şi viteza unui corp în mişcare de translaţie. În unele cazuri este necesar să se precizeze punctul de aplicaţie, caz în care vectorul se numeşte vector aplicat sau legat. Exemplu: forţa care acţionează asupra unui punct material.

În alte cazuri este necesar să se precizeze suportul, caz în care vectorul se numeşte vector alunecător sau glisant. Exemplu: forţa care acţionează asupra unui rigid. Se va face referire în continuare la vectorii liberi.

Notaţia vectorilor se face printr-o literă cu o bară deasupra de exemplu a , F sau prin două litere deasupra cărora se pune o bară, prima literă marcând originea vectorului, iar a doua literă extremitatea; de exemplu BA .

Aşadar vectorul este segmentul de dreapta orientat (fig.2.1), cu patru elemente caracteristice: origine sau punct de aplicaţie A, direcţie sau dreaptă suport ∆, sens şi modul (mărime, intensitate, urmă) v.

Versorul este vectorul de modul unitar şi este dat de relaţia 2.1:

v

v

v

vu == (2.1)

Definim componentele pe axele Ox , Oy şi Oz ale versorului din relaţia 2.1 astfel:

Dorel STOICA

16

B

α a

b

c

O

C

A

Fig.2.2: Regula paralelogramului

a

upri Ox= ; uprj Oy= ; uprk Oz= . (2.2)

Un vector oarecare se scrie în funcţie de componentele pe axe ale versorului său astfel:

kvjvivv zyx ++= (2.3)

unde: vprv Oxx = ; vprv Oyy = ; vprv Ozz = (2.4)

2.2. OPERAŢII CU VECTORI

2.2.1. Adunarea a doi vectori a şi b . Se presupune cei doi vectori aplicaţi în acelaşi punct O. Suma sau rezultanta celor doi

vectori este prin definiţie vectorul c , definit ca valoare numerică, direcţie şi sens de

diagonala OC a paralelogramului construit cu vectorii a şi b ca laturi (fig.2.2.a). Vom scrie:

bac += (2.5) Modulul vectorului c fiind:

αcos222 abbac ++= (2.6)

Expresia analitică. Considerând că vectorii a şi b definesc planul Oxy, vectorul rezultant c va fi situat în acelaşi plan, cei trei vectori putând fi exprimaţi prin proiecţii pe axele sistemului menţionat, după cum urmează (fig.2.2.b):

jciccjbibbjaiaa yxyxyx +=+=+= ;; (2.7)

Conform relaţiei (2.5) putem scrie:

)()( jbibjaiajcic yxyxyx +++=+ (2.8)

Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant c :

yyyxxx bacbac +=+= ; (2.9)


17

c Fig.2.3: Adunarea vectorilor

Mărimea vectorului rezultant este:

2222 )()( yyxxyx babaccc +++=+= (2.10)

iar direcţia este dată de unghiul γ dintre suportul vectorului rezultant şi axa Ox:

xx

yy

x

y

ba

ba

c

ctg

++

==γ (2.11)

Regula paralelogramului poate fi extinsă la compunerea unui număr oarecare de vectori

concurenţi 1V , 2V ,…. nV , ajungându-se la o construcţie grafică numită regula poligonului

vectorilor, laturile acestuia fiind vectorii din sistem. O latură Vi a poligonului se obţine prin construirea unui vector echipolent cu vectorul iV

având ca origine, extremitatea vectorului 1−iV şi ca extremitate, originea vectorului 1+iV .

Rezultanta sistemului de vectori este definită ca suma vectorială a vectorilor iV :

∑=

=+++=n

iin VVVVV

121 ... (2.12)

Construcţia grafică reprezintă segmentul de dreaptă care uneşte originea primului

vector 1V , cu extremitatea ultimului vector nV din acest poligon (fig.2.2a). Regula poligonului,

pentru cazul particular de compunere a doi vectori concurenţi se numeşte regula triunghiului (fig.2.2b).

Expresia analitică. Suporturile vectorilor din sistem fiind orientate în spaţiu se va considera un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz faţă de care vor fi exprimate

componentele pe axe ale acestor vectori (fig.2.2c). Notând proiecţiile pe axe ale vectorului iV

cu Vix, Viy, Viz şi ale vectorului rezultant V , cu Vx, Vy, Vz, conform relaţiei (2.12) se va putea scrie:

∑=

++=++n

iiziyixzyx kVjViVkVjViV

1

)( (2.13)

Dorel STOICA

18

Analog raţionamentului anterior, rezultă valorile componentelor pe axe ale vectorului rezultant:

∑=

=n

iixx VV

1

, ∑=

=n

iiyy VV

1

, ∑=

=n

iizz VV

1

(2.14)

Mărimea vectorului rezultant este:

222zyx VVVV ++= (2.15)

iar direcţia dată prin cosinusurile directoare:

V

Vx=αcos , V

Vy=βcos , V

Vz=γcos . (2.16)

2.2.2. Produsul scalar a doi vectori a şi b . Este prin definiţie un scalar care se obţine multiplicând modulele celor doi vectori cu

cosinusul unghiului dintre ei. Vom scrie:

αcosbaba ⋅=⋅ (2.17)

Dacă vectorul a este definit prin componentele kajaiaa zyx ++= şi vectorul b este

definit prin componentele kbjbibb zyx ++= atunci produsul scalar dintre vectorii a şi b

va fi dat de relaţia 2.17.

zzyyxx babababa ++=⋅ (2.18)

Se observă că:

1=⋅=⋅=⋅ kkjjii ; 0=⋅=⋅=⋅ ikkjji

Din aceasta definiţie rezultă o serie de proprietăţi: - produsul scalar este comutativ

baababab ⋅=⋅=−⋅=⋅ αα cos)cos( (2.19)

- pentru doi vectori a şi b diferiţi de zero condiţia de originalitate este:

0=⋅ba (2.20)


19

apr∆ α u

a

∆

Fig.2.4: Proiecţia unui vector pe o axa

α a

b

c

O

Fig.2.5: Reprezentarea produsului vectorial

b

h α

a O

c

- cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecţia unui vector a pe o axa ∆. Fiind dată o axa (∆) orientată de versorul u şi un vector a, proiecţia acestui vector şi versorul axei (fig.2.4):

uaaapr ⋅=⋅=∆ αcos (2.21)

- produsul scalar este distributiv

faţă de adunare

( ) cbcacba ⋅+⋅=⋅+ (2.22)

2.2.3. Produsul vectorial a doi vectori liberi a şi b .

Este prin definiţie un vector c normal pe planul definit de cei doi vectori a şi b , presupuşi aplicaţi în acelaşi punct O, având ca valoare numerică aria paralelogramului

construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel încât vectorii a ,b , c să formeze în această ordine un triedu drept (fig.2.5).

bac ×= ; αsin⋅⋅= bac (2.23)

Produsul vectorial este egal cu aria

paralelogramului determinat de cei doi vectori (fig.2.6).

babaAA

bahaA

trpar

tr

×=α⋅⋅==⇒

⇒α⋅⋅=⋅=

sin2

sin2

1

2

1

(2.24)

unde: Atr – reprezintă aria triunghiului determinat de cei doi vectori;

Apar – reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori

Dorel STOICA

20

În urma definiţiei produsul vectorial are următoarele proprietăţi: - produsul vectorial este anticomutativ adică:

abba ×−=× (2.25)

- dacă vectorii a şi b sunt diferiţi de zero, iar produsul lor vectorial este egal cu zero atunci cei doi vectori sunt coliniari

0≠a ; 0≠b şi 0=×ba (condiţia de coliniaritate) (2.26)

- produsul vectorial este distributiv faţă de adunare

( ) cbcacba ×+×=×+ (2.27)

Dacă vectorul a este definit prin componentele kajaiaa zyx ++= şi vectorul b este

definit prin componentele kbjbibb zyx ++= atunci produsul vectorial dintre vectorii a şi

b va fi dat de relaţia 2.19.

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bac =×= (2.28)

prin dezvoltarea acestuia, rezultând componentele pe cele trei axe ale vectorului c :

−=−=−=

xyyxz

zxxzy

yzzyx

babac

babac

babac

(2.29)

Se observă că:

0=⋅=⋅=⋅ kkjjii ; kji =⋅

2.2.4. Produsul mixt a trei vectori a , b şi c . Reprezintă mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector şi produsul

vectorial al celorlalţi doi.

( ) ( ) ( ) ( )acbbaccbacbacbaw ××=×⋅===×⋅= ,,,, (2.30)

Din punct de vedere geometric produsul mixt a trei vectori reprezintă volumul

paralelipipedului determinat de cei trei vectori (fig.2.7)


21

H

v

β

h α

a

b

c

O

Fig.2.7: Interpretarea geometrică a produsului mixt a trei vectori

( ) ( ) VHAavvavacbaw par =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=×⋅= ββ coscos (2.31)

unde V reprezintă volumul paralelipipedului. Expresia analitică a produsului mixt a trei vectori este dată de relaţia 2.32.

( )zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba =×⋅ (2.32)

2.2.5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi a , b şi c .

Este prin definiţie un vector d egal cu produsul vectorial dintre vectorul a şi produsul

vectorial ( )cb × . Vom scrie:

( )cbad ××= (2.33)

Din această definiţie rezultă că dublul produs vectorial este un vector situat în planul

vectorilor b şi c , existând relaţia:

( ) ( ) ( )cbabcacba ⋅−⋅=×× (2.34)

Fiind daţi trei vectori a , b şi c subzistă identitatea:

( ) ( ) ( ) 0=××+××+×× bacacbcba . (2.35)

Dorel STOICA

22

X

Z

Y

O α

γ

V

β

Fig. 2.8: Descompunerea unui vector după trei direcţii ortogonale

2.2.6. Descompunerea unui vector după trei direcţii. Notând cu α , β şi γ unghiurile pe care un vector V le face cu axele xO , yO şi zO (fig.

2.8) ale unui triedru ortogonal xyzO , proiecţiile sale sunt:

αcosVX = ; βcosVY = ; γcosVZ = . (2.36)

ceea ce permite scrierea vectorului V sub forma:

kZjYiXV ++= (2.37)

unde i , j şi k sunt versorii axelor xO , yO şi zO .

În baza teoremei proiecţiilor potrivit

căreia proiecţia pe o axă a rezultantei R a unui sistem de vectori liberi este egală cu suma proiecţiilor, rezultă pentru proiecţiile rezultantei pe axele xO , yO şi zO expresiile:

∑= iXX ; ∑= iYY ; ∑= iZZ (2.38)

unde iX , iY , iZ sânt proiecţiile pe aceste axe ale unui vector iV .

Modulul rezultantei va fi 222 ZYXR ++= , iar direcţia şi sensul ei vor fi date prin

cosinusurile directoare:

222cos

ZYX

X

++=α ,

222cos

ZYX

Y

++=β ,

222

cosZYX

Z

++=γ .

23

CAPITOLUL 3

3.1. STATICA PUNCTULUI

3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la legături Un punct material este liber atunci când poate ocupa orice poziţie în spaţiu, nefiind

stânjenit de nici o obligaţie geometrică. Poziţiile pe care le ocupă punctul material sânt determinate numai de forţele ce acţionează asupra lui. În general, poziţia punctului se defineşte prin trei parametrii scalari, independenţi între ei, spre exemplu coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare punctul material liber are trei grade de libertate.

În cazul în care un punct material este obligat, geometric să ocupe numai anumite poziţii în spaţiu se spune că este supus la legături. De exemplu punctul material poate fi obligat să rămână pe o suprafaţă, pe o curbă sau într-un punct fix în spaţiu.

Un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă are două grade de libertate, deoarece, aşa cum este cunoscut din geometria diferenţială, sânt necesari doi parametri pentru a-i defini poziţia: coordonatele sale curbilinii; un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur grad de libertate, iar un punct material obligat să rămână într-un punct fix din spaţiu nu are nici un grad de libertate.

3.1.2. Echilibrul punctului material liber Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material liber care se află în repaus (sau în

mişcare rectilinie şi uniformă) să rămână în aceeaşi stare mecanică sub acţiunea unui sistem

de forţe concurente, adică să fie în echilibru este ca rezultanta R a acestor forţe să fie nulă. Această condiţie rezultă din aplicarea principiilor inerţiei şi acţiunii forţei. Condiţia de

echilibru se scrie sub forma ecuaţiei vectoriale: 0=R (3.1)

Sub formă scalară, ecuaţiile de echilibru se scriu: - în spaţiu:

∑ = 0ixF ; ∑ = 0iyF ; ∑ = 0izF (3.2)

- în plan:

∑ = 0ixF ; ∑ = 0iyF (3.3)

Din punct de vedere grafic condiţia de echilibru impune condiţia că poligonul forţelor trebuie să se închidă. În problemele de echilibru punctului material de urmăresc două categorii de probleme şi anume:

a) se dau forţele care acţionează asupra punctului şi se cere poziţia acestuia; b) se dă poziţia punctului şi se cer forţele care îl acţionează.

Dorel STOICA

24

3.1.3. Probleme rezolvate Problema 3.1.

Punctul material M este acţionat de forţele: PF =1 , ( )

2

32

PF = , PFF 243 == ,

coplanare (fig. 3.1). Cunoscându-se unghiurile: °=α 601 şi °=α=α 4543 , se cere să se

determine rezultanta acestor forţe (modul şi direcţia).

Rezolvare Se cunoaşte că:

4321 FFFFR +++=

Considerând sistemul de referinţă din figură, proiecţiile

rezultatei sunt:

22

22

2

22

2

1

coscoscos 443311

4

1

PPPP

FFFFRi

ixx

=−+=

=α⋅−α⋅+α⋅==∑=

222

3

2

22

2

22

2

3

sinsinsin 2443311

4

1

PPPPP

FFFFFRi

iyy

−=−−−=

=−α⋅−α⋅−α⋅==∑=

Modulul rezultatei (fig. 3.1.a) este:

332

22 PRRR yx =+=

iar unghiul φ este:

°≅−==ϕ 8024arctgR

Rarctg

x

y

Fig. 3.1

Fig. 3.1.a


25

Problema 3.1.2.

Se consideră un punct material M solicitat de trei forţe: PF 21 = , 22 PF = , PF 23 = , ca

în figura 3.2. Să se determine o forţă 4F astfel încât rezultanta forţelor să fie nulă.

Rezolvare

Se consideră forţa cerută 4F de forma:

jFiFF yx 444 +=

unde xF4 , yF4 reprezintă proiecţiile pe axele Mx şi My

ale forţei cerute.

Proiecţiile forţelor 1F , 2F , 3F sunt:

iPF 21 = ,

jPiPjPiPF +−=°⋅+°⋅−= 45sin245cos22

jPiPjPiPF 360sin260cos23 −−=°⋅−°⋅−=

Punând condiţia ca rezultata celor patru forţe să fie nulă:

( )13

00

4

4

4321

4

11 −⋅=

=⇒=+++==∑

= PF

FFFFFFR

y

x

i

,

Deci,

( ) jPF 134 −⋅= şi ( )134 −⋅= PF

Problema 3.1.3. Punctul material M este acţionat de sistemul de forţe concurente din fig. 3.3 cu modulele

forţelor PFF 241 == , PF ⋅= 542 , 293 PF = , 1325 PF = . Poziţia în spaţiu a forţelor este

precizată cu ajutorul unui paralelipiped de muchii aMA 2= , aMB 3= , aMC 4= .

Să se determine rezultata R (modul şi direcţie). Rezolvare

Se cunosc modulele forţelor 1F , 2F , 3F , 4F , 5F şi

direcţiile lor MA , MH , ME , MB , MD . Se scriu vectorii

forţelor folosind versorii 1u , 2u , 3u , 4u , 5u .

( )iP

a

iaP

MA

MAPuFF ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= 2

2

222

2111 ,

( ) ( )kPiP

aa

kaiaP

MH

MHPuFF ⋅+⋅=

+

⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= 8442

425454

22222

Fig. 3.2

Fig. 3.3

Dorel STOICA

26

( ) ( ) ( )kPjPiP

aaa

kajaiaP

ME

MEPuFF

⋅+⋅+⋅=

=++

⋅+⋅+⋅⋅=⋅=⋅=

432

432

4322929

222333,

( )jP

a

jaP

MB

MBPuFF ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= 2

3

322

2444 ,

( ) ( )jPiP

aa

jaiaP

MD

MDPuFF ⋅+⋅=

+

⋅+⋅⋅=⋅=⋅= 6432

32132132

22555

Rezultanta este:

⇒++++==∑=

54321

5

11 FFFFFFR

i

kPjPiPR ⋅+⋅+⋅= 121112 , 409PR = .

Direcţia rezultantei este dată de cosinusurile directoare:

409

12cos ==α

R

Rx ;

409

11cos ==β

R

Ry ;

409

12cos ==γ

R

Rz

Problema 3.1.4. Un punct material M de greutate neglijabilă, este atras

în plan vertical de punctele ( )0,0A ; ( )0,aB şi

2

3,

2

aaC .

Forţele de atracţie sunt proporţionale cu distanţele de la M la A, B şi C, cu coeficienţii de proporţionalitate k1, k2, k3. Se cere să se afle poziţia de echilibru a lui M faţă de sistemul de referinţă dat.

Rezolvare

Se notează forţele de atracţie AF , BF , CF ,

corespunzătoare punctelor A, B, C şi se consideră punctul ( )yxM , cu x, y necunoscute.

Condiţia de echilibru este:

003

1

=++⇔=∑=

CBAi

i FFFF

Rezultă:

( )jyixkMAkFA −−=⋅= 11 ,

Fig. 3.4


27

'R

NR

R

∆

TR

N

TM

( )P

( )S

Fig. 3.5: Punct material aflat în echilibru

( )[ ]jyixakMBkFB −−=⋅= 22

−−

−=⋅= jya

ixa

kMCkFC 2

3

233

Coordonatele punctului M aflat în echilibru sunt:

( )( )321

32

2

2

kkk

kkax

+++= şi ( )213

3

2

3

kkk

aky

−−=

3.2. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI

3.2.1. Axioma legăturilor. Legăturile punctului material Se consideră un punct material aflat în echilibru pe o suprafaţă (S) şi acţionat de forţele

exterioare a căror rezultantă este R (fig. 3.5). Se observă că pentru acest punct nu se mai

poate scrie aceeaşi ecuaţie de echilibru ca pentru punctul material liber, adică 0=R . Aceasta este o urmare a existenţei

legăturilor, care exercită asupra punctului respectiv anumite constrângeri mecanice reprezentate prin forţa de legătură (reacţiunea). Pentru a rezolva problema punctului material supus la legături este necesar să se folosească axioma legăturilor.

În baza axiomei legăturilor orice legătură poate fi suprimată şi înlocuită cu elemente mecanice (forţe, momente) cores-punzătoare. Ca urmare corpul considerat este liber şi în consecinţă echilibrul său se studiază cu ecuaţiile stabilite pentru corpul liber.

În cazul punctului material, legătura se înlocuieşte cu reacţiune R′ . Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material supus la legături să fie în echilibru este ca rezultanta forţelor direct aplicate şi a forţei de legătură să fie nulă, adică:

0=′+ RR (3.4) Sau proiectat pe axe:

0=′+ xx RR ; 0=′+ xy RR ; 0=′+ zz RR (3.5)

Pe baza relaţiei (3.4) se observă că rezultanta Ra forţelor direct aplicate şi a forţelor de

legătură R′ trebuie să fie egale şi de semn contrar. Legăturile punctului sunt rezemarea pe o suprafaţă, rezemarea pe o curbă (în spaţiu şi în plan) şi prinderea cu fire, care poate fi considerată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sferă a cărei rază este tocmai lungimea firului respectiv.

Dorel STOICA

28

Legăturile punctului pot fi legături cu frecare (aspre) şi legături fără frecare (lucii, ideale). O legătură este cu frecare când suprafaţa sau curba de reazem aparţine unor corpuri reale şi ca urmare, printre alte proprietăţi, au la suprafaţă asperităţi care se opun mişcării punctului material, dând astfel naştere forţei de frecare.

O legătură este fără frecare când se presupune că suprafaţa sau curba sânt corpuri ideale, perfect lucioase şi ca urmare nu se poate naşte forţa de frecare. În realitate astfel de legături nu există, dar unele legături pot fi aproximate ca fiind lucii când forţa de frecare este mică şi neglijabilă.

3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături fără frecare Se înţelege prin legături fără frecare (ideale) legăturile pentru care 0=T . Asemenea legături nu există în realitate. Există însă şi suprafeţe la care forţa de frecare

este atât de mică, încât poate fi neglijată într-o primă aproximaţie. La aceste legături NR = , adică reacţiunea este normală. În cazul unei suprafeţe, reacţiunea are direcţia normalei la suprafaţă, iar în cazul unei curbe, ea are o direcţie oarecare în planul normal la curbă.

Condiţia de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală va fi:

0=+ NR (3.6) sau proiectată pe axe:

0=+ xx NR ; 0=+ yy NR ; 0=+ zz NR . (3.7)

Ţinând seama că în punctul curent parametrii directori ai normalei la o suprafaţă dată de ecuaţia:

( ) 0,, =zyxf (3.8)

sunt z

f

y

f

x

f

∂∂

∂∂

∂∂

,, , ecuaţiile (3.6) şi (3.7) se pot scrie:

0=

∂∂+

∂∂+

∂∂+ k

z

fj

y

fi

x

fR λ

0;0;0 =∂∂+=

∂∂+=

∂∂+

z

fR

y

fR

x

fR zyx λλλ (3.9)

În cazul unui punct material M rezemat pe o curbă (C) (fig. 3.6), raţionând în mod analog, apar forţele R şi R′ care în cazul echilibrului sunt egale şi opuse. Rezultanta R a forţelor direct aplicate se descompune în componenta tangenţială TR dirijată după tangenta

la curbă în M şi în componenta normală NR dirijată după dreapta ∆ ce rezultă din intersecţia

planului (π), normal la curba C în M cu planul determinat de tangenta în M la curbă şi forţa R .

Reacţiunea R′ se descompune după aceleaşi direcţii în reacţiunea normală N şi în forţa de

frecare T .


29

Ca şi în cazul punctului material rezemat pe o suprafaţă, forţa normală NR caută să se îndepărteze

punctul M de curbă şi este anihilată de reacţiunea normală N . Deci, pentru echilibrul aceste două forţe NR şi N , trebuie fie egale şi de sens opus.

În cazul unor legături fără frecare, forţa de frecare T nu poate să apară şi în consecinţă pentru echilibru în acest caz, este necesar ca 0=TR .

În cazul legăturii cu frecare forţele TR şi T

trebuie să fie egale şi de semn contrar. Pentru ca un punct material sub acţiunea unui sistem de forţe să rămână în echilibru pe o curbă fără frecare este necesar ca:

- rezultanta forţelor exterioare R să fie cuprinsă în planul normal la curbă în punctul respectiv;

- reacţiunea este o forţă N situată în acelaşi plan normal. Ecuaţia de echilibru se scrie:

0=+ NR (3.10)

Dacă curba este dată prin ecuaţiile:

( ) 0,,1 =zyxf ; ( ) 0,,2 =zyxf (3.11)

planul normal la curbă poate fi considerat ca fiind determinat de normalele la cele două

suprafeţe date prin ecuaţiile (3.11), luate fiecare separat. În acest caz ecuaţia (3.10) se scrie:

02222

1111 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+ k

z

fj

y

fi

x

fk

z

fj

y

fi

x

fR λλ

Proiectând pe axe se obţine sistemul:

=∂∂+

∂∂+

=∂∂+

∂∂+

=∂∂+

∂∂+

0

0

0

22

11

22

11

22

11

z

f

z

fR

y

f

y

fR

x

f

x

fR

z

y

x

λλ

λλ

λλ

(3.12)

Când curba este dată prin ecuaţiile parametrice:

)(txx = , )(tyy = , )(tzz = (3.13)

M

NR

∆

(π)

N 'R

T

R

TRtang

Fig.3.6: Punct material rezemat pe o curbă

Dorel STOICA

30

Condiţia de echilibru se exprimă cu relaţia de ortogonalitate dintre rezultanta forţelor

exterioare R (cuprinsă în planul normal) şi tangentă, ai cărei parametrii directori, sunt dt

dx,

dt

dy,

dt

dz, adică:

0=++dt

dzR

dt

dyR

dt

dxR zyx (3.14)

Cu ajutorul acestei relaţii se determină poziţia de echilibru. Problemele ce pot apare în studiul echilibrului punctului material supus la legături fără

frecare sunt redate centralizat în tabelul 3.1 din acre se vede că problemele sunt static determinate.

Necunoscute

Felul legăturii Referitoare la poziţie

Referitoare la reacţiune

Ecuaţii de echilibru

Rezemare pe o suprafaţă

2 (coordonatele u, v)

1 (scalarul reacţiunii)

3 ecuaţii

=

=

=

∑∑∑

0

0

0

z

y

x

F

F

F

Rezemare pe o curbă în spaţiu

1 (coordonata curbilinie s)

2 (scalarul şi direcţia reacţiunii sau 2 componente ale reacţiunii în planul normal

3 ecuaţii

=

=

=

∑∑∑

0

0

0

z

y

x

F

F

F

Rezemare pe o curbă în plan

1 (coordonata curbilinie s)

1 (scalarul reacţiunii)

2 ecuaţii

=

=

∑∑

0

0

y

x

F

F

Punct fix Niciuna

3 (proiecţiile reacţiunii pe trei direcţii în spaţiu

3 ecuaţii

=

=

=

∑∑∑

0

0

0

z

y

x

F

F

F


31

3.2.3. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare. Legile frecării uscate În cazul curbelor şi suprafeţelor aspre nu se poate neglija componenta tangenţială T a

reacţiunii R , aşa cum s-a procedat în cazul legăturilor ideale. Experienţa arată că modulul componentei tangenţiale T denumită forţă de frecare de

alunecare este limitat. Redusă la forma cea mai simplă, o asemenea experienţă se realizează astfel (fig.3.7,a): un

corp asimilabil cu un punct material de greutate G este aşezat pe un plan orizontal şi acţionat cu o forţă orizontală F , care poate varia continuu. Se constată că până la o anumită valoare

maxF a forţei orizontale corpul nu se pune în mişcare.

Aceasta dovedeşte că reacţiunea R′este înclinată cu unghiul α faţă de normală şi prin

urmare poate fi descompusă în două componente, reacţiunea normală N şi forţa T , numită forţă de frecare de alunecare (fig.3.7,b). Forţa de frecare de alunecare acţionează în planul tangent la suprafaţa de reazem şi se opune tendinţa de mişcare. În figura 3.7,c este prezentat cazul la limită

când forţele F şi T iau valori limită şi unghiul α capătă, de asemenea, valoarea limită ϕ , numit

unghi de frecare. Forţa de frecare poate varia între valorile zero şi cea limită maxT . Din figura 3.7 se poate scrie:

αtgNT =

şi la limită

ϕtgNT =max

şi cum ϕα ≤ se poate restrânge:

ϕtgNT = (3.15)

F

(α)

T

G

N 'R

(b) F

G

(a)

( )ϕ

maxT

G

maxF

N 'R

(c) Fig.3.7: Punct material supus la legături

Dorel STOICA

32

Dintre experienţele făcute asupra forţelor de frecare de alunecare se remarcă cele făcute de Coulomb, care au condus la legile frecării uscate şi anume:

1. valoarea forţei maxime de frecare nu depinde de mărimea suprafeţei în contact dintre cele două corpuri (în cazul experienţei, suprafaţa dintre corp şi planul orizontal) iar dacă se produce mişcarea, forţa de frecare nu depinde nici de viteza relativă;

2. valoarea forţei maxime de frecare depinde de natura corpurilor şi a suprafeţelor în contact (de exemplu gradul de prelucrare);

3. valoarea forţei maxime de frecare este proporţională cu modul N al reacţiunii

normale. Pe baza acestor legi, forţa de frecare de alunecare are expresia:

NT µ=max (3.16)

respectiv:

NT µ≤ (3.17)

unde µ este coeficientul de frecare de alunecare, care este o mărime adimensională ce depinde de natura şi starea suprafeţelor în contact.

Analizând relaţiile (3.15) şi (3.17) se observă că:

ϕµ tg= (3.18)

După Coulomb forţele de frecare îşi au originea în existenţa la suprafaţa corpurilor a

unor asperităţi care în cazul a două corpuri în contact se întrepătrund. Când unul dintre corpuri se pune în mişcare, aceste asperităţi sunt strivite, forţa de

frecare de alunecare fiind forţa care se opune acestor striviri. Extinzând domeniul experienţelor făcute de Coulomb se constată variaţia coeficientului

de frecare la alunecare µ, cu viteza, anume el scade odată cu creşterea vitezei. Valoarea coeficientului de frecare pentru corpurile în repaus (coeficientul de aderenţă µ0) este mai mare (fig.3.8) decât pentru cele în mişcare (coeficientul de frecare dinamic µ).

De asemenea, dacă N ia valori mari, mărimea forţei de frecare de alunecare T nu mai variază liniar cu mărimea reacţiunii N .

Dacă se reduc înălţimile asperităţilor, conform teoriei lui Coulomb, forţa de frecare de alunecare ar urma să scadă. În realitate forţa de frecare de alunecare la un moment dat creştere datorită intervenţiei altor fenomene, cum ar fi forţele de adeziune intermoleculare, care în acest caz devin importante.

Revenind la experienţa prezentată la începutul acestui paragraf se poate ajunge imediat la aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.

Considerând punctul rezemat pe o suprafaţă şi schimbând direcţia forţei F în planul tangent, reacţiunea R′ , respectiv rezultanta R , vor descrie în

acest caz un con, numit con de frecare, care are vârful în punctul considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafaţă şi unghiul la vârf 2ϕ (fig. 3.9).

µ0

µ

O v

Fig. 3.8: Variaţia coeficientului de frecare

la alunecare µ, cu viteza


33

Punctul material se găseşte în echilibru când reacţiunea R′se află în interiorul conului sau la limită pe mantaua acestui con. În cazul punctului material rezemat cu frecare (ca în cazul rezemării pe o suprafaţă), generatoarele extreme vor descrie conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig. 3.10) au ca axă de simetrie tangenta la curbă în punctul respectiv şi

unghiul la vârf

−ϕπ2

2 .

Punctul material se află în echilibru când reacţiunea R′ se găseşte în afara conurilor complementare de frecare, sau la limită pe mantaua acestora.

În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material, de obicei soluţia nu mai este unică, aşa ca în cazul echilibrului fără frecare şi se exprimă de obicei printr-o inegalitate.

În cazul punctului pe o suprafaţă, studiul analitic se face exprimând unghiul dintre rezultanta R şi un vector 1n coliniar cu versorul normalei n în punctul considerat. Suprafaţa

este dată prin ecuaţia 0),,( =zyxf . Astfel:

1

1cosnR

nR=α (3.19)

unde vectorul 1n este:

∂∂+

∂∂+

∂∂= k

z

fj

y

fi

x

fn 11 λ . (3.20)

Pentru simplificare putem alege 11 =λ .

Pentru echilibru este necesar ca ϕα ≤ , adică

ϕα coscos ≥ (3.21)

Dar

.1

1

1

1cos

22 µϕϕ

+=

+=

tg (3.22)

n

R′

ϕ ϕ

M

R

α

)(S

M

)(π

R′

R

)(C

β

ϕπ −2

ϕπ −2

Fig. 3.9: Con de frecare Fig. 3.10. Punct material rezemat pe o curbă.

Dorel STOICA

34

Deci rezultă condiţia de echilibru:

21

1

1

1

µ+≥

nR

nR

respectiv

2222222

1

1

µ+≥

∂∂+

∂∂+

∂∂++

∂∂+

∂∂+

∂∂

z

f

y

f

x

fRRR

z

fR

y

fR

x

fR

zyx

zyx

(3.23)

În cazul punctului pe o curbă a stabili o expresie analitică, se presupune curba dată prin

ecuaţiile parametrice: )(txx = , )(tyy = , )(tzz = (3.24)

Un vector 1u dirijat după tangentă are expresia:

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxu ++=1 (3.25)

Unghiul dintre rezultanta R şi vectorul 1u este dat de:

1

1cosuR

uR=β . (3.26)

Pentru echilibru s-a văzut că este necesar ca ϕπβ −≥2

, adică

−≤ ϕπβ2

coscos (3.27)

sau ϕβ sincos ≤ .

Dar

.11

sin22 µ

µϕ

ϕϕ+

=+

=tg

tg (3.28)

Deci condiţia de echilibru este:

21

1

1 µµ+

≥uR

uR

respectiv

2222222 1 µ

µ+

≤

+

+

++

++

dt

dz

dt

dy

dt

dxRRR

dt

dzR

dt

dyR

dt

dxR

zyx

zyx

. (3.29)


35

3.3. PROBLEME REZOLVATE Problema 3.3.1. Un punct material de greutate G poate aluneca fără frecare pe un cerc. Asupra punctului

acţionează forţa orizontală F (figura 3.11). Să se determine poziţia de echilibru a punctului şi reacţiunea cercului.

Rezolvare Se eliberează punctul material de legătura sa cu cercul şi

se introduce reacţiunea normală N . Se proiectează ecuaţia vectorială de echilibru.

0=++ NGF Pe axele de coordonate se obţin:

( )( ) 0sin0

0cos0

=−α⇒=

=α−⇒=

∑∑

GNF

NFF

y

x

de unde rezultă:

=α=α

GN

FN

sin

cos

Calculând raportul dintre cele două relaţii de mai sus, se

obţine: F

Gtg =α ; 22 FGN +=

Discuţie: � când ∞→F ; 0=αtg ; 0=α ;

� când 0=F ; ∞=αtg ; 2

π=α ;

� când GF = ; 1=αtg ; 4

π=α ;

Problema 3.3.2 O roată de rază R şi greutate G , se află în faţa unui prag

de înălţime h (figura 3.12). Să se determine înclinarea dată de unghiul α, pentru ca roata să treacă peste prag.

Rezolvare Se eliberează roata de legături, forţele care acţionează

asupra sa fiind: greutatea G , reacţiunile AN şi BN . În momentul în care roata începe să se rostogolească peste prag, reacţiunea BN este nulă. Se proiectează ecuaţia

vectorială de echilibru 0=+ GN A pe axele de coordonate: ( )( ) 0cossin0

0sincos0

=α−β⇒=

=α−β⇒=

∑∑

GNF

GNF

Ay

Ax

R

hR−=βsin

Se elimină AN între aceste două ecuaţii şi se obţine:

β−π≥α⇒

β−π=α⇒β=α22

tgtgctgtg

Fig. 3.11

Fig. 3.12

Dorel STOICA

36

Problema 3.3.3 Un punct M de greutate G , care se reazemă cu frecare

de coeficient μ pe o suprafaţă cilindrică, este prins prin intermediul unui fir ce se reazemă fără frecare, un corp de greutate P (figura 3.13). Poziţia de echilibru a punctului este dată de unghiul α.

Se cere să se determine valoarea lui P pentru echilibru.

Rezolvare:

Se izolează punctul M şi se scriu relaţiile de echilibru (figura 3.13.a):

( )( ) 0cos0

0sin0

=α−⇒=

=α+−⇒=

∑∑

QNF

QPTF

y

x

NT µ≤

Determinând pe T şi N din cele două ecuaţii şi înlocuind

în condiţia de frecare, rezultă: ( )αµα cossin +≤ QP

Luând în considerare ambele tendinţe de modificare a

echilibrului, se obţine: ( ) ( )αµ+α≤≤αµ−α cossincossin QPQ

Problema 3.3.4. Pe un cadru circular de rază R, dispus într-un plan

vertical se află un inel M de greutate G . De inel, prin intermediul a două fire, sunt prinse greutăţile P şi Q.

Firele trec peste doi scripeţi situaţi în centrul cercului, respectiv pe cerc (figura 3.14).

Să se determine unghiul θ pe care îl fac firele de legătură între ele pentru poziţia de echilibru a inelului.

Fig.3.13

Fig.3.13.a

Fig. 3.14


37

Rezolvare

Se eliberează inelul de legături (fig. 3.14.a), si notează cu N reacţiunea normală, iar cu

1S şi 2S tensiunile din fire:

PS =1 QS =2

Se scrie ecuaţia vectorială de echilibru:

021 =+++ NSSG Se proiectează această ecuaţie în sistemul de axe ales (tangenta şi normala la cerc);

( )( ) 02cossin0

02sincos0

2

21

=θ−θ⇒=

=−θ+θ+⇒=

∑∑

GSF

NGSSF

y

x

Ţinând cont că QS =2 şi θ−=θ 2sin212cos , din a doua ecuaţie se determină unghiul θ.

Se obţine astfel o ecuaţie de gradul al II-lea: 0sinsin2 2 =−θ+θ GQG

G

GQQ

4

8sin

22 +±−=θ⇒ ;

Deoarece 0sin90 >θ⇒°≤θ (în cadranul II). În acest caz, soluţia este:

G

GQQ

4

8sin

22 ++−=θ

G

QGQ

4

8arcsin

2 −+=θ

Problema 3.3.5. Un corp M de greutate G se reazemă cu frecare pe un plan ABCD înclinat faţă de planul

orizontal cu unghiul α, fiind prins cu un fir de punctul A al planului (fig. 3.15). Asupra corpului acţionează şi forţa Q, conţinută într-un plan paralel cu planul înclinat, forţă ce este orientată după linia de cea mai mare pantă a planului.

Să se determine valoarea minimă a forţei Q pentru echilibru, dacă coeficientul de frecare dintre planul înclinat şi corp este μ, iar unghiul pe care firul AM îl face cu latura AB a planului este β.

Fig. 3.14.a

Dorel STOICA

38

Rezolvare

Se eliberează punctul M de legături (fig.3.15 a şi fig.3.15.b) si se introduc următoarele notaţii:

N - reacţiunea planului înclinat, S - tensiunea din fir,

maxT - valoarea maximă a forţei de frecare

Se proiectează ecuaţia vectorială de echilibru: 0maxmin =++++ TQSNG pe axele de

coordonate, se obţine:

( )( )( ) 0cos0

0sinsincos0

0cossin0

max

maxmin

=β−⇒=

=α−β+β⇒=

=β+β−−⇒=

∑∑∑

GNF

GSTF

STQF

z

y

x

NT µ=max

Din ecuaţiile de mai sus se determină valorile

reacţiunii normale N, a tensiunii de fir S şi a forţei Qmin.

β−β=β

β−α=

α=

sincos

sin

cossin

cos

maxmin

max

TSQ

TGS

GN

Ţinând cont de valoarea reacţiunii normale şi de

condiţia de frecare, rezultă:

( )

βαµ−ββαµ−α=β

βαµ−α=

sincoscoscossin

sin

coscossin

min GctgGGQ

GGS

Fig. 3.15 Fig. 3.15.a

Fig.3.15.b


39

Problema 3.3.6 O sferă de greutate G este suspendată printr-

un fir de un punct situat pe linia de intersecţie a doi pereţi verticali, care formează un unghi de 90°, fiind rezemată pe aceştia (figura 3. 16). Să se determine tensiunea în fir şi reacţiunile celor doi pereţi, dacă firul face cu verticala unghiul α.

Rezolvare Se eliberează sfera de legături şi se notează cu

1N şi 2N reacţiunile celor doi pereţi, iar cu S

tensiunea din fir. De asemenea, se notează cu α= sin1 SS

proiecţia tensiunii în planul xOy (figura 3. 16.a). Se scrie ecuaţia vectorială de echilibru:

021 =+++ SNNG şi se proiectează această ecuaţie pe cele trei axe de coordonate:

( )( )( ) 0cos0

045sin0

045cos0

2

1

=−α⇒=

=°−⇒=

=°−⇒=

∑∑∑

GSF

SNF

SNF

z

y

x

=−α=°α−=°α−

⇒

0cos

045sinsin

045cossin

2

1

GS

SN

SN

Din primele două ecuaţii se determină valorile

reacţiunilor normale N1 şi N2.

α== sin2

221 SNN ,

iar din cea de a treia ecuaţie, valoarea tensiunii din fir S:

α=

cos

GS

În final, se obţine:

α== GtgNN2

221

Fig. 3.16

Fig. 3.16.a

Dorel STOICA

40

Problema 3.3.7 Pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de orizontală,

este rezemată o sferă M de greutate P. Bila este legată prin intermediul a două fire AM şi BM, care fac unghiul β cu planul vertical şi unghiul γ între ele (figura 3.17). Să se determine reacţiunea planului înclinat şi tensiunile în cele două fire.

Rezolvare

Se eliberează sfera de legături şi se notează cu

N reacţiunea planului înclinat, 1S şi 2S tensiunile din fire. Acestea se pot observa mai bine în proiecţiile din

figura 3.18. În acest caz, ecuaţia vectorială de echilibru a sferei se va scrie:

021 =+++ NSSP

Se proiectează ecuaţia vectorială pe cele trei axe:

( )

( ) ( )( ) ( ) 0sin90cos0

090sincos2

cos2

cos0

02

sin2

sin0

21

12

=β−β−α−°⇒=

=β−α−°−β+γ−γ−⇒=

=γ−γ⇒=

∑

∑

∑

PNF

NPSSF

SSF

z

y

x

De asemenea, rezultanta tensiunilor se poate scrie:

2

cos2 1

γSR=

Din ecuaţiile de proiecţie se obţine:

( )

β+αβ=

=

sin

sin

21

PN

SS

Tensiunile din fire vor fi:

( ) ( ) =

+−+

−== βαβα

ββγ cossin

sincos

2cos2

121

PPSS ( )

+−

βαββγ tg

P sincos

2cos2

Fig. 3.17

Fig. 3.18


41

Problema 3.3.8 Un inel M de greutate G, alunecă fără

frecare pe un cerc de rază r, fiind respins de extremitatea A a diametrului orizontal şi atras de extremitatea B a diametrului vertical, cu forţe proporţionale cu distanţele respective.

Să se determine poziţia de echilibru a punctului pe cerc şi reacţiunea cercului (fig.ura 3.19).

Rezolvare

Ecuaţia vectorială de echilibru este:

0=+++ NGFF BA Se obţin ecuaţiile de echilibru proiectate

pe axele sistemului de referinţă:

0cos24

cos2

cos =−

−+ ααπαGFF BA (a)

0sin24

sin2

sin =α−

α−π−α+ GFFN BA (b)

unde:

2

sin2α= krFA ,

α−π=24

sin2krFB (c)

Din relaţiile (a) şi (c) se deduce:

1−=αkr

Gtg (d)

Din relaţiile (b) şi (c) se deduce: ( ) α+α−= cossin krkrGN (e)

Din relaţia (d) se obţine:

( ) 222

sinrkkrG

krG

+−

−=α , ( ) 222

cosrkkrG

kr

+−=α

Reacţiunea normală N este: ( ) 222' rkkrGN ++−=

Fig. 3.19

Dorel STOICA

42

Problema 3.3.9 Inelul M de greutate G, alunecă cu frecare pe

o bară situată într-un plan înclinat cu unghiul α, care face cu dreapta de intersecţie a planelor înclinat şi orizontal unghiul β (figura 3.20). De inelul M este legat cu un fir care trece prin capătul A al barei, printr-un inel fără frecare. La capătul firului este o greutate Q. Se cere reacţiunea normală N şi valoarea coeficientului de frecare μ între inelul M şi bara AB, pentru echilibru.

Rezolvare

Se consideră planul înclinat care conţine bara AB şi se notează forţele care apar pe axele sistemului x1My1 (fig. 3.20.a).

Rezultă:

0sinsin;0 =β⋅α−−=∑ GFQF fxi (a)

0cossin;0 2 =β⋅α−=∑ GNFyi (b)

NT µ≤ (c)

Se realizează o secţiune verticală prin cele două planuri şi inelul M şi, alegând sistemul de referinţă x2My2 (fig. 3.20.b), se scriu ecuaţiile proiecţiilor de forţe pe sistemul ales:

0sinsinsin;0 =α−β−β=∑ GTQFxi (d)

0cos;0 1 =α−=∑ GNFyi (e)

unde:

22

21 NNN += (f)

Din (b), (e) şi (f) rezultă:

β⋅α+α= 222 cossincosGN

Din (a) şi (c) rezultă:

β⋅α+αµ≤β⋅α− 222 cossincossinsin GGQ

β⋅α+α

β⋅α−≥µ222 cossincos

sinsin

G

GQ

[ ]QGGQG

−β⋅αβ⋅α−⋅β⋅α+α

≥µ⇒ sinsin;sinsinmaxcossincos

1222

Fig. 3.20

Fig.3.20.a

Fig. 3.20.b


43

Problema 3.3.10

Pe semielipsa de ecuaţie 14 2

2

2

2

=+a

y

a

x

( )0≥y aflată într-un plan vertical,

alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acţionează o forţă orizontală F (figura 3.21). Să se determine valoarea forţei F şi reacţiunea normală N

pentru echilibru în cazul în care 3

ay = .

Rezolvare

Se scrie relaţia vectorială:

0=++ VFG unde:

jGG ⋅−= ,

iFF ⋅=

nN ⋅λ= se cunoaşte că:

( ) ( )j

y

yxfi

x

yxfn

,, ∂+∂= .

( ) 14

.2

2

2

2

−+=a

y

a

xyxf .

Rezultă:

+⋅= ja

yi

a

xN

22

2

2λ .

Înlocuind în relaţia vectorială, se obţine:

=λ+−

=λ+

02

02

2

2

a

yG

a

xF

Pentru 3

ay = din ecuaţia elipsei, rezultă: 2

3

4ax = . Înlocuind în relaţia anterioară, se

obţine:

y

aG

2

2

=λ .

Rezultă:

iGF ⋅−= 2 .

( )jiGjyix

y

GN +⋅=

⋅+⋅⋅= 3222

Fig. 3.21

Dorel STOICA

44

3.4. PROBLEME PROPUSE Problema 3.4.1 O sferă de greutate P se sprijină în punctele A şi

B pe două plane fixe, înclinate cu unghiurile α şi β faţă de orizontală. Să se determine reacţiunile în punctele A şi B (figura 3.22).

Răspuns:

( )β+αβ=

sin

sinPNA ;

( )β+αα=

sin

sinPNB

Problema 3.4.2 O bilă de greutate P se reazemă pe un plan

înclinat faţă de orizontală cu unghiul α. Bila este legată de punctul A printr-un fir inextensibil care face cu verticala unghiul β (figura 3.23).

Să se determine tensiunea în fir şi reacţiunea planului înclinat.

Răspuns:

( )β+αα=

sin

sinPS

( ) ( )βαβα

αα +⋅+

−= cossin

sincos

PPN

Problema 3.4.3 Inelul M, de greutate neglijabilă, alunecă fără

frecare pe semielipsa 13 2

2

2

2

=+a

y

a

x ( )0≥y , aflată într-un

plan vertical. De inelul M sunt prinse două fire care trec fără frecare prin inelele A şi B (AB aparţine semiaxei orizontale a elipsei) şi au la capete greutăţile P şi Q cunoscute (figura 3.24). Să se determine reacţiunea N a semielipsei asupra inelului în momentul în care ax = .

Răspuns:

( )jiQP

ja

yi

a

xQPN ⋅+

−=

+

−= 6

14

14

5

232

314

14

5

236

Fig. 3.22

Fig. 3.23

Fig. 3.24


45

Fig. 3.25

Problema 3.4.4 Printr-un inel M de greutate neglijabilă, care se

reazemă cu frecare de coeficient μ pe un cerc de rază r, sunt prinse două fire ce trec fără frecare prin două inele fixe A şi B (figura 3.25). La capetele firelor sunt legate două corpuri cu greutăţile G1 respectiv G2.

Să se determine raportul 2

1

G

G, astfel încât punctul M

să rămână în repaus în poziţia dată de unghiul θ, considerat cunoscut.

Răspuns:

Condiţia finală de echilibru este:

2sin

2cos

24sin

24cos

2sin

2cos

24sin

24cos

2

1

θµ−θ

θ−πµ−

θ−π

≤≤θµ+θ

θ−πµ−

θ−π

G

G

Problema 3.4.5

Pe semielipsa de ecuaţie 1

4 2

2

2

2

=+a

y

a

x

( )0≥y aflată într-un plan vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acţionează o forţă orizontală F (figura 3.26). Să se determine valoarea forţei F şi reacţiunea normală N pentru echilibru în cazul în care

3

ay =

.

Răspuns:

iGF ⋅−= 2 .

( )jiGjyix

y

GN +⋅=

⋅+⋅⋅= 3222

Fig. 3.26

47

CAPITOLUL 4

4.1. STATICA RIGIDULUI

4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forţei ce acţionează un rigid.

Un corp se numeşte rigid, dacă distanţa dintre două puncte oarecare ale corpului rămâne aceeaşi atunci când asupra lui acţionează un sistem de forţe finite, oricât de mari ar fi acestea.

Această condiţie nu se realizează niciodată, deoarece corpurile sunt deformabile. Materialele care intervin în structura corpurilor utilizate în tehnică (metal, lemn, piatră, etc.) sunt puţin deformabile, aşa încât într-o primă aproximaţie, deformaţiile lor pot fi neglijate, ajungând astfel la noţiunea de solid rigid sau rigid.

Se consideră un rigid acţionat în punctul A, de forţa F (fig.4.1a). În punctul B, situat pe

suportul forţei F , se introduc două forţe egale şi de sens contrar, F şi F− , ceea ce nu

schimbă efectul forţei F , aplicată în punctul A (fig.4.1b). Forţa F din A şi forţa F− din B îşi

anulează efectul, astfel că asupra rigidului acţionează numai forţa F aplicată în punctul B

(fig.4.1c). Rezultă că o forţă F poate fi deplasată pe propriul suport, fără ca efectul ei asupra rigidului să se modifice. Rezultă că vectorul forţă care acţionează asupra rigidului are proprietatea de vector alunecător.

.În cele ce urmează se vor da elemente de calcul algebric cu vectori alunecători. Acest calcul, care se deosebeşte de cel specific vectorilor liberi, se aplică nu numai forţelor ce acţionează asupra unui rigid, ci şi altor mărimi care pot fi reprezentate prin vectori alunecători. Un rol important în acest calcul joacă noţiunile de moment al unui vector în raport cu un punct şi de moment al unui vector în raport cu o axă.

A F

B

a

- F

A F

F

B

b

A

F

B

c

Fig.4.1: Caracter de vector alunecător

Dorel STOICA

48

4.1.2. Momentul unei forţe în raport cu un punct. Momentul unei forţe în raport cu un punct exprimă capacitatea forţei de a roti corpul

asupra căruia acţionează în jurul unei axe care trece prin acest punct şi este perpendiculară pe planul determinat de suportul forţei şi punctul respectiv (fig.4.2).

Prin definiţie, momentul unei forţe F în raport cu un punct O este produsul vectorial dintre vectorul de poziţie r , al punctului de aplicaţie A, al forţei şi forţa F .

FrFM O ×=)( (4.1)

Ţinând seama de proprietăţile

produsului vectorial, momentul )(FMO este un

vector aplicat în punctul O, perpendicular pe planul definit de vectorii r şi F , al cărui sens este dat de regula şurubului drept (sensul de înaintare al şurubului aşezat în punctul O pe suportul momentului OM , acţionat de o cheie

cu forţa F având ca braţ, vectorul de poziţie r ), iar modulul dat de relaţia:

),sin()( FrFrFMO = (4.2)

sau punând în evidenţă distanţa b, de la punctul O, la suportul forţei F , numit braţul forţei:

FbbFFMO ==)( (4.3)

Proprietăţi: 1. Momentul unei forţe în raport cu un punct este nul când

a) 0=F

b) 0=r c) vectorii r şi F sânt coliniari.

Exceptând cazul în care 0=F , celelalte două cazuri conduc la concluzia că momentul unei forţe în raport cu un punct este nul când suportul forţei trece prin acel punct.

2. Momentul unei forţe în raport cu un punct nu se modifică dacă forţa se deplasează pe

propriul suport. Considerând forţa F în două poziţii, A şi B (fig.4.3a) şi notând cu r , respectiv r ′ ,

vectorii de poziţie ai punctelor A şi B, momentul în raport cu punctul O al forţei F în cele două situaţii devine:

Fig.4.2: Momentul forţei în raport cu un punct


49

FrFABrFrFM

FrFM

BO

AO

×=×+=×′=

×=

)()(

)( (4.4)

întrucât 0=× FAB , vectorii AB şi F fiind coliniari. Momentul unei forţe în raport cu un punct este un vector legat, motiv pentru care se

modifică la schimbarea polului. Fie O şi O’, punctele în raport cu care se calculează momentul

forţei F (fig.4.3b).

FOOFMFOOFr

FrOOFrFM

FrFM

O

O

O

×′−=×′+×=

=×+′=×′=

×=

′

)(

)()(

)(

(4.5)

Întrucât punctul O reprezintă originea sistemului de axe, poziţia tuturor celorlalte

puncte se raportează la acest pol, motiv pentru care vectorul OOOO ′−=′ . Relaţia (4.5) exprimă legea de variaţie a momentului la schimbare polului.

Expresia analitică. Având expresiile analitice ale vectorului de poziţie r şi ale forţei F :

kFjFiFFkzjyixr zyx ++=++= ; (4.6)

rezultă expresia analitică a momentului forţei F în raport cu punctul O.

zyx

O

FFF

zyx

kji

FrFM =×=)( (4.7)

Proiecţiile momentului OM pe axele sistemului triortogonal Oxyz (momentul forţei F

în raport cu axele: Ox, Oy, Oz) sunt:

O

A

F

F

B

( )FM o

F ( )FMo

( )FM o'

O

A

r

O’

b a

Fig.4.3: Momentul forţei în raport cu un punct

Dorel STOICA

50

−=−=−=

xyz

zxy

yzx

yFxFM

xFzFM

zFyFM

(4.8)

La aceleaşi rezultate se poate ajunge scriind produsul vectorial Fr × sub formă matriceală, ca un produs între matricea antisimetrică [ ]r̂ asociată vectorului r şi matricea

coloană a vectorului F :

−−−

=

−−

−=

xy

zx

yz

z

y

x

z

y

x

yFxF

xFzF

zFyF

F

F

F

xy

xz

yz

M

M

M

0

0

0

(4.9)

sau sub formă restrânsă:

[ ] [ ] { }FrM ⋅= ˆ . (4.10)

4.1.3. Momentul unei forţe în raport cu o axă. Momentul unei forţe F în raport cu o axă este prin definiţie proiecţia pe această axă a

momentului forţei F calculat în raport cu un punct oarecare O de pe axă. Se consideră forţă F aplicată în A şi axa ∆ caracterizată prin versorul u . Alegând

punctul O1 pe axă (fig.4.4,a) se poate scrie

( ) FrFM O ×= 11 şi proiecţia sa pe axa ∆:

( ) ( ) ( )FruFMuFM O ×=⋅=∆ 11 (4.11) sau

( ) ( ) 11 cosαFMFM O=∆ .

F

( )FMo1

( )FMo2 A

O1

O2 ( )FM ∆

( )FM ∆

u O

∆

1α

2α 2r

1r

'F

A1

u

∆

(P)

A

F

1F 2F

O

a) b) Fig. 4.4: Momentul forţei în raport cu o axă


51

Se observă că ∆M se exprimă printr-un produs mixt, deci este un scalar. Alegerea

punctului de pe axă faţă de care se calculează momentul, este arbitrară. Pentru a demonstra asta se calculează ∆M , scriind momentul faţă de un alt punct O2:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )FruFruFOOuFrOOuFruFM ×=×+×=×+=×=∆ 11121122 (4.12)

deoarece, ( ) 012 =× FOOu , vectorii u şi 12OO fiind coliniari.

Din relaţia (4.11) care dă expresia lui ∆M sub forma unui produs mixt se observă că

momentul unei forţe în raport cu o axă sânt coplanare, adică concurente, paralele sau confundate.

O proprietate a momentului forţei în raport cu o axă este aceea că valoarea sa nu se schimbă când forţa se deplasează în lungul suportului ei. Se constată că momentul )(FMO

rămânând nemodificat şi proiecţia sa ∆M va fi neschimbată.

O alta definiţie este că momentul unei forţe în raport cu axa ∆ este egal cu scalarul

momentului proiecţiei 'F a forţei F pe un plan (P) perpendicular pe axa ∆, calculat în raport cu punctul O unde axa ∆ înţeapă planul (P).

Se ştie că:

( ) ( )FOAuFM ×=∆ (4.13)

Se descompune forţa F în componentele 1F şi 2F după normala AA1 (paralelă cu ∆) şi

după o direcţie paralelă cu proiecţia 'F (fig.4.4, b).

;21 FFF += ;1' FF = AAOAOA 11 += (4.14)

Înlocuind relaţia (4.14) în (4.13) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).'''

111

21112111

2111

FMFMuFOAuFOAu

FAAuFAAuFOAuFOAu

FFAAOAuFOAuFM

oo ±=⋅=×=×=

=×+×+×+×=

=+×+=×=∆

(4.15)

Se observă că: ( ) ( ) ( ) 0211121 =×=×=× FAAuFAAuFOAu sunt vectori coplanari.

În aplicaţii, pentru simplificare, planul normal pe axă se duce chiar prin punctul de aplicaţie al forţei.

4.1.4. Cupluri de forţe Unul din cele mai simple sisteme de forţe care acţionează asupra unui rigid îl

reprezintă cuplul de forţe. Cuplul de forţe reprezintă un sistem de două forţe egale şi de sens contrar care acţionează pe două suporturi paralele asupra aceluiaşi rigid (fig.4.5).

Un cuplu aplicat unui rigid caută să-l rotească în jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de suporturile celor două forţe.

Dorel STOICA

52

A F

F−

)(P

Fig.4.5: Cuplu de forţe

B

O

O

b

Br Ar

'Ar '

Br

M

M

Proprietăţi: - Proiecţia unui cuplu pe orice axă este nulă. Se deduce că rezultanta cuplului de forţe

este nulă. Considerând o axă de versor u , se poate scrie: 0)( =−⋅+⋅ FuFu (4.16)

- Efectul cuplului de forţe aplicat unui rigid se măsoară prin momentul cuplului.

FABFrrFrFrM ABBA ×=×−=×+−×= )()( (4.17)

- Momentul cuplului de forţe este un vector perpendicular pe planul forţelor care formează cuplul, sensul fiind dat de regula produsului vectorial (şurubului drept) iar mărimea este dată de produsul dintre forţă şi braţul cuplului (distanţa dintre forţele cuplului măsurată pe perpendiculara comună).

FbFABFABM == ),sin( (4.18)

- Momentul cuplului de forţe este un vector liber, întrucât rămâne neschimbat , indiferent de punctul faţă de care se stabileşte expresia sa. În raport cu un alt punct O’, expresia momentului devine:

MFABFrrFrFrM ABBA =×=×′−′=×′+−×′=′ )()( (4.19)

4.1.5. Caracterizarea unui vector alunecător.

Se cunoaşte că un vector liber poate fi definit cu ajutorul a trei mărimi scalare, de exemplu proiecţiile sale pe cele trei axe de coordonate carteziene. La un vector alunecător F este necesar în plus să se cunoască dreapta suport (∆) pe care se poate deplasa vectorul. Dacă se cunosc proiecţiile pe axe ale vectorului F , parametrii directori ai dreptei suport sânt cunoscuţi. Pentru determinarea unui vector alunecător, se utilizează de obicei 6 mărimi scalare:

- proiecţiile Fx, Fy, Fz pe axe ale vectorului F - proiecţiile Mx , My , Mz pe axe ale momentului ( )FMO al vectorului F în raport cu

originea O a sistemului de axe.


53

Deoarece, aşa cum s-a arătat, un vector alunecător poate fi caracterizat numai prin cinci mărimi scalare independente, rezultă că cele 6 mărimi scalare Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz nu sunt independente, între ele trebuind să existe o relaţie identic satisfăcută. Această relaţie se obţine imediat dacă se ţine seama că vectorii F şi ( )FMO sânt

perpendiculari, deci produsul lor scalar este nul, adică:

0≡⋅+⋅+⋅ zzyyxx MFMFMF (4.20)

Identitatea (4.20) se poate verifica şi direct înlocuind Mx , My , Mz cu expresiile (4.8) . Se obţine:

( ) ( ) ( ) 0≡−+−+− xyzzxyyzx yFxFFxFzFFzFyFF

4.1.6. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon). Fie un sistem de forţe concurente care acţionează asupra

unui rigid în punctul A, al cărui vector de poziţie în raport cu

punctul O este rOA= (fig.4.6). Rezultanta sistemului de forţe este:

nFFFR +++= ......21 (4.21)

Momentul acestor forţe în raport cu punctul O se obţine înmulţind vectorial cu r , relaţia (4.21):

nFrFrFrRr ×++×+×=× ......21 (4.22)

adică: )(.....)()()( 21 nOOOO FMFMFMRM +++= (4.23)

Relaţia (4.23) exprimă teorema momentelor sau teorema Varignon. Pentru un sistem de forţe care se reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu un punct este egal cu suma vectorială a momentelor forţelor componente, calculate în raport cu acelaşi punct. Pentru a calcula momentul aceloraşi forţe în raport cu o axă ∆, de versor u care trece prin O, se înmulţeşte scalar cu u , relaţia (4.22):

)(......)()()( 21 nFruFruFruRru ×++×+×=× (4.24)

sau: )(.....)()()( 21 nFMFMFMRM ∆∆∆∆ +++= (4.25)

Pentru un sistem de forţe care se reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu o axă este egal cu suma algebrică a momentelor forţelor componente, calculate în raport cu aceeaşi axă.

iF 1F 2F

R

nF r

u ∆

( )RMo

( )RM ∆

A

O

α

Fig.4.6: Sistem de forţe

concurente în punctul A

Dorel STOICA

54

4.1.7. Sisteme de forţe echivalente. Operaţii elementare de echivalenţă. Întrucât în continuare vor fi studiate sisteme de forţe care acţionează asupra rigidului,

se pune problema determinării efectului mecanic al acestora, exercitat asupra diferitelor puncte ale rigidului. Este util deci, să se înlocuiască sistemele de forţe oarecare date, cu sisteme de forţe mai simple, care să producă în orice punct acelaşi efect mecanic.

Două sisteme de forţe care acţionează asupra unui rigid şi produc în orice punct acelaşi efect mecanic se numesc sisteme echivalente.

Pentru realizarea unor sisteme de forţe echivalente dar mai simple se aplică forţelor o serie de operaţii, astfel ca sistemul de forţe dat să rămână echivalent cu el însuşi, numite operaţii elementare de echivalenţă.

forţă care acţionează asupra rigidului poate fi deplasată pe propriul suport; În sistemul de forţe se pot suprima sau introduce două forţe egale şi direct opuse; Mai multe forţe concurente pot fi înlocuite prin rezultanta lor sau o forţă poate fi

înlocuită prin componentele sale.

4.1.8. Reducerea unei forţe aplicată într-un punct al unui rigid.

Se consideră un rigid acţionat de o forţă F în punctul A, al Se consideră un rigid acţionat de o forţă F în punctul A, al cărui vector de poziţie în raport cu un punct O este r (fig.4.7).

A reduce această forţă într-un punct oarecare O, înseamnă a determina efectul mecanic exercitat în O, de forţa F , aplicată în A.

Având în vedere operaţiile elementare de echivalenţă, se introduc în O, forţele F şi F− . Forţele, F din A şi F− din O formează un cuplu, al cărui moment este:

FrMO ×= (4.26)

Forţa F şi cuplul de forţe reprezentat prin momentul OM se numesc elemente de

reducere în O ale forţei date. Ansamblul celor două elemente mecanice alcătuiesc torsorul de reducere în O al forţei F aplicată în A şi se notează:

×= FrM

F

OOτ (4.27)

Schimbând punctul de reducere în O’, torsorul îşi modifică numai momentul a cărei variaţie la schimbarea polului este dată de relaţia (4.5).

×′−=′′

FOOMM

F

OO

Oτ (4.28)

r

F

F F−

OM

O

A

Fig.4.7: Tosor de reducere


55

4.1.9. Reducerea unui sistem de forţe aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variaţia torsorului cu punctul de reducere. Invarianţi.

Se consideră un rigid acţionat în punctele A1, A2,……, An, de forţele 1F , 2F ,….., nF ,

(fig.4.8,a). Un punct oarecare Ai, raportat la polul O este definit de vectorul de poziţie ir . A

calcula efectul mecanic produs în O de acţiunea simultană a forţelor din sistemul dat înseamnă a reduce pe rând toate forţele sistemului, obţinând în O, două sisteme de vectori concurenţi:

sistemul de forţe 1F , 2F ,….., nF , a cărui rezultantă este

∑=+++= in FFFFR .....21 (4.29)

sistemul de cupluri 1M , 2M ,….., nM , al cărui moment rezultant este

∑ ∑ ×==+++= iiinO FrMMMMM .....21 (4.30)

Forţa rezultantă R şi momentul

rezultant OM formează un sistem

echivalent cu sistemul de forţe dat, aplicat rigidului, numit torsorul de reducere în punctul O.

×==

∑

∑

iiO

iO

FrM

FRτ (4.31)

Dacă se face reducerea

sistemului de forţe dat într-un alt

punct O′ procedând la fel se obţine torsorul de reducere:

( )

×′=′=′++′+′==+++=

∑∑

∑

′′

iiinO

inO

FrMMMMM

FFFFR

.....

.....

21

21τ (4.32)

Expresia momentului faţă de punctul O′ este:

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

×′−=×′+×=

=×+×′=×+′=×′=′

ROOMFOOFr

FrFOOFrOOFrM

Oiii

iiiiiiiO )( (4.33)

β

O’

O

R

R

OM

OM ′

α

O

1F

iF

nF

A1

Ai

An

O’

1r ′

ir ′

nr ′

1r

ir

nr

a

b

Fig.4.8: Variaţia torsorului cu punctul de reducere

Dorel STOICA

56

Torsorul în punctul O’ în funcţie de elementele torsorului în punctul O este:

×′−=

=

′′

∑

ROOMM

FR

OO

iOτ (4.34)

Se deduce că în raport cu puncte diferite de reducere, rezultanta rămâne aceiaşi, adică

forţa rezultantă este un invariant al sistemului de reducere într-un punct al unui sistem de forţe. De asemenea se observă că momentul rezultant se modifică cu schimbarea punctului de

reducere. Efectuând produsul scalar OMR ′⋅ , numit trinom invariant şi având în vedere că

produsul mixt 0)( =×′⋅ ROOR , fiind produs mixt cu vectori coplanari, obţinem:

OOO MRROOMRMR ⋅=×′−⋅=⋅ ′ )( (4.35)

Din relaţia (4.35) se vede că trinomul invariant OMR ⋅ este al doilea invariant al

operaţiei de reducere. Forma analitică a trinomului invariant OMR ⋅ este:

zzyyxxO MRMRMRMR ++=⋅ (4.36)

Proiecţia momentului rezultant OM pe direcţia rezultantei R este:

222zyx

zzyyxxOROR

RRR

MRMRMR

R

RMuMM

++

++==⋅= (4.37)

Proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei RM fiind raportul a două mărimi

invariante OMR ⋅ şi R este în consecinţă tot o mărime invariantă a operaţiei de reducere

(fig.4.8,b). Adică:

β=α= ′ coscos OOR MMM (4.38)

Conform relaţiilor (4.35) şi (4.37), trinomul invariant şi proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei nu sunt două mărimi invariante independente. La reducerea într-un

punct a unui sistem de forţe există doi invarianţi, R şi OMR ⋅ .

Vectorul RM , coliniar cu rezultanta R se va scrie:

R

R

R

MRuMM O

RRR

⋅=⋅= (4.39)


57

4.1.10. Torsorul minimal. Axa centrală.

Făcând reducerea sistemului de forţe, în diferite puncte ale rigidului, torsorul de reducere este diferit datorită modificării momentului rezultant.

Se descompune momentul rezultant OM , în două componente: RM , după direcţia

rezultantei R şi NM , după o direcţie situată într-un plan normal la direcţia rezultantei

(intersecţia dintre planul normal la rezultanta R şi planul definit de vectorii R şi OM ):

NRO MMM += (4.40)

Cum componenta RM este invariantă, înseamnă că modificările momentului OM se

datoresc componentei NM , care în funcţie de punctul de reducere poate lua orice valoare şi

orice poziţie în planul normal pe rezultanta R . Rezultă că proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei este valoarea minimă pe care o poate lua momentul când se face reducerea sistemului de forţe în diferite puncte.

minMM R = (4.41)

Torsorul format din rezultanta R şi momentul minim, minM se numeşte torsor minim.

⋅=

= ∑

R

R

R

MRM

FR

O

i

minminτ (4.42)

În cazul torsorului minim, rezultanta R şi momentul minim minM sunt vectori

coliniari. Locul geometric al punctelor în care torsorul are valoare minimă, adică momentul este

minim se numeşte axă centrală. Fie un punct curent P(x, y, z), de pe axa centrală (fig.4.9), momentul în acest punct,

conform legii de variaţie a momentului la schimbarea polului este:

Fig.4.9 Momentul unui punct la schimbarea polului

Dorel STOICA

58

[ ] [ ] [ ]kyRxRMjxRzRMizRyRM

RRR

zyx

kji

kMjMiMROPMM

xyzzxyyzx

zyx

zyxOP

)()()( −−+−−+−−=

=−++=×−= (4.43)

Condiţia de coliniaritate a vectorilor PM şi R este:

RM P λ= sau:

)( kRjRiRkMjMiM zyxPzPyPx ++=++ λ (4.44)

Rezultă:

z

Pz

y

Py

x

Px

R

M

R

M

R

M ===λ (4.45)

Înlocuind valorile din relaţia (4.43) în (4.45) se obţine ecuaţia axei centrale care reprezintă ecuaţia unei drepte în spaţiu:

z

xyz

y

zxy

x

yzx

R

yRxRM

R

xRzRM

R

zRyRM )()()( −−=

−−=

−− (4.46)

4.1.11. Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare Sisteme echivalente.

În baza proprietăţilor de reducere ale unui sistem de forţe, aplicat unui rigid se pot stabili patru cazuri posibile de reducere ale sistemului, la cel mai simplu sistem echivalent

� Cazul 1: 0=R ; 0=OM .Torsorul sistemului de forţe este nul. Sistemul dat este

echivalent cu un sistem de forţe în echilibru şi în consecinţă un rigid acţionat de un astfel de sistem de forţe este în echilibru.

� Cazul 2: 0=R ; 0≠OM .. Torsorul sistemului de forţe este alcătuit din momentul

rezultant OM . Sistemul de forţe dat este echivalent cu un cuplu de forţe care

acţionează într-un plan perpendicular pe OM .

� Cazul 3: 0R ≠ ; 0=OM .Torsorul sistemului de forţe este constituit din forţa

rezultantă R . Sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică R , aplicată în O.

� Cazul 4: 0R ≠ ; 0M O ≠ .Ambele elemente ale torsorului sunt diferite de zero.

o Subcazul 4a: 0=⋅ OMR . Cei doi vectori sunt ortogonali. Sistemul de forţe

este echivalent cu o forţă unică R , suportul acesteia fiind axa centrală şi momentul minim minM având valoarea nulă.

o Subcazul 4b: 0≠⋅ OMR . Cei doi vectori formează un unghi 2/π≠α . Sistemul

de forţe este echivalent cu un torsor minim pe axa centrală, adică o forţă R şi un moment minim minM . Un astfel de sistem are tendinţa de a imprima

corpului o mişcare elicoidală în jurul axei centrale.


59

4.2. REDUCEREA SISTEMELOR PARTICULARE DE FORŢE

4.2.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente Un sistem de forţe care acţionează asupra unui rigid constituie un sistem de forţe

concurente, dacă suporturile lor sunt concurente într-un punct. Fie un sistem de forţe iF , aplicate unui rigid în punctele Ai, (i = 1, 2, …, n), având

suporturile concurente în punctul O (fig.4.10). Forţele iF fiind vectori alunecători se pot deplasa pe propriile suporturi, astfel ca

punctele Ai să coincidă cu punctul O. Torsorul în punctul O al acestui sistem de forţe este:

== ∑

0O

iO

M

FRτ (4.47)

Torsorul minim este constituit din rezultanta

R iar axa centrală va deveni suportul ∆, al rezultantei.

Sunt posibile două cazuri de reducere: � Cazul 1: 0=R ; 0=OM . Sistemul de forţe

este echivalent cu un sistem de forţe în echilibru.

Cazul 2: 0≠R ; 0=OM . Sistemul de forţe este

echivalent cu o forţă unică R ,aplicată în O.

4.2.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare Se numesc forţe coplanare, forţele ale căror suporturi sunt situate în acelaşi plan [P].

Reducând sistemul de forţe într-un punct O, situat în planul [P] se obţine torsorul sistemului în acest punct, compus din forţa rezultantă R şi momentul rezultant OM , perpendicular pe

planul forţelor (momentul rezultant OM , reprezintă suma vectorială a momentelor forţelor

din sistem, calculate în raport cu punctul O şi care sunt prin definiţie, perpendiculare pe planul forţelor). Trinomul invariant este 0=⋅ OMR .

Pentru sistemele de forţe coplanare există următoarele cazuri de reducere: � Cazul 1: 0=R ; 0=OM . Sistemul de forţe este echivalent cu un sistem de forţe în

echilibru.

O

An

A2

1F iF

R

nF

Fig.4.10: Sistem de forţe concurente

Dorel STOICA

60

� Cazul 2: 0=R ; 0≠OM . Sistemul de forţe dat este echivalent cu un cuplu de forţe

de moment OM perpendicular pe planul forţelor.

� Cazul 3: 0≠R ; 0=OM . Sistemul de forţe

este echivalent cu o forţă unică R , aplicată pe axa centrală care trece prin O.

� Cazul 4: 0≠R ; 0≠OM ; 0=⋅ OMR .

Sistemul de forţe este echivalent cu o forţă

unică R , aplicată pe axa centrală. Pentru studiul analitic al sistemului de forţe

coplanar (fig.4.11) se consideră ca plan al forţelor, planul Oxy, de ecuaţie, z = 0. Forţele iF şi vectorii de

poziţie ir , ai punctelor de aplicaţie Ai, ale forţelor au

expresiile:

jyixrjFiFF iiiiyixi +=+= ; (4.48)

==−==×=

+=+==

∑∑ ∑

∑ ∑ ∑

kMkMkFyFx

FF

yx

kji

FrM

jRiRjFiFFR

Ozixiiyi

iyix

iiiiO

yxiyixi

O)(

0

0τ (4.49)

Pentru cazul 4 de reducere 0≠R ; 0≠OM ; 0=⋅ OMR , axa centrală se obţine din

ecuaţia generală a acesteia (4.45), termenii ecuaţiei fiind daţi de relaţia (4.49).

0

)(00 xyO

yx

yRxRM

RR

−−== (4.50)

sau:

xyO yRxRM −= (4.51)

4.2.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele Sistemul de forţe iF , (i = 1, 2, …,n) ale căror suporturi sunt paralele cu o direcţie

comună, de versor u , formează un sistem de forţe paralele (fig.4.12). O forţă iF din sistem poate fi scrisă în funcţie de versorul u , astfel:

uFF ii = (4.52)

unde Fi este o mărime algebrică, pozitivă sau negativă, după cum forţa este orientată în

acelaşi sens sau în sens contrar, versorului u .

Fig. 4.11: Sistem de forţe coplanar


61

Rezultanta sistemului este:

uFuFFR iii )(∑∑ ∑ === (4.53)

Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrică a scalarilor forţelor. Momentul rezultant în punctul O este:

∑∑ ∑ ×=×=×= urFuFrFrM iiiiiiO )()( (4.54)

Trinomul invariant are expresia:

[ ][ ] 0)()( =×=⋅ ∑∑ urFuFMR iiiO (4.55)

datorită coliniarităţii a doi termeni din produsul mixt.

Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe paralele sunt:

� Cazul 1: 0=R ; 0=OM . Sistemul de forţe

este echivalent cu un sistem de forţe în echilibru.

� Cazul 2: 0=R ; 0≠OM . Sistemul dat este

echivalent cu un cuplu de forţe de moment

OM perpendicular pe direcţia forţelor.

� Cazul 3: 0≠R ;. 0=OM Sistemul de forţe

este echivalent cu o forţă unică R , aplicată în O.

� Cazul 4: 0≠R ; 0≠OM ; 0=⋅ OMR .

Sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică R , aplicată pe axa centrală.

Axa centrală. Centrul forţelor paralele. Axa centrală reprezintă locul geometric al punctelor unde momentul este nul, întrucât 0=⋅ OMR .

Pentru determinarea axei centrale se utilizează relaţia (4.43) care exprimă momentul într-

un punct curent P, situat pe această axă şi unde rOP= este vectorul de poziţie al punctul P.

0=×−= ROPMM OP (4.56)

Înlocuind pe R şi OM cu expresiile date de relaţiile (4.53) şi (4.54), obţinem:

∑ ∑ =×−× 0)()( uFrurF iii (4.57)

sau schimbând poziţia factorului scalar în al doilea produs vectorial rezultă:

∑ ∑ =×−× 0)()( urFurF iii

0)( =×−∑ ∑ urFrF iii (4.58)

Produsul vectorial fiind nul, cei doi vectori sunt coliniari.

0)( =×−∑ ∑ urFrF iii (4.59)

Fig. 4.12: Sistem de forţe paralele

Dorel STOICA

62

Vectorul de poziţie al punctului curent P, de pe axa centrală este:

uFF

rFr

ii

ii

∑∑

∑ −= 'λ (4.60)

notând: λλ =∑ iF

', rezultă:

uF

rFr

i

ii λ−=∑

∑ (4.61)

Relaţia (4.61) reprezintă ecuaţia vectorială a axei centrale (fig.4.12) care este o dreaptă paralelă cu direcţia comună a sistemului de forţe, dată de versorul u şi care trece printr-un punct fix C, numit centrul forţelor paralele.

Vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele este:

∑

∑=i

iiC F

rFr (4.52)

Coordonatele centrului forţelor paralele C sunt:

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ===i

iiC

i

iiC

i

iiC F

zFz

F

yFy

F

xFx ;; (4.63)

Proprietăţile centrului forţelor paralele.

1. Dacă toate forţele sunt rotite în acelaşi sens, cu acelaşi unghi, axa centrală se va roti în acelaşi sens şi cu acelaşi unghi, trecând în permanenţă prin punctul C, întrucât vectorul Cr nu depinde de versorul direcţiei comune.

2. Poziţia centrului forţelor paralele nu se schimbă dacă toate forţele se multiplică sau demultiplică în acelaşi raport k.

Înlocuind forţele iF cu iFk obţinem: Ci

ii

i

iiC r

Fk

rFk

kF

rkFr ===

∑

∑

∑

∑'

3. Centrul forţelor paralele nu depinde de sistemul de referinţă, fiind o caracteristică intrinsecă a sistemului de forţe.

Fie noua origine a sistemului, O’şi OrOO =' . Vectorii de poziţie ai punctelor de aplicaţie

ale forţelor în raport cu noua origine pot fi scrişi sub forma: iOi rr'r += . Vectorul de poziţie

al centrului forţelor paralele raportat la noul sistem va fi:

COi

ii

i

iO

i

iOi

i

iiC rr

F

rF

F

Fr

F

rrF

F

rFr +=+=

+==

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ )(''

adică vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele s-a modificat la fel ca pentru

oricare punct Ai, deci poziţia centrului C faţă de punctele Ai nu s-a schimbat. 4. Vectorii forţă sunt vectori legaţi, caz în care centrul forţelor paralele are o existenţă

intrinsecă, poziţia acestuia fiind funcţie de poziţia punctelor de aplicaţie şi scalarii forţelor. Dacă forţele sunt considerate vectori alunecători, punctul C nu mai are semnificaţie.


63

4.2.4. Reducerea forţelor paralele, distribuite Forţele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptă AB, situat pe axa Ax, de

lungime l sunt distribuite după o lege de variaţie, p = p(x) (fig.4.13). Se urmăreşte determinarea rezultantei, R şi poziţia centrului forţelor paralele, xC.

Notăm prin p(x), forţa pe unitatea de lungime la distanţa x, de capătul A, măsurată în N/m. Mărimea rezultantei R se obţine prin integrarea pe lungimea x, a forţei elementare, dR, creată de forţa distribuită p(x) considerată constantă pe elementul infinitezimal dx.

∫∫ ==l

AB dxxpdRR0

)( (4.64)

Poziţia corespunzătoare a centrului forţelor paralele distribuite C este definită prin abscisa xC, a cărei expresie este:

∫

∫

∫

∫ ==l

l

AB

ABC

dxxp

xdxxp

dR

xdRx

0

0

)(

)( (4.65)

Mărimea rezultantei R este aria câmpului de distribuţie al forţei iar suportul acesteia trece prin centrul de greutate C al suprafeţei.

În funcţie de legea de variaţie a forţelor distribuite vor fi tratate următoarele cazuri:

Forţă distribuită uniform. Forţa se distribuie constant pe lungimea barei (fig.4.14), legea de variaţie fiind:

p(x) = p = ct. (4.66)

plpxpdxRll

=== ∫ 00

(4.67)

2

2

0

0

2

0

0 l

x

x

pdx

pxdxx

l

l

l

l

C ===∫

∫ (4.68)

O sarcină distribuită uniform este echivalentă cu

o sarcină concentrată R = pl, aplicată la mijlocul porţiunii încărcate.

Forţă distribuită triunghiular. Valoarea maximă a forţei distribuite este p (fig.4.15) iar legea de variaţie pe lungimea barei, dată de funcţia:

l

xp)x(p = (4.69)

Fig.4.13 Forţe paralele

Fig. 4.14 Forţă uniform distribuită

Fig.4.15: Forţă distribuită triunghiular

Dorel STOICA

64

220

2

0

pl

l

pxdx

l

xpR

ll

=== ∫ (4.70)

3

2

2

3

0

2

0

3

0

0 l

x

x

dxl

xp

xdxl

xp

xl

l

l

l

C ===∫

∫ (4.71)

O sarcină distribuită triunghiular este echivalentă cu o forţă de mărime 2

plR = , aplicată

la distanţa lxC 3

2= , de capătul A.

Forţă distribuită parabolic. Valoarea maximă a forţei distribuite este p (fig.4.16), legea de variaţie pe lungimea barei fiind dată de:

2

2

)(l

xpxp = (4.72)

33

02

3

02

2 pl

l

pxdx

l

xpR

ll

=== ∫ (4.73)

4

3

3

4

0

3

0

4

02

20

2

2

l

x

x

dxl

xp

xdxl

xp

xl

l

l

l

C ===∫

∫ (4.74)

O sarcină distribuită parabolic este echivalentă cu o sarcină concentrată de mărime,

3

plR = , aplicată la o distanţă lxC 4

3= , de capătul A.

Fig. 4.16: Forţă distribuită parabolic


65

4.3. PROBLEME REZOLVATE Problema 4.3.1 Se consideră un cub rigid de muchie

a, asupra căruia acţionează forţele 1F , 2F ,

3F şi 4F de module PFF == 31 ,

242 PFF == ca în figura 4.17. Să se

reducă sistemul de forţe în O şi să se reprezinte torsorul. Să se determine momentul minim şi să se arate cu ce este echivalent sistemul de forţe; să se scrie ecuaţiile ariei centrale; să se calculeze torsorul într-un punct oarecare al axei centrale.

Rezolvare

Proiecţiile pe axe ale forţelor şi momentelor în raport cu axele de coordonate sunt date într-un tabel de forma:

Fix Fiy Fiz Mox Moy Moz

F1 0 0 P 0 0 0 F2 -P 0 P 0 -aP 0 F3 0 0 P Pa -Pa 0 F4 P 0 P Pa 0 -Pa

∑ Oiij MF ; 0 0 4P 2Pa -2Pa -Pa

kPOE

OEFFPF ==⇒= 111

kPiPa

kaiaP

AE

AEFF +−=+−=⋅=

2222

( ) ( ) ( ) kaiakzzjyyixxAE AEAEAE +−=−+++−=

( ) ( ) ( ) 2222 azzyyxxAE AEAEAE =−+−+−=

kPBG

BGFFPF ==⇒= 333

kPiPa

kaiaP

CG

CGFFPF +=+==⇒=

222 444

( ) 0

00

00011110 ==×=×=P

kji

FOOFrFM

Fig. 4.17.

Dorel STOICA

66

( ) jaP

PP

a

kji

FOEFrFM ⋅−=−

=×=×=0

0022220

( ) jPaiaP

P

aaa

kji

FOGFrFM −==×=×=00

33330

( ) kPaiPa

PP

a

kji

FOCFrFM ⋅−⋅==×=×=0

0044440

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=σ

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

kMjMiMM

kFjFiFR

iziyix

iziyix

00

⋅−⋅−⋅=

⋅=σ

kPajPaiPaM

kPR

22

4

00

≠

≠σ

0

0

00

M

R

În acest caz putem vorbi de echivalenţă pe axa centrală. Pe axa centrală vom avea: 00 ≠⋅ MR

04 20 ≠−=⋅ aPMR

torsorul minimal pe axa centrală:

⋅⋅==R

R

R

MRM

R

0min

minσ

kPaP

kPPa

R

RMM ⋅−=−==

4

4minmin

Torsorul minimal este format din R care este un invariant al sistemului şi minM .

⋅−=

⋅=σ

kPaM

kPR

minmin

4

Ecuaţiile axei centrale:

z

xyz

y

zxy

x

yzx

R

yRxRM

R

xRzRM

R

zRyRM +−=

+−=

+− 000 ,

unde M0x, Moy, Moz sunt proiecţiile momentelor pe axe, xR , yR , zR reprezintă proiecţiile

rezultantei pe axe şi x, y, z sunt coordonatele unui punct mobil care descriu axa centrală.

P

PaPxPazPyPa

40

42

0

042 −−+−=⋅+⋅−

2

ax = ;

2

ay =


67

Problema 4.3.2 Se consideră un cub rigid de muchie a,

asupra căruia acţionează un sistem de forţe, pentru care se cunosc modulul forţelor

PF 21 = ; 32 PF = ; 21

PaM = . (figura

4.18). Se cere să se determine torsorul de

reducere în punctul O, să se arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală şi să se determine ecuaţiile axei centrale.

Rezolvare Proiecţiile pe axe ale forţelor şi

momentelor în raport cu axele de coordonate, sunt reprezentate într-un tabel de forma:

Fix Fiy Fiz M0x Moy Moz

F1 2P 0 0 0 2Pa -2Pa

F2 -P -P P Pa -Pa 0 M1 0 0 0 Pa 0 -Pa

∑ P -P P 2Pa Pa -3Pa

iPa

iaP

GD

GDFF 2211 ===

( ) ( ) ( )kzzjyyixxGD GDGDGD −+−+−=

( ) ( ) ( )222GDGDGD zzyyxxGD −+−+−=

( ) ( ) ( ) iakaajaaioaGD =−+−+−=

aaGD == 2

kPjPiPa

kajaiaP

BF

BFFF +−−=+−−==

3322

kajaiaBF +−−=

( ) ( ) ( ) 3222 aaaaBF =+−+−=

( ) kPajPa

P

aa

kji

FOGFrFM 22

002

011110 −==×=×=

Figura 4.18

Dorel STOICA

68

( ) jPaiPa

PPP

a

kji

FOFFrFM −=−−

=×=×= 0022220

kPaiPaaa

kaiaPa

AF

AFMM ⋅−⋅=

+

−==2211 2

⋅−⋅+⋅=

+−=σ

kPajPaiPaM

kPjPiPR

320

0

r

Torsorul este format dintr-o rezultantă şi un moment.

Dacă 00 =⋅ MR , rezultă că pe axa centrală vom avea numai rezultantă (avem forţă unică).

Dacă 00 ≠⋅ MR , rezultă că pe axa centrală vom avea torsorul minimal, şi anume:

⋅⋅⋅=R

R

R

MRM

R

0min

minσ

aPaPaPaPMR 22220 232 −=−−=⋅

cum 00 ≠⋅ MR , rezultă că pe axa centrală avem torsor minimal.

Torsorul minimal este format din R şi minM :

kPa

jPa

iPa

P

kPjPiPPa

R

R

R

MRM

32

32

32

33

20min −+−=−−⋅−=⋅⋅⋅=

Ecuaţiile axei centrale:

z

xyz

y

zxy

x

yzx

R

yRxRM

R

xRzRM

R

zRyRM +−=

+−=

+− 000 ,

unde M0x, Moy, Moz sunt proiecţiile momentelor pe axe, xR , yR , zR reprezintă proiecţiile

rezultantei pe axe şi x, y, z sunt coordonatele unui punct mobil care descriu axa centrală.

P

PyPxPa

P

PxPzPa

P

PzPyPa −+=−

+−=−− 32

xPzPaPzPyPaP 2222222 +−=++−

xzazya +−=++− 2

=−−−=−++−025

023

xzya

xzya


69

Problema 4.3.3 Se dă un cub rigid de muchie l, acţionat de

sistemul de forţe paralele din figura 4.19.

Modulele forţelor sunt: PFF == 21 ;

PFFF 2543 ===

Se cere să se determine: a) torsorul de reducere în O; b) suportul rezultantei; c)

considerând sistemul de forţe ca vectori legaţi cu originile în punctele indicate pe figură, să se determine centrul forţelor paralele.

Rezolvare

a) Componentele torsorului de reducere în O sunt date de tabelul următor:

Torsorul în O are componentele:

−==

=

jPliPlM

kPR

22

4

0

0

r

σ

b) Suportul rezultantei se poate obţine cu formula generală a axei centrale sau cu teorema lui Varignon. Expresia ei este:

P

PxPlPyPl

4

0

0

42

0

42 =+−=−

De aici, ecuaţiile axei centrale se pot pune sub forma: 2

1=x ; 2

1=y .

c) Centrul forţelor paralele are următoarele coordonate, date de expresiile:

2

l

F

xF

i

ii ==ξ∑∑ ;

2

l

F

yF

i

ii ==η∑∑ ;

4

3l

F

zF

i

ii ==ζ∑∑

Problema 4.3.4 Se consideră un paralelipiped (figura 4.20) având dimensiunile aOA 5= ;

aOB 3= ; aOC 4= asupra căruia acţionează forţele 1F , 2F , 3F şi 4F de module PFF 1021 == ;

PF 2103= si 2 doua cupluri de forte de module PaM =1 ; PaM 21 = .

Să se reducă sistemul de forţe în O şi E. Să se determine momentul minim şi să se arate cu ce este echivalent sistemul de forţe; să se scrie ecuaţiile ariei centrale.

Zi Mix Miy

F1 -P 0 Pl F2 -P -Pl 0 F3 2P 2Pl -Pl F4 2P Pl -Pl F5 2P 0 -Pl

∑ 4P 2Pl -

2Pl

Fig. 4.19

Dorel STOICA

70

Rezolvare:

iPOA

OAFF 1011 =⋅=

kPjPaa

kajaP

CB

CBFF 86

169

4310

2222 −=+

−=⋅=

( )

kPjPiPaaa

kajaiaP

DC

DCFF 8610

16925

435210

22233 ++−=++

+−−=⋅=

( ) 0

0010

005110 ==×=P

a

kji

FOAFM

( ) iPa

PP

a

kji

FOBFM 24

860

030220 −=−

=×=

( ) jPaiPa

PPP

a

kji

FOCFM 4024

8610

400330 +=−−

=×=

−−=

==

kPajPaiPaM

R

402

0

00τ

=−−−−=×−=

=

=τ

000

435402

0

0 aaa

kji

kPajPaiPaROEMM

R

EE

kPajPaiPa −−−= 402

Cazul de reducere:

⇒=⋅ 00MR sistemul este echivalent cu un cuplu de forte. Axa centrală nu are sens fizic, deoarece rezultanta sistemului de forţe este nulă.

ii MF ; Fix Fiy Fiz Mx Mz Mz

F1 10P 0 0 0 0 0 F2 0 6P -8P -24Pa 0 0 F3 -10P -6P 8P 24Pa -40Pa 0 M1 - - - 0 0 -Pa M2 - - - -2Pa 0 0

∑ 0 0 0 -2Pa -40Pa -Pa Fig.4.20.


71

Problema 4.3.5 Se consideră o prismă triunghiulară, avânt

dimensiunile laturilor: OA=2a; OB=3a; OC=4a, asupra căruia acţionează un sistem de forţe,

pentru care se cunosc modulul forţelor PF 51 = ;

292 PF = ; PF =3 ; PaM 6= . (figura 4.21).

Se cere să se determine torsorul de reducere în punctul O si punctul A, să se arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală şi să se determine ecuaţiile axei centrale.

Rezolvare

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

kPjPzzyyxx

kzzjyyixxF

BC

BCFuFF

BCBCBC

BCBCBC 4322211111 +−=

−+−+−

−+−+−===

kPjPiPDA

DAFuFF 4322222 −−===

iPCE

CEFuFF === 3333

( ) iPa

PP

a

kji

FOCFM 12

430

400110 =−

=×=

( ) kPajPa

PPP

aa

kji

FODFM 68

432

430220 −=−−

=×=

( ) jPa

P

aa

kji

FOEFM 4

00

402330 ===×=

it MF ; Fix Fiy Fiz Mx Mz Mz

F1 0 -3P 4P 12Pa 0 0 F2 2P -3P -4P 0 8Pa -6Pa F3 P 0 0 0 4Pa 0 M - - - 0 0 6Pa

∑ 3P -6P 0 12Pa 12Pa 0

Fig. 4.21

Dorel STOICA

72

+=

−==

jPaiPaM

jPiPR

1212

63

0

0τ ;

aPMRTkPajPaiPaROAMM

jPiPR

A

A2

0

0

6612122

63−=⋅=⇒

−+=⋅−=

−==τ

aPMRTkPa

PP

a

kji

ROA A26612

063

002 −=⋅=⇒−=−

=×

Cazul de reducere: torsor minimal.

( ) ( )aPMRT

jPiPjPiPP

aPR

R

MRM

2min

2

2

2

0min

66

25

2263

45

66

−=⋅=⇒

⇒−−=−−=⋅=

( )

−−=

−==

jPaiPaM

jPiPR

25

22

63

minminτ

⇒+−

=+−

=+−

z

xyOz

y

zxOy

x

yzOx

R

yRxRM

R

xRzRM

R

zRyRM

⇒−=

−−=−

⇒0

36

2

4

3

62 yxzaza

=⇒−==⇒=

−=⇒=⋅=⇒

−=−=+

⇒

21

00

21

;15

16

312412

02

yx

yx

yx

azzaaz

yx

4.4. PROBLEME PROPUSE Problema 4.4.1 Pe un cub rigid de muchie a, (figura 4.22),

acţionează un sistem de forţe, ale căror module sunt:

2654321 PFFFFFF ====== . Se cere sa se

determine: a) Torsorul în originea O; b) Cu ce este echivalent sistemul de forţe şi cupluri; c) Ecuaţiile axei centrale;

Fig. 4.22


73

Problema 4.4.2 Piramida din figura 4.23, are baza un pătrat de

latură a şi înălţimea de 3a, iar mărimile forţelor

sunt: PFFFF ==== 3421 ; 1065 PFF == .

Se cer: cât este σ0, echivalenţa şi ecuaţia axei centrale.

Problema 4.4.3 Se consideră sistemul de forţe aplicate

paralelipipedului rigid din figura 4.24, unde: aOCOA == ; aOO 21 = , iar forţele sunt:

21 PF = ; 62 PF = ; 21 PlM = . Se cer:

a) Torsorul în originea O; b) Cu ce este echivalent sistemul de forţe şi

cupluri; c) Ecuaţiile axei centrale; d) Torsorul de reducere în punctele A1, B1, C1, O1. Problema 4.4.4 Se dă sistemul de forţe aplicate paralelipipedului

rigid din figura 4.25, unde: aOA= ; aOC 3= ;

aOO 31 = , iar forţele sunt: PF 21 = ; 232 PF = ;

20143 PF = ; PaM 61 = .

Se cer: a) Torsorul în originea O; b) Cu ce este echivalent sistemul de forţe şi

cupluri; c) Ecuaţiile axei centrale; d) Torsorul de reducere în punctul A şi C.

Fig.4.23

Fig. 4.24

Fig. 4.25

Dorel STOICA

74

4.5. CENTRE DE GREUTATE (CENTRE DE MASĂ) La suprafaţa Pământului, corpurile sunt supuse atracţiei acestuia. Asupra unui corp de

masă m se exercita o forţă, proporţională cu masa corpului, numită greutate.

gmG = (4.75)

unde g , este acceleraţia terestră şi reprezintă rezultanta dintre acceleraţia

gravitaţională (datorită forţei de atracţie gravitaţională) şi acceleraţia de transport (datorită mişcării de rotaţie a Pământului).

Valoarea acceleraţiei terestre g , variază cu latitudinea şi altitudinea, dar aceste variaţii

sunt relativ mici, în calcule luându-se valoarea medie g = 9,81 m/s2. Ţinând seama, de raportul dintre dimensiunile corpurilor uzuale şi ale Pământului se

poate considera că greutăţile corpurilor sunt forţe îndreptate după verticala locului, deci paralele între ele. Din acest motiv, problema reprezintă un caz particular al forţelor paralele, putându-se utiliza rezultatele stabilite la acest capitol.

4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale Fie un sistem de puncte materiale Ai de mase mi şi vectori de poziţie ir , (i = 1, 2, …,n), în

raport cu originea O a sistemului de axe. Greutatea sistemului este:

∑ ∑ ∑ ==== MgmggmGG iii . (4.76)

şi este aplicată într-un punct definit ca centrul de

greutate al sistemului, care este centrul forţelor paralele

de greutate iG (fig.4.26).

Vectorul de poziţie al centrului de greutate C, conform relaţiei (4.52) este:

∑

∑=i

iiC G

rGr (4.77)

Înlocuind relaţia (4.76) în (4.77) obţinem:

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ===i

ii

i

ii

i

iiC m

rm

gm

rgm

G

rGr (4.78)

ceea ce demonstrează faptul că centrul de greutate C este un element geometric,

depinzând de modul de distribuire a maselor din punctele Ai, fapt care justifică denumirea de centrul de masă.

Fig. 4.26: Centrul forţelor paralele


75

Proiecţiile pe axe ale vectorului Cr sunt coordonatele centrului de masă:

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ===i

iiC

i

iiC

i

iiC m

zmz

m

ymy

m

xmx ;; (4.79)

Expresiile ∑ ii xm , ∑ ii ym , ∑ ii zm se numesc momente statice ale sistemului faţă de

planele Oyz, respectiv Oxz, Oxy, iar expresia ∑ ii rm , reprezintă momentul static al

sistemului faţă de punctul O. Aceste mărimi dau posibilitatea de a caracteriza modul de distribuire a masei unui

sistem de puncte materiale. Din relaţiile (4.78) şi (4.79) rezultă:

∑ = Cii rMrm ; ∑ = Cii Mxxm ; ∑ = Cii Myym ; ∑ = Cii Mzzm (4.80)

care reprezintă teorema momentului static, adică momentul static al unui sistem de

puncte materiale în raport cu un punct este egal cu masa sistemului înmulţită cu vectorul de poziţie al centrului de greutate în raport cu acel punct, respectiv momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan de referinţă este egal cu masa sistemului înmulţită cu distanţa de la centrul său de greutate la acel plan.

4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor În mecanică corpurile rigide se admit că sunt un continuu material nedeformabil, adică

orice punct al corpului (la scară macroscopică) are masă, iar distanţele dintre puncte rămân nemodificate, indiferent de efortul la care este supus corpul. Pentru a stabili o legătură cu rezultatele obţinute în cazul sistemelor de n puncte materiale, se consideră corpul divizat în volume elementare iV∆ , care au masa im∆ . Vectorul de poziţie al centrului de greutate,

conform relaţiei (4.78) este:

∑

∑

∆∆=

i

iiC m

mrr (4.81)

Trecând la limită, când 0→∆ im şi ∞→n , atunci sumele din relaţia (4.81) devin

intergrale definite pe domeniul ocupat de corp. Acest domeniu se notează cu (D) în cazul general, iar în cazul barelor, plăcilor şi al blocurilor, respectiv cu (l ), (S) şi (V). Astfel se obţin:

( )( )∫

∫=

D

D ic dm

dmrr ;

( )( )∫

∫=

D

D i

dm

dmxξ ;

( )( )∫

∫=

D

D i

dm

dmyη ;

( )( )∫

∫=

D

D i

dm

dmzζ (4.82)

În relaţia (4.83) ir , ix , iy , iz reprezintă vectorul de poziţie, respectiv coordonatele

centrului de greutate al elementului de masă dm luat în calcul.

Dorel STOICA

76

Expresiile ∫ )(D dmx , ∫ )(D ydm, ∫ )(D dmz reprezintă momentele statice ale corpurile în

raport cu planele Oyz, Oxz, Oxy, iar ∫ )(D dmr reprezintă momentul static în raport cu punctul O.

Din relaţiile (4.82) se deduce teorema momentului static în cazul corpurilor.

cD rMdmr =∫ )( ; ξMdmxD =∫ )( ; ηMdmyD =∫ )( ; ∫ =)(D Mdmz ζ (4.83)

care se enunţă în mod analog ca şi în cazul sistemelor de puncte materiale. Pentru studiul centrului de greutate al corpului este necesar să se introducă noţiunea de

densitate medie (masă volumică medie), care se defineşte:

i

imed V

m

∆∆=ρ (4.84)

Trecând la limită, când 0→∆ iV se obţine densitatea (masa volumică)

dV

dm=ρ (4.84)

În mecanică, corpurile împărţindu-se în bare (linii materiale), plăci (suprafeţe materiale) şi blocuri (volume materiale) se definesc ca în tabelul de mai jos:

Corp Densitate Densitate medie

Bare ds

dml =ρ

s

mmedl ∆

∆=ρ

Plăci dA

dmA =ρ

dA

dmmedA =ρ

Blocuri dV

dm=ρ V

mmed ∆

∆=ρ

În cazul corpurilor omogene şi izotrope densitatea este constantă, adică const=ρ .

În cazul corpurilor neomogene, densitatea este variabilă

),,( zyxρρ = (4.85)

Ţinând seama de relaţiile (4.82) – (4.85) se obţine: � pentru bare omogene

( )

( )∫

∫=l

l

ds

dsrrc , (4.86)

respectiv:

( )

( )∫

∫=l

l

ds

dsxξ ,

( )

( )∫

∫=l

l

ds

dsyη ,

( )

( )∫

∫=l

l

ds

dszζ ; (4.87)


77

� pentru plăci omogene:

( )( )∫

∫=

s

sc dA

dArr , (4.88)

respectiv:

( )

( )∫

∫=s

s

dA

dAxξ ,

( )

( )∫

∫=s

s

dA

dAyη ,

( )

( )∫

∫=s

s

dA

dAzζ ; (4.89)

� pentru blocuri omogene

( )

( )∫

∫=V

Vc dV

dVrr , (4.90)

respectiv:

( )

( )∫

∫=V

V

dV

dVxξ ,

( )

( )∫

∫=V

V

dV

dVyη ,

( )

( )∫

∫=V

V

dV

dVzζ ; (4.91)

Din formulele (4.86) ... (4.91) se deduce că pentru corpurile omogene, centrul de

greutate are un caracter geometric. Pentru corpurile neomogene, se poate scrie:

( )( )( )( )∫

∫=D

Dc dVzyx

dVrzyxr

,,

,,

ρρ

(4.92)

respectiv:

( )( )( )( )∫

∫=D

D

dVzyx

dVxzyx

,,

,,

ρρ

ξ , ( )( )( )( )∫

∫=D

D

dVzyx

ydVzyx

,,

,,

ρρ

η , ( )( )( )( )∫

∫=D

D

dVzyx

dVzzyx

,,

,,

ρρ

ζ . (4.93)

Dintre proprietăţile centrului de greutate se amintesc: � poziţia centrului de greutate nu depinde de sistemul de axe ales, la fel ca şi centrul

forţelor paralele, fiind deci un punct intrinsec al sistemului; � când corpul admite un plan de simetrie (geometric şi masic) atunci centrul de

greutate se găseşte în acest plan.

Dorel STOICA

78

4.5.3. Teoremele Pappus - Guldin Teorema 1. Aria suprafeţei generată prin rotirea completă a arcului de curbă în jurul

unei axe din planul său, pe care nu o intersectează este egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă şi lungimea cercului descris de centrul de greutate al curbei.

Elementul de arc MM’ = dl generează prin rotaţie, o suprafaţă conică având generatoarea dl şi raza medie y (fig.4.27, a).

ydldA π2= (4.94)

Prin integrare rezultă aria:

lyydlydlA Cll πππ 222 )()( === ∫∫ (4.95)

întrucât, conform teoremei momentelor statice,

lyydl Cl =∫ )( (4.96)

Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a suprafeţei în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează este egal cu produsul dintre aria suprafeţei respective şi lungimea cercului descris de centrul de greutate al suprafeţei.

Volumul elementar dV care rezultă prin rotirea completă a elementului de suprafaţă dA poate fi considerat ca diferenţa volumelor a doi cilindri elementari de înălţime dx şi raze (y+dy), respectiv y (fig.4.27, b).

dAydxdydxydxdyydV ππππ 22)( 22 =≈≈−+= (4.97)

Termenul 0)( 2 ≈dxdyπ , având în produs un infinit mic de ordin superior.

Volumul total este:

AyydAydAdVV CAAA πππ 222 )()()( ∫∫∫ ===== (4.98)

întrucât, conform teoremei momentelor statice,

AyydA CA =∫ )( (4.99)

y

B

x

y

A

dl’ M

M ’

l

a)

b)

Fig.4.27. Teoremele Pappus - Guldin


79

4.6. CENTRE DE MASĂ PENTRU CORPURI UZUALE 1. Arc de cerc Se consideră arcul de rază R definit la centrul cercului de unghiul 2α, (fig.4.28).

α

α

θ

θθξ α

α

α

α sincos

R

Rd

RdR

dl

xdl=

⋅==

∫

∫

∫

∫+

−

+

− ,

.=

,cos=

θθ

Rddl

Rx

Distanţa de la centrul cercului la centrul de

masă, pe bisectoare este:

α

αsinROC = . (4.100)

2. Sector de cerc Se consideră sectorul de cerc de rază R, delimitat la centru de unghiul 2α, (fig.4.29)

αα

θ

θθ

θ

θθξ α

α

α

α

3

cos2cos

cos

0

0

2

R

drdr

ddrr

drrd

drrdr

dA

xdAR

R

==⋅

⋅⋅==

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

∫∫

+

−

+

− ,

unde: drrddA θ= ; dA- element de arie. Distanţa de la centrul cercului până la centrul de

masă, pe direcţia bisectoarei, se calculează în funcţie de jumătate din unghiul la centru:

ααcos

3

2 ROC = . (4.101)

dl

θ dθ

α α

A

B

O x

y

x

Fig.4.28

x

dA

dr dθ

θ

α

r

y

O

x

Fig.4.29

Dorel STOICA

80

x y

z

O

O’

O’’

A

A’

dz

z

h r

R

Fig.4.30

3. Con

Se consideră un con circular drept, omogen, de înălţimea h (fig.4.30). La o distanţă considerată z de vârf construim un element de volum definit de 2 secţiuni paralele cu baza la distanţa dz între ele şi care poate fi aproximat cu un cilindru de rază r. Centrul de masă se află pe axa 0z, care este şi axă de simetrie. Se ţine

cont de proporţionalitatea h

z

R

r= de unde

zh

Rr = şi deci 2

2

2

= zh

RdV π . Cota ζ a

centrului maselor va fi:

∫∫

∫∫ ==

dzr

dzrz

dv

zdy

2

2

π

πζ . (4.102)

Centrul maselor unui con se află pe axa lui de simetrie la o distanţă de h4

3 de vârf şi

4

h

de bază. 4. Semisfera Se consideră un element de volum între două secţiuni paralele cu baza la distanţa dz şi

înălţime z, (fig.4.31). Acesta poate fi aproximat cu un cilindru de volum dzrdV 2= π , unde r se

exprimă în funcţie de R , 222 zRr −= . Centrul de masă se află pe axa de simetrie (axa 0z).

( )

( ) 8

3

0

22

0

22

R

dzzR

dzrRz

dv

zdvR

R

=−

−==

∫

∫

∫∫

π

πζ . (4.103)

Rezultă 8

3=

Rζ de bază.

x

y

z

z O

O’

dz r

R

Fig.4.31


81

4.7. PROBLEME REZOLVATE Problema 4.7.1 Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.32 Rezolvare:

Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.32 în domenii simplu conexe.

Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.32.a) se calculează poziţia centrului de

masă pe axa de simetrie a domeniului.

ππ

π

αα l

lR

OC2

2

2sin

sin1 === .

Se calculează centrul maselor cu

formulele:

πξ

+==

∑∑

6

22l

l

xl

i

ii ,

πη

+==

∑∑

6

7l

l

yl

i

ii .

Corp li xi yi lixi liyi

B C

lπ

0

πl2

0

2l2

C D

4l

3l

0

12l2

0

E

D

2l

5l

l

10l2

5l2

∑ ( )π+6l - - 22l2 7l2

x

y

O

B C

E

D 2l

4l

l

Fig.4.32

x

y

O

Fig.4.32.a

C l C1

B

Dorel STOICA

82

Problema 4.7.2 Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.33.

Rezolvare:

Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.33 în domenii simplu conexe. Se calculează centrul maselor cu formulele:

∑∑=

i

ii

l

xlξ ,

∑∑=

i

ii

l

ylη .


A

B

10l

2

l

2

3l

2

102l

2

103 2l

B C 4l

3l

0

12l2

0

E

D

3l

5l

2

3l

215l 2

9 2l

∑

( )107+l

_

_

+

2

10272l ( )1039

2

2

+l

( )10214

1054

++==

∑∑ l

l

xl

i

iiξ ,

10214

)103(3

++

==∑∑ l

l

yl

i

iiη .

x

y

O

3l

l 4l

A

B C

D

Fig.4.33


83

y

O x

A

B C

D E

a

a

a

Fig.4.34

Problema 4.7.3 Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul

de bare din figura 4.34

Rezolvare:


Se calculează centrul maselor cu formulele:

∑∑=

i

ii

l

xlξ ,

∑∑=

i

ii

l

ylη .

Pentru domeniul simplu conex AC (vezi fig.4.34.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

πππ

π

αα 22

4

2

2

4

4sin

sin1

aaa

RBC ====


A

C 2

aπ

πa2

πa

a2+ 2a 2

2

2a

a +π

B C

a 2

a a

2

2a 2a

C D

a a 2

a 2a

2

2a

D

E

2a 2

3a

2

a

2

23 2a

2

22a

∑ )

2+2+2(

πa - - ( )235

2

2

+a ( )π+2+5

2

2a

( )π

ξ++

+==∑∑

224

235a

l

xl

i

ii,

ππη

++++

==∑∑

224

)25(a

l

yl

i

ii.

x

y

C

A

C1

B

a

Fig.4.34.a

Dorel STOICA

84

Problema 4.7.4 Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.35

Rezolvare:

Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.35 în domenii simplu conexe. Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.35.a) se calculează poziţia centrului de

masă pe axa de simetrie a domeniului.

πππ

π

αα 22

4

2

2

4

4sin

sin1

aaa

ROC ==== .


B

A

2l 2

l− 2

l− 2

22l− 2

22l−

2

lπ

πl2−

πl2

-l2 l2

C D

l 2

l l

2

2l l2

D E

l l 2

l l2

2

2l

∑

++2

22π

l - - ( )212

2

−l ( )25

2

2

−l

x

y x

O

l

l l

A

B

C D

E

Fig.4.35

C

y

O B x

C1 l

Fig.4.35.a

B C


85


( )π

ξ++

−==∑∑

224

21l

l

xl

i

ii,

( )π

η++

−==∑∑

224

25l

l

yl

i

ii.

Problema 4.7.5 Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de

bare din figura 4.36

Rezolvare:


Pentru domeniul simplu conex CD (vezi fig.4.36.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

πππ

π

αα 26

4

2

23

4

4sin3

sin1

aaa

ROC ==== .

Corp li xi yi zi lixi liyi lizi

A

B

3a 1,5a 4a 0 25,4 a 212a 0

C B

4a 3a 2a 0 212a 28a 0

D

C

aπ5,1 πa6

0 πa6

a8 0 2a9

D

A 5a 0 2a 1,5a 0 210a 25,7 a

∑ ( )π5,112+a - - - 25,24 a 230a 16,5a2

x

y

z

O A

B C

D

4a

3a

3a

Fig.4.36

D

z

O C x

C1 3a

Fig.4.36.a

Dorel STOICA

86


πξ

5,112

5,24

+==

∑∑ a

l

xl

i

ii,

πη

5,112

30

+==

∑∑ a

l

yl

i

ii,

πζ

5,112

5,16

+==

∑∑ a

l

zl

i

ii.

Problema 4.7.6 Să se determine poziţia centrului maselor pentru

sistemul de bare din figura 4.37 Rezolvare:


Pentru domeniul simplu conex OC (vezi fig.4.37.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

ππ

π

αα l

lR

OC2

2

2sin

sin1 === .

Corp li xi yi zi lixi liyi lizi

A

B

l l 0 2

l l2 0

2

2l

B O

l 2

l 0 0

2

2l 0 0

lπ 0 l

πl2

0 2lπ 22l

C D

2l 0 3l 0 0 6l2 0

∑ ( )π+4l - - - 2

3 2l ( )62 +πl

2

5 2l

x

y

z

l l l

2l

O A

B

C D

Fig.4.37

O C

x

y

O

Fig.4.37.a

C1 C

l


87


)4(2

3

πξ

+==

∑∑ l

l

xl

i

ii,

( )π

πη++==

∑∑

4

6l

l

yl

i

ii,

)4(2

5

πζ

+==

∑∑ l

l

zl

i

ii.

Problema 4.7.7 Pentru placa omogenă din figura 4.38 se cere să se

determine poziţia centrului maselor. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.

Rezolvare:

Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.38 în domenii simplu conexe.

Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.38.a) se calculează poziţia centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

ππ

π

αα

3

4

2

2sin

3

2sin

3

23

ll

ROC === .


πξ

+==

∑∑

3

2l

A

xA

i

iic ,

0==∑∑

i

iic A

yAη .

Nr. Corp Ai xi yi Aixi Aiyi 1.

2

2l

3

l− 3

l

6

3l− 6

3l

2. 2l 2

l

2

l

2

3l

2

3l

3.

2

2lπ

0 π3

4l− 0

3

2 3l−

∑ ( )π+32

2l

_

_

3l

0

l l

l

y

x O

Fig.4.38

y

O

x l C3

Fig.4.38.a

Dorel STOICA

88

Problema 4.7.8 Pentru placa omogenă din figura 4.39 se cere să se determine poziţia centrului maselor.

Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor sunt indicate pe desen.

Rezolvare:

Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.39 în domenii simplu conexe. Se calculează centrul maselor cu formulele:

∑∑=

i

iic A

xAξ ,

∑∑=

i

iic A

yAη .

Pentru domeniul simplu conex 2 (vezi fig.4.39.a) se calculează poziţia centrului de masă

pe axa de simetrie a domeniului.

πππ

π

αα

3

24=

4

2

2

3

2=

4

4sin

3

2=

sin

3

2=1

lllROC .

Nr. Corp Ai xi yi Aixi Aiyi

1.

9l2 l2

3 l

2

3 3

2

27l 3

2

27l

2. 4

2lπ π3

4l

π3

4l

3

3l

3

3l

3.

3l2 3

11l l 11l3 3l3

∑ )12+4

(2 πl - -

6

149 3l

6

101 3l

)48(3

298

πξ

+==

∑∑ l

A

xA

i

iic ,

)48(3

202

πη

+==

∑∑ l

A

yA

i

iic .

x

y

3l

3l

l

2l

Fig.4.39

O x

y

O x

C2

l Fig.4.39.a


89



Rezolvare:

Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.41 în domenii simplu conexe. Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.41.a) se calculează poziţia centrului de masă


ππ

π

αα 24

=

4

4sin3

3

2=

sin

3

2=3

llROC .

Nr. Corp Ai xi yi zi Aixi Aiyi Aizi

1. 6l2 l 0 l

2

3 36l 0 39l

2. 2

9 2l 0 l l

2

9 3l 0

2

9 3l

3.

4

9 2lπ π

l4

πl4

0 9l3 9l3 0

∑ )4

9+

2

21(2 π

l _ _ _ 2

39 3l 9l3

21

27 3l


πξ

942

78

+==

∑∑ l

A

xA

i

iic ,

πη

942

36

+==

∑∑ l

A

yA

i

iic ,

πζ

942

54

+==

∑∑ l

A

zA

i

iic .

x

y

z

O

3l 3l

2l

Fig.4.40

y

x

O

C3

Fig.4.41.a

3l

Dorel STOICA

90

Problema 4.7.10 Pentru corpul omogen din figura 4.42 se cere să se determine poziţia centrului maselor.


Rezolvare:

Se împarte corpul omogen din figura 4.42 în domenii simplu conexe. Corpul are axă de simetrie Oz, coordonatele pe Ox şi pe Oy ale centrului maselor sunt

nule.

3

2

3

32 RhRVcon

ππ == .

Pentru con centrul de masă se găseşte la 4

3 din

înălţime.

RRRz2

5

2

121 =+= ,

32 2 RhRVcilindru ππ == ,

3

2 3RVsemisfera

π= .

Pentru semisferă centrul de masă se găseşte la 8

3

din rază.

Rz8

33 −= .

Nr. Corp Vi zi Vizi

1.

3

2 3Rπ R

2

5

3

5 4Rπ

2.

32 Rπ R 42 Rπ

3.

3

2 3Rπ R

8

3− 4

4Rπ−

∑

3

10 3Rπ _

12

41 4Rπ

Se calculează centrul maselor cu formula:

40

41R

V

zV

i

iic ==

∑∑ς .

x

y

z

O

2R

2R

R

Fig.4.42


91

Problema 4.7.11 Pentru corpul omogen din figura 4.43 se cere să se determine poziţia centrului maselor.


Rezolvare:

Se împarte corpul omogen din figura 4.43 în domenii simplu conexe. Corpul are axă de simetrie Oz, coordonatele pe Ox şi pe Oy ale centrului maselor sunt

nule.

332

3

3

3R

RhRVcon πππ === .

Pentru con centrul de masă se găseşte la 4

3

din înălţime.

4

3

4

11

Rhz −=−= ,

32 4 RhRVcilindru ππ == .

Nr. Corp Vi zi Vizi

1.

3Rπ R4

3− 4

3 4Rπ−

2.

34 Rπ 2R 48 Rπ

∑ 35 Rπ _ 4

29 4Rπ

Se calculează centrul maselor cu formula:

20

29R

V

zV

i

iic ==

∑∑ς .

x

y

z

O

4R

3R

Fig.4.43

Dorel STOICA

92

Problema 4.7.12 Se dă placa omogenă din figura 4.44. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor fiind indicate

pe desen. Se cere să se calculeze distanţa l astfel încât centrul maselor să se găsească pe axa Oy.

Rezolvare:

Se împarte placa omogenă din figura 4.44 în domenii simplu conexe.

Nr. Corp Ai xi Aixi

1.

4a2 -a -4a3

2. al 3

l

3

2al

∑ ( )laa +4 _

− 2

2

43

al

a

Se calculează:

la

al

A

xA

i

iic 312

12 22

+−==

∑∑ξ .

Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca cξ să fie zero.

0312

12 22

=+

−la

al.

Rezultă:

012 22 =− al , .32=,32=,12= 212 alalal

Se consideră ca soluţie acceptată valoarea pozitivă a lui l.

x

y

O

2a

2a

l=?

Fig.4.44


93

Problema 4.7.13 Să se determine volumul suprafeţei obţinută prin rotirea plăcilor omogene din figura

4.45 în jurul axei Ox.

Rezolvare: Se împarte placa omogenă din figura 4.45 în domenii simplu conexe. Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.45.a) se calculează poziţia centrului de masă


ππ

π

αα

3

24

4

4sin

3

2sin

3

21

ll

ROC === .

Nr. Corp Ai yi Aiyi

1. l2

2

l

2

3l

2.

2

2l

3

l

6

3l

3.

4

12lπ π3

4ll +

34

33 ll +π

∑

+2

3

42 π

l _

+4

23 πl

Se calculează volumul suprafeţei obţinută prin rotirea plăcii omogene cu formula:

+== ∑4

222 3 πππ lyAV ii .

x

y

l

l

l O

Fig.4.45

x

y

l

l

l O

Fig.4.45.a

C3

O3

Dorel STOICA

94

4.8. PROBLEME PROPUSE Problema 4.8.1 Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.46

Rezolvare:


πξ

++==

∑∑

223

25,17 l

l

xl

i

ii,

πη

++−

==∑∑

223

)12(2l

l

yl

i

ii.

Problema 4.8.2 Să se determine poziţia centrului maselor pentru sistemul de bare omogene din figura

4.47 Rezolvare:

( )ππξ

214

89

++==

∑∑ a

l

xl

i

ii,

πη

214

9

+==

∑∑ a

l

yl

i

ii,

πζ

214

3

+==

∑∑ a

l

zl

i

ii.

x

y

O

2l

2l 3l l A B C

D

Fig.4.46

x

y

z

O

3a

3a a

A B

C

D

Fig.4.47

a


95



Rezolvare:

( )

1218

815

++==

∑∑

ππξ a

A

xA

i

ii,

69

10

+==

∑∑

πη a

A

yA

i

iic .



Rezolvare: Se calculează centrul maselor cu formulele:

π

ξ−

==∑∑

14

8l

A

xA

i

iic ,

( )

)14(3

332

ππη

−−==

∑∑ l

A

yA

i

iic ,

( )

)14(3

3222

ππς

−−==

∑∑ l

A

zA

i

iic .

Problema 4.8.5 Se dă placa omogenă din figura 4.50. Dimensiunile plăcilor şi poziţia axelor fiind indicate

pe desen. Se cere să se calculeze distanţa l astfel încât centrul maselor să se găsească pe axa Oy.

Rezolvare:


( )( )lR

Rl

A

xA

i

iic 43

232 22

+−==

∑∑

πξ ,

( ))4(3

232

lR

RlR

A

yA

i

iic +

−==

∑∑

πη .

Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca cξ să fie zero.

( )( ) 0

43

232 22

=+

−lR

Rl

π.

x

y

z

O

l 2l

Fig.4.49

x

y

O

R

l=?

Fig.4.50

O x

y 2a

2a

a

Fig.4.48

Dorel STOICA

96

Rezultă:

( )

.3

2,

3

2

,3

2

,02-3

21

2

22

RlRl

Rl

Rl

==

=

=

Se consideră ca soluţie acceptată valoarea pozitivă a lui l. Problema 4.8.6 Să se determine aria suprafeţei obţinută prin

rotirea barelor omogene din figura 4.51 în jurul axei Ox.

Rezolvare:

( )5822 2 +== ∑ rylA ii ππ .

Problema 4.8.7 Să se determine volumul suprafeţei obţinută prin rotirea plăcilor omogene din figura

4.52 în jurul axei Oy. Rezolvare:

−== ∑ πππ3

2022 3lxAV ii .

x O

y

2r

2r r A

B C

D

Fig.4.51

x

y

O

2l

2l

2l

l

Fig.4.52

Documents

A4_Mecanica_1.pdf