A.A. 2015/2016 Corso di Analisi Matematica 2users.dma.unipi.it/gobbino/Home_Page/Files/HP_AD/AM2_16_BookTM.pdfCorso di Analisi Matematica 2 Stampato integrale delle lezioni (Appendice

A.A. 2015/2016Corso di Analisi Matematica 2

Stampato integrale delle lezioni

(Appendice di Teoria della Misura)

Massimo Gobbino

Indice

Lezione 131. Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach-Tarski. Sigma-algebra. Tre definizioni di misura (misura positiva su sigma-algebra,misura esterna, misura vettoriale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Lezione 132. Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotonedi insiemi. Insiemi misurabili alla Caratheodory: definizione e dimostrazione checostituiscono una sigma-algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Lezione 133. Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misuredi Hausdorff). Verifica che tali metodi producono misure esterne. I razionali hannomisura di Lebesgue nulla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Lezione 134. Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura è additiva suidistanti. Le misure costruite con il metodo II sono additive sui distanti. Descrizionedella via classica alla misura di Lebesgue (via approssimazione da fuori con apertie da dentro con compatti). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Lezione 135. Misurabilità alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (in-sieme non misurabile secondo Lebesgue). Funzioni misurabili: definizione e stabilitàper passaggio al limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Lezione 136. Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di inte-grale per funzioni positive (equivalenza tra due definizioni). Definizione di integra-le per funzioni a segno qualunque. Riemann-Darboux vs Lebesgue (suddivisioneorizzontale vs verticale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Lezione 137. Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenzamonotona, lemma di Fatou, convergenza dominata). Dimostrazione del lemma diFatou e sue varianti con il limsup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Lezione 138. Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenzamonotona. Teoremi di continuità e derivabilità per integrali dipendenti da parame-tro. Accenno ad argomenti successivi (derivabilità di funzioni lipschitziane e puntidi Lebesgue). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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IndiceLezione 131. Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach-Tarski. Sigma-algebra. Tre definizioni di misura (misura positiva su sigma-algebra, misura esterna, misura vettoriale).Lezione 132. Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotone di insiemi. Insiemi misurabili alla Caratheodory: definizione e dimostrazione che costituiscono una sigma-algebra.Lezione 133. Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misure di Hausdorff). Verifica che tali metodi producono misure esterne. I razionali hanno misura di Lebesgue nulla.Lezione 134. Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura è additiva sui distanti. Le misure costruite con il metodo II sono additive sui distanti. Descrizione della via classica alla misura di Lebesgue (via approssimazione da fuori con aperti e da dentro con compatti).Lezione 135. Misurabilità alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (insieme non misurabile secondo Lebesgue). Funzioni misurabili: definizione e stabilità per passaggio al limite.Lezione 136. Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di integrale per funzioni positive (equivalenza tra due definizioni). Definizione di integrale per funzioni a segno qualunque. Riemann-Darboux vs Lebesgue (suddivisione orizzontale vs verticale).Lezione 137. Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenza monotona, lemma di Fatou, convergenza dominata). Dimostrazione del lemma di Fatou e sue varianti con il limsup.Lezione 138. Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenza monotona. Teoremi di continuità e derivabilità per integrali dipendenti da parametro. Accenno ad argomenti successivi (derivabilità di funzioni lipschitziane e punti di Lebesgue).

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