à¸ڑทที่ 8 Analysis of Indeterminate Structures by Force Analysis of Indeterminate Structures

THEORY OF STRUCTURES

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai Seangatith SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERING SURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทที่ 8 Analysis of Indeterminate Structures by Force Method

วัตถุประสงค 1. เพื่อใหเขาใจถึงขอไดเปรียบและเสียเปรียบระหวางโครงสรางแบบ

statically determinate และแบบ statically indeterminate 2. เพื่อใหเขาใจและสามารถวิเคราะหโครงสราง statically

indeterminate โดยวิธี force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถูกตอง

8.1 Statically Indeterminate Structures โครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางที่มีผลรวมของ จํานวนแรงปฏกิิริยา (reactions) และจํานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ทีไ่มทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลของ โครงสรางและเปนโครงสรางที่มีเสถียรภาพ

“จํานวนแรงและโมเมนตที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุล”

โครงสราง โดยเฉพาะโครงสราง คอนกรีตเสริมเหล็ก มักเปนโครงสราง statically indeterminate เนื่องจากการ กอสราง

โครงสรางเหล็กทีม่ีจุดเชื่อมตอแบบ rigid joint เปนโครงสราง statically indeterminate

ขอดขีองโครงสราง statically indeterminate 1. ใชวัสดุนอยกวาและมีการโกงตัวนอยกวา

2. มีการกระจายแรงภายในที่ดกีวา แตการกระจายแรงภายในจะทําใหโครงสราง แตกราวได ในกรณีที่โครงสรางมีการทรุดตัวไม เทากนั (differential settlement)

3. ทาํใหเกดิเทคนิคการกอสรางแบบ cantilever ขอเสียของโครงสราง statically indeterminate

1. การวิเคราะหและการออกแบบมีความยุงยากมากกวา 2. ในบางกรณี คากอสราง (จุดเชื่อมตอและฐานราก) มีราคาแพงกวา

3. การทรุดตวัที่ไมเทากัน การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูม ิและความ ผิดพลาดทีเ่กดิขึ้นในการกอสรางจะกอใหเกดิหนวยแรงขึ้นภายใน โครงสราง statically indeterminate

ตัวอยาง: โครงสราง statically determinate ไมมหีนวยแรงภายในเกิดขึ้นเนื่องจากการ ทรุดตัวที่ไมเทากันของจุดรองรับ

4. การเปลี่ยนแปลงรูปแบบของแรงกระทําตอโครงสรางอาจจะทําใหเกดิ stress reversal ขึ้นในโครงสราง statically indeterminate ไดงายกวาใน โครงสราง statically determinate

Method of Analysis โครงสราง statically determinate ถูกวิเคราะห ไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดยีว

โครงสราง statically indeterminate ไมสามารถ ถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียง อยางเดียว

โดยตองใชเงื่อนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสัมพันธ ระหวางแรงและการเปลีย่นตําแหนง (force- displacement relationship) ชวยในการวิเคราะห

0;F+ ↑ =∑ Equilibrium Equation;

0B AF F P+ − =

Compatibility Condition; / 0A Bδ =

Force-Displacement Relationship; FL AE

δ =

0A AC B CBF L F L AE AE

− =

CB A

LF P L

= ACB LF P L

=

เนื่องจากแรงที่ไดมีคาเปนบวก ดังนั้น ทิศทางของแรงที่สมมุติขึน้เปนทิศทางที่เกิดขึ้นจริง

Displacement Method of Analysis Force Method of Analysis จาก principle of superposition

Compatibility Condition; 0 P Bδ δ= −

Force-Displacement Relationship;

AC P PL AE

δ = BB F L AE

δ =

0 AC BPL F L AE AE

= −

AC B

LF P L

=

Equilibrium Equation;

0;yF+ ↑ =∑ 0AC A

LP F P L

+ − =

CB A

LF P L

= equilibrium equations และ force-

displacement relationships displacementsDisplacement

method

compatibility equations และ force- displacement relationships

forcesForce method สมการทีใ่ชในการหาคําตอบUnknownวิธีการ

8.2 วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง (method of consistent deformation)

1. เลือก reaction By เปนแรงเกินจําเปน (redundant force)

โครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B: 0 B BB′= ∆ − ∆+ ↓

BB y BBB f′∆ =

0 B y BBB f= ∆ −

B y

BB

B f ∆

=

แทนจุดที่หา deflection แทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

3. หาคา deflection และแทนคาหา By ……….

กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใช วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการของการโกงตัวของคานที่จดุทีแ่รงกระทํา

EXAMPLE

B y

BB

B f ∆

=

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน 2 35 5

8 6 48B PL PLL EI EI

⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 32 2 3 3BB L Lf L EI EI

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎝ ⎠

5 16y PB =

1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน 2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:

4. ใชสมการสมดุลหาคาแรง ปฏกิิริยา Ay และ MA และ เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

หาสมการของการโกงตัวใน แนวดิ่งที่จุด C

3

' 7

768C C PLM EI

= ∆ = −

5. ราง elastic curve ของคาน

MA

Hinge/ Pin

1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปน โครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:

0 A A AAMθ α= +

AA

A AM α

θ −=

0 A AAθ θ′= + แทนจุดที่หา slope

แทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

3. หาคา slope และแทนคาหา MA 4. เขียน V- และ M-diagram ของคาน 5. ราง elastic curve ของคาน

+

AA

A AM α

θ −=

L EI

EI PLM A )1(

3 16

2

= PL 16 3

=

ใชสมการสมดุลหาคาแรง ปฏกิิริยา Ay และ By

กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใช วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และ