ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม

โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคม

มหาวทยาลยราชภฏนครปฐม

การสอสารดจทล

ตวแปรสมเเละกระบวนการสม (2)

Assoc.Prof.Piya Kovintavewat, Ph.D.Data Storage Technology Research CenterNakhon Pathom Rajabhat University http://home.npru.ac.th/piya

“All things are difficult before they are easy”

โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน

Outlineความนาจะเปนและปรภมตวอยาง

ตวเเปรสมคาเฉลยเอนเซมเบล

โมเมนต

ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนแบบเกาสเซยน

กระบวนการสมคาเฉลยเเละฟงกชนอตสหสมพนธ

สเตชนเนร

อตสหสมพนธของกระบวนการสมสเตชนเนรเเบบไวดเซนส

กระบวนการเออรกอดก

ความหนาเเนนสเปกตรมกาลง

ความสมพนธระหวางกระบวนการสมเเละระบบ LTI

สญญาณรบกวนในระบบสอสาร

2


ความนาจะเปนและปรภมตวอยางพจารณาเหตการณการโยนเหรยญบาทซงผลลพธทไดม 2 แบบคอ

nH = หว (head) nT = กอย (tail)N = จานวนครงททาการโยนเหรยญบาท

ถาเหรยญบาททใชไมมการถวงนาหนก ⇒ ความนาจะเปน (probability) ทจะไดผลลพธเปน “หว” หรอ “กอย” มคาเทากน

ปรภมตวอยาง (sample space) ⇒ เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดทไดจากการทดลอง

3

[ ]Pr 1Ω =


เซตยอย (subset) ของปรภมตวอยางจะเรยกวาเหตการณ (event) และสมาชกแตละตวในเหตการณเรยกวาเหตการณมลฐาน (elementary event)กฎความนาจะเปน

4

โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 5


Exampleพจารณาสถานฐาน (base station) ไดรบกลมขอมล (data packet) ทสงมาจากดาวเทยม 1 และ 2 เพอใชประมวลผลในขนตอไป กาหนดใหกลมขอมลทสถานฐานไดรบทงหมดมาจากดาวเทยม 1 และ 2 เทากบ 40% และ 60% ตามลาดบ โดยสมมตวากลมขอมลทสงมาจากดาวเทยม 1 มขอผดพลาด(error) 5% และกลมขอมลทสงมาจากดาวเทยม 2 มขอผดพลาด 3% ดงนนถาทาการสมกลมขอมลมาหนงกลมแลวพบวามขอผดพลาด จงหาคาความนาจะเปนทกลมขอมลนนถกสงมาจากดาวเทยม 1

A คอเหตการณทสมเลอกกลมขอมลมาแลวพบวามขอผดพลาด

Bi คอเหตการณทกลมขอมลนนถกสงมาจากดาวเทยม i ∈ 1, 2

6


ดงนนถาทาการสมกลมขอมลมาหนงกลมแลวพบวามขอผดพลาด ความนาจะเปนทกลมขอมลนนถกสงมาจากดาวเทยม 1 มคาเทากบ

7


ตวเเปรสมตวแปรสม (random variable) คอฟงกชนทกาหนดคาจานวนจรงใหกบแตละผลลพธในปรภมตวอยางของการทดลองสม โดยจะใชสญลกษณ X(A) แทนตวแปรสมของเหตการณ Aการโยนเหรยญบาทหนงครง ⇒ ผลลพธ 1 (แทน “หว”) และ –1 (แทน “กอย”) ดงนนจะได X(A) ∈ –1, 1การทอดลกเตาหนงครง ⇒ ผลลพธ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ดงนนจะได X(A) ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6

8


ฟงกชนการแจกแจงสะสมในทางปฏบตคาความนาจะเปนของตวแปรสมจะถกกาหนดโดยตรง (แทนทจะกาหนดใหกบเหตการณในปรภมตวอยาง) ในรปของฟงกชนการแจกแจงสะสม (cumulative distribution function)

คอความนาจะเปนทตวแปรสม X มคานอยกวาหรอเทากบจานวนจรง x

Property:

9

( ) [ ]Pr= ≤XF x X x


ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนอนพนธ (derivative) ของฟงกชนการแจกแจงสะสมมคาเทากบฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน (pdf: probability density function)

Property

10

( )( )X

X

dF xp x

dx=


Exampleกาหนดใหตวแปรสม X คอเวลาทใชในการสงขาวสารผานชองสญญาณ โดยท X เปนตวแปรสมเลขชกาลงทมฟงกชนความนาจะเปนเทากบ

เมอ x > 0 เปนเลขจานวนจรง และ λ คอคาคงตว จงคานวณหา

11

[ ]Pr −> = xX x e λ

จงหา



ตวแปรสมวยตฟงกชนมวลความนาจะเปน (probability mass function)

ฟงกชนการแจกแจงสะสม

Ex: การทดลองการโยนเหรยญบาทหนงเหรยญ

13

( ) [ ]Pr= =X i ip x X x

( ) [ ] ( )Pr≤ ≤

= = =∑ ∑i i

X i X i

x x x x

F x X x p x

( )0, 10.5, 1 11, 1

X

x

F x x

x

⎧ <−⎪⎪⎪⎪= − ≤ <⎨⎪⎪⎪ ≥⎪⎩


ฟงกชนของตวเเปรสม

14


Example

15


วธทา


ตวเเปรสมหลายตวกาหนดให X และ Y เปนตวแปรสมในปรภมตวอยาง ดงนนฟงกชนการแจกแจงสะสมรวม (joint cumulative distribution function) นยามโดย

Property

17

( ) [ ], Pr ,= ≤ ≤XYF x y X x Y y


ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนรวม (joint pdf)

Property

18

( ) ( )2

, ,XY XYp x y F x yx y

∂=

∂ ∂


ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional pdf) ของตวแปรสม X เมอกาหนดตวแปรสม Y = y มาให

19

( )( )( )

( )|

,, 0

0, else=

⎧⎪⎪ ≠⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪⎩

XY

Y

X Y y Y

p x yp y

p x p y


คาเฉลยเอนเซมเบลในทางปฏบตบางครงไมมความจาเปนตองคานวณหาคาทแนนอนของฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสม ถาทราบพฤตกรรมเชงเฉลยทเรยกวาคาเฉลยทางสถต (statistic average) ของตวแปรสมสาหรบเหตการณนน อยในรปของคาคาดหมาย (expected value) คาเฉลยทางสถตของตวแปรสม ⇒ คาเฉลยเอนเซมเบล (ensemble average)

20


Ex: คาเฉลยของเหตการณการโยนเหรยญบาททไมมการถวงนาหนกคอ

21

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )( )1 Pr 1 1 Pr 1 1 0.5 1 0.5 0= = + − =− = + − =E X X X


โมเมนตโมเมนต (moment) หรอคาเฉลยทางสถตลาดบท n ของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง X นยามโดย

Property

22

( )n nXE X x p x dx

∞

−∞

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫


โมเมนตศนยกลาง (central moment) ลาดบท n

โมเมนตศนยกลางลาดบทสอง ⇒ ความแปรปรวน (variance)

Property

23

( ) ( ) ( )∞

−∞

⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫n n

X X XE X m x m p x dx

[ ] ( )2 2 2Var ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦n

X X XX E X m E X mσ


Example

24

( )1 ,

0, elseX

a x bp x b a

⎧⎪⎪ ≤ ≤⎪= −⎨⎪⎪⎪⎩

[ ] ( )2 21 1

2 2

∞

−∞

⎛ ⎞− +⎟⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− − ⎝ ⎠∫ ∫b

Xa

b a a bE X p d d

b a b aα α α α α

( )( )

( ) ( )22 /22 2

/2

1 12 12

−

− −

−⎛ ⎞+⎡ ⎤ ⎟⎜= − = − = =⎟⎜⎢ ⎥ ⎟⎟⎜⎣ ⎦ ⎝ ⎠− −∫ ∫b

b an

X Xb a

a

b aa bE X m x dx y dy

b a b aσ


ความสมพนธระหวางตวเเปรสม

สหสมพนธ (correlation)

ความแปรปรวนรวมเกยว (covariance)

25

[ ] ( ),XY XYR E XY xyp x y dxdy∞ ∞

−∞ −∞= = ∫ ∫

( ) ( )( ) [ ]Cov , ⎡ ⎤= − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦X Y X YX Y E X m Y m E XY m m


สมประสทธสหสมพนธ (correlation coefficient)

ตวแปรสม X และ Y มลกษณะเชงตงฉาก (orthogonal)

ตวแปรสม X และ Y ไมมสหสมพนธ (uncorrelated) ตอกน

ตวแปรสม X และ Y เปนอสระเชงสถตตอกน

26

( ) [ ]Cov , X Y

XY

X Y X Y

X Y E XY m mρ

σ σ σ σ

−= = 1 1XYρ− ≤ ≤

[ ] 0E XY =


PDF แบบเกาสเซยนนยมใชงานมากสาหรบการวเคราะหระบบสอสาร เพราะพฤตกรรมของตวแปรสมเกาสเซยนมลกษณะคลายกบขอมลทพบในระบบสอสาร เชน สญญาณขอมล และสญญาณรบกวน เปนตน ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนแบบปรกต (normal pdf)

การแจกแจงปรกตแบบมาตรฐาน (standard normal distribution) ⇒

27

( )( )2

22

1 exp22

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

X

X

XX

x mp x

σπσ

( ) ( )2,=∼ X X XX p x m σN

( )0,1N


Ex: สญญาณรบกวนเชงความรอน (thermal noise)


( )21 exp

22

∞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫x

vQ x dv

π

ตารางคนหา(look-up table)


ตวเเปรสมวยตทนาสนใจตวเเปรสมเบอรนลล

การทดลองสมทมผลลพธจากการทดลองไดเพยงสองแบบคอ ความสาเรจ (success) และความลมเหลว (failure) เชน การโยนเหรยญหนงบาทครงฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน

คาเฉลยและความแปรปรวน

30


ตวเเปรสมทวนามพจารณาการทดลองสมททาซากน n ครงอยางเปนอสระตอกน และการทดลองแตละครงมผลลพธทจาแนกไดสองแบบคอ ความสาเรจและความลมเหลว พบมากในงานทดลองทมผลลพธเพยงสองแบบเทานน เชน หว/กอย, บตทถก/บตทผด, หรอชนสวนทด/ชนสวนทบกพรอง เปนตน

ถาให Y คอจานวนครงทเหตการณ A เกดขนภายในการทดลอง n ครงฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน

คาเฉลยและความแปรปรวน

31

[ ] ( )( )

( )!Pr 1 1! !

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟= = − = −⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n k n kk kn nY k q q q q

k n k k


Example

32


วธทา

33


กระบวนการสมกระบวนการสม (random process) X(A, t) พจารณาไดวาเปนฟงกชนของตวแปรสมสองตวคอ ตวแปรสมของเหตการณ A และตวแปรสมของเวลา t

34

( ) ( )1 1,X A t X t=

( ) ( )2 2,X A t X t=

( ) ( )3 3,X A t X t=

( ) ( ),n n

X A t X t=

ktt

An = เหตการณในการเปดเครองกาเนดแรงดนไฟฟาครงท n

ใชสญลกษณ X(t) แทนกระบวนการสม X(A, t)


คาเฉลยเเละฟงกชนอตสหสมพนธคาเฉลย (mean) ของกระบวนการสม X(t) ทเวลา t = tk

ฟงกชนอตสหสมพนธ

อตความแปรปรวนรวมเกยว (auto-covariance)

คาสมประสทธสหสมพนธ

35

( ) ( ) ( )kX k k Xm t E X t xp x dx

∞

−∞

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2, ,X X XR t t E X t X t uvp u v dudv

∞ ∞

−∞−∞

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,⎡ ⎤= − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦X X X X X XC t t E X t m t X t m t R t t m t m t

( )( )

( ) ( )1 2

1 2

1 1 2 2

,,

, ,X

X

X X

C t tt t

C t t C t tρ =

หมายเหตกระบวนการสม 2 กระบวนการทตางกนอาจมคาเฉลย ฟงกชนอตสหสมพนธ และฟงกชนอตความแปรปรวนรวมเกยว เหมอนกนได


Example

36


สเตชนเนรสเตชนเนรแบบสตรกเซนส (SSS: strict-sense sta-tionary) ⇒ คาทางสถตทกอนดบของกระบวนการสมไมขนกบเวลา ในทางปฏบตระบบสอสารสวนมากไมมคณสมบตสเตชนเนรแบบสตรกเซนส

สเตชนเนรแบบไวดเซนส (WSS: wide-sense stationary) ⇒ คาทางสถตเฉพาะอนดบทหนงและอนดบทสองของกระบวนการสมนนไมขนกบเวลา

37

( ) ( )X XE X t m t m⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2,X X XR t t R t t R E X t X tτ τ⎡ ⎤= − = = +⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2t tτ = − คอผลตางของเวลา

WSS ∈ SSS


อตสหสมพนธของกระบวนการสม WSSฟงกชนอตสหสมพนธจะใชเปนตววดความสมของกระบวนการสมเปนฟงกชนของผลตางของเวลา เทานนสาหรบกระบวนการสม WSS ทมคาเฉลยเทากบศนย ฟงกชนอตสหสมพนธยงบอกใหทราบถงผลตอบสนองเชงความถทเกยวของกบกระบวนการสมดวย

Property

38

1 2t tτ = −


Example

39

วธทา



กระบวนการเออรกอดกการหาคาเฉลยและฟงกชนอตสหสมพนธของกระบวนการสมตองอาศย joint pdf อนดบทหนงและอนดบทสอง ซงหาไดยากในหลายๆ งานประยกตกระบวนการเออรกอดก (ergodic) มคณสมบตเฉพาะคอ คาเฉลยทางเวลา = คาเฉลยเอนเซมเบล คณสมบตทางสถตของกระบวนการสามารถถกกาหนดไดดวยการหาคาเฉลยทางเวลาของฟงกชนตวอยาง (sample function) เพยงฟงกชนเดยว

กระบวนการสม X(t) เปนเออรกอดกเชงคาเฉลย กตอเมอ

เออรกอดกเชงฟงกชนอตสหสมพนธ กตอเมอ

41

( ) ( )1lim2→∞ −

= = ∫T

XT T

m X t X t dtT

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1lim2→∞ −

= + = +∫T

XT T

R X t X t X t X t dtT

τ τ τ


Example

42



ความหนาเเนนสเปกตรมกาลง

44


ความหนาเเนนสเปกตรมกาลงของกระบวนการสม X(t) นยามโดย

GX(f) มคาเทากบผลการแปลงฟเรยรของฟงกชนอตสหสมพนธ RX(τ)

Property

45

( ) ( )21lim

→∞

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦X T

TG f E X f

T

( ) ( ) ( ) 2j fX X XG f R R e dπ ττ τ τ

∞−

−∞

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫F

(ดตวอยางท 3.13 และ 3.14 ในหนงสอ)


ความสมพนธระหวางกระบวนการสมเเละระบบ LTI

46

( )X t ( )Y t

( ) ( )⇔h t H f( ) ( ) , ,

X X Xm R G fτ ( ) ( ) , ,

Y Y Ym R G fτ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t X t h t X t h dτ τ τ∞

−∞= ∗ = −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞ ∞

−∞ −∞

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫Ym E Y t E X t h d E X t h dτ τ τ τ τ τ

( ) ( )0∞

−∞= =∫X Xm h d m Hτ τ



สญญาณรบกวนในระบบสอสารสญญาณรบกวนเปนสงทระบบไมตองการ เพราะจะไปขดขวางความสามารถของวงจรภาครบในการตรวจหาและถอดรหสขอมลสญญาณรบกวนสขาว (white noise) กระบวนการสม W(t) ทไมมสหสมพนธกน

48

( ) ( ) 00

else

/ 2, 00,2

⎧ =⎪⎪= =⎨⎪⎪⎩W

NNR

ττ δ τ

( ) ( ) ( ) 2 0

2

∞−

−∞

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ j fW W W

NG f F R R e dπ ττ τ τ


สญญาณรบกวนสขาวมผลกระทบตอระบบสอสารในทกแถบความถกาลงของสญญาณรบกวนมคาเปนอนนต จงเปนเหตผลวาทาไมวงจรภาครบของจงตองใชวงจรกรองผานตา (low-pass filter) เพอทาใหกาลงของสญญาณรบกวนมคาจากด

สญญาณรบกวนแบบส (colored noise)สญญาณรบกวนแบบสคอกระบวนการสม V(t) ทมสหสมพนธกน

49


Example

50

L

( )i t

( )X t ( )Y tR


วธทา

51


*** END

Documents

ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม