โครงขอหมน

เสนอ

ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน

จดทาโดย

1.) นายอนวฒน เกษเกษร รหส 56010370000 2CE ตอเนอง

2.) นายกตพงษ ภแลนก รหส 56010370007 2CE ตอเนอง

3.) นายจตรวชญ คาด รหส 56010370008 2CE ตอเนอง

4.) นายชชวาล ลผล รหส 56010370011 2CE ตอเนอง

5.) นายพรเพชร ยาผว รหส 56010370021 2CE ตอเนอง

6.) นางสาวสพฒนา พายไธสง รหส 56010370031 2CE ตอเนอง

7.) นางสาวสรพร สารขนธ รหส 56010370032 2CE ตอเนอง

8.) นายอภชาต สพผา รหส 56010370033 2CE ตอเนอง

รายงานปฏบตการนเปนสวนหนงของวชา 0301 214 ทฤษฎโครงสราง

ภาคการเรยนท 2 /2557 สาขาวศวกรรมโยธา

คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม

คานา

กลมของเราไดทารายงานเรองการวเคราะหโครงสราง โดยโครงสรางในทนคอโครงสรางรปแบบโครงขอ

หมนซงเปนโครงสรางประกอบดวยโครงสรางหลายๆชนมาประกอบกน ซงสวนทสาคญคอจดตอเปนแบบหมนได

อสระ ซงรายงานนจะไดนาเสนอเรองการคานวณหาแรงปฏกรยา ซงเปนแรงภายนอก และแรงในชนสวนของ

โครงสรางซงเปนแรงภายใน โดยมวธการคานวณโดยววธจดตอและวธหนาตด ซงเมอไดแรงในชนสวนมาแลวกจะ

สามารถออกแบบหนาตดคานและวสดทใชกจะเปนขนตอนตอไป หากทานใดมความสนใจรายงานเลมนมสวนชวย

ในการหาความรและการเรยนรในเรองการวเคราะหโครงสรางไดไมมากกนอย ถาหากกลมของเรามขอบกพรอง

ประการใดกตองขอ อภยไว ณ ทนดวย

จดทาโดย

กลมท 1

สารบญ

เรอง หนา

ความหมายโครงขอหมน 1

ชนดของโครงขอหมน 2-4

การวเคราะหทจดตอ(Method of Joint) 5-7

ตวอยางการวเคราะหทจดตอ(Method of Joint) 8-27

การวเคราะหตรงหนาตด (Method of Sections) 28-30

ตวอยางวธวเคราะหตรงหนาตด (Method of Sections) 31-36

การวเคราะหโครงสรางขอหมน 3 มต (Analysis of Space Trusses) 37

ตวอยางการวเคราะหโครงสรางขอหมน 3 มต 38-42

บทท3

โครงขอหมน

(Trusses)

โครงขอหมน หมายถง โครงสรางซงประกอบดวยชนสวนหลายๆชนสวนมาประกอบกนในลกษณะรป

สามเหลยม โดยจดตอ(Joint)เปนแบบหมนไดอสระ(ไมรบโมเมนต)และแรงตางๆเปนแรงในแนวแกนท

ประกอบดวยแรงดงหรอแรงอดทจะตองผานการทาผานจดตอเทานน

ตวอยางโครงขอหมนทใชสาหรบออกแบบสะพาน

โครงขอหมนเปนโครงสรางทประกอบดวยชนสวนบาง, ยาว ตอกนทปลายดวยการเชอม (Welding) หรอยด

ดวยสลกเกลยวเขากบแผนปะกบ (Gusset Plateวสดทใชประกอบเปนโครงขอหมนมกจะใชไม แทงเหลก เหลกฉาก

หรอเหลกรางนา

โครงสะพาน

แสดงองคประกอบหลกของโครงสะพาน เรมตนโดยนาหนกจรและนาหนกพน (deck) จะถายลงบนคาน

ซอย (stringers) แลวสงตอลงคานหลก (floor beams) ซงพาดอยบนโครงสะพาน ดานบนและลางของโครงสะพาน

สองขาง ถกยดดวย lateral bracing ซงจะรบแรงลมและตานการเคลอนตวในดานขาง ซงเกดจากยานพาหนะวงบน

สะพาน เพอเพมเสถยรภาพจะยดแนวตงและเอยงของโครงสะพานทงสองขาง ดวย portal bracing และ swaybracing

สาหรบสะพานซงยาวมาก จะใชฐานรองรบดานหนงเปนแบบลอเลอน (roller) โดยยอมใหปลายดานนนเคลอนตวได

เมอเกดการขยายและหดตวของโครง เนองจากการเปลยนแปลงของอณหภม

โครงถกเปนรปตว K

แสดงชนดตาง ๆ ของโครงสะพาน โครงแบบ Pratt, Howe และ Warren จะใชกบสะพานซงมชวงยาวไม

เกน 61 เมตร ถาชวงยาวเกนน จะใชโครงแบบ Parker ซงจะวาง upper cord ในแนวโคง ทาใหประหยดวสดทใชโครง

ทประหยดทสดจะเปนโครงทมค ายนทแยงทามมกบแนวนอนอยระหวาง 45 ถง 60 องศา ถายดขอกาหนดนไวใน

สะพานทมชวงเกน 91 ม. จะตองเพมความสงของโครงสะพาน ซงกจะทาใหชวงระหวางตวตง (panel) เพมขน สงผล

ใหตองใชระบบพนทหนาและหนกขน ซงจะแกไขไดโดยการซอย panel ใหสนลง ดงในโครงแบบ Baltimoreและ

Subdivided Warren หรอโดยการใชโครงแบบ K ซงเปนการซอยในแนวตง

โครงขอหมนใชออกแบบโครงหลงคา

มกจะใชในทพกอาศยหรอโรงงาน จะเหนวานาหนกจรและนาหนกกระเบองหลงคาจะถายลงแป

(Purlin) ซงวางอยบนโครงหลงคา และถายนาหนกตอลงบนเสา โครงหลงคาและเสาจะรวมกนเรยกวา bent

3.1การวเคราะหทจดตอ (Method of Joint)

ในการวเคราะหโครงขอหมนทจดตอทโครงสรางจะใชสมการสมดลของแรงคอ ∑Fx = 0 และ∑Fy = 0

โดยเรมจากการหาแรงปฏกรยาทจดรองรบโครงขอหมนกอน จากนนจะพจารณาทจดตอ ณ จดรองรบและอาศยแรง

ทไดจากการวเคราะห ณ

จดแรกไปใชในการวเคราะห ณ จดถดไปจนครบทงโครงสรางโดยแตละโครงสรางจะมเฉพาะแรงในแนวแกน

เทานน

จากรป 3.4ในการวเคราะหโครงสรางจะเรมจากการกาหนดทศทางของแรงปฏกรยาทจดรองรบและหาคา Ax,Ay,

และCy โดยใชสมการสมดล

∑Fx = 0

ซงไดวา Ax+P2+P3 = 0

หากคาตวแปรทไดมคาลบแสดงวากาหนดทศทางตรงกนขามกบทศทางทเปนจรงของแรงนนๆจากนนทา

การหาคา Ay และCy โดยหากตองการหา Ay ใหหาโมเมนตรอบจดC(∑Mc = 0) แตหากตองการหา Cyใหหาโมเมนต

รอบจดC(∑MA = 0)

เมอไดแรงทปฏกรยาทจดA และC เปนทเรยบรอยแลวจะเรมหาแรงตามแนวแกนในแตละชนสวนในแตละจดท

เรมตนไมควรมตวแปรเกน2ตว เนองจากสมการสมดลมเพยง2สมการเทานน โดยเรมหาแรงในชนสวนจากจดรอง

กอน จากรปเหนไดวาทจดA เปนจดเรมตน สวนทจด C มคาตวแปร 3 ตว จงไมเหมาะทใชเปนจดเรมตนในการ

วเคราะห เมอทาการวเคราะหทจด Aเพอหาแรงในชนสวน AD และ AB ไดแลวจะทาการวเคราะหจดตอไปท

ตอเนองกบจด A คอ B กอน และเหนไดวาในแนว y ทจด B ไมมแรงมากระทา ดงนนแรงในชนสวน BD จงเทากบ

0 และ AB และ BC เมอทาการวเคราะหจด B เสรจแลวกเรมวเคราะหจด D และ E และจด C ตอไปจนครบทง

โครงสรางในการวเคราะหโครงขอหมนได

Method of joints (วธการคานวณแบบจดเชอมตอ) วธนหลกการ คอ ตองหาแรงในชนสวนของโครงสราง ซงสอดคลองกบเงอนไขของ สภาพสมดลย ซงแรงนนกระทาบนจดเชอมตอของแตละชนในโครงสราง ดงรป 1 ซงสมการสมดลย ของหมดเชอมตอแตละชน สามารถคานวณโดยใช ∑ xF = 0 และ ∑ yF = 0 รปท 2 แสดงโครงสรางระนาบของสะพานและใชหลกแบบจดเชอมตอ พจารณาทโครงสรางรปท 2 ( ∑ F =

0 ) จะไดแตละจดทแสดงเวกเตอรของแรงดงรป 3

วธคดโดยใชหลกการเชอมตอ

1. ณ ตาแหนงหมดทนามาดดจะตองมตวไมทราบคา (unknown) ไมเกน 2 ตว และตองมตว

ทราบคาอยางนอย 1 ตว เพราะสมการของสมดลยมเพยง xF∑ = 0 และ yF∑ = 0 เทานน

2. แรงแตละชนสวนทกระทาตอหมด ตองมทศทางเดยวกบชนสวนนน ๆ โดย แรงทมทศทาง

พงเขาหาหมดเราเรยกวา แรงกด (Compressive force) และแรงทมทศทางพงออกจากหมด เรา

เรยกวา แรงดง (Tension force)

จงหาแรงภายในของโครงถก ซงรบแรงดงแสดงในรป โดยวธคานวณจดตอ (Joint Method)

150 Kg

D

4.00 m

100 Kg

A B C

4.00 m 4.00 m

8.00 m

150 Kg

D

100 Kg 100 Kg

A B C

Ay = 175 Kg Cy = 175 Kg

∑𝐹𝐹 = 0 ; +

Ay = Cy = (100+150+100 )

2 = 175 Kg

พจาราณาทจด A

100 Kg ∑𝐹𝐹 = 0 ; +

AD 175 + AD cos 45° - 100 = 0

A AD cos 45° = 100 - 175

AD = 100 − 175cos 45°

AD = 106.08 Kg

(อด)

∑𝐹𝐹 = 0 ; +

AB - 106.08 sin 45° = 0

AB = 75 Kg (ดง)

พจารณาทจด B

BD

AB = 75 Kg BC

∑𝐹𝐹 = 0 ; +

BD = 0 Kg

∑𝐹𝐹 = 0 ; +

BC - 75 = 0

AB

175 Kg

B

BC = 75 Kg (ดง)

พจารณาทจด D

AD = 106.08 Kg 0 DC

D

DC cos 45°

DC sin 45°

106.08 sin 45°

106.08 cos 45° D

∑𝐹𝐹 = 0 ; +

106.08 cos 45° + DC cos 45° = 0

DC = − 106.08 cos 45° cos 45°

DC = 106.08 Kg (อด)

∑𝐹𝐹 = 0 ; +

106.08 sin 45° + 106.08 sin 45° - 150 = 0

75 + 75 - 150 = 0

0 = 0

150 Kg

150 Kg

จงหาแรงภายในของโครงถก ซงรบแรงดงแสดงในรป โดยวธคานวณจดตอ (Joint Method)

หาแรงปฏกรยาทฐานรองรบของโครงถกกอน

RAy = RBy = ( 1000+1000+1000 )

2 = 1500

พจารณา จด C

เลอกพจารณาแนวทมตวไมทราบคาเพยงตวเดยวกอน

∑Fy = 0 ; +

- 1,000 – ( 3.5 / 4.03 ) CA = 0

-1,000 = ( 3.5 / 4.03 ) CA

- ( 1,000 x 4.03 ) / 3.5 = CA

- 1,151.43 = CA

∴ CA = 1,151.43 kg ( อด )

ใหกลบหวลกศรของแรง CA ทงหมด

∑Fy = 0 ; +

CD – ( 2 / 4.03 ) CA = 0

CD = ( 2 / 4.03 ) ( 1,151.43 )

CD = 571.43

∴ CD = 571.43 kg (ดง)

พจารณา จด A

เลอกพจารณาแนวทมตวไมทราบคาเพยงตวเดยวกอน

∑Fy = 0 ; +

1,500 – 1,000 + ( 3.5 / 4.03 ) AD = 0

( 3.5 / 4.03 ) AD = 1,000 – 1,500

AD = - (500 x 4.03 ) / 3.5

AD = - 575.71 kg

∴ AD = 575.71 kg ( อด )

ใหกลบหวลกศรของแรง AD ทงหมด

∑Fx = 0 ; +

AB = ( 2 / 4.03 ) ( 575.71 ) – 571.43

AB = -285.72 kg

∴ AB = -285.72 kg ( อด )

ใหกลบหวลกศรของแรง AB พจารณา จด D

∑Fy = 0 ; +

500 – 1,000 – ( 3.5 / 4.03 ) DB = 0

- 500 = ( 3.5 / 4.03 ) DB

- (575.71 x 4.03 ) / 3.5 = DB

- 575.71 = DB

∴ DB = 575.71 kg (อด )

ใหกลบหวลกศรของแรง DB ทงหมด

∑Fx = 0 ; +

285.71 – 571.43 + DE – ( 2 / 4.03 ) DB = 0

DE = 285.72 + ( 2 / 4.03 ) ( 575.71 )

DE = 571.43 kg

∴ DE = 571.43 kg ( ดง )

ในโครงถกทสมมาตร โดยมลกษณะโครงสรางและแรงกระทาทงซาย – ขวาเทากน ดงนน

แรงภายในของโครงถกจะมคาเทากนทงซาย – ขวาเชนกน จงไมจาเปนตองคานวณหาจนครบ

ทกจดตอ

จงวเคราะหโครงขอหมนในรปดวยวธการวเคราะหทจดตอ

วธทาหาแรงปฏกรยา Ax, Ay, และ Cy

จาก ∑Fx = 0

∴ Ax = 500+500=1000 kg

จาก ∑MA = 0

∴ 4Cy = 500(2)+500(4)+1000(4)

Cy= 1750

จาก ∑Fy = 0

∴ Ay + Cy = 1000+1000

Ay =250 kg

∑Fy = 0 ; AD sin 45 + 250 =1000

AD =1060.66 kg(ดง)

∑Fx = 0; AB = 1000 - AD cos 45

=1000 - 750

= 250 kg (ดง)

(สามารถแทนทศทางAD และAB ทคดวาถกตองได หากเครองหมายตรงกนขามแสดงวาท

ทศทางทเปนจรงตรงกนขามกบทศทางทกาหนดและตองรบแกไขทศทางใหถกตองทนทเพอ

ปองกนความผดพลาด)

∑Fy = 0; BD = 0

∑Fx = 0; BC = 250 kg (ดง)

ทจด D เนองจากมม ADC เปนมมฉาก ดงนนควรวางแกน X ในแนวแกน DE และในแกน y ใน

แนวแกน CD

∑Fx = 0; DE + 500 cos 45 =1060.66

DE = 707.11 kg (ดง)

∑Fy = 0; DC = 500 sin 45

DC = 353.55 kg (อด)

ทจด C

∑Fy = 0; CE + 353.55 sin 45 = 1750

CE = 1500 kg (ดง)

ตรวจสอบ

∑Fx = 0; 250 = 353.55 cos 45

= 250 kg (ถกต

จากนนนาแรงภายในตางๆทหาแรงไดระบในชนสวนของโครงสราง โดยแรงดงมคาเปนบวกและ

แรงอดมคาเปน ลบ

จากการวเคราะหแรงลมและนาหนกหลงคาของโครงขอหมนของโรงงานแหงหนงไดตามรป จง

วเคราะหหาแรงในโครงขอหมนดงกลาวดวยการวเคราะหทจดตอ

.

∑ MA = 0 ;

RE x 4 = [ 1,000 ( 1+2+3+1+2 )] + [ 2,000 ( 1+2+3+4 ) ]

RE = 9,000+20,000

4 = 7,250 kg.

∑ Fy = 0 ; ∑ Fx = 0 ;

RAY = ( 2,000 x 5 ) + ( 1,000 x 3 ) – 7,250 RAX = 3,000 kg.

RAY = 5,750 kg.

ทจด A

∑ Fy = 0 ; ∑ Fx = 0 ;

AF sin 45 ◦ = 5,750 – 2,000 AB + 1,000 = 3,000 + AF sin 45◦

AF = 5,303.3 kg. ( C ) AB = 5,750 kg. ( T )

ทจด F

∑ Fy’ = 0 ; ∑ Fx’ = 0 ;

BF sin 45◦ = ( 1,000 + 2,000 ) sin 45◦ FG = 5,303.3 + 1,000 sin 45◦ + 3,000 sin 45◦- 2,000

sin 45◦

BF = 3,000 kg. ( C ) FG = 6,717.51 kg. ( C )

ทจด B

∑ Fy = 0 ; ∑ Fx = 0 ;

BG sin 63.43◦ = 3,000 + 1,000 BC = 5,750 – 4,472.33 cos 63.43◦

BG = 4,472.33 kg. ( T ) BC = 3,750 kg. ( T )

ทจด C

∑ Fy = 0 ; ∑ Fx = 0 ;

CG = 1,000 kg. ( T ) CD = 3,750 kg. ( T )

ทจด E

∑ Fy = 0 ; ∑ Fx = 0 ;

EH sin 45◦ = 7,250 – 2,000 DE = 7,424.62 sin 45◦

EH = 7,424.62 kg. ( C ) DE = 5,250 kg. ( T )

ทจด H

∑ Fx’ = 0 ; ∑ Fy’ = 0 ;

DH sin 45◦ = 2,000 sin 45◦ GH = 7,424.62 + DH sin 45◦ - 2,000 sin 45◦

DH = 2,000 kg. ( C ) GH = 7,424.62 kg. ( C )

ทจด D

∑ Fy = 0 ;

DG sin 63.43◦ = 2,000 + 1,000

DG = 3,354.25 kg. ( T )

ตรวจสอบท จดG

∑ Fy = 0 ;

2,000 + 1,000 + ( 3,354.25 + 4,472.33 ) cos 26.57◦ ) = ( 6,717.51 + 7,424.62 ) sin 45◦

10,000 = 10,000 Ans. #

จากการวเคราะหแรงลมและนาหนกหลงคาของโครงขอหมนของโรงงานแหงหนงไดตามรป จง

วเคราะหแรงภายในโครงขอหมนดงกลาวดวยการวเคราะหทจดตอ

วธทา หาแรงปฎกรยา Ax ,Ay และ Gy

จาก ∑Fx =0 Ax = 200+400+400+200

= 1,200 Kg

จาก ∑MA =0 6Gy=400(1)+400(2)+200(3)+2,000(1)+2,000(2)+2,500(3)+2,000(4)

+2,000(5)+1,000(6)

Gy = 6,550 Kg

จาก ∑Fy = 0 Ay + Gy = 1,000+2,000+2,000+2,500+2,000+2,000+1,000

Ay = 12,500 – 6,550 = 5,950 Kg

ทจด A

∑Fy = 0 ; AH cos 45° + 1,000 = 5,950

AH = 7,000 Kg (อด)

∑Fx = 0 ; AB +200 = 1,200 +AH sin 45°

AB = 5,950 Kg (ดง)

ทจด B

∑Fy = 0 ; BH = 0

∑Fx = 0 ; BC = 5,950 Kg (ดง)

ทจด H

∑Fx = 0 ; HI +2,000 cos 45° = 7,000 + 400 cos 45°

HI = 5,868 Kg (อด)

∑Fy = 0 ; HC = 2,000 sin 45° + 400 sin 45°

HC = 1,697 Kg (อด)

ทจด C

∑Fy = 0 ; CI = 1,697 sin 45°

CI = 1,200 Kg (ดง)

∑Fx = 0 ; CD + 1,697 cos 45° = 5,950 Kg

CD = 4,750 Kg (ดง)

ทจด I

∑Fy = 0 ; IJ sin 45° + ID � 1√5� = 400 + 5860 cos 45°

∑Fx = 0 ; IJ cos 45° + 2,000 +1,200 = 5,868 cos 45°

+ ID � 2√5�

IJ = 4,737 Kg (อด)

ID = 2,683 Kg (อด)

ทจด G

∑Fy = 0 ; GL sin 45° + 1,000 = 6,550

GL = 7,848 Kg (อด)

∑Fx = 0 ; GF = GL cos 45°

GF = 5,550 (ดง)

ทจด F

∑Fy = 0 ; FL = 0

∑Fx = 0 ; FE = 5,550 Kg (ดง)

ทจด L

∑Fy = 0 ; LE = 2,000 sin 45°

LE = 1,414 Kg (อด)

∑Fx = 0 ; LK + 2,000 cos 45° = 7,848

LK = 6,434 Kg (อด)

ทจด E

∑Fy = 0 ; EK = 1,414 sin 45°

EK = 1,000 Kg (ดง)

∑Fx = 0 ; ED + 1,414 cos 45° = 5,550

ED = 4,500 Kg (ดง)

ทจด D

∑Fy = 0 ; DK � 1√5�+ 4,750 = 2,683 � 1

√5�+4,550

DK = 2,236 Kg (อด)

∑Fx = 0 ; DJ = 2,683 � 2√5�+ DK � 2

√5�

DJ = 4,440 Kg (ดง)

ทจด J

∑Fx = 0 ; JK sin 45° = 200 + 4,737 cos 45°

JK = 5,020 Kg (อด)

ตรวจสอบ ∑Fy = 0 ;

JK cos 45° + 4,737 sin 45° = 2,500 + 4,400

6,900 = 6,900 (ถกตอง)

จากนนนาแรงภายในตางๆ ทหาไดระบในชนสวนของโครงสราง โดยแรงดงมคาเปนบวก

และแรงอดมคาเปนลบ

3.2วธวเคราะหตรงหนาตด (Method of Sections)

ในบางครงอาจตองทราบคาแรงภายในชนสวนใดชนสวนหนงในโครงขอหมนเทานน แต

หากตองเรมตนวเคราะหโดยวธ Method of Joint แลวจะคอยขางเสยเวลา เพราะเรมตนพจารณาจาก

จดตอหนงทมตวไมรคาไมเกนสอง 2 ตว แลวจงพจารณาจดตออนถดไปเรอยๆ จนกวาจะถง

ชนสวนทตองการทราบคา ในกรณเชนนควรใชวธวเคราะหตรงหนาตด Method of Sections ของ

โครงขอหมนซงจะหาคาไดรวดเรวกวา

ระนาบทเลอกใหตดผานชนสวนทตองการหาแรงภายในโครงขอหมน อาจตดผานชนสวน

อนๆตลอดทงหนาตดของโครง แตตองเลอกใหตดผานชนสวนทยงไมรคาของแรงภายในไดไมเกน

กวา 3 ชนทงนเพราะมสมการสมดลทใชไดเพยง 3 สมการเทานนคอ∑ FX = 0,∑FY =0และ∑M = 0จดตอหรอขอตอทจะนาสมการสมดลของโมเมนตดด ∑M = 0 มาใช ตอง

เปนจดตอรวมของชนสวนตางๆ ยกเวนชนสวนทตองทราบคาของแรงภายใน เชน สมมตวาตองการ

หาแรงภายในชนสวน FG, BG และ BC ของโครงขอหมนในรปท 3.15 (ก) ซงจะไดผงวตถอสระ

ของโครงขอหมนทางซกซายมอของรอยตดรปท 3.15 (ข) ครงเมอใชสมการสมดล (∑M = 0)

ทจดตอ G กจะคานวณหาแรงภายในของชนสวน BC ได หรอเมอใชสมการสมดล (∑M = 0)

ทจดตอ B กจะคานวณหาแรงภายในของชนสวน FG ไดสวนแรงภายในของชนสวน BG จะหาคา

ไดจากสมดลของแรงในแนวตง (∑M = 0)

รปท 3.15 การวเคราะห Method of Sections

สรป ขนตอนการวเคราะหหาแรงภายในโครงขอหมนโดยวธ Method of Sections

1.พจารณาวาโครงขอหมนเปนแบบดเทอรมเนทและมเสถยรภาพหรอไม

2.เขยนผงวตถอสระของโครงสรางทงหมด ใชหลกการสมดลและสมการเงอนไข

คานวณหาแรงปฏกรยาทฐานรองรบทจาเปนตองใช

3.ใชการตดโครงสรางโดยใหระนาบตดนนผานชนสวนทตองการหาแรงระนาบ

ตดจะผานชนสวนไดไมเกน 3 ชนสวนเพราะตวไมทราบคาจะตองไมเกน 3 ตว

4.คานวณหาแรงภายในจากผงวตถอสระของจดตอโดยใชสมการสมดล

( ∑𝐹𝑋 = 0, ∑𝐹𝑌 = 0 และ ∑𝑀 = 0) ชวยในการคานวณ สมการสมดลดงกลาวไม

จาเปนตองใชทงหมด อาจใชพยงสมการเดยวกสามารถหาได

5.ในกรณทระนาบตดผานชนสวนเกนกวา 3 ชนขนไป จะตองใชระนาบตดอกชด

หนงชวยเสรมเพอหาตวไมทราบคาบางตวใหไดกอน

6.เมอใชระนาบตดโครงสรางแลว ใหแยกโครงสรางออกจากกน และเขยนผงวตถ

อสระของโครงสรางทแยกแลวนนโดยจะพจารณาสวนใดกไดขนอยกบความเหมาะสม

จงคานวณหาแรงในชนสวน U1U2,U1L2 และ L1L2 ของโครงขอหมนหรอโครงถก โดยวธ

วเคราะหตรงหนาตด Method of Sections ดงรป

การคานวณ

[∑𝑀𝐿2 = 0]: โมเมนตตามเขมนาฬกา = โมเมนตทวมเขมนาฬกา

(𝟏𝟓)(𝟏𝟔) = (𝟏𝟎)(𝟖) + (𝑼𝟏𝑼𝟐)(𝟔)

𝟐𝟒𝟎 = 𝟖𝟎 + (𝑼𝟏𝑼𝟐)(𝟔)

∴ 𝑼𝟏𝑼𝟐 = 𝟐𝟔.𝟔𝟔𝟕 𝑲𝑵 (𝑪)

[∑𝐹𝑌 = 0]: แรงขน = แรงลง

𝑅1 = 10 + 𝑈1𝐿2(35)

15 = 10 + 𝑈1𝐿2(35)

∴ 𝑈1𝐿2 = 8.333 𝐾𝑁 (𝑇)

[∑𝐹𝑋 = 0]: แรงซา = แรงขวา

𝑈1𝑈2 = 𝑈1𝐿1 �45� + 𝐿1𝐿2

26.667 = 8.333 �45� + 𝐿1𝐿2

∴ 𝐿1𝐿2 = 20 𝐾𝑁 (𝑇)

ตรวจสอบการคานวณ

[∑𝑀𝑈1 = 0]: โมเมนตตามเขมนาฬกา = โมเมนตทวนเขมนาฬกา

(15)(8) = 𝐿1𝐿2(6)

∴ 𝐿1𝐿2 = 20 𝐾𝑁 (𝑇) 𝑂𝐾

การคานวณหาแรงในชนสวน U1U2 , L1L2 และL1U2 โครงถกยนและรบ

นาหนกดงรป (โดยวธวเคราะหตรงหนาตด Method of section )

การคานวณ Section (a)- (a)

∑ML1 = 0 ; โมเมนตตามเขมนาฬกา = โมเมนตทวนเมนาฬกา

(20)(3) + (10)(9) = (U1U2) (5)

60 + 90 = (U1U2) (5)

∴ U1U2 = 30 kN (T)

∑MU2 = 0 ; โมเมนตตามเขมนาฬกา = โมเมนตทวนเมนาฬกา

(10)(6) = (L1L2)(3/3.16)(4)

60 = (L1L2)(3.797)

∴ L1L2 = 15.8 kN (c)

∑FY = 0 ; แรงขน = แรงลง

L1L2 (1/3.16)+(L1U2)(5/5.83) = 20 + 10

15.8(1/3.16) + (L1U2)(5/5.83) = 30

(L1U2)(5/5.83) = 30 – 5

L1U2 = 29.15 kN (c)

ตรวจสอบการคานวณ

∑FY = 0 ; แรงซาย = แรงขวา

U1U2 = (L1L2)(3/3.16) + (L1U2)(3/5.83)

30 = (15.8)(3/3.16) + (29.15)(3/5.83)

30 = 15 +15

30 = 30

หาแรงในชนสวน โดยการวเคราะหทหนาตด

วธทา หาแรงปฏกรยาทฐานรองรบ

RBY = 18,000 กก.

RAY = 6,000 กก.

RAX = 8,000 กก.

ทจด B ∑Mc =0 ; (BD)H x 6 = 18,000 x 8

( BD)H = 24,000 กก.

∑MB =0 ; (BD)V x 8 = (BD)H x 6

(BD)V = 24,000 x 68

=18,000 กก.

BD = 24,000 x 64

=30,000 กก.(ดง)

∑MD = 0 ; (BC)H x 6 = 18,000 x 8

∑MB = 0 ; (BC)H = 24,000 กก.

(BC)V x 8 = (BC)H x 12

(BC)V = 24,000 x 128

= 36,000 กก. (ดง)

BD = 36,000 x √133

= 34,260 กก. (อด)

ทจด A ∑MC = 0 ; (AD)H x 6 = (8,000x12)+(6,000x8)

(AD)H = 24,000 กก.

(AD)V = (AD)H x 34

= 18,000 กก.

AD = (AD)H x 54

= 30,000 กก.

∑MC = 0 ; (AC)H x 6 = (8,000 x 6)+(6,000x8)

(AC)H = 16,000 กก.

(AC)V = (AC)H x 32

= 24,000 กก.

AC = (AC)H x √132

= 28,840 กก. (อด)

จากนนนาแรงภายในตางๆทหาไดระบในชนสวนของโครงสราง โดยแรงดงมคาเปนบวก

และแรงอดมคาเปนลบ

จงหาแรงในแนวแกนในชนสวน EI และ EH ของโครงสรางในรป

วธทา หาแรงปฏกยาทจด A และ O

∑ FX = 0

.∙. AX = 0

∑ MA = 0

60(Oy) = 1,000 (10) + 2,000 (20) + 2,000(40) + 1,000(50)

.∙. Oy = 3,000 กก.

∑ Fy = 0

Ay + Oy = 6,000

.∙. Ay = 3,000 กก.

จากรปโครงขอหมนจะเหนไดวาหากตองการทราบแรงในชนสวน EI และ EH จาเปนตองวเคราะห

แรงทจด E ดงนนตองการหาแรง EG และ ED กอน พจารณาทจด G พบวาแรง GC และ GI ถาเปน

แรงอดกตองเปนแรงอดเหมอนกน หรอถาเปนแรงดงกตองเปนแรงดงเหมอนกน ดงนน เมอแตก

แรงเขาแกน x แกน y จะหกลางกนพอดจงไดวา

GE = -2,000 กก. (อด)

หากตองการหาแรง DE พบวาตองวเคราะหทหนาตด 1 1 โดย∑ MA = 0

DE(20) = 1,000(10)

พจารณาจด E

∑ FX = 0

EI� 1015.62

�+ EH� 1011.66

� = 0

EI = -1.34 EH ______ (1)

∑ Fy = 0

EI� 1015.62

�= 2,000 + 500 + EH� 1011.66

� ______ (2)

แทนคา (1) ลงใน (2)

1.55EH = -2,500

.∙. EH = -1,613 กก. (อด) Ans

แทนคา EH ลงใน (1)

.∙. EI = 2,116 กก. (ดง) Ans

3.3 การวเคราะหโครงสรางขอหมน 3 มต (Analysis of Space Trusses)

ในการวเคราะหโครงขอหมน 3 มตทเปนโครงสรางดเทอรมเนตนยมการวเคราะหท

จดตอสาหรบในกรณทมชนสวนจานวนนอย แตหากมชนสวนจานวนมากการวเคราะห

จะนยมโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอรเพราะจะสะดวกกวาและเกดความผดพลาดไดนอย

กวา พจารณารปท 3.5 เหนไดวาหากตองการหาระยะ S สามารถคานวณไดจาก

S2 = S2xy + S2

z= (S2x+ S2

y) + S2z

= S2x + S2

y + S2z

F2 = F2x + F2

y + F2z

โดย 𝐹𝑆

= 𝐹𝐹𝑆𝐹

= 𝐹𝐹𝑆𝐹

= 𝐹𝑧𝑆𝑧

จงหาแรงภายในทกชนสวนของโครงขอหมน 3 มต เมอมแรงปฏกรยาดงแสดงในรป

และมแรง Ax = 1,000 kg และ Ay = -1,800 kg มากระทาตอโครงสรางในทศทาง

โดยกาหนดความยาวแตละชนสวน ดงน (หนวย m)

ชนสวน Sx Sy Sz S

AB 2.0 1.5 2.0 3.2

AC 2.0 1.5 2.0 3.2

AD 2.0 1.5 2.0 3.2

BC 3.0 0 4.0 5.0

BD 0 0 3.0 3.0

CD 4.0 0 0 4.0

วธทา กอนอนตองหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ Bx,By,Bz,Cy,Cz และ Dy

∑M รอบแกน z = 0

4Cy= 1,000(2)+1,800(2)

.∙. Cy= 1,400 kg ↑y

∑M รอบแกน y = 0

4Cz= 1,000(1.5)

.∙. Cz= 375 kg ↙z

∑M รอบแกนแนว y ทผานจด D = 0

3Bx + 4Cz+1,000(1.5) = 0

.∙. Bx = -1000 kg ↖-x

∑Fz = 0

Bz + C z= 0

.∙. Bz = -375 kg ↗-z

∑M รอบแกน x ผานจด D = 0

3By = 1,800(1.5)

.∙. By = 900 kg ↑y

∑Fy = 0

By + Cy + Dy = 1,800

.∙. Dy = -500 kg ↓ -y

พจารณาทจด B

∑Fy = 0

ABy = -By = -900 kg (อด)

พจารณาทจด C

∑Fy = 0

ACy = -Cy = -1,400 kg (อด)

พจารณาทจด D

∑Fy = 0

ADy = -Dy = 500 kg (ดง)

จาก 𝐹𝑆

= 𝐹𝐹𝑆𝐹

= 𝐹𝐹𝑆𝐹

= 𝐹𝑧𝑆𝑧

.........................................................(1)

และ F = �F2x + F2y + F2z .................................(2)

เมอแทนคาแรงและระยะลงในสมการ (1)และ(2) ดงนนจะไดแรงในชนสวน

AB,AC และ AD ดงน (หนวย kg)

ชนสวน Fx Fy Fz F ชนดของแรง

AB -900 -900 -675 -1440 อด

AC -1400 -1400 -1050 -2240 อด

AD 500 500 375 800 ดง

พจารณาทจด B

∑Fx = 0

Bx + BCx + ABx = 0

BCx = 1,000+900 = 1,900 kg (ดง)

พจารณาทจด B

∑Fz = 0

Bz + BD + ABz + BCz = 0

BD=375+675-3.04.0(1900)

= 385 kg (ดง)

พจารณาทจด D

∑Fx = 0

CD +ADx = 0

CD = -500 kg (อด)

แทนคาแรงและระยะลงในสมการ(1)และ(2) จะไดวา

ชนสวน Fx Fy Fz F ชนดของแรง

BC 1900 0 1430 2380 ดง

BD 0 0 3850 3850 ดง

CD -500 0 0 500 อด

อางอง

-หนงสอเรยน Structure Of Theory ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน มหาวทยาลยมหาสารคาม

-หนงสอการออกแบบโครงสรางไมและเหลก ผศ.มนส อนศร

-หนงสอทฤษฎโครงสราง ผศ.วนจ ชอวเชยร