Embed Size (px)
Citation preview
แบบฝึกหัดทบทวน กลางภาค 206111หน้าที่ 1
1. (6 คะแนน) From the graph of function y = f(x) in the figure below, find the following limits.จากกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่กำหนดให้ จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้
limx→−1−
f(x) = ...................................... limx→−1+
f(x) = ......................................
limx→0−
f(x) = ...................................... limx→0+
f(x) = ......................................
limx→1−
f(x) = ...................................... limx→1+
f(x) = ......................................
2. (4 คะแนน) Compute the following limits. จงคำนวนหาค่าลิมิตต่อไปนี้
limx→1−
[ x− 3
(x− 1)(x− 2)2
]= ......................................
limx→1+
[ x− 3
(x− 1)(x− 2)2
]= ......................................
limx→1
[ x− 1
(x− 3)(x− 2)2
]= ......................................
limx→1
[ x+ 1
(x− 3)(x− 2)2
]= ......................................
3. (4 คะแนน) Is the following function continuous at x = 2 ? ฟังก์ชันต่อไปนี้ ต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่
f(x) =
√x+ 2 , x < 2
2 , x = 2
x2 − 2 , x > 2
1
หน้าที่ 2
4. (2 คะแนน) Let y = 2x + 5 be the equation of the tangent line of function y = f(x) at x = 2 .Then f(2) = ...................................... and f ′(2) = ...................................... .
กำหนดให้ y = 2x+ 5 คือสมการเส้นสัมผัสของฟังก์ชัน y = f(x) ที่ x = 2
จะได้ว่า ค่าของ f(2) = ...................................... และค่าของ f ′(2) = ......................................
5. (2 คะแนน) Given the graph of y = f(x) below, plot the graph of f ′(x) on interval [−1, 2] .
กำหนดให้ y = f(x) มีกราฟดังรูปด้านล่าง จงเขียนกราฟของ f ′(x) บนช่วง [−1, 2]
6. (3 คะแนน) Given f(x) = 4x2 + 1 , find f ′(x) using the definition of derivative.กำหนดให้ f(x) = 4x2 + 1 จงหา f ′(x) โดยใช้นิยาม
7. (4 คะแนน) Let f(x) = |x− 6| . Give an explanation whether f ′(6) exists.กำหนดให้ f(x) = |x− 6| จงพิจารณาว่า f ′(6) หาค่าได้หรือไม่ เพราะเหตุใด
2
8. (5 คะแนน) Find point(s) that a horizontal tangent line of the graph x2+xy+y2 = 3 intersects theline y = −3x . จงหาจุดที่เส้นสัมผัสกราฟแนวนอนของกราฟ x2 + xy + y2 = 3 ตัดกับเส้นตรง y = −3x
9. (2 คะแนน) Use a derivative to evaluate limh→0
cos(π + h) + 1
h.
จงใช้อนุพันธ์ในการหาค่า limh→0
cos(π + h) + 1
h
10. (4 คะแนน) Given f(x) = tan−1 x , derive the formula d
dxtan−1 x =
1
1 + x2.
กำหนดให้ f(x) = tan−1 x จงแสดงที่มาของสูตร d
dxtan−1 x =
1
1 + x2
แบบฝึ กหัดทบทวน กลางภาค 206111
หน้าที่ 3
3
11. (11 คะแนน) Find f ′(x) of the following functions. จงหา f ′(x) ของฟังก์ชันต่อไปนี้
11.1. (2 คะแนน) f(x) =5 + sinx
3ex
11.2. (2 คะแนน) f(x) =√x3 + tanx
11.3. (2 คะแนน) f(x) = ln(2x3
)11.4. (3 คะแนน) f(x) = xlnx
11.5. (2 คะแนน) f(x) = cos−1(1/x)
12. (3 คะแนน) Given y = xex , find∣∣∣d2y
dx2 x=0. กำหนดให้ y = xex จงหา d2y ∣∣∣
dx2 x=0
13. (4 คะแนน) Suppose a right circular cylinder’s radius (r) is increasing at the rate of 3 cm/secwhile its height (h) is decreasing at the rate of 5 cm/sec. How fast is the cylinder’s volume (V )
changing when its radius is 10 cm and its height is 20 cm? [ V = πr2h ]
สมมติให้ รัศมีของทรงกระบอกกลมตรงกำลังเพิ่มขึ้น 3 เซนติเมตรต่อวินาที ในขณะที่ความสูงกำลังลดลงด้วยอัตรา 5 เซนติเมตรต่อวินาที ปริมาตรของทรงกระบอกเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อทรงกระบอกมีรัศมี 10เซนติเมตร และความสูง 20 เซนติเมตร [ V = πr2h ]
14. (4 คะแนน) Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of (9.98)3 .
จงใช้การประมาณเชิงเส้นเฉพาะที่ที่เหมาะสมในการประมาณค่าของ (9.98)3
15. The side of a cube is measured with percentage error within ±0.5% . Use differentials to estimatethe percentage error in the calculated volume.
ในการวัดด้านของลูกบาศก์ มีค่าผิดพลาดจากการวัดไม่เกิน ±0.5% จงใช้ดิฟเฟอเรนเชียลในการประมาณค่าผิดพลาดร้อยละในการคำนวณปริมาตรของลูกบาศก์
แบบฝึกหัดทบทวน กลางภาค 206111
หน้าที่ 4
4
16. (4 คะแนน) Fill in the blank with the correct answer.จงเติมตอบลงในช่องว่าง
limx→−∞
−3x5 − 4x4 − x3 + 7x = .....................................
limx→+∞
√13x2 + 2
x− 11= .....................................
limx→−∞
4x2 + 8
2√x2 − 4= .....................................
limx→+∞
x2 + 14− x = .....................................
17. (9 คะแนน) Evaluate the given limit. จงแสดงวิธีการหาค่าลิมิต
limx→0+
17.1 (2 คะแนน) 3x ln 5x
17.2 (2 คะแนน) limx→0−
1
sinx− 1
x
17.3 (5 คะแนน) limx→+∞
(x+ ex)5/x
18. (8 คะแนน) กำหนดกราฟของอนุพันธ์ของ f(x) นั่นคือกราฟของ f ′(x) ดังนี้
จงหา• ช่วงเปิดที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• ช่วงเปิดที่ f เป็นฟังก์ชันลด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• ค่า x ที่ทำให้เกิดจุดสูงสุดสัมพัทธ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• ค่า x ที่ทำให้เกิดจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• ช่วงเปิดที่ f เป็นโค้งหงาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• ช่วงเปิดที่ f เป็นโค้งคว่ำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• ค่า x ของจุดเปลี่ยนเว้าทั้งหมด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
แบบฝึกหัดทบทวน กลางภาค 206111
หน้าที่ 5
5
19. (3 คะแนน) สมมติเทน้ำใส่ภาชนะดังรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ด้วยอัตราคงที่ จงจับคู่กราฟของความสูงของระดับน้ำy เทียบกับเวลา t
ตอบ .................... ตอบ .................... ตอบ ....................
20. (4 คะแนน) จงยกตัวอย่างกราฟที่ทำให้ข้อความต่อไปนี้เป็นเท็จ20.1. ถ้า 1 เป็นค่าวิกฤต แล้ว จะเกิดจุดต่ำสุด/สูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1
แบบฝึ กหัดทบทวน กลางภาค 206111
หน้าที่ 6
6
20.2. ถ้า f ′(0), f ′(1), f ′(2) < 0 แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [0, 2]
20.3. ถ้า f ′′(1) = 0 แล้ว f มีจุดเปลี่ยนเว้าที่ x = 1
20.4. ถ้า f มี x = 1 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง แล้ว f(1) จะหาค่าไม่ได้
แบบฝึกหัดทบทวน กลางภาค 206111
หน้าที่ 7
7
21. (4 คะแนน) ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติดังต่อไปนี้a. lim
x→−1−f(x) = +∞ และ lim
x→−1+f(x) = 2 และ lim
x→−∞f(x) = 3
b. f(−2) = 0, f(−1) หาค่าไม่ได้, f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = −1
c. f ′(x) ≥ 0 บนช่วง (−2,−1) และ (2,+∞)
d. f ′(x) ≤ 0 บนช่วง (−∞,−2) และ (−1, 2
e. f ′′(x) ≥ 0 บนช่วง (−2,−1) และ (0,+∞)
f. f ′′(x) ≤ 0 บนช่วง (−∞,−2) และ (−1, 0)
จงเขียนกราฟของ f
22. อาจารย์เอ่เอ๊ต้องการเดินด้วยความเร็วคงที่ จากห้องพักไปยังจุดวางขนม และ หยิบขนมไปยังห้องเรียนโดยมีเส้นทางการเดินดังรูป
จงหาว่าควรวางขนมห่างจากจุด X เท่าใด ตามแนวผนัง XY จึงจะทำให้อาจารย์เอ่เอ๊ใช้เวลาน้อยที่สุดในการเดินไปยังห้องเรียน
แบบฝึกหัดทบทวน กลางภาค 206111
แบบฝึกหัดทบทวนกอ่นสอบกลางภาค 1 หนา้ที่ 1
-1
3
2
1
-2 2 -1 1
1. For the function f graphed in the figure, find the following limits.
จากกราฟของฟังก์ชัน f ที่ก าหนดให้ จงหาลิมติต่อไปนี ้
1.1 2
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.2 0
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.3 0
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.4 2
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.5 2
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.6 lim ( )x
f x
=.…………………….
2. Find the limits. จงค านวนหาค่าลิมิตต่อไปนี้
2.1 1
2lim
( 1)( 3)x
x
x x
= ...................................... 2.2
1
1lim
( 2)( 3)x
x
x x
=......................................
2.3 2
2
3lim
( 2)x
x
x
=...................................... 2.4
22
1lim
( 2)x
x
x
=......................................
3. Show that, the function 2 5, 3
( )13 3
x xf x
x x
is continuous at x = 3.
จงแสดงว่าฟังก์ชัน 2 5, 3
( )13 3
x xf x
x x
ต่อเนื่องที่จุด x = 3 Let ( ) 1.f x x Use definition of
derivative to find '( )f x , and then find '(8)f .
ก าหนดให้ ( ) 1f x x จงหา '( )f x โดยใช้นิยามของอนุพันธ์และหา '(8)f Let ( ) sin .f x x Find all positive integers n for which ( ) ( ) cos .nf x x ให้ ( ) sinf x x จงหาจ านวนนับ n ทั้งหมด ที ่ ( ) ( ) cosnf x x 4. Find (3)g given that ( ) ( 1) ( ),g x x f x (3) 3f and (3) 2f .
จงหา (3)g เมื่อ ( ) ( 1) ( ),g x x f x (3) 3f และ (3) 2f Let 1l and
2l be tangent lines of 2( ) 4 1f x x x at ( 2, 5) and (2,11) , respectively. Find an intersection of
1l and 2l .
ให้ 1l เป็นเส้นสัมผัสกราฟ 2( ) 4 1f x x x ที่จุด ( 2, 5) และ
2l เป็นเส้นสัมผัสกราฟ 2( ) 4 1f x x x ที่จุด
(2,11) จงหาจุดตัดของ 1l และ 2l Find ( )f x of the following functions. จงหา ( )f x ของฟังก์ชันต่อไปนี้
8.1 41( ) 3
ef x x
x
8.2 12( ) ( cos )f x x
8.3 ( ) sin tanf x x x
แบบฝึกหัดทบทวนกอ่นสอบกลางภาค 1 หนา้ที่ 2
5. Given 2sin y x y , find 2
2.
d y
dx ก าหนดให้ 2sin y x y จงหา
2
2
d y
dx
6. Given 1cosy x , derive the formula 1
2
1cos
1
dx
dx x
.
ก าหนดให้ 1cosy x จงแสดงที่มาของสูตร 1
2
1cos
1
dx
dx x
7. Given 1 2
2558( ) (2015) log tan ( 111)xf x x x , find '( )f x .
ให้ 1 2
2558( ) (2015) log tan ( 111)xf x x x จงหา '( )f x
8. Find '( )f x by using logarithmic differentiation. จงหา '( )f x โดยใช้ลอการทิึม
12.1 )(( )xef x x
12.25
2( 10 ) 2(
1)
xf
xx
x
9. Miss Pribproud's height increases at a rate 0.10 m/year and her weight increases at a rate 4 kg/year.
How fast is the Body Mass Index (B) changing when her height is 1 m and her weight is 40 kg.
[2
xB
y when x is weight (kg) and y is height (m)]
ความสูงของนางสาวพริบพราวเพิ่มขึน้ด้วยอัตรา 0.10 เมตร/ปี และน้ าหนักเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 4 กิโลกรัมตอ่ปี
จงหาว่าดัชนีมวลกาย (B) เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อพริบพราวสูง 1 เมตรและหนัก 40 กิโลกรัม
[2
xB
y , เมื่อ x แทนน้ าหนัก (กิโลกรัม) และ y แทนความสูง (เมตร)]
10. Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of 5(1.97) .
จงใช้การประมาณเชิงเส้นเฉพาะที่ที่เหมาะสมในการประมาณค่าของ 5(1.97)
11. The side of a cube is measured with a ruler to be 50 inches with a measurement error of at most 1
15 . Use
differentials to estimate the error in the calculated surface area. วัดความยาวด้านของลูกบาศก์ได้ 50 นิ้ว โดยมีค่า
ผดิพลาดจากการวัดไม่เกิน 1
15 นิว้ จงใชด้ิฟเฟอเรนเชียลในการประมาณค่าผดิพลาดในการค านวณพื้นที่ผวิของ
ลูกบาศก์นี้
12. Find the limits. จงหาลิมติ
16.1 6
3
3lim
8x
x x
x
16.2 4 2lim 5x
x x
13. Evaluate the given limit. จงแสดงวธิีการหาค่าลิมติ
17.1 0
111lim
sinx
x
x
17.2 2
2(lim 2)x
xx
แบบฝึกหัดทบทวนกอ่นสอบกลางภาค 1 หนา้ที่ 3
14. Let 2( 2)( 2)( )
( 4)( 4)
x xf x
x x
. Given that
2
2 2 3 3
48 48(16 3 )'( ) , ''( )
( 4) ( 4) ( 4) ( 4)
x xf x f x
x x x x
Determine the following properties of the graph of f .
ก าหนด 2( 2)( 2)( )
( 4)( 4)
x xf x
x x
และให้
2
2 2 3 3
48 48(16 3 )'( ) , ''( )
( 4) ( 4) ( 4) ( 4)
x xf x f x
x x x x
จงหาสมบัติต่าง ๆ ดังขา้งล่าง ของกราฟของฟังก์ชัน f
18.1 The x- and y-intercepts. จุดตัดแกน x และ จุดตัดแกน y
18.2 The vertical asymptotes and the horizontal asymptotes. เส้นก ากับในแนวดิ่งและแนวนอน
18.3 The intervals of increase and decrease. ช่วงที่กราฟเป็นฟังก์ชันเพิ่มและช่วงที่เป็นฟังก์ชันลด
18.4 The intervals of concave up and concave down. ช่วงที่กราฟโค้งหงาย และช่วงที่กราฟโค้งคว่ า
18.5 The relative extrema and inflection points จุดสุงสุดสัมพัทธ์ ต่ าสุดสัมพัทธ์ และจุดเปลี่ยนโค้ง
18.6 Sketch the graph. วาดกราฟของฟังก์ชัน f
19. In each part, use the graph of ( )y f x in the accompanying figure to find the requested information.
ก าหนดกราฟ ( )y f x ดังรูป จงหา
y
y = f (x)
3 4 x
1 2 5 6 7
X
Y
แบบฝึกหัดทบทวนกอ่นสอบกลางภาค 1 หนา้ที่ 4
19.1 Complete the table that shows the signs of 'f and ''f over the given intervals.
จงเติมเครื่องหมาย + หรอื – ของ 'f และ ''f บนช่วงที่ก าหนด ในตารางข้างล่าง
Interval Sign of 'f signs of ''f
1 2x
2 3x
3 4x
4 5x
5 6x
6 7x
19.2 Find the x-coordinates of all inflection points. หาค่า x ที่เป็นจุดเปลี่ยนโค้ง
20. A garden is to be laid out in a rectangular area and protected by a chicken wire fence. What is the largest
possible area of the garden if only 300 running feet of chicken wire is available for the fence?
ต้องการล้อมรัว้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อเลี้ยงไก่ โดยที่ความยาวของรัว้ทั้งหมดคือ 300 ฟุต จงหาว่ารั้วแต่ละด้าน
จะต้องมคีวามยาวเท่าใด จึงจะได้พื้นที่เลีย้งไก่มากที่สุด และได้พื้นที่เท่าใด
แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 1
1. For the function f graphed in the figure, find the following limits.
จากกราฟของฟังก์ชัน f ที่ก าหนดให้ จงหาลิมติต่อไปนี้
1.1 2
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.2 2
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.3
0lim ( )x
f x
=.…………………….
1.4 0
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.5 0
lim ( )x
f x
=.…………………….
1.6 4
lim ( )x
f x
=.…………………….
2. Find the limits. จงค านวนหาค่าลิมิตต่อไปนี้
2.1 3
7lim
( 3) xx
x
x e
...................................... 2.2
3
3lim
sin 2x
x
x
......................................
2.2 3
0
6lim
x
x
x x
...................................... 2.4
90
ln(5 )limx
x
x
......................................
3. Show that, the function 2
1, 1
1( )
cos 13
xx
f xx
x
is continuous at x = 1.
จงแสดงว่าฟังกชั์น 2
1, 1
1( )
cos 13
xx
f xx
x
ต่อเนื่องที่จุด x = 1
4. ก าหนดให้ 4 3( ) 3 9f x x kx และ 1
( ) (1)lim 0
1x
f x f
x
4.1 จงหาค่าของ (1)f (โดยไม่ติดค่า k )
4.2 จงหาสมการเส้นสัมผัสกราฟ f ที่จุด (1,3)
4.3 จงหาค่า k
4.4 จงหา (3)f
5. ก าหนดให้ และ เปนนฟังก์ชันที่หาอนุััน์์ได้ และ 1 8, (1) 5d
f g fdx
จงหา (1)g
6. ให้ ( )y f x เปนนฟังก์ชันที่ (98) 101( )y x x จงหา (100)( )y x
-2 0
2
1
-3
4
แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 2
7. จงแสดงวิ์ ีหาอนุััน์์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
7.1 5 222 cos
( )7
t tf t
t
7.2 13 tan
( )2558
x xf x
7.3 5( ) log (cos )f
8. จงแสดงที่มาของสูตร 1
2
1sin
1
dx
dx x
9. ก าหนดค่าของฟังก์ชันและอนุััน์์ ดังตาราง
x ( )f x ( )f x
3 1 3
9 2 5
9.1 จงหา (3)g เมื่อก าหนด 2
( ) ( )g x f x
9.2 จงหา (3)h เมื่อก าหนด 2( ) ( )h x f x
10. จงหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟของ 2yxy e x ที่จุด (1,0)
11. ก าหนดให้ tan( ) xf x x จงหา ( )f x โดยใช้ลอการทิึม
12. Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of 1.1e
จงใช้การประมาณเชิงเส้นที่เหมาะสมในการประมาณค่าของ 1.1e (ในการค านวณค่าใหแ้ทน e ดว้ย 2.7 )A student has
developed a software for calculating a volume of a sphere. The software takes a radius as an input. The student
wanted to find the volume of a sphere with 3 inch radius, but he made a mistake by entering 3.1 into the software.
Use differentials to estimate the error of the volume calculation 34
3
rV
.
นักเรียนคนหนึ่งสร้างโปรแกรมส าหรับหาปริมาตรของทรงกลมโดยป้อนคา่รัศมเีท่านั้น ซึ่งเขาจะทดลองหาปริมาตรของทรง
กลมรัศมี 3 นิว้ แต่ป้อนค่าผิดเปนน 3.1 นิว้ จงใชด้ิฟเฟอเรนเชียลในการประมาณค่าผดิัลาดในการค านวณปริมาตรของ
ทรงกลม 34
3
rV
If ,x y and z are lengths of the edges of a rectangular box, the common length of box’s
diagonals is 2 2 2s x y z . Assuming that ,x y and z are differentiable functions of t , how is ds
dt related to
,dx
dt dy
dtand dz
dt. ให้ ,x y และ z เปนนความยาวของด้านของกล่องสี่เหลี่ยมซึ่งมคีวามยาวเส้นทแยงมุมคือ
2 2 2s x y z สมมตใิห้ ,x y และ z เปนนฟังก์ชันที่หาอนุััน์์ได้ในตัวแปร t
14.1 จงหา ds
dt ในรูปของ ,
dx
dt dy
dt และ dz
dt
แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 3
14.2 เมื่อดา้นกว้าง ( )x เัิ่มขึน้ด้วยอัตรา 2 หนว่ยต่อวินาที ด้านยาว ( )y ลดลงด้วยอัตรา 1 หนว่ยต่อวินาที ดา้นสูง
( )z เัิ่มขึน้ด้วยอัตรา 3 หนว่ยต่อวินาที จงหา ds
dt เมื่อ 3,x 4y และ 5z ัร้อมทั้งอ์ิบายความหมายของ
ค่าที่ค านวณได้
13. A girl flies a kite at a height of 300 ft, the wind carrying the kite horizontally away from her at rate of 25 ft/sec.
How fast must she let out the string when the kite is 500 ft away from her?
เด็กหญิงคนหนึ่งก าลังเล่นว่าว ซึ่งอยู่ที่ความสูง 300 ฟุต ลมได้ััดว่าวในแนวนอนทิศทางัุ่งออกจากเด็กหญิงดว้ย
อัตราเร็ว 25 ฟุต/วนิาที ในขณะที่วา่วอยู่ห่างจากเด็กหญิงเปนนระยะทาง 500 ฟุต อัตราเร็วในการปล่อยสายป่านว่าว
ของเด็กหญิงเท่ากับเท่าใด?
14. Find the limits. จงหาลิมติ
16.1 4
2
36 100lim
8x
x
x
16.2 lim 5 4x
x x
15. Evaluate the given limit. จงแสดงวิ์ ีการหาค่าลิมติ
17.1
0
sinlim
sin 7x
x
x
17.2 2
0lim
1
2
x
x x
16. จงหาจดุวิกฤตของฟงักชั์น 2
2( )
4
xf x
x
300 เมตร
แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 4
17. The picture shows the graph of dervatives ( )f x of the function ( )f x on a closed interval [ 3,5] .
ภาัแสดงกราฟของอนุััน์์ ( )f x ของฟังก์ชัน ( )f x บนช่วงปิด [ 3,5]
Determine the following properties of the graph of f . จงหาสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี ้ของกราฟของฟังก์ชัน f
19.1 The intervals of increase. ช่วงที่กราฟเปนนฟังก์ชันเัิ่ม
19.2 The intervals of decrease. ช่วงที่กราฟเปนนฟังก์ชันลด
19.3 The intervals of concave up. ช่วงที่กราฟโค้งหงาย (เว้าขึ้น)
19.4 The intervals of concave down. ช่วงที่กราฟโค้งคว่ า (เว้าลง)
19.5 The relative extrema points. ค่า x ที่ท าให้เกิดจุดสุงสุดสัมััท์์ ต่ าสุดสัมััท์์
18. จงใช้ขอ้มลูที่ก าหนดให้เัื่อวาดกราฟของ ( )y f x ซึ่งมสีมบัตดิังตอ่ไปนี้
a) ( )y f x เปนนฟังก์ชันที่หาค่าได้ทุกจุด และต่อเนื่องยกเว้นเัียงจุดเดียว
b) ( ) 0f x ที ่ 3x และ ( )f x หาค่าไม่ได้ที่ 3x , 4
c) ( 3) 0, (0) 3f f และ (4) 1f
d) lim ( )x
f x
, 4
lim ( )x
f x
, 4
lim ( ) 1x
f x
และ lim ( ) 4x
f x
e) ก าหนดค่าของ ( )f x และ ( )f x ดังตอ่ไปนี ้
-3 0 4
ค่าของ
ค่าของ
-2
2
-1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 5
19. Sketch a graph of f on the interval [ 3,3] satisfied each of the following conditions (if exists).
จงวาดกราฟของฟังก์ชัน f บนช่วง [ 3,3] ซึ่งมีสมบัติดังตอ่ไปนี้ (ถ้ามี)
21.1 f does not has any absolute maximum on [ 3,3] .
f ไม่มคี่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วง [ 3,3]
21.2 f has an absolute minimum on [ 3,3] , but there is not any critical point of f in [ 3,3] .
f มีคา่ต่ าสุดสัมบูรณ์บนชว่ง [ 3,3] แต ่ f ไม่มคี่าวิกฤตในชว่ง [ 3,3]
แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 6
20. Suppose that 3 2( ) 15 72 8s f t t t x is the position function of a particle, where s is in meters and t is
in seconds.
ก าหนดสมการต าแหน่งของอนุภาคดังตอ่ไปนี้ 3 2( ) 15 72 8s f t t t x
โดย s มีหน่วยเปนนเมตร และ t มีหน่วยเปนนวินาที
22.1 At what time that the particle is at its highest speed?
ณ เวลาใดอนุภาคจึงจะมีความเร็วสูงสุด
22.2 Find the lowest velocity of the particle over the time interval [3, 6]
จงหาความเร็วต่ าสุดของอนุภาคในช่วงเวลา [3, 6]
แบบฝึกหัดทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที ่1
1. From the given graph of the function ,f find the following limits.
จากกราฟของฟังก์ชัน f ที่ก าหนดให้ จงหาลิมติต่อไปนี้
a) 1
lim ( )x
f x
b) 1
lim ( )x
f x
c) 2
lim ( )x
f x
d) 3
lim ( )x
f x
e) lim ( )x
f x
f) 2
4lim ( ( ))x
x f x
2. Find the following limits. จงหาลิมิตต่อไปนี้
a) 0
( 3)( 2)lim
( 0.0001)x
x x
x x
b) 9
9lim
3x
x
x
3. The values of x (if any) where the function 2
3 4( )
7 12
xf x
x x
is discontinuous are
ค่า x (ถ้ามี) ที่ท าให้ฟังก์ชัน 2
3 4( )
7 12
xf x
x x
ไม่ต่อเนื่อง คือ x
4. Consider the function พิจารณาฟังก์ชัน 2 , 1
( ) 5 1, 1 2
9, 2
x x
g x x x
x
a) Show that g is continuous at 2.x จงแสดงว่า g ต่อเนื่องที่ 2x
b) Is g continuous on the interval [1,2]? Justify your answer.
g ต่อเนื่องบนช่วง [1,2] หรอืไม่ เพราะเหตุใด
5. Suppose that a function f is continuous everywhere and that ( 1) 2f , (0) 3f , and (2) 7.f Does the Intermediate-
Value Theorem guarantee that the equation ( ) 5f x has an answer on the following intervals? สมมติ f เป็นฟังกชั์นที่
ต่อเนื่องทุกจุด โดยที่ ( 1) 2f (0) 3f และ (2) 7f จงระบุว่าทฤษฎีบท
คา่ระหว่างกลางสามารถสรุปได้วา่มีค าตอบของสมการ ( ) 5f x อยู่ในช่วงต่อไปนีห้รอืไม ่
a) [ 1,0] สรุป (ได/้ไม่ได)้ เพราะ
b) [0,2] สรุป (ได/้ไม่ได)้ เพราะ
6. Let f be a function defined by
ให้ f เป็นฟังก์ชันทีน่ิยามโดย 2 , 1
( ), 1
x xf x
ax b x
a) Find a condition on a and b such that f is continuous at 1.x
จงหาเงื่อนไขของ aและ b ที่ท าให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ 1x
b) If f is differentiable at 1,x find a and .b ถ้า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ 1x จงหาค่าของ a และ b
แบบฝึกหัดทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที ่2
7. Sketch the graph of a function that is continuous everywhere, but not differentiable at 1.x
Give a reason why your answer works. จงวาดกราฟของฟังก์ชันซึ่งต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่
1x พร้อมใหเ้หตุผลประกอบ
8. Let f be a function given by
ให้ f เป็นฟังก์ชันทีน่ิยามโดย 5 4 3 2( ) 2 3 11 16 17f x x x x x x
Find จงหา
a) ( )f x
b) 5
5
206111x
d f
dx
c) an equation of the tangent line to the curve of ( )y f x at 1.x
จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ( )y f x ที่ 1x
9. Find dy
dx of the following functions. จงหา dy
dx ของฟังก์ชันต่อไปนี้
a) siny x x
b) 99tan (99 )y x
c) 159log2016 cos
25
e x xy e x
10. Let f and g be differentiable functions such that (2) 1, (2) (2) 32 , ff g and (2) 4 g . ก าหนดให้ f
และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดยที่ (2) 1 (2) (2) 32 ff g และ (2) 4 g
a) Find จงหา (2)f
g
b) If ( ) sin( ( ) 1)h x f x , then find (2).h ถ้า ( ) sin( ( ) 1)h x f x จงหา (2)h
11. Use implicit differentiation to find dy
dx if 1sin 111 .
xx y
จงใช้อนุพันธ์โดยปริยายหา dy
dx ถ้า 1sin 111
xx y
12. Given ln( ) ,xf x x find ( )f x by using logarithmic differentiation.
ก าหนดให้ ln( ) xf x x จงหา ( )f x โดยใช้ลอการทิึม
Reason เหตุผล
แบบฝึกหัดทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที ่3
13. Derive the following formula.
จงแสดงที่มาของสูตรต่อไปนี ้ 1 2
4
2tan
1
d xx
dx x
14. A particle is moving along the curve 2 2
1,2 8
x y where x and y are differentiable functions of time t . Find
the rate of change of y with respect to time at the point (1,2) when x is decreasing at a rate of 1
unit/second.
อนุภาคหนึ่งก าลังเคลื่อนที่ตามเส้นโค้ง 2 2
1,2 8
x y โดยที ่ x และ y เป็นฟังก์ชันของเวลา t ที่หาอนุพันธ์ได้ จงหา
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับเวลา ที่จุด (1,2) เมื่อ x ก าลังลดลงด้วยอัตรา 1 หนว่ยต่อวินาที
15. Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of 3.0510 , given ln10 2.30.
จงใช้การประมาณเชิงเส้นที่เหมาะสมในการประมาณค่าของ 3.0510 (ในการค านวณใหใ้ช้ ln10 2.30 )
16. The length L of a pendulum and its period T are related by the equation
ความยาวเชือกของเพนดูลัม L และคาบของเพนดูลัม T สัมพันธ์กันตามสมการ
2L
Tg
where g is a constant due to gravity. โดยที ่ g เป็นค่าคงตัวอันเนื่องมาจากความถ่วง
a) The differential of T with respect to L is
ดิฟเฟอเรนเชยีลของ T เมื่อเทียบกับ L คือ
b) If the length of the pendulum is measured as 90 cm with an error of 0.3 cm, estimate the error in
computation of the period of the pendulum, given 3.14 and 10.g
ถ้าวัดความยาวเชอืกของเพนดูลัมได้ 90 เซนติเมตร ด้วยค่าความผดิพลาด 0.3 เซนติเมตร จงประมาณค่าความ
ผดิพลาดในการค านวณคาบของเพนดูลัม (ในการค านวณใหใ้ช้ 3.14 และ 10g ) 17. Find the following limits if they exist. In the case when any limit is infinity, indicate the limit as or จงหา
ค่าของลมิิตต่อไปนี้ ถ้าลมิิตหาค่าได้ ในกรณีที่ลมิิตเป็น หรอื ให้ระบุด้วย
a) 5 3 2
( 3 2 10lim )
xx x x
b) lim1
1 xx e
c)
2
lim8
x
x
x
18. Indicate the type of an indeterminate form of the following limit. Also, find the limit.
จงระบุว่าลิมิตต่อไปนี้อยู่ในรูปแบบยังไม่ก าหนดชนิดใด และแสดงวธิีหาค่าลิมิต
0cosec
silim
nx
xex
x
แบบฝึกหัดทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที ่4
19. The picture shows the graph of the derivatives ( )f x of a function f on [ 2,6] .
ภาพแสดง กราฟของอนุพันธ์ ( )f x ของฟังก์ชัน f บนช่วงปิด [ 2,6]
Find จงหา
a) the intervals on which f is increasing.
ช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
b) the intervals on which f is concave down.
ช่วงที่ f เว้าลง
c) all the values of x at which f has an inflection point.
ค่า x ทั้งหมดที่ท าให้เกิดจุดเปลี่ยนเว้า
d) all the values of x at which f has a relative extremum.
ค่า x ทั้งหมดที่ท าให้เกิดจุดสุดขีดสัมพัทธ์
20. Assume that ( )y f x is differentiable everywhere. Determine whether the following statements are true or
false. Explain your reasons. ก าหนดให้ ( )y f x เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุด จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนีเ้ป็น
จรงิหรือเท็จ พร้อมทั้งอธิบายเหตุผล
a) If ( ) 0f x on (2,4), then (2) (3) (4).f f f ถ้า ( ) 0f x บนช่วง (2,4) แล้ว (2) (3) (4)f f f
b) If (3) 0,f then f is increasing on (2,4). ถ้า (3) 0f แล้ว f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (2,4)
21. Find the value of k for which the critical points of 3( ) 5f x x kx are 2 and 2.
จงหาค่า k ที่ท าให้ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน 3( ) 5f x x kx คือ 2 และ 2
22. A function f has the derivative
ฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์คอื 2( ) ( 1) ( 2)f x x x
Answer the following questions. จงตอบค าถามตอ่ไปนี้
a) Determine the critical point of f . จงหาค่าวิกฤตของ f
b) Find the intervals on which f is decreasing. จงหาช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันลด
c) Find the intervals on which f is concave up. จงหาช่วงที่กราฟของ f โค้งหงาย (เว้าขึน้)
d) At each critical point determine whether f has a relative maximum, relative minimum, or neither occurs.
จงทดสอบค่าวิกฤตที่ได้จากข้อ a) ว่าท าให้ f มคี่าสูงสุดสัมพัทธ์หรอืค่าต่ าสุดสัมพัทธ์หรอืไม่
แบบฝึกหัดทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที ่5
23. You want to fence a rectangular piece of land and can afford to pay at most 8,000฿ for the fencing. Along an
adjoining road it will cost 120฿ per meter while the other three sides will cost only 80฿ per meter. What are the
dimensions of the largest piece of land you can fence this way?
ต้องการล้อมรัว้รอบบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา้และสามารถจา่ยเงนิค่าล้อมรัว้ได้อย่างมาก 8,000 บาท การล้อมรัว้ด้านที่
ติดถนนเสียค่าใช้จ่าย 120 บาทต่อเมตร และอกีสามด้านที่ไม่ติดถนนจะเสียค่าใช้จา่ย 80บาทต่อเมตร จงหาขนาดของ
บริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา้ที่มพีื้นที่มากที่สุดที่สามารถล้อมรัว้ได้
24. จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน f เมื่อ f มีสมบัติดังนี้
f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน 2 และ f หาอนุพันธ์ได้บน 2,5
เส้นก ากับแนวนอน (horizontal asymptote) ของกราฟของ f คือ 1y
เส้นก ากับแนวยืน (vertical asymptote) ของกราฟของ f คือ 2x
(1) 2, (3) 1, (5) 0, (1) 0, (3) 0f f f f f
lim ( ) ,
x
f x lim ( ) 1,
x
f x 2
lim ( ) ,
x
f x 2
lim ( )
x
f x
x เครื่องหมายของ f เครื่องหมายของ f
1x
1 2x
2 3x
3 5x
5x
