ฟิสิกส์ทั่วไป - static.se-ed.com · เอกสารค าสอนวิชาฟิสิกส์ทั่วไป - 13 ผู้ช่วยศาสตราจารย์สุชาติ

EXAMPLE

เอกสารค าสอนวชาฟสกสทวไป - 2

ผชวยศาสตราจารยสชาต สภาพ คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร

สำรบญ

หนำ

บทน ำ 6 บทท 1 เวกเตอร และกำรเคลอนท 12 1.1 เวกเตอรต ำแหนง 19 1.2 การคณเวกเตอรดวยสเกลาร 26 1.3 การเคลอนท ใน 1 มต 39 1.4 การตกอยางเสร 48 1.5 การเคลอนทในระนาบ 2 มต 52 1.6 การเคลอนทวถโคง 52 1.7 ความเรวสมพทธ 63 บทท 2 กฎกำรเคลอนท 82 2.1 กฎของนวตน 82 2.2 แรงเสยดทาน 95 2.3 การเคลอนทเปนวงกลม 109 2.4 กฎความโนมถวงสากลของนวตน 125 บทท 3 งาน - พลงงาน และโมเมนตม 140 3.1 งาน 141 3.2 งาน – พลงงาน 148 3.3 ก าลงงาน 158 3.4 การดลและโมเมนตม 168 3.5 กฎการอนรกษโมเมนตม 171 3.6 การชน 178 บทท 4 กำรหมนและกำรเคลอนทแบบคำบ 185 4.1 การกระจดเชงมม ความเรวเชงมมและความเรงเชงมม 196 4.2 การหมนดวยความเรงเชงมมคงตว 199 4.3 แรงบด 211

EXAMPLE



บทท 1 เวกเตอร และกำรเคลอนท

ท ำไมตองเรยนเรองเวกเตอร

แนนอนวาถาเรายงเปนมนษยโบราณและยงอาศยอยในถ า เราคงไมมความจ าเปนตองเรยนเรองเวกเตอรอยางแนนอน เพราะวาเรองนคงไมจ าเปนส าหรบมนษยถ า แตเนองจากเราเกดมาในยคนการไมเรยนรอะไรเลย คงไมได เพราะวาวทยาการในปจจบนกาวหนาไปอยางมาก และการเรยนรเกยวกบเวกเตอรกมความจ าเปน เพราะวาปรมาณหลายปรมาณทเกยวของกบชวตประจ าวนของเราเปนปรมาณเวกเตอร เชน แรง ความเรว ฯลฯ

รป 1.1 แอปเปลขนาดใหญ 3 ลก ขนาดเลก 2 ลก

ถาถามวามแอปเปลทงหมดกลก ทกคนกตอบได ในท านองเดยวกน ถาถามวารปทรงเรขาคณตในรปขางลางมกชน เรากตอบได

EXAMPLE



รป 1. 2 การรวมจ านวนทงหมด

หรอถาถามวามลกทออย 5 ลก รบประทานไป แลว 2 ลก ตอนนเหลอลกทอกลก ทกคนกตอบได

รป 1. 3 ลกทอ

แตถาถามวาเครองบน บนไปทางทศเหนอดวยความเรว 500 ไมลตอชวโมง ในขณะเดยวกนลมกพดไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 100 ไมลตอชวโมง อยากทราบวาในขณะนนเครองบนมความเรวเทาไร ? เมอเทยบกบพนดน และเครองบน เคลอนทไปในทศทางใด ? เราคงตอบไดล าบากแน ถาไมไดเรยนเรองเวกเตอร

รป 1. 4 การเดนทางของเครองบน

EXAMPLE



2. กำรสรำงสำมเหลยม

ท าไดโดยการใหจดเรมตนของเวกเตอรทงสองมาอยทต าแหนงเดยวกน ผลลบของเวกเตอรทงสอง มคาเทากบเวกเตอรทลากจากจดปลายของเวกเตอรทน าไปลบ ไปยงจดปลายของเวกเตอรทเปนตวตง ดงรป 1.28

รป 1.28 การสรางสามเหลยม

รป 1.29 เปรยบเทยบการบวกเวกเตอรกบการลบเวกเตอร

รป 1.30 วธการลบเวกเตอรทแตกตางกน 2 วธ

EXAMPLE



การบวก ลบ เวกเตอรในชวตประจ าวนไดแกการบวกความเรวของคนทวายน าในแมน าล าคลอง ในขณะทวายทวนน าหรอตามน า ถาวายตามน ากเปนการบวกเวกเตอรระหวางเวกเตอรความเรวของคนทวายน ากบเวกเตอรความเรวของกระแสน า ถาวายทวนน ากเปนการลบเวกเตอร

รป 1.31 การวายน าทวนหรอตามน า เปนการบวกลบเวกเตอรในชวตประจ าวน

1.2 กำรคณเวกเตอรดวยสเกลำร (scalar multiplication )

เมอคณเวกเตอรดวยสเกลาร เวกเตอรผลลพธจะมขนาดเทากบผลคณของปรมาณทงสอง และมทศเดยวกบเวกเตอร ถาสเกลารทน ามาคณเปนบวก แตจะมทศตรงขาม ถาสเกลารทน ามาคณเปนลบ

รป 1.32 การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

EXAMPLE



ตวอยำงของปรมำณเวกเตอร ทคณดวยปรมำณสเกลำร

ปรมำณเวกเตอร

ปรมำณสเกลำรทน ำมำคณ

ปรมำณทได

ความเรว ( )v

มวล ( )m โมเมนตม ( )P

ความเรง ( )a

มวล ( )m แรง ( )F

ความเรว ( )v

เวลา ( )t การกระจด ( )x

ความเรง ( )a

เวลา ( )t ความเรว ( )v

A

3 3A

เวกเตอรในระบบพกดฉำก

เวกเตอรในระบบพกดฉาก 2 มต

รป 1.33 เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

EXAMPLE



เนองจากเวกเตอร r ในรป 1.33 เมอแตกใหอยในแนวแกน X มขนาดเทากบ x เมอแตก

ใหอยในแนวแกน Y มขนาดเทากบ y ในกรณนเขยนแทนเวกเตอร r ดวย x

y

หรอ x yi j

ในทนจะใช x yi j ดงนนเวกเตอรทมจดเรมตนทจดก าเนด และจดปลายอยทจด ( , )a b คอเวกเตอร a bi j

รป 1.34 เวกเตอร a bi j

เวกเตอรในระบบพกดฉำกสำมมต

รป 1.35 เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

เนองจากเวกเตอร A ในรป 1.35 เมอแตกใหอยในแนวแกน X มขนาดเทากบ xA เมอแตกใหอยในแนวแกน Y มขนาดเทากบ yA และเมอแตกใหอยในแนวแกน Z มขนาดเทากบ zA ในกรณนเวกเตอร A คอเวกเตอร x y zA A A i j k

EXAMPLE



เวกเตอรหนงหนวยใน 3 มต

เวกเตอรหนงหนวยทชไปในแนวแกน x เรยกวา เวกเตอร i เวกเตอรหนงหนวยทชไปในแนวแกน y เรยกวา เวกเตอร j เวกเตอรหนงหนวยทชไปในแนวแกน z เรยกวา เวกเตอร k

รป 1.36 เวกเตอรหนงหนวยใน 3 มต

รป 1.37 ก าหนดแกน ,i j และ k โดยใชกฎมอขวา

การก าหนดเวกเตอรหนงหนวย ,i j และ k กใชกฎมอขวาเชนเดยวกบการก าหนดแกน x ,y และ z ในระบบพกดฉาก 3 มต

EXAMPLE



ปรมำณเวกเตอร 2 ปรมำณ คณกน

รป 1.38 เวกเตอร 2 เวกเตอร

นกเรยนทกคนเคยคณเลขกนมาแลว การคณเลขทกลาวถงเกอบทงหมดเปนการคณกนระหวางปรมาณสเกลารดวยกนเอง ซงการคณกนแบบนทกคนคนเคยกนเปนอยางด แตใน หวขอนจะกลาวถงการคณเลข เมอปรมาณทน ามาคณกนเปนปรมาณเวกเตอร เมอน าเอาปรมาณเวกเตอรมาคณกน ผลลพธทไดอาจเปนปรมาณเวกเตอรหรอสเกลารกได ขนอยกบวธการคณกนของเวกเตอร เชน

1) ถาปรมาณเวกเตอรทน ามาคณกนนนเปนแรงกบระยะกระจด ผลคณทไดจะเปนงานซงเปนปรมาณสเกลาร

2) หรอถาปรมาณเวกเตอรทน ามาคณกนนนเปนแรงกบระยะทางทตงฉากกบแนวแรง ผลคณทไดจะเปนแรงบดซงปรมาณเวกเตอร เปนตน

ดงนนการคณเวกเตอรจงม 2 แบบดวยกนคอ

1) กำรคณเวกเตอรทใหผลลพธเปนปรมำณสเกลำร 2) กำรคณเวกเตอรทใหผลลพธเปนปรมำณเวกเตอร

1) กำรคณเวกเตอรทใหผลลพธเปนปรมำณสเกลำร

การคณเวกเตอรแบบนเรยกวาการคณแบบดอท (Dot Product) หรอผลคณเชงสเกลาร ถาให a และ b เปนเวกเตอรทจะน ามาคณกน

EXAMPLE



รป 1.67 แนวราบความเรวคงตว แนวดงความเรงคงตว

ตวอยางของการเคลอนทวถโคง ไดแกการเคลอนทของลกฟตบอล ลกกอลฟ เทนนส แบดมนตน เปตอง วอลเลยบอล การเคลอนทของลกปนใหญ ฯลฯ วถการเคลอนทวถโคง จะมเสนทางการเคลอนทเปนเสนโคงรปพาราโบลา ดงรป 1.68

รปท 1.68 การเคลอนทวถโคง

เนองจากระยะทางในแนวราบขนอยกบความเรวตนและมม เมอพลอตกราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางในแนวดงกบระยะทางในแนวราบ จะไดกราฟ ดงรป 1.69

EXAMPLE



รป 1.69 วถการเคลอนท ทมมเรมตนตางๆกน

จากรป 1.69 จะเหนวาเมอมม 045i จะไดระยะทางในแนวราบมากทสด และจะพบวาระยะไกลสดของการเคลอนทวถโคง

ทมม 030i กบ 060i มคาเทากน และ ทมม 015i กบ 075i มคาเทากน

หรอมม 2 มมใดๆ ทมคารวมกนเทากบ 090 จะมระยะไกลสดเทากน เชน

มม 010 กบมม 080 ระยะไกลสดในแนวราบ มคาเทากน มม 020 กบมม 070 ระยะไกลสดในแนวราบ มคาเทากน มม 030 กบมม 060 ระยะไกลสดในแนวราบ มคาเทากน มม 040 กบมม 050 ระยะไกลสดในแนวราบ มคาเทากน

วถการเคลอนทในรป 1.69 เปนการเคลอนทวถโคงทไมไดคดถงแรงตานของอากาศ ดงนนวถการเคลอนทแบบนจงคลาดเคลอนจากความจรงอยบาง โดยวถการเคลอนทจรงกบวถการเคลอนทในอดมคตมเสนทางทตางกน ดงรป 1.70

EXAMPLE



รป 1.70 เปรยบเทยบวถการเคลอนทจรง กบวถการเคลอนทอดมคต

ในหนงสอนจะถอวาเสนทางการเคลอนทวถโคงเปนแบบอดมคต (Ideal)

รป 1.71 ตองพงหรอทมดวยมม 45o จงจะไดระยะทางไกลสด

กำรเคลอนทวถโคงกบกำรตกอยำงเสรในแนวดง

ในการยงปนแตละนดจะมสองสง วงออกมาจากกระบอกปน คอ กระสนปน และปลอกกระสนปน ดงรป 1.72

รป 1.72 ลกปนและปลอกกระสน ตกถงพนพรอมกน

เสนทางจรง

เสนทางอดมคต

EXAMPLE



ถายงปนในแนวระดบวถการเคลอนทของกระสนปนจะเปนวถโคง สวนปลอกกระสนปนจะประมำณไดวาตกลงในแนวดง โดยความเรวในแนวดงของกระสนปนและปลอกกระสนจะมคาเทากน เนองจากแรงทกระท าตอวตถทงสอง คอแรงโนมถวงของโลกเหมอนกน ดงนนลกปนกบปลอกกระสนจะตกถงพนพรอมกน เพอยนยนความจรงน จงไดมการทดลองและถายภาพดวยกลองถายภาพความเรวสง ผลการถายภาพจะมลกษณะดงรป 1.73

รป 1.73 ภาพถายวตถทตกในแนวดง และวตถทตกแบบวถโคง

จากรป 1.73 จะเหนวาทเวลาเดยวกน วตถทงสองจะอยในระดบความสงเดยวกน

ขอสรปเกยวกบการเคลอนทแบบโปรเจกไตล

1) เปนกำรเคลอนทภำยใตแรงกระท ำเพยงแรงเดยว คอแรงโนมถวงของโลก 2) วตถตองมควำมเรวตนในแนวระดบ ( xu ) สวนควำมเรวตนในแนวดง (

yu ) จะมหรอไมกได 3) ไมมควำมเรงในแนวระดบ 4) ควำมเรงในแนวดงมคำเทำกบควำมเรงโนมถวงของโลก (g) 5) ควำมเรว ( v ) ณ จดใด ๆ จะมทศสมผสกบเสนทำงเดน (เสนประ) ณ จดนน และหำขนำดของ v โดยใชสตร 2 2

x yv v v

EXAMPLE



ควำมเรวของกำรเคลอนทแบบโปรเจกไตล

เมอ xv คอควำมเรวในแนวแกน x yv คอควำมเรวในแนวแกน y

6) ทจดสงสด x xv u แต 0yv

วธการค านวณ

1) กำรค ำนวณหำปรมำณตำงๆทเกยวของกบกำรเคลอนทแบบโปรเจกไตลใหใชสมกำรกำรเคลอนทเหมอนกำรเคลอนทในแนวตรง แตแยกพจำรณำในแนวดง (ควำมเรงคงตว) และในแนวระดบ (ควำมเรวคงตว) 2) หำระยะทำงตำมแนวรำบของโปรเจกไตลไดจำกสมกำร

x xs u t

3) หำระยะทำงตำมแนวดงของโปรเจกไตลไดจำกสมกำร

y y yv u g t 2 2 2y y y yv u g s 21

2y y ys u t g t

4) ปรมำณในแนวดงทมทศเดยวกบควำมเรวตน ( u ) ใหมเครองหมำยเปน + ถำมทศตรงขำมกบควำมเรวตนใหมเครองหมำยเปน -

EXAMPLE



แบบทดสอบ

1) เวกเตอรหนงหนวยทมทศเดยวกบเวกเตอรในรปขางลาง คอเวกเตอรอะไร

……………………………………………………………………………………………………… 2) เวกเตอรหนงหนวยทมทศตรงขามกบเวกเตอรในรปขางบน คอเวกเตอรอะไร ………………………………………………………………………………………………………

3) จงหาเวกเตอรหนงหนวย ทมทศเดยวกบเวกเตอร 5

12

………………………………………………………………………………………………………

4) จากรป จงหาขนาดของแรงลพธ

………………………………………………………………………………………………………

EXAMPLE



5) ถา 1 7071F N , 2 14000F N จงหาแรงลพธ (ตอบ 19646 นวตน)

……………………………………………………………………………………………………… 6) มแรงดง 2 แรง ดงรป จงแสดงวธการค านวณหาขนาด และทศทางของแรงลพธ (629 นวตน , แรงลพธท ามม 67.9° กบแกน x)

……………………………………………………………………………………………………… 7) จากรปจงหา แรงลพธ และขนาดของแรงลพธ

……………………………………………………………………………………………………… 8) จากรป จงหาแรงลพธ และขนาดของแรงลพธ (R = 39.2 N i + 181.3 N j , 186.5 N)

………………………………………………………………………………………………………

EXAMPLE



9) จากรปจงหา แรงลพธ และขนาดของแรงลพธ

……………………………………………………………………………………………………… 10) ถาเครองบน บนไปทางทศตะวนตกเฉยงเหนอเปนระยะทาง 465 กโลเมตร จากนนบนไปทางทศตะวนออกเฉยงเหนอเปนระยะทาง 230 กโลเมตร ดงรป จงแสดงวธการค านวณหาระยะกระจด

……………………………………………………………………………………………………

11) จากรปขางบน จงวาดรป การบวกเวกเตอรตอไปน

( )b C D ( )c E F ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1) B A D C ไดผลลพธเปนเวกเตอรใด ?

( )a A B

EXAMPLE



………………………………….................................................................................................................

12) เครองบนบนไปทางเหนอดวยความเรว 80 กโลเมตร/ตอชวโมง และกระแสลมพดไปทางตะวนออกดวยความเรว 60 กโลเมตร/ตอชวโมง อยากทราบวาเครองบนจะมความเรวเทาไร และมทศทางใด ?

.............................................................................................................................................. 13) จงหาผลบวกของเวกเตอรตอไปน

Vector 1

Vector 2

Vector 1 + Vector 2

1

1

3

4

…………….

1

2

4

5

0

2

…………….

0

1

0

1

0

0

……………..

2

4

0.9

1

0

3

……………..

EXAMPLE



ประวตผเรยบเรยง

ผชวยศาสตราจารยสชาต สภาพ

วฒการศกษา : วท.ม. ฟสกส (จฬาฯ) ประสบการณ - อดตหวหนาภาควชาฟสกสคณะวทยาศาสตร สถาบนเทคโนโลยราชมงคล - ดงานดานโรงไฟฟานวเคลยร ทประเทศญป น

ทท างาน : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร อ าเภอธญบร จงหวดปทมธาน 12110 โทรศพท 084 - 0919310

%%%%%%%%%%%%%%%%%

EXAMPLE

Documents

ฟิสิกส์ทั่วไป - static.se-ed.com · เอกสารค าสอนวิชาฟิสิกส์ทั่วไป - 13 ผู้ช่วยศาสตราจารย์สุชาติ