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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
(Mini)Projekt Risikotheorie
Lisa Stadlmuller, Christian Schitter, Peter Scheibelhofer, Wolfgang Draxler
28. Janner 2010
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 1/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Aufgabenstellung
Gesucht:Plausible Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas fur die dreiPaare, bestehend aus je zwei der Indizes Nikkei 225, FTSE100 undNasdaq (tagliche und wochentliche Daten).
Auswahl aus:Gauss’sche Copula, t-Copula, Gumbel und Clayton Copula.
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 2/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Scatterplot der taglichen Logreturns
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 3/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Korrelationsmaße
Nikkei FTSE100 NasdaqNikkei 1,00000 0,26606 0,16078
FTSE100 0,26606 1,00000 0,33796
Nasdaq 0,16078 0,33796 1,00000
Table: Ubersicht Spearman’s Rho
Nikkei FTSE100 NasdaqNikkei 1,00000 0,18276 0,10641
FTSE100 0,18276 1,00000 0,23410
Nasdaq 0,10641 0,23410 1,00000
Table: Ubersicht Kendall’s Tau
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 4/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wichtiger Faktor bei Copulawahl: Tailabhangigkeit
Theoretischer Koeffizient der oberen Tail-Abhangigkeit:
λU(X1,X2) = limu→1−P(X2 > F←2 (u)|X1 > F←1 (u))
Schatzer fur obere Tailabhangigkeit:
λU(u; Beob.) =#{(x , y) ∈ Beob. : y > F←2 (u) ∧ x > F←1 (u)}
#{(x , y) ∈ Beob. : x > F←1 (u)}
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 5/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wichtiger Faktor bei Copulawahl: Tailabhangigkeit
Theoretischer Koeffizient der unteren Tail-Abhangigkeit:
λL(X1,X2) = limu→0+P(X2 ≤ F←2 (u)|X1 ≤ F←1 (u))
Schatzer fur untere Tailabhangigkeit:
λL(u; Beob.) =#{(x , y) ∈ Beob. : y < F←2 (u) ∧ x < F←1 (u)}
#{(x , y) ∈ Beob. : x < F←1 (u)}
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 6/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht
Copula Obere Tailabhangigkeit? Untere Tailabhangigkeit?
Gauss Nein Nein
t Ja Ja
Gumbel Ja Nein
Clayton Nein Ja
Table: Ubersicht Tailabhangigkeiten
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 7/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht
0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Obere Tailabhängigkeit der täglichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
tNikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 8/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Untere Tailabhängigkeit der täglichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
t
Nikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 9/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht
Name Obere Tailabh. Untere Tailabh. Vermutung
Nikkei-FTSE eher ja ja t
Nikkei-Nasdaq eher nein eher nein Gauss
FTSE-Nasdaq eher nein eher ja Clayton
Table: Copula Vermutung aufgrund Tailabhangigkeiten
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 10/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Vergleich Originaldaten/simulierte Daten Nikkei-FTSE100
Name Gauss t Gumbel ClaytonLogLikelihood 24,22 29,99 20,51 25,41
Table: LogLikelihood
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 11/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Vergleich Originaldaten/Methoden Nikkei-FTSE100
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 12/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Simulationen mit gewahlter Methode Nikkei-FTSE100
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 13/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Kontrolle empirische Tails/theoretische Tails Nikkei-FTSE
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 14/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Vergleich Originaldaten/simulierte Daten Nikkei-Nasdaq
Name Gauss t Gumbel ClaytonLogLikelihood 7,75 7,65 5,39 6,90
Table: LogLikelihood
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 15/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Vergleich Originaldaten/Methoden Nikkei-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 16/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Vergleich Originaldaten/simulierte Daten FTSE100-Nasdaq
Name Gauss t Gumbel ClaytonLogLikelihood 42,36 46,69 48,71 27,47
Table: LogLikelihood
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 17/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Vergleich Originaldaten/simulierte Daten FTSE100-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 18/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Kontrolle empirische Tails/theoretische Tails FTSE-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 19/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Scatterplot der wochentlichen Logreturns
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 20/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit wochentlich Ubersicht
0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Obere Tailabhängigkeit der wöchentlichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
t
Nikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 21/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit wochentlich Ubersicht
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Untere Tailabhängigkeit der wöchentlichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
t
Nikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 22/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit wochentlich Ubersicht
Name Obere Tailabh. Untere Tailabh. Vermutung
Nikkei-FTSE ja eher ja t
Nikkei-Nasdaq ja nein Gumbel
FTSE-Nasdaq ja eher nein Gumbel
Table: Copula Vermutung aufgrund Tailabhangigkeiten
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 23/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wochentliche Original-/simulierte Daten Nikkei-FTSE
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 24/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wochentliche empirische/theoretische Tails Nikkei-FTSE
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 25/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wochentliche Original-/simulierte Daten Nikkei-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 26/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wochentliche empirische/theoretische Tails Nikkei-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 27/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wochentliche Original-/simulierte Daten FTSE-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 28/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Wochentliche empirische/theoretische Tails FTSE-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 29/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Scatterplot der verkurzten Logreturns 2004-2006
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 30/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Scatterplot der verkurzten Logreturns 2006-2009
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 31/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht bis 2006
0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Obere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
t
Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 32/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht bis 2006
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Untere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
t
Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 33/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht ab 2006
0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Obere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
t
Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 34/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Tailabhangigkeit Ubersicht ab 2006
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Untere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten
Quantil
Bed
ingt
e W
ahrs
chei
nlic
hkei
t
Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 35/36
Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas
Nikkei-FTSE Nikkei-Nasdaq FTSE-Nasdaq
Taglich t Gauss Clayton
Wochentlich t Gumbel Gumbel
Bis 2006 Clayton Gauss Gumbel
Ab 2006 t Gumbel Clayton
Table: Ubersicht uber gewahlte Copulas
(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 36/36