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33a REUNIÃO ANUAL DE PAVIMENTAÇÃO
FLORIANÓPOLIS/SC
ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES DE PAVIMENTOS
UTILIZANDO O MODELO PLÁSTICO DE MOHR-COULOMB
Flávio Vasconcelos de Souza1
Prof. Marco Aurélio Holanda de Castro2
Prof. Jorge Barbosa Soares3
Prof. Lucas Tadeu Barroso de Melo3
1. Estudante de Engenharia Civil, Bolsista da Agência Nacional do Petróleo, UFC
2. Ph.D., Professor, DEHA / UFC
3. Ph.D., Professor, DET / UFC
e-mail 1: [email protected]
e-mail 2: [email protected]
e-mail 3: [email protected]
e-mail 4: [email protected]
ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES DE PAVIMENTOS UTILIZANDO O
MODELO PLÁSTICO DE MOHR-COULOMB
Flávio Vasconcelos de Souza
Marco Aurélio Holanda de Castro
Jorge Barbosa Soares
Lucas Tadeu Barroso de Melo
RESUMO
Atualmente, os programas computacionais mais usados no Brasil para a análise de tensões em pavimentos
asfálticos utilizam modelos constitutivos elásticos lineares e não-lineares para as subcamadas. Contudo, os materiais
usados nas subcamadas de um pavimento asfáltico podem apresentar comportamento plástico. O presente estudo
compara o modelo elástico linear com o modelo de Mohr-Coulomb, considerando-se elementos triangulares de seis
nós na análise axissimétrica de um sistema de quatro camadas. Este trabalho constitui marco inicial de uma linha de
pesquisa que objetiva avaliar a adequação de diversos modelos constitutivos na análise tensão-deformação de
sistemas em camadas.
1. INTRODUÇÃO
Nas últimas décadas, nota-se uma tendência cada vez maior de se utilizar métodos
mecanísticos de dimensionamento de pavimentos asfálticos (Medina, 1997). Um método é dito
mecanístico quando compatibiliza as solicitações originadas no pavimento pelo tráfego e pelo
clima com a resistência dos materiais das diversas camadas através de um método de cálculo, ou
uma teoria (Coll, 1999).
Um fator determinante na utilização de métodos mecanísticos de dimensionamento foi a
facilidade de se resolver equações diferenciais cuja solução exata é difícil, e às vezes impossível
de ser obtida, através de uma metodologia computacional numérica. Um método computacional
bastante usado para resolver sistemas em camadas é o Método dos Elementos Finitos, onde as
condições de equilíbrio são satisfeitas em cada elemento, e as condições de compatibilidade do
sistema global são satisfeitas por um conjunto de equações simultâneas determinado para a
estrutura. A idéia central do Método dos Elementos Finitos é de substituir o contínuo por uma
malha de elementos interconectados por um determinado número de pontos chamados de nós ou
pontos nodais (Zienkiewicz, 1977).
Dentre os programas computacionais mais usados no Brasil para o cálculo de tensões e
deformações destacam-se o ELSYM5 e o FEPAVE2. O primeiro resolve, através do método das
diferenças finitas, problemas elásticos lineares de sistemas em camadas, solucionando as
equações de Burmister ampliadas para cinco camadas (FHWA, 1985). O FEPAVE2, programa
baseado no Método dos Elementos Finitos, desenvolvido em Berkeley, na Universidade da
Califórnia, e que sofreu algumas modificações no Brasil, considera o revestimento asfáltico como
uma camada elástica linear e as subcamadas granulares com comportamento elástico não-linear
(Duncan et al., 1968). Sabe-se, entretanto, que os materiais granulares constituintes das
subcamadas apresentam comportamento notadamente elasto-plástico.
O presente estudo compara os resultados de análises tensão-deformação de um pavimento
usando-se o programa computacional PLAXIS (PLAXIS, 1998a), considerando-se tanto o
comportamento dos materiais como elástico linear quanto como elástico perfeitamente-plástico
(Mohr-Coulomb). Nestas análises axissimétricas, a malha é composta por elementos triangulares
de seis nós em um sistema de quatro camadas (revestimento, base, subbase e subleito).
Considera-se a carga de uma roda de um eixo padrão de roda dupla com pressão na área de
contato pneumático-pavimento de 5,6 kgf/cm² e raio da área de carregamento de 10,8 cm. A
Figura 1 mostra o estado de tensões em um elemento sob condições axissimétricas.
r = x
xx
zz =
yy
yx
xy
y
x
Figura 1: Estado de tensões em um elemento sob condições de axissimetria
O PLAXIS possui a capacidade de definir um nível máximo de tensão de tração para cada
camada a partir do qual passa-se a redistribuir as tensões para os demais pontos da malha que
ainda não atingiram tal nível de tensão de tração. Desta forma, define-se resistência à tração (Rt)
como o nível máximo de tensão de tração permitido para cada camada.
2. MODELOS UTILIZADOS PELO PROGRAMA PLAXIS
O PLAXIS é um programa baseado no Método dos Elementos Finitos, especialmente
criado para facilitar a análise de tensões e deformações em projetos de engenharia geotécnica,
como nos estudos de Schanz (1997) e Hutteman e De Wit (1998).
O programa possui cinco modelos constitutivos para simular o comportamento dos
materiais: o modelo Elástico Linear, o modelo de Mohr-Coulomb, o Hardening-Soil model, o
Soft-Soil-Creep model e o Soft-Soil model. Explicações referentes a cada um destes modelos
podem ser encontradas em PLAXIS (1998b). Neste estudo será considerado apenas o modelo de
Mohr-Coulomb.
2.1. Modelo de Mohr-Coulomb (elástico perfeitamente-plástico)
A ruptura de solos, especialmente os não-coesivos, está relacionada principalmente ao
atrito existente entre os grãos do material e é bem representada pela teoria da ruptura de Mohr-
Coulomb, na qual o limite da tensão cisalhante no plano de ruptura é função da tensão normal
atuante neste mesmo plano e das propriedades do material, coesão e ângulo de atrito interno
(Cernica, 1995).
Consideram-se elásticas as deformações recuperáveis, e plásticas as irrecuperáveis. Caso
um dado material apresente deformações que podem ser decompostas em frações elásticas e
plásticas ele é dito elasto-plástico (Chen e Hon, 1988).
O modelo de Mohr-Coulomb requer cinco parâmetros, que são listados na Tabela 1.
Tabela 1: Parâmetros utilizados no modelo de Mohr-Coulomb
Símbolo Descrição Unidade
E Módulo de Young kgf/cm²
Coeficiente de Poisson adimensional
Ângulo de atrito interno grau (ou radiano)
c Coesão kgf/cm²
Ângulo de dilatação grau (ou radiano)
Solos argilosos normalmente apresentam pequeno ângulo de dilatação ( 0 exceto
quando fortemente pré-adensados Para solos arenosos, o ângulo de dilatação depende tanto da
densidade como do ângulo de atrito interno. Assume-se, porém, para maior do que 30°, que
30 e para menor ou igual a 30°, que o ângulo de dilatação é, na maioria dos casos,
igual a zero (Bolton, 1986).
3. ANÁLISE NUMÉRICA
Inicialmente, o modelo elástico linear do PLAXIS é comparado com o do FEPAVE2 com
o intuito de verificar-se a convergência de resultados entre os dois programas ante as mesmas
condições geométricas e de carregamento. Posteriormente, compara-se o modelo de Mohr-
Coulomb com o modelo elástico linear.
3.1. Comparação entre os modelos elásticos lineares
Seguindo-se a sugestão de Duncan (1968), usada também por Silva (1995), de que para se
obter a malha ideal, o limite radial da malha deve ser de 20 vezes o raio da área de carregamento
e a última camada (subleito) deve ter espessura de aproximadamente 40 vezes o mesmo raio, e
adotando-se espessuras de 5, 15 e 20 cm para o revestimento, base e subbase, respectivamente,
definiu-se a geometria do pavimento. A malha de elementos finitos foi gerada no PLAXIS
conforme a Figura 2. A profundidade total do subleito não é mostrada devido a restrições de
espaço.
Revestimento: 5cm
Base: 15cm
Subbase: 20cm
Subleito: 432cm
R = 10,8cm, q = 5,6 kgf/cm²
216cm
Figura 2: Geometria do pavimento e malha gerada automaticamente pelo PLAXIS
A Tabela 2 apresenta um comparativo entre os resultados obtidos nas duas simulações.
Apresenta-se os parâmetros mais comumente utilizados no dimensionamento de pavimentos
flexíveis: a deflexão máxima na superfície (D0), a tensão vertical no topo do subleito ( v) e a
tensão de tração na fibra inferior do revestimento ( t). Foram considerados os parâmetros
elásticos dos materiais apresentados na Tabela 3, conforme estudo de Shook e Fang (1961), e a
geometria do pavimento dada na Figura 2.
Dado que, dentre outras diferenças, o FEPAVE2 utiliza elementos quadriláteros enquanto
o PLAXIS usa elementos triangulares (no caso, elementos de seis nós), podem ocorrer algumas
diferenças entre os resultados obtidos pelos programas através da análise elástica linear.
Tabela 2: Parâmetros de dimensionamento obtidos através dos modelos elásticos lineares
D0 (cm) v (kgf/cm²) t (kgf/cm²)
FEPAVE2 0,136 0,147 27,7
PLAXIS 0,149 0,150 28,5
Tabela 3: Parâmetros utilizados no problema (Shook e Fang, 1961)
Material Módulo de Young
(kgf/cm²)
Coeficiente de
Poisson
Coesão
(kgf/cm²)
Ângulo de atrito
interno (grau)
Revestimento em CBUQ 50.000 0,4 40 30
Base 850 0,3 0,4 55
Subbase 500 0,3 0,3 45
Subleito 100 0,3 0,1 20
3.2. Comparação entre o modelo de Mohr-Coulomb e o elástico linear
Considerando-se os parâmetros dos materiais dados na Tabela 3, a pressão na área de
contato pneumático-pavimento de 5,6 kgf/cm² e o raio da área de carregamento de 10,8 cm para
uma roda do eixo padrão, realizou-se a análise axissimétrica do perfil do pavimento utilizando-se
os modelos elástico linear e de Mohr-Coulomb, considerando-se elementos triangulares de seis
nós (PLAXIS, 1998c).
Verificou-se, para o FEPAVE2, que a consideração das tensões gravitacionais levava a
deflexões menores que as observadas no campo; desta feita, passou-se a desconsiderar as tensões
gravitacionais (Motta, 1991). Além disso, o peso próprio das camadas, principalmente das
camadas mais superficiais, pode ser desprezado em relação às cargas externas. Desta forma, as
tensões gravitacionais não serão consideradas nos cálculos do PLAXIS.
Para os modelos granulares, onde o módulo resiliente é função de 3 ou do primeiro
invariante de tensões ( ), o FEPAVE2 limita 3 a valores maiores ou iguais a 0,01 kgf/cm²
(compressão), objetivando evitar tensões de tração em materiais granulares (Silva, 1995).
O PLAXIS, no entanto, permite que se defina um limite de tensão de tração para os
diversos materiais das subcamadas. Sabe-se que, pela teoria de Mohr-Coulomb, a máxima tensão
de tração que um solo pode suportar é definida pela interseção da linha de ruptura com o eixo das
tensões normais e é dada por t,max = c (cotan ). Tendo como base os valores contidos na
Tabela 3, pode-se verificar que t,max vale aproximadamente 0,3 kgf/cm² para as três camadas
granulares, sendo portanto este o valor adotado para Rt.
As Figuras 3 a 5 comparam as distribuições de deslocamentos e tensões obtidos através
do PLAXIS, considerando-se o modelo elástico linear e o modelo de Mohr-Coulomb.
Como pode ser observado, tanto os deslocamentos verticais quanto as tensões radiais e
verticais apresentaram resultados bastante similares. Vale salientar que os valores de t
calculados, neste caso, tanto pelo FEPAVE2 quanto pelo PLAXIS são superiores aos valores
geralmente utilizados no dimensionamento de pavimentos.
Na Figura 6 pode ser verificada a concordância entre os resultados de tensões e deflexões
ao longo do eixo radial.
0 20 40
-40
-20
0
Base 15cm - Comparativo El. Linear x Mohr-CoulombDeslocamentos Verticais
0 20 40
-40
-20
0
0 5 10 15-10
-5
0
Base 15cm - Comparativo El. Linear x Mohr-CoulombTensões Radiais
0 5 10 15-10
-5
0
0 10 20
-40
-30
-20
-10
0
Base 15cm - Comparativo El. Linear x Mohr-CoulombTensões Verticais
0 10 20
-40
-30
-20
-10
0
Figura 3: Deslocamentos verticais (cm)
- Plástico vs Elástico linear -
Modelo plástico
Modelo elástico
Figura 4: Tensões radiais (kgf/cm²)
- Plástico vs Elástico linear -
Modelo plástico
Modelo elástico
Figura 5: Tensões verticais (kgf/cm²)
- Plástico vs Elástico linear -
Modelo plástico
Modelo elástico
(cm) (cm)
(cm
)
(cm
) q = 5,6 kgf/cm²
R = 10,8 cm
q = 5,6 kgf/cm²
R = 10,8 cm
-0.1
4
(cm)
(cm
)
-11
-9
-7
-5
-3
-1
-40 -20 0 20 40
Tensão Radial (kgf/cm²)
Pro
fund
idad
e (c
m)
Rt = 0,3
Elástico linear-0,16
-0,14
-0,12
-0,10
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0 100 200
Distância Radial (cm)
Ten
são V
erti
cal
(kg
f/cm
²)
Rt = 0,3
Elástico linear
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0 100 200Distância Radial (cm)
Tens
ão
Cis
alh
ante
(kgf/
cm
²)
Rt = 0,3
Elástico linear
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0 100 200
Distância Radial (cm)
Tensã
o P
rincip
al
Menor
(kgf/
cm
²) Rt = 0,3
Elástico linear
-0,16
-0,14
-0,12
-0,10
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0 50 100 150 200
Distância Radial (cm)
Defl
exão (
cm
)
Rt = 0,3
Elástico Linear
Figura 6: (a) tensão radial vs profundidade, e a variação com a distância radial da (b) tensão
vertical, (c) tensão cisalhante, (d) tensão principal menor e (e) deflexão.
(a) (b)
(c) (d)
(e)
A Tabela 4 apresenta um comparativo entre os resultados obtidos usando-se o modelo
elástico linear e o modelo de Mohr-Coulomb. Observa-se que a deflexão máxima na superfície
(D0) é 1% maior no modelo de Mohr-Coulomb; a tensão vertical no topo do subleito ( v) é 3%
menor para o caso plástico; a diferença de tensões no fundo do revestimento ( ) e a deformação
específica de tração na camada inferior do revestimento ( t) são 2% maiores na análise plástica,
assim como a tensão de tração na fibra inferior do revestimento ( t). Desta forma, conclui-se que,
no caso em estudo, a análise plástica através do modelo de Mohr-Coulomb, considerando-se
Rt = 0,3 kgf/cm², produz resultados similares à análise linear elástica.
Tabela 4: Valores de projeto calculados para os dois modelos constitutivos
D0 (cm) v (kgf/cm²) (kgf/cm²) t (%) t (kgf/cm²)
Elástico Linear -0,149 0,151 -29,9 0,0349 28,5
Mohr-Coulomb -0,151 0,146 -30,5 0,0357 29,2
(%) 1% 3% 2% 2% 2%
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A partir da análise realizada no presente estudo, observa-se que os resultados obtidos nas
análises elásticas lineares realizadas pelo FEPAVE2 e PLAXIS são bastante concordantes.
Procedeu-se ao estudo comparando-se o comportamento tensão-deformação do sistema de
camadas considerando-se a elasticidade linear e a elasto-plasticidade de Mohr-Coulomb com
Rt = 0,3 kgf/cm2. Como pôde ser observado também neste caso, os resultados foram
consideravelmente próximos.
Observa-se na Figura 7 que apenas alguns pontos sob o carregamento foram plastificados.
Isto ocorre devido às relativamente baixas tensões de carregamento que, conseqüentemente,
proporcionam uma resposta puramente elástica do material. Conclui-se, portanto, que a utilização
do modelo de Mohr-Coulomb para níveis convencionais de carregamento apresentam resultados
comparáveis aos obtidos com a utilização de modelos elásticos lineares.
Figura 7: Pontos plastificados para Rt = 0,3 kgf/cm².
Dentro da linha de pesquisa que ora se inicia, e ante aos resultados aqui apresentados,
pretende-se utilizar futuramente modelos constitutivos mais robustos tanto para o material de
revestimento quanto para os materiais das subcamadas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
(1) Bolton, M.D. (1986) “The Strength and Dilatancy of Sands”. Géotechnique, Vol.36, No. 1, p. 65-78.
(2) Cernica, J. N. (1995) “Geotechinical Engineering: Soil Mechanics”, Department of Civil Engineering, Youngstown State University.
(3) Chen, W. F. e Hon, D. J. (1988) “Plasticity for Structural Engineers”, Springer-Verlag, New York.
(4) Coll, Alejandro Far (1999) “Aplicação do Programa FEPAVE2 no Estabelecimento de Fatores de Equivalência
de Carga”. Projeto de graduação, UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
(5) Duncan, J.M., Monismith, C.L., e Wilson, E.L. (1968) “Finite Element Analysis of Pavements”. HRR 228.
(6) FHWA (1985) “ELSYM5, Interactive microcomputer version – User’s manual”. Report No. RD-85, Federal
Highway Administration.
(7) Hutteman, M. e De Wit, J. C. W. M. (1998) “Modeling the Building Process of a Deep Underground Station with
FEM”. PLAXIS Bulletin No. 6, p. 3-8.
(8) Medina, J. (1997) “Mecânica dos Pavimentos”, 1a. ed., Rio de Janeiro, RJ, COPPE/UFRJ.
(9) Motta, L. M. G. (1991) “Método de Dimensionamento de Pavimentos Flexíveis; Critério de Confiabilidade e
Ensaios de Cargas Repetidas”. Tese de doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
(10) PLAXIS (1998a) “Reference Manual”. A. A. Balkema, Rotterdam, Netherlands.
(11) PLAXIS (1998b) “Material Models Manual”. A. A. Balkema, Rotterdam, Netherlands.
(12) PLAXIS (1998c) “Scientific Manual”. A. A. Balkema, Rotterdam, Netherlands.
(13) Schanz, T. (1997) “The Leaning Tower of St. Moritz”. PLAXIS Bulletin No. 4, p. 4-7.
(14) Shook, J. F. e Fang, H. Y. (1961) “Cooperative Materials Testing Program at the AASHO Road Test”. Highway
Research Board Special Report, Vol. 66, p. 59-102.
(15) Silva, P. D. E. A. (1995) “Contribuição para o Aperfeiçoamento do Emprego do Programa FEPAVE2 em
Estudos e Projetos de Pavimentos Flexíveis”. Tese de mestrado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
(16) Zienkiewicz, O. C. (1977), “The Finite Element Method” 3ª ed., McGraw-Hill Book Company, New York.
Endereço dos autores:
Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia – Campus do Pici, S/ Nº
Departamento de Engenharia de Transportes, DET Bloco: 703 CEP: 60.455-970
Fortaleza - Ceará - Brasil e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
