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A miei genitori Anna e Gino per le loro nozze doro.

Cinquantanni di solida unione, continuo riferimento

per la nostra splendida famiglia

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SebaStiano Floridia

Progettare le strutture in acciaio

Dario Flaccovio Editore

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Sebastiano FloridiaProgettare le Strutture in acciaio

ISBN 978-88-579-0064-3

2011 by Dario Flaccovio Editore s.r.l. - tel. 0916700686 www.darioflaccovio.it info@darioflaccovio.it

Seconda edizione: settembre 2011

Floridia, Sebastiano Progettare le strutture in acciaio / Sebastiano Floridia. 2. ed. Palermo : D. Flaccovio, 2011.ISBN 978-88-579-0064-31. Strutture in legno Progettazione.624.184 CDD-22 SBN Pal0231583CIP - Biblioteca centrale della Regione siciliana Alberto Bombace

Stampa: Tipografia Priulla, Palermo, settembre 2011.

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INDICE

Premessa

Parte PrimaCenni teorici

1. Cenni di sismologia1.1. Generalit .................................................................................................... pag. 151.2. Le faglie ...................................................................................................... 161.3. Intensit dei terremoti ................................................................................. 16 1.3.1. Misura delle onde sismiche ............................................................. 18 1.3.2. Terremoti nella storia ....................................................................... 181.4. Lattuale normativa sismica italiana ........................................................... 20

2. Cenni di dinamica delle strutture2.1. Utilizzo dei modelli matematici .................................................................. 23 2.1.1. Gradi di libert ................................................................................. 23 2.1.2. Oscillatore semplice (non smorzato) ............................................... 25 2.1.3. Oscillatore semplice (smorzato) ...................................................... 27 2.1.4. Estensione a pi gradi di libert ...................................................... 282.2. Calcolo delle sollecitazioni sismiche .......................................................... 28 2.2.1. Analisi modale ................................................................................. 29 2.2.2. Spettri di risposta ............................................................................. 29 2.2.3. Composizione degli spettri di risposta ............................................ 302.3. Cenni bibliografici ...................................................................................... 32

3. Verifica delle strutture in acciaio agli stati limite secondo la normativa vigente3.1. Generalit .................................................................................................... 333.2. Stralcio del Decreto ministeriale n. 14/01/2008 ......................................... 34

Parte SecondaEsempi di calcolo

4. Metodologia di calcolo e verifica con esempio4.1. Generalit .................................................................................................... 374.2. Esempio 1: realizzazione di pensilina in acciaio presso lo Stadio di Siracusa . 374.3. Esempio 2: realizzazione di un capannone con struttura metallica ............ 97

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Progettare le strutture in legno6

Parte TerzaIl programma allegato

5. Progetto struttura 2008 con postprocessore acciaio5.1. Caratteristiche del programma .................................................................... 149 5.1.1. Il solutore MicroSap ........................................................................ 149 5.1.2. Requisiti minimi hardware e software ............................................. 150 5.1.3. Convenzioni ..................................................................................... 150 5.1.4. Avvio applicazione .......................................................................... 1515.2. Installazione ................................................................................................ 151 5.2.1. Attivazione del programma ............................................................. 151 5.2.1.1. Sistema di protezione ......................................................... 152 5.2.1.2. Istruzioni per lattivazione del software ............................. 152 5.2.2. Assistenza tecnica ............................................................................ 1525.3. Interfaccia grafica del software ................................................................... 1535.4. Iter standard per linput della struttura ....................................................... 154

6. Il manuale duso6.1. Comandi e menu ......................................................................................... 157 6.1.1. Menu file .......................................................................................... 1576.2. Menu dati di calcolo ................................................................................... 161 6.2.1. Comandi menu dati di calcolo ......................................................... 161 6.2.2. Finestra dati generali e parametri sismici ........................................ 161 6.2.3. Finestra layer ................................................................................... 168 6.2.3.1. Finestra inserimento nuovo layer ....................................... 169 6.2.4. Finestra materiali ............................................................................. 170 6.2.5. Finestra gestione sezioni del progetto ............................................. 171 6.2.6. Finestra svincoli aste attivi .............................................................. 172 6.2.7. Finestra parametri fondazione ......................................................... 173 6.2.8. Finestra spessore attivo elementi shell ............................................ 1746.3. Menu nodi ................................................................................................... 174 6.3.1. Comandi menu nodi ........................................................................ 1746.4. Menu aste .................................................................................................... 1816.5. Menu shell .................................................................................................. 1916.6. Menu vincoli .............................................................................................. 194 6.6.1. Comandi menu vincoli .................................................................... 1946.7. Menu carichi ............................................................................................... 196 6.7.1. Tipi di carichi disponibili ................................................................ 196 6.7.1.1. Interferenza, precarico, salto termico, gradiente termico (carico tipo = 0) ............................................................................... 197

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Indice

7

6.7.1.2. Carichi concentrati e momenti concentrati (tipi 1 - 2 - 5 - 7 - 8 - 10) ................................................................. 198 6.7.1.3. Carichi ripartiti e momenti ripartiti (tipi 3 - 4 - 6 - 9) ........ 199 6.7.1.4. Cavi (tipi 11 - 12) ............................................................... 199 6.7.1.5. Carichi secondo una direzione assegnata V (tipi 13 - 14 - 15) ............................................................................. 201 6.7.1.6. Diagrammi di carico ripartito in funzione di x, y, z (tipi 16 - 17 - 18) ............................................................................. 202 6.7.1.7. Carico di solaio in direzione verticale (tipo 19) ................. 202 6.7.2. Menu carichi .................................................................................... 2036.8. Menu opzioni c.a. ....................................................................................... 216 6.8.1. Comandi del menu opzioni c.a. ....................................................... 2166.9. Menu diagnostica ........................................................................................ 220 6.9.1. Comandi menu diagnostica ............................................................. 2206.10. Menu elabora .............................................................................................. 220 6.10.1. Comandi menu elabora .................................................................... 220 6.10.1.1. Comando calcolo modello Fem ......................................... 221 6.10.1.2. Verifica aste acciaio (CNR10011) .................................... 232 6.10.1.3. Verifica aste legno (EC5) .................................................. 232 6.10.1.4. Verifica aste legno (D.M. 2008) ........................................ 232 6.10.1.5. Verifica aste acciaio (D.M. 2008) ..................................... 233 6.10.1.6. Comando verifica aste c.a. ................................................ 235 6.10.1.7. Comando verifica c.a. elementi shell ................................ 235 6.10.1.8. Comando verifica spostamenti nodali di piano ................ 237 6.10.1.9. Comando verifica gerarchia delle resistenze .................... 2386.11. Menu visualizzatori dxF .............................................................................. 238 6.11.1. Comandi menu visualizzatori dxF ................................................... 2396.12. Menu risultati .............................................................................................. 240 6.12.1. Comandi menu risultati ................................................................... 2406.13. Menu seleziona ........................................................................................... 252 6.13.1. Comandi menu seleziona ................................................................ 2526.14. Menu visualizza .......................................................................................... 257 6.14.1. Comandi menu visualizza ............................................................... 2576.15. Menu ? ........................................................................................................ 261 6.15.1. Comandi menu ? ............................................................................. 2616.16. Errori nellassegnazione dei dati ................................................................. 263

Bibliografia ......................................................................................................... 269

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Progettare le strutture un cd book per ogni elemento Progettare le strutture unopera innovativa in cinque volumi nata come ausi-lio a tutti i professionisti impegnati nel settore del calcolo strutturale, che offre un valido supporto teorico e normativo. Il fine della collana quello di dare una risposta unitaria ai problemi che, in sede di progettazione, sorgono per la diversa natura dei materiali utilizzati, a causa del murare di volta in volta, a seconda che si tratti di strutture in cemento armato, acciaio, muratura o legno, delle caratteristiche fisico-meccaniche, delle modalit di calcolo, delle applicazioni richieste dalla normativa. Lunitariet della risposta si concretizza in un approccio omogeneo realizzato tanto nel campo teorico che nel campo pratico.

Il piano dellopera comprende:

elementi in acciaio;elementi in cemento armato;elementi in muratura;elementi in legno.

Per consentire il pi rapido apprendimento della fondamentale parte teorica, si ritenuto di allegare a ciascun volume un software specifico con versione perso-nalizzata (in Progetto acciaio, Progetto legno e Progetto cemento armato) del solutore MicroSap della Tesys, che consente di giungere a un dettaglio di ottima qualit nella identificazione del modello virtuale dei carichi e delle sollecitazioni e di effettuare il calcolo anche di strutture di grandi dimensioni (1000 nodi 500 elementi), mentre per gli altri programmi il solutore stato scritto dagli stessi autori e consente di calcolare strutture di qualsiasi dimensione.

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Premessa

Questo testo un ulteriore tassello di un progetto editoriale molto ambizioso iniziato cinque anni fa con il testo Progettare le strutture in acciaio. Lo scopo era quello di realizzare un testo di riferimento che raccogliesse tutta la migliore bibliografia disponibile, quadro normativo attuale e relative formulazioni, con lo scopo di affiancare i colleghi progettisti nella rigorosa progettazione delle strutture in acciaio in zona sismica. Superato il primo difficile esame con la versione acciaio, sono stati emessi, prima che venisse emanato il D.M. 14 gennaio 2008, la versione del testo sul legno secondo lEC5, il testo relativo al cemento armato e successivamente quello relativo al legno secondo D.M. 2008.Ad oggi, per tutti i materiali disponibile un quadro normativo chiaro e delineato, tutto in lingua italiana (sulla chiarissima impronta degli eurocodici), integrato in un unico documento che si occupa di tutto lo scenario strutturale, ovvero le ntc 2008.Il testo si articola in sei capitoli: il primo raccoglie cenni sulla sismologia, il secondo cenni di dinamica delle strutture, il terzo presenta la normativa vigente da applicare per il corretto dimensionamento di strutture in acciaio, completo di tutti i riferimenti teorici; nel quarto, tramite due esempi pratici relativi al calcolo di pensilina in acciaio di un impianto sportivo e di un capannone industriale, viene indicata al professionista la metodologia da seguire per il corretto sviluppo del calcolo. Gli ultimi due capitoli sono dedicati al funzionamento del software allegato. Questultimo utile per mettere in pratica i concetti espressi nel corso dellopera, poich in grado di verificare una struttura in acciaio secondo le ntc 2008, e pu tra laltro interfacciarsi con il software allegato gli altri due volumi della collana, Progettare le strutture in legno e Progettare le strutture in c.a. qualora il professionista abbia voglia di approfondire la verifica delle strutture miste.

Buon lavoro! Lautore

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Parte PrimaCenni teorici

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caPitolo 1Cenni di sismologia

1.1. Generalit I terremoti sono fenomeni naturali che si manifestano con rapidi scuotimenti della superficie della Terra. A causarli la rottura di rocce in profondit, che liberano in questo modo lenergia accumulata in seguito ai movimenti a cui continuamente sottoposta la crosta terrestre. Infatti, secondo la teoria della tetto-nica delle placche, la parte pi esterna della Terra, la litosfera, suddivisa in una ventina di placche in movimento le une rispetto alle altre. Quando si verifica un terremoto, si sviluppano onde sismiche di tipo P ed S, che si propagano in ogni direzione: le onde sismiche di tipo P, che si sviluppano nella prima fase del terremoto, passano attraverso solidi e liquidi. Le onde di tipo S, che si sviluppano nella seconda fase del terremoto, attraversano solo materiali solidi. Alcune onde (molto deboli, percepite solo dai sismografi) raggiungono la superficie terrestre anche dalla parte opposta rispetto a quella dove si verificato il sisma.La composizione chimica e la temperatura delle rocce attraversate incidono sulla velocit delle onde. Inoltre, passando da uno strato di rocce a un altro con carat-teristiche fisiche diverse, le onde possono essere deviate o riflesse. Studiando queste propriet e confrontando i sismogrammi registrati in diverse zone della superficie terrestre, gli scienziati sono riusciti a ottenere importanti informazioni sulla struttura interna della Terra. Nel 1909 il sismologo Andrija Mohorovich, studiando i sismogrammi relativi a un terremoto avvenuto in Croazia in quello stesso anno, scopr che, a circa 60 km di profondit, la velocit delle onde sismi-che aumentava improvvisamente. Ci indicava un brusco cambiamento delle propriet fisiche delle rocce. Cos fu scoperta la discontinuit di Mohorovich (o pi brevemente Moho), corrispondente al passaggio dalla crosta al mantello. Pochi anni dopo fu rilevato che le onde S non riuscivano ad attraversare la parte pi interna della Terra: poich le onde S possono attraversare solo i solidi, si giunse alla conclusione che la Terra possedesse un nucleo costituito da materiali fluidi. Le incertezze maggiori riguardano la parte pi interna del nucleo, detta nucleo interno, che si suppone sia solido a causa degli altissimi valori che la pressione raggiunge a quella profondit.

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parte prima Progettare le strutture in acciaio16

1.2. Le faglieLe rocce possono fratturarsi in blocchi che scivolano luno rispetto allaltro. cos che si formano le faglie, fratture della crosta terrestre pi o meno profonde, in corrispondenza delle quali si verifica un movimento relativo dei due blocchi di roccia. Si osservi che non tutte le faglie producono terremoti: al centro delle placche, ad esempio, esistono faglie createsi in tempi remotissimi e che oggi si trovano in aree non pi soggette a movimenti crostali; al contrario, altre faglie, pur trovandosi in zone soggette a deformazione crostale, non sono in grado di accumulare energia e quindi scivolano in moto relativo, accompagnando la deformazione stessa. Gli autori anglosassoni chiamano queste ultime creeping faults e uno degli esempi pi spettacolari rappresentato dalla porzione centrale della faglia di San Andreas, in California.

1.3. Intensit dei terremotiLintensit dei terremoti valutata secondo due scale: la Richter e la Mercalli modificata. La prima fornisce una valutazione obiettiva (magnitudo) della quan-tit di energia liberata; la seconda assegna un grado agli effetti provocati dal terremoto sullambiente; proposta nel 1902 dallo studioso Giuseppe Mercalli, inizialmente, era composta da 10 gradi. In seguito gli americani H.O. Wood e F. Neumann la modificarono aggiungendo 2 gradi al fine di adattarla alle con-suetudini costruttive vigenti in California. Con il medesimo intento, nellEuropa occidentale in uso la scala mcS (Mercalli, Cancani, Sieberg), mentre nellEu-ropa orientale si utilizza la scala mkS (Medvedv, Karnik, Sponheuer).

Grado Scossa DescrizioneI Strumentale non avvertitoII Leggerissima avvertito solo da poche persone in quiete, gli oggetti sospesi esilmente possono oscillare

III Leggera avvertito notevolmente da persone al chiuso, specie ai piani alti degli edifici; automobili ferme possono oscillare lievemente

IV Mediocre avvertito da molti allinterno di un edificio in ore diurne, allaperto da pochi; di notte alcuni vengono destati; automobili ferme oscillano notevolmente

V Forte avvertito praticamente da tutti, molti destati nel sonno; crepe nei rivestimenti, oggetti rovesciati; a volte scuotimento di alberi e pali

VI Molto forte avvertito da tutti, molti spaventati corrono allaperto; spostamento di mobili pesanti, ca-duta di intonaco e danni ai comignoli; danni lievi

VII Fortissimatutti fuggono allaperto; danni trascurabili a edifici di buona progettazione e costruzione, da lievi a moderati per strutture ordinarie ben costruite; avvertito da persone alla guida di automobili

VIII Rovinosa danni lievi a strutture antisismiche; crolli parziali in edifici ordinari; caduta di ciminiere, monumenti, colonne; ribaltamento di mobili pesanti; variazioni dellacqua dei pozzi

IX Disastrosa danni a strutture antisismiche; perdita di verticalit a strutture portanti ben progettate; edifici spostati rispetto alle fondazioni; fessurazione del suolo; rottura di cavi sotterranei

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Cenni di sismologia cap 1

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X Disastrosissima distruzione della maggior parte delle strutture in muratura; notevole fessurazione del suolo; rotaie piegate; frane notevoli in argini fluviali o ripidi pendii

XI Catastrofica poche strutture in muratura rimangono in piedi; distruzione di ponti; ampie fessure nel terre-no; condutture sotterranee fuori uso; sprofondamenti e slittamenti del terreno in suoli molli

XII Grande catastrofe danneggiamento totale; onde sulla superficie del suolo; distorsione delle linee di vista e di livello; oggetti lanciati in aria

Tabella 1.1. Scala Mercalli

Per un confronto reale dellintensit dei terremoti e non solo degli effetti, stata introdotta la scala della magnitudo o scala Richter (da notare che gi il Cancani aveva introdotto una gradazione non empirica, assegnando al 1 della omonima scala il valore di 2,5 mm/s2 ed al 12 il valore di 10.000 mm/s2), che non ha divisioni in gradi, limiti inferiori (se non strumentali) e superiori. La valutazione dellenergia liberata da un sisma associata ad un indice, detto magnitudo, che si ottiene rapportando il logaritmo decimale dellampiezza massima di una scossa e il logaritmo di una scossa campione. Lo zero della scala equivale a una energia liberata pari a 105 Joule. Il massimo valore registrato stato di magnitudo 8,6 equivalente allenergia di 1018 Joule.

Magnitudo Richter Effetti del sismaMeno di 3,5 Generalmente non sentita, ma registrata

3,5-5,4 Spesso sentita, ma raramente causa dei danni

Sotto 6,0 Al massimo lievi danni a solidi edifici. Causa danni maggiori su edifici non in c.a. edificati in piccole regioni6.1-6,9 Pu arrivare ad essere distruttiva in aree di quasi 100 km, attraversando anche zone abitate7,0-7,9 Terremoto maggiore. Causa seri danni su grandi aree

8 o maggiore Grande terremoto. Pu causare seri danni su vaste aree di svariate centinaia km

Tabella 1.2. Scala Richter

Magnitudo Richter Energia liberata (Joule) Grado Mercalli< 3,5 < 1,6 E+7 I3,5 1,6 E+7 II4,2 7,5 E+8 III4,5 4 E+9 IV4,8 2,1 E+10 V5,4 5,7 E+11 VI6,1 2,8 E+13 VII6,5 2,5 E+14 VIII6,9 2,3 E+15 IX7,3 2,1 E+16 X8,1 1,7 E+18 XI

> 8,1 > 1,7 E+18 XII

Tabella 1.3. Confronto scala Richter scala Mercalli

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parte prima Progettare le strutture in acciaio18

Magnitudo Richter tnt equivalente* Magnitudo Richter tnt equivalente*1,5 6 ounces 5,5 80000 tons

1 30 ounces 6 1 milion tons1,5 320 pounds 6,5 5 milion tons2 1 ton 7 32 milion tons

2,5 4.6 tons 7,5 160 milion tons3 29 tons 8 1 bilion tons

3,5 73 tons 8,5 5 bilion tons4 1000 tons 9 32 bilion tons

4,5 5100 tons 10 1 trilion tons5 3200 tons 12 160 trilion tons

* 1 ounce (oncia) corrisponde a 28,35 grammi; 1 pound (libbra) a 453 grammi; 1 ton a 907,18474 chilogrammi. Si presume che unoncia di dinamite esplosa sotto terra produca 640 milioni di er. di energia dellonda sismica (1 erg = 1 g cm2 s2 = 107J)

Tabella 1.4. Individuazione della quantit di dinamite (tnt) necessaria per uguagliare la potenza di ogni grado della scala Richter

1.3.1. Misura delle onde sismicheIl Dipartimento di protezione civile, con lausilio del Servizio sismico nazionale e dellIstituto di geofisica e vulcanologia, ha predisposto una fitta rete di sismo-grafi gestiti da centrali di controllo che in tempo reale monitorizzano tutto il territorio nazionale, oltre a quello mondiale in coordinamento con gli altri paesi, registrando solo in Italia da 1700 a 2500 terremoti lanno.

1.3.2. Terremoti nella storia difficile dire quali siano stati i disastri pi violenti in epoca prescientifica, in quanto le testimonianze sono poco attendibili e imprecise e basate principalmen-te sugli effetti che essi hanno provocato sulluomo. In Europa, ad esempio, uno dei pi celebri terremoti fu quello che rase al suolo Lisbona il primo novembre 1755, che provoc ben 30.000 morti. In Asia, una delle catastrofi pi gravi di cui

Figura 1.1. Accelerogramma tipo

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Cenni di sismologia cap 1

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si abbia notizia sembra quella che colp la regione cinese dello Shansi nellinver-no del 1556 e che caus la morte di circa 830.000 persone. In tempi pi recenti un altro terremoto catastrofico ha colpito la Cina (Tientsin e Tangshan) nel luglio 1976: raggiunse una magnitudo di 8,2 della scala Richter e, nonostante le agenzie di stampa locali non diffusero dati ufficiali sul numero delle vittime, si parl di quasi 750.000 morti. Si ritiene infine che il terremoto pi intenso di cui esistano riscontri scientifici sia stato quello verificatosi il 22 maggio 1960 in Cile, nella regione a sud di Concepcin. Finora lunico ad aver

Figura 1.2. Accelerogramma pubblicato dal Servizio sismico nazionale

Figura 1.3. Rilevamento ingv del terremoto di Palermo del 6 settembre 2002

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parte prima Progettare le strutture in acciaio20

misurato i 9,5 gradi della scala Kanamori, un sistema di valutazione di onde sismiche pi attendibile per terremoti estesi e molto intensi. Raggiunse la magni-tudo di 8,3 della scala Richter e le vittime furono circa 4.000.

1.4. Lattuale normativa sismica italianaIl territorio nazionale, gi classificato dal 1974 in zone di maggiore o minore rischio sismico, stato riclassificato in quattro zone dallO.P.C.M. 3274 del 20 marzo 2003.I valori di ag espressi come frazione dellaccelerazione di gravit g, da adottare in ciascuna delle zone sismiche del territorio nazionale sono:

zona 1: 0,35; zona 2: 0,25;

Figura 1.4. Mappa pubblicata dal Servizio sismico nazionale

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Cenni di sismologia cap 1

21

zona 3: 0,15; zona 4: 0,05.

Questa riclassificazione scaturita dal lavoro di un comitato scientifico che, aiutato da anni di rilevamenti strumentali, ha diviso il territorio in fasce di peri-colosit eliminando le zone di sismicit nulla, imponendo lutilizzo di tecniche di progettazione strutturale antisismica su tutto il territorio nazionale senza limi-tazioni.

Figura 1.5. Massima intensit macrosismica nei comuni italiani pubblicata dal Servizio sismico nazionale

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caPitolo 2Cenni di dinamica delle strutture

2.1. Utilizzo dei modelli matematici I modelli matematici che raffigurano problemi tecnici reali sono realizzati attra-verso lintroduzione di ipotesi ed idealizzazioni necessarie per rendere il problema matematicamente pi semplice, ma capaci di fornire:

soluzioni sufficientemente approssimate; risultati abbastanza soddisfacenti dal punto di vista della sicurezza e dellecono-

mia.

2.1.1. Gradi di libertIl numero dei gradi di libert di un sistema meccanico il numero di coordinate indipendenti che determina la posizione nello spazio di tutte le masse del sistema in qualsiasi istante del suo movimento. In una qualsiasi costruzione reale le masse sono distribuite per i volumi dei suoi elementi e pertanto la costruzione si rappre-senta come un sistema di masse elementari.

Per ciascuna di queste masse va determinata la posizione durante il movimento; le costruzioni reali devono essere considerate come sistemi con uninfinit di gradi di libert.In molti casi, nei calcoli strutturali, ammettendo un certo errore, possibile sostituire un sistema con un numero infinitamente grande di gradi di libert

Figura 2.1. Sistemi con un grado di libert

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parte prima Progettare le strutture in acciaio24

con un altro avente un numero finito di masse concentrate in determinati punti specifici. I tratti del sistema rimasti senza le masse vengono considerati come scheletro del sistema senza inerzia che conserva, per, le propriet deformanti della struttura calcolata. Tali sistemi semplificati possiedono un numero finito di gradi di libert. I punti di concentramento delle masse vengono di solito scelti in modo da poterli sovrapporre ai punti di ubicazione dei maggiori carichi

Figura 2.2. Sistema con infiniti gradi di libert

Figura 2.3. Sistema con un numero finito di gradi di libert

Figura 2.4. Valutazione delle oscillazioni verticali di una struttura

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Cenni di dinamica delle strutture cap 2

25

verticali. Ad esempio, per determinare le oscillazioni orizzontali di un edificio si suppone nel modello di calcolo che le sue masse siano concentrate al livello dei solai. Il pi semplice dei sistemi quello con un solo grado di libert. Con questo schema possono essere esaminate, per esempio, le oscillazioni orizzontali in una delle direzioni del telaio di un piano portante una copertura pesante. La parte principale delle masse della costruzione situata al livello della copertura, quindi il suo studio come sistema ad un grado di libert non porta ad errori percettibili. Quando per occorre calcolare lo stesso tipo di oscillazioni, ma per una struttura la cui massa sia distribuita uniformemente in altezza, come ad esempio una cimi-niera, una esemplificazione simile provocherebbe errori tangibili nei risultati di calcolo. In questo caso, quindi, la schematizzazione ideale della struttura vedreb-be un grado di libert per ogni straterello orizzontale e quindi necessiterebbe di un numero infinito di gradi di libert. Per risolvere il problema necessario ricor-rere ad unapprossimazione: inserire un numero finito, ma abbastanza grande, di gradi di libert. Laumento del numero dei gradi di libert avvicina il risultato a quello esatto, ma di contro fa bruscamente crescere il volume delle operazioni di calcolo. Sar quindi necessario ridurre gli schemi di calcolo ad un numero di gradi di libert tale da limitare al minimo lerrore, pur lasciando un volume accettabile di operazioni matematiche.

2.1.2. Oscillatore semplice (non smorzato)Il punto di partenza di tutte le teorie applicate alla dinamica delle strutture lo studio delloscillatore semplice. Lobiettivo quello di descrivere il moto (ovve-ro di prevedere lo spostamento o la velocit) della massa m ad ogni istante t per una data serie di condizioni iniziali (al tempo t = 0). La relazione analitica tra lo spostamento y e il tempo t data dalla seconda legge di Newton, che in notazione vettoriale pu essere espressa cos:

F = m adove

F la risultante che agisce su una particella di massam a la risultante accelerazione.

La precedente una relazione vettoriale e come tale pu essere scritta in forma equivalente nei termini dei suoi componenti lungo gli assi coordinati x, y e z:

F m a

F m a

F m a

x x

y y

z z

=

=

=

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parte prima Progettare le strutture in acciaio26

Lo schema di equilibrio un disegno del corpo isolato da tutto il resto nel quale sono evidenziate tutte le forze esterne al corpo stesso.Per il caso in questione, la figura precedente mostra lo schema di equilibrio della massa m delloscilla-tore spostato nella direzione positiva dellasse y, sul quale agisce una forza elastica Fs = k y (supponendo una molla lineare che rappresenti la forza inerziale). Dallapplicazione della legge del moto di Newton coe-rente con il principio di DAlambert, risulta:

- k y = m

m + k y = 0

in cui la forza elastica che agisce nella direzione negativa ha il segno negativo e laccelerazione stata indicata con la dieresi in quanto derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo. Trascurando tutta la risoluzione dellequazione differenziale classificata come omogenea con coefficienti costanti, risulta dopo svariati passaggi matematici:

y y t too= + cos sin

che lespressione dello spostamento y delloscillatore semplice come funzione della variabile del tempo t; si in tal modo raggiunto lo scopo di descrivere il moto delloscillatore semplice non smorzato, valido modello per tutte le strutture a un solo grado di libert.Lesame della precedente equazione mostra che il moto che questa descrive armonico e perci periodico; esso pu cio essere espresso da una funzione seno e coseno della stessa frequenza w. Il periodo pu essere facilmente trovato dato che le funzioni seno e coseno hanno entrambe un periodo 2 p. Il periodo T del moto determinato da:

w T = 2 p

oppure:T = 2

Il periodo abitualmente espresso in secondi per ciclo, o semplicemente in secondi. Il valore reciproco al periodo la frequenza naturale f. Il suo valore si ottiene attraverso lespressione:

fT

= =1

2

Figura 2.5. Schemadi oscillatore semplice

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Cenni di dinamica delle strutture cap 2

27

2.1.3. Oscillatore semplice (smorzato)Nel precedente paragrafo si visto che loscillatore semplice, nelle condizioni idealizzate di non smorzamento, una volta eccitato, osciller indefinitamente con ampiezza costante alla sua frequenza naturale. Lesperienza comunque indica che non possibile simulare una simile condizione nella realt in quanto forze denominate dattrito o di smorzamento sono sempre presenti in ogni sistema fisico in moto.Nellanalisi dinamica delle strutture si ammette solitamente che le forze di smor-zamento siano proporzionali allampiezza della velocit e opposte alla direzione del moto, smorzamento noto come smorzamento viscoso.Schematizzando il sistema strutturale e procedendo come un semplice oscillatore non viscoso, inserendo nellequazione di equilibrio il fattore c che tiene conto dello smorzamento viscoso, si ottiene:

m y c y k y + + = 0

Figura 2.6. Risposta in vibrazione libera non smorzata

Figura 2.7. Risposta per un sistema libero sottosmorzato

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parte prima Progettare le strutture in acciaio28

che, nel caso di sistema sottosmorzato, avr la seguente risoluzione:

y e y t y tt o Do o

D

= ++

cos sin

2.1.4. Estensione a pi gradi di libertFatta lipotesi di base sulloscillatore semplice, nel caso di strutture con un numero finito di masse applicate, il ragionamento viene esteso, mediante model-lo matematici sofisticati, alla sommatoria delle masse con un sistema di equa-zioni differenziali di difficile risoluzione manuale. Tale risoluzione viene svolta egregiamente e velocemente dagli odierni processori che equipaggiano i Pc.

2.2. Calcolo delle sollecitazioni sismicheLe forze sismiche sono state valutate come forze dinerzia secondo la formula:

Smax = m 0 max

dove

m la massa della struttura0 max laccelerazione massima delle fondamenta della struttura.

Poich durante un terremoto le accelerazioni possono avere varie direzioni, per il calcolo si prendono in considerazione le accelerazioni massime in base al valore assoluto della forza, supponendo che queste agiscano in una qualunque direzione orizzontale.

Figura 2.8. Sistemi con tre gradi di libert con tre modi propri di vibrare

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Cenni di dinamica delle strutture cap 2

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Il peso del corpo Q e la sua massa m sono legate dalla relazione:

Q = m gdove

g laccelerazione di gravit, pari a 9,81 m/s2.

Sostituendo alla formula per il calcolo di Smax si avr:

Syg

Q k Qsmaxmax= =

0

dove

kygs

=0max

il coefficiente sismico.

Conoscendo laccelerazione massima della fondazione e il peso della struttura, possibile calcolare le forze dinerzia massime, denominate sollecitazioni sismi-che, che agiscono nella struttura durante il terremoto.Queste formule teoriche sono rimaste la base su cui si sono basati gli studi suc-cessivi, soprattutto nella definizione del coefficiente sismico ks.

2.2.1. Analisi modaleIn ambito progettuale fondamentale conoscere i valori massimi dei parame-tri strutturali che maggiormente condizionano la progettazione esecutiva della costruzione, come ad esempio il taglio massimo alla base o lo spostamento mas-simo di un punto di controllo particolare. Normalmente, la valutazione dei para-metri strutturali che caratterizzano il comportamento dinamico di una struttura, e quindi le relative sollecitazioni, si ottiene realizzando un modello computazio-nale della struttura. Nellipotesi di un comportamento strutturale di tipo elastico lineare, lanalisi della risposta (ovvero la valutazione degli effetti dellazione sismica) pu essere effettuata mediante limpiego dellanalisi dinamica multimo-dale con spettro di risposta, detta pi semplicemente analisi modale.Mediante lanalisi modale la risposta della struttura in termini di effetti E (sol-lecitazioni o spostamenti) ottenuta come somma di n effetti (tanti quanti sono i gradi di libert del sistema), ognuno relativo allnesimo modo di vibrare della struttura, calcolati risolvendo le n equazioni dei sistemi a un solo grado di libert nei quali viene suddiviso il sistema.

2.2.2. Spettri di rispostaLo spettro di risposta , di fatto, un terremoto di progetto. Lo spettro di risposta un tracciato della massima risposta (massimo spostamento, massima velocit,

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massima accelerazione) a una specifica funzione di carico per tutti i possibili sistemi a un solo grado di libert. Pur essendo le strutture reali in realt schema-tizzabili come sistemi complessi a molti gradi di libert, limpiego dello spettro di risposta nellanalisi dinamica riveste tuttavia notevole importanza nellinge-gneria sismica. Infatti, tramite lanalisi modale, la risoluzione di strutture pi complesse (a n gradi di libert) pu in generale essere ricondotta alla risoluzione di n sistemi, ciascuno corrispondente ad un grado di libert, per ognuno dei quali possibile poi valutare la risposta massima.Lascissa dello spettro la frequenza naturale (o periodo) del sistema, mentre lordinata la massima risposta. Quindi per determinare da una carta di spettro la risposta per una specifica eccitazione bisogna conoscere la frequenza naturale del sistema.

2.2.3. Composizione degli spettri di rispostaLa normativa vigente impone la composizione degli spettri di risposta contempo-ranei almeno nelle direzioni orizzontali x e y. Per far ci esistono diversi metodi statistici per estrarre le condizioni pi gravose alle varie frequenze.

metodo di combinazione SrSSIl metodo, detto anche metodo della combinazione euclidea, prende il nome SrSS dallespressione inglese Square Root of the Sum of Squares (radice quadrata della somma dei quadrati). La risposta massima totale ottenuta componendo gli n modi significativi secondo lespressione seguente:

R RC ii

N

=

=

21

1 2/

metodo di combinazione cqcLa combinazione quadratica completa (cqc Complete Quadratic Com bination) non altro che una estensione del metodo SrSS. Si osservi, che se la relazione della formula precedente non verificata, esistono modi di vibrare con periodi Tn e Tm molto vicini tra loro, ovvero molto probabile che i valori Enmax e Emmax si possano verificare quasi contemporaneamente. Conseguente mente il contributo di questi modi a Emax sotto radice nella formula successiva si avvicina al valore (Enmax + Emmax)2 perch essi tendono a diventare simultanei. In tale ipotesi la formula successiva va allora corretta in modo tale che, oltre alla somma (Enmax)2 + (Emmax)2, compaia un termine addizionale che, al limite per Tn = Tm, sia pari a 2 Enmax Emmax. Per questo motivo, quando i periodi dei modi di vibrare non sod-disfano la formula precedente, lEurocodice 8 suggerisce di calcolare Emax con la propria per tenere conto di questi contributi aggiuntivi.

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