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Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 1
APORTACIONES DE INVESTIGACIÓN
AL APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA EN INGENIERÍA
INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
PATRICIA CAMARENA GALLARDO
DOCTORADO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
4 DE NOVIEMBRE DEL 2010
MÉXICO, D. F.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 2
CONTENIDO
Resumen 3
Introducción 5
La problemática abordada 6
La Matemática en el Contexto de las Ciencias 9
Fase curricular 11
Fase docente 19
Fase epistemológica 22
Fase didáctica 24
Fase cognitiva 38
Conclusiones 39
Bibliografía 40
Breve Currículum Vitae 44
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 3
RESUMEN
El documento ofrece un recuentro de las aportaciones que sobre investigación ha
realizado la Doctora Patricia Camarena, en torno a atender la problemática del
aprendizaje y la enseñanza de la matemática en el nivel superior, específicamente en
el área de la ingeniería, para contribuir a formar cuadros profesionales de alta calidad,
con una matemática para su actividad laboral y profesional, así como una matemática
para la vida.
Para bordar la problemática del aprendizaje y enseñanza de la matemática en carreras
profesionales, en donde la matemática no es una meta por sí misma, es decir, en
donde no se van a forma matemáticos, se desarrollan investigaciones científicas en el
área educativa que dan origen a la construcción de la teoría educativa denominada:
Matemática en el Contexto de las Ciencias, la cual se describe en el documento.
La teoría contempla al proceso educativo como un sistema en el cual hacen presencia
los contenidos a enseñar, el estudiante y el profesor, así como las interacciones que se
presentan entre todos éstos. Toma en cuenta los contenidos matemáticos específicos
del área de la ingeniería de que se trate, diseñando una metodología para la
identificación de tales contenidos y dando por origen a la fase curricular de la teoría.
Asimismo, considera la vinculación de la matemática con los temas de la ingeniería
para abordar la fase didáctica y la fase epistemológica de la teoría, en esta última se
analiza la génesis de tales vinculaciones. La fase didáctica se lleva a cabo en el salón
de clase y las investigaciones que dan cuenta del aprendizaje del estudiante
constituyen la fase cognitiva. La teoría incluye la fase docente en donde las
investigaciones giran en torno al papel y formación que deben tener los docentes de
matemáticas en carreras de ingeniería.
Estas cinco fases son las que conforman a la teoría. Como teoría, en cada una de sus
fases se incluye una metodología, con fundamento teórico, acorde a los paradigmas en
los que se sustenta, donde se guían los pasos para el diseño curricular, se describe la
didáctica a seguir, se explica el funcionamiento cognitivo de los alumnos y se
proporcionan elementos epistemológicos acerca de los saberes matemáticos vinculados
a las actividades de los profesionistas, entre otros.
Los resultados más relevantes son: la metodología curricular Dipcing para el diseño de
programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería. El proceso
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 4
metodológico didáctico para la construcción de una matemática para la vida del
ingeniero; éste involucra la estrategia didáctica de la Matemática en Contexto, los
cursos extracurriculares que desarrollan habilidades del pensamiento y un taller
integral que permite que el estudiante resuelva problemas reales de la industria.
Asimismo, la caracterización de los modelos matemáticos y su clasificación en la
ingeniería, donde se describe que la modelación matemática se concibe como un
proceso en donde el estudiante tiene que manipular variables y constantes a través de
los conceptos que las relacionan, para con ello poder llegar a formular el modelo
matemático que tendrá que pasar por un tamiz para ser validado de acuerdo al
planteamiento del problema. Además, en la modelación matemática se pone de
manifiesto la transferencia del conocimiento, para lo cual son necesarios los diferentes
enfoques que ofrece cada tema y concepto matemático, así como el conocimiento de la
disciplina del contexto, la transposición contextualizada y el manejo conceptual de la
matemática descontextualizada.
Palabras clave
Matemática en el Contexto de las Ciencias, Dipcing, Modelación matemática,
Matemáticas en Contexto, Didáctica, Epistemología, Especialidad en docencia.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 5
INTRODUCCIÓN
En esta época la preparación de las comunidades de trabajadores es cada vez más
exigente. Hace cien años se reconocía como erudito a aquella persona que tenía
conocimientos a nivel bachillerato (los famosos bachilleres), en esta época no es
suficiente con tener una carrera profesional de nivel universitario, en muchos casos,
los posgrados, entre otros, son elementos que determinan la contratación o no de un
individuo.
La llamada globalización incide en las competencias laborales y profesionales de los
egresados, la cual exige de ingenieros con una preparación sólida e integral para que
puedan enfrentar todos los cambios científicos que se viven en las diferentes áreas del
conocimiento, así como cualquier problema que surja un su actividad profesional diaria
y estar al nivel profesional de cualquier país.
Para la formación sólida e integral del egresado no es suficiente que posea
conocimientos de física, matemáticas, biología, así como de las áreas de su carrera de
estudio, sino que pueda resolver problemas reales que requieren de la integración de
todos estos conocimientos, es decir, se requiere un buen nivel de habilidades para la
transferencia del conocimiento.
Una de las preguntas de investigación que se formulan es cómo desarrollar las
habilidades de transferencia del conocimiento para que las competencias laborales y
profesionales se vean favorecidas, cuando todos los objetivos de las carreras
universitarias expresan que se dará una formación integral al estudiante y las
asignaturas de las ciencias básicas, que son el fundamento de las ingenierías, están
aisladas de las demás materias.
Con estos elementos y la problemática que se genera con la enseñanza y el
aprendizaje de la matemática en carreras de ingeniería, es que surgen las
investigaciones científicas que se reportan en el presente documento, para identificar
posibles alternativas de solución. La parte más relevante es que las investigaciones
llevan a construir una teoría educativa denominada: La Matemática en el Contexto de
las Ciencias, la cual posee cinco fases que son abordadas en el presente escrito: fase
curricular desarrollada desde 1984, fase docente definida en 1990, fase epistemológica
abordada en 1988, fase didáctica iniciada desde 1987 y fase cognitiva estudiada desde
1992.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 6
LA PROBLEMÁTICA ABORDADA
Para iniciar con esta sección, se hace mención al hecho de que, en general, existen
muchos factores que intervienen en la problemática de la enseñanza y aprendizaje de
la ingeniería, en particular se detectan graves problemas en las ciencias básicas que
apoyan a una carrera determinada de ingeniería, el caso crítico se localiza en las
asignaturas de matemáticas. Uno de los factores que inciden en la problemática de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en escuelas de ingeniería, tiene que
ver con la aridez de las matemáticas en los cursos que se imparten en carreras de
ingeniería; es decir, fuera del contexto de la propia ingeniería. Lo cual posteriormente
repercute en la deficiente habilidad para modelar problemas de la ingeniería durante la
vida profesional del egresado, pues un punto clave es que debe integrar los
conocimientos que recibió de matemáticas con los de las asignaturas de ingeniería,
situación que desconoce, creándole un sentimiento de frustración.
Por otro lado, cuando un docente de matemáticas en carreras de ingeniería, sobre todo
cuando es matemático, inicia a dar clases, las preguntas naturales que surgen en el
salón de clases por parte de los estudiantes son: ¿por qué estudiar matemáticas?,
¿para qué nos van a servir?, ¿en dónde las vamos a usar?; las cuales se responden
con expresiones evasivas como: después las aplicarán en sus cursos de ingeniería, es
que deben saber matemáticas, etcétera. Además, estas interrogantes dan cuenta de la
problemática que viven los estudiantes con esta disciplina y del poco interés que tienen
por esta rama de las ciencias, ya que no ven de manera inmediata su aplicación, ni el
objeto de tener que cursarla; en buena medida, un elemento que afecta, es el hecho
de no tener un currículo adecuado a las necesidades de la ingeniería en donde se
imparten estos cursos de las ciencias básicas.
Los estudiantes no tienen en claro por qué estudiar matemáticas y esto demerita la
motivación hacia esta ciencia, por otro lado, en los objetivos de los estudios de
ingeniería se menciona que el futuro ingeniero deberá poseer una formación integral y
en ninguna parte de los currículos de ingeniería se especifica cómo lograrlo. Desde
esta perspectiva, la desarticulación que existe entre los cursos de la matemática y las
demás asignaturas que cursa el estudiante se convierte en un conflicto cotidiano para
los alumnos.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 7
Más aún, es reconocido el hecho de que las ciencias básicas en carreras de ingeniería
son materias con un alto índice de reprobación. El caso particular de la matemática es
crítico, ya que es la asignatura con mayor índice de reprobación, problema que no es
privativo de ninguna institución educativa en particular, ni del país, éste es un
problema mundial. Pero esto es solamente un síntoma, si el problema fuera la
reprobación, todos los decentes se ponen de acuerdo en poner calificaciones
aprobatorias y el problema se acaba. El problema real es que el estudiante no logra los
aprendizajes deseados que lo lleven a trabajar la ingeniería de forma científica, tiene
que pasar mucho tiempo para que pueda lograrlo. En la verdadera problemática
educativa intervienen varios factores, que son de tipo curricular, que inciden en el
aprendizaje y en la enseñanza, inherentes a la formación de los docentes, inferidos al
propio tema de estudio, por causas de la infraestructura cognoscitiva de los alumnos,
debido a factores de tipo emocional, social, económicos, etc.
Para tratar de abordar la problemática planteada, se ha reflexionado acerca de la
función de la matemática en carreras de ingeniería, construyéndose el paradigma
educativo que expresa que: “La matemática en escuelas de ingeniería, más
precisamente en escuelas en donde la matemática no es una meta por sí misma, es
una herramienta de apoyo a la ingeniería en cuestión, sin olvidar el carácter formativo
que ésta ofrece”.
Epistemología del contexto
Se sabe que la matemática que se requiere en escuelas de ingeniería, generalmente ha
nacido dentro del contexto del área del conocimiento en donde se le necesita. Al
transcurrir el tiempo, los textos presentan a esa matemática descontextualizada de su
origen, como un conocimiento acabado, el cual posee formalidad matemática y una
estructura que lo hace demasiado abstracto para los estudiantes.
A principios del siglo antepasado el conocimiento se presentaba a los estudiantes
integrado, ya que las áreas de estudio eran de tipo interdisciplinario, al avanzar el
conocimiento en cada área se comienzan a separar entre sí, y a poseer sus propias
sustentaciones teóricas. El caso de las matemáticas que llevaba ventaja en este
sentido, comienza a aparecer, a fines del siglo XIX, en libros con la llamada formalidad
matemática, en donde, obviamente, no se presentaban aplicaciones de las
matemáticas en vez de éstas se ofrecían los marcos teóricos de la reina de las ciencias,
como muchos la han llamado, situación que prevalece hasta los setentas del siglo XX,
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 8
época en que se comienzan a encontrar uno que otro texto de matemáticas para
ingenieros que considera aplicaciones de matemáticas a la ingeniería.
Por otro lado, se sabe que cualquier ciencia para estar fundamentada científicamente
recurre a la descripción matemática o matematización de la misma; dicho de otra
forma, la matemática es básica para cualquier ciencia que se quiera fundamentar
teóricamente. La ingeniería como ciencia científica requiere de la matemática para su
desarrollo y descripción. De hecho, la matemática en ingeniería:
La caracteriza como ciencias científica.
Permite pronosticar comportamientos.
Maneja de mejor forma el lenguaje de la ingeniería.
Ayuda a optimizar diseños y recursos.
Favorece el minimizar errores.
Permite realizar cálculos teóricos en vez de cálculos prácticos y con ello
ahorrar tiempo y recursos.
Otorga mayor precisión en el análisis de un problema.
Maneja un orden lógico.
Desarrolla un espíritu científico.
Favorece el ser analítico y crítico.
Es una disciplina mental que favorece el desarrollo de la ingeniería y de la
vida profesional.
Para abordar la problemática descrita, la que suscribe ha desarrollado una teoría
educativa denominada: La Matemáticas en el Contexto de las Ciencias. La cual aborda
la problemática del aprendizaje y enseñanza de la matemática en carreras de
ingeniería de forma integral, más precisamente, en carreras profesionales en donde la
matemática no es una meta por sí misma.
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LA MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE LAS CIENCIAS
Como ha sido mencionado, en el presente trabajo se muestran los resultados de varias
investigaciones educativas relacionadas con el proceso del aprendizaje y la enseñanza
de la matemática en áreas de ingeniería. Esta serie de investigaciones convergen en la
construcción de la teoría educativa denominada: La matemática en el Contexto de las
Ciencias, la cual nace en el nivel universitario y se está llevando hacia los niveles
educativos anteriores: bachillerato y secundaria.
La teoría que aquí se resume se ha desarrollado a lo largo de más de 25 años en el
Instituto Politécnico Nacional de México. Se inició con investigaciones sobre el currículo
tratando de abordar la problemática del por qué de los cursos de matemáticas en las
áreas de ingeniería y tratando de buscar respuestas a la problemática que todo
docente de matemáticas vive con los estudiantes, quienes parece que odian a la
matemática, en donde se repite la situación de que en apariencia nunca han visto los
conocimientos de sus cursos anteriores que les exige el profesor.
La Matemática en Contexto de las Ciencias es una teoría que nace desde 1982, la cual
reflexiona acerca de la vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias
que la requieren, entre la matemática y las competencias laborales y profesionales, así
como la vinculación con actividades de la vida cotidiana, porque se busca una
matemática para la vida. La teoría se fundamenta en los siguientes paradigmas:
La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa.
La matemática tiene una función específica en el nivel universitario.
Los conocimientos nacen integrados.
El supuesto filosófico educativo de esta teoría es que el estudiante esté capacitado
para hacer la transferencia del conocimiento de la matemática a las áreas que la
requieren y con ello las competencias profesionales y laborales se vean favorecidas,
además se quiere un matemática para la vida.
La teoría contempla a la formación integral del estudiante como un sistema que
involucra cinco fases:
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 10
La Curricular, desarrollada desde 1984.
La Didáctica, iniciada desde 1987.
La epistemológica, abordada en 1988.
La docente, definida en 1990.
La cognitiva, estudiada desde 1992.
Es claro que en el salón de clases están presentes los contenidos de cada una de las
cinco fases y éstas interactúan entre sí en un ambiente social, económico y político; es
decir, los cinco elementos no están aislados unos de los otros y tampoco son ajenos a
las condiciones sociológicas de los actores del proceso educativo, para una exposición
con formalidad de la teoría se hace necesario fragmentarla en las cinco fases, véase la
figura 1. En las siguientes secciones se exponen los elementos más relevantes de cada
fase.
COGNITIVA
DIDÁCTICA
CURRICULAR
EPISTEMOLÓGICA DOCENTE
Figura 1. Una terna dorada en educación.
ALUMNO
PROFESOR CONTENIDO
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FASE CURRICULAR
La fase curricular posee una metodología denominada DIPCING para el diseño de
programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería, desarrollada en el
Instituto Politécnico Nacional de México desde 1984.
La metodología se fundamenta en el siguiente paradigma educativo: Con los cursos de
matemáticas el estudiante poseerá los elementos y herramientas que utilizará en las
materias específicas de su carrera, es decir, las asignaturas de matemáticas no son
una meta por sí mismas; sin dejar a un lado el hecho de que la matemática debe ser
"formativa" para el alumno.
Asimismo, la premisa alrededor de la cual gira la metodología es que: El currículo de
matemáticas debe ser objetivo, es decir, debe ser un currículo fundado sobre bases
objetivas.
Para poder cumplir con la premisa dentro del marco del paradigma educativo
planteado, se propone una estrategia de investigación dada en tres etapas: la central,
la precedente y la consecuente, ver cuadro 1.
ETAPAS CONTENIDO
CENTRAL
Hacer un análisis de los contenidos matemáticos, tanto explícitos como implícitos, en los cursos específicos de la ingeniería.
PRECEDENTE
Detectar el nivel de conocimientos matemáticos que tienen los alumnos a su ingreso a la carrera.
CONSECUENTE
Efectuar una encuesta a los ingenieros en ejercicio, sobre el uso que tienen de la matemática en su labor
profesional.
Cuadro 1. Etapas de la metodología DIPCING.
Cabe hacer mención que esta metodología se ha generalizado a las ciencias básicas1
de física y química en carreras de ingeniería, donde éstas son consideradas como el
cimiento de la ingeniería.
1 Para mayor información se puede recurrir a la referencia bibliográfica: Patricia Camarena G. “Metodología curricular para las ciencias básicas en ingeniería”. Revista: Innovación Educativa, Vol. 2, Núm. 10, septiembre - octubre (primera parte) y Núm. 11, noviembre - diciembre (segunda parte). México, 2002.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 12
Implementación de Dipcing
Se ha aplicado la metodología Dipcing a carreras del área de ingeniería electrónica y
ramas afines, de las tres instituciones educativas de México de mayor prestigio en
ingeniería: Instituto Politécnico Nacional, Universidad Nacional Autónoma de México y
Universidad Autónoma de México.
A través de la aplicación de Dipcing se identificaron varios constructos teóricos que son
presentados a continuación.
De las tres etapas de la metodología Dipcing, la central se apoya en el análisis de
textos de tres de los cinco bloques de conocimientos de las ingenierías: las ciencias
básicas, ciencias básicas de la ingeniería y ciencias de aplicación de la ingeniería (o
especialidad de la ingeniería), clasificación que presenta la Asociación Nacional de
Universidades e Instituciones de Educación Superior de México (ANUIES) para carreras
del área de ingeniería; los otros dos bloques corresponden a ciencias sociales y
administrativas, por lo que no se toman en cuenta para Dipcing.
El análisis de textos se lleva a cabo teniendo en mente la búsqueda de los temas y
conceptos matemáticos que son requeridos por los tres bloques de la ingeniería que se
han descrito; incluyéndose desde luego, el enfoque y profundidad de cada uno de los
temas y conceptos matemáticos, la notación con que se les describe y sus
aplicaciones.
Con la actividad mencionada, se establece la vinculación curricular entre las
asignaturas de matemáticas con las ciencias básicas y las ciencias básicas de la
carrera, así como entre matemáticas y las especialidades de la carrera,
constituyéndose el primer constructo teórico.
De la etapa central se ha detectado que la matemática en una proporción de entre el
setenta y noventa porciento2 apoya a los cursos de las ciencias básicas y ciencias
básicas de la ingeniería, siendo el restante treinta a diez porciento de la matemática la
que apoya a las ciencias de aplicación o especialización de la ingeniería. Este hecho
determina el segundo constructo teórico.
Dentro de los cursos de las ciencias básicas de la ingeniería se tiene otro constructo
teórico, el tercero, el cual tiene que ver con el tipo de características que se le
demandan a la matemática. Resulta que los cursos de las ciencias básicas de la
ingeniería están constituidos por dos enfoques, el teórico y el de aplicación. De esta
2 Este porcentaje depende de la ingeniería en estudio.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
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forma se cuenta con la matemática que apoya a las partes teóricas de estos cursos y
con la matemática que se necesita en la aplicación de estas disciplinas. La matemática
que apoya a la aplicación es una matemática en la que se requieren desarrollar
habilidades en el estudiante para su manejo y manipulación, mientras que en la otra
parte no es necesario el desarrollo de estas habilidades, mas no se está diciendo que
no se desarrollen. En la categoría de aplicación también caen las ciencias de aplicación
de la ingeniería que corresponden al tercer bloque.
Una vez determinados cuáles son los contenidos matemáticos que se necesitan en la
ingeniería, se pasa a la etapa precedente, es decir, se determinan cuáles son los
prerrequisitos necesarios de matemáticas para los contenidos encontrados. Dicho de
otra forma, se establece la vinculación que debe existir entre los niveles educativos
superior y medio superior, obteniéndose el cuarto constructo teórico.
Con el final de la etapa precedente se pasa a la etapa consecuente, para la cual se
debe hacer una encuesta a los ingenieros en ejercicio, que estén realmente fungiendo
como tales. Los resultados obtenidos de esta investigación ofrecen para el currículo
una mejor jerarquización de la importancia que se les debe dar a los temas de la
matemática. Con esta etapa se establece la vinculación entre la matemática de la
ingeniería y la industria, siendo el quinto constructo teórico.
Con el análisis de la etapa consecuente se determinan los contenidos matemáticos que
no están relacionados con ninguna asignatura de la ingeniería y que son usados por el
ingeniero en funciones de su profesión, lo cual ofrece contenidos matemáticos que
deberán ser considerados en los cursos de posgrado, estableciéndose el sexto
constructo teórico que habla de la vinculación entre el nivel de licenciatura y posgrado.
Otro constructo teórico relevante, el cual corresponde al séptimo de la lista, se
descubre en esta etapa: la diferencia entre la matemática escolar y la matemática de
aplicación en el campo laboral, fenómeno que se ha denominado transposición
contextualizada. De hecho, un contenido matemático a enseñar que está destinado a
utilizarse en la ingeniería sufre a partir de entonces un conjunto de transformaciones
adaptativas que van a hacerlo apto para las aplicaciones en esa ingeniería, al cual se le
llama: saber3 de aplicación. Así, el saber didáctico se extrae del dominio escolar para
insertarse en el ámbito de la ingeniería, convirtiéndose en saber de aplicación. Al
conjunto de las transformaciones que sufre un saber para pasar del saber a enseñar4 al
3 “Saber” es la forma de denotar a los contenidos matemáticos o de cualquier otra ciencia, según la corriente educativa francesa definida por Bachelard y Brousseau. 4 El cual se localiza en el ámbito escolar.
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Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 14
saber de aplicación5 se le denomina en la teoría de la Matemática en el Contexto de las
Ciencias: transposición contextualizada. Es interesante comentar que así como existe
la transposición didáctica6, la cual modifica el saber científico al saber a enseñar,
también existe la transposición contextualizada7, la cual modifica este saber a enseñar
a un saber de aplicación; es decir, el saber en el ámbito escolar es uno y otro cuando
está en el contexto de la ingeniería en donde se le utilizará, siendo éste el séptimo
constructo teórico.
Hasta este momento se tienen solamente los temas y conceptos matemáticos que se
van a usar en los cursos de ingeniería, a esto se le deberá agregar el contenido
matemático necesario para formar la estructura lógica del conocimiento, para que sea
sensata la impartición del tema, constituyéndose el octavo constructo teórico. Este
constructo es muy importante porque será el que permita hacer tan extensos o cortos
(con las limitaciones que imprime la etapa central de la metodología) a los programas
de estudio. Por otro lado, esta diferencia entre los contenidos matemáticos de la
ingeniería y los contenidos matemáticos que hay que agregar para formar la estructura
lógica del conocimiento, es básica para la reestructuración de los programas de
estudio, ya que los contenidos matemáticos de la ingeniería se podrán modificar a
menos que se cambien los cursos propios de la ingeniería, mientras que los contenidos
matemáticos de la estructura lógica del conocimiento se pueden cambiar según los
acuerdos de la comunidad de los profesores de matemáticas, que estará en función de
lo que pretende la institución en la formación de sus egresados.
Cabe mencionar que de todo lo anterior se desprenden el número de asignaturas a
impartirse en esta área de la matemática. La ubicación de estos cursos y la vinculación
de antecedentes y consecuentes con las otras asignaturas del mapa curricular de la
ingeniería de que se trate, siendo el noveno constructo teórico.
Es importante señalar que la metodología Dipcing otorga un carácter integral, ya que
toma en cuenta la vinculación interna y externa de la carrera de ingeniería, dentro del
marco de la matemática. De hecho, la vinculación interna queda establecida entre la
matemática y las ciencias básicas, las ciencias básicas de la ingeniería y las ciencias de
aplicación de la ingeniería, originada de la etapa central. Mientras que la vinculación
externa se establece entre el nivel medio superior y las licenciaturas en ingeniería, lo
cual se genera de la etapa precedente de la metodología, así como entre el nivel
5 En el ámbito de la ingeniería se encuentra este saber. 6 Cuya intencionalidad es la de enseñanza. 7 Cuya intencionalidad es de aplicación en la ingeniería.
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Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 15
superior y el de posgrado y, la escuela con la industria, determinada por la etapa
consecuente.
Se han descrito nueve constructos teóricos los cuales se pueden clasificar en
intrínsecos y extrínsecos a la matemática.
Los constructos teóricos intrínsecos son los que son internos o inherentes a la
matemática. En esta categoría cae el primer constructo que establece como está
relacionada la matemática con cada bloque de la ingeniería (las ciencias básicas, las
ciencias básicas de la ingeniería y las ciencias de aplicación de la ingeniería) a través
de conocer los contenidos matemáticos que las otras ciencias necesitan, el enfoque
que requieren de la matemática, la notación que la identifica en las demás ciencias y
las aplicaciones que la usan.
También el segundo constructo sobre la ponderación de la matemática en cada uno de
estos bloques es de tipo intrínseco; expresa que la matemática apoya principalmente a
las ciencias básicas de la ingeniería.
La clasificación de la matemática en la que requiere del desarrollo de habilidades y la
que no, es el tercer constructo teórico y es de tipo intrínseco.
La transposición contextualizada, séptimo constructo teórico, así como los contenidos
matemáticos de la ingeniería y los contenidos matemáticos de la estructura lógica del
conocimiento, octavo constructo teórico, también forman parte de la categoría de los
constructos teóricos intrínsecos.
VINCULACIÓN CURRICULAR INTERNA
CIENCIAS BÁSICAS CIENCIAS BÁSICAS DE ING. CIENCIAS BÁSICAS ESPECIALIDADES DE ING.
VINCULACIÓN CURRICULAR EXTERNA
NIVEL MEDIO SUPERIOR NIVEL SUPERIOR NIVEL SUPERIOR NIVEL POSGRADO
ESCUELA INDUSTRIA
Cuadro 2. Vinculación curricular interna y externa de la matemática en ingeniería.
Los constructos teóricos extrínsecos son los constructos que definen la vinculación
externa que se muestra en el cuadro 2. Es decir, la relación entre el nivel medio
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Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 16
superior y el nivel superior, así como la relación entre los niveles educativos superior y
de posgrado, también está presente el que establece la vinculación entre la escuela y
la industria. En esta categoría también se incluye el constructo número nueve que
establece la ubicación de las asignaturas de matemáticas en el mapa curricular.
Cabe hacer mención que, en el caso de Instituto Politécnico Nacional, la participación
del noventa y ocho porciento de los profesores de la Academia de Matemáticas de la
carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica del IPN, dio origen a que se
sensibilizaran los docentes respecto a la función de la matemática en ingeniería, de tal
forma que en el salón de clases cada profesor de matemáticas expresaba a sus
alumnos en dónde aplicarían los conocimientos de matemáticas, o les ponían ejemplos
de ello, o les mencionaban que en tal asignatura de la ingeniería emplearían los temas
matemáticos que el profesor les impartía. Todas estas acciones dieron lugar a que los
estudiantes presionaran a los profesores de los cursos propios de la ingeniería,
exigiendo que usaran la matemática como se los habían mencionado sus maestros de
matemáticas, lo que provocó una gran preocupación a los docentes de la ingeniería en
la carrera mencionada, de tal forma que al paso de seis años se acercaron los
profesores de ingeniería a los docentes de la Academia de Matemáticas para solicitar
que se les actualizara en los conocimientos matemáticos. Se elaboraron dos
diplomados de matemáticas para la ingeniería; uno sobre matemáticas para las
ciencias básicas y ciencias básicas de la ingeniería en comunicaciones y electrónica y el
otro para profesores de las especialidades de la ingeniería, en este caso: electrónica,
acústica, comunicaciones, control y computación.
A manera de conclusión en la aplicación de la metodología Dipcing, se puede decir que
los constructos teóricos de la categoría intrínseca a la matemática son los que apoyan
a la estrategia didáctica de la matemática en contexto, la cual surge de manera natural
del desarrollo curricular que se realiza con Dipcing.
Por otro lado, el saber en dónde y cómo se aplicará la matemática que se le imparte a
los estudiantes, el tener conocimientos de que la matemática es más importante y
necesaria en los primeros semestres o tronco común (que es en donde se cursan las
asignaturas de las ciencias básicas de la ingeniería) que en las últimas asignaturas
(que es donde cursan las materias de las ciencias de aplicación de la ingeniería), así
como el tener en claro en qué temas y conceptos matemáticos se deben desarrollar
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
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habilidades matemáticas en los alumnos, lleva a instalar una concepción específica en
los docentes de matemáticas respecto a la enseñanza de esta ciencia.
Asimismo, el conocer la transposición contextualizada de temas y conceptos de
matemáticas modula y cuantifica la rigidez, rigurosidad y formalidad de la matemática
en carreras profesionales en donde ésta no es una meta por sí misma.
De forma semejante, el tener en claro la diferencia entre los contenidos matemáticos
de la ingeniería y los contenidos matemáticos para la estructura lógica del
conocimiento, permite ver la importancia y profundidad que se les deba dar a los
temas y conceptos matemáticos en los cursos de matemáticas en carreras de
ingeniería; este constructo también incide en el carácter formativo que ofrece la
matemática.
Además, el tener conocimiento de estos constructos teóricos, mínimamente, hace
reflexionar al profesor respecto a su práctica docente, según sus aspiraciones e
intereses los irá incorporando a su quehacer docente, convergiendo a la Matemática en
el Contexto de las Ciencias.
Con la metodología Dipcing se genera fácilmente la contextualización de la matemática
en la ingeniería y se obtienen los temas sobre los cuales se les debe actualizar a los
profesores.
La metodología Dipcing favorece la formación integral de los futuros egresados, con lo
cual se eleva la calidad profesional de los mismos. Al presentar a las matemáticas
contextualizadas se favorece la motivación y se construyen conocimientos
significativos en el alumno, lo cual incide en aprendizajes duraderos, no volátiles, en la
nomenclatura de Ausubel.
Por otro lado, un programa de estudios por muy bien diseñado que se encuentre, como
los que se diseñan con la metodología mostrada, no podrán llegar muy lejos si no
tienen una buena implementación que garantice su aplicación como lo enmarca la
metodología. Es decir, los programas de estudio no son solamente los contenidos que
deben impartirse, sino que se debe saber cómo implementarlos, lo cual no queda
explícito a través de los formatos de los programas de estudio, debe haber una serie
de elementos que los apoyen, los cuales versan sobre aspectos didácticos y cognitivos,
es decir, aspectos del proceso de la enseñanza y el aprendizaje, los cuales, entre
otros, incluyen la elaboración de materiales de apoyo didáctico a los cursos; también
otro elemento de peso es la actualización de los docentes.
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Cabe mencionar que la metodología Dipcing ha sido aplicada a la carrera de ingeniería
en Comunicaciones y Electrónica de IPN de forma total y parcialmente en casi todas las
carreras de ingeniería del Instituto Politécnico Nacional, mostrando resultados
favorecedores; al igual que en otras instituciones educativas de diversos estados de la
República Mexicana y otros países de Latinoamérica.
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FASE DOCENTE
El análisis de aplicar la metodología Dipcing lleva a la reflexión acerca de la formación
de los docentes de matemáticas en las áreas de la ingeniería, como ha sido
mencionado. De hecho, la planta docente de profesores de matemáticas en carreras de
ingeniería está formada por profesionistas que son matemáticos, físicos e ingenieros,
con una fuerte proporción de ingenieros egresados de la misma carrera en donde
imparten clases. Esta situación lleva a que los docentes de matemáticas que son
matemáticos y físicos tengan que incursionar en el área de la ingeniería en donde
laboran y poder establecer la vinculación entre la matemática y los cursos de la
ingeniería que cursan sus estudiantes, todo ello para contribuir a la formación integral
del alumno. Mientras que los profesores cuya formación no es de matemáticos, como
los físicos e ingenieros deberán recibir una formación sólida en matemáticas.
Los docentes para impartir sus cursos deben contar con una formación donde la
matemática esté vinculada con la ingeniería, para reforzar este hecho, se exponen las
siguientes razones. El divorcio que existe entre las matemáticas y el uso en el área que
sustenta, es una de las grandes causas del bajo nivel académico del egresado, ya que
la realidad del ingeniero en ejercicio se presenta como el enlace entre la matemática y
la ingeniería en cuestión.
En general, el matemático resuelve problemas de la matemática que servirán a la
ingeniería, sin ser consciente de ello. El ingeniero usa matemáticas que se presentan
ante él como modelos ya elaborados, y el paso que se tiene que dar entre la
matemática y la ingeniería, prácticamente se debe a unos pocos científicos en
matemáticas o a ingenieros con una fuerte formación en matemáticas, los cuales han
desarrollado la ingeniería. Para tener innovaciones reales en ingeniería, se requiere del
eslabón perdido que es la vinculación real entre la ingeniería y la matemática. Por lo
anterior, es necesario abrir una rama más de las ciencias, la cual entrelaza las dos
áreas del conocimiento: Matemáticas e Ingeniería, teniéndose de esta forma gente
especializada en este eslabón perdido que en la actualidad está en tierra de nadie. Se
observa que con todo esto se está diciendo que para que un ingeniero pueda
realmente hacer investigación a la vanguardia, es necesario que tenga una fuerte
formación en matemáticas, pero matemáticas en el contexto de la ingeniería, o que
cuente con la participación de matemáticos que conozcan de ingeniería para realmente
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 20
formar equipos interdisciplinarios de trabajo, en donde para empezar es importante
usar el mismo lenguaje técnico.
De lo anterior se concluye que la Ingeniería Matemática, así llamada a la Matemática
vinculada a la Ingeniería, es la rama de las Matemáticas, que se interesa por conocer,
matematizar, ayudar a innovar y resolver problemas de la ingeniería, utilizando
óptimamente el herramental matemático disponible o creándolo para tales fines.
Como se sabe la ingeniería es una disciplina muy amplia, por lo que para que la
Ingeniería Matemática sea eficiente, es necesario que esté enfocada a una ingeniería
en específico, en este caso, se está hablando de la Ingeniería Electrónica y sus ramas
afines. Por otro lado, es importante que la Ingeniería Matemática se aboque a una
sola ingeniería, porque el enfoque de la matemática que se debe de dar en ingeniería,
cambia según el área de que se trate.
Desde 1990, en el Instituto Politécnico Nacional de México, a través de una
investigación se diseñó una Especialidad en docencia de la ingeniería matemática en
electrónica, en donde las asignaturas de matemáticas se muestran vinculadas con
otras disciplinas propias de la electrónica y sus ramas afines. Como se muestra en el
siguiente cuadro 3.
MATEMÁTICAS EN EL CONTEXTO DE
LA INGENIERÍA ELECTRÓNICA
MATEMÁTICAS INGENIERÍA
ELECTRÓNICA
Introducción al Análisis
Matemático de una variable real
Electrónica Básica
Cálculo Vectorial Electromagnetismo
Álgebra Lineal Control Electrónico
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Circuitos Eléctricos
Métodos numéricos Electrónica
Ecuaciones Diferenciales parciales y variable compleja
Física Electrónica
Análisis de Fourier Análisis de Señales Electromagnéticas
Probabilidad Análisis de Señales Aleatorias
Procesos Estocásticos Telefonía
Investigación de operaciones Electrónica
Cuadro 3. Áreas vinculadas de la Especialidad en Docencia de
la Ingeniería Matemática en Electrónica.
De hecho, la especialidad está formada por cuatro categorías de aprendizaje:
Conocimiento de los contenidos a enseñar (cuadro 3), Conocimiento sobre los estudios
de ingeniería en donde laboran los docentes, Conocimiento sobre el uso de tecnología
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 21
electrónica para apoyar el aprendizaje del estudiante y Conocimiento acerca del
proceso de enseñanza y de aprendizaje de la matemática. Dentro de la última
categoría se incluyen cursos sobre conocimiento científico y técnico, historia y
fundamentos de la matemática y la electrónica, procesos de aprendizaje, procesos de
enseñanza, la evaluación del aprendizaje, diseño de cursos en línea, entre otros.
El objetivo general de la Especialidad, es preparar gente altamente capacitada en
docencia e investigación y desarrollo de la matemática vinculada y aplicada a la
ingeniería electrónica y sus ramas afines.
A manera de sustento se tiene que la primera categoría requiere que el docente de
matemáticas sea experto en esta ciencia, mientras que la segunda categoría implica
que el profesor de matemáticas en carreras de ingeniería debe tener conocimiento de
la ingeniería en cuestión. Luego, el perfil del profesor de matemáticas en ingeniería es
un profesionista que si es ingeniero se debe preparar más en la disciplina de la
matemática y si su formación es de matemático debe incursionar en las áreas de la
ingeniería en donde trabaja, en ambos casos, deben tener conocimientos del proceso
de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
Es importante mostrar la necesidad de incorporar estas cuatro categorías en los
programas de posgrado para la formación de docentes, el hecho es que ningún
programa de posgrado del nivel superior para la formación de docentes del nivel
superior incluye estas categorías. También es necesario resaltar la diferencia entre un
programa tradicional de actualización y formación docente con respecto a la
Especialidad diseñada, el punto clave es el establecimiento de la vinculación de la
matemática con las áreas de la ingeniería de que se trate y el reconocimiento e
impulso de las habilidades del pensamiento que desarrolla la matemática en el
pensamiento del ingeniero, lo cual es tratado en el tema sobre didáctica de la
matemática, inserto en los cursos acerca del proceso de enseñanza y de aprendizaje.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 22
FASE EPISTEMOLÓGICA
En la fase epistemológica se han llevado a cabo investigaciones que han verificado
como gran parte de la matemática que se incluye en los cursos de áreas de ingeniería
nace en el contexto de problemas específicos de otras áreas del conocimiento y a
través del tiempo pierden su contexto para ofrecer una matemática "pura" que es
llevada a las aulas de clases sin que tenga sentido para los estudiantes que no van a
ser matemáticos.
Con la Matemática en el Contexto de las Ciencias se muestra que así como los
contextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemática, ésta, la
matemática, le da sentido y significado a los temas y conceptos de las ciencias del
contexto, reconceptualizándolos.
Hay situaciones en donde el ingeniero emplea procesos o métodos sin conocer su
origen, la fase epistemológica de la Matemática en el Contexto de las Ciencias pone a
la luz estas génesis, como el caso de las impedancias complejas en circuitos eléctricos.
También, a través de esta fase epistemológica se ha determinado el constructo teórico,
mencionado en la sección de la fase curricular, de la transposición contextualizada (Ver
la figura 2), en donde la matemática que han aprendido los estudiantes en la escuela
sufre transformaciones para adaptarse a la forma de trabajar de otras ciencias, como
el caso de la delta de Dirac para modelar un señal eléctrica impulsiva.
Conocimiento
erudito
Transposición
Conocimiento a ser enseñado
Transposición
Conocimiento
a ser
aplicado
Transposición Didáctica Transposición contextualizada (Chevallard) (Camarena)
Figura 2. Transposiciones
Como parte de esta fase se cuenta con una serie de situaciones de matemática
contextualizada para ser usadas en clase, como los cursos de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias en el contexto de los Circuitos Eléctricos (Camarena, 1987), Cálculo
Vectorial en el contexto de la Teoría Electromagnética (Ongay, 1994), el Análisis de
Fourier en el contexto del Análisis de Señales Electromagnéticas (Camarena, 1993), las
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 23
Ecuaciones Diferenciales Parciales en el contexto de la cuerda vibrante (Camarena,
2004), la Transformada de Laplace en el contexto de los Circuitos Eléctricos (Suárez y
Camarena, 2000), la Serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa
(Muro, 2002), etc.
Los obstáculos epistemológicos, como han sido definidos por Brousseau (1983), se
identifican en esta fase para ser usados en la planeación didáctica de los cursos, a
través del diseño de actividades de aprendizaje que ayuden a enfrentar a éstos.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 24
FASE DIDÁCTICA
La fase didáctica emerge en la teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias
después de haber aplicado la metodología Dipcing, pues es a partir de ésta que se
desprenden de manera natural lineamientos didácticos a seguir para la enseñanza de
la matemática en carreras de ingeniería, entre los que se encuentra la
contextualización.
La matemática en el contexto de las ciencias en su fase didáctica posee un proceso
metodológico didáctico que se encarga de que el alumno mire una matemática
vinculada con sus intereses, sin aplicaciones artificiales, con la notación que requerirá
en su carrera de estudio, no árida, de tal forma que logre conocimientos estructurados
y no fraccionados, que construya su propio conocimiento con amarres firmes y
duraderos y no volátiles y se encuentre motivado para que su desempeño académico
se incremente, de tal forma que se le desarrollen las habilidades para la transferencia
del conocimiento. El proceso metodológico incluye tres etapas:
Establecer la vinculación entre disciplinas a través de eventos de las áreas
del conocimiento de su carrera, con los que se vincula la matemática, dentro del
aula de clases, como estrategia didáctica.
Instrumentar cursos extracurriculares en donde se lleven a cabo actividades
para el desarrollo de habilidades del pensamiento, habilidades metacognitivas y
habilidades para aplicar heurísticas al resolver problemas, así como actividades para
bloquear creencias negativas.
Instrumentar un taller integral e interdisciplinario en los últimos semestres
del alumno, en donde se resuelvan problemas reales de la industria.
Primera etapa
En la primera etapa se presenta la estrategia didáctica denominada la Matemáticas en
Contexto, en donde se le presenta al estudiante una matemática contextualizada en
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 25
las áreas de estudio del conocimiento de su futura profesión en curso, en actividades
de la vida cotidiana y en actividades profesionales y laborales, todo ello a través de
eventos contextualizados, los cuales pueden ser problemas o proyectos.
Algunas veces no se distingue claramente entre problemas y ejercicios, por lo que es
menester mencionar la diferencia que existe entre éstos. Los problemas se definen
como aquella situación que crea conflicto en el individuo, de tal forma que un problema
planteado puede ser problema para algunas personas pero para otras no lo será. Un
ejercicio es aquella situación en donde la persona puede solucionarlo con sólo repetir
un proceso conocido o que de manera inmediata sabe cómo abordarlo, es decir, no le
causa conflicto.
En general el hablar de la Matemática en Contexto es desarrollar la teoría matemática
a las necesidades y ritmos que dictan los cursos de la ingeniería. La Matemática en
Contexto contempla 9 etapas que se desarrollan en el ambiente de aprendizaje en
equipos de tres estudiantes: Líder académico, líder emocional, líder de trabajo.
1.- Identificar los eventos contextualizados.
2.- Plantear el evento contextualizado.
3.- Determinar las variables y las constantes del evento.
4.- Incluir los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del modelo
matemático y solución del evento.
5.- Determinar el modelo matemático.
6.- Dar la solución matemática del evento.
7.- Determinar la solución requerida por el evento.
8.- Interpretar la solución en términos del evento y disciplinas del contexto.
9.- Presentar una matemática descontextualizada en el ambiente de aprendizaje.
De las etapas mencionadas se tiene dos observaciones, una referida a la planeación
didáctica y otra a la modelación matemática.
Observación 1
Es importante hacer notar que los puntos 4 y 9 requieren de una planeación didáctica
específica, en donde el docente diseñe actividades didácticas guiadas por los siguientes
elementos:
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 26
Tránsito entre los diferentes registros de representación. En la matemática se
cuenta con los registros numérico, algebraico, analítico, contextual y visual, éste
último incluye gráficas, diagramas, esquemas y dibujos, los cuales deben ser usados
por el profesor para poder llegar a los diferentes estilos de aprendizaje de la
matemática.
Tránsito del lenguaje natural al matemático y viceversa. Se cuenta con una
categorización de las representaciones en este tránsito: problemas con enunciado
literal, problemas con enunciado evocador y problemas con enunciado complejo.
Construcción de modelos matemáticos. Si el alumno no puede construir un modelo
matemático de un evento a abordar, significa que no puede hacer la transferencia del
conocimiento matemático a otras ciencias, por lo que es importante que este elemento
forme parte de los hilos conductores de la enseñanza y del aprendizaje.
Resolución de eventos contextualizados. Es necesario ayudar al estudiante a
desarrollar las habilidades para abordar la resolución de problemas y proyectos. De
hecho, la Matemática en el Contexto de las Ciencias toma como herramienta a la
resolución de problemas y el aprendizaje a través de proyectos, así como los
elementos que intervienen en ello: heurísticas, metacognición, creencias, etc.
Argumentación, habilidad de conjeturar y partir de supuestos. Uno de los elementos
formativos que ofrece la matemática es poder argumentar, conjeturar y saber seguir
un proceso a partir de supuestos, sin que se desee formar como matemáticos a los
futuros ingenieros, pero sí es deseable que desarrollen las habilidades formativas que
otorga la matemática para un mejor desempeño profesional.
Búsqueda de analogías. Las analogías que pueda usar el docente en clase ayudará a
que el estudiante establezca los amarres a las estructuras cognitivas establecidas.
Identificación de nociones previas. Si se conocen las nociones previas con que
cuenta el estudiante, el docente podrá diseñar sus actividades a partir de éstas y
apoyar la construcción de conocimientos significativos en el sentido de Ausubel (1990).
Identificación de obstáculos. Los obstáculos se pueden clasificar en epistemológicos
en el sentido que los maneja Brousseau, didácticos los que provoca el profesor,
cognitivos los que están inferidos a los conocimientos anteriores del estudiante y
ontogénicos aquellos que son inherentes a las características física y hereditarias del
estudiante.
El conocimiento se presenta en espiral. Es importante que el docente tome en
cuenta este hecho, porque ello le abre el camino a estar repasando continuamente
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 27
conocimientos que ya han sido tratados dentro del mismo curso o en estudios
anteriores, lo cual apoya la construcción y reconstrucción del conocimiento.
Uso de la tecnología electrónica. En el siglo en que vivimos la tecnología no puede
esta fuera de la actividad profesional, para el caso de la docencia es necesario que se
incorpore como una herramienta tecnológica de apoyo al aprendizaje. En general no
hay tiempo en los espacios didácticos para incursionar en actividades didácticas que
consuman los tiempos programáticos, se debe incursionar en la tecnología, usar
plataformas tecnológicas educativas, foros de discusión, comunidades virtuales, etc.,
los cuales ayudan a extender los tiempos del aula. El uso de las tecnologías de la
información y comunicación (TIC) permiten que el estudiante vaya a sus ritmos vitales,
porque los tiempos cognitivos son diferentes a los tiempos didácticos. Además, le
permiten retroceder o avanzar cuando quiera, repasando y reforzando los
conocimientos.
Observación 2
Una de las etapas centrales de la estrategia didáctica de la Matemática en Contexto es
la elaboración del modelo matemático, situación que ha llevado realizar investigaciones
que abordan las siguiente interrogantes: ¿qué es un modelo matemático?, ¿qué es
modelación matemática?, ¿qué elementos cognitivos intervienen? y ¿qué habilidades
del pensamiento son indispensables para la modelación?
Para iniciar, se tiene que la matemática en ingeniería es un lenguaje, ya que casi todo
lo que se dice en la ingeniería se puede representar a través de simbología
matemática.
Es más, el que se represente a través de la terminología matemática y se haga uso de
la matemática en la ingeniería, le ayuda a la ingeniería a tener carácter de ciencia por
un lado y por el otro, le facilita su comunicación con la comunidad científica de
ingenieros.
Dentro del conocimiento de la ingeniería, se tienen problemas de la ingeniería,
asimismo, se tienen objetos de la ingeniería que para su mejor manejo o referencia se
les representa matemáticamente y también se tienen situaciones que se pueden
describir a través de la simbología matemática. Estos casos permitirán caracterizar a
los modelos matemáticos. A continuación se muestran ejemplos de cada caso.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 28
a) Problemas
Se quiere conocer el fenómeno de carga de un condensador (capacitor), cuya
capacitancia es C, el cual está conectado en serie con un resistor de resistencia R, a las
terminales de una batería que suministra una tensión constante V, este planteamiento
se puede representar a través de la ecuación diferencial lineal siguiente:
Rd
dtq t
Cq t V( ) ( )
1
Es de mencionar que bajo el término problema se están incluyendo los fenómenos que
se presentan en la ingeniería, como la carga de un condensador, la caída libre de un
cuerpo, el movimiento de un péndulo, etc.
b) Objetos
Considérese una señal eléctrica del tipo alterno sinusoidal, la señal es el objeto de la
ingeniería el cual se representa a través de la función: f(t) = A sen (t+ )
c) Situaciones
El condensador de carga q=q(t) está totalmente descargado al inicio del problema.
Esta situación se puede representar matemáticamente, tomando en cuenta que al
inicio del problema t=0 y que la carga es una función del tiempo, como: q(0)=0.
De los tres casos mencionados los que caracterizan a los modelos que se trabajan en
esta investigación, son los objetos y los problemas, así la definición es: Un modelo
matemático es aquella relación matemática que describe objetos o problemas de la
ingeniería.
Con el análisis de problemas reales, de problemas trabajados en investigaciones de la
ingeniería y problemas abordados en los textos de ingeniería, se clasifica a los modelos
matemáticos según se muestra en la figura 3.
De las etapas de la Matemática en Contexto y lo detectado en el análisis de los
problemas estudiados para la investigación se construye la definición del término
“modelación matemática”:
La modelación matemática se concibe como el proceso cognitivo que se tiene que
llevar a cabo para llegar a la construcción del modelo matemático de un problema u
objeto del área del contexto.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 29
Figura 3. Clasificación de los modelos matemáticos según su caracterización
Este proceso cognitivo consta de tres momentos, los que constituyen los indicadores
de la modelación matemática:
1. Identificar variables y constantes del problema, se incluye la identificación de lo
que varía y lo que permanece constante, que generalmente se encuentra implícito.
2. Establecer relaciones entre éstas a través de los conceptos involucrados en el
problema, implícita o explícitamente, ya sean del área de la matemática o del
contexto.
3. Validar la “relación matemática” que modela al problema, para lo cual hay que
regresarse y verificar que involucre a todos los datos, variables y conceptos del
problema. Dependiendo del problema, algunas veces se puede validar el modelo
matemático a través de ver si la expresión matemática predice la información
otorgada o la información experimental. En otros casos, para validar el modelo, es
necesario dar la solución matemática para ver que se predicen los elementos
involucrados.
Un punto importante de mencionar es que el modelo matemático no es único, hay
varias representaciones matemáticas que describen el mismo problema, razón por la
cual se hace necesaria la validación del mismo (tercer momento).
La forma de abordar (o resolver) matemáticamente el modelo matemático tampoco es
única, elemento que permite verificar la versatilidad de la matemática, así como su
consistencia.
CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS
Modelaje de objetos
de la ingeniería
Modelaje de problemas de la ingeniería
La clasificación está en función del uso que le da la ingeniería
La clasificación está en función de
las áreas cognitivas de la ingeniería
Modelos estáticos
Modelos dinámicos
Modelos de primera generación
Modelos de
segunda generación
Modelos de tercera generación
Modelos de cuarta
generación
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 30
Elementos cognitivos
Para llevar a cabo la modelación matemática se hace necesario poseer los siguientes
elementos cognitivos:
Los enfoques de los temas y conceptos matemáticos del área del contexto. Cada
tema y concepto matemático posee varios enfoques, por ejemplo, la derivada es un
cociente de diferenciales, es un límite muy particular, es la operación inversa a
integrar, es una razón de cambio, es la pendiente de la recta tangente a la curva, etc.
Conocer estos enfoques es necesario para modelar.
La transposición contextualizada. El docente de matemáticas también debe conocer
las transposiciones contextualizadas que sufren los conceptos matemáticos que enseña
para orientar al estudiante.
El manejo conceptual de la matemática descontextualizada. Es importante que sea
del conocimiento del alumno que la matemática es universal en el sentido de que es
aplicable a diversos contextos. Dentro de la Matemática en el Contexto de las Ciencias
se concibe como matemática conceptual a aquella matemática si se tiene el concepto
es porque se puede transferir ese conocimiento, porque se conocen los diferentes
enfoques de concepto, porque se conocen los puntos de control de error del concepto,
porque se conocen los patrones de comportamiento del concepto cuando se mueven
los parámetros que lo componen, porque se puede transitar entre los diferentes
registros de representación del concepto, etc.
Habilidades del pensamiento
Al igual que en los elementos cognitivos, a través del análisis de la instrumentación de
problemas de cada área cognitiva de la ingeniería en electrónica se detectan las
habilidades del pensamiento que entran en acción en la construcción del modelo
matemático. Así, para llevar a cabo la modelación matemática es necesario desarrollar
en el estudiante las siguientes habilidades del pensamiento:
Habilidad para identificar los puntos de control de error, como elemento
metacognitivo. Esta habilidad forma parte de tener una matemática conceptual, como
se ha mencionado.
Habilidad para transitar del lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa.
Para este punto se puede ver la referencia de Olazábal (2003), quien hace una
categorización de problemas de matemáticas contextualizadas respecto a la demanda
de traducción del lenguaje natural al matemático.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 31
Habilidades para aplicar heurísticas. Las heurísticas como estrategias para abordar
un problema, con la clasificación que otorga Nickerson (1994) a las dadas por Polya
(1976).
Habilidad para identificar regularidades. Entre las habilidades básicas del
pensamiento, esta habilidad se hace notoria.
Habilidad para transitar entre las diferentes representaciones de un elemento
matemático. Se consideran las representaciones que describe Duval (1999):
aritmética, algebraica, analítica y visual, incluyéndose la representación contextual que
maneja la Matemática en el Contexto de las Ciencias.
Habilidad para hacer "consideraciones" o “idealizar” el problema (cuando proceda).
Hay problemas tan complejos que deben ser idealizados para poderse matematizar, en
otras ocasiones es necesario hacer consideraciones, como controlar variables para
poder lograr la matematización.
Nota. Se han tomado como sinónimos a modelación matemática, matematización y
modelaje.
Con la estrategia didáctica de la Matemática en Contexto se cambia el paradigma
educativo de enseñanza tradicional, ahora se trata de una enseñanza con
conocimientos integrados y centrada en el aprendizaje. Dando los temas de
matemáticas vinculados con las demás asignaturas que cursa el alumno y
presentándolas al ritmo y tiempos que son requeridos por los estudiantes, la
Matemática en Contexto fortalece la reorganización cognitiva de conceptos y procesos
matemáticos.
Si el estudiante realmente tiene gusto por su carrera, encuentra en la matemática
contextualizada no solamente necesidad de ella, sino también un profundo gusto por la
misma y gran interés por su dominio. Para mayor información se pueden ver los datos
de la bibliografía de este escrito.
Entre los materiales de apoyo didáctico para la estrategia didáctica de la matemática
en contexto, se encuentran los problemarios guía del curso, que orientan tanto a los
alumnos como a los profesores. Para mayor información véase la referencia de
Camarena (1985).
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 32
Ejemplo de contextualización
A continuación se presenta un problema que muestra las etapas de
contextualización que está insertas en la Matemática en Contexto.
1.- Planteamiento del problema.
Circuito R-C con voltaje constante. Se va a estudiar el fenómeno de carga de un
condensador (capacitor), cuya capacitancia es C, cuando la corriente eléctrica es
obligada a pasar por una resistencia de valor R. Para tal propósito se tiene un circuito
en el cual un condensador totalmente descargado, está conectado en serie con una
resistencia, a las terminales de una batería que suministra una tensión constante V. Es
claro que este es el caso más simple de un circuito real, que contenga un capacitor.
2.- Determinación de las variables y de las constantes del problema.
Para este problema se suponen conocidas las siguientes constantes: R, C y V. El
tiempo y la carga del condensador serán las variables.
3.- Determinación del modelo matemático.
Las relaciones que se dan a continuación son las que se cumplen para todo tiempo t al
cerrarse el circuito.
Cv tq t
C( )
( ) ....................(1)
R Rv it R t( ) ( ) ..................(2)
R Ci it t i t( ) ( ) ( ) ............(3)
R Cv v V .......................(4)
donde vC y vR representan la caída de voltaje en el condensador y en la resistencia
respectivamente, así como iC e iR la intensidad de corriente en el condensador y en la
resistencia. La primera relación (1) es la expresión fundamental de un capacitor, que
nos da la diferencia de potencial en dicho elemento. La segunda (2) es la formulación
de la ley de Ohm en términos del voltaje; es decir, nos determina la caída de voltaje
en el resistor. La tercera (3) y cuarta (4) son consecuencia inmediata de la primera y
segunda leyes de Kirchhoff para el circuito con el que vamos a trabajar.
Las unidades utilizadas para que las fórmulas que se acaban de dar sean correctas
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 33
son: R en ohms; C en farads; V, VC(t) y VR(t) en volts; q(t) en coulombs; C(t), iR(t) e
i(t) en amperes (coulombs por segundo) y t en segundos.
Se sabe por la definición de intensidad de corriente, que ésta está dada por el cambio
de su carga respecto al tiempo, es decir, i(t) = dq(t)/dt. En el caso particular del
condensador, se tiene la siguiente relación: Ci t
d
dtq t( ) ( )
por otro lado, se tiene que d
dtq t t
Ri( ) ( ) .
Obviando pasos intermedios en este documento, con todo lo anterior se tiene:
Rd
dtq t
Cq t V( ) ( )
1.............(5)
el modelo matemático, relación válida para todo tiempo t, en donde R, C y V son
constantes.
4.- Solución matemática del problema.
En la ecuación (5), la incógnita es q(t), la carga del condensador que varía con el
tiempo t. Como se puede observar, en la ecuación aparecen la incógnita y su derivada,
por tal razón, se dice que se trata de una ecuación en derivadas, o ecuación diferencial
(ya que las derivadas se pueden expresar como cociente de diferenciales).
Para encontrar la solución de esta ecuación diferencial, se dejan en un sólo miembro
de la igualdad, todos los términos que contienen a q(t) y en el otro miembro los
términos que contienen a t. Procedimiento denominado "Separación de variables".
Rd
dtq t V
Cq t( ) ( )
1
d
dtq t
RCCV q( ) ( )
1
dq
CV q RCdt
1
dq
CV q RCdt
1
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 34
d CV q
CV q RCdt
( ) 1
ln| |CV qt
RCcte
ln| |CV qt
RCcte
e e
| |CV qt
RCcte
e e
q CV kt
RCe , con kcte
e
q CV kt
RCe ........................(6)
Solución denominada: la solución general de la ecuación diferencial (6).
5.- Determinación de la solución requerida por el problema.
Como el condensador estaba totalmente descargado al inicio del problema, lo que se
tiene es que en t=0 la carga era cero, o sea, q(0)=0. Condición llamada condición
inicial. Si se sustituye la condición inicial en la solución general, se obtiene:
0 = CV + k
de donde el valor de la constante k debe ser -CV. Sustituyendo esta constante en la
solución general, se tiene:
q t CVt
RCe( ) 1 ........................(7)
a esta solución se le llama la solución para la condición inicial q(0)=0, o la solución
particular de la ecuación, para tal condición.
6.- Interpretación de la solución en términos del problema.
Físicamente la solución (7) que se ha encontrado sólo tiene sentido para valores de t
mayores o iguales a cero. Pero nótese que si se hace correr al tiempo indefinidamente,
es decir, si se hace que t tienda a infinito en la expresión para q(t) (recuérdese que R,
C > 0), se tiene que:
lím q(t) = CV(1-0) = CV
t
es decir, la carga final del condensador (denotada por Q), será CV.
Esto es, cuando se obtenga la carga final Q, la diferencia de potencial entre las placas
del condensador será igual a V, el voltaje de la batería. Teóricamente al condensador
le tomaría un tiempo infinito en cargarse completamente. Esto, por supuesto, no es así
en la práctica.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 35
En la solución (7), puesto que CV es un factor constante, el valor de q(t) depende del
cociente t/RC. El valor numérico RC, expresado en segundos (de hecho, RC tiene
unidades de segundos cuando R se representa en ohms y C en farads) recibe el
nombre de constante de tiempo. Es decir, una constante de tiempo es igual a RC
segundos.
Transcurrida una constante de tiempo, se tiene que q(RC) = CV(1 - e-1) = 0.632 CV,
puesto que CV es la carga final total, se observa que transcurrida una constante de
tiempo se tendrá el 63.2% de su carga final. Esta independencia del voltaje V,
justifica el nombre de constante de tiempo.
Al transcurrir dos constantes de tiempo, o sea, 2RC segundos, se tendrá que
q(2RC) = CV (1 - e-2) = 0.865 CV, es decir, el 86.5% de la carga final.
Después de tres constantes de tiempo, es decir, 3RC segundos, se tiene que
q(3RC) = CV (1 - e-3) = 0.950 CV, o sea, el 95.0% de CV.
Con cuatro constantes de tiempo, 4RC segundos, se obtiene que
q(4RC) = CV (1 - e-4) = 0.982 CV, es decir, el 98.2% de CV.
Cuando han transcurrido cinco constantes de tiempo, o sea 5RC segundos, se tendrá
que q(5RC) = CV (1 - e-5) = 0.993 CV, consiguientemente, en 5RC segundos se tendrá
el 99.3% de la carga final, que para fines prácticos, se considera que el condensador
se encuentra completamente cargado entonces.
Por tanto, el tiempo que tarda en cargarse un condensador, depende de la resistencia
y capacitancia del circuito, no del voltaje que suministre la fuente.
Segunda etapa
En la segunda etapa se instrumenta un curso extracurricular. Se formula a partir de la
necesidad abordar eventos contextualizados concretos en el aula, en donde se observa
la necesidad de que los estudiantes apliquen heurísticas, habilidades del pensamiento,
elementos metacognitivos y creencias positivas.
Las estrategias para abordar un eventos contextualizado en las diferentes partes del
proceso de la resolución se les denomina heurísticas. El padre de las heurísticas fue
Polya quien a través de preguntas como las que se muestran a continuación guía la
resolución de problemas: ¿con qué cuento?, ¿qué me preguntan?, ¿qué tipo de datos
tengo?, ¿tengo condicionantes?, ¿cuáles son variables en mi problema y cuáles son
constantes?, ¿se podrá ver para casos particulares y después resolverlo para cualquier
caso?, ¿qué problema que ya he resuelto se parece a éste?, ¿cuál es la generalización
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Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 36
del problema para ver si es más fácil de abordar?, ¿qué analogías, semejanzas puedo
encontrar con otros problemas?, ¿quedo plantearlo de forma diferente para poder
abordarlo?, Etc.
Cuando se resuelven eventos contextualizados está presente un factor que es
denominado metacognición. La metacognición es aquella parte del individuo que le
hace ser consciente de su propio conocimiento, de saber si tiene o no todos los
elementos cognitivos cuando resuelve un problema o tiene que ir a buscar en libros o
consultar personas, etc. Cuando la persona está en el proceso de resolución de un
evento contextualizado la metacognición es el elemento que se encarga de que el
individuo se pregunte a sí mismo si va por buen camino o no, es decir, hace que
busque contradicciones, incongruencias o elementos que le den la pauta para decir que
sí va bien, en la teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias a esto se le
denominan "puntos de control de error". También la metacognición está presente
cuando el individuo va y verifica si el resultado obtenido satisface o no el problema
planteado.
Las habilidades del pensamiento ayudan al entendimiento de las ciencias y a su vez las
ciencias ayudan a desarrollar las habilidades del pensamiento en el individuo que las
estudia. Las habilidades del pensamiento se clasifican en básicas y de orden superior.
Entre las habilidades básicas se encuentran: la observación, la identificación, la
comparación, la clasificación, la jerarquización, la asociación, la inducción, la
deducción, la síntesis, la memoria, etc.
Las habilidades más sobresalientes de orden superior, a través de investigaciones con
la Matemática en el Contexto de las Ciencias, se ha encontrado que son: la creatividad,
el razonamiento (lógico, crítico, analítico, etc.), la contextualización (vincular
diferentes disciplinas transfiriendo conocimientos), el modelaje matemático, la
resolución de problemas, etc.
Es claro que las habilidades del pensamiento entran en juego en el proceso de
resolución de eventos contextualizados, pero también están presentes en este proceso
las habilidades para aplicar heurísticas, así como habilidades metacognitivas, todas
ellas apoyando la transferencia del conocimiento.
Las creencias son un factor que puede actuar de forma positiva o negativa en el
alumno. De hecho, los alumnos, al igual que cualquier persona poseen creencias
negativas y creencia positivas, siendo las primeras las que los bloquean para actuar de
forma eficiente y las segundas al contrario, ayudan a ser eficiente al resolver eventos
contextualizados.
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Es menester mencionar que este tipo de cursos se han instrumentado durante un
semestre, dando muestras de su éxito a través de los resultados de los estudiantes en
donde su aprovechamiento escolar se encuentra favorecido y la motivación hacia los
estudios de ingeniería se ha incrementado.
Tercera etapa
En la tercera etapa se instrumenta un taller integral e interdisciplinario con el objeto de
resolver eventos reales de la industria. Esta etapa se considera como la culminación
del proceso didáctico de la Matemática en Contexto, ya que aquí es en donde se verán
reflejadas las acciones de transferencia del conocimiento fomentadas en las etapas
anteriores.
La instrumentación de esta etapa, a diferencia de las anteriores, requiere de un grupo
interdisciplinario de profesores que se comprometan con el proyecto. Por la
complejidad que representan los eventos reales de la industria, en el taller participan
estudiantes egresados en las ciencias de física y matemáticas, ya que se ha visto que
el trabajo en equipo es más eficiente y trabajando entre pares de las mismas edades el
lenguaje y la confianza son componentes favorables para la resolución de los eventos
contextualizados.
A manera de conclusión es importante mencionar que tanto la metodología para el
diseño de programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería como la
estrategia didáctica de la Matemática en Contexto pretenden contar con una
matemática que presente conocimientos integrados y significativos (el término
significativos está entendido con la concepción del psicólogo educativo Ausubel ), para
facilitarle al futuro egresado la transferencia de conocimientos a su campo laboral.
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FASE COGNITIVA
El sustento fuerte de esta fase está en la teoría de aprendizajes significativos de
Ausubel. Respecto a la fase cognitiva se ha determinado que el estudiante debe
transitar entre los registros aritmético, algebraico, analítico, visual y contextual para
construir y asirse del conocimiento.
Se ha verificado a través de la Matemática en Contexto que el estudiante logra
conocimientos estructurados y no fraccionados, logrando con ello estructuras mentales
articuladas. Esta situación se ha tratado a través de la teoría de los campos
conceptuales de Vergnaud, como ejemplo véase la tesis de doctorado de Muro (2004)
en donde establece el campo conceptual de la serie de Fourier en la transferencia de
masa de fenómenos químicos.
La Matemática en Contexto ayuda a que el estudiante construya su propio
conocimiento con amarres firmes y duraderos y no volátiles; refuerza el desarrollo de
habilidades del pensamiento mediante el proceso de resolver eventos (problemas y
proyectos) vinculados con los intereses del alumno (Camarena, 2003).
Para mirar en los estudiantes el funcionamiento cognitivo de la Matemática en
Contexto, también, se ha recurrido a analizar las funciones cognitivas, véase la tesis
de doctorado de Zúñiga (2004).
Asimismo, se ha determinado que el factor motivación en el estudiante se encuentra
altamente estimulado a través de la Matemática en Contexto y su desempeño
académico como futuro profesionista se incrementa, es decir, la transferencia del
conocimiento se puede establecer sin tantos tropiezos.
A manera de conclusión se puede mencionar que con la Matemática en el Contexto de
las Ciencias el estudiante tiende a hacerse responsable de su propio aprendizaje
generándose habilidades para la autonomía en el aprendizaje y trabajo en equipo.
Con la Matemática en el Contexto de las Ciencias se cambia el paradigma educativo
que se centra en el profesor ante un paradigma centrado en el estudiante, donde el
alumno puede construir su conocimiento.
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CONCLUSIONES
Como parte de las conclusiones se puede mencionar que la Matemática en el Contexto
de las Ciencias es una teoría que nace en el nivel superior y baja a los niveles
anteriores, a diferencia de la mayoría de las teorías sobre el proceso de enseñanza y
aprendizaje que nacen en el nivel básico. Esta teoría contempla muchas de las
variables que intervienen en el proceso educativo, al cual lo mira como un proceso
social, y tiende a la construcción de una matemática para la vida.
El profesor debe tratar de realizar investigación educativa que le sirva en su actividad
laboral para elevar la calidad académica de la educación porque la docencia y la
investigación educativa van de la mano.
Es claro que es imposible ahondar en cada una de las cinco fases de la Matemática en
el Contexto de las Ciencias, por lo que se le sugiere al lector interesado que consulte la
bibliografía, que aunque no es toda la existente relativa a este tema, sí es suficiente
como para tener un panorama de la teoría.
Es menester mencionar que la teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias
ha sido adoptada por varios profesores que cursan estudios de postgrado en México y
otros países de Latinoamérica, siendo ésta aplicada en instituciones educativas de
Chile, Cuba, Guatemala, Colombia, Argentina, Brasil, Uruguay, Venezuela, Perú, Puerto
Rico, entre otros.
Cabe mencionar que actualmente se está trabajando sobre el tema de las
competencias matemáticas para la actividad laboral y profesional del ingeniero. Es
decir, se amplía la teoría para incluir a las competencias; entendidas éstas como las
fortalezas del futuro profesionista para enfrentar una situación problemática haciendo
uso de la integración de todo su bagaje de conocimientos, habilidades, actitudes y
valores que son movilizados en sus estructuras cognitivas. Las actividades de
investigación incluyen el complementar la metodología Dipcing y extender las acciones
didácticas para desarrollar las componentes de valores y actitudes en los estudiantes.
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Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 40
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Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 44
BREVE CURRÍCULUM VITAE
• Nombre:
Patricia Camarena Gallardo
• Estudios profesionales:
Licenciatura en Física y Matemáticas en la Escuela Superior de Física y
Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (ESFM-IPN), México, 1970.
Maestría en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa en el Centro
de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional
(CINVESTAV-IPN), México, 1987.
Doctorado en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa en el
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional
(CINVESTAV-IPN), México, 1999.
• Distinciones (algunas):
Reconocimiento por los excelentes resultados obtenidos en la evaluación del
proceso educativo correspondiente al primer período lectivo de 1981, otorgado
por el Departamento de ICE de la ESIME-IPN, México, 1981.
Diploma en reconocimiento al cumplimiento de la labor docente, al
conmemorar la ESIME sus 70 años de vida, otorgado por la ESIME-IPN, México,
octubre de 1986.
Reconocimiento a la destacada labor profesional, otorgada por el C. Ing.
Gregorio Covarrubias de Labra Director de la ESIME, a nombre de la mesa de
pasantes "Orión", con fecha 27 de julio de 1990.
Diploma de reconocimiento a la eficiencia en el desempeño a las labores,
otorgado por los pasantes de la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y
Electrónica generación 85-90, ESIME-IPN, México, 1990.
Reconocimiento con mención especial por la destacada participación en el:
"Premio a la investigación en el IPN 1990, área de educación", otorgado por el
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
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Director del Instituto Politécnico Nacional (Secretaría Académica), C. P. Oscar
Joffre Velázquez, México, con fecha febrero de 1991.
Diploma de reconocimiento a la eficiencia en el desempeño a las labores,
otorgado por la mesa de pasantes Ing. Raúl González Apaolaza de la carrera de
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, generación 86-91, ESIME-IPN,
México, 1991 .
Reconocimiento por su destacada labor profesional, otorgado por el Director
de la ESIME-IPN, México, 1994.
Reconocimiento por su destacada trayectoria como Profesor de Excelencia en
el Programa de Estímulo al Desempeño Docente, otorgado por el Director General
del Instituto Politécnico Nacional, México, 1996.
Diploma Juan de Dios Bátiz, por 30 años de servicio, otorgado por el Director
General del Instituto Politécnico Nacional, México, 1997.
Medalla al Mérito Docente "Maestro Rafael Ramírez", otorgada por el
Secretario de Educación Pública de México, 1997.
Reconocimiento por su valiosa colaboración con esta Institución en los logros
de una mejor preparación académica de los oficiales de la Secretaría de Marina-
Armada de México, otorgado por las Secretaría de Marina (Dirección General de
Educación Naval), México, 1998.
Reconocimiento por el desempeño al impartir diferentes asignaturas para la
formación de docentes del Instituto Politécnico Nacional, otorgado por el Director
General del Instituto Politécnico Nacional, México, 1998.
Diploma por haber obtenido el segundo lugar en la categoría de mejor Tesis
de Investigación Básica, primer lugar a la mejor Tesis de Doctorado en
Investigación Básica en Matemática Educativa otorgado por la Sociedad de
Científicos del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México,
1999.
Premio nacional ANUIES 2000 en la categoría de: La mejor tesis de
doctorado en contribución a la educación superior. Otorgado por el Consejo
Nacional de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación
Superior. México, octubre del 2000.
Reconocimiento a la brillante labor académica, otorgada por la mesa de
pasantes AJAWAB, integrada por los alumnos de Ingeniería en Comunicaciones y
Electrónica, generación 1997-2001, México, 2001.
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Reconocimiento como mujer destacada del Instituto Politécnico Nacional por
contribuir al enaltecimiento de la Institución en los campos de la docencia,
investigación y la cultura, otorgado por la Federación Nacional de Profesionales
Politécnicas, México, 2004.
Reconocimiento como Egresada Distinguida de la Escuela Superior de Física y
Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, otorgado por la ESFM, México,
2004.
Distinción como Representante de México ante el Comité Interamericana de
Educación Matemática, de 2003 a la fecha.
Distinción como Miembro del Sistema Nacional de Investigadores, Nivel II,
otorgado por el CONACyT, México, 2000.
Distinción para Coordinar e iniciar la Red Académica Nacional Virtual de
Matemáticas del Corporativo Universitario para el Desarrollo de Internet, CUDI,
en el período 2005-2008.
Distinción para Coordinar la Red Metropolitana de Educación Superior a
Distancia de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación
Superior, ANUIES, en el período 2005-2007.
Reconocimiento como representante del IPN y miembro fundador del
Consorcio de Universidades Públicas de Educación Superior a Distancia del
Espacio Común de Educación Superior, ECOESAD, en el período 2005-2007.
Distinción como Miembro del Consejo Mexicano de Investigación Educativa
COMIE, desde 2005.
Reconocimiento como Egresada Distinguida del Instituto Politécnico Nacional,
otorgado por el Consejo Nacional de Egresados del Instituto Politécnico Nacional,
en 2007.
Reconocimiento por la brillante trayectoria y desarrollo profesional. Premio
Doña Amalia Solórzano de Cárdenas, otorgado por el Consejo Nacional de
Egresados del Instituto Politécnico Nacional, en 2009.
Miembro del Sistema nacional de investigadores, nivel 2.
• Experiencia profesional:
Docente en el nivel medio superior del IPN.
Docente en el nivel medio básico del IPN.
Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.
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Docencia en el nivel superior del IPN: ESIME, ESFM, ESIA, ESCOM.
Docencia en el nivel de postgrado en el IPN.
Investigadora en el IPN desde 1982, como directora de proyectos.