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Trabalhar os números racionais
numa perspectiva de
desenvolvimento do sentido de
número: algumas reflexões
Joana Brocardo
ESE de Setúbal
Seminário final do PFCM Julho 2010
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 2
• Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
Números decimais versus fracções
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
• Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento
do sentido de número
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriado
Princípio 2. desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos
números racionais
Princípio 3. Construir significados e relações
• Nem oito nem oitenta!
Sumário
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
3
C D U
4 5 1
U d c
7, 4 3
Números decimais versus fracções
- Foco na representação posicional
- Foco no cálculo algorítmico
Naturais e decimais: o mesmo algoritmo
7 2 3 3 1
1 0 3 2 3
1 0
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
- Não usar o algoritmo para calcular 23,5 + 12,5 ou 6 : 15;
- Calcular automaticamente 12 × 0,6 ou 1,25 × 100;
- Não recorrer à calculadora para calcular 123,6 – 103,5 ou
0,75 × 24.
4
Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
Ser exigente ao nível do cálculo
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
Valorização da construção do sentido que os números podem
progressivamente ir assumindo para os alunos
5
Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
- colocar e retirar rótulos (5 lápis mais 2 lápis ou 5 + 2)
3+2+1=
2+2+2=
4+1+1=
3+1+1+1=
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 6
Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
Introdução dos vários conjuntos numéricos deve ser cuidadosamente
pensada de acordo com a complexidade dos contextos que permitem
rotular e a complexidade da representação que se introduz.
- Contextos de partilha equitativa e de relação parte-todo mais
acessíveis do que os associados a representação decimal.
- A excepção é o contexto de dinheiro mas que envolve,
habitualmente, números inteiros.
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
Valorização da construção do sentido que os números podem
progressivamente ir assumindo para os alunos
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 7
Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
- Mobilizar o conceito de dobro para calcular 2 4 1 0 – 1 2 0 5 ; 1 – 0 , 5
ou metade de 50%
- Usar as propriedades das operações de forma flexível e produtiva
12 × 13 ou 12,5 × 24 (não usar a calculadora )
- 12 × 13 é igual a 130 + 26, ou seja, 156.
- 12,5 × 24 usar a propriedade associativa (no caso particular da
relação dobro-metade) obtendo 25 × 12 = 50 × 6 = 100 × 3 = 300.
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
Foco na construção de relações numéricas
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 8
• Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
Números decimais versus fracções
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
• Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento
do sentido de número
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos
números racionais
Princípio 3. Construir significados e relações
• Nem oito nem oitenta!
Sumário
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Dobragem de papel
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Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
(i) ter significado e ser entusiasmante para os alunos que gostam
sempre de dobrar, pintar e cortar;
(ii) permitir lidar a um nível informal com ideias que progressivamente
vão sendo formalizadas.
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
O que torna este contexto um bom exemplo
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 11
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Relação entre o contexto e os modelos não é simples
Outros contextos - Depósito de gasolina
0 10 40
0 14
1
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
400 10
0 14
1
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 12
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Outros contextos
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 13
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Outros contextos
1 kg 100 g 25 g 125 g
20
euros
100% 50% 25% 75%
532 266
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriados
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
- Quando pensamos nos números racionais e na sua aprendizagem
• que ideias globais é fundamental destacar?
• o que poderão ser marcos importantes ao nível da evolução da
sua aprendizagem numa perspectiva de desenvolvimento do
sentido do número?
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Significados das fracções não são tópicos a ensinar
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
“grandes” ideias (Fosnot e Dolk, 2002)
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Números decimais versus fracções
relação parte-todo1
equivalência versus congruência2
relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3
o todo importa4
relações de relações5
decimais e percentagens – representações equivalentes6
valor de posição7
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
A relação parte-todo está no centro da compreensão do que é
uma fracção
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Relação parte-todo1
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 17
Relação parte-todo1
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Observa a embalagem de bolas de 2 cores. Completa a
etiqueta de modo que ela represente, relativamente ao
total de bolas, a parte de bolas brancas e a parte de
bolas amarelas.
Quantas bolas brancas e amarelas poderá
ter uma embalagem que tem a seguinte
etiqueta:
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 18
Relação parte-todo1
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Resposta de Francisco e Gustavo
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
As partes de um mesmo todo não precisam de ser congruentes
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Equivalência versus congruência2
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Números decimais versus fracções
relação parte-todo1
equivalência versus congruência2
relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3
o todo importa4
relações de relações5
decimais e percentagens – representações equivalentes6
valor de posição7
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
O todo importa pois as fracções são relações
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
O todo importa4
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Números decimais versus fracções
relação parte-todo1
equivalência versus congruência2
relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3
o todo importa4
relações de relações5
decimais e percentagens – representações equivalentes6
valor de posição7
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Números decimais versus fracções
relação parte-todo1
equivalência versus congruência2
relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3
o todo importa4
relações de relações5
decimais e percentagens – representações equivalentes6
valor de posição7
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
“grandes” ideias (Fosnot e Dolk ,2002)
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 2. Desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos números
racionais
Números decimais versus fracções
relação parte-todo1
equivalência versus congruência2
relacionar a multiplicação e a divisão com as fracções3
o todo importa4
relações de relações5
decimais e percentagens – representações equivalentes6
valor de posição7
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
- „Desestabilização‟ provocada
pelos „novos‟ números
- Atenção ao „prolongamento‟
indevido de regras
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 3. Construir significados e relações
1/2 + 1/3 ≠ 2/5 (Fosnot e Dolk, 2002)
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
- Saber operar com os naturais, fraccionários ou decimais é
importante. Mas é-o porque isso é necessário para resolver
problemas de forma flexível, percebendo relações entre as várias
representações dos números e seleccionando estratégias
adequadas.
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 3. Construir significados e relações
Estabelecer relações e significados
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 27
• A Ana convidou 4 amigas para irem almoçar a um
pequeno restaurante no dia dos seus anos. Todas
decidiram escolher o prato do dia. No entanto,
estavam indecisas sobre como encomendar as
doses pois consideram que uma dose dá para duas
pessoas. Que diferentes possibilidades teriam de o
fazer? Qual das possibilidades é mais económica?
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Evolução hipotética de José e Leandra
No 1.º ciclo - Problema das ementas
Princípio 3. Construir significados e relações
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 28
• A Ana convidou 4 amigas para irem
almoçar a um pequeno restaurante no
dia dos seus anos. Todas decidiram
escolher o prato do dia. No entanto,
estavam indecisas sobre como
encomendar as doses pois
consideram que uma dose dá para
duas pessoas. Que diferentes
possibilidades teriam de o fazer? Qual
das possibilidades é mais económica?
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Evolução hipotética de José e Leandra
No 1.º ciclo – Resolução dos alunos
Princípio 3. Construir significados e relações
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
Ainda no 1.º ciclo
- Devem ser capazes de perceber relações entre diferentes
representações numéricas, percebendo que ½ x 5 não representa o
mesmo que 5,50 × 5 pois ½ de uma dose não é o mesmo que o
preço de meia dose.
- ½ x 5 pode representar metade de 5 doses ou de 5 pessoas (o que,
tendo em conta o contexto, não faz sentido) e não o preço de cinco
meias doses.
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 3. Construir significados e relações
Evolução hipotética de José e Leandra
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
No 2.º ciclo
- Deverão ter tido oportunidade de aprofundar aspectos centrais
relativos aos números racionais que lhe permitam relacionar, com
sentido, as suas várias representações e ser capazes de
manipulá-las adequadamente na resolução de problemas.
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 3. Construir significados e relações
Evolução hipotética de José e Leandra
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
No 2.º ciclo
Devem, por exemplo, compreender que:
- o preço de 0,764 kg de laranjas a 1,40 euros por quilo é
aproximadamente ¾ de 1,40 euros;
- ter um desconto de 25% corresponde a pagar ¾ do preço inicial;
- é mais barato comprar um frasco de compota que pesa 400 gramas e custa 3,80 euros do que um frasco com 300 gramas da mesma compota mas que custa 3 euros;
- numas eleições em que 40 em cada 100 portugueses votou, houve maior percentagem de abstenção do que nas eleições anteriores, em que votaram 5 em cada 9 portugueses.
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 3. Construir significados e relações
Evolução hipotética de José e Leandra
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo
- Globalmente, José e Leandra deverão ter tido oportunidade de explorar
problemas matemáticos ricos, lidando e relacionando as diferentes formas
de representar os números racionais.
- A partir de um processo sucessivo de retirar rótulos, deverão saber
comparar e representar números racionais na recta numérica, assim como
calcular o valor de expressões numéricas em situações sem contexto,
estabelecendo relações entre os números nas suas várias representações
e usando o tipo de cálculo que melhor se adequa aos números envolvidos e
suas representações.
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Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Princípio 3. Construir significados e relações
Evolução hipotética de José e Leandra
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 33
• Os números racionais não negativos: o que se altera e porquê
Números decimais versus fracções
Perspectivar o desenvolvimento de sentido de número
• Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento
do sentido de número
Princípio 1. Usar contextos e modelos apropriado
Princípio 2. desenvolver gradualmente as grandes ideias subjacentes aos
números racionais
Princípio 3. Construir significados e relações
• Nem oito nem oitenta!
Sumário
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 34
Nem oito nem oitenta!
n8n80 O equilíbrio não é fácil.
Sobrevalorização versus subvalorização do cálculo
- Manipulação formal não é importante e os alunos podem sempre usar
a calculadora
- Usar materiais é „bom‟
21
31
32
61
62
63
64
65
Trabalhar os números racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de número
Seminário final do PFCM Julho 2010 Joana Brocardo 35
Nem oito nem oitenta!
n8n80
- Existem cada vez mais materiais de apoio ao trabalho do
professor com qualidade;
- A introdução do PMEB criou, em algumas escolas, dinâmicas de
trabalho bastante interessantes;
- O Programa de Formação Contínua em Matemática.
O equilíbrio não é fácil.
Click to edit Master title style
36
Trabalhar os números racionais
numa perspectiva de
desenvolvimento do sentido de
número: algumas reflexões
Joana Brocardo
ESE de Setúbal
Seminário final do PFCM Julho 2010