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Aco ssmica
Engenharia Ssmica de Pontes
Mestrado em Engenharia de Estruturas
Lus Guerreiro
Fevereiro de 2011
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Aco Ssmica
2
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Aco Ssmica
1
1 Introduo
A caracterizao da aco ssmica atravs de parmetros como a sua
intensidade ou magnitude, sendo importante para a quantificao do
fenmeno ssmico, no suficiente para anlise da resposta de estruturas
quando sujeitas a este tipo de solicitao. Quando o objectivo o
estudo da resposta ssmica das estruturas, esta aco dever ser
caracterizada de uma forma que possa ser integrada nas metodologias
de anlise estrutural que actualmente existem. Deste modo so trs as
formas possveis de caracterizao a aco ssmica que cumprem o
requisito atrs apresentado:
Representao por srie de aceleraes (registo real ou gerado
artificialmente) (Figura 1); Representao atravs da Funo de
Densidade Espectral de Potncia; Representao por Espectro de
Resposta.
A representao atravs duma srie de aceleraes a forma mais directa
de analisar o comportamento de uma estrutura quando sujeita aco de
determinado sismo. Infelizmente a verificao da segurana duma
estrutura no se pode fazer atravs da anlise da resposta para um
nico sismo, o que torna o processo relativamente moroso no caso de
se optar por esta forma de representao da aco ssmica. No entanto se
a estrutura a analisar tiver comportamento no linear a utilizao de
sries de aceleraes torna-se praticamente inevitvel.
Kobe - 17/Jan/1995
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tempo (s)
Ace
lera
o
(%
g)
Figura 1 Sismo de Kobe, 1995, gravado na estao KJMA (Fonte:
PEER).
A representao atravs da Funo de Densidade Espectral de Potncia
(vulgarmente designada por Espectro de Potncia) sendo uma forma
muito rica de representao da aco ssmica no facilmente integrvel na
metodologia de anlise existente, estando a sua utilizao restringida
a modelos com um pequeno nmero de graus de liberdade. no entanto
ferramenta essencial no processo de gerao de sries de aceleraes
artificiais como ser referido mais adiante.
Por fim, a representao atravs de Espectro de Resposta constitui
o exemplo mais divulgado de caracterizao da aco ssmica, sendo
utilizado na quase totalidade de programas de clculo automtico que
permitam realizar anlise dinmica de estruturas em regime
linear.
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1.1 Srie de aceleraes
Quando nos referimos a um determinado registo ssmico como sendo
o registo de um determinado sismo temos que ter presente que no
existe o registo ssmico mas sim um conjunto de registos cujas
caractersticas variam consoante a distncia ao epicentro, ou
conforme o tipo de terreno onde foi registado. Assim, na presena de
um determinado registo ssmico no podemos dizer que este o registo
de um determinado evento mas sim um registo desse evento ssmico e
acrescentar a informao acerca da distncia ao epicentro e da
geologia do local onde foi registado.
Kobe - 17/01/95 ( 1Km do epicentro )
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo (s)
Ace
lera
o
(%
g)
Kobe - 17/01/95 ( 26Km do epicentro )
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo (s)
Ace
lera
o
(%
g)
Kobe - 17/01/95 ( 94Km do epicentro )
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo (s)
Ace
lera
o
(%
g)
Figura 2 Sismo de Kobe, 1995, registado a vrias distncias do
epicentro (Fonte: PEER).
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Aco Ssmica
3
Na Figura 2 so apresentados trs registos para o mesmo evento
(Kobe, 1995) onde bem evidente a influncia da distncia ao
epicentro, traduzindo-se numa diminuio das aceleraes e num aumento
a durao do evento medida que a distncia aumenta.
Chi-Chi - 20/09/99 ( 24Km do epicentro - Solo B)
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo (s)
Ace
lera
o
(%
g)
Chi-Chi - 20/09/99 ( 26Km do epicentro - Solo D)
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo (s)
Ace
lera
o
(%
g)
Figura 3 Sismo de Chi-Chi, Formosa, 1999, registado em dois
tipos de solo (Fonte: PEER).
Na Figura 3 esto representados dois registos do mesmo sismo
(Chi-Chi, Formosa, 1999), recolhidos sensivelmente mesma distncia
do epicentro (cerca de 25 km) mas em solos distintos. O primeiro
foi registado num solo do tipo B de acordo com a conveno da USGS
(PEER) e que corresponde a um solo com velocidades de propagao das
ondas de corte entre 360 e 750 m/s. O segundo registo refere-se a
um solo do tipo D, de acordo com mesma conveno e que corresponde a
velocidades de propagao das ondas de corte inferiores a 180 m/s.
Nesta figura fica bem patente a diferena de amplificao do sinal em
funo do tipo de solo, sendo de esperar maiores amplificaes em solos
mais deformveis.
Em virtude do nmero de factores que influenciam o registo ssmico
num determinado local fcil de perceber a dificuldade em conseguir
arranjar um nmero significativo de registo ssmicos reais para
simulao local da aco ssmica. Para contornar este problema habitual
o recurso a sries de aceleraes artificias, geradas de acordo com as
caractersticas esperadas para a aco ssmica num determinado local.
Na seco 1.3.1 ser apresentada uma metodologia para gerao de sries
de acelerao artificiais.
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Aco Ssmica
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1.2 Espectro de Resposta
1.2.1 Introduo
A caracterizao da aco ssmica atravs de Espectro de Resposta no
uma representao directa da aco, atravs de grandezas medidas
directamente ou atravs dos seus registos, mas sim uma representao
dos seus efeitos sobre um conjunto de osciladores lineares de um
grau de liberdade.
Para que melhor se perceba o conceito de Espectro de Resposta,
imagine-se a seguinte situao: um conjunto de osciladores lineares
de um grau de liberdade, caracterizados por diferentes valores de
frequncia prpria (ou perodo prprio), e todos com o mesmo valor de
coeficiente de amortecimento, sujeito a uma determinada aco ssmica.
Supondo que estes osciladores esto munidos de equipamento capaz de
medir a evoluo ao longo do tempo de determinada grandeza
representativa da sua resposta (por exemplo, a acelerao absoluta da
massa do oscilador), possvel determinar, para cada oscilador, o
valor mximo da referida grandeza para a aco ssmica em causa. A
representao grfica do valor mximo da resposta de cada um destes
osciladores em funo da sua frequncia prpria (ou do seu perodo) e do
valor do coeficiente de amortecimento, constitui o Espectro de
Resposta Linear daquela aco ssmica para a grandeza em anlise.
Figura 4 Conceito de Espectro de Resposta (esquema).
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Aco Ssmica
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Na figura 4, encontra-se representado um esquema que pretende
ilustrar o conceito de espectro de resposta. Neste esquema pode
observar-se um conjunto de osciladores lineares de um grau de
liberdade, caracterizados pela sua frequncia prpria (entre 1.0Hz e
6.0Hz) e pelo seu coeficiente de amortecimento ( = 2% e = 5%).
Para melhor entender a importncia que os espectros de resposta
podem ter como forma de caracterizao da aco dinmica, recorde-se que
em anlise modal, a resposta da estrutura em cada modo de vibrao
calculada por comparao com a resposta de um oscilador de um grau de
liberdade com frequncia prpria idntica do modo em anlise. A
resposta do oscilador de um grau de liberdade retirada directamente
do espectro de resposta representativo da aco ssmica que se
pretende considerar.
Como a anlise modal , actualmente, a tcnica a mais divulgada em
termos de anlise ssmica de estruturas com comportamento linear, no
de estranhar que a quase totalidade da regulamentao actual
caracterize a aco ssmica (ou aces ssmicas) de dimensionamento
atravs dos seus espectros de resposta. Na maioria dos casos os
espectros de resposta apresentados na regulamentao referem-se
resposta em termos de acelerao absoluta, mas outros espectros de
resposta podem ser considerados, como por exemplo os espectros de
resposta de deslocamentos relativos solo-estrutura, ou espectros de
resposta de velocidades relativas.
1.2.2 Clculo do Espectro de Resposta a partir duma srie de
aceleraes
A forma mais directa para a obteno do espectro de resposta
relativo a um determinado registo ssmico envolve o clculo da
resposta dinmica, ao longo do tempo, dum conjunto de osciladores,
retendo-se, para cada um deles, o valor mximo da grandeza que se
pretende representar no espectro (deslocamento relativo, acelerao
absoluta, etc.).
O clculo da resposta do conjunto de osciladores pode ser feito
atravs de qualquer um dos vrios mtodos disponveis para a anlise
dinmica de estruturas lineares, como por exemplo atravs do Integral
de Duhamel.
Para um oscilador com frequncia prpria p e coeficiente de
amortecimento , e para uma aco ssmica definida pela srie de
aceleraes ag(), possvel calcular a resposta do oscilador ao longo
do tempo, em termos de deslocamentos relativos q(t), atravs da
seguinte expresso:
q(t) = 1mpd 0
t mag() sen [pd (t )] exp[- p (t )]d (1)
em que, pd = p 1-2 (2)
O valor do espectro de resposta E(p,) ser traduzido por:
E(p,) = max |q(t)| (3)
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Se o objectivo for calcular o espectro de resposta em termos de
velocidade relativa, ou acelerao relativa, a resposta nestas
grandezas pode ser obtida pela derivao da resposta em termos do
deslocamento relativo q(t):
q. (t) = ddt q(t) e, q
..(t) = d2
dt2 q(t) (4)
A resposta em termos de aceleraes absolutas pode ser obtida de
duas formas distintas: ou somando, em cada instante, o valor da
acelerao do solo ag(t) ao valor da acelerao relativa obtida,
qa.. (t) = q..(t) + ag(t)
ou atravs da seguinte combinao dos resultados em termos de
deslocamentos e velocidades relativas,
qa.. (t) = -2 p q. (t) p2 q(t) (5)
Esta ltima expresso obtm-se a partir da equao de equilbrio
dinmico, escrita para um oscilador de massa unitria, isolando no
termo da esquerda somente a parcela relativa
acelerao absoluta, qa.. (t).
qa.. (t) + 2 p q. (t)+ p2 q(t) = 0 (6)
Tal como foi mostrado atrs possvel calcular o Espectro de
Resposta directamente em aceleraes absolutas ou em velocidades e
deslocamento relativos. Normalmente os espectros so representados
em termos de acelerao absoluta. Nestes casos se houver necessidade
de calcular os espectros de resposta em velocidades ou
deslocamentos possvel utilizar, com algumas restries, as relaes que
se apresentam de seguida:
Ev p Ed 2pi f Ed (7)
Ev 1p Ea
12pi f Ea (8)
Ed espectro de resposta de deslocamentos relativos
Ev espectro de resposta de velocidades relativas
Ea espectro de resposta de aceleraes absolutas
Os espectros de resposta obtidos atravs das equaes atrs
apresentadas, a partir de um espectro de resposta calculado
directamente a partir de um acelerograma, designam-se por
pseudo-espectros. Assim, se calcularmos directamente o espectro de
resposta de velocidades relativas, podem-se calcular os
pseudo-espectros de deslocamentos relativos e de aceleraes
absolutas atravs das relaes apresentadas.
Para que na passagem do espectro de resposta original para os
pseudo-espectros seja vlido o uso das relaes (7) e (8) necessrio
que o amortecimento seja baixo e que as frequncias sejam superiores
a um determinado valor, como se mostra de seguida.
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7
Se na equao (1) se considerar que a diferena entre pd e p
desprezvel, o que vlido para valores baixos do coeficiente de
amortecimento ( < 10%, ver Figura 5), e se se omitir o sinal
negativo que afecta o valor da acelerao do solo (ag), sem qualquer
significado especial neste contexto, a expresso anterior pode ser
simplificada:
q(t) = 1p 0
t ag() sen [p (t )] exp[-p (t )]d (9)
Figura 5 Erro cometido ao considerar p em vez de pd na equao do
Integral de Duhamel.
Derivando a expresso agora obtida em ordem ao tempo, obtem-se a
expresso que traduz a resposta em termos de velocidade
relativa:
q. (t) =
0
t ag() cos [p (t )] exp[-p (t )]d
0
t ag() sen [p (t )] exp[-p (t )]d (10)
A resposta em termos de aceleraes absolutas pode ser obtida
atravs da seguinte combinao das expresses que representam a
resposta em termos de deslocamentos e velocidades relativas:
qa.. (t) = -2 p q. (t) p2 q(t) (11)
Assim, a resposta em termos de acelerao absoluta pode ser
descrita pela seguinte equao:
qa.. (t) = p(2 2 1)
0
t ag() sen [p (t )] exp[- p (t )]d
2p 0
t ag() cos [p (t )] exp[- p (t )]d (12)
Se, nas expresses (9), (10) e (11) se considerar o amortecimento
nulo ( = 0), estas tomam o seguinte aspecto:
q(t) = 1p 0
t ag() sen [p (t )] d (13)
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8
q. (t) =
0
t ag() cos [p (t )] d (14)
qa.. (t) = p
0
t ag() sen [p (t )] d (15)
Os valores dos espectros de resposta correspondem aos valores
mximos de cada uma das expresses anteriores. Assim temos:
Ed (0, p) = [ 1p 0
t ag() sen [p (t )] d ]max (16)
Ev (0, p) = [0
t ag() cos [p (t )] d ]max (17)
Ea (0, p) = [ p 0
t ag() sen [p (t )] d ]max (18)
Segundo Clough e Penzien (Clough e Penzien, 1993), Hudson
(Hudson, 1956 e 1962) demonstrou que se se substituir a funo
trigonomtrica cos pela funo sen na expresso das velocidades, o
resultado obtido de uma forma geral difere muito pouco com excepo
para as situaes que correspondem a valores de frequncia prpria (p)
muito baixos. Deste modo, fazendo a referida substituio da funo
trigonomtrica, os valores dos vrios espectros de resposta podem ser
relacionados atravs das seguintes expresses:
Ev = p Ed e, Ev = 1p Ea
Convm realar que, tal como se mostrou, estas relaes s so vlidas
se o amortecimento for nulo e se a frequncia prpria no for muito
baixa (f > 0.4Hz).
Pode-se pois concluir que esta transformao possvel para valores
baixos do coeficiente de amortecimento (inferiores a 10%), e para
uma gama de frequncias na qual esto includas a grande maioria das
estruturas.
Na Figura 6 esto representados os espectros de resposta de
velocidades relativas para a componente Norte-Sul do sismo de El
Centro (1940), e para dois valores do coeficiente de amortecimento:
2% e 20%. As curvas representadas nos grficos indicam os valores do
espectro de resposta em velocidades relativas obtidos de trs formas
distintas:
i) Calculado directamente a partir da srie de aceleraes
registada (Ev): ii) Calculado a partir do espectro de resposta em
deslocamento relativos (pseudo-
espectro calculado atravs da equao (7)); iii) Calculado a partir
do espectro de resposta em aceleraes absolutas (pseudo-
espectro calculado atravs da equao (8));
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Aco Ssmica
9
Se as relaes entre espectros de resposta atrs referidas fossem
exactas, no seria possvel distinguir os trs espectros
representados. O que se verifica no entanto uma concordncia quase
perfeita entre os espectros de resposta de deslocamentos relativos
e de aceleraes absolutas, enquanto o espectro de velocidades
diverge dos anteriores. Este resultado vem confirmar aquilo que foi
exposto anteriormente, com especial destaque para o facto de, para
um valor baixo de amortecimento, a relao estabelecida entre os
espectros de resposta de deslocamentos e de aceleraes ter um erro
desprezvel.
Espectro de Resposta de Velocidade Relativa (=2%)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 2 4 6 8 10
Frequncia (Hz)
Velo
cida
de (m
/s)
EvEd . pEa / p
Espectro de Resposta de Velocidade Relativa (=20%)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 2 4 6 8 10
Frequncia (Hz)
Velo
cida
de (m
/s)
EvEd . pEa / p
Figura 6 Espectros de resposta (El Centro, 1940 = 2% e 20%).
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Aco Ssmica
10
1.2.3 Representao do Espectro de Resposta
Tal como j foi referido a representao mais comum do espectro de
resposta em aceleraes absolutas. Estes valores tanto podem ser
representados em funo da frequncia (Figura 7a) ou em funo do perodo
(Figura 7b).
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
0.00 5.00 10.00
Frequncia (Hz)
Acele
ra
es
(m/s
2 )
(a)
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
0.00 5.00 10.00
Perodo (s)
Acele
ra
es
(m/s
2 )
(b)
Figura 7 Espectros de resposta em funo da frequncia (a) e perodo
(b) (Kobe, 1995).
Por vezes tambm necessrio representar o espectro de resposta de
deslocamentos, sobretudo quando o que est em causa a avaliao da
deformao da estrutura ou os movimentos nos apoios devido aco
ssmica. Na Figura 8 est representado um espectro de resposta de
deslocamentos. Como se pode observar este espectro de resposta tem
uma forma muito diferente do espectro de resposta em aceleraes, tal
como seria de esperar. O espectro de resposta de deslocamentos
caracteriza-se por ter valores elevados associados s frequncias
mais baixas (ou perodos mais altos). No nos podemos esquecer que a
grandeza que est em causa o deslocamento relativo entre a estrutura
e o solo, pelo que compreensvel que os valores mais altos esteja
associados s estruturas mais deformveis, ou seja, s estruturas com
frequncia baixa.
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Aco Ssmica
11
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
Frequncia (Hz)
Des
loca
men
tos
(m)
Figura 8 Espectros de resposta de deslocamentos (Kobe,
1995).
Recentemente surgiu uma nova forma de representar os espectros
de resposta em aceleraes e em deslocamentos designada por formato
ADRS (de Acceleration and Displacement Response Spectrum). De
acordo com este formato os valores espectrais de resposta em
acelerao Ea, so representados em funo dos valores espectrais de
deslocamento Ed.
Conjugando as equaes (7) e (8) possvel escrever os valores de Ea
em funo de Ed:
Ea = p2 Ed = (2pi f)2 Ed = 4pi2
T2 Ed (19)
Neste tipo de representao a cada perodo T corresponde uma linha
recta passando pela origem e com declive 4pi2/T2. Na Figura 9 est
representado um espectro de resposta do sismo de Kobe no formato
ADRS. Nele esto indicadas as rectas representativas dos perodos de
0,50, 1,0 e 2,0 segundos. De acordo com esta representao os pontos
na interseco entre a recta representativa do perodo da estrutura e
a funo ADRS traduzem a resposta do oscilador em termos de acelerao
(valor de Ea lido no eixo vertical) e deslocamento relativo (valor
de Ed lido no eixo horizontal).
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Aco Ssmica
12
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Deslocamentos (m)
Acele
ra
es
(m/s
2 )
T = 0.5 s
T = 1.0 s
T = 2.0 s
Figura 9 Espectro ADRS (Kobe, 1995).
1.2.4 Algumas caractersticas dos Espectros de Resposta
Existem alguns pormenores que caracterizam os espectros de
resposta. Um deles o facto de os espectros de resposta de aceleraes
absolutas tenderem para zero quando a frequncia prpria dos
osciladores tende para zero (ou o perodo tende para infinito). fcil
de compreender a razo porque tal acontece. Se imaginarmos um
oscilador extremamente flexvel (frequncia prpria muito baixa), pode
ocorrer movimento do solo sem que o oscilador se mova. Esta situao
limite s possvel se imaginarmos um oscilador totalmente desprovido
de rigidez. Sendo assim, se no h movimento do oscilador, ento as
aceleraes absolutas deste so nulas o que vem confirmar a
propriedade do espectro em anlise.
Utilizando um raciocnio semelhante, mas no sentido oposto, se
considerarmos um oscilador com uma rigidez muito elevada (frequncia
infinita ou perodo igual a zero), ser de esperar que o movimento do
oscilador seja praticamente igual ao movimento do solo, isto , no h
lugar a qualquer amplificao do movimento por parte do oscilador.
Desta forma a acelerao mxima registada no oscilador, que no mais do
que o valor espectral associado a esse oscilador, dever ser igual
ao valor mximo de acelerao medido ao nvel do solo. Sendo assim, o
espectro de resposta de aceleraes absolutas dever tender, para
valores muito elevados de frequncia, para o valor de pico de
acelerao do solo.
Com base em raciocnios semelhantes aos agora apresentados
possvel concluir que os espectros de resposta de velocidades ou
deslocamentos relativos devem tender para zero para valores
elevados de frequncia, e que tendem respectivamente para a
velocidade mxima do solo e para o deslocamento mximo do solo quando
a frequncia prpria dos osciladores tende para zero. Nestes casos
necessrio realar que os espectros de resposta em causa
representam
-
Aco Ssmica
13
grandezas que traduzem o movimento relativo entre a estrutura e
o solo, movimento este que ser nulo no caso de osciladores com
grande rigidez (o movimento do oscilador ser igual ao movimento do
solo), e que ser igual, em valor absoluto, ao movimento do solo no
caso do oscilador ser quase desprovido de rigidez. Estas
caractersticas aqui apontadas podem ser observadas no conjunto de
espectros de resposta apresentados na Figura 10.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Frequncia (Hz)
Des
l. Re
lativ
o (m
)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Frequncia (Hz)
Vel. R
ela
tiva
(m/s
)
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Perodo (s)
Acele
ra
es (m
/s2 )
Figura 10 Espectros de resposta de acelerao absoluta, velocidade
e deslocamento relativo.
Mximo deslocamento do solo
Mxima velocidade do solo
Mxima acelerao do solo
-
Aco Ssmica
14
1.2.5 Espectros de resposta regulamentares
A frmula mais utilizada pelos regulamentos actuais para
definirem a aco ssmica a considerar no dimensionamento e verificao
da segurana de estruturas atravs da especificao de espectros de
resposta. Os espectros de resposta regulamentares so curvas
idealizadas, no representando por isso a resposta de osciladores a
qualquer aco ssmica especfica. O objectivo dos espectros
regulamentares de dimensionamento estabelecer os valores mnimos de
resistncia que as estruturas de uma dada regio devem apresentar de
acordo com a sismicidade desse local. Assim, a ordenada do espectro
de resposta de dimensionamento indica, em funo da frequncia prpria
do oscilador, valor de determinada grandeza (acelerao,
deslocamento, etc.) que o oscilador dever ter capacidade de
suportar.
A definio dos espectros de resposta de dimensionamento obtida a
partir de um espectro de resposta elstico afectado do valor do
coeficiente de comportamento. O valor do coeficiente de
comportamento depende essencialmente da ductilidade da estrutura.
Neste captulo s era feita referncia ao espectro de resposta
elstico, pois este o elemento essencial na definio da aco ssmica
regulamentar. O espectro de resposta elstico funo da sismicidade do
local, das caractersticas do terreno de fundao e do coeficiente de
amortecimento a considerar na estrutura.
A influncia da sismicidade do local faz-se sentir no s nos
valores extremos do movimento do solo mas tambm na forma do
espectro. Por exemplo, um sismo que seja gerado prximo do local em
estudo, dever provocar um efeito mais forte em estruturas mais
rgidas (menores perodos) do que um sismo gerado num ponto longnquo.
Este facto est relacionado com a maior atenuao com a distncia na
energia associada s componentes de mais baixo perodo das ondas
ssmicas do que s componentes correspondentes aos altos perodos de
vibrao. Assim, quanto mais afastado for o sismo, menor energia este
dever apresentar nos baixos perodos de vibrao. Obviamente estas
comparaes s podem ser feitas directamente se os sismos tiverem
magnitudes comparveis. Esta observao vem realar outro parmetro que
tambm importante na definio do espectro de resposta de
dimensionamento e que o valor da magnitude esperada para os sismos
que influenciam a definio do espectro. Para dois sismos com as
mesmas caractersticas em termos de proximidade, aquele que tiver
maior magnitude dever conduzir a maiores valores de pico da
acelerao do solo. Assim, estes dois sismos devero conduzir a
espectros de resposta com forma semelhante (concentrao das maiores
amplificaes da resposta para a mesma gama de perodos ou de
frequncias), mas com diferentes valores das ordenadas
espectrais.
Na actual nova regulamentao portuguesa (NA, 2009), so previstos
dois tipos de aco ssmica de dimensionamento, sendo um deles (Aco
tipo 1) representativo de um sismo de grande magnitude com
epicentro na regio Atlntica (cenrio ssmico designado por afastado),
e o outro (Aco tipo 2) que representa uma aco com caractersticas de
um sismo de magnitude moderada com epicentro no territrio
Continental (ou no Arquiplago dos Aores) (cenrio prximo). Na figura
11 pode-se observar as diferenas que advm das caractersticas das
duas aces ssmicas regulamentares. Os espectros de resposta elsticos
representados na figura
-
Aco Ssmica
15
referem-se ao mesmo local (Lisboa), mesmo tipo de terreno de
fundao (Solo do Tipo B) e ao mesmo valor do coeficiente de
amortecimento ( = 5%). Como foi referido, o sismo afastado (Aco
tipo 1), embora tenha uma magnitude superior, apresenta valores
espectrais inferiores aos do sismo prximo (Aco tipo 2) para valores
baixos de perodo.
Zona de Lisboa - Solo Tipo B ( = 5%)
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0Perodo (s)
Acel
era
o (m
/s2 )
AfastadoPrximo
Figura 11 Espectros de resposta influncia do tipo de aco ssmica
(NA, 2009).
Na proposta de regulamentao europeia (Eurocdigo 8, 2004), a
definio do espectro de resposta de elstico, feita em funo do valor
de pico da acelerao de solo, valor este a definir de acordo com a
sismicidade do local, e de um conjunto de valores de perodo de
referncia (TB, TC e TD) que permitem moldar a forma do espectro.
Estes valores de perodo permitem adaptar o modelo geral do espectro
de modo a representar o efeito de diferentes tipos de solo ou de
diferentes tipos de aco ssmica. De acordo com o regulamento os
espectros de resposta elsticos so definidos pelas seguintes
expresses (Eurocdigo 8, 2004):
0 T TB Se(T) = ag S [ 1 + TTB ( 2,5 -1 )] (19)
TB T TC Se(T) = ag S 2,5 (20)
TC T TD Se(T) = ag S 2,5 TCT (21)
TD T 4s Se(T) = ag S 2,5 [TC TDT2 ] (22)
em que:
Se(T) ordenada do espectro de resposta elstico [m/s2]; ag valor
da acelerao do solo para dimensionamento; T perodo de vibrao de um
sistema linear com um grau de liberdade; factor que traduz a
influncia do amortecimento (=1 para =5%); S factor que traduz a
influncia do solo; TB, TC, TD valores de perodos de referncia;
-
Aco Ssmica
16
Os valores dos perodos de referncia limitam as zonas do espectro
de resposta com determinadas caractersticas especficas. Assim, a
zona do espectro entre o perodo TB e TC corresponde zona com valor
constante de acelerao espectral. A zona compreendida entre TC e TD
por sua vez corresponde zona de velocidade constante e, por fim,
para perodos superiores a TD os deslocamentos espectrais so
constantes. Estas caractersticas impostas ao espectro de resposta
correspondem a um conjunto de propriedades que se verificam, de
forma aproximada, na maioria dos espectros de resposta reais. Na
figura 12 esto representados trs espectros de resposta, um de
aceleraes, um de velocidades e outro de deslocamentos, todos
representativos da mesma aco ssmica. Os espectros de velocidades e
deslocamentos foram obtidos a partir do espectro de aceleraes
usando as expresses (7) e (8). Como se pode observar os espectros
de resposta apresentam as zonas de valores constantes atrs
referidas.
Figura 12 Espectros de resposta aceleraes, velocidades e
deslocamentos (NA, 2009).
T
T
T
Ea
Ev
Ed
TB TC TD
-
Aco Ssmica
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1.3 Funo de Densidade Espectral de Potncia.
A utilizao de processos estocsticos para construir modelos
representativos das aces ssmicas e da correspondente resposta das
estruturas apresenta inmeras vantagens. Em sntese, pode-se afirmar
que sendo um processo estocstico um conjunto de funes
convenientemente probabilizado, a sua utilizao elimina o problema
da representatividade das vibraes ssmicas determinsticas a utilizar
nas anlises (Ravara et. al., 1984). Qualquer caracterstica da
resposta das estruturas e da definio da aco ssmica pode ser objecto
de clculo ao nvel de processos estocsticos. Na anlise para
verificao da segurana das estruturas tem particular interesse a
determinao dos valores mximos da resposta que, no contexto dos
processos estocsticos, deve ser identificado com o valor mdio do
valor mximo da resposta das estruturas a um conjunto de aces
ssmicas representativas do processo (realizaes de um processo
estocstico).
Na anlise atravs de processos estocsticos habitual considerar
que as vibraes ssmicas podem ser representadas por um processo
estocstico, estacionrio e gaussiano, com a densidade espectral de
potncia dada pela funo Sx(). A Funo de Densidade Espectral de
Potncia, vulgarmente referida como Espectro de Potncia, define-se
com a Transformada de Fourier da Funo de Autocorrelao de um
determinado sinal representado no tempo x(t). Mais do que saber a
definio importante perceber o que que representa o Espectro de
Potncia e qual a sua utilidade no processo de verificao da segurana
de estruturas.
O Espectro de Potncia pode ser interpretado como uma medida do
contedo energtico do processo, sendo o produto Sx(). uma medida da
energia contida numa banda de frequncia de largura infinitesimal ,
centrada na frequncia . Um resultado importante que resulta da
definio de Espectro de Potncia aquele que relaciona o valor
esperado do quadrado da varivel com o espectro (Slnes, 1997):
E[X2(t)] = -
Sx() d (23)
Outra equao importante na anlise da segurana de estruturas
aquela que permite calcular o valor mdio do valor mximo da grandeza
em estudo, admitindo que esta grandeza pertence ao conjunto que
integra o processo estocstico associado ao Espectro de Potncia
Sx(), e que dada por (Pereira, 1974):
Max X =
2 0 [ln ( s2pi 2
0 ) ln (ln 2)] (24)
Em que:
s durao da amostra; 0, 2 momentos espectrais da funo de
densidade espectral de potncia definidos por:
0 = 0
Sx() d (25)
-
Aco Ssmica
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2 = 0
2 Sx() d (26)
A noo de Espectro de Potncia pode tambm ser utilizada para
definir grandezas relacionadas com a resposta da estrutura. Um dos
passos fundamentais da anlise estocstica consiste em relacionar o
espectro de potncia da excitao com o espectro de potncia da
resposta. de realar que quando se refere a resposta da estrutura
esta pode ser medida atravs de uma qualquer varivel, seja ela
deslocamento ou esforo (pode ser o deslocamento horizontal no
tabuleiro, o momento flector no pilar ou a reaco vertical no apoio,
por exemplo).
A equao que permite relacionar o espectro de potncia da excitao
com o espectro de potncia da resposta traduzida por:
SY() = H() H*() SX() = |H()|2 SX() (27) Em que:
H() Funo de transferncia entre a varivel que define a excitao e
a varivel escolhida para medir a resposta;
H()* - Funo conjugada de H(); SY() Espectro de Potncia da
Resposta; SX() Espectro de Potncia da Excitao.
Existe tambm a possibilidade de relacionar espectros de potncia
de processos derivados. Um processo derivado pode definir-se como
um processo que pode ser descrito atravs de outro por derivao
deste. Um exemplo de um processo derivado um processo relativo a
velocidades ou aceleraes que pode ser inferido atravs do
correspondente processo relativo a deslocamentos. possvel
demonstrar-se as seguintes relaes entre processos derivados
(Azevedo, 1996):
Sx.() = 2 SX () (28)
E[x. 2] = -
Sx.() d = -
2 SX () d (29)
Sx() = 4 SX () (30)
E[x2] = -
Sx() d = -
4 SX () d (31)
-
Aco Ssmica
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1.3.1 Gerao de acelerogramas artificiais a partir do Espectro de
Potncia
Admita-se que possvel representar um acelerograma (realizao de
um processo estocstico) atravs da sobreposio de sries harmnicas, de
acordo com a seguinte expresso:
X(t) = k = 1
N Ak cos (kt + k) (32)
Em que:
Ak uma constante real positiva a determinar; k a frequncia
central da banda de largura e calculada atravs de k = (k ); k o
ngulo de fase gerado aleatoriamente no intervalo [0, 2pi].
Demonstra-se que (Slnes, 1997):
E[X2(t)] = 12 k = 1
N Ak2 =
-
Sx() d (33)
Com base neste resultado podemos admitir que o processo aleatrio
(acelerograma) pode ser representado pela sobreposio de um elevado
nmero de componentes harmnicas com amplitudes obtidas a partir da
discretizao do integral representado em (33). A amplitude de cada
harmnica pode ser obtida atravs da seguinte equao:
Ak2 = 2 Sx(k) (34)
Assim o processo pode ser representado atravs de:
X(t) = k = 1
N 2 Sx(k) cos (kt + k) (35)
Desta forma, para gerar um sinal artificial, estacionrio, basta
dividir o Espectro de Potncia num nmero elevado de bandas de
largura . A cada uma das bandas associa-se um valor do espectro de
potncia definido atravs do valor espectral para a frequncia central
da banda Sx(k). Com esta informao possvel calcular a amplitude
associada harmnica de frequncia k. A srie final obtm-se por
sobreposio das N harmnicas, associando a cada harmnica um ngulo de
fase k, gerado aleatoriamente obedecendo a uma distribuio uniforme
no intervalo entre 0 e pi (ver Figura 13).
Toda a formulao at agora apresentada sugere a representao da
frequncia em termos de frequncia angular [rad/s]. A converso dos
Espectros de Potncia duma representao em frequncia circular [Hz]
para frequncia angular (e vice-versa) obedece seguinte relao:
Ak2 = 2 Sx(k) = 2 Sx(k) 2pi f = 2 Sx(fk) f Sx(fk) = Sx(k)2pi
(36)
-
Aco Ssmica
20
Figura 13 Gerao de acelerogramas artificiais a partir de
Espectro de Potncia (esquema).
1.3.2 Clculo do Espectro de Resposta a partir do Espectro de
Potncia
Tal como foi referido na seco 1.2.1, o espectro de resposta
representa a mxima resposta de um oscilador de um grau de liberdade
com perodo e amortecimento determinado, quando sujeito a uma aco
ssmica. Se essa aco ssmica se encontra definida atravs do seu
espectro de potncia, o clculo dessa resposta mxima relativamente
fcil e envolve metodologias j apresentadas em seces anteriores.
Como j foi referido possvel calcular o espectro de potncia da
resposta de um determinado oscilador de um grau de liberdade a
partir do espectro de potncia da aco, desde que se conhea a funo de
transferncia que mede a resposta pretendida (equao 27). Assim, o
clculo
Sx()
m n
Sx(m)
Sx(n)
Sinal n: n, n, An
Sinal m: m, m, Am
Sinal artificial
-
Aco Ssmica
21
da resposta mxima pode ser feito aplicando directamente a equao
(24), que permite calcular o valor mximo da grandeza representada
atravs de um espectro de potncia. Convm realar que o resultado da
equao (24) traduz um s valor do espectro de resposta. Para obter
uma representao do espectro de resposta para diversos valores de
frequncia e amortecimento necessrio repetir a sequncia de clculo
indicada para todos os pontos pretendidos.
Assim, a determinao do espectro de resposta a partir de um
espectro de potncia envolve a seguinte sequncia de clculo:
1) Determinao do espectro de potncia da resposta atravs da
utilizao da funo de transferncia H(), que relaciona as aceleraes na
base com as aceleraes absolutas da resposta:
Sri () = |H()|2 Sa() (27) Em que:
Sri () - espectro de potncia da resposta para o oscilador i, de
frequncia prpria in; Sa() - espectro de potncia da aco; H () - funo
de transferncia do oscilador:
H() = in2 + i 2 in
in2 - 2 + i 2 in (37)
- coeficiente de amortecimento; in - frequncia prpria do
oscilador.
2) Clculo do espectro de resposta.
Define-se espectro de resposta ER (n, ), como o conjunto dos
valores mximos da resposta de osciladores com amortecimento e
frequncia prpria n, quando sujeitos a uma excitao na base. Na
prtica habitual identificar, para cada oscilador com frequncia
prpria n e amortecimento , o correspondente valor do espectro de
resposta com o valor mdio da distribuio de extremos associada ao
processo estocstico que define a resposta desse oscilador.
Assumindo que a distribuio de extremos corresponde
assimptoticamente a uma distribuio de Cramer (Pereira, 1974), o
valor mdio dos extremos pode ser aproximado pela expresso seguinte,
expresso esta que corresponde mediana da distribuio de extremos
para uma resposta de durao s:
ER (n, ) =
2 0 [ln ( s2pi 2
0 ) ln (ln 2)] (24)
1.3.3 Clculo do Espectro de Potncia a partir do Espectro de
Resposta
No existe nenhum processo que permita calcular directamente as
funes de densidade espectral de potncia, tambm designadas por
espectros de potncia, a partir dos espectros de resposta.
-
Aco Ssmica
22
Como existem, no entanto, processos que permitem obter os
espectros de resposta a partir dos espectros de potncia, possvel
determinar o espectro de potncia pretendido atravs dum processo
iterativo. Este processo consiste na sucessiva correco de um
espectro de potncia inicialmente estimado, sendo as correces
baseadas na comparao do espectro de resposta associado ao espectro
de potncia obtido em cada iterao, com o espectro de resposta
representativo da aco ssmica que se pretende reproduzir.
De seguida apresenta-se o processo iterativo utilizado,
descrevendo os vrios passos que o compem:
1 passo - Escolha de um espectro de potncia inicial Sa0(). Esta
estimativa inicial do espectro de potncia pode ser um espectro
uniforme em toda a gama de frequncias considerada.
2 passo - Clculo do correspondente espectro de resposta ER (,
).
3 passo - Clculo do quociente entre o espectro de resposta
obtido e o espectro de resposta inicialmente definido:
R (in) = E ROBJ
(in) ER (in) (38)
Se a diferena entre o espectro de resposta visado e o espectro
de resposta obtido for aceitvel, o processo de clculo do espectro
de potncia est concludo. Se tal no se verificar, calculada uma nova
estimativa do espectro de potncia, multiplicando o espectro de
potncia anterior pelo quadrado do quociente R (in)), em cada valor
da frequncia , e repete-se o 2 passo.
2 Referncias
Clough, R. e Penzien, J. Dynamic of Structures McGraw-Hill, 2
Edio, 1993.
Hudson, D. E. Response Spectrum Techniques in Engineering
Seismology 1 Conferncia Mundial de Eng. Ssmica, Berkeley, 1956.
Hudson, D. E. Some Problems in Application of Spectrum
Techniques to Strong Motion Earthquake Analysis Bul. Seismological
Society of America, Vol. 52, No. 2, Abril 1962.
AN Anexo Nacional ao Eurocdigo 8 (EN 1998-1), Junho, 2009.
Pereira, J., Mtodos Probabilsticos em Engenharia Ssmica, Memria
n 442 - Laboratrio Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1974.
Slnes, J. - Stochastic Processes and Random Vibrations - John
Wiley & Sons, Chichester, 1997.
