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Accumulazione di capitale e crescita:
applicazioni
Istituzioni di Economia Politica II
Nella lezione 23 Ruolo dell’accumulazione del capitale nella crescita modello di Solow
In questa lezione Esercizi numerici sul modello di Solow
L’origine della crescita
Dati
Nel modello di Solow abbiamo due equazioni funzione di produzione
Yt = F(Kt ,Nt) equazione dinamica del capitale
Introduciamo equazioni esplicite e valori numerici
ttt1t IKKK
Dati
Funzione di produzione
Yt = F(Kt ,Nt)
Assumiamo che N sia costante (perciò non ha pedice t)
Dividendo entrambi i membri per N abbiamo
2/12/1ttt NKNKY
N
NK
N
Y tt
2/12/1
Dati
N
K
N
K
N
NK
N
Y t2/1
2/1t
2/12/1tt
Il prodotto per lavoratore è pari alla radice quadrata del capitale per lavoratore
Dati Equazione dinamica del capitale
Ripetiamo alcuni passaggi visti nella lezione 23
Sappiamo che
It = St = sYt con 0<s<1
Sostituendo nell’equazione precedente abbiamo
ttt1t IKKK
ttt1t sYKKK
Dati
NYs
NK
NK
NK ttt1t
Dividendo per N abbiamo
Sostituendo la funzione di produzione abbiamo
Dati dell’esercizio s=0,5 e d=0,2
N
K2,0
N
K5,0
N
K
N
K ttt1t
N
Ks
N
K
N
K
N
K ttt1t
N
K
N
Y tt
Dati Sulla base dei dati s=0,5 e d=0,2
Abbiamo le due equazioni
Assumiamo, infine, assenza di progresso tecnico
N
K2,0
N
K5,0
N
K
N
K ttt1t
N
K
N
Y tt
NKY tt
Domande Tre domande:
1) Assumiamo che nel periodo 0 il livello di K/N sia pari a 3
Di quanto crescono K/N e Y/N nel periodo 1?
2) Quale è il livello massimo di K/N e Y/N nell’economia?
3) Cosa accade se s aumenta e passa a 0,6?
3N
K0
Domanda 1
3N
K0
Domanda 1
Di quanto crescono K/N e Y/N nel periodo 1?
Sappiamo che
Ciò significa che
N
K2,0
N
K5,0
N
K
N
K ttt1t
N
K2,0
N
K5,0
N
K
N
K 0001
Domanda 1
27,032,035,0N
K
N
K 01
Abbiamo quindi
La crescita percentuale di k/N sarà quindi
La crescita percentuale di K/N sarà del 9%
N
K2,0
N
K5,0
N
K
N
K 0001
%93
27,0
N
KN
K
NK
0
01
Domanda 1
27,0N
K
N
K 01
Di quanto cresce Y/N?
Sappiamo che
Ciò implica che
27,327,0327,0N
K
N
K 01
Domanda 1
N
K
N
Y tt
Sapendo che
Abbiamo
73,13N
K
N
Y 00
80,127,3N
K
N
Y 11
Domanda 1 La crescita percentuale di Y/N sarà quindi
La crescita percentuale di Y/N sarà del 4%
%0,473,1
73,180,1
NYNY
NY
0
01
Graficamente investimento (0,5(K/N)1/2), deprezzamento (0,2K/N) e funzione di produzione ((K/N)1/2)
K/N 3→3,27 Y/N 1,73→1,80
Y/N
K/N
0,5(K/N)1/2
0,2K/N
3
(K/N)1/2
1,73
3,27
1,80
Domanda 2
2) Quale è il livello massimo di K/N e Y/N nell’economia?
In assenza di progresso tecnico K/N e Y/N aumentano solo per l’accumulazione di capitale
Sappiamo che raggiunto lo stato stazionario l’accumulazione di capitale cessa
Perciò il livello massimo di K/N e Y/N si raggiunge in stato stazionario (K*/N e Y*/N)
Domanda 2
N
K2,0
N
K5,0 tt
Abbiamo visto nella lezione 23 che in stato stazionario abbiamo
investimento = deprezzamento
I=dK
Considerando i nostri dati e l’equazione di accumulazione del capitale
ciò implicaN
K2,0
N
K5,0
N
K
N
K 0001
Domanda 2
N
K2,0
N
K5,0 tt
Con alcuni passaggi algebrici
Il livello massimo raggiunto da K/N è 6,25
N
K
N
K
2,0
5,0 tt
2/1t
2/1t
t
t
t
N
K
N
K
N
K
N
KN
K
2,0
5,0
25,65,22,0
5,0
N
K 22
t
Domanda 2
N
K
N
Y tt
Quale è il livello massimo di Y/N?
Sapendo che
Abbiamo
Il livello massimo raggiunto da Y/N è 2,5
5,225,6N
Yt
Graficamente Il livello massimo è raggiunto in stato stazionario punto E
K*/N =6,25 Y*/N=2,5
Y/N
K/N
0,5(K/N)1/2
0,2K/N
(K/N)1/2
6,25
2,5
E
Domanda 3
3) Cosa accade se s aumenta e passa a 0,6?
Due implicazionia) Nuova condizione di stato stazionariob) Maggiore accumulazione di capitale
a) Nuova condizione di stato stazionario
Con s=0,6 l’equazione di accumulazione del capitale diventa
N
K2,0
N
K6,0
N
K
N
K ttt1t
Domanda 3
In stato stazionario abbiamo quindi
Procedendo come prima (domanda 2) si ottiene
L’aumento di s ha portato il livello massimo di K/N da 6,25 a 9
N
K2,0
N
K6,0 tt
932,0
6,0
N
K 22
t
Domanda 3
N
K
N
Y tt
Quale è ora il livello massimo di Y/N?
Sapendo che
Abbiamo
L’aumento di s ha portato il livello massimo di Y/N da 2,5 a 3
39N
Yt
Graficamente Siamo nello stato stazionario E In E abbiamo K*/N=6,25 e Y*/N=2,5
Y/N
K/N
0,5(K/N)1/2
0,2K/N
(K/N)1/2
6,25
2,5
E
s Curva sf(K/N) verso l’alto Nuovi livelli di stato stazionario K*’/N=9 Y*’/N=3
Y/N
K/N
0,5(K/N)1/2
0,2K/N
(K/N)1/2
6,25
2,5
E0,6(K/N)1/2
3
9
E’
Domanda 3b) Maggiore accumulazione di capitale
Supponiamo di essere nello stato stazionario della domanda 2 (K*/N=6,25 e Y*/N=2,5)
Cosa accade quando aumenta s?
s risparmio investimento
investimento investimento > deprezzamento
L’accumulazione di capitale (che era nulla in stato stazionario) riprende
Domanda 3 La nuova accumulazione di capitale fa riprendere
la crescita
Un aumento del saggio di risparmio genera quindi una nuova fase di crescita
L’accumulazione di capitale e la cresciuta proseguono fino al raggiungimento del nuovo stato stazionario (K/N=9 e Y/N=3)
Domanda 3 Cosa accade quando si raggiunge il nuovo stato
stazionario?
Raggiunto il nuovo stato stazionario la crescita si interrompe nuovamente
Un aumento del saggio di risparmio genera quindi una nuova fase di crescita temporanea
Un aumento del saggio di risparmio non genera una crescita illimitata
Solo il progresso tecnico genera crescita nello stato stazionario