⑤外積とこれまでの問題

９８!１０１

空間ベクトルの外積＊外積空間の２つのベクトル　　　　の外積　　　　　　は次のように定義される。①　　の大きさは　　　が作る平行四辺形の面積に等しい。②　　は、　　　の作る平面に直交し、　　　　はこの順序　　で右手系をなす。

a, b

c = a ! b

c

c

a, b

a, b

a, b, c

c = a ! b

a

b

右手親指

右手人差し指

右手中指

＊外積の性質

a ! b = "b ! a

(#a) ! b = a ! (#b) = #(a ! b)

(a + b) ! c = a ! c + b ! c

!n次元ベクトルへの一般化n次元ベクトルへの一般化は存在するが、通常、外積という時は３次元ベクトルの外積をさす。内積はnに関わらず全く同等に取り扱える。

＊外積の計算・空間基本ベクトルの場合

i =

1

0

0

!

"

#

# #

$

%

&

& &

, j =

0

1

0

!

"

#

# #

$

%

&

& &

, k =

0

0

1

!

"

#

# #

$

%

&

& &

i ! i = 0, j! j = 0, k ! k = 0

i ! j = k, j! k = i, k ! i = j

・平行６面体の体積

V = (a ! b,c)

a

b

c

(a ! b,c) = (b! c,a) = (c! a,b)

(a + b) ! c = a ! c+ b! c

((a + b) ! c,x) = (a + b,c! x) = (a,c! x) + (b,c! x)

= (a ! c,x) + (b! c,x) = (a ! c+ b! c,x)

i

j

k

定理７．１

a = a1i + a2 j+ a3k, b = b1i + b2 j+ b3k

a ! b =

i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

=a2 a3

b2 b3

i +a3 a1

b3 b1

j+a1 a2

b1 b2

k

a ! b = (a1i + a2 j+ a3k) ! (b1i + b2 j+ b3k)

= (a2 j! b3k + a3k ! b2 j) + (a3k ! b1i + a1i ! b3k) + (a1i ! b2 j+ a2 j! b1i)

= (a2b3 " a3b3)i + (a3b1 " a1b3)j+ (a1b2 " a2b1)k

=a2 a3

b2 b3

i +a3 a1

b3 b1

j+a1 a2

b1 b2

k

問題７．１：

a = i + 2j+ 2k, b = 2i + 2j+ k　　　　　　　　　　　　　について、定理７．１を用いて、①　絶対値を求めよ。②　内積　　　　を計算せよ。③　外積　　　　を計算せよ。④　　　　が作る平行四辺形の面積を求めよ。

(a,b)

a ! b

a,b

a = 1+ 4 + 4 = 3, b = 4 + 4 +1 = 3

(a,b) = 2+ 4 + 2 = 8

a ! b = ("2)i " ("3) j+ ("2)k=t["2 3 "2]

S = a ! b = 4 + 9+ 4 = 17

①②③　④

問題７．２：に直交する単位ベクトルを求めよ。

a=t[1 1 1] ,b=

t[1 2 1]

e = ±a ! b

a ! b

a ! b=t["1 0 1]

a ! b = 1+1 = 2

e = ±1

2

t["1 0 1]

問題７．３：定理７．１を用いて、次を示せ。

が作る平行６面体の体積は　　　　　の絶対値で与えられる。

①②③

(a + b) ! c = a ! c+ b! c

(a ! b,c) = a b c

a,b,c (a ! b,c)

(a + b) ! c =

i j k

a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3

c1 c2 c3

=

i j k

a1 a2 a3

c1 c2 c3

+

i j k

b1 b2 b3

c1 c2 c3

= a ! c+ b! c

(行列式：定理４．２）

(a ! b,c) =

i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

,c

"

#

$

$ $

%

&

'

' '

=a2 a3

b2 b3

i (a1 a3

b1 b3

j+a1 a2

b1 b2

k,c1i + c2 j+ c3k"

#

$

%

&

'

=a2 a3

b2 b3

c1 (a1 a3

b1 b3

c2 +a1 a2

b1 b2

c3 =

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

=

c

a

b

=

a

b

c

= a b c

①

②

a

b

c

!

!

③ S：　　　で作る平行四辺形の面積V：　　　で作る平行６面体の体積

S = a b sin! = a " b

V = S c sin# = a " b c sin# = a " b c cos# '= (a " b,c)

# +# '=$

2

! '

a,b,c

a,b

練習問題５．１：空間ベクトル　　　　について、次を示せ。①②

a,b,c

(a ! b) ! c = "(b,c)a + (a,c)b

(a ! b) ! c+ (b! c) ! a + (c! a) ! b = 0

(a ! b) ! c=

t

a2 a3

b2 b3

a3 a1

b3 b1

a1 a2

b1 b2

"

#

$

%

&

' !c1

c2

c3

"

#

$

$ $

%

&

'

' '

=

t

a3 a1

b3 b1

c3 (a1 a2

b1 b2

c2

a1 a2

b1 b2

c1 (a2 a3

b2 b3

c3

a2 a3

b2 b3

c2 (a3 a1

b3 b1

c1

"

#

$

%

&

'

a3 a1

b3 b1

c3 (a1 a2

b1 b2

c2 = a3b1c3 ( a1b3c3 ( a1b2c2 + a2b1c2

= b1(a3c3 + a2c2) + b1a1c1 ( b1a1c1 ( a1(b3c3 + b2c2) = b1(a,c) ( a1(b,c)

a1 a2

b1 b2

c1 (a2 a3

b2 b3

c3 = b2 (a,c) ( a2 (b,c)

a2 a3

b2 b3

c2 (a3 a1

b3 b1

c1 = b3 (a,c) ( a3 (b,c)

) (a ! b) ! c = (a,c)b( (b,c)a = ((b,c)a + (a,c)b

①

第２、第３要素は、添字を　　　　　　　　　の順で変化すれば得られるから、

1! 2! 3! 1

②

(a ! b) ! c+ (b! c) ! a + (c! a) ! b

= "(b,c)a + (a,c)b( ) + "(c,a)b+ (b,a)c( ) + "(a,b)c+ (c,b)a( ) = 0

練習問題５．２：下に示す　　の部分空間　　　　について、の基底と次元を求めよ。

R4

W1,W2

W1,W2,W1!W2,W1 + W2

W1 =t

x1 x2 x3 x4[ ] : x1 + 2x2 + 3x3 = 0,x2 + 2x3 + 3x4 = 0,x3 + 2x4 = 0{ }

W2 =t

x1 x2 x3 x4[ ] : x1 = x2 = x3{ }

１）２）

基底：　　　１次元

基底：　　　　　２次元

基底：　　　０次元

基底：　

　　　　３次元

x !W1

1 2 3 0

0 1 2 3

0 0 1 2

"1 0 #1 #6

0 1 2 3

0 0 1 2

"1 0 0 #4

0 1 0 #1

0 0 1 2

"

x1# 4x

4= 0

x2# x

4= 0

x3+ 2x

4= 0

x =

x1

x2

x3

x4

$

%

&&&&&

'

(

)))))

=

4x4

x4

#2x4

x4

$

%

&&&&&

'

(

)))))

= x4

4

1

#2

1

$

%

&&&&

'

(

))))

4

1

#2

1

$

%

&&&&

'

(

))))

x !W2

x =

x1

x2

x3

x4

$

%

&&&&&

'

(

)))))

=

x1

x1

x1

x4

$

%

&&&&&

'

(

)))))

= x1

1

1

1

0

$

%

&&&&

'

(

))))

+ x4

0

0

0

1

$

%

&&&&

'

(

))))

1

1

1

0

$

%

&&&&

'

(

))))

,

0

0

0

1

$

%

&&&&

'

(

))))

x !W1" W

2

0

0

0

0

#

$

%%%%

&

'

((((

x !W1+ W

2

4

1

)2

1

#

$

%%%%

&

'

((((

,

1

1

1

0

#

$

%%%%

&

'

((((

,

0

0

0

1

#

$

%%%%

&

'

((((

練習問題５．３：次のベクトルから張られる線形空間の次元を求めよ。

x1 =

a

1

1

1

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

, x2 =

1

a

1

1

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

, x3 =

1

1

a

1

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

, x4 =

1

1

1

a

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

A = x1

x2

x3

x4( ) =

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a

!

"

####

$

%

&&&&

'

a + 3 a + 3 a + 3 a + 3

1 a 1 1

0 1 ( a a ( 1 0

0 1 ( a 0 a ( 1

!

"

####

$

%

&&&&

'

a + 3 a + 3 a + 3 a + 3

1 a 1 1

0 1 ( a a ( 1 0

0 0 1 ( a a ( 1

!

"

####

$

%

&&&&

①　　　の時 a = !3

A =

a + 3 a + 3 a + 3 a + 3

1 a 1 1

0 1 ! a a ! 1 0

0 0 1 ! a a ! 1

"

#

$$$$

%

&

''''

=

0 0 0 0

1 !3 1 1

0 4 !4 0

0 0 4 !4

"

#

$$$$

%

&

''''

(

0 0 0 0

1 !3 1 1

0 1 !1 0

0 0 1 !1

"

#

$$$$

%

&

''''

(

0 0 0 0

1 0 !2 1

0 1 !1 0

0 0 1 !1

"

#

$$$$

%

&

''''

(

0 0 0 0

1 0 0 !1

0 1 0 !1

0 0 1 !1

"

#

$$$$

%

&

''''

x1, x

2, x

3

x4= !x

3! x

2! x

1

１次独立（３次元）

②　　　の時 a = 1

A =

4 4 4 4

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

!

"

####

$

%

&&&&

'

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

!

"

####

$

%

&&&&

'

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

!

"

####

$

%

&&&& ：１次元

③　　　　　の時 a ! 1,"3

a ! 1, a + 3 で割ることができる。

A = x1

x2

x3

x4( ) =

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a

!

"

####

$

%

&&&&

'

a + 3 a + 3 a + 3 a + 3

1 a 1 1

0 1 ( a a ( 1 0

0 1 ( a 0 a ( 1

!

"

####

$

%

&&&&

'

1 1 1 1

1 a 1 1

0 1 ( a a ( 1 0

0 1 ( a 0 a ( 1

!

"

####

$

%

&&&&

'

1 1 1 1

0 a ( 1 0 0

0 1 ( a a ( 1 0

0 1 ( a 0 a ( 1

!

"

####

$

%

&&&&

'

1 1 1 1

0 1 0 0

0 1 (1 0

0 1 0 (1

!

"

####

$

%

&&&&

'

1 0 1 1

0 1 0 0

0 0 (1 0

0 0 0 (1

!

"

####

$

%

&&&&

'

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

!

"

####

$

%

&&&& ：４次元

練習問題５．４：１からｎまでの自然数の集合をXとする。X上の関数全体が作る線形空間の次元を求めよ。

とする。

：一次独立：X上の任意の関数

：基底、n次元

fi ( j) = !ij i, j " X

f1, f2,...fn

g

g(k) = g(1) f1(k) + g(2) f2 (k) +!+ g(n) fn (k) k " X

f1(k), f2 (k),...fn (k)

と表すことができるしたがって、

練習問題５．５：①　グラム・シュミットの直交化法を利用して、次のベクトルから正規直交系を作れ。

x1 =

1

!11

1

"

#

$

$

$

$

%

&

'

'

'

'

, x2 =

1

!1!11

"

#

$

$

$

$

%

&

'

'

'

'

, x3 =

!1!11

1

"

#

$

$

$

$

%

&

'

'

'

'

, x4 =

1

1

1

1

"

#

$

$

$

$

%

&

'

'

'

'

b1 =

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

, b1 = 4 = 2

a1 =b1

b1

=1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

b2 =

1

!1!11

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

! 1 !1 !1 1( )1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

=

1

!1!11

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

!1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

=1

2

1

!1!31

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

b2 =1

4+1

4+9

4+1

4= 3

a2 =b2

b2

=1

12

1

!1!31

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

b3 =

!1!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

! !1 !1 1 1( )1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

! !1 !1 1 1( )1

12

1

!1!31

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

1

12

1

!1!31

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

=2

3

!2!10

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

, b3 =2

36

a3 =b3

b3

=1

6

!2!10

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

b4 =

1

1

1

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

! 1 1 1 1( )1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

1

2

1

!11

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

! 1 1 1 1( )1

12

1

!1!31

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

1

12

1

!1!31

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

! 1 1 1 1( )1

6

!2!10

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

1

6

!2!10

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

=

0

1

0

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

, b4 = 2

a4 =b4

b4

=1

2

0

1

0

1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

②　得られた正規直交系を　　　　　　とするとき、次式を満たす行列Ａを求めよ。

a1,a2,a3,a4

x1x2x3x4[ ] = a

1a2a3a4[ ]A

両辺に　　　　　　　　　　　を掛ける。

tta1

ta2

ta3

ta4[ ]

tta1

ta2

ta3

ta4[ ] x1 x

2x3x4[ ]=

tta1

ta2

ta3

ta4[ ] a1 a

2a3a4[ ]A

tta1

ta2

ta3

ta4[ ] a1 a2 a3 a4[ ] =

(a1,a1) (a1,a2) (a1,a3) (a1,a4 )

(a2,a1) (a2,a2) (a2,a3) (a2,a4 )

(a3,a1) (a3,a2) (a3,a3) (a3,a4 )

(a4 ,a1) (a4 ,a2) (a4 ,a3) (a4 ,a4 )

!

"

# # # #

$

%

& & & &

は正規直交系であるから

a1,a2,a3,a4 (ai ,a j ) = !ij

!t

ta1

ta2

ta3

ta4[ ] a1 a

2a3a4[ ] =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

! A =

ta1

ta2

ta3

ta4

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

x1x2x3x4( ) =

1 2 (1 2 1 2 1 2

1 12 (1 12 (3 12 1 12

( 2 6 (1 6 0 1 6

0 1 2 0 1 2

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

1 1 (1 1

(1 (1 (1 1

1 (1 1 1

1 1 1 1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

=

2 1 1 1

0 3 (1 3 (1 3

0 0 4 6 ( 2 6

0 0 0 2

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

練習問題５．６：実数係数の多項式の全体をＰとする。２つの多項式　　と　　に対して内積を次式のように定義する。

このとき、　　　　　　　　　　　　　　から、グラム・シュミットの直交化法により、正規直交系を作れ。

f g

p0 (x) = 1, p1(x) = x, p2 (x) = x2

( f ,g) = f (x)g(x)dx!1

1

"

b0 (x) = 1, b0 (x)2

= 1dx!1

1" = 2, b0 (x) = 2 # a0 (x) =1

2

b1(x) = x! (x,1

2)1

2= x! (x,1)

1

2, (x,1) = xdx

!1

1" = 0

b1(x) = x, b1(x)2

= x2dx

!1

1" =2

3, b1(x) =

2

6# a1(x) =

6

2x

b2 (x) = x2 ! (x2,

1

2)1

2! (x2,

6

2x)

6

2x = x

2 !1

2(x2,1) !

3

2(x2,x)x

(x2,1) = x

2dx =

2

3!1

1" , (x2,x) = x

3dx

!1

1" = 0, b2 (x) = x2 !1

3

b2 (x)2

= x2 !1

3

$

% &

'

( )

2

dx!1

1" =8

45, b2 (x) =

4

3 10# a2 (x) =

3 10

4x2 !1

3

$

% &

'

( )

練習問題５．７：　　において、正規直交系　　　　　　　で張られる線形部分空間をＶとする。①　　　　は、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と表されることを示せ。②　　のとき、　　　　　　　　　　　　　　　　　となることを示せ。

Rn

a1,a2,...am

x !V x = (x,a1)a1 + (x,a2)a2 +!+ (x,am)a

m

x = x1a1 + x2a2 +!+ xmam , y = y1a1 + y2a2 +!+ ymam

(x,y) = x1y1 + x2y2 +!+ xm ym

x = x1a1 + x2a2 +!+ xmam = xiai

i=1

m

!

(a j ,ai ) = "ij

(a k ,x) = xi

i=1

m

! (a k ,ai ) = xi

i=1

m

! "ki = xk

# x = (x,a1)a1 + (x,a2)a2 +!+ (x,am )am

：正規直交系

①

(x,y) = ( xiai

i=1

m

! , yj a j

j =1

m

! ) = xi yj (ai ,a j )

j =1

m

!i=1

m

! = xi yj"ij

j =1

m

!i=1

m

! = xi yi

i=1

m

!②

⑥線形写像

１０２!１０７

【線形写像】線形写像

K

V,W

!

：　上の線形空間：　から　への写像

V W

　　が次式を満たすとき線形写像という

!

　から　への線形写像を線形変換という

V V

①②

! (x + y) =! (x) +! (y) (x,y "V)

! (#x) =#! (x) (# " K,x "V)

・　から　への線形写像　について次式が成立する。

V W

!

!

! (0) =! (0+ 0) =! (0) +! (0)

" ! (0) = 0

! (#1a1 +#2a2 +"+#na

n) =! (#1a1) +! (#2a2) +"+! (#

na

n)

=#1! (a1) +#2! (a2) +"+#n! (a

n)

! (0) = 0

! ("1a1 +"2a2 +!+"na

n) ="1! (a1) +"2! (a2) +!+"

n! (a

n)

a1,a2,...an#V "1,"2,..."n

# K

例題１．１：行列と線形写像（ｍ，ｎ）行列Ａに対して、は、　　から　　への線形写像であることを示せ。

!A(x) = Ax

Kn

Km

第２章、定理５．１（行列の積に関する分配法則）により、

さらに、　　　　に対して、

!A("x) = A("x) ="Ax ="!

A(x)

! " K

!A(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay =!

A(x) +!

A(y)

例題１．２：線形写像の例①　　　　は実数とする。　　から　　への、次の写像　　が線形となるのは、　　　　　の時である。

②　　　から　　への次の写像は線形でない。

R2

R2

R2

R2

a,b

a = b = 0

! (x1

x2

"

# $

%

& ' ) =

x1 + x2 + a

x2 + b

"

# $

%

& '

! (x1

x2

"

# $

%

& ' ) =

x1 + x2

x1x2

"

# $

%

& '

したがって、　　　　　　　の時、線形写像。

a = b = 0

①

! (x + y) =! (x1 + y1

x2 + y2

"

# $

%

& ' ) =

(x1 + y1) + (x2 + y2)

(x1 + y1)(x2 + y2)

"

# $

%

& ' =

(x1 + x2) + (y1 + y2)

x1x2 + y1y2 + x1y2 + y1x2

"

# $

%

& '

=x1 + x2

x1x2

"

# $

%

& ' +

y1 + y2

y1y2

"

# $

%

& ' +

0

x1y2 + y1x2

"

# $

%

& ' =! (x) +! (y) +

0

x1y2 + y1x2

"

# $

%

& '

! (x + y) =! (x1 + y1x2 + y2

"

# $

%

& ' ) =

x1 + y1 + x2 + y2 + a

x2 + y2 + b

"

# $

%

& '

=x1 + x2 + a

x2 + b

"

# $

%

& ' +

y1 + y2 + a

y2 + b

"

# $

%

& ' (

a

b

"

# $

%

& ' =! (x) +! (y) (

a

b

"

# $

%

& '

! ()x) =)x1 +)x2 + a

)x2 + b

"

# $

%

& ' =)

x1 + x2 + a

x2 + b

"

# $

%

& ' ( () (1)

a

b

"

# $

%

& ' =)! (x) ( () (1)

a

b

"

# $

%

& '

②

したがって、線形写像ではない。

問題１．１：　における内積　　　　を考える。このとき、　を固定すると、　　　　　　　は線形写像であることを示せ。

Rn

(x,y)

y

! (x) = (x,y)

a,b! Rn," ! R

# (a + b) = (a + b,y) = (a,y) + (b,y) =# (a) +# (b)

# ("a) = ("a,y) ="(a,y) ="# (a)

問題１．２：　における関数　　　　　　　　が線形関数（変換）となるための条件を求めよ。

R1

f (x) = ax2 + bx + c

f (x + y) = a(x + y)2 + b(x + y) + c = a(x2 + y2 + 2xy) + b(x + y) + c

= (ax2 + bx + c) + (ay2 + by + c) + 2axy ! c = f (x) + f (y) + 2axy ! c

a = c = 0

したがって、線形関数となる条件は、

線形写像の像と核

!

!

の像：の核：

Im! =! (V) = ! (x) : x "V{ }

Ker! =!#1(0) = x "V :! (x) = 0{ }

V 　　　　W

0 0

Im!

Ker!

!

!　Im: Image（像）, Ker: Kernel（核）

定理２．１：像と核ＶからＷへの線形写像　　に対して、①　　　は、Ｗの線形部分空間である。②　　　は、Ｖの線形部分空間である。

!

Im!

Ker!

とすればとなる　　　　　　　が存在する。

このとき、　　　　　で、

次に，　　　に対して

z! Im" , w ! Im"

" (x) = z, " (y) = w x !V, y !V

x + y !V

" (x + y) =" (x) +" (y) = z+w

# z+w ! Im"

$ ! K " ($x) =$" (x) =$z

# $z! Im"

証明　①

証明　②

x ! Ker" , y ! Ker" " (x) = 0, " (y) = 0

# " (x + y) =" (x) +" (y) = 0+ 0 = 0

# x + y ! Ker"

$ ! K " ($x) =$" (x) = 0

# $x ! Ker"

とすれば

に対して

単射と全射・単射（Injection）　ＶからＷへの写像　　が次式を満たす。　（その値域に属する元は、定義域のただ一つの元の像）

!

! (x1) =! (x2) x1 = x2

x1 " x2 ! (x1) "! (x2)

・全射（Surjection）　ＶからＷへの写像　　が次式を満たす。　（値域と終域が一致すること）

!

! (V) = W

・全単射（Bijection）　ＶからＷへの写像　　が全射かつ単射であること。即ち、

!

即ち、ならば

ならば

! (V) = W で、かつ（　　　　　　　　　ならば　　　　　　）

! (x1) =! (x2) x1 = x2

A

B

C

A B C A B C DA B C D

a b c d e a b c d a b c

a

b

c

d

単射

全射全単射

全射・単射・全単射でない

この存在：単射でない！

この存在：全射でない！

例題２．１：線形写像の像と核次の行列Ａからできる線形写像　　　　　　の像と核の次元と基底を求めよ。

!A(x) = Ax

A =

1 2 1 2

2 3 4 5

3 5 6 3

1 1 3 3

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

行列Ａを次のように表す。ここで、

A = a1a2a3a4[ ]

a1 =

1

2

3

1

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

, a2 =

2

3

5

1

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

, a3 =

1

4

6

3

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

, a4 =

2

5

3

3

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

R4

x =

x1

x2

x3

x4

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

の　　　　のＡによる像は、

!A(x) = Ax = a1 a2 a3 a4[ ]x = x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4

すなわち、

Im!A

= K < a1,a2,a3,a4 >

「一次独立と一次従属」の例題３．３より、この空間は３次元で基底として　　　　　をとることができる。

Im!A

a1,a2,a3

! (x) = 0

x1 + 24x4 = 0

x2 " 9x4 = 0

x3 " 4x4 = 0

x = x4

"24

9

4

1

#

$

%

%

%

%

&

'

(

(

(

(

) Ker!A

= K <

"24

9

4

1

#

$

%

%

%

%

&

'

(

(

(

(

>

については、

a1a2a3a4( ) !

1 2 1 2

2 3 4 5

3 5 6 3

1 1 3 3

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

!

1 0 0 24

0 1 0 (90 0 1 (40 0 0 0

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

問題２．１：次の行列Ａからできる線形写像　　　　　の像と核の次元と基底を求めよ。

!A(x) = Ax

A =

2 1 1

1 1 2

4 3 5

!

"

#

# #

$

%

&

& &

A =

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

① ②

①

A = a1 a2 a3[ ]

a1 =

2

1

4

!

"

# # #

$

%

& & &

, a2 =

1

1

3

!

"

# # #

$

%

& & &

, a3 =

1

2

5

!

"

# # #

$

%

& & &

Im!A

= K < a1,a2,a3 >

2 1 1

1 1 2

4 3 5

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

'

1 1/2 1/2

0 1/2 3/2

0 1 3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

'

1 1/2 1/2

0 1 3

0 1 3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

'

1 0 (1

0 1 3

0 0 0

!

"

#

#

#

$

%

&

&

& 　　　は２次元基底は、

a1,a2

Im!A(x)

a3

= !a1

+ 3a2

については、

②

A = a1 a2 a3 a4[ ]

a1 =

1

2

3

4

!

"

# # # #

$

%

& & & &

, a2 =

2

3

4

5

!

"

# # # #

$

%

& & & &

, a3 =

3

4

5

6

!

"

# # # #

$

%

& & & &

, a4 =

4

5

6

7

!

"

# # # #

$

%

& & & &

Im!A

= K < a1,a2,a3,a4 >

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

'

1 2 3 4

0 (1 (2 (30 (2 (4 (60 (3 (6 (9

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

'

1 0 (1 (20 1 2 3

0 0 0 0

0 0 0 0

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

Im!Aしたがって　　　　は２次

元で、基底は

a1,a2

Ker!A(x) = 0

x1 " x3 " 2x4 = 0

x2 + 2x3 + 3x4 = 0

については、

Ker!A(x) = 0

x1 = x3, x2 = "3x3

# x = x3

1

"3

1

$

%

&

&

&

'

(

)

)

)

x =

x1

x2

x3

x4

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

=

x3

+ 2x4

'2x3' 3x

4

x3

x4

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

= x3

1

'2

1

0

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

+ x4

2

'3

0

1

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

⑦同型写像と表現行列１０８!１１３

同型写像定理３．１：単射ＶからＷへの線形写像　に対して、次の記述は同値である。①　　は単射である。②

!

!

Ker! = 0{ }

①⇒②の証明：：

②⇒①の証明：：

! (x) =! (y) x,y "V

したがって、線形写像　　は単射である。

!

x ! Ker" # " (x) = 0

0! Ker" 0 =" (0)

" x = 0

$ Ker" = {0}

ここで、　　　　　なのでは単射なので

となる　　　　について

! (x " y) =! (x) "! (y) = 0

Ker! = {0} # x " y = 0

VからWへ単射かつ全射である写像　　は同型写像であるという。ＶからＷへの同型写像が存在すれば、ＶとＷは同型であるといい、　　　　と表す。

!

V ˜ = W

写像の名称 別名（紛らわしいので使わな

い)

単射 (Injection) 一対一写像 (One-to-one mapping)

全射 (Surjection) 上への写像 (Onto mapping)

全単射 (Surjection)上への一対一写像

(One-to-one correspondenceOne-to-one onto mapping)

!　注意

定理３．２：同型線形空間Ｕ，Ｖ，Ｗに対して次式が成り立つ。①②　　　　　ならば③　　　　　　　　ならば

U ˜ = U

U ˜ = V V ˜ = U

U ˜ = V,V ˜ = W U ˜ = W

①　恒等写像を考えれば明らか。②　ＵからＶへの同形写像はの逆写像はＶからＵへの同形写像。③　ＵからＶへの同形写像とＶからＷへの同形写像はＵからＷへ　　の同形写像である。

例題３．１：有限次元空間の同型Ｋ上の線形空間Ｖの次元がｎならば、これは　　と同型であることを示せ。

Kn

ｎ次元線形空間Ｖの基底を　　　　　　　とする。　　　　は次のように表すことができる。

a1,a2,...anx !V

x = x1a1

+ x2a2

+!xna

n

x1,x2...xnは一意的に決まるので次の写像が定義できる。

はＶから　　への同型写像である。　　

Kn

!

! (x)=t[x1 x2 ! x

n]

問題３．１：　　から　　への線形写像（次式）が同型写像となるための　の条件を求めよ。

K3

K3

a

写像　　が単射で、全射であればよい。

a1 =

a

1

1

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

, a2 =

1

a

1

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

, a3 =

1

1

a

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

' (x) = x1a1 + x2a2 + x3a3

' (y) = y1a1 + y2a2 + y3a3

x,y ( K 3

' (x) )' (y) = 0 x ) y = 0

* a1, a2, a3

任意の　　　　　についてならば　　　　　（単射）：一次独立（単射の条件）

!

K3

= K < a1,a2,a3 >

! " (K 3) = K

3

（全射）

a1 a2 a3 =

a 1 1

1 a 1

1 1 a

= a3! 3a + 2

= (a !1)2(a + 2) " 0

! a " 1,#2

従って、一次独立の条件を求める

!x1

x2

x3

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

(

)

*

* *

+

,

-

- -

= x1

a

1

1

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

+ x2

1

a

1

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

+ x3

1

1

a

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

問題３．２：定理３．２の証明において、次のことを示せ。

①　　から　　への恒等写像　　は　　から　　への同型写像である。②　　から　　への同型写像　　の逆写像　　は　　から　　への同型写像である。③　　から　　への同型写像　　、　　から　　への同型写像　　に対して、それら　　　の合成写像　　　は　　から　　への同型写像である。

V V

IV

V V

U V

!

!"1

V U

V W

U V

!

!

! !"

U W

x !V

IV(x) = x であるから、単射かつ全射であることは明らか。

①

x, ! x "U, y, ! y "V

# U V

　　　　　　　　　とする。　は　　から　　　への同型写像である。

すなわち、　　　について　　　　となる　が存在し（全射）、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（単射）

!y "V # (x) = y x

! (x) =! ( " x ) # x = " x (x $ " x # ! (x) $! ( " x ))

したがって、　　　　　となる　　はただ一つ存在する。この写像　　を写像　　の逆写像　　　という。　　は単射で全射。⇨同型。

!

! !"1

x =!(y) x

:! (U) = V

!"1

! (x1) = y1,! (x2) = y2

! (x1 + x2) =! (x1) +! (x2) = y1 + y2 "!#1(y1 + y2) = x1 + x2

! ($x) =$y "!#1($y) =$x

とする。 したがって、　　は線形写像である。

!"1

③

Im! =! (U) = V, Im" ="(V) = W

Im! !" =" ! (U)( ) = W

x,y #U

x $ y%! (x) $! (y)

! (x) $! (y)%" ! (x)( ) $" ! (y)( )

②

線形写像の表現行列Ｖ：Ｋ上の線形空間、次元＝ｎＷ：Ｋ上の線形空間、次元＝m

　　Ｖ、Ｗは、次のように表せる。

V = K e1,e2,...en

W = K f1, f2,...fm

：ＶからＷへの線形写像

!

! (ei ) " W (i = 1,2,...n)

これは右のように表せる。

! (e1) = a11f1 + a21f2 +!+ am1fm

! (e2) = a12f1 + a22f2 +!+ am2fm

!

! (en) = a1n f1 + a2n

f2 +!+ amnfm

前のページの係数から次の行列を定義する。

A =

a11

a12! a

1n

a21

a22! a

2n

!

am1

am2! a

mn

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

この行列を、　のに関する表現行列という。　　　　の関係は形式的に次のように表される。

!

E = e1,e2,...en{ }, F = f1, f2,...fm{ }

A,! (e), f

! (e1) ! (e2) ! ! (en)[ ] = f1 f2 ! f

m[ ]A

!Ａ：m行n列行列

という関係を仮定すると

x !V, y ! W

x = x1e1 + x2e2 +!+ xnen

y = y1f1 + y2f2 +!+ ym fm = f1 f2 ! fm[ ]

y1

y2

"

ym

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

y =( (x)

y =( (x) = x1( (e1) + x2( (e2) +!+ xn( (en )

= ( (e1) ( (e2) ! ( (en )[ ]

x1

x2

"

xn

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

= f1 f2 ! fm[ ]A

x1

x2

"

xn

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

)

y1

y2

"

ym

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

= A

x1

x2

"

xn

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

!考え方の例：　　座標で表された点の位　置を　　座標で表した値に変換する。

e

f

例題４．１：線形写像の表現行列３次元空間　　　　　　　　　　から２次元空間　　　　　　　　への線形写像　　が次式を満足しているとき、　の表現行列を求めよ。

V = K < a1,a2,a3 >

W = K < b1,b2 >

!

!

! (2a1 + a2 + a3) = 2b1 + 2b2

! (a1 + 2a2 + a3) = b1 " b2

! (a1 + a2 + 2a3) = b1 + 3b2

! (a1) ! (a2) ! (a3)[ ]

2 1 1

1 2 1

1 1 2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= b1 b2[ ]2 1 1

2 (1 3

"

# $

%

& '

! (a1) ! (a2) ! (a3)[ ] = b1 b2[ ]2 1 1

2 (1 3

"

# $

%

& '

2 1 1

1 2 1

1 1 2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

(1

= b1 b2[ ]A

2 1 1

2 !1 3

"

# $

%

& '

2 1 1

1 2 1

1 1 2

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

!1

= A,tA=

t

2 1 1

2 !1 3

"

# $

%

& '

2 1 1

1 2 1

1 1 2

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

!1(

)

*

*

*

+

,

-

-

-

=

2 1 1

1 2 1

1 1 2

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

!1t2 1 1

2 !1 3

"

# $

%

& '

.2 1 1

1 2 1

1 1 2

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

tA=

t2 1 1

2 !1 3

"

# $

%

& '

2 1 1 2 2

1 2 1 1 !1

1 1 2 1 3

1 2 1 1 !1

0 !3 !1 0 4

0 !1 1 0 4

1 0 3 1 7

0 1 !1 0 !4

0 0 !4 0 !8

1 0 0 1 1

0 1 0 0 !2

0 0 1 0 2

①②③

④⑤⑥

⑦⑧⑨

⑩⑪⑫

＝②＝①ー２・②＝③ー②

④＋２・⑥＝!⑥＝⑤!３・⑥

＝⑦!３・⑫＝⑧＋⑫＝⑨／（!４）

tA =

1 1

0 !20 2

"

#

$

$ $

%

&

'

' '

( A =1 0 0

1 !2 2

"

# $

%

& '

問題４．１：次のような　　から　　への線形写像の表現行列を求めよ。

K3

K3

y1

y2

y3

!

"

#

#

#

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&

&

&

='x1

x2

x3

!

"

#

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#

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&

&

&

(

)

*

* *

+

,

-

- -

=

x1

+ x2

+ 2x3

3x1

+ 2x2

+ 3x3

2x1

+ x2

+ x3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

y1

y2

y3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

='x1

x2

x3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

(

)

*

* *

+

,

-

- -

=

x1

+ x2

+ 2x3

3x1

+ 2x2

+ 3x3

2x1

+ x2

+ x3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

=

1 1 2

3 2 3

2 1 1

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

x1

x2

x3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

= A

x1

x2

x3

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

. A =

1 1 2

3 2 3

2 1 1

!

"

#

#

#

$

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&

&

&

問題４．２：３次元空間　　　　　　　　から２次元空間　　　　　　への線形写像　　が次式を満たすとき、その表現行列を求めよ。

V = K < a1,a2,a3 >

W = K < b1,b2 >

!

! (a1 + a2) = b1,! (a2 + a3) = b2,! (a3 + a1) = b1 + b2

! (a1) +! (a2) = b1

! (a2) +! (a3) = b2

! (a3) +! (a1) = b1 + b2

! (a1) = b1

! (a2) = 0

! (a3) = b2

! (a1) ! (a2) ! (a3)[ ] = b1 0 b2[ ] = b1 b2[ ]1 0 0

0 0 1

"

# $

%

& ' = b1 b2[ ]A

A =1 0 0

0 0 1

"

# $

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& '