Algebra BooleanaEl lgebra de Boole es una estructura algebraica que nos permite dar rigor a las operaciones lgicas de conjuncin, disyuncin y negacin vistas en el captulo dos de la primera unidad, al igual que las operaciones de unin, interseccin y complemento que vimos en el primer captulo.

George Boole, apasionado por la matemtica y la filosofa, fue el inventor del lgebra que lleva su nombre, esta lgebra se dio a conocer al mundo, y para el deleite de los estudiantes de la UNAD, cuando Boole tena 39 aos, en 1854 en la publicacin de la investigacin "An Investigation of the Laws of Thought", en la cual, Boole desarrolla un sistema de reglas bsicas para expresar, manipular y simplificar problemas lgicos y filosficos por procedimientos matemticos, un mtodo que vena desarrollando desde 1947, cuando a la edad de 32 aos, publica "The Mathematical Analysis of Logic" .

Es por esto, que afirmamos que Boole fue el primero en usar las tcnicas algebraicas para tratar expresiones de la lgica proposicional, una tcnica que se aplica, de manera constante al mbito del diseo electrnico.

Ochenta y cuatro aos ms tarde, Claude Shannon, en 1938, sera el primero en aplicar el lgebra Booleana, ya aplicada desde sus orgenes a la resolucin de problemas lgicos y filosficos, en el diseo de circuitos de conmutacin elctrica biestables. En la actualidad, el lgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el mbito del diseo electrnico.

Entre las siguientes proposiciones, determine la proposicin verdadera.

Su respuesta : El lgebra Booleana, desde sus orgenes ha sido concebida como un sistema para resolver problemas lgicos y filosficos desde una perspectiva matemtica... es correcta. Sigue adelante.Aplicaciones del Algebra BooleanaBoole declara algunas proposiciones como entradas o variables de un sistema y las respuestas o salidas del mismo, de esta manera, un sistema poda ser descrito por un lgebra que el denomin Lgica Simblica. As, la lgica simblica desarrollada por Boole, contiene un conjunto de reglas algebraicas que permiten su operacin, razn por la cual la lgica Simblica de Boole y sus reglas algebraicas se han denominado lgebra Booleana.

En el Algebra Booleana, los estados Verdadero y Falso, pasan a ser representados por nmeros binarios de un dgito o bits, de all que el lgebra Booleana tambin se conozca como el lgebra del sistema binario, un lgebra en la cual tambin trabajamos con constantes, variables y operaciones de suma, resta y multiplicacin, para conformar ecuaciones o expresiones booleanas.

De esta manera, un elemento fsico que represente dos estados como Abierto y cerrado de una puerta o el encendido y apagado de una bombilla o un nivel alto y un nivel bajo de agua en su seal de salida, o un modelo filosfico que arroje los estados verdadero y falso, puede ser modelado y simplificado mediante el lgebra Booleana.

En los sistemas digitales, la implementacin de las funciones lgicas se realiza por medio de dispositivos que denominamos puertas o compuertas, los cuales son normalmente dispositivos electrnicos basados en transistores.

Esta lgica Booleana, se fue transformando en lo que conocemos hoy como Lgica Digital, una lgica mediante la cual Shannon y John Von Neumann lograron desarrollar la estructura interna de los computadores que an hoy est vigente. Es por esto que al algebra de Boole debemos hoy el advenimiento de los computadores digitales y sus aplicaciones van en aumento en muchos campos. El lmite es la creatividad.

Entre otras aplicaciones, hoy se hacen muchos desarrollos interesantes en el rea de psicologa, mediante aplicaciones denominadas pruebas psicomtricas que utilizan todos los recursos del lgebra de Boole para su diseo.

A continuacin encontrars un interesante ejemplo aplicado a las ciencias humanas:

Son caractersticas del lgebra Booleana:

Su respuesta :

La lgica Simblica desarrollada por BooleEl conjunto de reglas Agebraicas para operar los smbolosDe la lectura podemos hacer las siguientes inferencias sobre el lgebre Booleana:

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En algebra Booleana el binario 0 puede representar el estado Verdadero

f = x + y Es un ejemplo de representacin en lgebra Booleana

3x + 19y = 0 Es un ejemplo de representacin en lgebra Booleana

En algebra Booleana el binario 2 puede representar el estado Verdadero

En el Algebra Booleana, los estados Verdadero y Falso, pasan a ser representados por nmeros binarios de un dgito o bits.

Esta es una leccin de 3 puntos. Usted ha obtenido 3 punto(s) sobre 3 hasta ahora.

Son sistemas que pueden ser modelados y simplificado mediante el lgebra Booleana:

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Un cuestionario que incluye las siguientes opciones de respuesta: Nunca, algunas veces y siempre

Un sistema que determina el estado bueno o malo de un electrodomstico

El estado de prdida o ganancia de un curso acadmico

Los estados de la materia

Su respuesta : Un sistema que determina el estado bueno o malo de un electrodomstico... es correcta un electrodomstico se puede representar con binariosEjemplo de aplicacinA continuacin, encontrars un interesante ejemplo de aplicacin a las ciencias humandas, en el cual los doctores Antonio M. BATTRO y Percival J. DENHAM recurren a los conceptos desarrollados en el lgebra de Boole como base terica de la investigacin "Hacia una inteligencia digital", publicada por la Academia nacional de educacin de Buenos Aires en el ao 2007:

Trataremos de ir de lo simple a lo complejo. Los instrumentosmusicales de teclado, por ejemplo, son una buena muestra deprogramar acciones complejas con los dedos. Tienen la propiedadde generar un sonido cuando se presiona una tecla. Esta esla opcin clic que usa el pianista. Con un solo dedo puede crearuna meloda, con dos ya puede producir acordes, es decir crearsonidos simultneos. Las combinaciones de sonidos aumentanen forma exponencial a medida que aumentamos el nmero dededos sobre el teclado y el nmero de teclas. Por lo tanto hay unespacio combinatorio que va aumentando, de una tecla a muchas,los llamaremos espacios clic unarios, binarios, ternarios,n-arios.

EL ESPACIO CLIC UNARIO. Como dijimos anteriormente, la alternativafundamental con un elemento (alternativa unaria) por s o porno, por A o no A (en smbolos, A v ~A), genera un reticulado deBoole que es la base lgica de todo el proceso de seleccin basadoen la opcin clic.El reticulado elemental de Boole tiene 22, cuatro nodos. Ennuestro ejemplo del piano, la opcin clic elemental, es decir tocaro no la tecla A, es el supremo del reticulado, que en el clculoproposicional se expresa como la disyuncin A v ~A, dondeA signi.ca tocar la tecla A y ~A signi.ca no tocar la tecla A.En cambio, el n.mo es la conjuncin A . ~A, que no tiene realizacinmusical posible pues es contradictoria, sera optar porambos opuestos conjuntamente. Se podra tambin interpretarcomo la meta-opcin de no tomar ninguna opcin, ni por A nipor ~A, de recusar este juego de opciones: algo equivalente acerrar el piano (o desconectar la computadora).

El experimento mayor/menor de Dehaene que hemos analizadoes un caso de espacio clic unario. Finalmente, las lneasentre nodos que componen la trama del reticulado pueden interpretarse como caminos heursticos, o sea como los caminospor el espacio de opciones que nos ofrece la situacin. Comose trata aqu del espacio ms restringido posible: una sola teclapara tocar o no tocar, estos caminos son triviales, hay dos queconvergen al supremo y dos que van hacia el n.mo. Pero veremosque cuando empieza a crecer el espacio de opciones loscaminos heursticos pueden ser de una enorme complejidad, einters.

EL ESPACIO CLIC BINARIO. Sigamos con el ejemplo del piano y delpianista. Con dos teclas A y B, la combinatoria aumenta a 24, esdecir hay 16 nodos en el reticulado que representa este conjuntode opciones. El nodo supremo, que representa todas las alternativasposibles para dos elementos A y B, se puede representarsimblicamente por cuatro opciones bsicas. La expresin formalde la opcin clic para dos elementos en el clculo lgico deproposiciones es una tautologa (es siempre verdadera):

(A . B) v (A . ~B) v (~A . B) v (~A . ~B).

En el ejemplo del teclado, el primer miembro de esta expresin(A . B) representa un acorde de dos notas; (A . ~B) signi.ca quese toca la tecla A y no se toca la tecla B; (~A . B), que no se tocala tecla A y se toca la tecla B; (~A . ~B), que no se toca ningunade las dos teclas (silencio).

EL ESPACIO CLIC TERNARIO. Como dijimos, para un espacio de opcionesde tres dimensiones (de.nido por tres elementos, A, B yC), el nmero de combinaciones aumenta signi.cativamente yobtenemos un reticulado con 256 nodos. Jean Piaget dedic unlibro a las operaciones ternarias, que l consideraba de.nitoriodel pensamiento operatorio formal del adolescente (Piaget 1952),pero este no es el sentido que le atribuimos aqu.Podemos trasladar el ejemplo de las opciones clic de un pianistaque tiene solo tres teclas disponibles, a la conducta de unapersona frente a una pgina de Internet donde existen solo tresbotones (o conos, frases subrayadas, imgenes, etctera), quepueden ser activados en forma independiente. En una pginaque tiene solo tres botones (A, B y C), hay ocho opciones clicposibles, a saber:

(A . B . C) v (~A . B . C) v (~A . ~B . C) v (~A . ~B . ~C) v(A . ~B . C) v (A . ~B . ~C) v (~A . B . ~C) v (A . B . ~C).

La combinatoria subyacente es inmensa, son 256 posibilidadeslgicas. La mente humana no necesita recorrerlas a todas,salvo en el caso de un anlisis formal como el que estamos haciendoahora. Basta con elegir una de las ocho opciones clic porvez en un sistema serial, como es lo habitual en las computadorascorrientes. Y el espacio clic puede seguir expandindoseinde.nidamente en nmero creciente de dimensiones. Pero seacual fuere la complejidad del sistema, todo se reduce siempre auna combinacin de opciones clic elementales. Estamos frentea un fenmeno propio del mundo digital, ante un espacio clic enexpansin inde.nida. Y aqu se encuentra el fundamento de laprodigiosa versatilidad y el enorme potencial de una inteligenciadigital.

Como pudimos apreciar, por medio de los conceptos desarrollados hasta ahora en el curso, logramos identificar varios conceptos y smbolos propios de la Lgica Matemtica utilizados en esta interesante propuesta.

Como lo expresamos en las pgina anterior, el lmite es la creatividad, ya que la lgica matemtica, constituye una herramienta que te ayudar en el camino de elaborar mejores razonamientos, y porque no, como en este ejemplo, servir de base para la construccin de mejores argumentos.

Identifica cual de las siguientes proposiciones es una proposicin correcta:

Su respuesta :

Los computadores son sistemas binarios.En los sistemas digitales, la implementacin de las funciones lgicas se realiza por medio de dispositivos que denominamos puertas o compuertas, los cuales son normalmente dispositivos electrnicos basados en transistores.En el lgebra Booleana, los estados Verdadero y Falso, pasan a ser representados por nmeros binarios de un dgito o bits, de all que el lgebra Booleana tambin se conozca como el lgebra del sistema binario.Identifica cual de las siguientes es una proposicin correcta:

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Un sistema cuyas variables tomen dos estados lgicos puede ser modelado y simplificado mediante el lgebra Booleana.

El lgebra Booleana es conocida como el lgebra del sistema decimal

Con el paso del tiempo la lgica digital de Shannon y John Von Neumann se transform en la Lgica Booleana

La lgica digital es producto de la aplicacin del lgebra Booleana a las ciencias humanas.

Caractersticas del Algebra BooleanaEl lgebra Booleana nos permite determinar si dos expresiones presentan o no la misma funcin, de esta manera, podemos elegir la funcin ms simplificada, un conocimiento que en el momento de implementar fsicamente una solucin a un problema lgico, resulta crucial, ya que una funcin lgica con menos variables permite reducir dinero y tiempo.

Uno de los mtodos especiales de simplificacin son los llamados mapas de Karnaugh, un sistema fcil y rpido que permite simplificar expresiones siempre y cuando usemos pocas variables.

Identifica las proposicin verdaderas

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Los mapas de Karnaugh constituyen una tcnica de simplificacin de funciones lgicas.

Disminuyendo un modelo fsico aumenta el tiempo de operacin.

El lgebra Booleana permite modelar un sistema mediante una funcin lgica.

Simplificar una funcin lgica permite reducir el modelo fsico,

Identifica las proposiciones verdaderas:

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Una de las tcnicas de simplificacin es conocida como Mapas de Karnaugh , una tcnica muy til para manejar pocas variables.

Un sistema de menos variables es un sistema ms econmico

Las tcnicas del lgebra Booleana permiten simplificar funciones lgicas, hacindolas ms complejas.

El sentido de determinar si dos expresiones presentan o no la misma funcin, es poder elegir la ms simple.

Tcnicas de simplificacinTcnicas de simplificacin

Existen varios mtodos para simplificar expresiones Booleanas:

Los mtodos de simplificacin automticos, mtodos que son implementados en un computador, por ejemplo el Quine-McCluskey Otra tcnica desarrollada en esta unidad es la de simplificar funciones mediante manipulaciones algebraicas, este sistema manual es un sistema lento y es difcil llegar a la representacin mnima de una funcin lgica. Los Mtodos grficos corresponden al mtodo desarrollado por Veitch-Karnaugh, un mtodo tambin manual, ms fcil que el mtodo algebraico pero aplicable a pocas variables.

Los mapas de K, son una tcnica para la simplificacin de expresiones lgicas, inventada por Veitch, y perfeccionada en 1950 por el fsico y matemtico Maurice Karnaugh en los laboratorios Bell, es un mtodo que aprovecha la capacidad del cerebro humano para trabajar con patrones en lugar de ecuaciones y otras formas de expresin analtica. Tambin son conocidos como los mapas de K, K-Mapa o KV-Mapa.

Bsicamente consisten en una cuadrcula, en la cual se representan las tablas de verdad. De manera tal que una tabla de verdad de 16 filas, tendr un correspondiente mapa de K con 16 cajones, cada uno de los cuales alberga un 0 o un 1, un valor que depender del valor que tome la funcin en cada fila.

Es importante anotar que las tablas de Karnaugh son prcticas para simplificar funciones hasta de 6 variables.

Entre las siguientes proposiciones identifica la proposicin verdadera.

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Los mtodos para simplificar expresiones Booleanas son tres, un mtodo grfico, otro mtodo mediante los mapas de K y un tercer mtodo Algebraico.

Los mapas de K constituyen una tcnica que aprovecha la capacidad del cerebro humano para trabajar con patrones en lugar de ecuaciones.

Los mapas de K fueron inventados por Karnaugh y desarrolados por Veitch

Los mapas de K tienen la ventaja de poder simplificar funciones Booleanas de ms de 6 variables.

Son mtodos de simplificacin de funciones lgicas:

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Los Mtodos grficos

Las manipulaciones algebraicas

Los Mtodos de Bell

Los mtodos de simplificacin automticos

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Son caractersticas de la tcnica de simplificacin por manipulaciones algebraicas:

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Es un sistema manual

Es un sistema para manejar pocas variables

Es un sistema lento

Es un sistema difcil para llegar a la expresin mnima

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