Text of ACT2025 - Cours 1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Premier cours
Page 1
ACT2025 - Cours 1 MATHMATIQUES FINANCIRES I Premier cours
Page 2
ACT2025 - Cours 1 CHAPITRE I Intrt et escompte
Page 3
ACT2025 - Cours 1 Lintrt et sa mesure L'intrt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera un prteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps.
Page 4
ACT2025 - Cours 1 Lintrt et sa mesure L'intrt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera un prteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps. C'est aussi ce que le prteur demande l'emprunteur titre de compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prt pendant la dure du prt.
Page 5
ACT2025 - Cours 1 Lintrt et sa mesure L'intrt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera un prteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps. C'est aussi ce que le prteur demande l'emprunteur titre de compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prt pendant la dure du prt. Les deux parties doivent se mettre d'accord sur ce montant.
Page 6
ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intrt demand: Le march, c'est--dire les taux d'intrt en vigueur
Page 7
ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intrt demand: Le march, c'est--dire les taux d'intrt en vigueur Le risque de dfaut de paiement de la part de l'emprunteur
Page 8
ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intrt demand: Le march, c'est--dire les taux d'intrt en vigueur Le risque de dfaut de paiement de la part de l'emprunteur L'inflation
Page 9
ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intrt demand: Le march, c'est--dire les taux d'intrt en vigueur Le risque de dfaut de paiement de la part de l'emprunteur L'inflation Autres conditions affrentes: disposition permettant l'emprunteur de rgler son prt plus tt,
Page 10
ACT2025 - Cours 1 Exemple 1: Alexandre emprunte 20 000$ la banque pour lachat dune automobile. Il rembourse ce prt en faisant 48 paiements mensuels de 450$ la fin de chaque mois. Lintrt pay par Alex la banque sera 48 X 450$ - 20 000$ = 1 600$. (Montant rembours) - (montant emprunt)
Page 11
ACT2025 - Cours 1 Exemple 2: Bobby emprunte 5 000$ Clo. Il rembourse ce prt en faisant deux paiements: 2 000$ aprs deux ans et 5 000$ aprs six ans. Lintrt pay par Bobby Clo sera (2000$ + 5000$) - 5000$ = 2000$. (Montant rembours) - (montant emprunt)
Page 12
ACT2025 - Cours 1 Une transaction financire banale est l'investissement d'une somme d'argent intrt. Il suffit de penser un dpt dans un compte dpargne la banque. Dans une telle situation, le montant initial est appel le principal ou le capital, le montant total reu aprs une priode de temps est appel la valeur accumule et la diffrence entre les deux: l'intrt.
Page 13
ACT2025 - Cours 1 Nous dsignerons par t: le temps coul depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une anne s'est coule depuis l'investissement initial. Cette unit de temps est appele la priode (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqu, celle- ci sera pour linstant d'une anne moins d'avis contraire. CONVENTION:
Page 14
ACT2025 - Cours 1 Nous dsignerons par t: le temps coul depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une anne s'est coule depuis l'investissement initial. Cette unit de temps est appele la priode (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqu, celle- ci sera pour linstant d'une anne moins d'avis contraire. Nous utiliserons le dollar comme unit montaire dans ce cours. Mais nous aurions tout aussi bien pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucune incidence pour les concepts prsents. CONVENTION:
Page 15
ACT2025 - Cours 1 Il existe plusieurs mesures de lintrt!
Page 16
ACT2025 - Cours 1 Par exemple, Taux effectif dintrt
Page 17
ACT2025 - Cours 1 Par exemple, Taux effectif dintrt Taux nominal dintrt
Page 18
ACT2025 - Cours 1 Par exemple, Taux effectif dintrt Taux nominal dintrt Taux effectif descompte
Page 19
ACT2025 - Cours 1 Par exemple, Taux effectif dintrt Taux nominal dintrt Taux effectif descompte Taux nominal descompte
Page 20
ACT2025 - Cours 1 Par exemple, Taux effectif dintrt Taux nominal dintrt Taux effectif descompte Taux nominal descompte Taux instantan dintrt ou force de lintrt
Page 21
ACT2025 - Cours 1 Lintrt peut aussi crotre de plusieurs faons.
Page 22
ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de lintrt: Intrt simple
Page 23
ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de lintrt: Intrt simple Intrt compos
Page 24
ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de lintrt: Intrt simple Intrt compos Escompte simple
Page 25
ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de lintrt: Intrt simple Intrt compos Escompte simple Escompte compos
Page 26
ACT2025 - Cours 1 Pour dfinir tous ces concepts, il nous faut premirement parler de la fonction de capitalisation.
Page 27
ACT2025 - Cours 1 Considrons l'investissement de 1$ de principal et dsignons alors par a(t) : le montant total accumul au temps t. Alors a(t) est la fonction de capitalisation.
Page 28
ACT2025 - Cours 1 Exemple 3: (Intrt simple) a(t) = (1 + it)
Page 29
ACT2025 - Cours 1 Exemple 4: (Intrt compos) a(t) = (1 + i) t
Page 30
ACT2025 - Cours 1 Exemple 5:
Page 31
ACT2025 - Cours 1 Exemple 6:
Page 32
ACT2025 - Cours 1 Proprits anticipes de la fonction de capitalisation: a(0) = 1
Page 33
ACT2025 - Cours 1 Proprits anticipes de la fonction de capitalisation: a(0) = 1 a(t) est une fonction croissante
Page 34
ACT2025 - Cours 1 Proprits anticipes de la fonction de capitalisation: a(0) = 1 a(t) est une fonction croissante a(t) est une fonction continue si l'intrt croit continment
Page 35
ACT2025 - Cours 1 Considrons l'investissement de k dollars de principal au lieu de 1 dollar et dsignons alors par A(t): le montant total accumul au temps t. Alors A(t) est la fonction daccumulation.
Page 36
ACT2025 - Cours 1 CONVENTION: Nous supposerons dans ce cours moins davis contraire que A(t) = k a(t) avec k = A(0)
Page 37
ACT2025 - Cours 1 Taux effectif dintrt pour la 1 e priode: Ce taux est le rapport du montant dintrt gagn pendant la premire priode sur le montant investi au dbut. En formule, nous obtenons o I 1 est lintrt gagn pendant la premire priode
Page 38
ACT2025 - Cours 1 Taux effectif dintrt pour la n e priode: Ce taux est le rapport du montant dintrt gagn pendant la n e priode sur le montant investi au dbut de la n e priode. En formule, nous obtenons o I n est lintrt gagn pendant la n e priode
Page 39
ACT2025 - Cours 1 Si nous connaissons les taux effectifs dintrt pour toutes les priodes, de la 1 e la n e, et le capital initial A(0), alors nous pouvons calculer le montant accumul la fin de la n e priode, i.e. A(n)
Page 40
ACT2025 - Cours 1 En effet, A(1) = A(0) (1 + i 1 )
Page 41
ACT2025 - Cours 1 En effet, A(1) = A(0) (1 + i 1 ) A(2) = A(1) (1 + i 2 ) = A(0) (1 + i 1 ) (1 + i 2 )
Page 42
ACT2025 - Cours 1 En effet, A(1) = A(0) (1 + i 1 ) A(2) = A(1) (1 + i 2 ) = A(0) (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) et ainsi de suite pour obtenir finalement A(n) = A(0) (1 + i 1 ) (1 + i 2 )... (1 + i n - 1 ) (1 + i n )
Page 43
ACT2025 - Cours 1 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif dintrt est de 5,75% pour la 1 e anne, 6% pour la 2 e anne, 5,5% pour la 3 e anne et 5% pour la 4 e anne. Si le principal investi est 8 000$, alors
Page 44
ACT2025 - Cours 1 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif dintrt est de 5.75% pour la 1 e anne, 6% pour la 2 e anne, 5.5% pour la 3 e anne et 5% pour la 4 e anne. Si le principal investi est 8 000$, alors le montant accumul aprs 4 ans est 8000(1 + 0.0575)(1 + 0.06)(1 + 0.055)(1 + 0.05) = 9 933.86$
Page 45
ACT2025 - Cours 1 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif dintrt est de 5,75% pour la 1 e anne, 6% pour la 2 e anne, 5,5% pour la 3 e anne et 5% pour la 4 e anne. Si le principal investi est 8 000$, alors le montant accumul aprs 4 ans est 8 000(1 + 0,0575)(1 + 0,06)(1 + 0,055)(1 + 0,05) = 9 933,86$ le montant dintrt gagn pendant la 3 e anne est A(3) - A(2) = 8 000(1.0575)(1.06)(1.055) - 8000(1.0575)(1.06) = 493.22$
Page 46
ACT2025 - Cours 1 Intrt simple: (Description) Considrons l'investissement de 1$ pour lequel le montant dintrt gagn chacune des priodes est constant, disons gal i.
Page 47
ACT2025 - Cours 1 Intrt simple: (Description) Considrons linvestissement de 1$ pour le
