ACT2025 - Cours 10

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Dixième cours

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Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période

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Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements

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Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements

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Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements• Dernier paiement gonflé

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Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements• Dernier paiement gonflé• Dernier paiement réduit

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Rappel:

Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

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Rappel:

Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

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Rappel:

Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

Nous avons aussi la formule

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est égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de

Rappel:

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est égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

Rappel:

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dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons

Rappel:

L’équation

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Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

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Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

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dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons

Rappel:

L’équation

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Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

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Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

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Nous allons maintenant considérer la question de déterminer le taux d’intérêt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumulée.Nous avons déjà vu pour ce type de problème la méthode de bissection. Nous allons maintenant considérer

la méthode de Newton-Raphson.

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Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode de bissection), cette question de déterminer le taux d’intérêt revient à déterminer les zéros d’une fonction f connue,

c’est-à-dire les

x tels que f(x) = 0.

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Dans cette méthode, nous débutons avec une première valeur x0 et nous construisons récursivement une suite:

x1, x2, …, xs, … . Si tout va bien cette suite convergera vers un zéro de f.

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Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:

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La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante.

Pour s = 0, 1, 2, …, nous avons

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Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur.

Exemple 1 :

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Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur.

Exemple 1 :

La dérivée de f(x) est

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Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante

Exemple 1: (suite)

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Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante

Exemple 1: (suite)

Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons

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Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons

Exemple 1: (suite)

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Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons

Exemple 1: (suite)

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Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons

Exemple 1: (suite)

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s xs

0 3

1 2.296296296

2 2.036587402

3 2.000653358

4 2.000000213

5 2.000000000

Exemple 1: (suite)

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La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x.

Remarque 1:

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La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x.La règle récursive est

Remarque 1: (suite)

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Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,

alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, …

et ainsi de suite.

Remarque 1: (suite)

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Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,

alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, …

et ainsi de suite.

Remarque 1: (suite)

Cette suite ne converge pas!

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Graphiquement nous obtenons

Remarque 1: (suite)

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Nous allons maintenant illustrer la méthode de Newton-Raphson pour résoudre l’exemple 4 du cinquième cours, c’est-à-dire le premier exemple utilisé pour illustrer la méthode de bissection.

Exemple 2 :

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Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 2 : (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7

| |4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000

Exemple 2 : (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

Donc nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7

| |4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000

Exemple 2 : (suite)

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La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est

Exemple 2 : (suite)

Si comme point de départ pour la méthode, nous prenions x0 = 6%, alors nous obtenons le tableau

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s xs

0 6%

1 5.232920189%

2 5.205343113%

3 5.205308625%

4 5.205308647%

5 5.205308669%

6 5.205308587%

Exemple 2 : (suite)

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Considérons maintenant la question de déterminer le taux d’intérêt d’une transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de

période, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuité.

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Nous voulons résoudre l’équation

alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i.

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Nous voulons résoudre l’équation

alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation:

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Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

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La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors

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Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale

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Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt.

Exemple 3 :

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Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt.

Exemple 3 :

Nous avons ainsi que L = 225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux d’intérêt par trimestre.

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La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors

Exemple 3 : (suite)

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La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors

Exemple 3 : (suite)

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En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant.

Exemple 3 : (suite)

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s xs 4xs (Taux nominal)

0 1.6260163% 6.5040652%

1 1.481978318% 5.927913272%

2 1.484619406% 5.9338477624%

3 1.484620352% 5.93681408%

4 1.484620497% 5.938481988%

5 1.484620377% 5.938481508%

6 1.484620430% 5.93848172%

7 1.484620287% 5.938481148%

Exemple 3 : (suite)

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Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i0 .

Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.

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Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée.

Première hypothèse:

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Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé.

Deuxième hypothèse:

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L’échéance moyenne approchée est

car

Justification heuristique de l’approximation:

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Nous pouvons considérer notre transaction comme une entrée au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2.

Justification: (suite)

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Nous notons par j: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons que l’intérêt est simple. Nous obtenons alors l’équation:

Justification: (suite)

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Nous obtenons ainsi facilement que

Ceci est notre choix de i0 .

Justification: (suite)

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Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Celle-ci est présentée dans le recueil de notes de cours.

Justification: (suite)