ACT2025 - Cours 14

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Quatorzième cours

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Rappel:

• Détermination de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

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Rappel:

• Détermination de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

• Détermination la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt

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Rappel:

• Détermination de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

• Détermination la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt

• Détermination la valeur accumulée d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt

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La valeur actuelle d’une annuité de début de période est

Rappel:

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La valeur accumulée d’une annuité de début de période est

Rappel:

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La valeur actuelle d’une rente perpétuelle de fin de période est

Rappel:

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La valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période est

Rappel:

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Considérons une annuité de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de l’annuité en période de capitalisation, par i le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m) le taux nominal d’intérêt équivalent à i

Rappel:

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La valeur actuelle de cette annuité de fin de période est

Rappel:

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La valeur accumulée de cette annuité de fin de période au dernier paiement (après n périodes de capitalisation) est

Rappel:

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Considérons une annuité de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de l’annuité en période de capitalisation, par i le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m) le taux nominal d’intérêt équivalent à i.

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Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par

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Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule.

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Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par

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Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule.

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Considérons une rente perpétuelle de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à i.

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Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette rente perpétuelle par

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Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où i(m) est le taux nominal d’intérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule.

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Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à i.

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Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule.

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La loterie nationale veut créer un nouveau jeu de hasard dans lequel le gros lot est de verser 1000$ par semaine à tout jamais. Si le taux d’intérêt est le taux effectif i = 5% par année, déterminons la valeur actuelle de ce gros lot. Le premier versement est fait lors de l’encaissement du billet gagnant.

Exemple 1:

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Nous voulons ainsi déterminer la valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période pour lequel le paiement est 1000$, les paiements sont à toutes les semaines et la période de capitalisation est une année.

m = 52

i = 5%

i(52) = 4.881305967%

Total des paiements pendant une période de capitalisation = 52 x 1000 = 52000

Exemple 1: (suite)

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La valeur actuelle recherchée est

Exemple 1: (suite)

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La valeur actuelle recherchée est

c’est-à-dire

Exemple 1: (suite)

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Pour conclure sur ce type d’annuités, celles pour lesquelles la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt. Nous allons considérer une

situation continue.

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Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le taux d’intérêt par période de capitalisation est le taux effectif d’intérêt i

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Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par

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Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où est le taux instantané d’intérêt équivalent à i.

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Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par

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Nous obtenons algébriquement la formule suivante:

où est le taux instantané d’intérêt équivalent à i.

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Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants;

• soit les paiements forment une suite arithmétique de la

forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q)

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Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants;

• soit les paiements forment une suite arithmétique de la

forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q)

• soit les paiements forment une suite géométrique: P,

(1 +k)P, (1 + k)2P, …, (1 + k)(n - 1)P

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Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de l’intérêt.

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Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusqu’au dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars.

Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0.

Nous noterons par L : la valeur actuelle de cette annuité.

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Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

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La valeur actuelle est alors

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Anne a emprunté 100 000$ qu’elle remboursera en faisant48 paiements. Ces paiements sont faits à la fin de chaquemois, le premier étant fait un mois après le prêt. Le premier paiement est de 1000$ et avec chaque paiementnous augmentons le paiement de X dollars jusqu’au 20e.Ensuite ceux-ci sont constants et égaux à (1000 + 19X). Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(12) = 6% par année capitalisé à tous les mois.

Déterminons X.

Exemple 2:

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Nous avons ainsi deux annuités, les 20 premiers paiements, qui forment une suite arithmétique, et les 28 derniers paiements, qui sont constants. Pour la seconde annuité, elle est différée. Il faudra ainsi escompter pour obtenir sa valeur actuelle.

Le taux d’intérêt par mois est (6%/12) = 0.5%

Exemple 2: (suite)

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La valeur actuelle de la première annuité est alors

Exemple 2: (suite)

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La valeur actuelle de la seconde annuité est

Exemple 2: (suite)

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L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est

Exemple 2: (suite)

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L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est

Exemple 2: (suite)

Nous obtenons que X = 91.80$

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Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

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Calculons maintenant la valeur accumulée à la fin de la ne période de cette annuité formant une suite arithmétique. Cette valeur est

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Bernard veut accumuler 200 000$ en faisant 20 dépôts àla fin de chaque semestre pendant 10 ans. Il dépose initialement P dollars et avec chaque semestre, il diminue le dépôt de (P/40) dollars. Déterminer P si le taux d’intérêt est i(2) = 8%. Le taux d’intérêt par semestre est (8%/2) = 4%.

Exemple 3:

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L’équation de valeur à la fin de la dixième année est

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeur à la fin de la dixième année est

Exemple 3: (suite)

Nous obtenons que P = 8450.66$

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Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

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Cléo fait des dépôts à la fin de chaque mois pendant 15 ans dans un placement rémunéré au taux nominal d’intérêt i(12) = 9%. La première année, les dépôts mensuels sont de 300$. Avec chaque année, les dépôts mensuels augmentent de 20$. Déterminons le montant accumulé X à la fin de la quinzième année.

Exemple 4:

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Il y a ainsi 15 x 12 = 180 dépôts. Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

Exemple 4: (suite)

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Ceci n’est pas exactement une annuité pour laquelleles paiements forment une suite arithmétique. Cependant si nous considérons les valeurs accumulées à la fin de chaque année, nous aurons une annuité dont les paiements formeront une suite arithmétique et de plus celle-ci sera équivalente à notre annuité avec dépôts mensuels.

Exemple 4: (suite)

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Le taux d’intérêt par mois est i(12)/12 = 9%/12 = 0.75%.

Pour la ke année, les paiements mensuels sont au montant de 300 + 20(k - 1). Il y a ainsi 12 dépôts de 300 + 20(k -1) dollars dont la valeur accumulée à la fin de l’année est

Exemple 4: (suite)

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Nous aurons ainsi une annuité ayant 15 dépôts annuels, un à la fin de chacun des 15 années, au montant

au lieu des 180 dépôts mensuels de notre première annuité. Cette seconde annuité est équivalente à la première.

Exemple 4: (suite)

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Cette seconde annuité a des paiements qui forment une suite arithmétique. En effet, nous aurons

et

Exemple 4: (suite)

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La période de paiement est une année et le taux effectif d’intérêt par année équivalent au taux nominal d’intérêt i(12) = 9% est 9.380689764%. Nous obtenons alors que la valeur accumulée est

c’est-à-dire 154 199.33$.

Exemple 4: (suite)