ACT2025 - Cours 17 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-septième cours

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Dix-septième cours

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Rappel:

• Règle des signes de Descartes

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Rappel:

• Règle des signes de Descartes• Critères pour l’unicité du taux de rendement

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Rappel:

• Règle des signes de Descartes• Critères pour l’unicité du taux de rendement• Réinvestissement

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Règle des signes de Descartes:

Soit un polynôme en x de degré n, i.e.

P(x) = an xn + … + a1 x + a0,

alors le nombre de racines réelles positives de P(x) est plus petit ou égal au nombre de changement de signes dans la sous-suite des coefficients non nuls de la suite:

an , an-1, …. , a1 , a0

De plus ce nombre de racines réelles positives a la même parité que ce nombre de changement de signes.

Rappel:

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Application de la règle des signes de Descartes:

Si, dans un flux financier, il n’y a qu’un seul changement de signes dans la suite des recettes nettes, alors le taux de rendement existe et est unique.

Rappel:

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Autre critère pour l’unicité: Si i0 est un taux de rendement d’une transaction pour laquelle les recettes nettes sont respectivement R0, R1, R2, ... , Rn et si

B0(i0) = R0,

B1(i0) = R0(1 + i0) + R1 ,

B2(i0) = R0(1 + i0)2 + R1(1 + i0) + R2, ... ,

Bk(i0) = R0(1 + i0)k + R1(1 + i0)k-1 + ··· + Rk-1(1 + i0) + Rk

pour k = 0, 1, 2, ... , (n - 1), ont tous les mêmes signes, alors le taux de rendement est unique et égal à i0 .

Rappel:

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Réinvestissement: (Première situation) Considérons un prêt de 1$ pour n périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt par période de capitalisation est i. L’intérêt est versé au prêteur à la fin de chaque période. Ce dernier les réinvestit au taux d’intérêt (taux de réinvestissement) j pour lequel la période de capitalisation coïncide avec celle de i et celle des paiements d’intérêt. Après les n périodes de capitalisation, le 1$ prêté est remboursé. Si r est le taux de rendement de cette transaction, alors

Rappel:

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Cette dernière situation est celle de l’option 2 de l’exemple 2 du 16e cours. Elle est aussi celle d’une obligation

négociable achetée au pair. Nous discuterons plus tard de la situation générale d’une obligation négociable.

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Si nous analysons cette dernière formule

nous avons:

(a)Si i = j, alors r = i = j .(b)Si i < j, alors i < r < j.(c)Si i > j, alors j < r < i .

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Dans cette situation, l’investisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux d’intérêt i par période de paiement de l’annuité. Les versements d’intérêt sont réinvestis au taux d’intérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de l’annuité.

Réinvestissement: (2e situation)

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La valeur accumulée par l’annuité et les versements d’intérêt à la fin de la ne période de paiement est


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En effet, le capital à la fin de la 1e période dans le placement est de 1$ et rapportera i dollars d’intérêt à la fin de la 2e période. Le capital à la fin de la 2e période dans le placement est de 2$ et rapportera 2i dollars d’intérêt à la fin de la 3e période. Le capital à la fin de la 3e période dans le placement est de 3$ et rapportera 3i dollars d’intérêt à la fin de la 4e période et ainsi de suite pour chaque période.


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Si nous représentons seulement les versements d’intérêt qui seront réinvestis au taux j, nous avons le diagramme suivant:


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Ainsi le valeur accumulée à la fin de la ne période par ces paiements d’intérêt sera

À cette valeur, il faut ajouter le total des n paiements de 1$, soit n dollars, pour obtenir la valeur accumulée totale.


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Conséquemment la valeur accumulée X à la fin de la ne période est


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Pour le calcul du taux de rendement de cette transaction, nous avons le diagramme suivant du flux financier:


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Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons l’équation


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Il est possible de déterminer r soit par la méthode de bissection, soit par la méthode de Newton-Raphson. Ce calcul peut aussi être effectué avec la calculatrice BA II Plus.

Notons que si i = j, alors r = i.


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Des versements de 5000$ sont faits à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Ces versements sont rémunérés au taux nominal d’intérêt i(4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois. Les paiements d’intérêt eux sont réinvestis au taux nominal de réinvestissement j(4) = 10% par année capitalisé à tous les 3 mois. Déterminons le montant accumulé à la fin de la 5e année, ainsi que le taux de rendement.

Exemple 1:

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Il y aura ainsi 20 versements de 5000$. Après le ke versement, le capital sur lequel l’intérêt sera versé à la fin du (k + 1)e trimestre est 5000 k dollars. Le taux d’intérêt par trimestre est 8%/4 = 2%. Conséquemment le montant d’intérêt versé à la fin du (k + 1)e trimestre est

(0.02) 5000 k = 100 k.

Exemple 1: (suite)

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Nous avons le diagramme suivant des versements d’intérêt

Exemple 1: (suite)

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Le taux de réinvestissement par trimestre est 10%/4 = 2.5%. Conséquemment le montant accumulé à la fin du 20e trimestre est

c’est-à-dire 122 178.63$.

Exemple 1: (suite)

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Le taux de rendement r par trimestre est alors déterminé par l’équation

c’est-à-dire que r = 2.0569875% par trimestre. Donc le taux nominal de rendement est 4(2.0569875%) = 8.22795028% par année capitalisé trimestriellement.

Exemple 1: (suite)

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Il est parfois nécessaire de

déterminer le taux de rendement

d’un fonds de placement pendant

une période, fonds dans lequel il y a

des dépôts, des retraits et des versements d’intérêt à intervalles irréguliers.

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Notons par

A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période;I: le montant d’intérêt gagné pendant la période; Ct: le montant net versé ou retiré du

fonds au temps t (Nous supposons que la durée d’une période est 1. De plus Ct > 0

s’il s’agit d’un dépôt et Ct < 0 s’il

s’agit d’un retrait);

(1 - t)it : le montant d’intérêt gagné par

1$ investi dans le fonds au temps t pendant le reste de la période;i: le taux de rendement du fonds.

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Nous avons ainsi une première équation:

B = A + C + I

où C = t Ct est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus.

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I = iA + t (1 - t)it Ct

Il nous faut faire quelques hypothèses si nous voulons déterminer le taux de rendement i . Nous supposerons premièrement que l’intérêt est composé pour la période, alors

(1 - t)it = (1 + i)(1 - t) - 1 .

Nous avons une seconde équation:

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I = iA + t Ct [(1 + i)(1 - t) - 1]

c’est-à-direI = iA + [t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C

Dans cette dernière équation, I, A, C et les Ct sont connus et nous pouvons déterminer i en considérant l’équation

iA + [t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0

En substituant, nous obtenons l’équation:

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En utilisant soit la méthode de bissection, soit la méthode de Newton-Raphson, nous pouvons déterminer i en cherchant le zéro de la fonction

f(x) = xA + [t Ct (1 + x)(1 - t) ] - C - I = 0

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Nous pouvons obtenir une approximation de i en faisant une autre hypothèse, à savoir que l’intérêt est simple plutôt que composé. Dans ce cas,

(1 - t)it = (1 - t)i.

En substituant dans l’équation I = iA + t (1 - t)it Ct ,

nous obtenons

I = iA + t (1 - t)i Ct

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Nous obtenons comme approximation de i que

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Nous pouvons interpréter cette formule de la façon suivante:

I est l’intérêt gagné dans la période et le dénominateur

est le montant moyen investi dans le fonds durant la période. Nous pourrions aussi donner une interprétation en utilisant l’échéance moyenne approchée des contributions nettes Ct .

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Nous pouvons obtenir une autre approximation de i en supposant que les contributions nettes sont uniformément

distribuées dans la période. Dans ce cas, nous pouvons nous ramener à une seule

contribution nette de C dollars faite à t = 1/2

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Nous obtenons comme approximation de i que

Donc

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Déterminons le taux de rendement d’une compagnie d’assurance pour une année dont les données financières sont les suivantes:Actif au début de l’année 165 000 000

Revenues des primes d’assurance 17 000 000

Revenues brutes d’investissement

10 000 000

Indemnités versées 6 000 000

Dépenses d’investissement 600 000

Autres dépenses 1 400 000

Exemple 2:

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A = 165 000 000; B = 165 000 000 + 17 000 000 + 10 000 000 - 6 000 000 - 600 000 - 1 400 000B = 184 000 000I = 10 000 000 - 600 000 = 9 400 000En utilisant la dernière formule approximative, nous obtenons que le taux de rendement est

Exemple 2: (suite)

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Déterminons le taux de rendement d’un fonds de placement. Le 1er janvier, la valeur du fonds de placement est de 12 500 000$. Le 1er avril, sa valeur est 13 200 000$ et 2 000 000$ est déposé. Le 1er juin, la valeur du fonds est 13 800 000$ et un retrait de 2 200 000$ est effectué. Le 1er novembre, la valeur du fonds est de 13 500 000$ et 1 000 000$ est déposé. Le 1er janvier de l’année suivante, le solde du fonds est de 15 000 000$.

Exemple 3:

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Dans cet exemple, A = 12 500 000, B = 15 000 000 et C = 2 000 000 - 2 200 000 + 1 000 000 = 800 000.Alors I = B - A - C = 1 700 000.Le taux de rendement est

Exemple 3: (suite)

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Donc le taux de rendement i est approximativement égal à 13.20%. Si nous utilisons la calculatrice pour déterminer le taux effectif de rendement en supposant de l’intérêt composé plutôt que de l’intérêt simple, nous obtenons 13.1940%.

Exemple 3: (suite)

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Il existe une autre mesure pour la performance d’un fonds: le taux de rendement i pondéré par le temps défini par l’équation

et C1 , C2 , ... , Cm sont les m contributions nettes dans le fonds, Bk est le solde dans le fonds avant la contribution Ck , B0 est le solde initial et Bm le solde final.

(1 + i) = (1 + j1)(1 + j2) · · · (1 + jm)

où

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Reprenons l’exemple 3 pour déterminer dans ce cas, le taux de rendement pondéré par le temps. Ce taux de rendement sera

à savoir 15.42%

Exemple 4:

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Il ne faut pas confondre ce taux de rendement i pondéré par le temps avec celui usuel, qui pourrait qualifié de pondéré par le capital. Le taux pondéré par le temps mesure mieux la performance

du fonds plutôt que les choix de l’investisseur. Ce sont deux mesures

distinctes.

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Le taux de rendement peut être utilisé de deux façons dans le processus de décision d’un investisseur.

1ère méthode: Un seuil pour le taux de rendement est fixé. Les alternatives d’investissement dont le taux de rendement est plus grand ou égal au seuil sont retenues. Celles-ci sont ensuite choisies en ordre décroissant de taux de rendement.

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Le taux de rendement peut être utilisé de deux façons dans le processus de décision d’un investisseur. 1ère méthode: Un seuil pour le taux de rendement est fixé. Les alternatives d’investissement dont le taux de rendement est plus grand ou égal au seuil sont retenues. Celles-ci sont ensuite choisies en ordre décroissant de taux de rendement.

2e méthode: Un taux de rendement acceptable i est fixé. La valeur actuelle nette P(i) pour chaque alternative au taux i est calculée. Seulement les alternatives pour lesquelles P(i) > 0 sont retenues. Celles-ci sont choisies en ordre décroissant des valeurs actuelles nettes

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CHAPITRE VIAmortissement et fonds

d’amortissement

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L’amortissement consiste à déterminer dans le remboursement d’un prêt la

portion d’intérêt et celle de capital de chacun des paiements.

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• Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû

Règles pour l’amortissement:

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• Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté


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• Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté

• Si le paiement est inférieur à ce montant d’intérêt, alors l’intérêt qui n’aura pas été versé s’ajoutera au capital à rembourser


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Considérons un prêt de 6427.93$ au taux effectif d’intérêt de 8% par année remboursé en 3 paiements. Le premier de 3000$ à la fin de la 2e année, le second de 4000$ à la fin de la 3e année et de 1000$ à la fin de la 5e année.

Exemple 5:

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Au premier paiement, l’intérêt dû est6427.93(1.08)2 - 6427.93 = 6427.93[(1.08)2 - 1] = 1069.61. Comme nous payons 3000$, alors l’intérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir 3000 - 1069.61 = 1930.39, rembourse une partie du capital prêté. Donc la portion d’intérêt du premier paiement est 1069.61$, la portion de principal remboursé est 1930.39$ et l’emprunteur ne doit plus après le 1er paiement au montant de 3000$ que 6427.93 - 1930.39 = 4497.54$

Exemple 5: (suite)

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Au deuxième paiement, l’intérêt dû est4497.54 (1.08) - 4497.54 = 4497.54 [(1.08) - 1] = 359.80. Comme nous payons 4000$, alors l’intérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir 4000 - 359.80 = 3640.20, rembourse une partie du capital prêté. Donc la portion d’intérêt du deuxième paiement est 359.80$, la portion de principal remboursé est 3640.20$ et l’emprunteur ne doit plus après le 2e paiement au montant de 4000$ que 4497.54 - 3640.20 = 857.34$

Exemple 5: (suite)

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Au troisième paiement, l’intérêt dû est857.34(1.08)2 - 857.34 = 857.34[(1.08)2 - 1] = 142.66. Comme nous payons 1000$, alors l’intérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir 1000 - 142.66 = 857.34, rembourse une partie du capital prêté. Donc la portion d’intérêt du troisième paiement est 142.66$, la portion de principal remboursé est 857.34$ et l’emprunteur ne doit plus après le 3e paiement au montant de 1000$ que 857.34 - 857.34 = 0$. Le prêt est donc complètement remboursé.

Exemple 5: (suite)

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Dans l’exemple 5, nous avons adopté une approche

rétrospective, mais nous aurions aussi pu résoudre ce problème par une approche

prospective.

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Après le premier paiement, l’emprunteur doit 4000(1.08)-1 + 1000(1.08)-3 = 4497.54$. Comme il devait 6427.93$, le principal remboursé est 6427.93 - 4497.54 = 1930.39$. Comme nous payons 3000$ au premier paiement, alors la portion d’intérêt du premier paiement est 3000 - 1930.39 = 1069.61$.

Exemple 5: (suite) Approche prospective

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Après le deuxième paiement, l’emprunteur doit 1000(1.08)-2 = 857.34$. Comme il devait 4497.54$, le principal remboursé est 4497.54 - 857.34 = 3640.20$. Comme nous payons 4000$ au deuxième paiement, alors la portion d’intérêt du deuxième paiement est 4000 - 3640.20 = 359.80$.


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Après le troisième paiement, l’emprunteur doit 0$. Comme il devait 857.34$, le principal remboursé est 857.34 - 0 = 857.34$. Comme nous payons 1000$ au troisième paiement, alors la portion d’intérêt du troisième paiement est 1000 - 857.34 = 142.66$.


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Nous pouvons présenter ces données sous la forme d’un tableau dans lequel nous indiquons la portion d’intérêt payé et la portion de principal versé dans chaque paiement. Nousobtenons alors la table d’amortissement suivante pour l’exemple précédent.

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Période (Année)

Paiement

Portion d’intér

êt

Portion de

principal

Solde restant du prêt

0 5000

1

2 3000 1069.61 1930.39 4497.54

3 4000 359.80 3640.20 857.34

4

5 1000 142.66 1079.94 0

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