MATEMÁTICAEquivalente a 7.º

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60

FuncionesContenidos16. Gráficos y tablas.

17. Funciones.

18. Función de

proporcionalidad directa.

19. Función de

proporcionalidad inversa.

3capítulo

Situación inicial de aprendizaje1. Observen la escena y respondan.

a. ¿De qué depende la cantidad de personas que podemos encontrar en cada puesto?b. Si una persona tiene $50 para comprar naranjas, ¿de qué depende la cantidad que puede comprar?c. Si solo se vende fruta por kilogramo y una señora gastó $36 en manzanas, ¿dónde compró?d. ¿Cuántos kilos de cada fruta compró una persona que gastó $38 en “Lo de Fermín”? Pueden ayudarse armando una tabla donde registren los precios de cada fruta según la cantidad.e. Modifiquen las situaciones anteriores para que tengan una única solución. Luego, respóndanlas.

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61

Gráficos y tablas

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es posible representar un punto a sabiendo que su abscisa es x = 3?b. ¿Se pueden usar diferentes escalas para cada eje de coordenadas?c. El punto a = (2;3), ¿coincide con el punto b = (3;2)?

test de comprensión

61

18 19 20 22 232116 1715 24

infoactiva

Nombre: Curso: Fecha: / /

Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

La recta horizontal se denomina eje de abscisas (eje x) y la vertical, eje de ordenadas (eje y).Cada punto queda determinado por un par ordenado de valores, donde el primero representa la

abscisa y el segundo, la ordenada.

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

ba

c

y

x

o

250

200

150

100

50

0 1 2 3 4 5

qp

y

x

Para representar estos puntos conviene tomar unidades distintas en cada eje.

o = (0;0) es el origen de coordenadas p = (1;150)a = (1;1) b = (2;0) c = (0;4) q = (5;200)

Los gráficos permiten leer con mayor facilidad los

datos de una situación. El siguiente gráfico muestra la variación de la temperatura a través de las horas.

• En el eje x se representó el tiempo (expresado en horas) y en el eje y, la temperatura (en °C).

• A las 13 horas se registró la mayor temperatura y a las 10 horas, la menor.

• Entre las 10 horas y las 13 horas la temperatura aumentó y, luego, empezó a descender.

• Entre las 16 horas y las 17 horas la temperatura se mantuvo constante.

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 10 11 12 13 14 15 16 17

tem

pera

tura

(en

°C)

tiempo (en horas)

//

Los datos del gráfico se pueden traducir a una tabla como la siguiente.

Tiempo (en horas) 10 11 12 13 14 15 16 17

Temperatura (en °C) 14 16 19 20 18 17 16 16

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1. Representen los puntos en el sistema de ejes cartesianos.

a = (3;1)b = (2;3)c = (6;7)d = (7;0)e = (0;9)f = (0;0)g = (9;5)h = (5;10)i = (1;6)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

x

2. Escriban las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el gráfico.

a = ( ; ) b = ( ; ) c = ( ; ) d = ( ; ) e = ( ; )

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

b

ea

cd

3. Representen los datos de la tabla en el sistema de ejes cartesianos.

x y

3 5

0 2

0 0

5 1

6 0

7 8

8 6

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

16 Gráficos y tablasACTIVIDADES

62

P12-3083-C03.indd 62 10/31/12 4:59 PM

4. Completen con el par ordenado que cumple con lo indicado y luego, representen.

a. La ordenada es 5 y la abscisa, 7.

a = ( ; ) b. La abscisa es 4 y su ordenada el doble.

b = ( ; ) c. Un punto que se encuentre sobre el eje de ordenadas y otro, sobre el eje de abscisas.

c = ( ; ) d = ( ; ) d. La abscisa vale la mitad que la ordenada.

e = ( ; ) e. El punto que cumple la condición anterior si y = 5.

f = ( ; )

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

5. Observen el gráfico y resuelvan.a. Completen la tabla.

Hora Temperatura (en °C)

1

16

7:30

24

b. ¿A qué hora la temperatura fue de 12 °C?

c. ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál fue dicha temperatura?

24

22

20

18

16

14

12

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

tem

pera

tura

(en

°C)

tiempo (en horas)

//

6. Observen el gráfico y respondan.Clara fue desde su casa al parque en bicicleta, tomó un refresco y regresó. El gráfico representa la distancia desde la casa de Clara al parque a medida que transcurrió el tiempo.

a. ¿Cuántos minutos...

• ... tardó en llegar al parque?

• ... estuvo en el parque?

• ... tardó en regresar a su casa? b. ¿Tardó más para ir al parque o para volver? Expliquen

la respuesta.

16 Gráficos y tablasACTIVIDADES

63

Nombre: Curso: Fecha: / /

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

dist

anci

a (e

n cu

adra

s)

tiempo (en minutos)

P12-3083-C03.indd 63 10/31/12 4:59 PM

64

16 Gráficos y tablasACTIVIDADES

64

7. Lean atentamente y respondan.Para controlar el sano crecimiento de su perra India, Abigail decidió anotar su peso durante 360 días.

a. ¿Cuánto pesaba India al nacer?

b. ¿Cuántos días tenía India cuando pesa-ba 3 kg?

c. ¿Cuál era el peso de la perra a los cua-tro meses?

d. ¿En algún período la perra mantuvo un peso constante? En caso de ser afirmati-vo, indiquen en qué período.

6

5

4

3

2

1

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

peso

(en

kg)

edad (en días)

8. Observen y respondan.Una empresa registró mediante el siguiente gráfico sus ingresos de los últimos 18 meses.

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

ingr

esos

(en

mil

es d

e $)

meses

a. Transcriban en la siguiente tabla los ingresos de la empresa en los seis últimos meses.

Mes

Ingreso (en $)

b. ¿En qué mes se registró el mayor ingreso? ¿Y el menor?

c. ¿En qué momento del año los ingresos de la empresa descienden? d. Completen la tabla, sabiendo que en los cuatro meses siguientes, las ganancias de la empre-sa aumentaron $2 500 por mes.

Mes 22

Ingreso (en $)

e. Continúen el gráfico con los datos obtenidos en el punto anterior.f. Si en los meses 23 y 24 se registró un ingreso de $22 500 cada mes, ¿el ingreso aumentó o disminuyó con respecto al mes 22? Representen estos datos en la gráfica.

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65

17Funciones

Nombre: Curso: Fecha: / /

65

16 19 20 21 232218 2524

Cada una de las siguientes gráficas representa una relación entre dos variables.

30

24

18

12

6

0 1 2 3 4 5

y

x

prec

io (

en $

)

paquetes de salchichas

32

24

16

8

0 100 200 300 400

y

x

prec

io (

en $

)

cantidad de jamón (en g)

En el gráfico se relaciona la cantidad de paque-tes de salchichas con su precio. Los puntos apare-cen aislados porque se usan cantidades enteras (no se fraccionan).

En el gráfico se relaciona la cantidad de jamón con su precio. El gráfico está formado por una línea recta porque el jamón se puede vender en distintas cantidades.

Los dos gráficos corresponden a relaciones que son funciones.

Una relación es función cuando para todo valor representado sobre el eje x le corresponde un único valor representado sobre el eje y.

Para una determinada cantidad (variable independiente) existe un único precio (variable dependiente). Se dice que el precio depende de la cantidad o que el precio está en función de la cantidad.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si un mismo valor de x tiene tres valores de y distintos, ¿se puede decir que es función?b. Si a cada valor de la variable independiente le corresponde por lo menos un valor de la variable dependiente, ¿es función?c. ¿El gráfico de una recta siempre es función?d. La variable independiente, ¿se representa en el eje horizontal?

test de comprensión

infoactiva

(variable

está en función

P12-3083-C03.indd 65 10/31/12 4:59 PM

17 FuncionesACTIVIDADES

66

9. Escriban tres ejemplos de relaciones que sean función.

10. Marquen una X en los gráficos que corresponden a funciones. Expliquen la respuesta.a. c. e. y

x

y

x

y

x

b. d. f.

y

x

y

x

y

x

11. Resuelvan.a. Completen la tabla teniendo en cuenta la medida del lado de un pentágono regular y su perímetro.

Lado (en cm) 3 5

Perímetro (en cm) 5 10

b. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.

c. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico anterior? ¿Por qué?

d. La relación entre los lados de un pentágono regular y su perímetro, ¿es función? ¿Por qué?

P12-3083-C03.indd 66 11/2/12 11:49 AM

2418Función de proporcionalidad directa

Nombre: Curso: Fecha: / /

67

17 20 21 22 2319 2625

1. Respondan y expliquen sus respuestas.a. Si las dos variables aumentan o disminuyen, ¿se puede decir que son directamente pro-porcionales?b. En una relación de proporcionalidad directa, si una variable aumenta el doble, ¿cuánto debe aumentar la otra?c. Si se multiplica por 1 __ 3 la variable independiente, ¿por cuánto se debe multiplicar la variable dependiente para que se mantenga una relación de proporcionalidad directa?d. A partir de los datos de una tabla, ¿cómo se puede identificar si se trata de una relación de proporcionalidad directa?

test de comprensión

infoactiva

Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades es constante.El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k).

El perímetro de un cuadrado es directamente proporcional a la medida del lado.

x: lado del cuadrado (en cm)

y: perímetro(en cm)

1 4

2 8

4 : 1 = 4

8 : 2 = 4k = 4 (constante de proporcionalidad)

• Lenguaje coloquial: el cociente entre dos cantidades correspondientes es igual a 4.• Lenguaje simbólico: y : x = 4, entonces y = 4 . x

fórmula de la función

La representación gráfica de cantidades directa-mente proporcionales da como resultado un conjun-to de puntos alineados sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas.

8

4

0 1 2

y

x

perí

met

ro (

en c

m)

lado (en cm)

y = 4 . x

P12-3083-C03.indd 67 10/31/12 4:59 PM

18 Función de proporcionalidad directaACTIVIDADES

68

12. Escriban tres ejemplos de que sean directamente proporcionales.

13. Marquen con una X las relaciones que son directamente proporcionales.

a. b. c. d.

x y

2 5

4 7

6 9

x y

3 12

7 28

10 40

x y

10 5

30 15

40 20

x y

5 2

10 4

16 6

14. Resuelvan.a. Completen la tabla para que las variables se relacionen en forma directamente proporcional. Luego, representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos.

x y

49

14

4 28

5

6

9

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

15. Observen el gráfico y respondan.El siguiente gráfico representa el precio de un postre helado según su peso.

a. Completen la tabla.

Peso (en gramos) Precio (en $)

10

1 000

60

1 750

b. Las variables, ¿se relacionan de forma directamente proporcional? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

prec

io (

en $

) 80

70

60

50

40

30

20

10

0

250

500

750

1 00

0

1 25

0

1 50

0

1 75

0

2 00

0

peso del postre (en g)

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21 232219Función de proporcionalidad inversa

Nombre: Curso: Fecha: / /

69

24 25 26 2720

Dos variables se relacionan de forma inversamente proporcional cuando el producto entre los valores que se corresponden es constante. A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k).

En la siguiente tabla se registraron algunos valores que corresponden a la base y la altura de rectángulos de 24 cm2 de área.

Base (en cm) Altura (en cm)

2 12

3 8

4 6

2 . 12 = 24

3 . 8 = 24

4 . 6 = 24

k = 24 (constante de proporcionalidad)

El producto entre dos cantidades correspondientes es igual a 24.

x . y = 24, entonces y = 24 ___ x .

Cuando los valores de una variable aumentan, los de la otra variable disminuyen en la misma proporción.

La representación gráfica de variables inversamente proporcionales da como resultado una curva denominada hipérbola.

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6

y

x

altu

ra (

en c

m)

base (en cm)

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. En una relación de proporcionalidad inversa, si una variable aumenta al doble, ¿qué suce-de con la otra?b. En el gráfico de una función de proporcionalidad inversa, ¿los puntos están alineados?c. Si en una función, una variable aumenta y la otra disminuye, ¿se puede decir que las variables son inversamente proporcionales?d. Si el producto entre la variable dependiente y la independiente es cero, ¿se puede decir que se trata de una relación inversamente proporcional?

test de comprensión

infoactiva

18

P12-3083-C03.indd 69 10/31/12 4:59 PM

70

19 Función de proporcionalidad inversaACTIVIDADES

70

16. Escriban tres relaciones que sean inversamente proporcionales.

17. Marquen con una X las tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y hallen la constante de proporcionalidad. Luego, representen los datos de esas tablas en un siste-ma de ejes cartesianos.

a. b. c. d.

x y

1 3

3 1

15 5

x y

2 15

3 10

5 6

x y

2 63

3 42

9 14

x y

4 6

7 4

10 2

18. Lean atentamente y respondan. Laura está organizando un festival de danzas árabes. Para ello, alquiló una sala en el complejo cultural Plaza. Como los gastos a cubrir por el alquiler del lugar son de $8 000, deberá cobrar la entrada en función de la cantidad de butacas que pueda ubicar en la sala.

a. Completen la tabla.

Cantidad de butacas de la sala 125 320

Valor de la entrada 40

b. Las variables, ¿se relacionan en forma inversamente proporcional? Si es así, escriban la cons-

tante de proporcionalidad. c. Representen en sus carpetas los valores de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.

P12-3083-C03.indd 70 10/31/12 4:59 PM

7171

Integracióncapítulo

316.17.18.19COnTEnIDOS

Nombre: Curso: Fecha: / /

19. Representen los siguientes puntos en un sis-tema de ejes cartesianos.a = (2;6) c = (5;18) e = (8;9)b = (6;0) d = (7;14) f = (12;5)

20. Observen el gráfico y escriban las coorde-nadas de cada punto.

300

250

200

150

100

50

0 1 2 3 4 5 6 7

y

x

a

d

b

c

e

21. Ubiquen el vértice que falta para que se forme la figura indicada en cada caso.

a. Cuadrado.

10

6

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

d c

a

b. Romboide.

7

5

3

1

0 0,5 2 4

y

x

d

c

a

c. ¿Las soluciones son únicas? Si no lo son, indiquen otra posibilidad.

22. Resuelvan.a. Indiquen cuál o cuáles de los siguientes puntos están bien representados en el siste-ma de ejes cartesianos.a = (2;1) c = (7;7) e = (7;3) b = (5;6) d = (7;2) f = (8;6)

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

e

c f

b

a

d

b. Representen correctamente los puntos mal ubicados.

23. Lean atentamente y respondan.Una enfermera registró la temperatura de un paciente en el siguiente cuadro.

Hora Temperatura (en °C)

7:00 38

8:00 37

9:00 37

10:00 38

11:00 39

12:00 38,5

13:00 39

a. Representen los valores de la tabla en los ejes cartesianos.b. ¿La relación es función? Expliquen la res-puesta.c. ¿Se pueden unir los puntos del gráfico? ¿Por qué?

24. Escriban ejemplos según la condición.a. Dos relaciones directamente proporcionales.b. Dos relaciones inversamente proporcionales.c. Dos relaciones no proporcionales.

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7272

25. Resuelvan.a. Completen la tabla para que sea una fun-ción de proporcionalidad directa. Indiquen la constante de proporcionalidad.

Peso (en kg) 2 5 9 10

Precio (en $) 7 24,50

b. Representen los datos en un gráfico carte-siano.

26. Lean atentamente y resuelvan.Para el cumpleaños de Julia, su mamá está preparando un gran bizcochuelo y necesita tres sobres de preparación.

3 cucharadas de leche tibia.2 huevos.5 cucharadas de agua.200 g de manteca derretida.

por cada sobre de preparación

a. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita la mamá de Julia?b. Las variables ¿se relacionan en forma direc-tamente proporcional? Si es así, indiquen cuál es su constante.

27. Resuelvan.Gabriel compró las entradas para él y sus cinco amigos, para asistir a un recital.

a. Si pagó $900 por las seis entradas, ¿cuán-to dinero le tiene que dar cada amigo?b. Completan la tabla.

Cantidad de entradas Dinero que se debe abonar

2

450

5

6 900

c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? d. Representen la información en un gráfico.

28. Resuelvan.Héctor, el dueño de una estancia, se irá de va-caciones por 14 días y deja a Úrsula a cargo de sus cinco caballos. Respetando la dieta indicada por el veterinario, la cantidad de alimento que le deja alcanza para esas dos semanas.

a. Si antes de irse, Héctor trae dos caballos más, pero no agrega comida, ¿para cuántos días alcanzará?b. Si solo hubiera dos caballos para alimentar con la misma cantidad de comida, ¿para cuántos días alcanzará el alimento?c. ¿La relación es una función de proporciona-lidad directa o inversa?d. Completen la siguiente tabla de acuerdo con la información anterior.

Caballos Días para alimentarlos

1

2

5 14

7

5

e. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.

29. Indiquen si las siguientes relaciones son directamente proporcionales (DP), inversamente proporcionales (IP) o no proporcionales (nP).

a. La cantidad de harina y de pizzas que se

pueden hacer con ella.

b. La cantidad de agua para regar una planta

y su crecimiento.

c. La cantidad de agua que arroja una man-

guera por minuto y el tiempo que tarda en

llenar una piscina.

d. La superficie representada de una provincia

en el mapa y los kilómetros cuadrados que

abarca dicha provincia dentro del territorio

nacional.

72

P12-3083-C03.indd 72 10/31/12 4:59 PM

73

Autoevaluación 330. Observen el gráfico y respondan.Mariana realizó una excursión a las termas de Cacheuta. El siguiente gráfico representa la excursión desde que partió del hotel hasta su regreso, en función del tiempo.

18016014012010080604020

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

dist

anci

a (e

n km

)

tiempo (en h)

a. ¿Cuántas horas estuvo fuera del hotel?

b. ¿Cuánto tiempo estuvo en las termas?

c. ¿A cuántos kilómetros del hotel se encontraban las ter-

mas de Cacheuta?

d. ¿Realizaron alguna parada en el camino? ¿A la ida o a la

vuelta?

e. ¿Cuántas horas duró el viaje de regreso?

31. Resuelvan.Pablo tiene varias peceras con forma de prisma. Todas miden 40 cm de largo y 20 cm de ancho,

pero distintas alturas. La primera mide 60 cm de altura; la segunda 50 cm y la tercera, 70 cm.a. ¿La altura de cada pecera y su volumen son variables directamente proporcionales? ¿Por qué?

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?

c. Completen la siguiente tabla y luego representen la información en un sistema de ejes cartesianos.

Altura de la pecera (en cm) 40 70

Volumen de la pecera (en cm3) 40 000 48 000

32. Piensen y resuelvan.En la reunión de consorcio del edificio de Ana, decidieron cambiar la decoración del frente. El costo de la reforma es de $2 100 y será dividido entre todos los propietarios.

a. Si en total son 14 los propietarios, ¿cuánto dinero deberá abonar cada uno? ¿Y si fueran 30 pro-pietarios?

b. Las variables, ¿se relacionan en forma directa o inversamente proporcional? Indiquen la cons-tante de proporcionalidad.

c. Completen la tabla teniendo en cuenta la información de los ítems anteriores y representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos.

Cantidad de propietarios 14 30

Monto a pagar (en $) 100 75

73

capítulo

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