ACTIVIDAD 2 SEGUNDA PARTECONRADO CAMPTELLA

FUNCION LOGARITMO

Definición:Una función Logarítmica es aquella que posee la forma:

f ( x )=loga(x )

Donde a es la base de la función. La función logarítmica es la inversa de la exponencial. Entonces:

log a(x)=b↔ab=x

Con: a=base∧b=exponente.

Si la base a no se aclara en el logaritmo se asume que el logaritmo es en base 10. Entonces:

log (x)=log10(x)

El logaritmo neperiano asume la constante e como base. Luego:

ln (x)=loge (x)

Propiedades

La función logarítmica sólo existe para valores positivos de x. Dominio: (0 ,+∞). Imagen: (−∞,∞) log a1=0 para cualquier base a.

log aa=a para cualquier base a.

La función logarítmica es continua. La función logarítmica es creciente para a>1. La función logarítmica es decreciente para a<1.

GráficosEl siguiente gráfico muestra la función logaritmo en base 10 (rosado) contra su inversa, la función exponencial (verde).

Graficamos la función f ( x )=log10(x+c) para c=−2,−1,0,1,2

Graficamos la función logarítmica para distintos valores de la base a. a=12,14,2,4,10

Propiedades algebraicas:

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.log a ( x . y )=loga ( x )+loga( y)

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

log a( xy )=loga ( x )−loga( y )

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

log a (xn )=n loga ( x )4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice

de la raíz.

log a ( n√x )=1nlog

a

( x )

5. Cambio de base:

log a ( x )=logb ( x )logb (a )

Aplicaciones

Intensidad del Sonido:Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de un sonido, llamadas belio y decibelio, son en realidad relativas y de naturaleza logarítmica. Así, un decibelio se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia.

Intensidad Sísmica:Las escalas de medida de la intensidad de los terremotos más comúnmente utilizadas son de tipo logarítmico. Así, la escala de Richter utiliza una escala logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no se corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un seísmo, sino exponencial: un terremoto de grado seis es diez veces menos intenso que uno de grado siete, y cien veces menos que uno de grado ocho.

Gráfica de Funciones Exponenciales:Cuando un fenómeno físico o social responde a una ley exponencial, su representación en una gráfica se complica, ya que para valores relativamente bajos de la variable independiente se obtiene un crecimiento descomunal de la variable dependiente... y se termina el espacio de la gráfica. En cambio, si se emplean escalas logarítmicas para la variable dependiente, la escala se reduce de forma exponencial, y puede tenerse una visión gráfica asequible de un intervalo más amplio de los valores de la función que ilustra el fenómeno.

Datación de vestigios Arqueológicos:Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo, siguiendo una ley exponencial

del tipo R=R0 e−kt, siendo R0 la cantidad de sustancia inicial, k una constante característica

del elemento químico de que se trata, y R la cantidad en un instante t. Para datar restos arqueológicos se usa con frecuencia el método del isótopo C-14 (carbono 14), que resuelve la anterior ecuación mediante la aplicación de logaritmos, de manera que, conocida la constante k del carbono 14 y el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducir su cantidad inicial a la mitad) de este elemento, es posible determinar el tiempo t.