Actividad 39 - Funciones

Hallar la función lineal que permite obtener la temperatura de un cuerpo en

grados Fahrenheit (F) conocida la temperatura del mismo en grados Celsius (C),

si se sabe que el agua se congela a 0 ºC (o 32 ºF) y hierve a 100 ºC (o 212 ºF).

Vamos a considerar que el instrumento para medir la temperatura del cuerpo

puede medir temperaturas de hasta 2000 ºC.

a) Calcular a cuántos grados Fahrenheit equivalen 5 ºC.

b) ¿Qué variación en grados Fahrenheit corresponde a una variación de 5 ºC?

c) Graficar la función, indicar cuál es la pendiente y qué representa.

d) ¿Qué intervalo sobre la escala Fahrenheit corresponde al rango de

temperaturas 20 ≤ C ≤ 30?

e) Hallar y graficar la función inversa. ¿Qué expresa esta función?, ¿la

pendiente?

f) La Sra. Amalita González del Cerro compró un juego de ollas importadas.

En el prospecto indica que las mismas no pueden someterse a temperaturas

superiores a los 194 ºF. La Sra. tiene un grave dilema, no sabe si en estas

ollas tan lindas puede hervir agua: ¿la ayudamos?

Actividad 39 - Funciones

Hallar la función lineal que permite obtener la temperatura de un cuerpo en

grados Fahrenheit (F) conocida la temperatura del mismo en grados Celsius (C),

si se sabe que el agua se congela a 0 ºC (o 32 ºF) y hierve a 100 ºC (o 212 ºF).

La actividad nos pide que hallemos la función lineal que permite obtener la

temperatura de un cuerpo en grados Fahrenheit (F) conocida la temperatura del

mismo en grados Celsius (C).

Hallar «la función» implica hallar:

1) La ley

2) El dominio

3) El codominio

Actividad 39 - Funciones

Primero vamos a definir quién es la variable independiente y quién la variable

dependiente.

Sabemos que se trata de una función lineal que permite obtener la temperatura

de un cuerpo en grados Fahrenheit (F) conocida la temperatura del mismo en

grados Celsius (C).

Podemos reescribir esto como: una función lineal que permite obtener la

temperatura de un cuerpo en grados Fahrenheit (F) en función de la

temperatura del mismo en grados Celsius (C).

Entonces,

Variable independiente: temperatura del cuerpo en grados Celsius → C

Variable dependiente: temperatura del cuerpo en grados Fahrenheit → F

Si llamamos a la función buscada T, nos queda T(C) = F

Actividad 39 - Funciones

Ahora podemos hallar la función, es decir, la ley, el dominio y el codominio:

1) La ley

En base a la información proporcionada en el enunciado, podemos dar la ley de

la función algebraicamente, es decir, con una fórmula.

Por lo que ya vimos, la fórmula tendrá esta forma: T(C) = F

Se trata de una función lineal, sabemos que las funciones lineales tienen esta

forma:

f(x) = mx + h ; m , h ∈ R

- Gráfica f = recta (si el dominio es el conjunto de los reales)

- m = pendiente de la recta, gráfica de f

- h = ordenada al origen (ordenada del punto de intersección de la

recta, gráfica de f, con el eje y)

Actividad 39 - Funciones

1) La ley

Entonces, para nuestro caso, podemos escribir:

T (C) = m C + h

¿Cómo hallamos m y h? Usando la información que tenemos en el enunciado:

« se sabe que el agua se congela a 0 ºC (o 32 ºF) y hierve a 100 ºC (o 212 ºF) »

C = 0 ⇒ F = T(0) = 32 C = 100 ⇒ F = T(100) = 212

𝐏𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟐 ∈ 𝐠𝐫𝐚𝐟 𝐓 𝐏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟏𝟐 ∈ 𝐠𝐫𝐚𝐟 𝐓

Actividad 39 - Funciones

1) La ley

Recordando , la ordenada al origen «h», es la ordenada del punto de intersección

de la recta con el eje y. Si a ese punto de intersección lo llamamos P, podemos

escribir las coordenadas de P así: P(0,h)

En la diapositiva anterior vimos que cuando C = 0 ⇒ F = T(0) = 32

Entonces, el punto de intersección P en este caso es 𝐏𝟏(0,32) ⇒ h = 32

Unidades de h: ºC

Actividad 39 - Funciones

1) La ley

Ahora nos falta hallar la pendiente m. Sabemos que m = Δ𝑦

Δ𝑥 m =

Δ𝐹

Δ𝐶

Δ𝐹 = 𝐹2 − 𝐹1 = 212 − 32 = 180

Δ𝐶 = 𝐶2 − 𝐶1 = 100 − 0 = 100

m =Δ𝐹

Δ𝐶=

𝐹2−𝐹1

𝐶2−𝐶1=

180

100=1,8 =

𝟗

𝟓

renombrando las

variables

Vimos que:

C = 0 ⇒ F = T(0) = 32 ⇒ C1 = 0 y F1 = 32

C = 100 ⇒ F = T(100) = 212 ⇒ C2 = 100 y F2 = 212

Entonces:

m = Δ𝐹

Δ𝐶⇒ unidades de m: ºF / ºC

Actividad 39 - Funciones

1) La ley

Con los valores de m y h hallados podemos escribir la ley de la función:

T(C) = 1,8 C + 32 = F

2) El dominio

Para determinar el dominio de la función T consideramos primero las

cuestiones propias de la fórmula, vemos que no hay ninguna restricción en los

valores que puede tomar C, es decir que C puede tomar cualquier valor real.

Cuestiones referentes a las variables y al modelo: C representa la temperatura

en grados Celsius de un cuerpo. De acuerdo a la escala Celsius, la mínima

temperatura que podemos encontrar es de -273,16 ºC. Por lo tanto, tenemos

que aplicar una restricción al dominio, debe ser C ≥ -273,16

Actividad 39 - Funciones

2) El dominio

Cuestiones referentes a las variables y al modelo: Hay que considerar las

posibles restricciones de la variable F, ya que podríamos tener que restringir

aún más a la variable C

F representa la temperatura de un cuerpo en grados Fahrenheit, y de

acuerdo a la escala Fahrenheit, debe ser F ≥ -459,67

No obstante, si reemplazamos el menor valor que puede tomar C =(-273,16)

en la fórmula de T:

T(-273,16) = 1,8. (-273,16) + 32 = -459,67

Como la pendiente de la función T es positiva, la función T es estrictamente

creciente en su dominio, y por lo tanto no puede tomar un valor menor

que -459,67.

Es decir, que no tenemos que añadir otra restricción al dominio en cuanto a

los valores que puede asumir la variable F, alcanza con la restricción hecha

para C.

Actividad 39 - Funciones

2) El dominio

Cuestiones referentes a las variables y al modelo: en el enunciado nos dicen

que el máximo de temperaturas que podemos medir es de 2000 ºC.

Teniendo en cuenta todo este análisis, el dominio nos queda así:

Dominio T = [-273,16 ; 2000]

3) El codominio

Podemos tomar: Codominio T = R

Damos la función T:

Ley: T(C) = 1,8 C + 32

Dominio T = [-273,16 ; 2000]

Codominio T = R

Actividad 39 - Funciones

a) Calcular a cuántos grados Fahrenheit equivalen 5 ºC.

T(C) = 1,8 C + 32

Si C = 5 ºC ⇒ T(5) = 1,8 . 5 + 32 = 41 ºF

5 ºC equivalen a 41 ºF

b) ¿Qué variación en grados Fahrenheit corresponde a una variación de 5 ºC?

Sabemos que m = 𝚫𝐅

𝚫𝐂

𝚫𝐅 representa la variación en grados Fahrenheit

𝚫𝐂 representa la variación en grados Celsius

En este caso se nos pide hallar 𝚫𝐅

Despejamos 𝚫𝐅 de la expresión de m: 𝚫𝐅 = 𝚫𝐂 . m

Actividad 39 - Funciones

𝚫𝐅 = 𝚫𝐂 . m Una variación de 5 ºC podemos escribirla como: ΔC = 5 ºC

Sabemos que m = 1,8 ºF / ºC

Entonces: ΔF = 5 ºC . 1,8 ºF / ºC

𝚫𝐅 = 9 ºF

Una variación de 9 ºF corresponde a una variación de 5 ºC

c) Graficar la función, indicar cuál es la pendiente y qué representa.

Actividad 39 - Funciones

Sabemos que la gráfica de una función lineal es una recta cuando el dominio es

el conjunto de los reales.

En este caso, el dominio de la función es [-273,16 ; 2000], por lo tanto la gráfica

será un segmento.

Para hacer la gráfica de esta función, nos alcanza con encontrar dos puntos que

pertenezcan a la misma. En este caso, como se trata de un segmento, nos

conviene buscar los puntos extremos:

C = -273,16 ⇒ T(-273,16) = F = -459,67 ⇒ 𝐏𝟑(-273,16;-459,67) ϵ graf T

C = 2000 ⇒ T(2000) = F = 3632 ⇒ 𝐏𝟒(2000;3632) ϵ graf T

Marcamos estos dos puntos en un sistema de referencia, y así podemos obtener

la gráfica de la función T.

Actividad 39 - Funciones

𝐏𝟑

𝐏𝟒 T

La pendiente m es igual a 1,8 ºF / ºC.

La pendiente m representa el cambio o la variación de grados Fahrenheit por

cada cambio unitario de grados Celsius de la temperatura del cuerpo.

En otras palabras, «por cada variación unitaria (de 1 ºC) de grados Celsius de

la temperatura del cuerpo, hay una variación de 1,8 grados Fahrenheit».

Podemos pensar también, que cada vez que la temperatura del cuerpo sube en

1 ºC, su temperatura en grados Fahrenheit sube 1,8 ºF.

Actividad 39 - Funciones

Si hacemos zoom en el gráfico de T:

Actividad 39 - Funciones

Vemos que por cada variación unitaria (de 1 ºC) de grados Celsius de la

temperatura del cuerpo, hay una variación de 1,8 grados Fahrenheit

C = 1

F = 1.8

37.4

35.6

C = 1

F = 1.8

d) ¿Qué intervalo sobre la escala Fahrenheit corresponde al rango de

temperaturas 20 ≤ C ≤ 30?

Actividad 39 - Funciones

20 ≤ C ≤ 30

68 ≤ F ≤ 86

T(20) = 1,8 . 20 + 32

T (20) = 68

T(30) = 1,8 . 30 + 32

T (30) = 86

El rango de temperaturas 20 ≤ C ≤ 30 corresponde al intervalo [68 ; 86] de la

escala Fahrenheit.

e) Hallar y graficar la función inversa. ¿Qué expresa esta función?, ¿la

pendiente?

Actividad 39 - Funciones

Para que la función T sea biyectiva y por lo tanto admita inversa, debe ser

inyectiva y suryetiva.

Como se trata de una función lineal y tiene pendiente positiva sabemos que la

función es estrictamente creciente ⇒ es inyectiva

Para que T sea suryectiva, restringimos el codominio de modo que resulte

Codominio T = Imagen T. Tomamos entonces, Codominio T = [-459,67 ; 3632]

= Imagen T ⇒ T es suryectiva

Por lo tanto, T es biyectiva y admite inversa.

Actividad 39 - Funciones

Si llamamos A a la función inversa de T:

1) Ley A: A(F) = C ⇔ T(C) = F

Para hallar la ley de A, despejamos C de la ley de T:

T(C) = 9

5 C + 32 = F ⇒ C = (F − 32)

5

9 =

5

9 F −

160

9⟹ A(F) =

𝟓

𝟗 F −

𝟏𝟔𝟎

𝟗

2) Dominio A = Codominio T = [-459,67 ; 3632]

3) Codominio A = Dominio T = [-273,16 ; 2000]

Vemos que la función A

también es una función

lineal

Actividad 39 - Funciones

Para graficar A, buscamos dos puntos de la gráfica de la función, nuevamente

como se trata de un segmento nos conviene usar los puntos extremos. Sabemos

que:

P3 −273,16;−459,67 ∈ graf T ⇒ 𝐐𝟏 −𝟒𝟓𝟗, 𝟔𝟕;−𝟐𝟕𝟑, 𝟏𝟔 ∈ 𝐠𝐫𝐚𝐟 𝐀

P4 2000; 3632 ∈ graf T ⇒ 𝐐𝟐 𝟑𝟔𝟑𝟐; 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∈ 𝐠𝐫𝐚𝐟 𝐀

Para graficar A, recordar que tenemos que utilizar un nuevo sistema de

referencia porque se trata de funciones (A y T) que tienen un significado físico,

y en los ejes cartesianos estamos representando variables con una

interpretación física.

Actividad 39 - Funciones

Gráfica de A:

𝐐𝟏

𝐐𝟐

A

Actividad 39 - Funciones

¿Qué expresa la función A? La función A permite obtener la temperatura de un

cuerpo en grados Celsius conocida su temperatura en grados Fahrenheit.

¿Qué expresa la pendiente?

A(F) = 5

9 F −

160

9

La pendiente es 5

9 ºC / ºF = 0, 5 ºC / ºF

La pendiente m representa el cambio o la variación de grados Celsius por

cada cambio unitario de grados Fahrenheit de la temperatura del cuerpo.

Esto quiere decir que por cada variación unitaria (de 1 ºF) de grados

Fahrenheit de la temperatura del cuerpo, hay una variación de 0, 5 grados

Celsius.

f) La Sra. Amalita González del Cerro compró un juego de ollas importadas. En

el prospecto indica que las mismas no pueden someterse a temperaturas

superiores a los 194 ºF. La Sra. tiene un grave dilema, no sabe si en estas ollas

tan lindas puede hervir agua: ¿la ayudamos?

Actividad 39 - Funciones

Para que en las ollas pueda hervirse agua, estas deben soportar someterse a

temperaturas de 100 ºC.

En este caso tenemos de dato una temperatura dada en grados Fahrenheit (194

ºF). Debemos convertir esta temperatura a grados Celsius y compararla con la

temperatura de hervor del agua (100 ºC).

Tenemos dos funciones, T y A. ¿Cuál nos conviene usar? Aquella que permita

«entrar» una temperatura dada en grados Fahrenheit y que «devuelva» esa

misma temperatura en grados Celsius. Podemos ver que la función que nos

conviene usar es A.

A(F) = 5

9 F −

160

9

A(194) = 5

9 . 194 −

160

9 = 90 ºC

Es decir que 194 ºF corresponden a 90 ºC (< 100 ºC), por lo tanto NO puede

hervirse agua en estas ollas.

Actividad 39 - Funciones