MATEMATICA I - ACTIVIDAD 5: TRANFORMACIONES LINEALES

Parte A:

Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los ejemplos del material

de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho

conjunto.4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

Con la ayuda de la nueva tecnología Pinturas Alba ofrece gran variedad de colores en el mercado. El color A requiere el 5% de blanco, el 80% de verde y el 15% de azul; el color B requiere el doble que A de blanco, el 65% de verde y el 25% de azul; por último el color C requiere el 15% de blanco, el 55% de verde y el resto de azul.

Utilizando estos nuevos colores A, B y C, los técnicos de Alba desean saber cuántos litros deben tomarse de cada uno a fin de obtener 20 litros de una nueva combinación que requiere 26% de azul, 12% de blanco y el resto de verde. ¿Es posible conseguir esa mezcla?

SOLUCION:

Tenemos tres colores, A B y C los cuales están compuestos de la siguiente manera:

Color Blanco Verde AzulA 5% 80% 15%B 10% 65% 25%C 15% 55% 30%

En la actividad 2C, habíamos identificado:

Necesitamos mezclar estos tres colores para formar 20 litros de una nueva composición que requiere 12% blanco 62% de verde y 26% de azul.

Para obtener estas proporciones debemos armar un SEL de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Si nombramos al color A=x, el color B=y, el color C=z

La primera ecuación estará representando al color blanco en la mezcla final, la segunda al color verde en la mezcla final y la tercera el color azul en la mezcla final.

Para armar la primera ecuación tenemos en cuenta el porcentaje necesario de blanco en la mezcla final que es de 12% por lo tanto el término independiente de la ecuación tiene q ser 20 litros x 0.12= 2,4 litros. Sabiendo que la pintura A esta formada por 5% de blanco, la B por 10% y la C por 15% tenemos:

0,05 x+0,1 y+0,15 z=2,4

La segunda ecuación la armamos considerando el color verde que es el 62% de la mezcla final, por lo tanto hacemos 20 litros x 0,62= 12,4 litros. Teniendo en cuenta que la pintura A contiene 80% de verde, la B 65% y la C 55%

0,8 x+0,65 y+0,55 z=12,4

Por último para armar la 3º ecuación tenemos el color azul que es el 26% de la mezcla final osea 20 litros x 0,26= 5,2 litros. Sabiendo que la pintura A contiene 15% de azul, la B 25% y la C 30%

0,15 x+0,25 y+0,3 z=5,2

1)El SEL quedaría de la siguiente forma AX=B

{ 0,05 x+0,1 y+0,15 z=2,40,8 x+0,65 y+0,55 z=12,40,15 x+0,25 y+0,3 z=5,2

→(0,05 0,1 0,150,8 0,65 0,550,15 0,25 0,3 )( xyz )=( 2,4

12,45,2 )

2)

Expresado de la forma de ecuación vectorial: x1 A1+x2 A2+ ..xn An=B

Entonces nos quedaría: [0,050,8

0,15] x+[ 0,10,650,25] y+[0,15

0,250,3 ] z=[ 2,4

12,45,2 ]

3)

Al resolver por gauss-jordan obtenemos el resultado del SEL

Expresamos el conjunto solución en términos de vectores y nos quedaría:

S={4[0,050,8

0,15]+4 [ 0,10,650,25]+12[0,15

0,550,3 ]=[ 2,4

12,45,2 ]}

{[ xyz ] : x=4 , y=4 , z=12}Ahora, comprobaremos si el conjunto de vectores de A forman una base. Para esto, debemos averiguar el rango de la matriz, el cual nos dará si son linealmente independientes y por ende bases.

[0,05 0,1 0,150,8 0,65 0,55

0,15 0,25 0,3 ]Aplicando la resolución por el método de determinantes, obtenemos un resultado ≠0. Lo cual equivale a un rango=3, que a su vez denota que los vectores de A son linealmente independientes siendo así los tres bases del conjunto.

Además, las bases tienen dimensión 3 y es el conjunto formado por los vectores:

[0,050,8

0,15] ,[ 0,10,650,25] , [0,15

0,550,3 ]

4) ¿El vector [211]pertenece al espacio generado por A?

Nos piden averiguar las coordenadas (escalares) que al multiplicar los vectores de A nos dé

como resultado [211]:Gen : {V 1 ,V 2 ,V 3 }={c1[0,05

0,80,15]+c2[ 0,1

0,650,25]+c3[0,15

0,550,3 ]=[211]}

Aplicamos gauss-jordan a la matriz aumentada y la reducimos en los renglones.Primero resolvemos la ecuación trivial: que denota la independencia lineal

x= y=z=0=[000]Entonces, resolvemos el SEL por Gauss-jordan:

(0,05 0,1 0,15 20,8 0,65 0,55 1

0,15 0,25 0,3 1)

32[0,050,80,15]+ (−92 )[ 0,1

0,650,25]+64 [0,15

0,550,3 ]=[211]

Entonces el vector [211] pertenece al espacio generado por los vectores [0,050,8

0,15] ,[ 0,10,650,25] , [0,15

0,550,3 ]

5) Al ser los tres vectores generadores linealmente independientes, pueden generar cualquier sub-

espacio en R3 por lo tanto no existe ningún vector que no pertenezca al espacio de estos tres.

Un ejemplo sería un vector de R4por ejemplo [4213] .

Parte B:

PARTE B

18. (Planeación nutricional). En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso, tiene -en gramos- los nutrientes que se muestran en la tabla. ¿Cuántas unidades de peso de cada uno se debe ingerir para obtener exactamente 11 gramos de grasa, 6 de carbohidratos y 10 gramos de proteínas?

alimento grasas Carbohidr. proteínas

A 1 1 2

B 2 1 1

C 2 1 2

1) Expresamos el SEL de la forma AX=B y nos quedaría:

{1 x+2 y+2 z=111x+1 y+1 z=6

2x+1 y+2 z=10→(1 2 2

1 1 12 1 2) .( xyz )=(11

610)

2) Lo expresamos de la forma vectorial x1V 1+x2V 2+.. xnV n=B

x [112]+ y [211]+z [212]=[116

10]

3) Resolvemos por regla de Cramer y nos queda:

Escribimos el conjunto solución:

S={1[112]+2 [211]+3[212]=[11610]}

Ahora, comprobaremos si el conjunto de vectores de A forman una base. Para esto, debemos averiguar el rango de la matriz, el cual nos dará si son linealmente independientes y por ende bases.

[1 2 21 1 12 1 2]

Resolvemos por el método del determinante, y como el resultado es ≠0 entonces su rango es 3, por lo tanto también son sus tres bases linealmente independientes.

4) ¿El vector [ 70

15] pertenece al espacio generado por [112] ,[211] ,[212]?Primero resolvemos la ecuación trivial: que denota la independencia lineal

x= y=z=0=[000]

Gen : {V 1 ,V 2 ,V 3 }={c1[112]+c2[211 ]+c3[212]=[ 70

15 ]}Aplicamos el método de gauss-jordan y corroboramos que es generado por los tres vectores generadores:

Entonces quedaría:

−7 [112]+ (−15 )[211]+22[212]=[ 70

15] Entonces el vector [ 7

015] pertenece al espacio generado por los vectores [112] ,[211] ,[212]

5) Al ser los tres vectores generadores linealmente independientes, pueden generar cualquier sub-

espacio en R3 por lo tanto no existe ningún vector que no pertenezca al espacio de estos tres.

Parte C:

Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su posición en el plano multiplicando matrices, y cambie el modelo matemático. Lo pensará como una transformación lineal:

1. Identifique la primera transformación lineal que identificaremos por T.2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.

6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos

por .7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos

por .8. Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.

1. Tenemos la matriz D que es la matriz de las coordenadas originales de la letra “N” que pre multiplicamos por la matriz de transformación T, para obtener una nueva matriz de coordenadas H.

D=(0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 60 0 0 1.58 6.42 8 8 8)

1) De la actividad 3B elegimos la transformación expresada por la matriz:

T=(1 1 /20 1 )

Identificamos V 1=[ xy ] y el V 2 se obtiene de T .V 1=V 2 y ambos ∈R.

V 2=(1 1/20 1 ) [ xy ]=[ x+ 1

2y

0 x+ y ]Entonces la transformación es: [ xy ]↦[ x 1

2y

0 x y ] con V 1=[ xy ] yV 2=[ x+1 /2 yy ]

2) El espacio de salida es R2 y el de llegada R2 :

R2⟶R2

3) Expresión genérica del vector de salida:

Espacio de salida={[ xy ] : x∈ R , y∈ R}4) Expresión genérica de un vector de llegada:

Espacio de llegada={[x+ 12y

y ] : x∈ R , y∈R }5) Elegimos una segunda transformación:

S=[3 00 7 ]

T .V 1=V 2

[3 00 7 ][ xy ]=[ 3x

7 y ]V 1=[ xy ]

V 2=[3 x7 y ]- El espacio de salida es R2, y la expresión genérica del vector de salida es:

Espacio de salida={[ xy ] : x∈R , y∈ R}- El espacio de llegada es R2, y la expresión genérica del vector de llegada es:

Espacio de llegada={[3 x7 y] : x∈R , y∈ R}

6) Realizamos la composición S.T:U=S .T :V 1↦V 3

U=T .S=[1 1/20 1 ] .[3 0

0 7]=[3 7/20 7 ]

V 3=U .V 1=[3 7 /20 7 ][ xy ]=[3x+7 /2 y

7 y ]El espacio de salida y llegada es R2 .

Espacio de salida={[ xy ] : x∈ R , y∈ R}Espacio de llegada :{[3 x+7 /2 y

7 y ] : x∈R , y∈ R}7) Realizamos la composición T.S:

Q=T .S :V 1↦V 3

Q=S .T=[3 00 7] . [1 1/2

0 1 ]=[3 3/20 7 ]

V 3=Q .V 1=[3 3 /20 7 ] [ xy]=[3 x+3/2 y

7 y ]El espacio de salida y llegada es R2 .

Espacio de salida={[ xy ] : x∈ R , y∈ R}Espacio de llegada :{[3 x+3 /2 y

7 y ] : x∈ R , y∈ R}

8) Calculamos la inversa de T:

T−1=[1 −1/140 1/7 ]

V 2=T−1 .V 1=[1 −1/2

0 1 ][ xy ]=[ x−1/2 yy ]

El espacio de salida y de llegada es R2 .

Espacio de salida={[ xy ] : x∈ R , y∈ R}Espacio de llegada :{[ x−1/2 y

1 y ]: x∈R , y∈R}