Matemtica Actividades 5 Unidad 4

Transformaciones lineales

Parte A. Individual.

Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemtico. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.

2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como est hecho en los

ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado

de comprensin).

3. Exprese el conjunto solucin en trminos de vectores, identifique una base

de vectores para dicho conjunto.

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas

de A.

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las

columnas de A.

Parte B. Individual.

Retome el SEL de la Actividad 4B y cambie de modelo matemtico. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.

2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como est hecho en los

ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado

de comprensin).

3. Exprese el conjunto solucin en trminos de vectores, identifique una base

de vectores para dicho conjunto.

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas

de A.

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

Parte C. Individual.

Retome la Actividad 3B, aquella en que identific los vrtices de la letra N para

modificar su posicin en el plano multiplicando matrices, ycambie el modelo matemtico. Lo pensar como una transformacin lineal:

1. Identifique la primera transformacin lineal que identificaremos por T.

2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.

3. Identifique la expresin genrica de un vector en el espacio de salida.

4. Identifique la expresin genrica de un vector en el espacio de llegada.

5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformacin lineal que

identificaremos por S.

6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composicin de ambas transformaciones

lineales que identificaremos por D.

7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformacin inversa de T.

Repuestas

Parte A Fase 1: comprender el problema Entre las estrategias metodolgicas para encarar la resolucin del problema y que nos facilitan la interpretacin mencionamos: Se necesita conocer cuntos correos le permite almacenar el proveedor a cada una de las firmas, suponiendo adems que este nmero se repite con cada jerarqua de mensaje.

A partir de la informacin dada identificamos

1. Los datos: El problema trata de tres empresas que las vamos a definir de la siguiente forma: La empresa uno la definimos como: E1, la empresa dos como E2 y la empresa tres E3

2. Las variables: el nmero de correos que le permite almacenar a cada empresa. Llamamos a los correos que le permite almacenar a la E1 Llamamos a los correos que le permite almacenar a la E2 Llamemos a los correos que le permite almacenar a la E3

3. Las relaciones entre los datos y las variables: Llamamos 1 a los correos que le permite almacenar a la EmpI con un peso de almacenamiento de 4 MB para el nivel jerrquico ALTA, 3 MB para el nivel jerrquico MEDIA y 2 MB para nivel jerrquico BAJO. Llamamos 2 a los correos que le permite almacenar a la EmpII con un peso de almacenamiento de 6 MB para el nivel jerrquico ALTA, 5 MB para el nivel jerrquico MEDIA y 1 MB para nivel jerrquico BAJO. Llamemos 3 a los correos que le permite almacenar a la EmpIII con un peso de almacenamiento de 7 MB para el nivel jerrquico ALTA, 6 MB para el nivel jerrquico MEDIA y 3 MB para nivel jerrquico BAJO. Tambin es dato que para mails de Jerarqua alta dispone de 5000 MB, para los de jerarqua

media 3500 MB, en tanto que para correos de jerarqua baja la capacidad para

almacenamiento es de 2000 MB.

Fase 2: idear un plan PLAN

Expreso en smbolos las incgnitas del problema, identifico el origen de las relaciones entre los datos y las incgnitas y las expreso matemticamente - construyo el SEL, lo ordeno - construyo matriz aumentada - aplico mtodo de Eliminacin de Gauss o Gauss-Jordan - identifico las incgnitas libres, despejo las incgnitas principales - construyo la solucin general (matemtica) - construyo la solucin del problema

Fase 3: ejecutar el plan

E1 empresa 1, E2 empresa 2 y E3 empresa 3 a los correos que le permite almacenar a la E1 a los correos que le permite almacenar a la E2 a los correos que le permite almacenar a la E3 Dado que una ecuacin lineal es aquella igualdad a la que aparece como mnimo una incgnita,

y que involucra sumas y restas de las variables a la primera potencia, en nuestro caso tenemos

tres variables principales como incgnita, que forman una ecuacin lineal

En la resolucin de nuestro enunciado plateamos un SEL ya que por definicin es un conjunto

finito de EL en las variables x1, x2,Xn

Ahora podemos plantear el conjunto solucin:

; 4 + 6 + 7 = 5000

; 3 + 5 + 6 = 3500

; 2 + 1 + 3 = 2000

Nivel jerrquico EMPRESA 1(EmpI) EMPRESA 2(EmpII) EMPRESA 3(EmpIII) Cap. almacenamiento

ALTO 4 6 7 5000 MEDIO 3 5 6 3500 BAJO 2 1 3 2000

Planteo del SEL.

E1 E2 E3

Alta 4x 6y 7z = 5000

Media 3x 5y 6z = 3500

Baja 2x 1y 3z = 2000

Lo escribimos en forma matricial = . Donde la matriz A es la matriz de coeficientes:

[4 6 73 5 62 1 3

]

La matriz x representa al vector de incgnitas:

[ ]

Y la matriz B a los trminos independientes:

[500035002000

]

Luego la forma matricial:

[4 6 73 5 62 1 3

] . [ ] = [

500035002000

]

Matriz Aumentada:

[4 6 73 5 62 1 3

500035002000

]

Planteo Vectorial.

[432] + [

651] + [

763] = [

500035002000

]

[ .

1] + [

.

2] + [

.

3] = [

]

Donde el sistema se puede expresar en trminos vectoriales, llamamos a1, a2 y a3 a cada una de las columnas de la matriz y planteamos la siguiente igualdad:

1 + 2 + 3 =

1 = [432] , 2 = [

651] , 3 = [

763]

Donde el primer vector almacena los correos de la empresa 1en sus niveles jerrquicos, el segundo vector el de la empresa 2, el tercer vector se refiere a la cantidad de correos de la empresa 3 en sus niveles jerrquicos y el vector de la extrema derecha almacena la totalidad de capacidad de almacenamiento MB.

Usando calculadoras online se obtienen la siguiente solucin.

Conjunto solucin.

S={(, , )/ = , = , = }

La matriz corresponde a un SEL consistente de solucin nica

{ = 1700 = 400 = 600

Es decir que podemos escribir vectorialmente:

[432] 1700 + [

651] 400 + [

763] (600) = [

500035002000

]

:

[

], S= {[]/ = , = , = }

Para hallar el vector que pertenece al espacio generado por las columnas de A solo con designar valores a las variables de x, y, z.

El espacio generado por las columnas de A es:

{[432] , [651] , [763]} [

432] + [

651] + [

763] =

Le damos valores a x, y, z por ejemplo:

1. x=0, y=0, z=0 reemplazamos en la ecuacin anterior y obtenemos como resultado=[000]

2. x=200, y=150, z=100 reemplazamos y obtenemos=[24001950850

]

Identificar un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

Vector:[38002000980

] , [432] + [

651] + [

763] = [

38002000980

]

Planteo SEL

{4 + 6 + 7 = 38003 + 5 + 6 = 2000 2 + + 3 = 980

Utilizando calculadora online OnlineMschool resolvemos:

Por lo tanto nuestro vector solucin es [26368921728

]

Parte B

El personal de las dependencias operativas del aeropuerto de Mendoza (TWR, ACC y ARO AIS)

Se distribuye segn la tabla. Se realiza una reunin con todo el personal de las dependencias operativas a fin de informarlos de novedades laborales de importancia pero se produce la novedad que slo 20 operadores concurren (debido a la falta de informacin

oportuna sobre la ocurrencia de la misma). De los 20 asistentes un 12% eran oficiales, 62% suboficiales y 26% civiles. Cuntos operadores concurrieron de cada dependencia?

TWR ACC ARO - AIS

Oficiales 5% 10% 15%

Suboficiales 80% 65% 55%

Personal Civil 15% 25% 30%

Datos: conocemos que para cada dependencia operativa del aeropuerto posee un porcentaje

de asistentes que se componen de oficiales, suboficiales y civiles.

Como se observa en la tabla para cada dependencia hay un porcentaje de cada grupo de

asistentes; es decir que, por ejemplo, para la dependencia del aeropuerto TWR posee un 5%

de oficiales, un 80% de suboficiales y un 15% del total de los asistentes. Tambin conocemos

que el total de los asistentes es de 20 y que se reparten en distintos porcentajes (un 12% eran

oficiales, 62% suboficiales y 26% civiles)

Definimos las variables:

Definimos a x como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia TWR.

Definimos a y como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia ACC.

Definimos a z como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia ARO-AIS

A partir de todos estos datos podemos plantear el sistema de ecuaciones:

= {5 + 10 + 15 = 1280 + 65 + 55 = 6215 + 25 + 30 = 26

Lo escribimos en forma matricial Ax=B donde A es la matriz de coeficientes, x representa las incgnitas y B los trminos independientes.

[58015 106525 155530] [] [

126526 ]

Planteo vectorial

a1 = [58015] , 2 = [

106525] , 3 = [

155530]

[58015] + [

106525] + [

155530] = [

126526]

Expresar el conjunto solucin en trminos de vectores, identificar una base de vectores para dicho conjunto.

[5 + 10 + 1580 + 65 + 5515 + 25 + 30

] = [126226]

Solucin:

{

=

1

5

=1

5

=3

5

, podemos escribir al vector:

[58015]1

5+ [106525]1

5+ [155530]3

5= [

126526]

Con solucin vectorial: [///

] = {[]/ = /, = /, = /}

Identificar un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A

{[58015] , [106525] , [155530]} [

58015] + [

106525] + [

155530] =

Le damos valores a x, y, z por ejemplo:

1. x=0, y=0, z=0 reemplazamos en la ecuacin anterior y obtenemos como

resultado=[000]

2. x=1, y=1.5, z=0.5 reemplazamos y obtenemos=[27.520567.5

]

identificar un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A

Las columnas de la matriz A corresponden a vectores linealmente independientes para verificar resolvemos la siguiente ecuacin:

[58015] + [

106525] + [

155530] = [

000]

5 + 10 + 15 = 080 + 65 + 55 = 0 15 + 25 + 30 = 0

Podemos observar en el desarrollo que la solucin nos da cero en las tres incgnitas lo que concluimos que son linealmente independientes. Por lo tanto no existe ningn vector que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

Parte C

Punto 1

De la Actividad 3B elegimos la transformacin expresada por la matriz

= [2 00 1

]

Para lograr la transformacin debemos hacer el producto de T por un vector de 2

Es decir si : 1 2 2,

La transformacin . 1 = 2

1 = []

2 = . 1 = [2 00 1

] . [] = [

2 + 00 + 1

] =

2 = [2]

La transformacin matricial duplica las coordenadas X de un punto en el plano

Punto 2

Tanto el espacio de salida como el de llegada son 2, : 2 2

es decir 2 = {[] / y R }

Punto 3

Un vector genrico del espacio de salida, es decir R2 es:

2 = {[] / y R }

Punto 4

Un vector genrico del espacio de llegada, es decir R2 es:

2 = {[2] / y R }

Punto 5

La segunda transformacin correspondiente a la actividad 3B est dada por la matriz

= [1 00 1

]

Para lograr la transformacin debemos hacer el producto de T por un vector de 2

Es decir si: 1 2 2

La transformacin . 2 = 3

2 = []

3 = . 1 = [1 00 1

] . [] = [

+ 00 + 1

] =

3 = [ ]

La transformacin matricial es un reflejo en el eje vertical en el plano.

Tanto el espacio de salida como el de llegada son 2, : 2 2

Es decir 2 = {[] / y R }

= {[] / y R }

= {[ ] / y R }

Punto 6

Para hacer la Composicin transformaciones de T y S podemos aplicar sucesivamente a un

vector la transformacin T y luego la S al vector resultante

: 1 2 ; : 2 3

2 = . 1 = [2 00 1

] [] = [

2]

3=. 2 = [1 00 1

] [2] = [

2]

Ahora vamos a multiplicar las dos matrices y luego aplicar la nueva transformacin al vector en

cuestin

= . : 1 3

= . = [2 00 1

] . [1 00 1

] = [2 00 1

]

3 = . 1 = [2 00 1

] . [] = [

2]

Como podemos observar el resultado de las transformaciones son iguales.

Tanto el Espacio de salida como el de llegada es R2,

2 = {[] / y R }

= {[] / y R }

= {[2] / y R }

Punto 7

Tenemos la matriz

= [2 00 1

]

Calculamos la inversa de la matriz

A esta matriz resultante le aplicamos los puntos 1, 2,3 y 4

1: 1 2

2 = 1. 1 = [

0.5 00 1

] . [] = [

0.5]

Para comprobar si la inversa es la correcta podemos realizar la siguiente operacin

2 = . 1 = [2 00 1

] . [] = [

2]

1 = 1. 2 = [

0.5 00 1

] . [2] = [

]

Tanto el Espacio de salida como el de llegada es R2, 1: 2 2

2 = {[] / y R }

= {[] / y R }

= {[0.5] / y R }