Actividad 7 Unidad 3 Medidas de tendencia central y dispersión. Estadistica Básica UNAD

Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre 1

Estadística básica Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión

Actividad 7: Problemas

Problemas con medidas de tendencia

central y dispersión Instrucción: Realiza lo siguiente para cada problema.

Elabora las tablas de frecuencias correspondientes para obtener las medidas de

tendencia central y dispersión.

Medias de tendencia central y dispersión por frecuencias simples, para el problema 1.

Medidas de tendencia central y dispersión por intervalos para el problema 2.

1. Un profesor de educación física desea hacer un estudio sobre el desempeño de sus

alumnos(as) en la prueba de atletismo de 100 metros planos. Seleccionó una muestra de

20 alumnos(as) y registró los tiempos que éstos marcaron. Los tiempos, en segundos,

registrados fueron:

18.71, 21.41, 20.72, 28.1, 19.29, 22.43, 20.17, 23.71, 19.44, 20.55, 18.92, 20.33, 23.00,

22.85, 19.25, 21.77, 22.11, 19.77, 18.04, 21.12.

1: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Y DISPERSIÓN (Frecuencias Simples)

Tiempos Frecuencia Absoluta( fi)

Frecuencia Absoluta Acumulada(Fi)

Frecuencia Relativa( hi)

Frecuencia Relativa Acumulada( Hi)

18.71 1 1 0.05 0.05

21.41 1 2 0.05 0.10

20.72 1 3 0.05 0.15

28.1 1 4 0.05 0.20

19.29 1 5 0.05 0.25

22.43 1 6 0.05 0.30

20.17 1 7 0.05 0.35

23.71 1 8 0.05 0.40

19.44 1 9 0.05 0.45

20.55 1 10 0.05 0.50

18.92 1 11 0.05 0.55

20.33 1 12 0.05 0.60

23 1 13 0.05 0.65




22.85 1 14 0.05 0.70

19.25 1 15 0.05 0.75

21.77 1 16 0.05 0.80

22.11 1 17 0.05 0.85

19.77 1 18 0.05 0.90

18.04 1 19 0.05 0.95

21.12 1 20 0.05 1.00

Media

Como nuestros datos no están agrupados usamos la fórmula para obtener la media aritmética en

nuestra población completa:

∑

µ=18.71+ 21.41+ 20.72+ 28.1+ 19.29+ 22.43+ 20.17+ 23.71+ 19.44+ 20.55+ 18.92+

20.33+ 23.00+ 22.85+ 19.25+ 21.77+ 22.11+ 19.77+ 18.04+ 21.12 20

Por lo tanto la media µ=21.0845

Mediana

Cantidad de datos par en el conjunto=20, se ordenan: 18.04,18.71,18.92,19.25,19.29,19.44,19.77,20.17,20.33,20.55,20.72,21.12,21.41,21.77,22.11,22.43,22.85,23.00,23.71,28.10 y los valores que separan en dos el conjunto son 20.55 y 20.72, se suman 41.27, al dividirlos entre 2 obtenemos la mediana es 20.64 Me=20.64

Moda

El conjunto no tiene datos repetidos por lo que la frecuencia de cada uno de sus elementos es 1, se trata de un conjunto amodal. Mo=amodal




1: MEDIDAS DE DISPERCIÓN

Rango

Fórmula para calcular el recorrido o rango

Dónde :

es el valor máximo de la variable

es el valor mínimo de la variable

Ordenando los número obtenemos que

=28.10

Por lo tanto

Varianza

Fórmula para calcular la varianza en una población

∑

De la actividad Medidas de Tendencia Central, tenemos que la

media aritmética es µ= 21.0845

Entonces sustituyendo los valores del problema 1 en la fórmula:

(18.71-21.0845)2+(21.41-21.0845)2+(20.72-21.0845)2+(28.1-21.0845)2+(19.29-21.0845)2+(22.43-21.0845)2+(20.17-21.0845)2+(23.71-21.0845 2+(19.44-21.0845) 2+(20.55-21.0845)

2+(18.92-21.0845)2+(20.33-21.0845)2+(23.00-21.0845)2+(22.85-21.0845)2+(19.25-21.0845)2+(21.77-21.0845)2+(22.11-21.0845)2+(19.77-21.0845)2+(18.04-21.0845)2+(21.12-21.0845)2

20

98.7701/20

4.9385




Desviación Típica

Fórmula para calcular la desviación típica en datos no agrupados

√ √∑

De la actividades anteriores, tenemos que la media aritmética es

µ= 21.0845, la varianza =4.9385

Entonces tenemos:

√ = √ =2.2222

2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Y DISPERSIÓN POR INTERVALOS

2. Un ambientalista está haciendo una investigación sobre la cantidad de basura que se

genera en su colonia. Para ello registró cuántos kilos de basura recolectó el camión

durante veinte días consecutivos en su calle. Los resultados fueron:

227, 122, 172, 228, 217, 225, 182, 216, 229, 221, 192, 142, 152, 211, 192, 182, 203,

205, 187, 195.

De acuerdo a lo visto en la Unidad 2

Para calcular el rango primero identificamos el número mayor Xn=889 y el menor X1=810 y

sustituimos en la formula R=Xn-X1 por lo tanto tenemos:

R=229-122=107

Como no existe restricción para crear el número de intervalos (podemos crear entre 5 y 20) vamos

a crear 5 intervalos k=5, entonces la amplitud del intervalo la obtenemos al dividir el rango entre

el número de intervalos deseado en este caso quedaría: 107/5= 21.4, como no es un número

entero redondeamos a 21 por la tanto

Amplitud de intervalo=21




Los intervalos se forman comenzando un número antes del primer dato.

Límite inferior X1=122

Límite Superior Xn=229

Rango R=229-122=107 Numero de Intervalos k=5

Amplitud intervalo R/k=107/5=21.4 redondeando =21

Valor inicial intervalo X1-1=121

Numero

de

intervalo

Limites de clase Intervalo de clase Marca

de Clase

Frecuencia

Absoluta( fi)

Frecuencia Absoluta

Acumulada(Fi)

Frecuencia

Relativa( hi)

Frecuencia

Relativa

Acumulada( Hi)

1 121 142 121-142 131.5 2 2 0.1000 0.1000

2 143 164 143-164 153.5 1 3 0.0500 0.1500

3 165 186 165-186 175.5 3 6 0.1500 0.3000

4 187 208 187-208 197.5 6 12 0.3000 0.6000

5 209 230 209-230 219.5 8 20 0.4000 1.0000

Media

Se utiliza la siguiente fórmula para calcular la media con datos agrupados en intervalos

Fórmula:

∑

Sustituyendo:

(131.5*2) + (153.5*1) + (175.5*3) + (197.5*6) + (219.5*8)

20

=263+153.5+526.5+1185+1756

20

194.2




Mediana

Fórmula:

entonces toma el

intervalo 4 (187−208), porque

es en su frecuencia acumulada

donde se encuentra 10

Li=187 es el límite inferior del

intervalo donde se encuentra la

mediana

=6 es la frecuencia

acumulada anterior al intervalo

de la mediana

=6 es la frecuencia absoluta

del intervalo donde se

encuentra la mediana

es la amplitud del

intervalo

Sustituyendo:




Moda

Usando la misma tabla.

El intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta es el

intervalo 5 (209-230) es un conjunto UNIMODAL

Moda

Li=209 es el límite inferior del intervalo

=8 es la frecuencia del intervalo modal

=6 es la frecuencia del intervalo anterior al intervalo

modal

=0 es la frecuencia del intervalo siguiente al

intervalo modal

es la amplitud del intervalo

Sustituyendo en la fórmula para obtener la

primera moda:




2: MEDIDAS DE DISPERCIÓN

Recorrido

Dónde :

es el valor máximo de la variable

es el valor mínimo de la variable

Ordenando los número obtenemos que

=22

Por lo tanto

Varianza

i Mc fi Mc-µ (Mc-µ)2 (Mc-µ)2*fi

121-142 131.5 2 -62.7 3931.29 7862.58

143-164 153.5 1 -40.7 1656.49 1656.49

165-186 175.5 3 -18.7 349.69 1049.07

187-208 197.5 6 3.3 10.89 65.34

209-230 219.5 8 25.3 640.09 5120.72

Total 15754.2

∑

: Es la frecuencia del intervalo. Es la marca de clase del intervalo : Es la media de la distribución de datos es el número total de datos de la distribución



Entonces Sustituyendo en la fórmula los valores de la tabla de

arriba:




Desviación Típica

√ √∑

: Es la frecuencia del intervalo. Es la marca de clase del intervalo : Es la media de la distribución de datos es el número total de datos de la distribución



Entonces Sustituyendo en la fórmula los valores de la tabla de

arriba:

√

√ √

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