ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT330 Nombre Curso … · 2013-03-20 · b) La aceleración instantánea es la segunda derivada de la función, esto es: dc(t) 6t2 20 A los 7

Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I

Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001

Fecha Actualización

Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum

Carrera/s Todas N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)

Resuelve problemas de rapidez y aceleración instantánea utilizando derivadas de primer y segundo orden.

Resuelve problemas de marginalidad utilizando derivadas.

Resuelve problemas de tasas de variación utilizando derivadas.

Resuelve problemas de máximos y mínimos de funciones utilizando el criterio de la primera y segunda derivada.

Resuelve problemas de crecimiento y decrecimiento de funciones.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD

Aplicaciones de la derivada (repaso de contenidos de la prueba 3)

Modalidad

□ Presencial

□ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

__________________________

Forma de trabajo:

□ Individual

□ Grupal

- Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8

Lugar:

□ Sala de clases

□ Laboratorio (especifique)_____________

□ Taller (especifique)_____________

□ Terreno (especifique)_____________

□ Otros (especifique)_____________

Recursos de información:

□ Impreso

___________________________________________

□ Tecnológico

___________________________________________

□ Informático

___________________________________________

Material de apoyo para la actividad:

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación



2

I Aplicando derivadas como razón de cambio.

1. En un colegio particular se estudiaron los puntajes obtenidos en la PSU del año

2004 al 2011, los cuales se representan por medio de la función:

tetP

16,0290)( , donde t representa el número de años a partir del 2004. ¿A

qué razón cambiará el puntaje de los alumnos, con respecto al tiempo, en el año

2009?

2. Se espera que dentro de x años, la población de cierta comunidad de la zona sur

será: x

exxP

12,0

800500)( . ¿A qué razón cambiará la población con respecto

al tiempo dentro de 8 años?

3. Se espera que dentro de t meses, la población de avispas que invade la zona

central estará dada por la función: t

etA

28,0

5,36000.2)( . ¿A qué razón

cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 10 meses?

II Aplicaciones de rapidez y aceleración instantánea.

4. Un ciclista se mueve a lo largo de una plaza de forma horizontal, de modo que la

distancia recorrida en metros, transcurridos t segundos de su partida, está dada

por la función: tttf 453 2 . Determine la rapidez instantánea del ciclista a

los 6 segundos de haber partido.



3

5. Un bus se mueve a lo largo de una carretera en línea recta, de tal manera que su

posición en el instante t desde el punto de partida, está determinada por:

ttttd 2610 23 . La distancia se mide metros y el tiempo en segundos.

a) ¿Cuál es la rapidez instantánea del bus, al transcurrir 5 segundos?

b) ¿Cuál es la aceleración instantánea, cuando han transcurrido 7 segundos?

6. Un carro se mueve a lo largo de un riel horizontal, de tal manera, que su posición

en el instante t desde el punto de partida, está especificado por:

4518)( 23 ttttd . La distancia se mide en cm y el tiempo en segundos.

Encuentre la aceleración instantánea del carro a los 3 segundos de haber partido.

III Aplicaciones de marginalidad.

7. El costo, en millones de pesos, de fabricar x camionetas de lujo, está

determinado por la función: 3502,0)( 3 xxxC .

Determine:

a) El costo de fabricar 3 camionetas de lujo.

b) El costo marginal por la fabricación de 5 camionetas de lujo. Interprete su

resultado.

8. El costo total, en cientos de miles de pesos, por la instalación de x paneles

solares se determina por la función: 525,0)( xxC . Además el ingreso total,

en cientos de miles de pesos, derivado por la instalación de x paneles solares es

xxxI 3,001,0 2 . Se pide:

a) Determinar la utilidad total por la instalación de 25 paneles solares.

b) Calcular la utilidad marginal por la instalación de 30 paneles solares.

Interprete su resultado.



4

9. Una planta de fabricación de zapatillas ha determinado que sus ingresos en pesos

al vender x zapatillas al mes, vienen dados por la función:

12 000.16,0500.10 xxxxI

Calcule el ingreso marginal al vender 200 zapatillas en un mes.

IV Aplicaciones de crecimiento o decrecimiento de una función.

10. Electrónica Sima, S.A. tiene una utilidad mensual en dólares representada por la

función: 225,0500000.1)( xxxU , donde x es la cantidad de computadoras

portátiles que produce y vende. Utilizando derivadas analice el crecimiento o

decrecimiento (baja) de las utilidades de la empresa al producir y vender 1.300

computadoras.

11. Se espera que dentro de t años, la población de cierta comunidad de la norte

será: 8ln140)( 2 ttttP , miles de habitantes. Determine si la población

crece o decrece dentro de 6 años.

12. Un estudio de eficiencia de un turno de trabajo en una fábrica, indica que un

trabajador promedio que llega al trabajo a las 9:00 a.m., habrá ensamblado

)(xQ unidades de radios transistores x horas más tarde, donde:

xxxxQ 48)( 23

Utilizando derivadas, determine:

a) Si el desempeño del trabajador es creciente (eficiente) o decreciente

(menos eficiente) a las 3 horas después de haber llegado a su trabajo.

b) Si el desempeño del trabajador es creciente (eficiente) o decreciente

(menos eficiente) a las 6 horas después de haber llegado a su trabajo.



5

V Aplicaciones de máximos y mínimos relativos de una función.

13. Considere la función de ingresos xI en dólares, de una empresa al vender x

lámparas, representada por:

300

42x

xxI

Determine:

a) El número de lámparas vendidas para que el ingreso sea máximo.

b) ¿Cuál es el ingreso máximo para la empresa?

14. Un estudio realizado en una fábrica arroja que su productividad se comporta de

acuerdo a la siguiente función: 2326,1007,0 2 xxxP , donde xP ,

medido en porcentaje, representa la productividad generada cuando se contrata

una cantidad de x trabajadores. Se pide:

a) ¿Cuántos trabajadores debe contratar la empresa, para obtener la máxima

productividad?

b) ¿Cuál es la máxima productividad de la empresa?

15. El costo total, en miles de pesos, de una empresa por el pedido y almacenaje de

x automóviles, viene dado por la función:

1600.9217204 xxxC

Determine:

a) ¿Cuál es el tamaño de pedido y almacenaje que minimiza el costo total?

b) ¿Cuál es el costo total mínimo?



6

VI Aplicaciones de máximos y mínimos absolutos de una función.

16. El rendimiento, xf , en un examen que dura 120 minutos en función del tiempo

x (medido en horas), viene dado por la función: xxxf 48154 2 , donde

20 x . De acuerdo a esta información, ¿cuándo el rendimiento es máximo?

17. Se sabe que x años después de su fundación en 1996, el total de afiliados a

cierta asociación nacional de consumidores el país Zedlandia.

xxxxf 264452 23 , en cientos de afiliados.

¿En qué momento, entre 1996 y 2009, la asociación tuvo el mayor número de

miembros y cuántos eran los miembros en ese momento?

18. El número de personas que se encuentra en el interior de un supermercado

después de t horas de la apertura del local (10:00 horas), está dado por la

unción: ttttf 6315 23 . Determine:

a) ¿En qué momento entre las 12:00 y las 16:00 horas se observa la menor

cantidad de personas?

b) ¿Cuál es la cantidad mínima de personas?



7

SOLUCIONES

1. tt

eetP16,016,0

4,4616,0290)(

En 5 años, tenemos que evaluar la primera derivada en 5t .

265,1034,46)5( 516,0 eP

Respuesta: Después de 5 años a partir del año 2005 el puntaje de la PSU

aumentará a una razón de aprox. 103,3 puntos por año.

2. xx

eexP

12,012,0

9650012,0800500)(

En 8 años, tenemos que evaluar la primera derivada en 8x .

723,75096500)8( 812,0 eP

Respuesta: Dentro de 8 años la población aumentará a una razón de aprox. 751

personas por año.

3. tt

eetA

28,028,0

22,1028,05,360)(

En 10 mese, tenemos que evaluar la primera derivada en 10t .

064,16822,10)10( 1028,0 eA

Respuesta: La población de avispas dentro de 10 meses aumentará a una razón

de aprox. 168 avispas por mes.

4. La rapidez instantánea es la primera derivada de la función distancia, esto es:

456)( ttf

A los 6 segundos la rapidez será:

94566)6()6( fv

Respuesta: La rapidez instantánea del ciclista a los 6 segundos de haber partido

es de 9 m/s.



8

5. a) La rapidez instantánea es la primera derivada de la función distancia, esto es:

26203)( 3 tttd

A los 7 segundos la rapidez será:

512651053)5()5( 2 fv

Respuesta: La rapidez instantánea del bus a los 5 segundos es de 51 m/s.

b) La aceleración instantánea es la segunda derivada de la función, esto es:

206)( 2 ttd

A los 7 segundos la aceleración será:

2742076)7()7( 2 da

Respuesta: La aceleración instantánea del bus a los 7 segundos es de 274 m/s2.

6. Para calcular la aceleración instantánea del carro a los 3 segundos de haber

partido, se debe derivar la función distancia dos veces, esto sería:

1823)( 2 tttd ; 26)( ttd

A los 3 segundos la aceleración será:

16236)3()3( da

Respuesta: La aceleración instantánea del carro a los 3 segundos es de 16 cm/s2.

7. a) Para calcular el costo de producir 3 camionetas, se debe evaluar la función de

costo en 3x , esto sería:

54,18335302,0)3( 3 C

Como el costo está dado en millones de pesos, se debe multiplicar el resultado

anterior por 1.000.000, para expresar la respuesta en pesos.

Respuesta: El costo de fabricar 3 camionetas de lujo es de $18.540.000.

b) Para determinar el costo marginal, se debe derivar la función costo una vez,

esto es:



9

506,0)( 2 xxCxCM

Para calcular el costo marginal al producir 5 camionetas, se debe evaluar la

función de costo marginal en 5x , esto sería:

5,65506,0)5(5 2 CCM

Respuesta: El costo marginal al producir 5 camionetas es de $6.500.000.

Interpretación: El incremento de una camioneta de lujo adicional en la

producción, aumenta el costo total aproximadamente en

$6.500.000, cuando la producción es de 5 camionetas de lujo.

8. a) La función de utilidad total, aplicando álgebra de funciones, sería:

xCxIxU (Ingreso total menos costo total)

505,001,0525,03,001,0 22 xxxxxxU

Por la instalación de 25 paneles solares, se debe evaluar la función utilidad en

25x , esto es:

5,252505,02501,025 2 U

Como la utilidad total está dada en miles de pesos, se debe multiplicar el

resultado anterior por 1.000, para expresar la respuesta en pesos.

Respuesta: La utilidad total es de $250.000, por la instalación de 25 paneles

solares.

b) La función utilidad marginal es la primera derivada de la función utilidad total,

esto es:

05,002,0)( xxUxUM

Para calcular la utilidad marginal por la instalación de 30 paneles solares, se debe

evaluar la función de utilidad marginal en 30x , esto sería:

65,005,03002,0)30(30 UUM

Respuesta: La utilidad marginal por la instalación de 30 paneles solares es de

$65.000.



10

Interpretación: El incremento de una instalación de panel solar, aumenta la

utilidad total aproximadamente en $65.000, cuando se instalan

30 paneles solares.

9. Para determinar el ingreso marginal, se debe derivar la función de ingreso una

vez, esto es:

2000.12,1500.10)( xxxIxIM

Para calcular el ingreso marginal al vender 200 zapatillas en un mes, se debe

evaluar la función de ingreso marginal en 200x , esto sería:

025,260.10200000.12002,1500.10)200(200 2 IIM

Respuesta: El ingreso marginal al vender 200 zapatillas es de aprox. $10.260.

10. Para analizar el crecimiento o decrecimiento de la función utilidad, se debe

derivar la función para calcular la pendiente de la recta tangente en el punto

dado, es decir 300.1x , esto es:

xxU 5,0500)(

150300.15,0500)300.1( U 0

Respuesta: La pendiente de la recta tangente la curva en ese punto es un valor

menor que cero, por lo que las utilidades de la empresa al producir y

vender 1.300 computadoras son decrecientes.

11. Para analizar el crecimiento o decrecimiento de la función población, se debe

derivar la función para calcular la pendiente de la recta tangente en el punto

dado, es decir 6t , esto es:

12140

)( tt

tP

3,12162

6

140)6( P 0

Respuesta: La pendiente de la recta tangente la curva en ese punto es un valor

mayor que cero, por lo que la población dentro de 6 años es

creciente.

12. Para analizar el crecimiento o decrecimiento de la función cantidad de radios

transistores, se debe derivar la función para calcular la pendiente de la recta

tangente en los puntos dados en las preguntas a) y b), es decir 3x y 6x ,

esto es:

4163)( 2 xxxQ

25431633)3( 2 Q 0



11

8461663)6( 2 Q 0

a) La pendiente de la recta tangente la curva en ese punto es un valor mayor que

cero, por lo que el desempeño del trabajador a las 3 horas de haber llegado a

su trabajo es creciente.

b) La pendiente de la recta tangente la curva en ese punto es un valor menor

que cero, por lo que el desempeño del trabajador a las 6 horas de haber

llegado a su trabajo es decreciente.

13. a) Primero se debe derivar la función una vez e igualar su resultado a cero, para

encontrar puntos críticos, esto es:

1504

300

24)(

xxxI

0150

4 x

600x

En este caso hay sólo un punto crítico, por lo que se debe analizar la concavidad

de la función, para determinar si es un punto máximo o mínimo relativo. Para

eso se calcula la segunda derivada, esto es:

150

1)( xI

150

1)600( I 0

La concavidad es negativa, por lo tanto en 600x hay un máximo relativo.

Respuesta: Se deben vender 600 lámparas para que el ingreso sea máximo.

b) Para calcular el ingreso máximo se debe evaluar la función ingreso en el punto

máximo 600x , esto es:

200.1300

6006004)600(

2

I

Respuesta: El máximo ingreso para la empresa es de US$1.200.



26,1014,0)( xxP



12

026,1014,0 x

90x

En este caso hay sólo un punto crítico, por lo que se debe analizar la concavidad

de la función, para determinar si es un punto máximo o mínimo relativo. Para

eso se calcula la segunda derivada, esto es:

014,0)( xP

014,0)90( P 0

La concavidad es negativa, por lo tanto en 90x hay un máximo relativo.

Respuesta: Se deben contratar 90 trabajadores para que la productividad sea

máxima.

b) Para calcular la máxima productividad se debe evaluar la función en el punto

máximo 90x , esto es:

7,79239026,190007,090 2 P

Respuesta: La máxima productividad es de un 79,7%.



2600.9214)( xxC

0600.921

42

x

0600.9214 2 x

480y 480 21 xx

En este caso hay dos puntos críticos, pero se descarta el negativo, ya que en el

contexto la cantidad de autos debe ser un entero positivo, ahora se analiza la

concavidad de la función, para determinar si 480x es un punto máximo o

mínimo relativo. Para eso se calcula la segunda derivada, esto es:

3200.843.1)( xxC

601,0

480

200.843.1)480(

3C 0

La concavidad es positiva, por lo tanto en 480x hay un mínimo relativo.

Respuesta: El tamaño del pedido que minimiza el costo total es de 480

automóviles.

b) Para calcular el mínimo costo se debe evaluar la función en el punto mínimo

480x , esto es:



13

560.4480600.9217204804480 1 C

Como el costo total está dada en miles de pesos, se debe multiplicar el resultado

anterior por 1.000, para expresar la respuesta en pesos.

Respuesta: El costo total mínimo es de $4.560.000.

16. En este caso se busca el máximo de la función entre dos valores puntuales

2y 0 21 xx , por lo que el máximo a encontrar es un máximo absoluto,

para esto derivamos la función una vez y encontramos los puntos críticos, esto

es:

4830)( xxf

04830 x

6,1x

En este caso hay sólo un punto crítico, por lo que se debe evaluar la función en

el punto crítico, ya que pertenece al intervalo dado, además se deben evaluar

los límites del intervalo, esto es:

404801540 2 f

absolutoMínimo

4,426,1486,11546,1 2 f

absolutoMáximo

4024821540 2 f

Respuesta: El rendimiento es máximo a las 1,6 horas.

17. En este caso se busca el máximo de la función entre dos valores puntuales (1996

y 2009), por lo que el máximo a encontrar es un valor absoluto, para esto

derivamos la función una vez y encontramos los puntos críticos, esto es:

264906)( 2 xxxf

0264906 2 xx

4y 11 21 xx

Nótese que x corresponde al número de años desde la fundación de Zedlandia

en 1996, por lo tanto en el año 1996 tenemos que 0x y en el año 2009

tenemos que 13x (2009-1996=13).

En este caso hay dos puntos críticos, que se deben evaluar en la función, ya

que pertenecen al intervalo dado, además se deben evaluar los límites del

intervalo, esto es:



14

00264045020 23 f

4644264445424 23 f

absolutoMáximo

12111264114511211 23 f

22113264134513213 23 f

Respuesta: En el año 2000 (1996+4) la asociación tuvo el mayor número de

socios, los cuales fueron 46.400 afiliados.

(Recordar que la función está en cientos de personas, por lo que el

valor se multiplica por 100).

18. En este caso se busca el mínimo de la función entre dos valores puntuales (12:00

y 16:00 horas), por lo que el mínimo a encontrar es un valor absoluto, para esto

derivamos la función una vez y encontramos los puntos críticos, esto es:

63303)( 2 tttf

063303 2 tt

3y 7 21 tt

Nótese que t corresponde al número de horas después de la apertura del local

a las 10:00 horas, por lo tanto a las 12:00 horas tenemos que 0t y a las

16:00 horas tenemos que 6t (16-10=6).

En este caso hay dos puntos críticos y sólo sirve el valor 3t , ya que

pertenece al intervalo dado. Por lo que se deben evaluar los límites del intervalo

y ese punto crítico, esto es:

7426321522 23 f

8136331533 23 f

5466361566 23 f

absolutoMínimo

a) A las 16:00 horas (t=6) se observa la menor cantidad de personas.

b) La cantidad mínima de personas en el supermercado es de 54 personas.

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