Actividad Entregable 1 Estadistica Descriptiva

Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM

Parcial de estudio: Primero

Introduccin

Conceptos bsicos, medidas de tendencia central y de dispersin,

probabilidades.

Hablar del mundo de la administracin de los negocios, de la gerencia de las

empresas de produccin de bienes y servicios, o de comercializacin de productos,

es conversar de actividades que generan una gran cantidad de datos estadsticos,

tanto cualitativos como cuantitativos, los cuales deben ser cuidadosamente

coleccionados y ordenados para ser tratados estadsticamente, a fin de generar

informacin valiosa y oportuna para la toma de decisiones.

Cualquier emprendimiento debe sustentarse en un estudio estadstico que permita

evaluar el riesgo.

La descripcin de datos comprende el estudio de: las medidas de ubicacin o de

tendencia central y las medidas de dispersin, lo que conduce a la

comprensin de la forma como estn distribuidos los datos provenientes de una

investigacin, sean estos, datos sin agrupar (datos a granel) o agrupados en una

distribucin de frecuencias.

Las medidas de tendencia central que se estudiarn son: media, mediana y moda;

y las medidas de dispersin: rango, desviacin media y desviacin estndar.

Las medidas de ubicacin o de tendencia central sealan el centro de la

distribucin de los datos, mientras que las medidas de dispersin indican cuan

concentrados o dispersos se encuentran los datos con respecto a un valor central.

Por ejemplo la desviacin estndar nos da la medida de la dispersin respecto de la

media aritmtica, comnmente conocida como media.

La descripcin de datos tambin comprende su presentacin grfica y su

anlisis. Una de las tcnicas estadsticas para representar un conjunto de datos es

el diagrama de tallo y hojas. La descripcin de los datos se complementa con el

clculo de los cuartiles, deciles y percentiles; la elaboracin de los diagramas de

caja y determinacin del sesgo o asimetra de la distribucin de los datos.

El estudio de la probabilidad permite a la estadstica realizar anlisis predictivos

de eventos o situaciones que pueden darse en el futuro, y que podran afectar no

solo el desenvolvimiento de las empresas, sino su supervivencia misma.

Asesora didctica

En la gua de este parcial debe realizar cuatro actividades de aprendizaje.

Para resolver las Actividades de Aprendizaje, inicie su estudio leyendo el

captulo I, Introduccin, pg. 1-6. Del texto gua Estadstica para Administracin y

Economa de Levin, Richard I. y Rubin, David S.

Esto le permitir conocer cules son los objetivos del curso, algo sobre la historia

de la estadstica, su divisin y las caractersticas del texto gua, para que sepa

cmo usarlo.

Es recomendable que destine un cuaderno de trabajo, en el cual usted ir

desarrollando y resolviendo los ejercicios de su gua y tambin los problemas de

autoevaluacin.



Del captulo 2, estudie 2.1. Cmo podemos ordenar datos? pp. 8-10. Este

tema permite tener una idea clara sobre las precauciones que debe tener presente

en la recoleccin de datos para un estudio estadstico.

Lea con atencin los ejercicios que se exponen en 2.2. Ejemplos de datos sin

procesar, a continuacin, en su cuaderno de trabajo realice las aplicaciones del

ejercicio 2.2. p. 12., de su texto gua.

Estudie 2.3. Ordenamiento de datos en arreglos de datos y distribuciones de

frecuencias, pp. 12-16, inmediatamente en su cuaderno de trabajo realice los

ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 2.3. p. 16, cuyas soluciones las puede ver

en la p. 19.

Luego de comprender toda la temtica expuesta, podr resolver los ejercicios de la

Actividad de Aprendizaje 1.

Para desarrollar la actividad de aprendizaje 1.1.

Clasificacin de la estadstica, tipos de variables y niveles de medicin.

En este cuadro se presenta un breve resumen sobre la clasificacin de la

estadstica, los tipos de variables y sus niveles de medicin.

Tipos de estadstica

Estadstica descriptiva.

Estadstica inferencial.

Tipos de variables

Cualitativas.

Cuantitativas.

Discretas.

Continuas.

Niveles o escalas de medicin.

De las variables cualitativas.

Nominal.

Ordinal.

De las variables cuantitativas.

De intervalo.

De razn.

Para complementar el estudio de estos temas, lea la siguiente pgina Web:

http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/insIntrod2.htm

Representaciones grficas de datos cualitativos. Los datos cualitativos se

organizan en tablas de frecuencias. Este tema no se encuentra en el texto gua,

pero es importante que lo sepa, por lo que tendr que buscar informacin en otros

textos o en Internet.

Grfica o diagrama de barras. Conjunto de barras separadas que se usa para

representar datos sobre todo cualitativos, que se han resumido en una tabla de



frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. En el eje horizontal se representan

las categoras y en el eje vertical las frecuencias.

Grfica o diagrama de pastel o de tarta. Grfica circular que se usa para

mostrar datos cualitativos de nivel nominal, donde a cada categora le corresponde

un sector circular de rea proporcional a su frecuencia o porcentaje. La suma de

los sectores debe dar 100%. Estas grficas se hacen fcilmente usando el Excel.

Para ampliar sus conocimientos sobre este tema, lea la siguiente pgina Web:

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/graficos/graficos.asp

Para resolver la actividad de aprendizaje 1.2.

Estudie 2.4. Construccin de una distribucin de frecuencias, pp. 20-22 de

su texto gua; lea sugerencias y suposiciones en el encabezado de la p. 25 y

luego realice la autoevaluacin ejercicios 2-4, p. 25, cuyas soluciones se

encuentran en la pg. 29.

En el texto se dice que en las aplicaciones de la vida real, donde se manejan

grandes volmenes de datos, para construir las distribuciones de frecuencias se

usan paquetes computacionales. Usted tambin lo puede hacer; sin embargo

conviene que los ejercicios de la gua lo haga a mano, toda vez que de esta forma

se estar preparando para las pruebas.

Estudie 2.5. Representacin grfica de distribuciones de frecuencias, pp.

29-34, aqu se explica lo que es y cmo se construye un histograma, un polgono

de frecuencias y una ojiva o polgono de frecuencias acumuladas. Ver figuras 2-7,

2-8, 2-9, 2-11 y 2-12, pp. 30, 31 y 33.

En la p. 34, se muestra la figura 2-13, en la que se explica la forma como se lee

informacin en la ojiva o menos.

En su cuaderno de trabajo, realice los ejercicios de de autoevaluacin de ejercicios

2.5, p.38, cuyas soluciones se encuentran en la p. 41.

En la p. 42, lea el artculo: estadstica en el trabajo

En la p. 45, lea el tema: repaso del captulo, donde se hallan las definiciones de los

trminos introducidos en el captulo 2.

Como elaborar una distribucin de frecuencias:

El texto gua no profundiza mayormente en este tema, por esta razn aqu se

detallan los pasos para construir una distribucin de frecuencias.

Para el efecto, supongamos que se tiene una muestra de 34 calificaciones de la

asignatura de Estadstica Descriptiva, en la que la calificacin ms baja fuese 8 y la

ms alta 38 sobre 40 puntos.

Siga los siguientes pasos:

1. Determinar el nmero K de clases.

Algunos autores recomiendan el uso de frmulas que dependen del tamao de la

muestra (nmero n de datos). Una de estas frmulas establece que: nk2 , donde

k es el nmero de clases. En el ejemplo n = 34 observaciones: 3426 , entonces se tiene k = 6 es la cantidad ptima de clases.



2. Determinar el ancho del intervalo o amplitud de clase (i).

Para ello se puede usar la frmula:

K

LHi

Donde H es el dato mayor, L el dato ms pequeo. (H L) es el rango.

En este caso: L = 8, H = 38 y k = 6, entonces: 0.56

838i .

Si sale un valor exacto un entero con decimales, se debe escoger un nmero

mayor.

3. Calcular los lmites de cada clase.

En este curso trabajaremos con intervalos semiabiertos, en los que el lmite

superior del intervalo no forma parte de l, sino que se incluye en el intervalo de la

clase que le sigue.

En el ejemplo se han elegido los siguientes lmites para las clases: [7, 12), [12,

17), [17, 22), [22, 27), [27, 32), [32, 40), con lo que la distribucin queda ms o

menos centrada.

( 7 es 1 unidades menor que el dato ms pequeo y 40 es 2 unidades mayor que el

dato ms grande)

4. Determinar las frecuencias.

Se contabiliza el nmero de elementos de cada clase. Para evitar errores de conteo,

se debe ordenar los datos de menor a mayor en un arreglo, esto puede hacer

usando Excel, si lo hace manualmente, use la tcnica de tallo y hojas.

Para resolver la actividad de aprendizaje No 1.3. Que se refiere al tema:

Medidas de tendencia central.

Estudie 3.1. Estadstica sumaria, pp. 58-60 de su texto gua. Estadstica para

Administracin Y Economa de Levin, Richard I. y Rubin, David S. El tema inicia

dando una idea de lo que es tendencia central, dispersin, sesgo y curtosis.

Estudie 3.2. Una medida de tendencia central: La media aritmtica, pp. 60-

65, aqu aprender a diferenciar entre estadsticos y parmetros, a calcular la

media aritmtica de una poblacin y la media aritmtica de una muestra de datos

no agrupados.

Tambin aprender a calcular la media aritmtica de datos agrupados en una

distribucin de frecuencias. Tenga presente que en este caso intervienen las

frecuencias y los puntos medios o marcas de clase. Adems conocer cuales son las

ventajas y desventajas de la media aritmtica.

Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.2, cuyas solucionas las

encuentra en la pg. 69.

Estudie 3.3. Una segunda medida de tendencia central: La media

ponderada, pp. 69-71; analice los ejemplos y la explicacin, resuelva los



ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.3, p. 72, cuyas soluciones se hallan en

las pginas 73-74.

Estudie 3.5. Una cuarta medida de tendencia central: La mediana, pp. 77-81,

aqu aprender a calcular la mediana de datos no agrupados y de datos agrupados.

Para calcular la mediana de datos agrupados use la frmula [3-8] ver p. 80.

Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.5, p. 81. Cuyas soluciones

las encuentra en la p. 83.

Estudie 3.6. Una medida final de tendencia central: La moda, pp. 84-86; aqu

aprender a calcular la moda de datos no agrupados y agrupados. Lea tambin las

ventajas y desventajas de la moda y la comparacin de la media, mediana y moda.

Advertencia, en la figura 3-8 (b), p. 86 hay que corregir, intercambie los nombres

de la media y la moda. Luego resuelva ejercicios de autoevaluacin de ejercicios

3.6, p. 87, sus soluciones se hallan en la p. 89.

Referencia rpida de contenidos y frmulas para el desarrollo de la

actividad de aprendizaje.

Medidas de tendencia central de datos no agrupados

Media

Media poblacional N

x

Media muestral n

xx

Media ponderada w

wxxw los w son los pesos

Mediana Para encontrar la mediana de datos no agrupados, primero hay que ordenar los datos:

Si el nmero de datos es impar, la mediana es el dato central.

Si el nmero de datos es par, la mediana es la semisuma de los dos

datos Centrales. Moda Es el valor ms frecuente de los datos. Puede haber ms de una moda.

Medidas de tendencia central de datos agrupados Media aritmtica

n

Xfx

Frmula en la que:

X = punto medio o marca de clase. f = frecuencia



Mediana

)(2 wf

Fan

LMedianam

m

Donde:

mL

= lmite inferior de la clase de la mediana

Fa = frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase de la mediana.

mf

= frecuencia de la clase que contiene a la mediana Moda Se la puede aproximar por el punto medio de la clase modal.

Un valor ms preciso se obtiene aplicando la siguiente frmula:

wdd

dLmoModa

21

1

Donde:

Lmo = lmite inferior de la clase modal

1d

= (frecuencia de la clase modal) (frecuencia de la clase que le antecede)

2d

= (frecuencia de la clase modal) - (frecuencia de la clase que le sigue)

w = es el ancho del intervalo de clase.

Para resolver la actividad de aprendizaje No 1.4. Que se refiere a las medidas

de dispersin:

Estudie 3.7. Dispersin. Por qu es importante. pp. 89-90; aqu comprender

la importancia de determinar la dispersin o variabilidad de los datos, su uso en el

anlisis financiero y en control de calidad.

Estudie 3.8. Rangos. Medidas de dispersin tiles. pp. 91-93, aqu aprender

a calcular las tres medidas, llamadas medidas de distancia, estas son: rango, rango

interfractil y rango intercuartil. Realice los ejercicios de autoevaluacin de

ejercicios 3.8, p. 94 sus soluciones se hallan en la p. 95.

Estudie 3.9. Dispersin. Medidas de dispersin promedio. pp. 96-103, aqu

aprender a calcular la varianza y la desviacin estndar de una poblacin y de una

muestra, para datos no agrupados y para datos agrupados. Se dar cuenta que en

uno y otro caso, las frmulas que se usan son diferentes.

Revise con atencin los dos ejemplos desarrollados en las pp. 101 y 102 y resuelva

los dos ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.9, pp. 103-104.

Estudie 3.10. Dispersin relativa: El coeficiente de variacin. pp. 107-108,

aqu aprender a comparar la dispersin de las distribuciones de datos usando el

coeficiente de variacin.

Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.10. p. 108, sus soluciones se

encuentran en la p. 112.



Estudie 3.11. Anlisis exploratorio de datos (AED), pp. 112-113, aqu se

explica una tcnica til en el anlisis exploratorio de datos, que consiste en la

elaboracin del diagrama de tallo y hoja, lea cules son sus ventajas y revise con

atencin el ejemplo que se expone en la p. 113.

Como preparacin para la primera evaluacin, lea repaso del captulo, pp. 118-

119:

Aqu se dan las frmulas para calcular las medidas de dispersin

Medidas de dispersin o variabilidad para datos no agrupados:

Rango = valor ms grande valor ms pequeo (Rango = H L )

Varianza

Varianza poblacional: N

x2

2

Varianza muestral: 1

2

2

n

xxs o

1

22

2

n

xnxs

La segunda frmula de la varianza muestral es una frmula directa, esta exige un menor nmero de operaciones de clculo, por lo que recomiendo su uso.

Desviacin estndar, es la raz cuadrada de la varianza.

Desviacin estndar poblacional 2

22

N

x

N

x

Desviacin estndar muestral 11

222

n

xnx

n

xxs

En general se trabaja con la desviacin estndar de la muestra, a no ser que se indique lo

contrario. Medidas de dispersin o variabilidad para datos agrupados:

Amplitud de variacin o rango

AV = lmite superior de la clase ms alta lmite inferior de la clase ms baja.

Desviacin estndar

11

222

n

xnXf

n

xXfs

Donde:

X = punto medio o marca de clase. f = frecuencia.

x = media aritmtica. Observacin

Las frmulas de las medidas de dispersin de datos agrupados son diferentes de las que se emplean con datos sin agrupar.



Dispersin relativa Coeficiente de variacin

De la poblacin: )100(vC

De la muestra: )100(x

svC

Coeficiente de asimetra o sesgo, denominado coeficiente de Pearson.

s

MedianaMediaCA

)(3

Cuartiles, deciles y centiles:

Para calcular la posicin de un cuartil, decil o percentil se usa la frmula.

100

1C

nLc

Una vez calculada la posicin del percentil, proceda a calcular el percentil conforme

se explica en los ejemplos 1 y 2. (No confunda la posicin del centil o percentil con

su valor)

Ejemplo 1

Para la posicin del primer cuartil Q1 use C = 25, para el tercer cuartil Q3 use

C= 75 (Q1 = C25; Q3 = C75 ), en algunos textos en vez de C se usa P, as

P25

Para calcular la posicin de un decil, por ejemplo D3 use C = 30; para el decil 7

D7 use C = 70

Si Lc es entero el centil es el dato de la posicin Lc

Si Lc no es entero, por ejemplo si L25 = 7.62, el centil o percentil 25 se

encontrar a 0.62 de la distancia entre el sptimo y el octavo dato, Su valor se

calcula del siguiente modo: C25 = Q1 = Dato7 + 0.62(Dato8 Dato7)

En el clculo de los cuartiles, recuerde por ejemplo que el primer cuartil Q1 es

aquel valor que es mayor o igual que el 25% de los datos y menor o igual que el

75% de ellos.

Ejemplo 2

Calcular el primer y tercer cuartiles de los siguientes datos:

8.4 8.8 9.2 10 11.3 12.5 12.9 13.6 14 15

Solucin:

En este caso: n = 10, para Q1 C = 25 y para Q3 C = 75

75.2100

25)110(25L Es la posicin de Q1, mientras que su valor es:

Q1 = Dato 2 + 0.75 (Dato 3 Dato 2)

2.93.08.8)8.82.9(75.08.81Q



De igual manera:

25.8100

75)110(75L Es la posicin de Q3, mientras que su valor es:

Q3 = Dato 8 + 0.25 (Dato 9 Dato 8)

7.131.06.13)6.1314(25.06.133Q

La mediana es 2Q se calcula del mismo que los otros cuartiles.

Diagrama de caja

El diagrama de caja permite visualizar la simetra o la asimetra de una distribucin

de datos.

Para construir un diagrama de caja se requieren 5 valores: La media, la mediana, el

dato menor o mnimo, el dato mayor o mximo y el primero y tercer cuartiles.

Rango intercuartlico

Es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil: 13 QQlicoIntercuartRango

Ejemplo 3.

Suponga que en el servicio de entrega a domicilio de cierta pizza, el tiempo mnimo

de entrega es de 15 minutos, que el tiempo mximo es de 40 minutos, que la

mediana es 25 minutos y que los cuartiles son: 5.3220 31 QQ minutos.

a) Calcular el rango intercuartlico.

b) Trazar el diagrama de caja y en base a este indique si la distribucin de los datos

es o no simtrica.

Solucin:

a) Rango intercuartlico = 32.5 20 = 12.5

b) El diagrama de caja es el que se muestra a continuacin.

Las lneas que van desde el mnimo a Q1 y desde Q3 al mximo se denominan

bigotes.

El diagrama muestra que:

1. El bigote izquierdo es ms corto que el derecho.

2. Que Q1 est ms cerca de la mediana que Q3



Comentario

Se observa que: la cola el bigote de la derecha es ms largo que el de la

izquierda, y tambin la distancia entre la mediana y 3Q

es mayor que la distancia

entre 1Q y la mediana, lo que indica que la distribucin de los datos es asimtrica, con sesgo positivo.

Para resolver la actividad de aprendizaje 1.5

Estudie el captulo 4 del texto gua Estadstica para Administracin y Economa de

Levin, Richard I. y Rubin, David S.: Probabilidad I: Ideas Introductorias.

Lea 4.1 Historia y relevancia de la teora de la probabilidad, p. 128., esto le

permitir conocer la historia del estudio de las probabilidades y sus aplicaciones.

Estudie 4.2 Terminologa bsica en probabilidad, pp. 129-130, aqu encontrar

lo que es un evento, un experimento, un espacio muestral, cuando se habla de

eventos mutuamente independientes, qu es una lista colectivamente exhaustiva.

Del ejercicio 4.2, p. 130. Y en su cuaderno de trabajo realice los dos ejercicios de

autoevaluacin, cuya solucin la encuentra en la p. 131 y responda a las preguntas

sobre conceptos bsicos 4-5 y 4-6.

Estudie 4.3 Tres tipos de probabilidad, pp. 131-134, clsica o a priori, basada

en frecuencias y subjetiva; lea tambin las sugerencias y suposiciones de la p. 134.

Del ejercicio 4.3, p. 134, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-3 y 4-4, cuyas

soluciones se hallan en las pp. 136-137.

Estudie 4.4 Reglas de probabilidad, pp. 137-141, aqu encontrar definiciones y

reglas para calcular la probabilidad marginal, la regla de la adicin para eventos

mutuamente excluyentes, la regla de la adicin para eventos que no son

mutuamente excluyentes y el uso de diagramas de Venn, que permiten relacionar

las probabilidades con la teora de conjuntos.

Del ejercicios 4.4, p. 141, en su cuaderno de trabajo realice los ejercicios de

autoevaluacin 4-5 y 4-6 cuyas soluciones las encontrar en la p. 143.

Estudie 4.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadstica,

pp. 143-148. Aqu aprender que existen tres tipos de probabilidades que se

presentan bajo la independencia estadstica: marginal, conjunta y condicional,

frmulas que se usan para su clculo y ejemplos.

De ejercicios 4.5, pp. 148-149, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-7 y 4-8,

cuyas soluciones se hallan en la p. 150.

Para la aplicacin de la parte conceptual, realice los ejercicios de conceptos bsicos

4-24, 4-25, 4-26 y 4-27.

Estudie 4.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadstica, pp.

151-155. Aqu aprender que, las probabilidades bajo condiciones de dependencia

estadstica son: Condicional, conjunta y marginal; y las frmulas que se usan para

su clculo.



De ejercicios 4.6, p. 156, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-9, 4-10; sus

soluciones se hallan en las pp. 157-158. Realice tambin los ejercicios de conceptos

bsicos 4-33, 4-34 y 4-35.

Estudie 4.7 Revisin de las estimaciones anteriores de probabilidades:

teorema de Bayes, pp. 158-162.

Aqu aprender que es una probabilidad revisada o a posteriori y la forma como se

calcula.

De Ejercicios 4.7, p. 163, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-11 y 4-12; y

tambin el 4-43 de conceptos bsicos.

En las pp. 168-169 lea el repaso del captulo 4 y las ecuaciones (frmulas)

introducidas en este captulo.

Para resolver actividad de aprendizaje 1.5, lea con atencin la siguiente

ayuda.

Aqu se dan definiciones, frmulas y ejemplos que le servirn como una referencia

rpida para el estudio y desarrollo de su tarea.

Enfoques de probabilidad

Probabilidad objetiva

Probabilidad Clsica: posibles casos de nmero

)(

favorablessosnumerodecaEP

Probabilidad emprica: nesobservaciodetotalnmero

pasadoeleneventounocurrioquevecesdenmeroEP )(

Donde: E significa evento o suceso, y )(EP se lee probabilidad de que ocurra el evento E.

Probabilidad subjetiva: Se asigna en base a la experiencia y buen criterio

Ejemplo de probabilidad clsica:

Si se lanza al aire una moneda equilibrada, cul ser la probabilidad de que se

obtenga una cruz o cara:

a) Cruz es: P(cruz) = 1/2 porque 1 de las 2 alternativas.

b) Cara es: P(cara) = 1/2 porque 1 de las 2 alternativas.

Ejemplo de probabilidad emprica:

Suponga que en un experimento se realizan 1000 ensayos y se produjo un evento

E en 200 ocasiones. Cul es la probabilidad de que en un ensayo cualquiera se

produzca el evento E?

R: P(E) =200/1000 = 1/5 = 0.20

Espacio muestral:

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, es decir es el

conjunto universo de ese experimento; a este conjunto se suele representarse

mediante la letra S o con el smbolo .

Ejemplos:



1. El espacio muestral del lanzamiento de una moneda es: S= cs, donde s=sello y

c = cara

2. El espacio muestral en el lanzamiento de un dado es: S = 6,5,4,3,2,1

3. El espacio muestral en el lanzamiento de dos monedas es

S = ),(),,(),,(),,( ccscsscs

4. Si en una urna hay 5 bolas rojas, 3 blancas y 4 azules y se saca al azar dos

bolas, el espacio muestral es el siguiente:

S = ),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,( aabaraabbbrbarbrrr

Relacin entre la probabilidad y la teora de conjuntos

El estudio de las reglas de probabilidad est estrechamente relacionado con la

teora de conjuntos, para ello se asimila un evento con un conjunto. En conjuntos En probabilidades U = Conjunto universo S = Espacio muestral. A = Subconjunto de U E = Evento

= Conjunto vaco = Evento nulo

A= Complemento de A E = Evento contrario de E

AAUAUA

Axiomas de Kolmogorov 1. P(E) 0 La probabilidad de un evento es un nmero comprendido entre 0 y 1 2. P(S) = 1 La probabilidad del espacio muestral es 1 3. P(E1 E2 En) = P(E1) + P(E2)+ +P(En) donde E1, E2,, son eventos mutuamente

excluyentes.

Propiedades de las probabilidades

1. 0)(P

2. 0 P(E) 1

3. 1)()()()()(1)( SPAAPAPAPAPAP

4. Si )()( BPAPBA

5. )()()()( BAPBPAPBAP )

Diagramas de Venn Conjunto Universo

Conjunto A

Complemento de A es la parte del universo que no es A Conjuntos A y B disjuntos

Conjuntos A y B secantes o Solapados



Reglas de probabilidad

Regla especial de adicin

Se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos Para un par de eventos A, B: P(A o B) = P(A) + P(B) Para tres eventos A, B, C : P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C) En el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules, calcular la probabilidad de que al sacar una bola de la urna esta sea: a) Roja o Blanca: P(roja o blanca) = P(roja) +P(blanca) = 3/10 + 2/10 =

b) Blanca o azul: P(blanca o azul) =P(blanca) + P(azul) = 2/10 + 5/10 = 7/10

Regla general de la adicin

Se aplica para calcular la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento que no sean mutuamente excluyentes. (la frmula es vlida tambin para eventos mutuamente

excluyentes dado que P(A y B) = 0 ) Para los eventos A, B: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) Ejemplo: Un estudiante est tomando Algebra y Castellano, si la probabilidad de que apruebe algebra es 0.75, la de que apruebe Castellano es 0.9 y la probabilidad de que apruebe Algebra y Castellano es 0.70. Se pregunta cual es la probabilidad de que apruebe

Algebra o Castellano.

P(A o C) = P(A) + P(C) P(A y C) = 0.75 + 0.90 - 0.70 = 0.95

Para resolver estos problemas debe realizar un diagrama de Venn como el de la

figura.

Regla especial de la multiplicacin

Se aplica para calcular la probabilidad conjunta de ocurrencia de eventos

independientes.

Para dos eventos A y B: P(A y B) = P(A) P(B) Para tres eventos A, B y C: P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C) Ejemplo: Se lanza un dado por dos ocasiones, cul es la probabilidad de que en los dos lanzamientos caiga en 3?

P(3, 3) = P(3) P(3) = (1/6) (1/6) = 1/36 Obsrvese que el resultado del segundo lanzamiento es independiente del

primero.

Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que ocurra un evento B, dado que ya ocurri un evento A. o tambin

la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ya ocurri el evento B. Esto se escribe:



)(

)B ()/(

AP

yAPABP

)(

B)y ()/(

BP

APBAP

Si se cumple que )()/( APBAP los eventos o sucesos A y B son estadsticamente

independientes

Regla general de la multiplicacin

Se aplica para calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes, es decir, cuando la ocurrencia de uno de ellos est condicionada a la ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A) P(B/A) o tambin P(A y B) = P(B) P(A/B)

Estas frmulas y las de la probabilidad condicional estn relacionadas, ya que las unas se obtienen de las otras mediante despejes.

Tomemos el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules y supongamos que se desea calcular la probabilidad de que al sacar una bola y luego otra, la primera sea roja y la segunda blanca:

P(R y B) =15

1

90

6

9

2

10

3)/()( RBPRP

Obsrvese que la probabilidad de que la primera vez salga roja es 3 /10, pero al haber sacado una roja ahora nos quedan en total 9 bolas, de las cuales 2 son blancas. Calculemos ahora la probabilidad de sacar una bola roja y una azul: Como no se indica el orden tendremos que:

P(R y A) = P(R, A) + P(A, R) =3

1

9

3

10

5

9

5

10

3

Tabla de contingencia o matriz de probabilidad Los problemas de probabilidades se resuelven fcilmente usando una tabla de contingencia o

matriz de probabilidad, en ella se pueden leer las probabilidades a priori y las probabilidades conjuntas o de interseccin. Adems permite calcular fcilmente las probabilidades de la unin de eventos y las condicionales, tal como se ilustra a continuacin. Ejemplo: El personal que labora en una empresa est formado por hombres y mujeres que

trabajan en las siguientes secciones: Gerencia, Profesional y Tcnica, cuyos datos se resumen en la siguiente tabla:

Seccin

Gnero

Hombre Mujer

Gerencia Profesional Tcnica

8 24 50

3 16 35

Complete esta tabla de contingencia y luego suponiendo que se elige al azar un empleado

calcule las siguientes probabilidades. a) La probabilidad de que sea mujer. b) La probabilidad de que sea hombre y trabaje en la seccin tcnica c) La probabilidad de de que trabaje en Gerencia o en la seccin profesional d) La probabilidad de que trabaje en gerencia, dado que sea mujer.

e) La probabilidad de que sea hombre dado que trabaje en la Seccin tcnica. Solucin: A la tabla de los datos le aadimos una fila y una columna para los totales parciales de las filas y de las columnas. En la celda del extremo inferior derecho se coloca el total horizontal y vertical.

Seccin

Gnero Total Hombre Mujer

Gerencia

Profesional

8

24

3

16

11

40



Tcnica 50 35 85

Total 82 54 136

a) P(Mujer) = 54/136 b) P(Hombre y Tcnica) = 50/136 c) P (Gerencia o Profesional) = P(Gerencia) + P(Profesional) = 11/136 + 40/136 = 51/136 d) P(Gerencia/ Mujer) = 3/54 En la columna de MUJER vemos que 3 de las 54 trabajan en

gerencia. Tambin se puede aplicar la frmula de la probabilidad condicional.

54

3

136/54

136/3

)(

)()/(

MujerP

MujeryGerenciaPMujerGerenciaP

e) P(Hombre/ Tcnica) = 50/85 En la fila TECNICA se ve que 50 de los 85 tcnicos son

hombres.

Aplicando la frmula:

17

10

85

50

136/85

136/50

)(

)()/(

TecnicaP

TecnicayHombrePTecnicaHombreP

Explicacin del teorema de Bayes En la siguiente grfica sea S el espacio muestral y sean

los eventos 4321 ,,, AAAA mutuamente excluyentes

y colectivamente exhaustivos, de modo que:

4321 AAAAS

Y sea el evento B tal que:

)()()()( 4321 BABABABAB

Entonces la probabilidad de que ocurra B viene dada por:

)()()()()( 4321 ByAPByAPByAPByAPBP ; luego:

)/()()/()()/()()/()()( 44332211 ABPAPABPAPABPAPABPAPBP

Esta es la probabilidad total de que ocurra B.

De la probabilidad condicional sabemos que:

)(

)B ()/(

AP

yAPABP

)(

B)y ()/(

BP

APBAP

De aqu se tiene que:

)()/()()/()( APABPBPBAPAyBP

Es decir:

)()/()()/( APABPBPBAP

Si ahora suponemos que P(A1) es una probabilidad a priori, P(B/A1) es la probabilidad condicional de que ocurra B dado que ocurri A1; y pensemos que se quiere calcular la

probabilidad a posteriori de que ocurra A1 dado que ocurri B, simplemente despejemos P(A1/B); segn la frmula anterior.



)(

)/()()/( 111

BP

ABPAPBAP

Donde P(B) es la probabilidad total de B, sustituyendo P(B) en el denominador se obtiene la frmula del Teorema de Bayes.

)/()()/()()/()()/()(

)/()()/(

44332211

111

ABPAPABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

Reglas de conteo

1.- Frmula de la multiplicacin

Si hay m formas de realizar una cosa y n formas de hacer otra, habrn mxn

formas de realizar ambas en conjunto. Esta regla se extiende a 3, 4 ms

acciones.

Ejemplo: Un joven tiene 3 pares de zapatos, 4 pantalones y 5 camisas. De

cuantas maneras puede vestirse?

N = 3x4x5 = 60 (puede vestirse de 60 formas)

Ejemplo: De cuantas maneras puede usted colocar 4 libros en un estante?

El libro que va a colocar en primer lugar puede elegir de 4 maneras, le quedan 3

libros, entonces el que va a colocar en la segunda posicin puede elegirse de 3

maneras; le quedan 2 para la tercera posicin; y una vez colocado el tercero le

queda 1 para la cuarta posicin; es decir: No de formas = 4x3x2x1 = 24 = 4!

2.- Permutaciones: !)(

!Pr

rn

nn Nos da el nmero de arreglos de r objetos

tomados de un grupo de n objetos. Un arreglo se diferenciar de otro por el orden

de sus elementos, por ejemplo ab y ba son diferentes.

Ejemplo: Cuantos nmeros de 2 cifras se pueden escribir usando los dgitos 1, 2 y

3 bajo la condicin de que no haya dgitos repetidos.

6!)23(

!323P

Los nmeros de dos cifras construidos con los dgitos 1, 2 y 3 son efectivamente 6,

tal como usted puede ver: 12 13 21 23 31 32

3.- Combinaciones: !)(!

!

rnr

n

r

nnCr

Las combinaciones son arreglos de r objetos tomados de un grupo de n objetos,

donde no importa el orden de ellos.

Ejemplo: Con los dgitos 1, 2 y 3, cuantas sumas diferentes se puede tener, tomando dos a dos, bajo la condicin de que no haya dgitos repetidos. Observe que en este caso no importa el orden porque por ejemplo las sumas 1+2 y 2+1 son las mismas, entonces el nmero de sumas distintas son:

3!1!2

!3

2

323C

Ejemplo: Cuantas combinaciones de dos letras se pueden formar con las letras A, B, C y D?



6!212

!234

!2!2

!424

xx

xxC

Estas combinaciones son: AB AC AD BC BD y CD.

Obsrvese que como combinacin AB y BA es la misma, pero no como

permutacin.

Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1.

Planteamientos

Problema 1

La siguiente distribucin de frecuencias representa el nmero de das en

que los empleados de la Compaa Industrial E.J. Wilcox estuvieron

ausentes a causa de enfermedad, durante un ao.

Numero de das ausentes

Nmero de empleados

0 hasta 3 5

3 hasta 6 12

6 hasta 9 23

9 hasta 12 8

12 hasta 15 2

TOTAL 50

a. Suponiendo que lo anterior es una muestra. Cul es su tamao?

(0.25 puntos)

b. Cul es el punto medio de la primera clase?(0.25 puntos)

c. Elabore el histograma (0.5 puntos)

d. Debe obtenerse un polgono de frecuencias. Cules son las

coordenadas en la grfica para la primera clase? (0.5 puntos)

e. Elabore un polgono de frecuencias (0.5 puntos)

f. Interprete la tasa de ausentismo de los empleados utilizando ambas

grficas. (0.5 puntos)

Problema 2

El Departamento de Agricultura de Nebraska tiene los siguientes datos que

representan el crecimiento mensual( en pulgadas) de muestras de maz

recin plantado:

0.4 1.9 1.5 0.9 0.3 1.6 0.4 1.5 1.2 0.8

0.9 0.7 0.9 0.7 0.9 1.5 0.5 1.5 1.7 1.8

a. Organice los datos en un arreglo descendente. (0.25 puntos)

b. Construya una distribucin de frecuencias relativas utilizando intervalo

de 0.25 (0.25 puntos)



c. A partir de lo que ha hecho hasta este punto. qu conclusiones puede

sacar acerca del crecimiento en la muestra? (0.5 puntos)

d. Construya una ojiva que le ayude a determinar que fraccin del maz

creci a una tasa mayor que una pulgada por semana. (0.5 puntos)

e. Cul fue la tasa de crecimiento semanal aproximada del elemento

medio del ordenamiento de datos? (0.5 puntos)

Objetivos

Construir representaciones grficas de datos cualitativos.

Ordenar datos cuantitativos en listas o arreglos ordenados en forma

ascendente o descendente, medidas de dispersin.

Orientaciones

didcticas

Para resolver el problema 1, lea las pginas que se encuentran al final de

la gua correspondiente al libro Estadstica para Administracin y Economa

de Lind, Marchall y Mason, captulo 2.

Para resolver el problema 2, debe haber ledo los temas 2.2 y 2.3 del texto

gua.

Criterios de

evaluacin

Usa escalas y leyendas en los ejes y traza correctamente el diagrama de

barras.

Usa leyendas en el diagrama de pastel.

Lee e interpreta los resultados.


Planteamientos

Problema 1

Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las

calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. El

promedio de tareas tendr un valor del 20% de la calificacin del

estudiante; el examen semestral, 25%; el examen final, 35%; el artculo

de fin de semestre, 10%, y los exmenes parciales, 10%. A partir de los

datos siguientes, calcule el promedio final para los cinco estudiantes del

seminario.

Estudiantes Tareas Parciales Artculo Ex.

semestral Ex.

Final

1 85 89 94 87 90

2 78 84 88 91 92

3 94 88 93 86 89

4 82 79 88 84 93

5 95 90 92 82 88

(0.5 puntos).

Problema 2

Considere la siguiente informacin acerca de la cantidad de empleos no

agrcolas (en miles de trabajadores) durante marzo de 1992 en Estados



Unidos, incluyendo Puerto Rico y las Islas Vrgenes:

Alabama 1639 Montana 299,3

Alaska 235,5 Nebraska 730,6

Arizona 1510 Nevada 638,4

Arkansas 951,1 New Hampshire 466,5

California 12324,3 New Jersey 3390,7

Colorado 1552,7 New Mexico 583,3

Connecticut 1510,6 New York 7666,4

Delaware 335,2 North Carolina 3068,3

Distrtito de Columbia 667

North Dakota 271

Florida 5322,8 Ohio 4709,9

Georgia 2927,1 Oklahoma 1196,9

Hawaii 546,3 Oregon 1245,6

Idaho 400,4 Penrisylvania 4992,1

Illinois 5146,2 Rhode Island 413,2

Indiana 2496,3 South Carolina 1494,6

Iowa 1229,2 South Dakota 295,6

Kansa 1108,3 Tennessee 2178,6

Kentucky 1474,8 Texas 7209,7

Lousiana 1617,5 Utah 752,2

Maine 500 Vermont 244,8

Maryland 2037,3 Virginia 2792,4

Massachusetts 2751,6 Washington 2165,8

Michigan 3828,9 West Virginia 622,1

Minnesota 2117,1 Wisconsin 2272,1

Mississippi 940,9 Wyoming 198

Missouri 2275,9 Puerto Rico 842,4

Islas Virgenes 42,4

Fuente: Sharon R. Cohany, Employment Data, en Monthly Labor Review 115(6), junio de 1992: 80-82.

a) Organice los datos en diez clases mutuamente excluyentes de igual

ancho. (0.5 puntos).

b) Determine las frecuencias absolutas y relativas que caen dentro de

cada clase. (0.5 puntos).

c) Son estos datos discretos o continuos? (0.5 puntos).

d) Construya una distribucin y una ojiva de frecuencias acumuladas

menor que para la distribucin de frecuencias relativas del inciso b). (0.5 puntos).

e) Con base en la ojiva del inciso d, qu fraccin de los estados tiene un

nivel de empleo no agrcola mayor a los tres millones? (0.5 puntos).



Objetivos

Construir distribuciones de frecuencias centradas y representar las

distribuciones de datos mediante grficas.

Orientaciones

didcticas

El problema 1, es una aplicacin de la media ponderada.

Para resolver el problema 2 debe haber estudiado los temas 2.4 y 2.5 del

texto gua.

Puede ampliar sus conocimientos buscando informacin en el Internet,

para el efecto puede digitar: Estadstica descriptiva o tambin Agrupacin

de datos en intervalos.

Importante: En este curso trabajaremos con intervalos

semiabiertos, vea el ejemplo de la Ayuda 1.2

Criterios de

evaluacin

Construye distribuciones de frecuencias en forma correcta.

Calcula frecuencias relativas.

Traza histogramas, polgonos de frecuencia y ojivas usando escalas

adecuadas.

Lee resultados en la Ojiva O menos u O ms.


Planteamientos

Problema 1

Los siguientes datos representan las edades de los pacientes admitidos en

un pequeo hospital el da 28 de febrero de 1996:

85 75 66 43 40

88 80 56 56 67

89 83 65 53 75

87 83 52 44 48

Datos no agrupados

a) Construya una distribucin de frecuencias con clases 40-49, 50-59,

etctera. .(0.5 puntos)

b) Calcule la media de la muestra a partir de la distribucin de

frecuencias. .(0.5 puntos)

c) Calcule la media de la muestra a partir de los datos sin procesar. .(0.5

puntos)

d) Compare los incisos b) y c) y comente su respuesta. .(0.5 puntos)

Problema 2

Para la siguiente distribucin de frecuencias, determine:

a) La clase de la mediana.(0.5 puntos)

b) El nmero de elemento que representa la mediana. (0.5 puntos)

c) El ancho de los pasos iguales en la clase de la mediana.(0.5 puntos)

d) El valor estimado de la mediana para estos datos .(0.5 puntos)



Clase Frecuencia Clase Frecuencia

100-149.5 12 300-349.5 72

150-199.5 14 350-399.5 63

200-249.5 27 400-449.5 36

250-299.5 58 450-499.5 18

Objetivos

Calcular medidas de tendencia central de datos sin agrupar y de datos

agrupados.

Establecer la diferencia entre las frmulas y procedimientos de clculo

que se emplean con en uno y otro caso.

Orientaciones

didcticas

El problemas 1 se refieren a las medidas de tendencia central de datos

no agrupados.

El problema 2, es una aplicacin de las medidas de tendencia central de

datos agrupados.

Las frmulas a aplicarse en cada ejercicio se encuentran en la ayuda

1.3.

Criterios de

evaluacin

Conoce el propsito, significado y propiedades de las medidas de tendencia

central.

Calcula las medidas de tendencia central de datos no agrupados y

agrupados.

Diferencia las frmulas que se usan con datos sin agrupar y con datos

agrupados.


Planteamientos

Problema 1

Segn datos tomados del SRI (Servicio de Rentas Internas), los siguientes

datos representan las declaraciones trimestrales de impuestos por ventas

(en miles de dlares), de 25 negocios establecidos en una ciudad del

Ecuador, correspondientes al perodo que finaliz.

7.9 11.7 10.8 11.4 9.2

12.9 11.1 9.1 12.8 10.0

9.8 11.1 10.3 11.1 9.9

12.4 5.4 7.2 11.3 13.1

14.5 9.1 9.6 11.1 10.2

Con estos datos sin agrupar realizar los siguiente:

a) Calcular el rango. (0.5 puntos)

b) Calcular la media y la mediana. (0.5 puntos)

c) Calcular el primer y tercer cuartiles. (0.5 puntos)

d) Trazar un diagrama de caja. ((0.5 puntos)

e) Comente sobre la forma de la distribucin de los datos. (0.5 puntos)

f) Calcular la desviacin estndar (0.5 puntos)

g) Calcular el coeficiente de variacin.(0.5 puntos)



Problema 2

Encuentre la media y la desviacin estndar de las siguientes

distribuciones binomiales: (1.0 punto)

a) n =16, p= 0.40.

b) n =10, p =0.75.

Problema 3

Los siguientes datos representan el nmero de cheques en dlares

rechazados de una muestra tomada en 23 bancos, firmados por clientes

que depositan directamente y que mantienen un saldo promedio de $1000.

260 200 210 250 200 250

300 150 290 180 180 220

280 200 220 250 200 300

300 200 250 150 250

a) Elaborar un diagrama de tallo y hoja para estos datos (0.5 puntos)

b) Alrededor de que valor, si lo hay, se encuentran concentrados los

valores de los cheques rechazados? Explique su respuesta. (0.5

puntos)

Objetivo

Calcular las medidas de dispersin: rango, varianza, desviacin estndar y

desviacin relativa para describir como se dispersan los datos, analizando sus limitaciones y bondades de cada uno de ellos.

Orientaciones didcticas

Para resolver el problema 1 debe haber estudiado los temas 3.7 y 3.8,

adems lea la ayuda 1.4.

Para resolver el problema 2, debi haber estudiado el tema 3.9 del texto

gua y sus ejemplos.

Para resolver el problema 3, debe primero estudiar el tema 3.11 del texto

gua. pp. 112-114

Criterios de evaluacin

Calcula el rango, percentiles (cuartiles) aplicando las frmulas en forma

correcta.

Calcula las medidas de dispersin de datos no agrupados y agrupados.

Usa correctamente las frmulas pertinentes a cada situacin.

Traza diagramas de caja e interpreta en forma correcta la simetra o

asimetra o sesgo de las distribuciones de los datos.

Usa el teorema de Chebychev para medir la concentracin de los datos

alrededor de la media.

Conoce lo que es la desviacin relativa y para qu sirve.


Planteamientos

Problema 1 (0.5 puntos)



Hay 52 cartas en una baraja americana

Cul es la probabilidad de que la primera carta que se saque sea una de

espadas?


La probabilidad de un suceso A es 1/3, la de B es 2/4 y la de la

interseccin 3/8. Calcule:

a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.

b) La probabilidad de que no suceda A.

c) La probabilidad de que no ocurra ni A ni B.

d) La probabilidad de que no ocurra A o bien no ocurra B.


Se lanza un solo dado

Cul es la probabilidad que caiga un ``dos``?

Problema 4

La tienda de departamentos Friendly ha sido objeto de muchos robos

durante el ltimo mes; pero, debido al aumento en las medidas de

seguridad, se ha detenido a 250 ladrones. Se registr el sexo de cada

ladrn; tambin se anot si se trataba de un primer delito o era

reincidente. Los datos se resumen en la siguiente tabla.

Sexo Primera ofensa Reincidente

Hombre 60 70

Mujer 44 76

104 146

Suponga que se elige al azar un ladrn detenido, calcule:

a) la probabilidad de que el ladrn sea hombre. (0.3 puntos)

b) la probabilidad de que sea la primera ofensa, dado que es hombre. (0.3 puntos)

c) la probabilidad de que sea mujer, dado que es reincidente. (0.3puntos)

d) la probabilidad de que sea mujer, dado que es la primera ofensa. (0.3 puntos)

e) la probabilidad de que sea hombre y reincidente.(0.3 puntos)

Objetivos

Comprender que son las probabilidades de eventos mutuamente

excluyentes, dependientes e independientes mediante el estudio de los

principios tericos y sus reglas para el clculo de las probabilidades de

dichos eventos.

Orientaciones

didcticas

Los problemas contienen el clculo de probabilidades simples y

probabilidad acumulada, ver conteo y clculo de probabilidades.



Puntaje por actividad

El tutor de la asignatura

Tambin se incluye probabilidades conjuntas y condicionales con eventos

dependientes e independientes, se calculan fcilmente a partir de la tabla de contingencias. Ver aplicacin del teorema de Bayes. Ver AYUDA.

Criterios de

evaluacin

Conoce las frmulas de conteo y las aplica en forma correcta.

Conoce los fundamentos de las probabilidades.

Calcula probabilidades de eventos mutuamente excluyentes, de eventos

dependientes e independientes aplicando las frmulas pertinentes.

Organiza e interpreta datos de una matriz de contingencia.

Construye diagramas de rbol.

Aplica la regla de Bayes para calcular probabilidades revisadas o a

posteriori.

Formato de

entrega

Archivo de Microsoft Office.

Enviar a

Enve las actividades de aprendizaje a travs de la plataforma, mediante la

seccin Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:

Formato: G1.Apellido.Apellido.Nombre.Estad.descriptiva

Preguntas o

dudas

Enve sus preguntas o dudas a travs de la plataforma: Utilice la seccin

Enviar correo y marque el nombre de su tutor.

Actividades de aprendizaje

Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1. 4.5





Suman 20

En caso de que para el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, frmulas, esquemas o

grficos, estos sern incluidos como parte del examen

o en un anexo.

Documents

Actividad Entregable 1 Estadistica Descriptiva