ACTIVIDADES de la página 9 a) Alea jacta est». · La frase «Alea jacta est» codificada se convierte en DÑHD MDFWD HVW. b) El atbash hebreo: usado en el libro de Jeremías de

Matemáticas Aplicadas CC-SS II- UD1 MATRICES SOLUCIONARIO

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ACTIVIDADES de la página 9 a) El cifrado de César: empleado por Julio César para comunicarse con los legados de sus legiones. ¿En qué consiste? Codifica la célebre frase de César: «Alea jacta est».

Julio César cifraba su correspondencia mediante un algoritmo de sustitución de este tipo: cada letra del mensaje original era sustituida por la que seguía tres posiciones más adelante en el alfabeto: la letra A era sustituida por D, la B por E, la C por F, y así hasta la última letra.

El algoritmo de sustitución puede verse en la tabla. En la primera fila puede verse el alfabeto original y en la segunda fila el alfabeto cifrado.

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z

D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C

La frase «Alea jacta est» codificada se convierte en DÑHD MDFWD HVW.

b) El atbash hebreo: usado en el libro de Jeremías de la Biblia. Busca información sobre él y codifica el mensaje «examen el día catorce».

El cifrado se realizaba con las letras del alfabeto hebreo. Nosotros los vamos a realizar con las letras del alfabeto latino.

Se trata de otro algoritmo de sustitución que aparece en la tabla siguiente. Como en el cifrado de César, en la primera fila puede verse el alfabeto original y en la segunda fila el alfabeto cifrado.

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Z Y X W V U T S R Q P O N M L K J I H G F E D C B A

El mensaje «examen el día catorce» codificado es VCZNVM VO WRZ XZGLIXV.

c) El cifrado de Polibio: ideado por el historiador griego Polibio, fue utilizado durante mucho tiempo. Encuentra su forma de proceder y codifica la frase «Queremos fin guerra».

Polibio colocó las letras del alfabeto en una tabla 5 x 5. El sistema de cifrado consistía en hacer corresponder a cada letra del alfabeto un par de letras que indicaban la fila y la columna, en la cual aquella se encontraba.

La frase «Queremos fin guerra» se codifica en la expresión:

“DADEAEDBAECBCDDC BABDCC BBDEAEDBDBAA”.

A B C D E

A A B C D E

B F G H I, J K

C L M N, Ñ O P

D Q R S T U

E V W X Y Z



En este caso la frase «Queremos fin guerra» quedaría codificada con la expresión:

“4145154215323443 212433 224515424211”.

d) El cifrado Hill: inventado por el matemático norteamericano Lester Hill en 1929. Utiliza matrices en el cifrado. Los pasos del procedimiento de cifrado están expuestos en las página 54 y 55 de este libro de texto.

Usando el código numérico:

A B C D E F G H I J K L M N

17 7 21 15 27 8 10 20 3 26 19 4 11 28

Ñ O P Q R S T U V W X Y Z ---

14 5 18 9 23 1 12 25 6 16 13 22 2 24

Codifica el mensaje «En el mismo lugar», utilizando la matriz A de cifrado, siendo:

El mensaje anterior, según el código numérico se transforma es:

Mensaje

E N _ E L _ M I S M O _ L U G A R _

Mensaje con

código numérico

27 28 24

27 4 24

11 3 1 11 5 24 4 25 10

17 23 24

1 2 3 4 5

1 A B C D E

2 F G H I, J K

3 L M N, Ñ O P

4 Q R S T U

5 V W X Y Z

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -=

210011101

A



Para enviar de forma cifrada el mensaje anterior se toma la secuencia numérica de la segunda fila de la tabla y se multiplica, tomando los números de tres en tres por la matriz de cifrado:

(I) (IV)

(II) (V)

(III) (VI)

Mensaje codificado

con

código numérico

3 27 20

3 3 24

10 14 5

15 16 25

22 1 17

21 12 15

Mensaje codificado

I E H I I _ G Ñ O D W U Y S A C T D

El mensaje codificado será: IEHII_GÑODWUYSACTD.

Nota: Si deseamos descodificar el mensaje codificado utilizaremos la matriz inversa de A, es decir,

y procedemos como hemos hecho en la codificación.

Ofrecemos bibliográfica donde encontrar información sobre las cuestiones expuestas, además en internet puede localizarse, sin dificultad, trabajos realizados sobre los aspectos reseñados.

GÓMEZ URGELLÉS, JOAN. (2010) Matemáticos, espías y piratas informáticos (Codificación y criptografía). RBA.

GONZÁLES VASCO, Mª ISABEL. (2018) Las matemáticas de la criptología (Secretos demostrables y demostraciones secretas). Los libros de la catarata.

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -

20273

76553

242827

·210011101

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -

251615

531613

24511

·210011101

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -

2433

52313

24427

·210011101

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -

17122

45296

10254

·210011101

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -

51410

1311

·210011101

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -

151221

71407

242317

·210011101

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

-=-

111122112

1A



CUESTIONES INICIALES de la página 10

1. Los electrodomésticos que vende una cadena en una gran ciudad los tiene en cuatro comercios C1, C2, C3 y C4. Vende tres marcas de televisores TV1, TV2 y TV3. En un momento determinado, el comercio C1 tiene 20 televisores de la marca TV1, 18 del tipo TV2 y 16 del TV3. El comercio C2, 22, 16 y 38, respectivamente. De igual forma, el comercio C3, 30, 40 y 10. Por último, las unidades de C4 son 15, 25 y 20. Expresa, de forma ordenada, los datos anteriores en una tabla.

En las filas de la tabla se han colocado las marcas de los televisores y en las columnas los comercios, obteniéndosela tabla:

C1 C2 C3 C4

TV1 20 22 30 15

TV2 18 16 40 25

TV3 16 38 10 20

2. Encuentra las soluciones de los sistemas siguientes por el método de Gauss, expresándolos en forma matricial:

a) b)

La resolución de los sistemas puede expresarse en la forma siguiente:

a) En la primera matriz realizamos la operación elemental por filas: multiplicamos por 2 la primera fila y por 3 la segunda, restando los productos anteriores y colocando los resultados en la segunda fila (2F1 – 3F2 → F2), y obtenemos la segunda matriz.

La segunda matriz proporciona la solución: x = 2, y = - 3.

b) En la primera matriz realizamos las operaciones elementales por filas: 2F1 + F2 → F2 y 3F1 + F3 → F3 y obtenemos la segunda matriz. En esta matriz realizamos la operación elemental por filas 9F2 + F3 → F3 y obtenemos la tercera matriz.

La tercera matriz proporciona la solución: x = - 1, y = 2, z = - 2.

îíì

=-=+195233

yxyx

ïî

ïí

ì

=-+-=+-=-+-

723314521132

zyxzyxzyx

÷÷ø

öççè

æ-

@÷÷ø

öççè

æ- 51170

3131952313

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-----

@÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-----

@÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

--

1125600851011321

401190851011321

72331415211321



ACTIVIDADES de la página 12

1. Identifica con la notación aij los elementos de la matriz .

Los elementos de la matriz son a11 = 0; a12 = - 1; a13 = 3; a21 = - 2; a22 = 1 y a23 = - 4.

÷÷ø

öççè

æ--

-412310




2. Dadas las matrices , y , calcula:

a) 3(A – B) - 6C b) 2A -3 (B + C)

a) 3 (A – B) – 6 C = - 6 =

b) 2A -3(B + C) = - =

3. Calcula x, y, z en la expresión: .

Operando e igualando las matrices resultantes, obtenemos: x = 4, y = 3 y z = 8.

3 3 51 0 2

A æ ö= ç ÷-è ø

1 5 31 4 2

B æ ö= ç ÷è ø

1 1 10 2 2

C-æ ö

= ç ÷- -è ø

2 2 230 4 4

-æ öç ÷- -è ø

1 1 10 2 2

-æ öç ÷- -è ø

0 0 00 0 0æ öç ÷è ø

3 3 521 0 2æ öç ÷-è ø

2 4 431 2 0æ öç ÷è ø

0 6 21 6 4

- -æ öç ÷- - -è ø

÷÷ø

öççè

æ --÷÷

ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ-

-zy

x2

42·3

221

·270

2·4




4. Calcula A2 – 2A - I siendo .

Hallamos A2:

Realizamos la operación:

5. Sean las matrices A4 x 3, B4 x 2 y C2 x 3. Determina la dimensión de las siguientes matrices:

a) At · B b) A · Ct c) B · C d) C · At e) B · C + A f) Bt · A - C

Las dimensiones de las matrices resultantes de las operaciones son:

a) At · B: (3 x 4) · (4 x 2) (3 x 2)

b) A · Ct: (4 x 3) · (3 x 2) (4 x 2)

c) B · C: (4 x 2) · (2 x 3) (4 x 3)

d) C · At: (2 x 3) · (3 x 4) (2 x 4)

e) B · C + A: (4 x 2) · (2 x 3) + (4 x 3) (4 x 3) + (4 x 3) (4 x 3)

f) Bt · A - C: (2 x 4) · (4 x 3) + (2 x 3) (2 x 3)+ (2 x 3) (2 x 3)

6. Calcula el valor de x e y para que las matrices y conmuten.

Se cumplirá:

÷÷ø

öççè

æ--

=1331

A

÷÷ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ--

÷÷ø

öççè

æ--

==8008

1331

·1331

·2 AAA

2 8 0 2 6 1 0 7 620 8 6 2 0 1 6 11

A A I- - - -æ ö æ ö æ ö æ ö

- - = - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø è ø è ø

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ Þ

Þ Þ

÷÷ø

öççè

æ=

1331

A ÷÷ø

öççè

æ=

yxB

21

Þ÷÷ø

öççè

æ++

=÷÷ø

öççè

æ++++

Þ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æÞ=

yxyxyxyx

yxyxABBA

3357

633231

1331

·2121

·1331

··

îíì

==

Þ

ïïî

ïïí

ì

+=++=+

=+=+

Þ12

3633

532731

yx

yxyyxx

yx



7. Halla el valor de x en la matriz para que se cumpla la igualdad A2 = 4I, siendo I la matriz

unidad de orden 3.

Operamos en la igualdad A2 = 4I:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--

=x

xA

1002002

{ 202042

4

400040004

20040042

1002002

·10

02002

·

2

2

2

2 =Þïî

ïí

ì

=+-=+-

=Þ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

+-

+-=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--

== xx

xx

xx

xx

x

x

x

xAAA




8. Determina las matrices 2 x 2 de la forma tales que , siendo Mt la matriz

traspuesta de M.

Operando obtenemos:

La matriz M puede ser o .

9. Dadas las matrices y , comprueba que:

a) (A + B)t = At + Bt b) (A · B)t = Bt · At

a) y

b) y

÷÷ø

öççè

æ=

yx

M01

÷÷ø

öççè

æ=

4001

· tMM

Þ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ +Þ÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æÞ÷÷

ø

öççè

æ=

40011

4001

01

·01

4001

· 22

yxyxyx

yx

yx

MM t

îíì

±==

Þïî

ïí

ì

=

==+

Þ2

0

40

11

2

2

yx

yxy

x

÷÷ø

öççè

æ=

2001

M ÷÷ø

öççè

æ-

=2001

M

÷÷ø

öççè

æ -=

0321

A ÷÷ø

öççè

æ-

=1204

B

1 2 4 0 5 23 0 2 1 1 1

A B- -æ ö æ ö æ ö

+ = + =ç ÷ ç ÷ ç ÷-è ø è ø è ø÷÷ø

öççè

æ-

=+1215

)( tBA

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ -+÷÷

ø

öççè

æ-

=+1215

1024

0231tt BA

1 2 4 0 8 2· ·

3 0 2 1 12 0A B

- -æ ö æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷ ç ÷-è ø è ø è ø

÷÷ø

öççè

æ-

=02128

)·( tBA

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ -=

02128

0231

·1024

· tt AB




10. Para la matriz , encuentra las matrices que cumplan .

Operamos e igualamos las matrices resultantes:

i) Para x = - 1, y = 2 la matriz es .

ii) Para x = 1, y = - 2 la matriz es .

÷÷ø

öççè

æ=

yx

A01

÷÷ø

öççè

æ-

-=

4222

· tAA

Þïî

ïí

ì

=

-==+

Þ÷÷ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ +Þ÷÷

ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ

4221

42221

422201

·01

2

2

2

2

yxy

x

yxyxyx

yxyx

îíì

===-=

Þïî

ïí

ì

=-=-=

=-=Þ

2,12,1

2,22·1,1

yxyx

yyyx

xx

÷÷ø

öççè

æ -=

2011

1A

÷÷ø

öççè

æ-

=2011

1A




11. Utilizando el método de Gauss-Jordan calcula las matrices inversas de:

,

● Calculamos la matriz inversa de A utilizando las operaciones elementales por filas y obtenemos:

En (1) hemos realizado F2 → F2 – 4F1. En (2) hemos realizado F1 → F1 – 2F2.

La matriz inversa de A es .

● Calculamos la matriz inversa de B utilizando las operaciones elementales por filas y obtenemos:

En (1) hemos realizado F3 → F3 – F1. En (2) hemos realizado F3 → F3 + F2. En (3) hemos realizado F2 → F2 + F3. En (4) hemos realizado F1 → F1 + F3.

La matriz inversa de B es .

12. Se consideran las matrices ,

a) Comprueba que B es la matriz inversa de A.

b) Calcula la matriz X tal que A · X = B.

a) La matriz inversa A- 1 de la matriz A cumple A · A- 1 = I. Veamos qué A · B = I:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

=÷÷ø

öççè

æ=

111110101

,9421

ByA

÷÷ø

öççè

æ-

-®--÷÷

ø

öççè

æ-

®--÷÷ø

öççè

æ1429

1001

1401

1021

,1001

9421 )2()1(

÷÷ø

öççè

æ-

-=-

14291A

)3()2()1(

111010001

100110101

101010001

210110101

,100010001

111110101

®--÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

®--÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

----

®--÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--®--

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

-®--

111121110

100010001

111121001

100010101

)4()3(

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=-

111121110

1B

3 1 3 18 3 8 3

A y B-æ ö æ ö

= =ç ÷ ç ÷-è ø è ø



Por tanto, A- 1 = B.

b) Operamos en la ecuación AX = B y despejamos la matriz X:

AX = B A- 1 · AX = A- 1 · B X = A- 1 · B X = B · B = B2

Hallamos la matriz X:

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ=

1001

3813

·3813

· BA

Þ Þ Þ

÷÷ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ-

-===

1748617

3813

·3813

·2 BBBX




13. Dada la matriz A, calcula:

a) Su rango.

b) Si existe, una columna combinación lineal de las restantes.

c) Si existe, una fila combinación lineal de las restantes.

a) El rango de la matriz es 3 al ser el menor

El mismo resultado podemos obtenerlo con las operaciones elementales por filas:

b) Existe una columna combinación lineal de las otras, por ejemplo, la columna segunda podemos ponerla en combinación lineal de las otras tres:

(0, 3, 6) = 0 · (1, 1, 1) + 3 · (0, 3, 6) + 0 · (1, 4, 4)

c) En este caso no existe una fila combinación lineal de las restantes ya que al ser el rango 3 las tres filas son linealmente independientes.

14. Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro m.

a) b)

a) Haciendo ceros con las operaciones elementales entre filas, obtenemos:

Estudio: ● Si m ≠ 0 y m ≠ 3, el rango de A es 2.

● Si m = 0, el rango de es 1.

.01421412101

¹-=

÷÷ø

öççè

æ+-

=mmmm

A121

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

6369246

2123mB

÷÷ø

öççè

æ+

-=÷÷

ø

öççè

æ+-

=)3(·0

21121

mmmm

rangommmm

rangoArango

1 01 0

A-æ ö

= ç ÷è ø

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

426141321001

A

3100021301001

426041301001

426141321001

)( =÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ= rangorangorangoArango




b) Haciendo ceros con las operaciones elementales entre filas, obtenemos:

Estudio: ● Si m ≠ - 4, el rango de B es 2.


÷÷ø

öççè

æ----

=3264

A

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ+-

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

000040002123

6369246

2123mrangomrangoBrango

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ -=

000000002123

B




1. Cuadrados de números. Si un número acaba en 2, ¿cuál es la última cifra de su cuadrado? Y si acabase en otra cifra, ¿cuál es la última cifra de su cuadrado?

Calcula los cuadrados de 15, 25, 35, 45 y 55, ¿cuáles son sus dos últimas cifras? ¿Podrías explicar una regla razonada para calcular las cifras restantes del cuadrado, sin efectuar la multiplicación?

Calcula los cuadrados de 11, 21, 31, 41 y 51. Da una regla que te permita calcularlos a partir de los cuadrados de los números 10, 20, 30, 40 y 50.

a) Si un número acaba en 2, su cuadrado acaba en 4.

En la tabla pueden verse todas las terminaciones:

Si un número acaba en 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Su cuadrado acaba en 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

b) Calculamos los cuadrados pedidos y alguno más del mismo tipo:

152 = 225 252 = 625 352 = 1225 452 = 2025

552 = 3025 652 = 4225 752 = 5625 852 = 7225

952 = 9025 1052 = 11025

Observamos que todos acaban en 25 y las otras cifras son el resultado de multiplicar el valor de las decenas por este número más 1.

Para 152: 1 · (1 + 1) = 2; para 252: 2 · (2 + 1) = 6; para 352: 3 · (3 + 1) 12; …

Teniendo en cuenta la expresión polinómica de un número en el sistema de numeración decimal, se obtiene:

(a5)2 = (10a + 5)2 = (10a)2 + 2 · 10a · 5 + 52 =

= 100a2 + 100a + 25 = 100(a2 + a) + 25 = a · (a + 1) · 100 + 25

c) Como en el caso anterior calculamos los cuadrados:

112 = 121 212 = 441 312 = 961 412 = 1681…

Teniendo en cuenta la expresión polinómica:

(a1)2 = (10a + 1)2 = (10a)2 + 2 · 10a · 1 + 12 =

= 100a2 + 20a + 1 = a2 · 100 + 2a · 10 + 1

La regla sería: El cuadrado de a por 100, el doble de a por 10, más 1.



2. Tazones de café con leche. Cuatro tazones contienen el mismo volumen de líquido. El primer tazón contiene café solo y los otros tres sólo contienen leche. Se vierte la cuarta parte del contenido del primer tazón al segundo. Se hace la mezcla homogénea y, a continuación, se vierte la cuarta parte del contenido del segundo tazón al tercero. Se hace la mezcla homogénea y se vierte la cuarta parte del contenido en el último tazón. ¿Qué relación hay entre el volumen del café y de la leche que hay en el cuarto tazón?

Dibujamos los tazones con sus contenidos:

Los volúmenes de los distintos tazones en las distintas acciones aparecen en la tabla.

Estado Tazón de café

Tazón de leche (1) Tazón de leche (2) Tazón de leche (3)

Inicio V1 V2 V3 V4

Primer trasvase

V3

V4

Segundo trasvase

V4

Tercer trasvase

Como V1 = V2 = V3 = V4, el contenido final del cuarto tazón es:

El contenido final de café del cuarto tazón es ; pero, como C = V, resulta que

. La relación, r, pedida es, por tanto, .

12 41VV +

÷øö

çèæ ++ 123 4

141 VVV

÷÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ +++ 1234 4

141

41 VVVV

VVVVF 4344

32 4441

141

141

41

41

411

--

=-

-=÷

øö

çèæ +++=

÷÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ= CCF 41

41

41

VCF 341

=841

41

444141

343

4

3=

---

=VV

Vr



3. Longitud mínima. Dado un cuadrado ABCD de centro O, determina la posición del punto P para que la longitud sea mínima.

Como el segmento mide la longitud del lado del cuadrado, es constante, entonces la longitud que tiene que ser mínima es

.

Dibujamos en el cuadrado del enunciado un cuadrado auxiliar punteado en la parte superior.

En dicha figura se verifica:

y esta longitud será mínima cuando los segmentos y estén alineados.

En la figura inferior se muestra como determinar la posición del punto P buscado.

Resulta que el punto P es el origen del segmento , siendo este la tercera parte del lado del cuadrado.

Resolución analítica:

CPPPOP 11 ++

1PP

CPOP 1+

11 PCOPCPOP +=+

OP 1PC

PC



Dibujamos un sistema cartesiano tomando como origen de coordenadas el centro de un cuadrado de lado 2, es decir, el punto O (0, 0).

Las coordenadas de los puntos del enunciado son:

C (1, 1), P (x, 1) y P1 (x, - 1)

Las longitudes de los segmentos , y son:

La función a optimizar es .

Los posibles máximos y mínimos son los valores que anulan la primera derivada de f (x), que es:

Anulamos la primera derivada y obtenemos:

Operamos y resolvemos la ecuación resultante.

Para , las coordenadas del punto P son

y la longitud buscada es mínima (ver

primer dibujo).

Para x2 = - 1, las coordenadas del punto P1 son y la longitud buscada es máxima (ver

segundo dibujo).

OP 1PP CP1

12 += xOP 2)]1(1[)( 221 =--+-= xxPP

52)]1(1[)1( 2221 +-=--+-= xxxCP

5221)( 22 +-+++= xxxxf

521

1)(´

52222

122)(´

2222 +-

-+

+=Þ

+-

-+

+=

xxx

xxxf

xxx

xxxf

01·)1(52·052

11

0)(´ 2222

=+-++-Þ=+-

-+

+Þ= xxxxx

xxx

xxxf

Þ+-=+-Þ+-=+- )1(·)1()52(·1·)1(52· 222222 xxxxxxxxxx

Þ=-+Þ+-+-=+-Þ 0123122252 2234234 xxxxxxxxx

ïî

ïíì

-=

==

±-=

+±-=Þ

131

642

61242

2

1

x

xx

31

1 =x

÷øö

çèæ 1,31

( )1,1 --



MATEMÁTICAS de la página 32

1. Dadas las matrices , y , calcula:

a) A · B b) A · (B – C) c) A · B · C d) 2 · (A + B · C)

En el menú Vista elegimos Cálculo Simbólico (CAS). Introducimos las matrices A, B y C, y conservamos la entrada de cada una de ellas.

En cada casilla realizamos una de las operaciones indicadas y obtenemos:

a)

b)

c)

d)

÷÷ø

öççè

æ=

4367

A ÷÷ø

öççè

æ=

0532

B ÷÷ø

öççè

æ=

9821

C

÷÷ø

öççè

æ=

9262144

· BA

÷÷ø

öççè

æ----

=-3394711

)(· CBA

÷÷ø

öççè

æ=

13398277212

·· CBA

÷÷ø

öççè

æ=+

28167466

)·(·2 CBA



2. Obtén matrices escalonadas equivalentes a las matrices siguientes y determina su rango:

a) b)

Comenzamos introduciendo las matrices y conservando la entrada.

Para obtener matrices escalonadas usamos el comando EscalonadaReducida ().

Para obtener el rango de cualquier matriz se usa el comando RangoMatriz ().

Obtenemos:

a)

El rango de la matriz A vale 2.

b)

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

084042321

A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

134113122211

B

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ»

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

000100021

084042321

A

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ»

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

100001100101

134113122211

B



ACTIVIDADES FINALES de la página 33

1. A cuatro compañeros, A, B, C, D, de segundo de bachillerato, se les pide que respondan a la pregunta: “¿Crees que alguno de vosotros aprobará este curso? Di quiénes”.

Las respuestas son: A opina que B y D; B opina que A y el mismo; C opina que A, B y D; D opina que el mismo. Expresa este enunciado en una matriz.

Expresamos la información del enunciado en una tabla, poniendo un 1 en el caso que un individuo opine de otro que aprobará el curso y un 0 en caso contrario.

A B C D

A 0 1 0 1

B 1 1 0 0

C 1 1 0 1

D 0 0 0 1

Los valores de la tabla dan lugar a la matriz

2. Escribe dos matrices diagonales de orden 3 tal que la suma de todos sus elementos sea 6.

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros. Matrices que cumplan el enunciado pueden ser:

o

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

1000101100111010

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

400010001

1D÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

300020001

2D



3. Encuentra todas las matrices de dimensión 2x2 tales que la suma de los elementos de cada fila sea igual a 1 y la suma de los elementos de la primera columna sea igual a cero.

Sea la matriz .

Si los elementos de cada fila deben sumar 1 se cumplirá: y la matriz será de

la forma: .

Si la suma de los elementos de la primera columna deben sumar 0, se cumplirá: a + c = 0, es decir, c = - a. Sustituyendo en la matriz, obtenemos:

, siendo a un número real cualquiera.

4. Calcula a, b, c y d para que se cumpla .

Operamos e igualamos los elementos de las matrices resultantes:

Resolviendo el sistema obtenemos: a = 0, b = 2, c = 17/3 y d = 19/3.

5. Dadas las matrices: ; calcula:

a) A + B b) A – B + C c) 2A + B – 3C d) AB – AC e) 2AB – 3AC + 4BC

Los resultados de las operaciones son:

a)

b)

÷÷ø

öççè

æ=

dcba

A

îíì

-=-=

Þîíì

=+=+

cdab

dcba

11

11

÷÷ø

öççè

æ--

=ccaa

A11

÷÷ø

öççè

æ+--

=aaaa

A11

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ ++÷÷

ø

öççè

æ-dcba

cba

da

25

4732

ïïî

ïïí

ì

=+=+=+=-+

Þ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ+++-+

dccdbaaba

dcba

cdaba

272524322

2222

75432

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-=

4220

4135

,2011

CyBA

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-

+÷÷ø

öççè

æ-=+

6144

4135

2011

BA

÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ-

+÷÷ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ-=+-

2106

4220

4135

2011

CBA



c)

d)

e)

6. Una empresa de aceite de oliva elabora tres calidades: normal, extra y virgen extra y posee tres marcas X, Y, Z, distribuyendo su producción en cuatro almacenes. Los miles de litros almacenados en el primer almacén vienen expresados en la matriz:

X Y Z

El segundo almacén tiene el doble que el primero, el tercero la mitad y el cuarto el triple. ¿Qué volumen de producción de aceite tiene en cada uno de los almacenes, y en total, de cada calidad y de cada una de las marcas?

Las matrices Ai, con i = 1, 2, 3, 4, muestran el volumen de aceite de cada uno de los almacenes:

El volumen total de aceite almacenado de cada calidad y de cada una de las marcas es:

÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ-

+÷÷ø

öççè

æ-=-+

4513

12660

4135

4022

32 CBA

÷÷ø

öççè

æ --=÷÷

ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ--÷÷

ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ-=-

0214

4220

·2011

4135

·2011

ACBA

÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ--

+÷÷ø

öççè

æ--

-÷÷ø

öççè

æ--

=+-48248430

56328824

241266

164212

432 BCACAB

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

926648885836804622

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

926648885836804622

1A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

18413296176116721609244

2A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

463324442918402311

3A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

27619814426417410824013866

4A

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

598429312572377234520299143

T



7. Dadas las matrices , y ; calcula el valor de x para que se

cumpla A + B + C2 = 3I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

Hallamos C2:

Operamos A + B + C2 = 3I:

8. Calcula los productos posibles entre las matrices:

, , y

Los productos posibles son:

÷÷ø

öççè

æ-

=1101

A ÷÷ø

öççè

æ--

=11

1x

xB ÷÷

ø

öççè

æ-

-=

2110

C

÷÷ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ-

-==

5221

2110

·2110

·2 CCC

2023003

3223

3003

5221

111

1101

=Þ=-Þ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ-

-Þ÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ-

-+÷÷

ø

öççè

æ--

+÷÷ø

öççè

æ-

xxx

xx

x

÷÷ø

öççè

æ=

0223

A ÷÷ø

öççè

æ-=

350124

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

022112

C÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

110321111

D

÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ-÷÷ø

öççè

æ=

24891612

350124

·0223

· BA

÷÷ø

öççè

æ-=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷ø

öççè

æ-=

101104

022112

·350124

·CB

÷÷ø

öççè

æ---

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--÷÷

ø

öççè

æ-=

18135392

110321111

·350124

· DB

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=÷÷

ø

öççè

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

462748

0223

·022112

· AC

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

=÷÷ø

öççè

æ-

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

2487124598

350124

·022112

· BC

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

213635

022112

·110321111

·CD



9. Obtén las matrices A y B que verifiquen los siguientes sistemas matriciales:

a) b) c)

Resolviendo los sistemas por reducción obtenemos:

a) y

b) y

c) y

10. Halla, en cada caso, todas las matrices que conmuten con:

a) b)

Sea una matriz de dimensión 2x2 cualquiera. En cada caso se cumplirá:

a) A · X = X · A

b) B · X = X · B

ïï

î

ïï

í

ì

÷÷ø

öççè

æ=-

÷÷ø

öççè

æ-=+

23

81

BA

BA

ïï

î

ïï

í

ì

÷÷ø

öççè

æ-

=-

÷÷ø

öççè

æ -=+

3910

2

62135

2

BA

BA

ïï

î

ïï

í

ì

÷÷ø

öççè

æ--

=-

÷÷ø

öççè

æ=+

3750

2

3413

BA

BA

÷÷ø

öççè

æ=51

A ÷÷ø

öççè

æ-=

32

B

÷÷ø

öççè

æ-

-=

3152

A ÷÷ø

öççè

æ -=

0431

B

÷÷ø

öççè

æ=

0121

A ÷÷ø

öççè

æ -=

3512

B

÷÷ø

öççè

æ-

=2111

A ÷÷ø

öççè

æ=

1101

B

÷÷ø

öççè

æ=

dcba

X

Þ

Þ Þ÷÷ø

öççè

æ-+-+

=÷÷ø

öççè

æ--++

Þ÷÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ- dcdc

babadbcadbca

dcba

dcba

22

222111

··2111

.,33

222

2Rbacon

babba

Xbad

bc

dcdbbadbdccabaca

Î÷÷ø

öççè

æ-

=Þîíì

-==

Þ

ïïî

ïïí

ì

-=--=++=-+=+

Þ

Þ

Þ Þ÷÷ø

öççè

æ++

=÷÷ø

öççè

æ++

Þ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æddcbba

dbcaba

dcba

dcba

1101

··1101

.,00

Rcaconac

aX

adb

dbdcadc

bbaba

Î÷÷ø

öççè

æ=Þ

îíì

==

Þ

ïïî

ïïí

ì

+=+=+

==+

Þ




11. Para las matrices y , comprueba que se cumplen las siguientes

propiedades de la trasposición de matrices:

a) = A b) c) d)

En cada apartado obtenemos:

a) y = A

b) y

c) y

d) y

12. Para las matrices , , y , efectúa las

siguientes operaciones:

a) b) c) d)

Los resultados de los productos son:

a)

÷÷ø

öççè

æ -=

0411

A ÷÷ø

öççè

æ--

=2130

B

( )ttA ( ) ttt BABA +=+ ( ) tt AkAk ·· = ( ) ttt ABBA ·· =

÷÷ø

öççè

æ-

=0141tA ( ) ÷÷

ø

öççè

æ -=

0411ttA

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ--

+÷÷ø

öççè

æ -=+

2321

2130

0411

BA ( ) ÷÷ø

öççè

æ-

=+2231tBA

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ--

+÷÷ø

öççè

æ-

=+2231

2310

0141tt BA

÷÷ø

öççè

æ -=÷÷

ø

öççè

æ -=

040411

··k

kkkAk ( ) ÷÷

ø

öççè

æ-

=04

·k

kkAk t

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-

=04

0141

··k

kkkAk t

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ--÷

÷ø

öççè

æ -=

12051

2130

·0411

· BA ( ) ÷÷ø

öççè

æ=

12501

· tBA

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ-

+÷÷ø

öççè

æ--

=12501

0141

2310

· tt AB

÷÷ø

öççè

æ-

=12

A ÷÷ø

öççè

æ-

=1203

B ÷÷ø

öççè

æ-

-=

304211

C ( )312 -=D

BAt · BCt · tDD · ·tD D

( ) ( )181203

·12· -=÷÷ø

öççè

æ-

-=BAt



b)

c)

d)

13. Descompón las matrices dadas en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica:

a) b) c) d)

La descomposición de la matriz M es M = S + H, siendo S la matriz simétrica, y H la matriz

antisimétrica, .

En cada caso se obtiene:

a)

b)

c)

d)

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

=÷÷ø

öççè

æ-÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

3120345

1203

·320141

·BCt

( ) ( )14312

·312· =÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--=tDD

( )÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

-=-

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-=

936312624

312·312

·DDt

÷÷ø

öççè

æ-=

5151

A ÷÷ø

öççè

æ -=

2130

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

451147131

C÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

170300623

D

2

tMMS +=

2

tMMH -=

÷÷ø

öççè

æ-

+÷÷ø

öççè

æ-=÷÷

ø

öççè

æ-=

0220

5331

5151

A

÷÷ø

öççè

æ -+÷÷

ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ -=

0220

2110

2130

B

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

-+

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

031302120

420245051

451147131

C

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ---

+÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

-=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

023201310

153501313

170300623

D



14. Contesta a las siguientes cuestiones:

a) Sea A una matriz cuadrada, demuestra que A + At es simétrica.

b) Estudia las potencias sucesivas de una matriz antisimétrica.

Las respuestas quedan:

a) Se tiene: (A + At)t = At + (At)t = At + A, por tanto, la matriz (A + At) es simétrica pues coincide con su traspuesta.

b) Una matriz A es antisimétrica si At = - A.

Veamos cómo son las potencias sucesivas:

(A2) t = (A · A) t = At · At = (- A) · (-A) = A2, luego A2 es simétrica.

(A3) t = (A2 · A) t = At · (A2)t = (- A) · A2 = - A3, luego A3 es antisimétrica.

Por tanto, las potencias pares son matrices simétricas y las potencias impares son antisimétricas.

15. Dadas las matrices y , calcula A97 y B59.

En cada uno de los dos casos calculamos las potencias sucesivas de A y B.

A3 = A2 · A = - I · A = - A

A4 = A3 · A = - A · A = - A2 – (- I) = I

A5 = A4 · A = I · A = A

A6 = A5 · A = A · A = - I

Observamos que las potencias de la matriz A se repiten de cuatro en cuatro. Así:

A97 = A4 · 24 + 1 = (A4)24 · A = I24 · A = I · A = A

Calculando las potencias sucesivas de obtenemos que:

÷÷ø

öççè

æ -=

0110

A ÷÷ø

öççè

æ=

0120

B

IA -=÷÷ø

öççè

æ-=÷÷

ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ -÷÷ø

öççè

æ -=

1001

1001

0110

·01102

÷÷ø

öççè

æ=

0120

B

÷÷ø

öççè

æ==

2002

·2 BBB ÷÷ø

öççè

æ==

0240

·23 BBB

÷÷ø

öççè

æ==

4004

·34 BBB ÷÷ø

öççè

æ==

0480

·45 BBB



Podemos continuar y observar que las potencias pares siguen una ley de recurrencia y las impares otra. Es decir:

Si n es par: y si n es impar: .

Por tanto,

16. Considera la matriz

a) Calcula las potencias sucesivas A2, A3 y A4.

b) ¿Cuál será la expresión general de la potencia An para cualquier valor de n ?

a) Operamos:

b) La expresión de la matriz An es .

Veamos que es cierto por el método de inducción:

● Es cierto para n = 1 ya que .

● Supongamos que se cumple para n = h, es decir, , veamos que se cumple para n = h + 1:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

2

2

20

02n

n

nB÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ= -

+

02

2021

21

n

n

nB

÷÷ø

öççè

æ=

0220

29

3059B

1 0 20 1 10 0 1

Aæ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

Î

2

1 0 2 1 0 2 1 0 4· 0 1 1 · 0 1 1 0 1 2

0 0 1 0 0 1 0 0 1A A A

æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷= = =ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

3 2

1 0 4 1 0 2 1 0 6· 0 1 2 · 0 1 1 0 1 3

0 0 1 0 0 1 0 0 1A A A


4 3

1 0 6 1 0 2 1 0 8· 0 1 3 · 0 1 1 0 1 4

0 0 1 0 0 1 0 0 1A A A


1 0 20 10 0 1

n

nA n

æ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

100110201

A

1 0 20 10 0 1

h

hA h

æ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø



17. En una academia de idiomas hay tres niveles de inglés para obtener los títulos de Cambridge: First, Advanced y Proficiency. Para First hay 7 estudiantes en el grupo de lunes y miércoles (G1), 8 en el grupo de martes y jueves (G2) y 4 en el intensivo de los sábados (G3). En Advanced hay 8 estudiantes en G1, 9 en G2 y 4 en G3. En el nivel de Proficiency hay 7 estudiantes en G1, 5 en G2 y 7 en G3. Cada estudiante de First paga 110€ mensuales, 115€ los estudiantes de Advanced y 120€ los de Proficiency. Escribe una matriz E que represente los estudiantes de la academia por niveles de inglés; y otra, P, con los precios mensuales por niveles. ¿Cuánto ganará mensualmente la academia en cada turno horario?

La matriz con los estudiantes de los distintos niveles es y la matriz con los precios mensuales

por niveles es .

Las ganancias mensuales, en euros, de la academia en cada turno horario son:

18. Utilizando las operaciones elementales por filas, obtén matrices triangulares equivalentes a las siguientes matrices:

a) b) c) d)

a) Realizando la operación elemental 3F1 – 2F2 → F2, obtenemos:

b) Realizando las operaciones elementales F2 – 2F1 → F2, F3 + F1 → F3 y F3 + F2 → F3, obtenemos:

1

1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2( 1)· 0 1 · 0 1 1 0 1 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

h h

h h hA A A h h h+

+ +æ ö æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷= = = + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

744598787

E

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=120115110

P

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

740151525302

120115110

·744598787

· PE

÷÷ø

öççè

æ4312

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

- 011212121

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-

-

024231211

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

-----

-

110112112110123121

÷÷ø

öççè

æ-

@÷÷ø

öççè

æ5012

4312



c) Realizando las operaciones elementales F2 + F1 → F2, F3 + 4F1 → F3 y 3F2 - 2F3 → F3, obtenemos:

d) Realizando las operaciones elementales F2 – 2F1 → F2, F3 + F1 → F3, F4 + 2F4 + 2F1 → F4, F4 + 3F2 → F4 y 2F3 + F4 → F4, obtenemos:

19. Halla las matrices inversas de las siguientes matrices haciendo uso de la definición de matriz inversa:

a) b) c)

a) Sea se cumplirá A · A- 1 = I:

Procediendo como en el apartado anterior, obtenemos:

b) c) No existe C- 1

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

- 100030121

130030121

011212121

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-

-

1600040211

860040211

024231211

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ--

-

@

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

--

---

@

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

-

---

@

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

-----

-

0000220072503121

4400220072503121

172150220072503121

110112112110123121

÷÷ø

öççè

æ-

-=

3152

A ÷÷ø

öççè

æ-

=2111

B ÷÷ø

öççè

æ-

-=

6432

C

÷÷ø

öççè

æ=-

dcba

A 1

÷÷ø

öççè

æ=Þ

ïïî

ïïí

ì

====

Þ

ïïî

ïïí

ì

=+-=-=+-=-

Þ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

- -2153

2153

1305203152

1001

·3152 1A

dcba

dbdbcaca

dcba

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

-=-

31

31

31

32

1B




20. Calcula las matrices inversas de las matrices que siguen por el método de Gauss-Jordan:

a) b) c)

Utilizando el método de Gauss-Jordan obtenemos:

a) Realizamos las siguientes operaciones elementales por filas: F2 → 2F1 + F2; F2 → 1/3 F2 y F1 → F1 - F2..

La matriz inversa de A es

b) Realizamos las siguientes operaciones elementales por filas: F2 → F1 - F2; F3 → F3 - F2; F2 → F2 + F3 y F1 → F1 - F2..

La matriz inversa de B es

c) Procediendo como en el apartado anterior, obtenemos que la matriz inversa de C es:

÷÷ø

öççè

æ-

=1211

A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

010101011

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

--=

112001101

C

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ -@

÷÷

ø

ö

çç

è

æ@÷÷

ø

öççè

æ@÷÷

ø

öççè

æ-

31

3210

31

3101

31

32100111

12300111

10120111

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ -=-

31

32

31

31

1A

@÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

111100011110001011

100010011110001011

100010010101001011

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-@

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-@

111100100010101001

111100100010001011

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=-

111100101

1B

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

----

-=-

011111010

1C



21. Dadas las matrices , y , encuentra, en cada caso, la matriz X que

cumple:

a) X · A + 2B = C b) A · X – B = C c) A · X · B = C

a) Despejamos la matriz incógnita X y obtenemos: X = (C – 2B) · A- 1.

Operando con las matrices tenemos:

b) Despejamos la matriz incógnita X y obtenemos: X = A- 1 · (B + C).


c) Despejamos la matriz incógnita X y obtenemos: X = A- 1 · C · B- 1.


÷÷ø

öççè

æ=

1121

A ÷÷ø

öççè

æ=

1310

B ÷÷ø

öççè

æ=

4321

C

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ=-

2301

2620

4321

2BC ÷÷ø

öççè

æ-

-=-

11211A

÷÷ø

öççè

æ-

-=÷÷

ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ-

=8521

1121

·2301

X

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ=+

5631

4321

1310

CB ÷÷ø

öççè

æ-

-=-

11211A

÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

-=

25711

5631

·1121

X

÷÷ø

öççè

æ-

-=-

11211A ÷

÷

ø

ö

çç

è

æ-=-

0131

31

1B

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

--=÷

÷

ø

ö

çç

è

æ-÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

-=

32

34

35

313

0131

31

·4321

·1121

X



22. Calcula el rango de las siguientes matrices:

a) b) c)

Realizamos operaciones elementales en las filas de las matrices, obteniendo matrices equivalentes, es decir, con el mismo rango.

a) Rango de = Rango de .

b) Rango de = Rango de = Rango de .

c) Rango de = Rango de = Rango de = 2.

23. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Escribe cuatro matrices de dimensión 2x4 que tengan, respectivamente, rango 1, 2, 3 y 4. Razona tu respuesta.

b) Escribe cuatro matrices de orden 4 que tengan, respectivamente, rango 1, 2, 3 y 4. Razona tu respuesta.

En ambos casos existen múltiples respuestas.

a) La matriz de dimensión 2x4,

- con rango 1 es, por ejemplo,

- con rango 2 es, por ejemplo,

- con rango 3 o 4 no es posible construirlas.

a) Un ejemplo podría ser:

÷÷ø

öççè

æ--

436012

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

-

123112011

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--

-

631121133012

÷÷ø

öççè

æ--

436012

2400012

=÷÷ø

öççè

æ -

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

-

123112011

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

150130011

3200130011

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

---

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--

-

631121133012

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-

1563052103012

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-

000052103012

÷÷ø

öççè

æ---- 22221111

÷÷ø

öççè

æ43211111



- con rango 1: - con rango 2:

- con rango 3: - con rango 4:

24. Calcula el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro a.

a) b) c)

Las soluciones son:

a) Rango de = Rango de = Rango de

Si a = - 6 el rango es 1, y si a ≠ - 6 el rango es 2.

b) Rango de = Rango de = Rango de

Si a ≠ 1 y a ≠ - 1 el rango es 3.

Si a = - 1 o a = 1 rango es 2.

c) Rango de = Rango de = Rango de

Si a ≠ - 2 y a ≠ 1 el rango es 3.

Si a = - 2 el rango es 2.

Si a = 1 el rango es 1.

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

--------

3020101015105564223211

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

---

--

151055124120503211

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ --

3552431120503211

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ --

3550431120503211

÷÷ø

öççè

æ -+2122 aa

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

101112

aaa

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

aa

a

1212112

÷÷ø

öççè

æ -+2122 aa

÷÷ø

öççè

æ-+ 2221

aa ÷÷ø

öççè

æ+ 6021

a

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

101112

aaa

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

101012

aaa

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

- 1001012

2aaa

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

aa

a

1212112

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

----aa

aaa

110110

1122

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-+--

200110

112

2

2

aaaa

a



25. Dibuja el grafo de cuatro vértices, cuya matriz asociada es la matriz M. Supón que la matriz anterior determina los contagios directos de una determinada enfermedad. Halla, calculando M2 y M3, los contagios de segundo y tercer orden de los elementos del grupo.

Dibujamos el grafo:

Calculamos M2:

Los valores de los elementos de esta matriz muestran los contagios indirectos de segundo orden. Así, por ejemplo:

a11 = 2 indica que A se contagia a sí mismo a través de B o C al existir los caminos A-B-A o A-C-A.

a12 = 1 indica que A contagia a B a través de un tercero al existir el camino A-C-B.

Calculamos M3:

Los valores de los elementos de esta matriz muestran los contagios indirectos de tercer orden. Así, por ejemplo:

a12 = 2 indica que A contagia a B a través de otros dos individuos al existir los caminos A-C-A-B o A-B-A-B.

a32 = 2 indica que C contagia a B a través de otros dos individuos al existir los caminos C-A-C-B o C-B-A-B.

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

0011111102101012

0100001110010110

·

0100001110010110

2M

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

1111122210231321

0100001110010110

·

0011111102101012

3M



26. Tres artesanos, Antón, Alberto y Carlos trabajan para una marca de joyería. Elaboran conjuntos de anillos, pendientes y colgantes Por cada conjunto realizado en oro les pagan 600 €, si es en plata 500 € y si es en acero 400 €. Las matrices N y D muestran sus producciones en los meses de noviembre y diciembre. La matriz P muestra el pago por unidad elaborada.

Determina las siguientes matrices y explica qué representan:

a) N · S b) D · S c) N + D d) (N + D) · S

Operamos las matrices y obtenemos:

a)

La matriz muestra el dinero que han ganado cada uno de los tres artesanos en el mes de noviembre.

b)

La matriz muestra el dinero que han ganado cada uno de los tres artesanos en el mes de diciembre.

c)

La matriz muestra la producción realizada durante los meses de noviembre y diciembre.

d)

La matriz muestra el dinero que han ganado cada uno de los tres artesanos en los meses de noviembre y diciembre.

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

442822614

N

AceroPlataOro

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

724606642

D

AceroPlataOro

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=400500600

S

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

480054005300

400500600

·442822614

·SN

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

620060005600

400500600

·724606642

·SD

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ+

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=+

116614281256

724606642

442822614

DN

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=+

000114001190010

400500600

·116614281256

·)( SDN



27. En un instituto hay alumnos de tres pueblos, A, B y C, distribuidos en cursos según la matriz M. Una empresa de transporte elabora dos rutas R1 y R2. Los kilómetros que recorría cada alumno se muestran en la matriz N. Si el precio por alumno y kilómetro de 12 euros, expresa en forma de matriz lo que se recaudaría por curso por cada itinerario.

Los kilómetros recorridos por cada grupo de alumnos en cada una de las dos rutas, R1 y R2, es:

La recaudación por curso en cada itinerario es:

CBA

M

ETSP

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

81226241250759698125190212

1

2

8 24 469 32 20

A B CR

NR

æ ö= ç ÷è ø

2

1

14262965463054601440275245165104

81226241250759698125190212

·2032946248

·RR

MN

ETSP

÷÷ø

öççè

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷ø

öççè

æ=

2

1

1121758035560555206528017024331925424861

14262965463054601440275245165104

·12RR

ETSP

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ



ACTIVIDADES ACCESO A LA UNIVERSIDAD de la página 36

1. Entre cinco personas hay la siguiente relación de influencias: A influye sobre B; E sobre D; C, D y E influyen sobre A. Se pide:

a) Construye la matriz de influencias: M.

b) Halla la matriz de influencias de dos etapas: M2.

c) Interpreta la suma de las filas de M y de sus columnas.

Dibujamos el grafo con las relaciones de influencias que se describen en el enunciado.

a) Teniendo en cuenta que los individuos de las filas influyen sobre los individuos de las columnas, como puede verse en el grafo, la matriz de influencias es:

b) La matriz de influencias en dos etapas es M2:

M2 =

El significado de los elementos que valen 1 es:

● a32 = 1: C influye en B a través de A.

● a42 = 1: D influye en B a través de A.

● a51 = 1: E influye en A través de D.

● a52 = 1: E influye en B a través de A.

c) La suma de las filas es 1, 0, 1, 1 y 2, respectivamente.

Estos valores significan:

M

EDCBA

EDCBA

=

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

0100100001000010000000010

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

=

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

0001100010000100000000000

0100100001000010000000010

·

0100100001000010000000010



Fila Suma de la fila Significado

Primera

Segunda

Tercera

Cuarta

Quinta

1

0

1

1

2

A influye en una persona, B

B no influye en nadie

C influye en una persona A

D influye en una persona, A

E influye en dos personas, A y D

La suma de las columnas es 3, 1, 0, 1, 0, respectivamente.

Estos valores significan:

Columna Suma de la columna Significado

Primera

Segunda

Tercera

Cuarta

Quinta

3

1

0

1

0

A está influenciado por 3 personas, C, D y E

B está influenciado por una persona, A

C no está influenciado

D está influenciado por una persona, E

E honesta influenciado



2. Sean las matrices ,

a) Determina el valor de los parámetros a y b para que se cumpla A · B = B · A.

b) Determina el valor de a para el cual se verifica A2 = 2A.

a) Si A · B = B · A, entonces:

Igualando términos:

b) Si A2 = 2A, entonces:


3. Sean las matrices . Determina x para que se verifique la ecuación

A2 – 6A + 5I = O, donde O es la matriz cuyos elementos son nulos.

Operando:

A2 – 6A + 5I =

Igualando términos, obtenemos:

x2 – 6x + 5 = 0

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-

=103

022

bBy

aA

÷÷ø

öççè

æ+

=÷÷ø

öççè

æ-

-+Þ÷÷

ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ- abb

aababb

a2236

0616

022

·103

·103

·02

2

îíì

-==

Þ

ïïî

ïïí

ì

=+=-

=-=+

40

0226

366

ba

abbaa

ab

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ--

-Þ÷÷

ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ- 04

2424224

0424

·02

2·

022 a

aaaaaa

{ 002

22424

=Þïî

ïí

ì

=-=

=-a

aaaa

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ=

1001

00

Iex

xA

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ= 2

22

00

00

·00

xx

xx

xx

A

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ

+-+-

=÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æ0000

560056

5005

6006

00

2

2

2

2

xxxx

xx

xx

îíì

==

Þ51

xx



4. Una investigadora médica estudia la difusión de un virus en una población de 1 000 cobayas de laboratorio. En cualquier semana, hay una probabilidad del 80 % de que una cobaya infectada venza al virus y un 10 % de que una cobaya no infectada quede infectada. Actualmente, hay 100 cobayas infectadas por el virus. ¿Cuántas estarán infectadas la próxima semana? ¿Y dentro de dos semanas? ¿Se estabilizará el número de cobayas infectadas?

La matriz, P, de las probabilidades de transición es:

Estarán infectados la próxima semana:

Estarán infectados dentro de dos semanas:

De otra forma:

Calculamos el valor estacionario: Sea , entonces:

Si x + y = 1000, entonces: .

PectadoNo

InfectadoectadoNoInfectado

=÷÷ø

öççè

æ90,080,010,020,0

inf

inf

10 890110

900100

·90,080,010,020,0

· XXP =÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=

21 889111

890110

·90,080,010,020,0

· XXP =÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=

202

889111

890110

·90,080,010,020,0

·90,080,010,020,0

· XXP =÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=

÷÷ø

öççè

æ=yx

X est

0,20 0,10 0,20 0,10· ·

0,80 0,90 0,80 0,90est estx x x y x

P X Xy y x y y

+ =æ ö æ ö æ ö ì= Þ = Þ Þíç ÷ ç ÷ ç ÷ + =è ø è ø è ø î

{ xyyxyx

8010,080,0010,080,0

=Þîíì

=-=+-

Þ

111889

xy=ì

í =î



5. Una residencia aloja a 200 estudiantes que estudian en una facultad de ciencias. Todos los que estudian Matemáticas más de una hora un día las estudian menos de una hora al día siguiente. Una cuarta parte de los que estudian Matemáticas menos de una hora un día las estudian más de una hora al día siguiente. La mitad de los estudiantes han estudiado Matemáticas hoy más de una hora. ¿Cuántos las estudiaran más de una hora mañana? ¿Y pasado mañana? ¿Y al tercer día? ¿Cómo evoluciona el número de estudiantes de cada apartado con el paso del tiempo?

La matriz, P, de las probabilidades de transición es:

Y la matriz de estado, representando la población actual en cada uno de los dos estados, es:

La matriz del día siguiente es:

La matriz del segundo día es:

La matriz del tercer día es:

Calculamos el valor estacionario:

Sea , entonces:

Si x + y = 200, entonces: .

Phorahora

horahora

=÷÷ø

öççè

æ-+

-+

75,0125,00

11

11

÷÷ø

öççè

æ=100100

0X

10 17525

100100

·75,0125,00

· XXP =÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=

21 15644

17525

·75,0125,00

· XXP =÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=

32 16139

15644

·75,0125,00

· XXP =÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=

÷÷ø

öççè

æ=yx

X est

Þîíì

=+=

Þ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æÞ=

yxxxy

yx

yx

XXP estest 75,025,0

·75,0125,00

·

{ xyyxyx

4025,0025,0

=Þîíì

=-=+-

Þ

îíì

==16040

yx



6. Encuentra las matrices que conmutan con

Sea la matriz que conmuta con

Se cumplirá A · X = X · A, entonces:


Las matrices que conmutan con A tienen la forma siendo a y b números reales cualesquiera.

7. Calcula, razonando el procedimiento, la matriz A17, siendo

Realizamos las potencias sucesivas de la matriz A.

Entonces,

.2042÷÷ø

öççè

æ=A

÷÷ø

öççè

æ=

dcba

X .2042÷÷ø

öççè

æ=A

÷÷ø

öççè

æ ++=÷÷

ø

öççè

æ++

Þ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

ædcdbca

dccbaa

dcba

dcba

224242

242242

2042

··2042

îíì

==

Þîíì

==

Þïî

ïí

ì

=++=+

+=

dac

dac

ddcdbba

caa0

4404

2244224

422

,0 ÷

÷ø

öççè

æ=

aba

X

.1101÷÷ø

öççè

æ-

-=A

÷÷ø

öççè

æ-

-=

1101

A

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ-

-==

1201

1101

·1101

·2 AAA

÷÷ø

öççè

æ--

-=÷÷

ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ-

==1301

1101

·1201

·23 AAA

÷÷ø

öççè

æ-

=÷÷ø

öççè

æ-

-÷÷ø

öççè

æ--

-==

1401

1101

·1301

·34 AAA

÷÷ø

öççè

æ-

-=

1170117A



8. Una factoría de muebles fabrica tres modelos de estanterías A, B y C, cada una en dos tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A; 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos,

a) Representa esta información en dos matrices.

b) Halla una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria d

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ACTIVIDADES de la página 9 a) Alea jacta est». · La frase «Alea jacta est» codificada se convierte en DÑHD MDFWD HVW. b) El atbash hebreo: usado en el libro de Jeremías de