Unidad 6

ACTIVIDADES FINALES

EJERCICIOS Y PROBLEMAS • 1. Determina una tabla de valores, una fórmula matemática y una gráfica

de cada una de las siguientes funciones:

a) La tarifa de precios de un aparcamiento urbano indica que el precio es de 1 euro por cada hora o fracción, siendo el precio máximo por día de 8 euros. Expresa esta función mediante su tabla de valores, su gráfica y su expresión algebraica.

b) El espacio, en kilómetros, que recorre un autobús que lleva una velo­cidad constante de 100 km/h.

c) La tarifa de los taxis que cobran 1 euro por bajada de bandera y 0,05 euros por cada minuto recorrido en el taxi.

d) El área de un rectángulo cuya base mide 5 m más que su respectiva altura.

Expresar, en cada caso, sus dominios y recorrido o conjunto imagen.

• 2. Estudia el dominio de las siguientes funciones:

j(x) = X4 - 2X 2

-3

k(x)

o x

y=g(x)

Y Yi

\

y = h(x)

0 2 X

0\ / « = -1

m{x) / « = 1 -X

m{x)

y=i(x)

n(x) = V x 2 + 5 o(x) = V x ^ T p(x) = V x 2 - 4 Q(x) = ^ x 3 - 2 x 2

x+ 1

3. Analiza y estudia, en cada una de las siguientes funciones, el dominio, el recorrido o conjunto imagen, la monotonía y los extremos relativos:

Funciones reales. Propiedades globales 133

4. Dibuja las gráficas correspondientes a la funciones con las características que se citan a continuación:

a) Dom f= (-00, -2] U [2, +00); lm f= (-00, 2]; máximos relativos en los puntos (-3, 2) y (3, 2).

b) Dom g = R; lm g = (-3, 2); mínimo relativo en el punto (-2, -1) y máximo relativo en el punto (0, 1).

c) Dom h = (-00, 0); lm h = (1, +00) y estrictamente creciente en todo su dominio.

d) Dom i = R - {0}; lm / = R; estrictamente creciente en (-00, 0); estrictamente decreciente en (0, +°°) y simétrica res­pecto del eje de ordenadas.

5. Estudia la acotación, simetría, tendencias y la posible existencia de supremo, ínfimo y extremos absolutos en cada una de las siguientes funciones:

y = ¡W

Y Y

4

•2 y = fa) ^ \ 3

y = gW

- 2 O x 0 \- 2 O

- 2

Y

-4 / ^ ~\¡ / 0 X

-1 X

-1

Y

5 T

\ = K x )

1 - 2 0

Y

- 3

2

- 1 \

/ y = m

6. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

f(x)=x6-/ g(x) = x - 1 h(x) = i(x) = 8

x 2 + 4 k(x) =

x2+ 1

La gráfica siguiente muestra los beneficios en miles de euros de una empresa desde el momento en que se fundó. Contesta razonadamente a cada una de las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué variables se relacionan?

b) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función? ¿Qué sen­tido tienen en el contexto del problema?

c) ¿Al cabo de cuántos años tiene la empresa beneficios máxi­mos? ¿A cuánto ascienden estos?

d) ¿Cómo varían los beneficios los primeros años? ¿Y después?

e) ¿Crees que habrá un punto en el que no existan ni beneficios ni pérdidas?

/(x) = |x| m(x) = x • e*

Unidad 6

ACTIVIDADES FINALES

8. Dadas las func iones f(x) ••

a) D o m f; D o m g

9. Dadas las func iones f~(x)

x + 3

x 2 - 1

2 - x

y g(x) = x- 1, ca lcu la:

b) r + g ; r g ; — y sus domin ios c) — y el domin io g f

y g(x) = x 2 + 2, de te rmina las s iguientes func iones con sus respectivos domin ios :

a) f + g tí) f-g c) - j - d) g° f

3 10. Dadas las func iones f(x) = 1 + 3 X 2 ; g(x) = Vx y h(x) = — ; calcula:

>c + 1

a) f° g

b) h o g

c) f ° /)

d) ( f « 0 (1)

e) g o g

e) (g ° 0(-D

f) (h o h) (0)

11. S iendo f(x) = 5 - x y g(x) = 3 x - a , calcula el valor de a para que la composic ión de ambas sea conmuta t iva , es de­cir, f°g = g°f.

12. Dadas las siguientes func iones, hal la, en cada caso, las dos func iones que, compuestas , resultan la que se indica:

x 2 + 1 ( f o g ) ( X ) = (x 3 + 2 ) 2 ( h o l ) ( X ) = 31

13. Determina las func iones inversas de :

a)f(x) = S c) f(x) = (x+ 1) 2

2

( t ° p ) M = x 2 + 2

b) f(x) = 2x - 3 d) f (x) : x- 1

e) f (x) =

f) m =

3x

2 x + 5

3 - x

3 x + 1

14. Ca lcu la la func ión inversa de cada una de las siguientes y comprueba , en cada caso, que la func ión dada compues ta

con su inversa, da la func ión ident idad:

f{x) = x 3 - 2 ' g (x) = 1 - 3x h(x) = 2x

15. Sea f{x)-x - 2

y gr(x) = 2 x - 4 . Calcu la ( f ° g ) " 1 (4).

16. En el año 1995 se f u n d ó una O N G . El n ú m e r o de sus

af i l iados ha var iado con los años según la func ión :

A /= 2 5 0 ( 2 f 2 - 1 2 f + 21)

¿Cuántos son los afi l iados fundadores? Ayudándo te de

una ca lcu ladora indica c ó m o varía el número de afi l ia­

dos. ¿En algún m o m e n t o será nulo este número?

17. Una empresa Cable I ofrece una tari fa de uti l ización de

Internet de 15 euros mensua les . La empresa Cable II

ofrece una tar i fa de 0 ,05 euros por hora . D iscute qué

tari fa te parece la más conven ien te a la hora de elegir.