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MATERIALES PARA 1er CURSO E.S.O.
GEOMETRÍA
ACTIVIDADES PARA LOS ALUMNOS Y ALUMNAS DE MATEMÁTICAS
Autores: Salvador Caballero Rubio Alfredo Llópez Lara Pascual Pérez Cuenca (coordinador) José Sogorb Carratalá Colaboradores: Antonio Albeza Piqueras Pere J. Baeza Esteve José A. Mora Sánchez Dibujos: Concepción Llavata Sancho
ÍNDICE ÍNDICE AMPLIADO LÁMINAS
GEOMETRÍA A ESPACIO PLANO
CONSTRUCCIONES POLÍGONOS SIMETRÍA
GEOMETRÍA B ESPACIO PLANO CONSTRUCCIONES POLÍGONOS SIMETRÍA
ÍNDICE AMPLIADO
LÁMINAS............................................................................................................................................................. 6
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE 1 cm. ........................................................................................... 7 LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE 1'6 cm........................................................................................ 8 LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm.......................................................................................... 9 LÁMINA 4. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm.................................................................... 10 LÁMINA 5. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm. ............................................................ 11 LÁMINA 6. TRAMA DE PENTAGONOS Y ROMBOS.......................................................................... 12 LÁMINA 7. POLÍGONOS REGULARES. ............................................................................................... 13 LÁMINA 8. PUNTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA............................................................................. 14 LÁMINA 9. MOSAICOS........................................................................................................................... 15 LÁMINA 10. CUBOS................................................................................................................................. 16
GEOMETRÍA A................................................................................................................................................ 17 ESPACIO PLANO ......................................................................................................................... 18
TROQUELADOS Y GOMAS .................................................................................................................... 19 IMAGINA Y CORTA................................................................................................................................. 20 TAPONES ................................................................................................................................................... 21 CORTES...................................................................................................................................................... 22 EDIFICIOS.................................................................................................................................................. 23 TERTULIA.................................................................................................................................................. 24 MAQUETA ................................................................................................................................................. 25 VISTAS....................................................................................................................................................... 26 POLIMINÓS ............................................................................................................................................... 27 PARALELEPÍPEDOS................................................................................................................................. 28 DESARROLLOS I ...................................................................................................................................... 29 ROTACIONES I ......................................................................................................................................... 30 ROTACIONES II ........................................................................................................................................ 31 POLICUBOS............................................................................................................................................... 32 SUPERFICIE Y VOLUMEN EN POLICUBOS......................................................................................... 33
CONSTRUCCIONES ..................................................................................................................................... 34 EL CAMINO............................................................................................................................................... 35 FRONTERAS.............................................................................................................................................. 36 CIRCUNCENTRO ...................................................................................................................................... 37 BISECTRIZ................................................................................................................................................. 38 INCENTRO................................................................................................................................................. 39 VISIÓN ....................................................................................................................................................... 40 EL CENTRO DEL PUEBLO ...................................................................................................................... 41 ÁNGULOS ZXF ......................................................................................................................................... 42 ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO............................................................................................................. 42 ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO............................................................................................................. 43 BARCOS I................................................................................................................................................... 43 BARCOS I................................................................................................................................................... 44 LOCALIZACIÓN ....................................................................................................................................... 44 LOCALIZACIÓN ....................................................................................................................................... 45 TORTUGAS................................................................................................................................................ 46 EL TRIÁNGULO DE PENROSE ............................................................................................................... 47 DESCRÍBELO ............................................................................................................................................ 48
POLÍGONOS .................................................................................................................................................. 49 PROPOSICIONES ...................................................................................................................................... 50 MOSAICOS ................................................................................................................................................ 51 MOSAICOS CON TRIÁNGULOS............................................................................................................. 52 CLASIFICACIÓN DOBLE......................................................................................................................... 52 CLASIFICACIÓN DOBLE......................................................................................................................... 53 TRES CARPINTEROS ............................................................................................................................... 54 ESPEJOS, ÁNGULOS Y DISTANCIAS.................................................................................................... 55 ESPEJOS Y REPETICIONES..................................................................................................................... 55
ESPEJOS Y REPETICIONES..................................................................................................................... 56 POLÍGONOS REGULARES ...................................................................................................................... 57 ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR .......................................................................................................... 57 ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR .......................................................................................................... 58 PROCESOS................................................................................................................................................. 58 PROCESOS................................................................................................................................................. 59 LOS POLÍGONOS...................................................................................................................................... 59 LOS POLÍGONOS...................................................................................................................................... 60 TRAMAS .................................................................................................................................................... 61 ESTIMACIÓN DE SUPERFICIES............................................................................................................. 62 VIDRIERAS................................................................................................................................................ 63 FOTOGRAFÍAS.......................................................................................................................................... 64 VISTAS AÉREAS....................................................................................................................................... 65 AMPLIACIONES Y ÁREAS...................................................................................................................... 66 CAMPOS..................................................................................................................................................... 67
SIMETRÍA ...................................................................................................................................................... 68 DIBUJAR REFLEJOS ................................................................................................................................ 69 LÍNEAS DE SIMETRÍA............................................................................................................................. 70 ALFABETO ................................................................................................................................................ 71 FIGURAS.................................................................................................................................................... 72 SIMETRÍAS POLIGONALES.................................................................................................................... 73 MOVIMIENTOS I ...................................................................................................................................... 73 MOVIMIENTOS I ...................................................................................................................................... 74 MOVIMIENTOS II ..................................................................................................................................... 75 MOVIMIENTOS III.................................................................................................................................... 76 ORDEN DE GIRO ...................................................................................................................................... 77 MULTIPLICACIÓN DE SIMETRÍAS ....................................................................................................... 78 LOGOTIPOS............................................................................................................................................... 79
GEOMETRÍA B............................................................................................................................................... 80 ESPACIO PLANO .............................................................................................................. 81
CORTANDO............................................................................................................................................... 82 LINTERNA ................................................................................................................................................. 83 ARENA ....................................................................................................................................................... 84 MULTIVISIÓN........................................................................................................................................... 84 MULTIVISIÓN........................................................................................................................................... 85 CONSTRUYE ............................................................................................................................................. 86 DESARROLLOS II ..................................................................................................................................... 86 DESARROLLOS II ..................................................................................................................................... 87
CONSTRUCCIONES ..................................................................................................................................... 88 EL RIEGO................................................................................................................................................... 89 EL MONO................................................................................................................................................... 90 EL POZO..................................................................................................................................................... 91 BARCOS II ................................................................................................................................................. 91 BARCOS II ................................................................................................................................................. 92 FAROS ........................................................................................................................................................ 92 FAROS ........................................................................................................................................................ 93 ESTRELLAS............................................................................................................................................... 94 CUADRADOS ............................................................................................................................................ 95 CUADRADO RODEADO .......................................................................................................................... 96 ESPIRALES ................................................................................................................................................ 96 ESPIRALES ................................................................................................................................................ 97 TORTUGA II .............................................................................................................................................. 98
POLÍGONOS .................................................................................................................................................. 99 MOSAICOS CON CUADRILÁTEROS ................................................................................................... 100 TRIANGULANDO ................................................................................................................................... 101 LA FINCA................................................................................................................................................. 102 SOMBRAS................................................................................................................................................ 103 PROYECTOR ........................................................................................................................................... 104 AMPLIACIONES Y REDUCCIONES..................................................................................................... 105
MARCOS .................................................................................................................................................. 106 LAS FÓRMULAS..................................................................................................................................... 107 LA PINTURA ........................................................................................................................................... 108 PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE HEXAMINÓS .................................................................................. 109 LA GUITARRA ........................................................................................................................................ 109 LA GUITARRA ........................................................................................................................................ 110 COCHECITOS.......................................................................................................................................... 111
SIMETRÍA .................................................................................................................................................... 112 MANCHAS ............................................................................................................................................... 113 PLIEGUES ................................................................................................................................................ 114 REFLEJOS EN UN LIBRO DE ESPEJOS ............................................................................................... 115 POLIMINÓS SIMÉTRICOS..................................................................................................................... 115 POLIMINÓS SIMÉTRICOS..................................................................................................................... 116 DIVIDE UN CUADRADO ....................................................................................................................... 116 DIVIDE UN CUADRADO ....................................................................................................................... 117
LÁMINAS
TRAMA CUADRADA DE 1 cm. TRAMA ISOMÉTRICA DE 1'6 cm. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm. TRAMA DE PENTAGONOS Y ROMBOS. POLÍGONOS REGULARES. PUNTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA. MOSAICOS. CUBOS.
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE 1 cm.
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE 1'6 cm.
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm.
LÁMINA 4. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm.
LÁMINA 5. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm.
LÁMINA 6. TRAMA DE PENTAGONOS Y ROMBOS.
LÁMINA 7. POLÍGONOS REGULARES.
5 6
4
3
7
LÁMINA 8. PUNTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA.
8
7 3
4 5
9
3
4 7
6 5
2
8
1
6
2 1
9
3
47
6 5
8
1
8
7 3
45
6
21
2
8
7 3
45
9
3
47
6 5
21
6
21
8
9
10
4
56
7
8
2
3
1
9
10
4
56
7
8
2
3
1
9
10
4
56
7
8
2
3
1
12
11
5
68 7
9
10
3
21
12
11
5
6 8 7
9
10 4
3
2 1 12
11
5
68 7
9
10
3
21
4 4
LÁMINA 9. MOSAICOS.
LÁMINA 10. CUBOS.
GEOMETRÍA A
ESPACIO PLANO
TROQUELADOS Y GOMAS IMAGINA Y CORTA TAPONES CORTES EDIFICIOS TERTULIA MAQUETA VISTAS POLIMINÓS PARALELEPÍPEDOS DESARROLLOS I ROTACIONES I ROTACIONES II POLICUBOS SUPERFICIE Y VOLUMEN EN POLICUBOS
TROQUELADOS Y GOMAS Con los cartones troquelados y con las gomas se puede construir gran cantidad de poliedros y estudiar muchas de sus características. Después de que te hayas acostumbrado a colocar las gomas verás que es muy sencilla la construcción. Bien, ya habrás visto los tipos de polígonos que hay y habrás hecho algunos sólidos. Se trataría de entrar en algunas construcciones realizadas bajo algún criterio. Te proponemos los siguientes: a. que tengan todas las caras iguales. b. con caras de dos tipos de polígonos. No olvides anotar todas las propiedades que vayas observando, verás que con algunos polígonos sólo sale un poliedro ¿por qué será?, o ninguno.
IMAGINA Y CORTA Toma un cubo de estiropor e imagina que puedes cortarlo con una cuchilla dando un corte plano. ¿Qué polígonos obtienes? Coge ahora efectivamente una cuchilla y haz los cortes que habías pensado y otros que quizás no habías imaginado. ¿Has obtenido un triángulo equilátero? ¿Y uno isósceles? Explica como has hecho los cortes. ¿Cuál es el rectángulo más grande que puedes obtener? Obtener un pentágono, un hexágono, un heptágono,... Puedes usar la lámina de cubos para representar los cortes.
TAPONES Dibuja el objeto que pasa ajustadamente a través de los tres agujeros. Ayúdate del primero de los tapones.
CORTES Al hacer cortes planos a los siguientes cuerpos geométricos se pueden obtener muchas figuras geométricas planas. Una de ellas es ¿De qué cuerpo se ha obtenido? Dibuja todos los cortes que puedas obtener de los cuatro sólidos.
EDIFICIOS Estas vistas corresponden a una construcción hecha con cubos. ¿Cuál es el menor número de cubos con el que se puede formar?
TERTULIA Identifica la visión particular de los objetos de cada uno de los contertulios.
MAQUETA Al observar esta maqueta desde distintas posiciones se ven de distinta manera los edificios. ¿Cuáles de estas vistas se corresponden con la posición de Juan y María?
VISTAS Dibujar las vistas lateral, de frente y desde arriba de este objeto. Si lo necesitas puedes hacerte la construcción con cubos.
POLIMINÓS Uniendo dos cuadrados iguales por dos lados completos se obtiene un dominó: Si unimos tres cuadrados por los lados se obtendrían triminós: Así mismo con cuatro cuadrados formaríamos tetraminós: y con cinco, pentaminós: (Asegúrate que tienes todos los posibles triminós, tetraminós y pentaminós) Di que pentaminós si los recortáramos y los pegáramos nos darían una caja sin tapa.
PARALELEPÍPEDOS Recortando y doblando estas figuras ¿cuáles darían lugar a paralelepípedos? Imagínalo primero y si tienes dudas hazlo.
DESARROLLOS I Dibuja algunos desarrollos planos de los siguientes sólidos:
ROTACIONES I Dibuja un punto sobre el papel. Sitúa otro e imagina que gira velozmente alrededor del primero. ¿Qué figura describe? Tomando de nuevo como centro el punto del principio sitúa ahora un segmento y hazle girar ¿qué describe? ¿y si gira un triángulo? ¿Se te ha ocurrido pensar que el segmento podría contener al punto sobre el que se gira, o que el triángulo podría tener en su interior al punto de giro? Hazlo y describe, dibuja, lo que sucede.
ROTACIONES II Imagina, con la ayuda material que necesites, el resultado de girar alrededor de una recta: a. un punto b. un segmento perpendicular c. un segmento paralelo d. un segmento ni paralelo ni perpendicular.
POLICUBOS Si unes dos cubos iguales por caras completas obtienes un bicubo Con tres cubos se obtendrían tricubos, con cuatro tetracubos,... ¿Cuántos tricubos distintos puedes formar? ¿Y tetracubos?
SUPERFICIE Y VOLUMEN EN POLICUBOS Entre todos los posibles tetracubos ¿Cuál tiene menor superficie? ¿Y mayor? ¿Qué ocurre con el volumen?
CONSTRUCCIONES EL CAMINO FRONTERAS CIRCUNCENTRO BISECTRIZ INCENTRO VISION EL CENTRO DEL PUEBLO ÁNGULOS ZXF ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO BARCOS I LOCALIZACION TORTUGAS EL TRIÁNGULO DE PENROSE DESCRÍBELO
EL CAMINO Dos amigos viven en casas bastante separadas entre sí en medio del campo. Han decidido salir todos los días a dar un paseo juntos con la particularidad de mantenerse en todo momento a la misma distancia de las dos casas. ¿Por dónde tienen que pasear?
FRONTERAS Dos países tienen en común una frontera como la de la figura:
Los gobiernos de los dos países han acordado una zona fronteriza de seguridad de medio kilómetro a ambos lados.
¿Cuál es la zona prohibida? Dibújala a escala.
CIRCUNCENTRO Comprueba que en cualquier triángulo se cumple que las mediatrices de sus lados concurren en un punto. Si con el compás tomas como centro ese punto verás que se puede trazar una circunferencia que pase por los tres vértices. Razona por qué ocurre.
BISECTRIZ En el dibujo las rectas representan carreteras. Halla los lugares en los que estaríamos a la misma distancia de ambas.
INCENTRO En un triángulo cualquiera construye las tres bisectrices de sus ángulos y comprueba que se cortan en un punto. Con centro en ese punto se puede trazar una circunferencia tangente interiormente al triángulo. Justifica esta propiedad.
VISIÓN En la figura A el punto A representa a una persona y el segmento un muro más alto que ella. ¿Cuál es la zona de visión de A? Ahora
A B A y B representan dos árboles tras la tapia del dibujo que es mucho más alta que ellos. ¿Cuál es la zona desde la que ambos árboles son visibles?.
EL CENTRO DEL PUEBLO Este es el plano del centro de un pueblo con la manzanas de las casas numeradas:
1
A
2 3 4 5 6
8 9 B7
12
13
10 11
Señala en el cuaderno calles que formen rectas paralelas y perpendiculares. Haz un listado de los distintos polígonos y figuras que aparezcan anotando las medidas que creas necesarias para describirlos. ¿Cuál es la distancia real que existe desde la esquina A a la B si el plano está a escala 1:1000?
ÁNGULOS ZXF Mira estas letras mayúsculas:
d
c
b a
cbd
e
c
b a
d ¿Cómo son los ángulos que se forman en cada una de ellas? Enuncia una propiedad que relacione el paralelismo y los ángulos. Determina el valor de los ángulos desconocidos en los siguientes casos:
300
ig
h
1150
390
ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO Observa esto:
3
2
1
¿Se cumple en cualquier triángulo? ¿Qué demuestra?
3 2 1
BARCOS I Determina las reglas de un juego de barquitos en un tablero como este:
00
600
2400
3000
1200
1800
LOCALIZACIÓN Tres amigos están situados según la figura:
B
C
A
A y B están buscando a C que está escondido. Disponen de una brújula y de un medidor de distancia. Indícales qué deben hacer para descubrir a C. Dispones de un medidor de ángulos, de una regla y además sabes que el dibujo del plano está a escala 1:1000. También dispones de un emisor para contactar con ellos.
TORTUGAS Una tortuga que representamos por un triángulo pequeñito avanza según nuestras ordenes y va dejando un rastro del camino que recorre. Este es el rastro que ha dejado al darle las siguientes instrucciones:
▲
AV 10 GI 1200 AV 20 GD 1200 AV 5 GD 600 AV 50 GD 900 AV 20 Donde AV es la abreviatura de avanza y el número que le sigue son los pasos que debe avanzar. GI y GD son las abreviaturas de gira a izquierda y gira a derecha y el número que les sigue es el ángulo que debe girar. Escribe tú las instrucciones para que la tortuga dibuje un cuadrado de 20 pasos de lado y un triángulo equilátero. Da las instrucciones para dibujar una estrella.
EL TRIÁNGULO DE PENROSE Este triángulo llamado de Penrose se caracteriza por no poder ser construido, es decir es un objeto imposible. Te vamos a indicar los pasos para dibujarlo. Hazlo 1. Dibuja un triángulo equilátero de 11 cm. de longitud. 2. En cada lado marca los puntos que están a 1 y 2 cm. de los vértices. 3. Une los puntos marcados que dan líneas paralelas a los lados. 4. Haz gruesas las líneas necesarias y borra las que sobran. 5. Coloréalo.
DESCRÍBELO Haz una descripción detallada de los siguientes símbolos:
POLÍGONOS PROPOSICIONES MOSAICOS MOSAICOS CON TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN DOBLE TRES CARPINTEROS ESPEJOS, ÁNGULOS Y DISTANCIAS ESPEJOS Y REPETICIONES POLÍGONOS REGULARES ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR PROCESOS LOS POLÍGONOS TRAMAS ESTIMACIÓN DE SUPERFICIES VIDRIERAS FOTOGRAFÍAS VISTAS AÉREAS AMPLIACIONES Y ÁREAS CAMPOS
PROPOSICIONES Establece la veracidad o no de las siguientes afirmaciones: a. Un paralelogramo es un cuadrilátero. b. Un cuadrilátero es un paralelogramo. c. Un rombo es un trapecio. d. Un cuadrado es un rectángulo. e. Un rombo es un cuadrado f. Un cuadrado es un rombo. g. Un paralelogramo es un rombo.
MOSAICOS Observa este mosaico: ¿Cuál es la pieza más pequeña que ha servido para construirlo? Determina otros polígonos que también servirían para construir ese mosaico. Observa ahora este otro:
¿Sirve para formarlo? ¿Y ?
MOSAICOS CON TRIÁNGULOS Dibuja todos los triángulos que conozcas. Con triángulos equiláteros ya hemos visto que se forma un mosaico. ¿Y con los otros triángulos? En alguno de los mosaicos que construyas observa los ángulos que se juntan en torno a los vértices. ¿Qué ocurre?
CLASIFICACIÓN DOBLE Completa esta tabla de doble entrada dibujando en cada casillero el cuadrilátero que corresponda:
Nº de ángulos rectos 0 1 2 3 4
0
1
Nº de lados paralelos
2
Haz una clasificación doble que relacione el número de lados iguales y el número de lados paralelos.
TRES CARPINTEROS Tres carpinteros A, B y C quieren cortar cuadrados de madera y después de cortarlos hacen las siguientes comprobaciones: A compara las longitudes de los lados y si todas son iguales lo da por bien construido. B mide las diagonales y si son iguales lo da por bien construido. C compara los cuatro triángulos que forman las diagonales al cortarse y si son iguales lo da por bien cortado. ¿Cuál de los tres carpinteros tiene la seguridad de cortar efectivamente cuadrados?
ESPEJOS, ÁNGULOS Y DISTANCIAS Traza una línea. Coloca un espejo perpendicularmente al papel sobre ella. ¿Qué observas? Varía la posición del espejo, ¿qué puedes decir de los ángulos que forma el espejo con la línea y los reflejados? ¿Y de los segmentos?
ESPEJOS Y REPETICIONES Toma un libro de espejos y sitúalo sobre la mesa de forma que quede de pie y formando un ángulo de 900. ¿Si colocas una peseta en medio de los espejos, cuántas se verán? Piénsalo primero y hazlo después. Ve cerrando el espejo dejando en medio la peseta. ¿Cómo se multiplica? Cambia la peseta por un punto ¿Puedes hacer que aparezca una circunferencia?
POLÍGONOS REGULARES Vamos a construir polígonos regulares con el libro de espejos. Haz una línea recta en el folio y coloca encima el libro de espejos. Si observas lo que ocurre cuando vas abriendo y cerrando el libro quedarás asombrado. ¿Cómo habrá que colocar el libro para que se generen polígonos regulares? ¿Has podido obtener una circunferencia? ¿Cuál es su radio?
ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR Con la ayuda del libro de espejos intenta encontrar una forma de hallar el ángulo central y el ángulo interior en un polígono regular. Ve paso a paso construyendo los distintos polígonos regulares y observa detenidamente cuánto miden sus ángulos. Construye una tabla para registrar los datos.
PROCESOS Describe los siguientes procesos y, en cada uno de ellos, di si con él se puede probar alguna propiedad conocida:
b b
h h
b b
h h
h
b
+
b
b
hh
h
b
h
b
LOS POLÍGONOS Dibuja y recorta un cuadrado de 10 cm. de lado. Córtalo por sus diagonales. Con los cuatro triángulos obtenidos construye todos los polígonos que puedas, dibújalos en el cuaderno y da algún método para hallar su área.
TRAMAS ¿Cuál es el triángulo (cuadrado) más pequeño que puedes dibujar en estas tramas: ? ¿Cuál es el siguiente? ¿Y el de área doble?
ESTIMACIÓN DE SUPERFICIES Vamos a estimar (medir a ojo) algunas de las superficies de objetos del aula. Por ejemplo: la pizarra, una caja de cerillas, la puerta de entrada, el suelo, etc. Cuando hayáis hecho la estimación, tomad las medidas y obtener la superficie real. Construid una tabla con los resultados estimados y medidos.
VIDRIERAS Antonio quiere sustituir en su nueva casa una de las ventanas por una vidriera con el siguiente diseño y dimensiones:
4m
6m ¿Cuántos metros cuadrados de cristal de cada color necesitará? Haz lo mismo para estos otros diseños:
6m
6m
4m
4mm
FOTOGRAFÍAS ¿Crees que esta foto: puede ser ampliada a alguna de estas?: Explícate.
VISTAS AÉREAS Una avioneta toma una vista aérea de un campo de fútbol de dimensiones 100m.x 40m. La avioneta asciende y toma otra vista ¿Cuál de éstas es?
AMPLIACIONES Y ÁREAS Te pedimos que estudies la relación existente entre las áreas de polígonos semejantes, para ello toma varios polígonos de los que sepas calcular fácilmente su área y amplíalos o redúcelos, ¿ves alguna relación entre sus áreas? Usa papel con tramas para ayudarte.
CAMPOS Un agricultor tiene un cercado como el de la figura, cuyo perímetro es de 300 metros, dedicado al cultivo de tomates: Por toda la cosecha le ofrecen 250.000 pts. Tiene además el agricultor otro campo de tomates también rectangular de perímetro doble que el anterior, ¿cuánto le deben pagar por la cosecha?
SIMETRÍA DIBUJAR REFLEJOS LINEAS DE SIMETRÍA ALFABETO FIGURAS SIMETRÍAS POLIGONALES MOVIMIENTO I MOVIMIENTO II MOVIMIENTO III ORDEN DE GIRO MULTIPLICACIÓN DE SIMETRÍAS LOGOTIPOS
DIBUJAR REFLEJOS Di cuál será el reflejo que se observará si colocamos perpendicularmente al papel un espejo encima de la línea de puntos
LÍNEAS DE SIMETRÍA En los siguientes dibujos hay algunas posiciones en las que colocando un espejo perpendicularmente al papel se puede ver la figura completa: Cada una de estas posiciones determina una línea de simetría. Determina las líneas de simetría de las figuras anteriores:
ALFABETO Observa la A mayúscula: tiene una línea de simetría. La H tiene ...: Haz un estudio de la simetría del alfabeto ayudándote de una tabla.
Nº de ejes de simetría
Letras del alfabeto
0 1 A 2 3 4
más de 4
FIGURAS Colocando perpendicularmente un espejo sobre: encuentra:
SIMETRÍAS POLIGONALES ¿Qué triángulos son simétricos? ¿Cuántas líneas de simetría tienen? ¿Qué cuadriláteros son simétricos? ¿Cuántas líneas de simetría tienen? Estudia la simetría de la circunferencia.
MOVIMIENTOS I Si: es a: entonces: será a: Razona tu elección.
Dibuja tú otras figuras y aplícales la propiedad establecida.
MOVIMIENTOS II Si: es a: entonces: será a: Razona tu elección. Dibuja tú otras figuras y aplícales la propiedad establecida.
MOVIMIENTOS III Si: es a: entonces: será a: Razona tu elección. Dibuja tú otras figuras y aplícales la propiedad establecida.
ORDEN DE GIRO En Hay figuras que al girar una cantidad de grados respecto de su centro vuelven a coincidir consigo mismas. Por ejemplo la figura A al ser girada 1800 y la figura C al ser girada 900. La figura A se dice que tiene simetría de giro de orden 2. La figura C se dice que tiene simetría de giro de orden 4. ¿Cuál crees que es la razón para estos nombres? ¿Cuál será el orden de giro de la figura B? Dibuja una figura que tenga simetría de giro de orden 6.
MULTIPLICACIÓN DE SIMETRÍAS ¿Cuántas formas simétricas distintas puedes formar con las piezas: ? Aviso: hay muchas.
LOGOTIPOS Toma de los periódicos y revistas los logotipos de las marcas comerciales que más te llamen la atención y estudia sus simetrías.
GEOMETRÍA B
ESPACIO PLANO CORTANDO LINTERNA ARENA MULTIVISIÓN CONSTRUYE DESARROLLOS II
CORTANDO Sigue la secuencia que te proponemos con la imaginación. En caso de duda realiza los pasos realmente. Toma un cubo de estiropor y una cuchilla y corta cada vértice de forma que los cortes produzcan triángulos equiláteros iguales ¿Que cuerpo resulta? Descríbelo Si en ese cubo truncado continuas dando cortes paralelos a las caras triangulares ¿qué obtienes? Toma también un tetraedro y un octaedro y prodúceles cortes imaginarios y reales después, describiendo los poliedros truncados que se obtienen.
LINTERNA Necesitamos una linterna y un cilindro hueco que colocaremos en la salida de la luz para evitar que se disperse mucho. En una pared de una habitación semioscura proyectar la luz de la linterna y estudiar las diferentes figuras que se pueden obtener. Dibujarlas después en el cuaderno indicando con todo detalle la forma de obtenerlas.
ARENA Vamos a llenar una parte de distintos cuerpos geométricos con arena y a estudiar la figura que forma la superficie de ésta. Pueden servir tubos, botes, conos, cajas,...
MULTIVISIÓN En esta situación determina que vistas corresponden a cada punto:
CONSTRUYE Con estas vistas de frente, lateral y de arriba determina la forma del objeto.
DESARROLLOS II Dibuja los desarrollos planos de estos cuerpos:
CONSTRUCCIONES EL RIEGO EL MONO EL POZO BARCOS II FAROS ESTRELLAS CUADRADOS CUADRADO RODEADO ESPIRALES TORTUGA II
EL RIEGO En un jardín queremos instalar riego por aspersión. Tenemos dos rosales situados a 4 metros de distancia entre sí y vamos a colocar un aspersor que los riegue y esté lo más alejado posible de los rosales. Sabemos que el alcance del aspersor es de 3 metros. ¿Dónde lo ponemos?
EL MONO Un mono permanece encerrado en una jaula de dimensiones 120 x 280 cm. Los niños le pueden tirar cacahuetes o plátanos. ¿Cuál es la zona en la que puede cogerlos si sus brazos miden 50 cm.?
EL POZO Debido a la pertinaz sequía, tres pueblos cercanos: A, B y C quieren hacer un pozo. Por el alto coste de la perforación, los alcaldes deciden unirse y perforar un único pozo que se encuentre a igual distancia de los tres pueblos. Razona el punto donde debe hacerse la perforación. La distancia de A a B es de 15 km., la de B a C de 20 km. y la de A a C de 10 km. ¿Cuál será la distancia del pozo a los pueblos?
C
B
A
BARCOS II Determina las reglas para un juego sobre este tablero.
N
NE
O
NO
SE
S
SO
E
FAROS En una bahía como la del dibujo están situados dos faros en A y B Un barco C se encuentra en esos momentos en la bahía. Da la posición del barco utilizando como referencia: a. un único faro b. los dos faros
ESTRELLAS Dibuja una circunferencia y en ella sitúa diez puntos equidistantes. Ve uniendo los puntos con segmentos de distintas formas y observarás que se forman muchas figuras. Por ejemplo si los puntos los unimos de 2 en 2 sale: Anota las regularidades que observes. Investiga qué ocurre si se cambia el número de puntos en la circunferencia.
CUADRADOS Toma un folio y recorta el mayor cuadrado que puedas. Pinta una circunferencia y recórtala. Obtén un cuadrado inscrito. Toma un papel con el contorno irregular: Construye un cuadrado por doblado. ¿Qué propiedades del cuadrado son las que hemos usado para la construcción?
CUADRADO RODEADO Imagina un cuadrado con un lado apoyado en una línea recta. Coloca sobre su lado superior otro cuadrado igual tocándose de forma completa lado con lado. Mira el vértice superior izquierdo del cuadrado de arriba, al que llamaremos A. Gira el cuadrado superior sobre el inferior sin deslizamientos una vuelta completa. ¿Qué figura describe A ? Dibuja la línea que creas que va a salir y después hazlo realmente y comprueba tu conjetura.
ESPIRALES Da las instrucciones necesarias y precisas para dibujar una espiral como: Encuentra otras espirales y di cómo dibujarlas.
TORTUGA II Da las instrucciones para que la tortuga dibuje un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular, ... un polígono regular de n lados.
POLÍGONOS MOSAICOS CON CUADRILÁTEROS TRIANGULANDO LA FINCA SOMBRAS PROYECTOR AMPLIACIONES Y REDUCCIONES MARCOS LAS FÓRMULAS LA PINTURA PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE HEXAMINÓS LA GUITARRA COCHECITOS
MOSAICOS CON CUADRILÁTEROS Clasifica los distintos cuadriláteros atendiendo a algún criterio, por ejemplo: lados iguales, lados paralelos, ángulos. Con el cuadrado ya hemos visto que se puede formar un mosaico ¿Con qué otros cuadriláteros se puede formar un mosaico? ¿Has pensado en un cuadrilátero como éste ? ¿Se podrá formar un mosaico con él? En alguno de los mosaicos que construyas observa lo que ocurre en los puntos donde se unen los vértices. ¿Demuestra esto algo?
TRIANGULANDO Observa la siguiente viñeta:
T1+T2 +T3 + T4 = 7200 T1+T2 +T3 = 5400 T1 + T2 = 3600
T4
T3
T2
T1
T3
T2
T1 T2 T1 T1
T1 = 1800
¿Cuánto valdría la suma de los ángulos de un polígono de 10 lados? ¿Nos puede este método indicar una forma de hallar el ángulo interior de un polígono regular?
LA FINCA Al repartir una finca entre tres personas, a una de ellas le ha correspondido una parcela como la de la figura:
escala 1:25.000 Teniendo en cuenta la escala con la que está hecho el dibujo calcula la superficie de la parcela.
SOMBRAS Toma varios palos de distintas longitudes y clávalos perpendicularmente a la tierra. Mide sus respectivas sombras y dibújalas en el papel. ¿Encuentras alguna relación entre la longitud del palo y su sombra? Ahora contesta la siguiente pregunta: Un palo de 5 metros da una sombra a una determinada hora del día de 4 metros. ¿Qué sombra proyectará un palo de 3 m.? Hay clavado también un palo bastante alto del que no sabemos su longitud, pero su sombra es de 10 m. ¿Cuál es la longitud del palo?
PROYECTOR Un proyector de diapositivas está conectado a una distancia de la pared de 5 metros y da un rectángulo luminoso de 2x1 m. ¿A qué distancia hay que colocarlo para que dé un rectángulo de 4x2 m.? ¿Es posible obtener un rectángulo de luz de 3x1'5 m.?
AMPLIACIONES Y REDUCCIONES Observa este método que te planteamos para reducir y ampliar figuras: Sea el triángulo: Proyectamos desde A: A Y se obtiene una ampliación al doble y una reducción a la mitad. Haz una ampliación al triple del tamaño original. Si se cambia el punto de proyección ¿qué ocurre ? Sitúa el punto de proyección dentro de la figura y amplíala.
MARCOS Aquí tienes dos marcos uno triangular y otro rectangular: Como ves, cada marco determina dos polígonos del mismo tipo ¿pero, son semejantes?
LAS FÓRMULAS Aquí tienes la figura y la fórmula que permite calcular el área de algunos polígonos:
A = 2
dD + A = l A = b · l A = b · l
a
D
d
b
h
b b
l
b
b B
2b·hA = ·h
2bBA +
= p·a A partir de la expresión del área del rectángulo justifica todas las demás.
2A =
LA PINTURA ¿Cuánto nos costará pintar el techo de la clase a razón de 275 pts. el metro cuadrado? ¿Cuánta pintura debemos comprar si se necesita 1 kg. por cada 7 metros cuadrados?
PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE HEXAMINÓS Encuentra de entre todos los hexaminós posibles el de perímetro mínimo. Encuentra también el de perímetro máximo. ¿Qué pasa con el área?
LA GUITARRA Dibuja una guitarra a escala. Esta no lo está.
COCHECITOS Muchos de los coches con los que juegan los niños y las niñas están perfectamente construidos manteniendo todas sus partes una proporción fija respecto del coche real, es decir están a escala. Una de las más utilizadas es la 1:20 que es precisamente la de este coche: Da las dimensiones reales del coche y de alguna de sus partes.
SIMETRÍA MANCHAS PLIEGUES REFLEJOS EN UN LIBRO DE ESPEJOS POLIMINÓS SIMÉTRICOS DIVIDE UN CUADRADO
MANCHAS Toma un papel y dóblalo por la mitad. Coge tinta o algún líquido de color y pon unas gotas en la unión de ambas partes. Aprieta el papel con las manos y ábrelo. Verás que se han producido figuras muy curiosas. ¿Tiene esto algo que ver con la simetría que produce un espejo?
PLIEGUES Toma un folio y dóblalo por la mitad, después otra vez por la mitad sobre la línea de doblado. Si damos un corte en la esquina que se corresponde con el centro del folio, como el que ves en la figura: Imagina el polígono que se obtendrá. Investiga, siempre primero imaginando el resultado y después cortando, lo que ocurrirá cuando demos otros cortes. ¿Tienen algo en común todas las figuras que se obtienen al cortar?
REFLEJOS EN UN LIBRO DE ESPEJOS ¿Qué se verá cuando coloquemos un libro de espejos encima de la línea de puntos? Di ahora dónde debes colocar, y cómo debes hacerlo, el libro de espejos sobre la figura:
para obtener estas:
POLIMINÓS SIMÉTRICOS Estudia las simetrías de los: a. dominós b. triminós c. tetraminós
DIVIDE UN CUADRADO Divide mentalmente un cuadrado en cuatro partes iguales. ¿Ya? Divide el cuadrado en cuatro partes iguales, también mentalmente, de otras dos formas distintas. Con papel y lápiz inténtalo de muchas otras formas.
