Actualité Actuariat Financier - pwc.fr · Actualité Actuariat Financier Les modèles proxy en assurance vie : des outils en cours de fiabilisation Technical Insights - janvier 2016

Actualité Actuariat FinancierLes modèles proxy en assurance vie : des outils en cours de fiabilisation

Technical Insights - janvier 2016

Q&R

1. D’où vient l’optionalité des passifs d’assurance vie ? 4

2. Comment sont valorisés les passifs d’assurance vie en pratique ? 4

3. Quel est le temps de calcul typique de la valeur économique d’un passif d’assurance vie ? 5

4. Quelles sont les méthodes proxy qui sont utilisées en pratique ? 6

5. Comment ces modèles proxys sont-ils validés en pratique ? 7

Les méthodes proxy en pratique

Curve-fitting 10

Least-Square-Monte-Carlo (LSMC) 11

Portefeuilles-Répliquants (RP) 12

Les modèles à facteurs 12

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La valorisation des passifs d’assurance-vie présente une réelle complexité puisqu’elle repose notamment sur des mécanismes de participation aux bénéfices qui nécessitent la modélisation simultanée de ces passifs avec les postes d’actifs qui leurs sont associés. Cette complexité est naturellement démultipliée dans le cadre des calculs de capitaux prudentiels par modèles internes étant donné qu’il s’agit alors d’obtenir la distribution de ces valorisations à un an, conformément à l’article 121 de la directive Solvabilité 2. Cet article dresse un état des lieux des différentes approximations auxquelles les opérationnels ont le plus souvent recours pour réduire le degré de complexité de ce problème.

Nous décrivons en particulier comment ces approximations, plus connues sous le nom de modèles proxy ou fonctions de perte, sont choisies en pratique: le plus souvent par mimétisme avec des pratiques de place locales ou par sensibilité culturelle. Nous détaillons finalement comment ces modèles proxy sont validés en pratique et les efforts qu’il reste à faire pour en améliorer la fiabilité. Nous suggérons en particulier de justifier le choix de la méthode retenue lors de l’étape de validation des fonctions de perte.

Résumé


D’où vient l’optionalité des passifs d’assurance vie ?

Q&R

Comment sont valorisés les passifs d’assurance vie en pratique ?

Ces contrats constituent les passifs d’assurance vie. En pratique, ces passifs d’assurance vie sont valorisés par méthode de Monte-Carlo risque-neutre. Cette méthode consiste à estimer la valeur des engagements d’assurance vie comme la moyenne des valeurs actualisées au taux sans risque des prestations payées aux assurés pour un jeu de trajectoires financières appelées scénarios « risque neutre ». Cette méthode de valorisation permet de capturer l’optionalité des passifs d’assurance vie et d’en donner une valeur économique, dite aussi « market consistent ».

Les contrats classiques d’assurance vie à composante épargne offrent habituellement à leurs détenteurs un certain nombre de garanties. Parmi les principales garanties, on recense les taux minimum garantis (TMG), la participation aux bénéfices (PB) et le droit de rachat. Selon les contrats, on pourra aussi trouver l’option de sortie en rente, le droit d’arbitrage entre support en EURO et support en Unités de Compte (UC), la garantie plancher UC en cas de décès, etc. Ces garanties représentent des droits accordés par les assureurs vie à leurs assurés et peuvent être considérées comme des options en tous points similaires à celles traitées sur les marchés financiers.


Quel est le temps de calcul typique de la valeur économique d’un passif d’assurance vie ?

Selon la taille de bilan, la complexité de l’optionalité des contrats d’assurance vie et la finesse du modèle de cash-flows utilisé, la valorisation « market-consistent » des engagements d’un assureur vie peut aller de plusieurs minutes à plusieurs heures. Il en va donc de même pour la valorisation de ses fonds propres.

La directive Solvabilité 2 offre aux assureurs vie la possibilité de recourir à un modèle interne (partiel) de manière à évaluer la densité de probabilité prévisionnelle de la variation de leurs fonds propres à un an (voir article 121) et en particulier son quantile à 99,5 % appelé « Solvency Capital Requirement » (SCR). En pratique, ce quantile est estimé par méthode de Monte-Carlo. Cette méthode consiste à simuler plusieurs dizaines de milliers d’environnements économiques et

actuariels futurs à l’horizon d’un an, revaloriser les fonds propres (et donc les passifs) de la société d’assurance vie dans chacun de ces nouveaux états du monde, et identifier la variation annuelle de fonds propres associée au percentile 99,5 %.

Compte tenu du temps nécessaire pour calculer la valeur des fonds propres d’une compagnie d’assurance vie à l’aide d’un modèle de cash-flows dans un environnement économique et actuariel donné, le calcul brutal du SCR par méthode de Monte-Carlo n’est pas envisageable en pratique. De manière à résoudre ce problème, les opérationnels ont développé des méthodes « proxy » destinées à reproduire les résultats du modèle de cash-flows en un temps très court et dans n’importe quel environnement économique et actuariel.


Quelles sont les méthodes proxy qui sont utilisées en pratique ?

L’environnement économique et actuariel d’une compagnie d’assurance vie est en pratique modélisé par un vecteur de facteurs de risque. Le modèle de cash-flows est donc une fonction au sens mathématique du terme qui associe une valeur de fond propre à un vecteur de facteurs de risque. Cette fonction sera désignée par « fonction valeur des fonds propres » dans la suite. Les modèles proxy sont donc in fine des approximations ou des estimateurs de la fonction valeur des fonds propres.

Le problème d’approximation de la fonction valeur des fonds propres est un problème complexe. Sa complexité est en pratique d’autant plus grande que la dimension du vecteur de facteurs de risque sous-jacent est grande et que la régularité de la fonction valeur des fonds propres est faible.

Compte tenu de la difficulté intrinsèque à ce problème, aucune solution technique n’a pour l’instant émergée comme étant la plus appropriée et une multitude d’approches coexistent, présentant chacune leurs avantages et inconvénients. Les plus connues et aussi les plus fréquemment utilisées sont les méthodes de curve-fitting, Least-Square-Monte-Carlo (LSMC), Portefeuilles-Répliquants (RP) et modèles à facteurs.


Comment ces modèles proxys sont-ils validés en pratique ?

Le contrôle d’erreur : une exigence réglementaire

Comme indiqué dans l’article 229-(g) des Actes Délégués, les erreurs engendrées par l’utilisation de ces modèles proxy doivent être mesurées et contrôlées. La validation de ces modèles proxy consiste donc essentiellement à développer des procédures robustes de mesure et de contrôle de l’erreur introduite par l’utilisation du modèle proxy.

Validation et use-test : mythes et réalités

Étant donné leur rôle central dans le calcul des capitaux prudentiels, ces modèles proxy sont largement analysés par les opérationnels, auditeurs et régulateurs à travers le prisme de leur validation et du niveau de confiance qui leur est accordé

hors des équipes actuarielles en charge de leur développement et au-delà du cadre prudentiel (voir use-test, Actes Délégués, articles 223, 224, etc.).

Sous l’impulsion jointe des opérationnels, auditeurs et régulateurs, la validation de ces modèles proxy a été sensiblement renforcée au cours de ces dernières années. Cette validation passe entre autre par un contrôle de l’erreur engendrée par le modèle proxy pour des vecteurs de facteur de risque qui n’ont pas servi à son calibrage (dits « out-of-sample »). Elle sera d’autant plus robuste que le nombre de vecteurs de facteur de risque « out-of-sample » utilisés sera grand et uniformément distribué dans l’espace des vecteurs de facteur de risque. En pratique, des seuils d’erreur sont souvent définis au-delà desquels la qualité du modèle proxy est jugée insuffisante et sont calibrage doit être revu.

A ce stade l’utilisation des modèles proxy au-delà des équipes actuarielles en charge de leur développement et hors du cadre prudentiel reste souvent limitée. Cette utilisation limitée témoigne du travail qu’il reste à faire :

• Sur la fiabilisation de ces modèles pour leur permettre d’atteindre le degré de maturité nécessaire à leur utilisation plus large au sein des sociétés d’assurance vie.

• Sur la communication autour des performances de ces modèles, qui sont souvent plus fiables pour certains quantiles de la variation de fonds propres à un an et moins fiables pour d’autres.


Malgré la nette amélioration des processus de validation des modèles proxy constatée dans l’industrie ces dernières années, le choix initial de la méthode proxy mise en œuvre repose encore le plus souvent sur un a priori culturel ou un mimétisme assumé avec certaines pratiques de place locales. A ce titre, et compte tenu de son impact potentiellement important sur les résultats prudentiels, le choix de la méthode proxy mise en œuvre s’apparente à une hypothèse clé du modèle interne. Conformément à l’article 245-(c) des Actes Délégués, la documentation de ce choix devrait donc s’articuler autour d’une analyse en sensibilité des résultats prudentiels par rapport au choix de la méthode proxy retenue. Une comparaison des performances associées à l’utilisation de différentes méthodes proxy judicieusement choisies dans le cadre de la validation pourrait répondre à cette exigence réglementaire et contribuer à renforcer la crédibilité du modèle proxy auprès des opérationnels, auditeurs et régulateurs.

Conclusion


Pour aller plus loin…

Les méthodes proxy en pratique


Curve-fitting

La méthode de curve-fitting est très populaire parmi les assureurs anglo-saxons. Elle consiste tout d’abord à évaluer la fonction valeur des fonds propres pour un nombre N de vecteurs de facteur de risque soigneusement choisis, puis à construire une approximation de la fonction valeur des fonds propres par interpolation/extrapolation. Compte tenu du cout calculatoire associé à une évaluation de la fonction valeur des fonds propres, le nombre de points d’interpolation n’excède que très rarement la centaine. Il a sensiblement augmenté récemment sous l’impulsion du régulateur Anglais (PRA).

Le succès de cette approche repose essentiellement sur une sélection judicieuse des points d’interpolation et le choix d’une méthode d’interpolation/extrapolation adaptée à la régularité de la fonction valeur des fonds propres.

Figure 1 Cette figure représente les pertes en fonds propres (en ordonnées) associées à la variation de la valeur d’un facteur de risque (en abscisse). Les 5 points représentent les pertes en fond propre associées à 5 valeurs différentes de variation du facteur de risque. Les pertes en fonds propres associées aux valeurs intermédiaires de variations du facteur de risque sont déduites par interpolation dans le cadre de la méthode de curve-fitting. Comme illustré ci-dessus, les résultats vont dépendre de la méthode d’interpolation retenue, qu’elle soit linéaire par morceaux ou polynomiale (d’ordre 2) dans le cadre de cet exemple.


Figure 2 Cette figure représente les pertes en fonds propres (en ordonnées) associées à la variation de la valeur d’un facteur de risque (en abscisse). Les 10 points représentent les pertes en fond propre approximatives associées à 10 valeurs différentes de variation du facteur de risque. Les pertes en fonds propres associées aux valeurs intermédiaires de variations du facteur de risque sont déduites par régression dans le cadre de la méthode LSMC. Comme illustré ci-dessus, les résultats vont dépendre de la forme paramétrique de la fonction de régression retenue, qu’elle soit un polynôme d’ordre 2 ou la combinaison d’un polynôme d’ordre 2 et d’une exponentielle dans le cadre de cet exemple.

Least-Square-Monte-Carlo (LSMC)

La méthode de LSMC est une extension de la méthode de curve-fitting à des points d’interpolation bruités. Elle repose sur le constat qu’il est possible d’obtenir à moindre coût des observations bruitées de la fonction valeur des fonds propres en diminuant drastiquement le nombre de trajectoires utilisées dans la moyenne de Monte-Carlo risque-neutre associée. L’approche LSMC consiste in fine à calibrer un estimateur fonctionnel sur plusieurs centaines d’observations bruitées de la fonction valeur des fonds propres.

Le succès de cette approche repose essentiellement sur une sélection judicieuse des points d’interpolation bruités et le choix d’un estimateur adapté à la régularité de la fonction valeur des fonds propres.


Portefeuilles-Répliquants (RP)

La méthode des RP est très populaire parmi les assureurs d’Europe continentale. Elle peut être présentée comme un cas particulier des deux méthodes précédentes : soit comme une méthode d’interpolation/extrapolation particulière dans le cadre de l’approche curve-fitting, soit comme un estimateur fonctionnel particulier dans le cadre de l’approche LSMC.

Sous l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage, la valeur de marché des engagements d’assurance vie devrait refléter la valeur de l’optionalité financière qu’elle contient. De ce raisonnement intuitif est née la méthode du « portefeuille répliquant » qui consiste à approximer la fonction valeur des engagements d’assurance vie par un portefeuille d’instruments financiers bien choisis. Une fois les poids des différents instruments du portefeuille calibrés, la valeur du

portefeuille peut être obtenue à un coût quasiment nul pour toute valeur du vecteur facteur de risque. En effet, la valeur de chacun des instruments financiers, et donc celle du portefeuille qui les contient, s’exprime comme fonction du vecteur de facteur de risque par l’intermédiaire d’une formule fermée.

Le succès de cette approche repose essentiellement sur une sélection judicieuse des points d’interpolation (bruités) et un choix judicieux de méthode de calibrage du RP à ces points. Il faut noter que la colinéarité entre les fonctions valeur des instruments financiers qui compose le RP contribue à complexifier le processus de calibrage d’un RP.

Les modèles à facteurs

Les modèles à facteurs sont d’une autre nature. Ils consistent à identifier de nouvelles fonctions du vecteur de facteur de risque, dites facteurs, autres que la fonction valeur des fonds propres, qui vérifient les deux propriétés suivantes :

• elles peuvent être évaluées en un minimum de temps ;

• elles définissent de bons prédicteurs de la fonction valeur des fonds propres.

Les modèles à facteurs sont ensuite calibrés par régression (le plus souvent linéaire).

Le succès de cette approche repose essentiellement sur la qualité des facteurs retenus. Le choix des facteurs repose quant à lui sur une bonne connaissance de la régularité de la fonction valeur des fonds propres, des risques associés aux engagements d’assurance vie et de leur relative importance en fonction du vecteur de facteurs de risque.

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