An Improved Mixed Integer Programming Approach for

Multi-Hoist Cyclic Scheduling Problem一種改進混合整數規劃的多功能週期性排序問題的方法

Ada Che, Weidong Lei, Jianguang Feng, and Chengbin Chu

IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATION SCIENCE AND ENGINEERING, VOL. 11, NO. 1, JANUARY 2014

Student:劉人豪 ID number:4992C080

Abstract INTRODUCTION 第一部分 第二部分 第三部分 :case(a) case(b) case(c) case(d) 改善 Leung et al.’s MIP Model 第四部分 REFERENCES

探討單軌多功能提升機循環調度 問題 原因現在的研究都是假設負載提升機動作是不清楚地或清楚地來做研究，並且在同一週期內結束。 為了獲得全局最優解，提出了一種改進的混合整數規劃（ MIP ）的方法來處理多功能週期性排序問題

Abstract 摘要 (1/3)

在自動電鍍生產線與材料 處理提升機被廣泛應用於眾多電子製造 或機械產品。這些系統可以透過優化提升機移動的順序來達到提高生產率 本文提出了一種改進的混合整數規劃（ MIP ）的方法。比以往大多數的對比的方法， MIP 方法可以找到最佳的安排與最大的生產力。改進後的 MIP 方法可以使用商業優化軟件輕鬆實現包裝，改進的 MIP 可以通過一個可編程邏輯控制器來獲得最佳控制起重機的操作時間表。

Abstract(2/3)

自動電鍍線往往是在處理印刷電路板遇到多功能提升機循環調度的問題（例如， [1] - [5] ）。 自動電鍍生產線 包含一系列不同的化學處理槽和多種電腦控制的手拉提升機運輸零件從一個槽到另一個槽。

Abstract(3/3)

實際處理時間 可以規定其上限和下限部分範圍內的發生變化，被稱為時間 窗口。 在大多數的自動化電鍍生產線採用環狀的生產模式 （例如， [6] - [9] ）。 多功能提升機 循環調度問題是要確定一個可執行的時間表週期時間最小化。 我們首先給出一個反例來證明 在這樣的假設所獲得的最優解是所有可行中最好的解決方案之一，我們稱之為全局最優解。

INTRODUCTION 引言 (1/2)

為了獲得全局最優解，假設負載的提升機移動被假定為啟動和結束在同一週期內適當放寬。也就是說如果有必要的話，一個負載提升機的移動允許開始在當前和在接下來的一個週期結束。 在第一部分我們將首先介紹 Leung 等人 [11] 開發的

MIP 模型，然後描述他們的 MIP 模型的擴展和改進。 第二節部分作問題描述和 Leung 等人的 MIP 模型。 在第三部分，我們給出了一個反例來證明我們的發現。 第四節部分改善 MIP 模型

INTRODUCTION(2/2)

考慮一個自動化 與處理槽和提升機為材料電鍍生產線槽之間的處理。在每一個待處理輸入站開始 (i.e., tank 0) ，然後依次穿過槽 1 ，槽 2 ，最終卸載在輸出站 (i.e., tank n+1) 。槽是根據排成一列的處理順序。在任何時間可以處理只有一個槽。還有就是槽之間沒有中間緩衝。 在一個槽中的處理已經完成之後，該部分必須 由提升機沒有任何延遲的運輸下一個槽。

第一部分

提升機是連續編號用一個最接近的槽。 提升機假定為具有零寬度和相同的行駛速度。 提升機運送部分從油箱到油箱的升降機運動被稱為 （加載）的移動，它是由三個簡單的啟閉操作： 1. 從槽取出的一部分， 2. 輸送到儲槽， 3. 將其加載進入油箱。

第一部分

目標是找到一個最優的提升機時間表，使得循環時間最小化。 令 N= ， = 和 K=

第一部分

第一部分

Leung 等。 [ 11 ] 開發了 MIP 模型通過解決以下四個系列的限制。 1. 起重作業和週期時間的定義限制 : 每一個提升機移動被分配到唯一一個提升和足夠長的循環時間，以允許起重機 1 ，返回到輸入站 (i.e., tank 0) 用於開始下一個週期的移動 0 。 2 .浸泡時間的限制 :浸漬的部分或處理時間在必須在提升機其規定的最小和最大範圍內處理時間。否則，有缺陷的零件將被生產。 3 . 移動啟動時間順序限制 : 用相同提升機的啟動方式使時間移動，有足夠的時間差距讓任何提升機連續移動之間給該提升機分配移動。 4 .避免碰撞的限制 :共用的軌道上運行忠沒有碰撞發生。

第二部分

根據四大系列的限制， Leung 等人。 [11] 開發了以下 MIP 模型的多功能提升機循環調度問題： Minimize提升機分配和週期時間約束的定義 :

第二部分

第二部分

使用下面的反例來證明 MIP 的做法是不是一個全局最優解。 有五種處理槽和兩個提升機在這個例子中

(i.e.,n=5.K=2 )該示例的數據如表一，這是通過我們的實驗產生的。

第三部分

槽 0 和槽 6 分別是輸入站與輸出站，該槽和另一槽之間的移動時間可以計算如下： 𝑖𝑗𝑗 移動時間的計算方法是 沒損失一般性，我們假設此移動 0 是由提升機 1 執行，並開始於一個週期的開始。

第三部分

對於這個例子， Leung 等人 MIP 的做法獲得的最佳循環時間是 145秒。第三部分

Fig.2 在這個例子中一個可行的調度與週期時間，這比 Leung 等人的做法得到的最佳循環時間小。因此，在這個例子中， Leung 等人的方法獲得的最優解其實不是全局最優的解決方案。

第三部分

現在我們解釋為什麼最優解與 Leung 等人 MIP 方法獲得的不一定是全局最優解。 注意 :該限制（ 6 ） Leung 等的模型意味著適用於所有負載的動作。這就要求負載的任何移動開始在當前週期中，必須在同一週期內完成。 因此，在他們的模型中， Leung 等人。隱含假設無載動作是允許週期的對應（即啟動在一個週期，結束在下一個週期），雖然這種假設可以簡化的配方問題，這可能會限制實現更好的可行的可能性。

第三部分

我們使用上述觀察 圖 (Fig.2)驗證給出的循環時間表。 我們注意到，移動圖 2 中的提升機 1 。開始於時間

139 s 和結束時間 167秒，循環時間為 142秒。 綜上所述， Leung 等人在整個週期中是允許無負載的動作 。出於這個原因， Leung 等人 MIP 的方法獲得的最優解不一定是全局最優解。

第三部分

浸泡時間限制改寫為了獲得全局最優解，並假設對應的週期允許在制定寬內無載移動的問題。 為了達到這個目的，限制（ 6 ）中的 Leung 等人模型，無載時應替換為下面的公式： for all (28)

第三部分

我們首先擴展 Leung 等的浸泡時間限制（ 9 ） - （ 12 ）通過放鬆，假設在整個週期無載動作。具有這種鬆弛，有以下四種可能的情況。

第三部分

為了便於的改寫，我們定義了一個新的二進制變量來表示此舉是否已經在整個週期：

第三部分

案例 (a):=0 和 =0 ，這意味著開始的一個週期油箱是空的而且移動不跨越週期。 對於這種情況，槽仍然是空的直到一部分移動進入完成時 ，這發生在時間。 注意的事在時部分卸載來自槽實際在槽的處理時間是 () 該槽浸泡時間限制可表示為

第三部分

案例 (b):=1 和 =0 ，一個部分是處理在一個週期而且移動不跨越週期。一個部分載入罐在時間中的當前循環，並且它將被從卸載槽在下一個週期時間 注意的事在時部分卸載來自槽實際在槽的處理時間是 () 該槽浸泡時間限制可表示為

第三部分

案例 (c):=0 和 =1 ，這意味著開始的一個週期油箱是空的而且移動不跨越週期。 對於這種情況，槽仍然是空的直到時部分移動，在下一個週期時結束 ( C) 該槽浸泡時間限制可表示為

第三部分

在案例 (c) 限制條件（ 10 ） - （ 12 ）可以正確地實行在槽下限和上限浸泡時間。 更具體地來說，限制（ 12 ）實行的下限浸泡時間 。限制（ 10 ）將設置為 1 。因此，限制（ 11 ）將正確地實行上限浸泡時間槽。我們 注意，在這種情況下， 為 1 的值與它的定義是不一致的 。

第三部分

案例 (d):=1 和 =1 ，一個部分是在一個週期過程中而移動的槽，開始進入整個週期。對於這種情況下，當前週期在時開始移動和在下一週期結束時間。 在槽中的實際處理時間為 ( ) 根據上述分析，對於槽的浸泡時間限制為

第三部分

從上面的分析，限制條件（ 29 ） - （ 36 ）保證了每個槽中的處理時間是在其規定的下限和上限。 注意，如果我們設置=0 for all 在 Leung 等製劑中的浸泡時間的限制，則在 Leung （ 29 ） - （ 32 ），將減少到限制條件 ( 9)-(12) Leung 等人的模型。 我們現在處理 Leung 等的浸泡時間限制（ 13 ）。正如

Leung 等 et al. [11] ，限制（ 13 ）保證了如果槽是由佔據 在一個週期的開始部分，則存在之間的時間間隙 當一部分是從槽（在時）和另一部分卸載罐（在時）。下面我們擴展這個 配方處理，其中允許一個負載移動的情況下橫跨週期。此後，方便的重新定義如下：

第三部分

我們首先考慮在移不跨越的情況下的週期，如案例（ b ）所示 Fig.3 。在這種情況下，開始操作卸載槽前面的，結束於 時間。下一部分的負載操作進入槽開始 在時間和結束時間。為了避免槽在使用時的碰撞，它遵循：

第三部分

同樣，如果移動進入橫跨週期，如圖（ c ）和圖（ d ）所示。 Fig.3 ，我們有

第三部分

注意， Leung 等 et al. [11]只考慮情況（ b ）所示。圖 3 ，在該此移動不跨越週期。如果 =0 for all 設置，那麼限制（ 37 ）將相當於 以限制（ 13 ） Leung et al.’s 的模型。還要注意的是案例（ a ）是

不要求被視為在這裡，因為在這種情況下，浸泡時間 限制（ 30 ）保證。如通常 大於，有裝載和之間有足夠的時間 如通常 大於，有負載和之間有足夠的時間間在（相同）一部分的卸載操作和兩個提升機在執行裝卸操作之間不會發生碰撞 。

第三部分

此外，為了保證變量被很好的定義，以下限制必須持有：

第三部分

限制（ 40 ）表示，此移動的開始時間應小於 週期時間 。如果 =1 限制（ 40 ）和（ 42 ），然後在當前週期開始移動和下一個週期結束。 另一方面，約束（ 40 ）和（ 41 ）確保在移動的開始和 結束在同一週期內，如果 =0 。限制（ 43 ）確保了如果 此移動是由提升機 1 (i.e., ), 在每個週期中，提升機 1會先執行移動 0 ，然後分配給它的其他動作，最後返回 輸入站到下一個循環開始，它發生在時間 T 的移動 0 。因此，如果被提升機 1 分配此移動，它必須在一個 週期完成，不會跨越週期。

第三部分

為了便於限制使用 CPLEX 制定（ 40 ）和（ 42 ），我們添加了一個足夠小的常數融入其中，它們可以被等效地寫成

第三部分

我們首先證明該二進制變量是不必要 在 Leung 等人的模型中定義。更具體地，限制（ 6 ）保證，如果此移動是提升機 1 執行的最後一步， 那麼移動完成後，提升機 1 有足夠的時間去返回到輸入站 (i.e., tank0), 開始下一個週期的移動 0 。

提升機移動時間滿足三角不等式，限制 （ 6 ）可以被替換為以下限制：

改善 Leung et al.’s MIP Model

上頁關係式表示 ，對於由提升機 1 所有的 執行動作。類似的關係也可以用在文獻 [2] [see inequality （ 8 ） ] 為提升機調度問題。因此，它是不需要定義 Leung et al.’s 的模型的二元變量。 因此，限制條件（ 2 ） - （ 5 ），（ 25 ）和（ 28 ）的改進型自限制（ 6 ）可以從模型中刪除。

改善 Leung et al.’s MIP Model

在給定的一些防撞限制 Leung et al.’s 的模型是不必要的。假設分別移動和通過提升機進行。不失一般性， 我們假設對於任何一對的動作 (, ) 。也就是說，給定的 任何一對的動作，我們指定的動作較大數目 和移動的較小的數字。例如，如果在碰撞 動作 2 和4 之間避免限制是要考慮的，我們設置=4 和 =2 ，並考慮它們之間可能存在的衝突。 作為部分的處理順序是相同的槽安排 序列，這是可以理解的碰撞可能只發生在任何兩個提升機和使用該軌道的公共段之間 ， 即， 。也就是說，沒有衝突會在情況發生 中。但應注意的是，約束條件（ 37 ） - （ 39 ） 確保沒有衝突將兩提升機共享之間發生的 同一罐（ i.e.,, ），其中裝載部件 /卸載了

1 提升機和卸載 /加載另一個。

改善 Leung et al.’s MIP Model

基於以上分析，我們只需要考慮， 的情況下 在提升機防撞限制的制定。 在這種情況下，提升機 和 將𝑘 ℎ穿過一個共同的段軌道。為了保證他們的移動和之間沒有發生碰撞，並且在執行過程中，它們在同一時間不能被執行 。也就是說，其餘的移動 必須移𝑗動 完成後開始。讓我們先假設開始移動後有完成。𝑖在這種情況下，移動結束時，提升機將 通過槽時間。知道執行的移動 由提升機開始時間，以避免可能的衝突，必須提升機穿過槽時間。因此，我們有

改善 Leung et al.’s MIP Model

改善 Leung et al.’s MIP Model

讓我們考慮在 =2 時圖一移動 3 和 4 中所示的防撞限制，我們也有已經完成移動 4 後開始移動 3 。我們也有 , 。移動 3 移動 4由提升機 2 和提升機 1 ，分別執行。我們現在看到的這個提升機轉讓，移動3 和 4 的開始時間之間有什麼關係，應滿足以避免它們之間可能存在的衝突。所要求的 Leung et al.[11] 中，我們首先讓與而代之的價值觀 , , 。該模型由於兩方面的改進變得更加緊湊

改善 Leung et al.’s MIP Model

請注意，我們不考慮提升機之間的安全距離 中，以便於與 Leung 的比較上述模型 。然而，該模型可以很容易地修改，以取 安全的距離考慮進去。讓我們兩個之間的最小間隔，相鄰提升機軌道以避免碰撞。為了簡單起見，提升機安全距離由它的行駛速度測量時間。例如，如果安全距離被認為是，限制 （ 16 ）可改寫如下： ：

改善 Leung et al.’s MIP Model

在上述不等式，如果 =1 和 =1 一些 ，那麼(=() ，這是提升機 和 之間避免碰撞所需的最低安全距離。類似 修改也可以做限制（ 17 ），（ 20 ），（ 21 ），和（ 37)- （ 39 ）。

在下頁表中為評估同時使用標杆改進模型 並隨機生成的實例。

改善 Leung et al.’s MIP Model

在文獻中 5 個關鍵實例： BO1 ， BO2 ， Phillips 和 Unger （ P＆ U ） Ligne1 和Ligne2 。其數據可在 [ 11 ] 、 [ 24 ] 和 [ 25 ] 中可以找到，。對於這些基準情況下，部分加工順序被假設為相同的槽排列順序。

表 II 是用於測試的兩個改進的有效性。請注意，部分改善模型通過消除改進而得，從我們的改進模型。用部分所得的最優解改進模型和我們的改進型號必須相同。在 表二， “B＆B ” 表示的分枝定界樹測得的尺寸中節點的數量，而“CPU ” 表示的計算時間。我們可以從表Ⅱ看出，計算次我們改進模型花費通常比小那些由部分改進模型度過的。然而， B＆B 的大小似乎表明這些實例間的混合趨勢。表 III 用於演示，如果一個較小的週期時間可以是我們的改進模型發現與 Leung 等的模型進行了比較。 在表Ⅲ中，在斜線（ / ）左側和右側的數字是與梁等人的模型，我們改進模型並獲得最佳的週期時間，分別。標有 *號表示至少有一個提升機移動的最優解去整個週期。 我們可以看到，無論Leung 等的模型和我們的改進模型除非問題得到大多數情況下，相同的最優解 P＆ ü 用 =3 。針對此問題，獲得了最佳的循環時間與梁等人的模型是

205 ，而用一個更好的解決方案循環時間 198 發現我們的改進模型。對於其他的解決方案標有 * 的，但至少有一個提升機移動的最優解 我們的改進模型得到去跨越週期，最優用兩種模型得到的週期時間保持不變。

第四部分

第四部分

我們注意到，最佳週期時間保持不變時， 提升機增大到 3 和 4 的問題 BO1 數， BO 2 ， Ligne1 ， 和Ligne2 。我們解釋一下上面的觀察如下。在一個多提升機系統中，週期時間是從下限

也就是說，循環時間大於或等於的總和 最小處理時間與卸載和加載時間在任何 槽。對於問題BO1 ， BO2 ， Ligne1 和 Ligne2 ，最佳週期 時間到達下限由（ 56 ）給出。其結果是， 最佳的週期時間保持不變時，提升機的數量增加。

第四部分

隨機生成的實例也被用來進一步評估 我們的改進模型的性能。所有隨機實例 被生成的，如下所述。我們建立和 N= 和 N= 。設是參數 a 和 b 之間的均勻分佈 。處理時間下界為 生成的。上限處理 使用以下三種方案具有不同的生成時間 寬度的時間窗口： 和 。相鄰之間的行車時間 槽中生成如下： 。行駛槽和槽之間的時間可以用公式計算 , 。該 加載移動時間是，計算其中。對於每一個給定值 n 和 K隨機 生成實例。

第四部分

表 IV-VI 用於測試的兩個改進的在第 IV-B 有效性 三種情況下出現 、 。對於每個給定 的價值，並為列“ B＆ B” 和這些表中的“ CPU” 的數據 代表的分支定界樹和平均的平均大小 在 20 個測試實例，分別計算時間（在 CPU秒）。 我們可以從這些表中的B＆ B 的尺寸探索的看到我們的 改進模型通常比那些由部分研究小 改進模型。

第四部分

第四部分

第四部分

與我們的改進模型，一 更小的線性規劃求解在每個節點處，這就需要更短的 計算時間在每個節點。因此，我們的改進模型始終是更有效（在計算時間方面）比部分 改進後的模型雖然前者的 B＆ B 的尺寸並不總是 比後者的要小。這意味著這兩個改進在第 IV-B呈現是有效的。此外，我們還可以看到 這為 CPU 時間的部分改進模型所花費的比例 我們的改進模型通常用增加的價值 n 和 K 。因此，似乎較大的實體的大小，一般 更節省計算時間由我們的改進模型來實現。 表七顯示，多少實例為其最佳 與我們的改進模型得到的週期時間是小於 Leung 等人的模型。

第四部分

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