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Adaptación del Depto. de Matemática del Liceo 7 de Providencia.
Autor: Rubén Alva Cabrera
76
556
A B
El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4
76
556
A B
El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.
B A
B A x /x B x A
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
B A 8;9
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A - B A - B
B
A - B=A
INDICE
76
556
A B
El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).
A B
A B x /x (A B) x (B A)
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
873
1
4
2
A B 1;2;3;4 8;9
También es correcto afirmar que:
A B (A B) (B A)
A B (A B) (A B)
A BA-B B-A
A B
Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.
Notación: A’ o AC
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y
Simbólicamente: A ' x /x U x A
A’ = U - A
12 3
45
6
78
9
U AA
A’={2;4;6,8}
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
1. (A’)’=A
2. AA’=U
3. AA’=Φ
4. U’=Φ
5. Φ’=U
INDICE
PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3FIN
Dados los conjuntos: A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34} B = { 2 ;4;6;...;26} C = { 3; 7;11;15;...;31}a) Expresar B y C por comprensiónb) Calcular: n(B) + n(A)c) Hallar: A B , C – A
SOLUCIÓN
Los elementos de A son:Primero analicemos cada conjunto
1 3x1
tt4tt1 3x2
tt7tt1 3x3
tt tt101 3x11
tt3 tt4
1 3x0
tt1tt
...
A = { 1+3n / n Z ٨ 0 ≤ n ≤ 11}
Los elementos de B son:
2x2
tt4tt2x3
tt6tt 2x4
tt8tt 2x13
tt tt262x1
tt2tt ...
B = { 2n / n Z ٨ 1 ≤ n ≤ 13} n(B)=13
n(A)=12
Los elementos de C son:
3 4x1
tt7tt3 4x2
tt tt113 4x3
tt tt153 4x7
tt tt31
3 4x0
tt3tt
...
C = { 3+4n / n Z ٨ 0 ≤ n ≤ 7 }
a) Expresar B y C por comprensiónB = { 2n / n Z ٨ 1 ≤ n ≤ 18}
C = { 3+4n / n Z ٨ 0 ≤ n ≤ 7 }
b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C)=8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Hallar: A B , C – A
A B = { 4;10;16;22 }
C – A = { 3;11;15;23;27 }
Sabemos que A B esta formado por los elementos comunes de A y B,entonces:
Sabemos que C - A esta formado por los elementos de C que no pertenecen a A, entonces:
Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }Determinar si es verdadero o falso:a) Φ C Gb) {3} Gc) {{7};10} Gd) {{3};1} Ge) {1;5;11} C G
SOLUCIÓN
Observa que los elementos de A son:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
es VERDADERO
Entonces:
es VERDADERO porque Φ estaincluido en todo los conjuntos
es VERDADERO porque {3}es un elemento de de G
es FALSO porque {{7};10} no es elemento de G es FALSO
a)Φ C G ....
b) {3} G ...
c) {{7};10} G ..
d) {{3};1} G ...
e) {1;5;11} C G ...
Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C,los que ven por lo menos 2 canales son 230¿cuántos ven los tres canales?
SOLUCIÓN
El universo es: 420
Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240No ven el canal C: 150Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270
A B
C
a
d
(I) a + e + d + x =180
be
xf
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
(I) a + e + d + x =180(II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270
Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)
Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420230
entonces : a+b+c =190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690190 230
190 + 560 + x =690 -> x = 40
Esto significa que 40 personas ven los tres canales
