Adattamento in versione italiana di Cesare Chiosi Dipartimento di Astronomia, Università degli Studi di Padova, Italia Anno Accademico 2005-2006

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Letteratura Introduttiva: S. L. Shapiro & S. A. Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars, Wiley & Sons, New York, 1983 N. K. Glendenning, Compact Stars, Springer, Berlin, 1997 R. Kippenhahn & A. Weigert, Stellar Structure and Evolution, Springer, Berlin, 1990 R. & H. Sexl, Weisse Zwerge, Schwarze Loecher, Vieweg, Braunschweig, 2. Auflage, 1984 Specializzata: S. Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure, Univ. Chicago Press, 1939 R. d'Inverno, Einfuehrung in die Relativitaetstheorie, VCH, Weinheim, 1995 V. P. Frolov & I. D. Novikov, Black Hole Physics, Kluwer, Dordrecht, 1998 F. W. Hehl, C. Kiefer & R.J.K. Metzler (eds.), Black Holes: Theory and Observation (179. Heraeus Seminar, Bad Honnef, Aug. 1997), Springer, Berlin, 1998 R. N. Manchester & J .H. Taylor, Pulsars, Freeman, San Francisco, 1977 Ya. B. Zel’dovich & I. D. Novikov, Relativistic Astrophysics, Vol. 1, Univ. Chicago Press, 1971 Popolare: M. Begelman & M. Rees, Gravity's Fatal Attraction: Black Holes in the Universe, Scientific American Library, Freeman, New York, 1996 ; bzw. Schwarze Loecher im Kosmos, Spektrum, Heidelberg 1997 J. P. Luminet, Schwarze Loecher, Vieweg, Braunschweig 1996 K. S. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, Norton, New York, 1994; bzw. Gekruemmter Raum und verbogene Zeit, Droemer Knaur, Muenchen 1994 J. A. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, Scientifc American Library, Freeman, New York, 1990; bzw. Gravitation und Raumzeit, Spektrum,

2

Heidelberg 1991 Indirizzi WWW utili: Albert Einstein Institut fuer Gravitationsphysik, Golm (Einstiegsseite zu vielen Aspekten der relativistischen Physik und zu Gravitationswellendetektoren) http://www.aei-potsdam.mpg.de Living Reviews in Relativity http://www.livingreviews.org/sitecontents.html Elektronisches Preprint-Archiv http://xxx.uni-augsburg.de Usenet Relativity FAQ http://www.desy.de/user/projects/Physics/relativity.html NASA Chandra X-ray Observatory http://chandra.nasa.gov/chandra.html# ESA XMM-Newton X-ray Observatory http://wave.xray.mpe.mpg.de/xmm

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CAPITOLO 1 1.1 Introduzione e Sommario In natura esistono quattro Interazioni Fondamentali due delle quali (elettromagnetismo e gravità) sono a lunga distanza. Le forze elettromagnetica e gravitazionale fra due protoni di massa e carica e alla distanza r sono espresse da:

pm

da cui

dove

è la costante di struttura fine di Sommerfeld,

è la costante di struttura fine della gravitazione, 2h π= h è la costante di Planck e c è la velocità della luce (nel vuoto). La gravitazione non è importante nello strutturare le proprietà della materia alle piccole dimensioni (atomi e nuclei). Scala di lunghezza atomica: Raggio dell’atomo di Bohr oaSi consideri un elettrone di massa che si muove con velocità v lungo l’orbita di raggio attorno ad un protone (atomo di Idrogeno). La forza elettrica e forza centrifuga si pareggiano

em 0a

Con l’aiuto del Momento Angolare L possiamo scrivere

la quale imponendo la quantizzazione di L ( L n= h ) diventa

Da questa segue

dove è la lunghezza Compton degli elettroni. e/( m c )h

4

Scala delle energie atomiche:

dove è la energia di massa dell’elettrone. 2

em c Le scale di lunghezza e di energia atomiche sono in gioco anche nell’interazione elettromagnetica e nel principio di indeterminazione di Heisemberg. Dove è importante la forza gravitazionale? Per oggetti macroscopici e neutri è importante la forza gravitazionale. Quanto sono grandi le scale di lunghezza e di massa? Consideriamo un corpo solido sferico di massa M e raggio R, contenente N atomi di numero di massa A e numero atomico Z :

dove è l’unità di massa atomica e è la massa dell’atomo di Carbonio con numero di massa A=12. Ancora

um 12Cm

Ne segue pertanto:

ovvero

Per l’energia interna dovuta a tutti gli atomi si ha

ed infine la energia totale è

Con A = Z/2, quando valga la relazione 0totE =

pertanto

Oggetti corrispondenti al corpo in esame sono caratterizzati dall’avere

e cioè essi sono simili al pianeta Giove. Oggetti con sono stabilizzati dal forze di stato solido contro la forza gravitazionale. maxM M≤

Nel caso che si tenga conto della forte interazione dovuta alle forze elettromagnetiche espressa da

210Sα α= , si trova

5

e

cioè una Stella di Neutroni. Il fattore 510− deriva dai diversi ordini di grandezza delle costanti di accoppiamento, della massa del nucleoni e del raggio degli atomi.

Raggio di Schwarzschild: Affinché una particella di prova di massa m possa allontanarsi ad una qualunque distanza dalla superficie di un corpo di massa M e raggio R essa deve possedere una energia cinetica pari alla energia potenziale gravitazionale

La velocità critica, chiamata velocità di fuga, è data da

Ponendo ora v = c, la massima velocità di fuga possibile, per una data massa M si deriva un raggio critico detto raggio di Schwarzschild

Se un corpo di massa M è compresso fino al raggio di Schwarzschild, la sua velocità di fuga è pari alla velocità della luce

Oggetti con SR R< sono chiamati Buchi Neri.

La densità media di un Buco Nero di massa M è

dalla definizione di raggio di Schwarzschild segue che

ovvero

6

Nel caso di un Buco Nero stellare con M = Mo is ottiene un valore per la densità media pari a circa

, circa 100 volte maggiore della densità nucleare. In un buco nero molto massiccio di circa masse solari la densità media è

162 10 3 g/cm×910 0 02 3. g/cmρ > . Per l’esistenza di un Buco Nero non

sono dunque necessarie densità estremamente elevate. Difetto di massa Quando una stella si forma da una nube di gas, viene liberata energia di legame gravitazionale. Il guadagno (differenziale) di energia dovuto all’accrescimento di uno strato sferico di materia con densità ρ e spessore dr sopra una già esistente distribuzione di massa (simmetria sferica)

2

0

4r

m( r ) ( ) dπ ρ ξ ξ ξ= ∫ di raggio r è dato da

2G

Gm( r )dE dm con dm=4 r drr

πρ= −

La energia gravitazionale di legame totale è dunque

ovvero

Se la densità è costante abbiamo

2

303 45 3G 0

GME con M R

Rπ ρ= − =

Il fattore 3/5 ha origine dall’aver assunto la simmetria sferica e che la distribuzione di densità sia incompressibile. In generale vale la relazione approssimata entro un fattore dell’ordine dell’unità

dove Mo è la massa della stella. L’energia di legame gravitazionale liberata viene emessa sotto forma di fotoni e/o neutrini. Pertanto la stella ha una massa minore di quella della nube di gas da cui si è formata

Il difetto di massa è dato da

Il difetto di massa relativo (ordine di grandezza) è espresso da

Per il Sole e per le Nane Bianche il difetto di massa gravitazionale è minore del difetto di massa dovuto alle forze nucleari ( 1nucM %∆ ≈ ).

7

Equilibrio idrostatico Trattiamo il caso di una sfera di gas di raggio R auto-gravitante e in equilibrio idrostatico. In ogni punto della sfera il gradiente (negativo) di pressione (in una stella la pressione diminuisce dal centro verso l’esterno) eguaglia la forza gravitazionale attrattiva

L’ordine di grandezza del gradiente di pressione è dato da

Poiché alla superficie della stella la pressione è quasi nulla, mentre al centro è circa uguale al valore medio possiamo scrivere

Analogamente possiamo approssimare la forza gravitazionale :

dove M è la massa totale e ρ è la densità media. Da questo segue

cioè il rapporto fra il raggio di Schwarzschild al raggio stellare è circa uguale al rapporto fra la pressione media e il valore dell’energia di massa a riposo della stella.

Stelle “normali” non degeneri La materia della stella e composta da un gas ideale con equazione di stato

dove 78 32 10R . erg/K/M= × ol è la costante universale dei gas, T la temperatura e mol a AV N M / ρ= è il volume molare. è il numero di Avogadro e 231 6 023 10a uN / m .= = × A uM Am= è la massa degli atomi con numero di massa A. Per una miscela di gas ideali AM viene espresso mediante il peso molecolare. La trasformazione della (1.11) dà

dove è la costante di Boltzmann. In equilibrio idrostatico 161 38 10B AK R / N . erg/K−= = ×

Quando una stella si raffredda, il suo raggio cresce (stadio di gigante rossa). Ne segue ancora che

da cui si vede che il grande effetto relativistico avviene attraverso la temperatura media degli interni stellari. Per il bruciamento dell’Idrogeno si ha

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cioè l’ordine di grandezza degli effetti relativistici in stelle normali viene determinato dalla fisica nucleare. Ancora si noti che l’ordine di grandezza degli effetti relativistici è indipendente dalla costante di gravitazione.

Perdita di energia per radiazione Ogni corpo scambia calore con l’ambiente circostante. Tale scambio avviene anche quando il corpo si trova nel vuoto, cosi che direzione di scambio di calore è solo verso l’esterno. La perdita di energia avviene attraverso l’emissione di radiazione. La luminosità L, cioè la quantità totale di energia (a tutte le lunghezze d’onda) per unità di tempo che un corpo nero sferico di raggio R e alla temperatura T emette è

dove è la costante di Stefan - Boltzmann. Essa proviene dalla teoria di Planck del corpo nero: .

55 67 10 2. erg/cm /sσ −= × 4/K)5 4 2 32 15B( k ) /( c hσ π=

Se una stella non ha sorgenti interne di energia nucleare, essa si raffredda con scala temporale di Kelvin - Helmholtz:

Per il sole anni. 710KHτ ≈ Conclusione: Stelle composte di gas ideali possono esistere in equilibrio idrostatico per un tempo maggiore di KHτ solo se nel loro interno hanno una sorgente di energia (ad esempio nucleare). Tale conclusione è in ultima analisi la conseguenza del fatto che

Stelle degeneri Mentre la pressione di una stella non degenere e’ regolata dall’energia cinetica delle particelle di gas, la pressione nella materia degenere è conseguenza del principio di Pauli

Di conseguenza, per un gas ideale: quando T 0 anche P 0 e pertanto non può esistere equilibrio. Per valutare la pressione di un gas degenere di elettroni (Fermioni) consideriamo un elettrone (Fermione) in un cubo di lato d e volume e volume. In base al principio di indeterminazione di Heisemberg, il momento

3dFp dell’elettrone (Fermione) obbedisce a

La energia cinetica o energia di fermi dell’elettrone (non relativistico) diventa

Se kTε >> la energia cinetica dell’ elettrone non viene determinata dalla temperatura ma dalla densità

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Si noti per una assegnata densità, più leggera è la particella in gioco più alta sarà la sua energia Fermi ( ) e maggiore sarà il suo contributo alla pressione. Pertanto si può approssimare 1

F mε −∝

La densità di massa è invece data dalle particelle più pesanti

Sostituendo queste approssimazioni nella 1.16 si ottiene

dove

è la densità alla quale la distanza media delle particelle eguaglia la lunghezza Compton degli elettroni . 112 3 86 10 3

e/ / m C . g/cλ π −= = ×h mPer cρ ρ≥ segue dal principio di indeterminazione di Heisenberg

cioè che gli elettroni sono relativistici. La energia di Fermi è pertanto F Fp cε ≈ (segue da

2 2F F ep / mε ≈ ) e

Infine la equazione di stato di un gas di Fermi è data da

Conseguenza: grazie agli effetti quantistici un gas esercita una pressione anche a T = 0 (energia di “punto zero”). Nane Bianche: gas degenere relativistico di elettroni Stelle di Neutroni: gas degenere non relativistico di neutroni Nane Bianche e Stelle di Neutroni non hanno una sorgente interna di energia, ciò nonostante esse sono in equilibrio idrostatico. 1.2 FENOMENOLOGIA DEGLI OGGETTI COMPATTI

Tavola sinottica

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NANE BIANCHE i) Oggetti singoli Stelle deboli e di colore bluastro (ne sono state osservate circa 2000); al centro di Nebulose Planetarie (molto calde e blu con T > 100000 K ), osservati circa 500 oggetti ii) Oggetti in sistemi binari

I) Senza accrescimento di materia: stelle deboli e bluastre, sopraffatti dalla stella compagna e difficili da scoprire (scoperti circa 10 oggetti, 20 includendo anche sistemi binari con radio-pulsars). Esempio: Sirio B con Periodo orbitale di 49.9 anni, raggio R=0.008 Ro, massa M=1.05 Mo, 63 10 3g/cmρ = × .

II) Con accrescimento: Novae, Novae Nane (molto probabilmente stelle con parziali brillanti eruzioni di materia (Novae: circa 1000) . iii) Grandezze caratteristiche Masse: 0 58M . M con 0.1σΘ< >= ≈ , poche con M < 0.4 Mo and M>0.8 Mo. Raggio 0 012R . MΘ< >= . Luminosità 3 210 10L L− −

Θ≈ − . Densità 54 75 10 3. g/cρ< >= × m . Gravità . 2 81 1 10 3 5GM / R . g/cm cioè 10 g< >= ×

iv) Tipo spettrale: DA: righe di H, solo righe di Balmer, niente He o metalli, temperatura superficiale . DB: righe di He, niente righe di H e metalli, temperatura superficiale 12000 30000Te K≤ ≤ . DC: spettro di transizione. DO: forti righe di He, anche HeI e H, temperatura 45000 100000Te K≤ ≤ . DZ: solo righe di metalli, niente H o He. DQ: righe del C (molecola C2). DBA: con righe di He e H. Frequenza: per temperature effettive nell’intervallo 10000—100000 K, 4DA non DAN N −≈ e per temperature più basse DA nonN N −≈ DA . v) Rotazione e campo magnetico

Le Nane Bianche isolate ruotano lentamente. Esse inoltre hanno campi magnetici con intensità da . 4 93 10 10 G× − −

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v) Popolazione totale Il tasso di formazione delle Nane Bianche è stimato a . Dal volume del Disco Galattico stimato assumendo R = 15 kpc e 2H = 200 pc pari a , ne segue il tasso di nascita di 0.1 Nana Bianca per anno, il quale per un’età della Via Lattea di circa 10 miliardi di anni corrisponde un totale di circa Nane Bianche.

12 310 / anno / pc−

2 2DiskV r (π= H ) c1110 3DiskV p≈

910

FIGURA. 1 Esempio di Nana Bianca.

Figura. 2 Nana Bianca in accrescimento (schizzo).

FIGURA. 3 Distribuzioni della masse delle Nane bianche

STELLE DI NEUTRONI

i) Stelle singole Radio-pulsars (N = 1300), ad esempio Crab Nebula e Vela; comportamento singolare .

ii) Stelle in sistemi doppie

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I) senza accrescimento Pulsars binarie, millisec pulsars (N=100), PSR B1913+16; Hulse -Taylor pulsar; NS-NS systems utili verificare la teoria della Relatività Generale; PSRB1937+214, la pulsar con il più corto periodo e con l’orologio più preciso (N=50); PSRB1821, la prima pulsar scoperta (N=50); PSRB1257+12, millisec pulsar con tre pianeti.

II) con accrescimento Massicce (HMXB) (N=70) e di piccola massa (LMXB) (N=120) sistemi binari X o pulsar-X. iii) Proprietà caratteristiche Temperatura effettiva di circa 1,000,000 K = 0.1 Kev raggi X; intensi campi magnetici da a

G; alcune con rotazione critica (alcuni msec), ma anche periodi di rotazione a 10 s; alta velocità peculiare, valore medio 450 km/s; la più elevata 3000 km/s, cioè v =0.01 c

;

12101310

503 10 kinE e≈ × rg

Causa ? Associazione a resti di supernova (Crab, Vela); popolazione circa 100,000 radio-pulsars attive nella nostra Galassia; circa 100,000,000 pulsars durante l’intera storia della Galassia (stima sulla base del tasso di formazione di 1 Pulsar ogni 100 anni).

Figura 1.4: Ha immagine dei dintorni della Millisec Pulsar PSR 0437-4715. La freccia indica la direzione di moto della pulsar .La stella subito sotto il fronte d’urto è una Nana Bianca che assieme alla Pulsar forma un sistema doppio. La distanza fra la pulsar e fronte avanzato dell’onda d’urto è circa 1400 AU.

Figura 1.5: Immagine HST della stella di neutroni isolata (non pulsante) RXJ185635-3754. Scoperta da ROSAT grazie alla emissione X (Walter et al. 1996, Nature 379, 233) ed in seguito osservata con HST (Walter& Matthews 1997, Nature 389, 358). La stella di neutroni è molto calda (T =1.2 x10^6K) e dista solo 61 pc (Walter 2001, ApJ 549, 433). E’ dunque la stella di neutroni più vicina.

BUCHI NERI

i) Stelle singole Direttamente non osservabili a parte gli effetti gravitazionali.

ii) In stelle doppie

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Senza accrescimento difficili da osservare, nessun esempio not. Con accrescimento: raggi X in sistemi binari. Alcuni candidati ad esempio Cyn X-1. iii) Buchi neri massicci in galassie attive (AGN): La macchina per la produzione di jets extragalattici. Masse 610 10BH

9M M MΘ Θ≤ ≤ . Luminosità , luminosità di accrescimento per un oggetto con R = Rs 4710L erg≤ /s RacL GMM /= &

Prova: comportamento kepleriano del gas nel vortice di accrescimento.

Figura 1.6: Misura della velocità del gas caldo del disco-di accrescimento rotante nel centro della galassia attiva M87. Il gas si allontana da noi con una velocità fino a 500 km/s. Queste alte velocità sono probabilmente dovute alla presenza di un Buco Nero massiccio ( 93 10BHM MΘ≈ × )

Figura 1.7: Simile alla Figura 1.6 ma per la galassia NGC4527, dove il moto kepleriano attorno al Buco Nero è stato misurato precisamente grazie ad una riga maser dell’acqua.

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CAPITOLO 2

STELLE NANE BIANCHE 2.1 SCOPERTA E STORIA DELLE NANE BIANCHE 1834 Bessel (1784-1846) scopre il comportamento variabile di Sirio stella doppia con un compagno invisibile. 1862 A.G. Clark trova Il compagno di Sirio vicino al luogo predeterminato. Dagli elementi orbitali e dalla parallasse ricava per Sirio B: 1 1 400M M ,L / LΘ Θ≈ ≈ 1915 Adams determina il tipo spettrale (F) di Sirio B: 8500 55 3T K, R R / , 61000 g/cmρΘ≈ ≈ ≈ 1924 A.S. Eddington formula il paradosso: alta densità solo con completa ionizzazione, cioè alta temperatura. Una stella con una densità così elevata ha bisogno di energia per raffreddarsi! 1926 R.H. Fowler risolve il paradosso di Eddington: Completa ionizzazione non solo ad alta temperatura ma anche per T 0, quando la pressione è sufficientemente elevata (ionizzazione da pressione). Principio di Pauli, statistica di Fermi-Dirac per il gas di elettroni (degenerazione) equazione di stato, le Nane Bianche sono dei politropi con n=3/2, e quindi 1 3/R M −∝ . 1931 S. Chandrasekhar generalizza il principio di Fowler: Validità della Teoria della Relatività Speciale Degenerazione relativistica Massa limite per le Nane Bianche. Inizia la controversia con Eddington, il quale afferma: non esiste la degenerazione relativistica e quindi non vi è una massa limite. La relazione massa-rggio 1 3/R M −∝ vale per qualunque M. Chandrasekhar cerca il sostegno dei fisici (come Pauli, Bohr etc..), i quali tuttavia non prendono spesso posizione. 1939 Chandrasekhar cerca la conclusione della controversia e scrive il libro “An introduction to the Study of Stellar Structure”. Si procura altre preoccupazioni, La controversia finalmente cessa con la morte di Eddington.

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2.2 EQUAZIONE DI STATO DI UN GAS IDEALE DI FERMIONI La distribuzione dei momenti (distribuzione di Fermi) di N Fermioni ideali con massa m, spins s ed energia

in un volume V ad una temperatura T è dato dalla relazione

con s: peso statistico: per particelle g = 2s+1; per fotoni g = 2; per neutrini g = 1 3 4V / h p2π : numero di celle nello spazio delle fasi con volume nell’intervallo 3h di momento p, ….., p+dp f(E): probabilità che una cella dello spazio delle fasi all’energia E sia occupata S ,V/ n |µ ε= ∂ ∂ : potenziale chimico dove ε è la densità di energia (inclusiva della energia di massa a riposo) e n è la densità numerica di fermioni. Spesso al posto del potenziale chimico si adopera la grandezza

B

,k Tµη = (2.3)

detta parametro di degenerazione. Dalla distribuzione di Fermi si derivano: Densità numerica

Densità di Energia

Pressione (isotropa)

dove il fattore 1/3 viene dall’integrazione sullo spazio delle direzioni e è la velocità dei fermioni. Per densità di particelle sufficientemente bassa e una temperatura elevata si ha

2v pc / E=

cioè la distribuzione di Fermi f(E) tende a quella di Maxwell - Boltzmann MBf ( E ) . In questo caso non degenere si ha MBf ( E )<< 1 e si trova

16

cioè B/ k Tµ <0 se la densità di particelle è inferiore ad una densità critica

Introducendo e um Am= un / Amρ= si deriva

ovvero

Per l’aria (A = 30) a temperatura T = 273 K si ottiene 30B/ k Tµ ≈ − . Al limite per T 0 (con n>n*) B/ k Tη µ= → ∞ e la funzione f(E) diventa

cioè la distribuzione di Fermi totalmente degenere (funzione a gradino).

1] Limite non relativistico (NR) In questo caso (p/mc<<1) per la energia delle particelle abbiamo

ovvero senza la energia di massa, l’energia della particella

La densità numerica di particelle è

la quale con l’aiuto della variabile ausiliaria

e diventa Bmk Tdx pdp=

Introducendo gli integrali di Fermi

si ottiene

Questa è anche una equazione implicita per ricavare il parametro di degenerazione η per una assegnata temperatura T e densità numerica di particelle . La equazione mostra che la degenerazione cresce al crescere della densità e decrescere della temperatura. Ancora si ottiene

NRn

17

ovvero

Utilizzando la relazione (2.13) si ha

Per la pressione usiamo la relazione

Confrontando questa con la (2.14) si deriva

A] Nel Caso di completa degenerazione (η → +∞ ) abbiamo

e da questa

e

Risolvendo la (2.18) in η ed inserendo l’espressione risultante nella (2.19) si deriva

da cui

dove è la densità numerica di fermioni per barione. FY B] Nel limite di fermioni non degeneri (η → −∞ ) si ha

dove Γ(n+1) è la funzione Gamma. Per valori positivi di n si ha Γ(n+1) = n! Pertanto

3 2 2( / ) /πΓ = e 5 2 3 4( / ) /πΓ = . Pertanto la densità numerica di particelle è data da

e la densità di energia (2.15) da

18

2] Limite estremamente relativistico (ER) Nel caso estremamente relativistico abbiamo p/mc >>1 e E pc≈ . La densità numerica di particelle è data da

Ponendo Bx pc / k T= si deriva

cioè

Analogamente

e con l’aiuto delle (2.12) e (2.24)

Per la pressione si ha

e dal confronto con la (2.25)

A] Nel caso di totale degenerazione (η → +∞ ) si derivano le seguenti espressioni

e

ovvero

e

19

B] Nel caso di fermioni non degeneri (η → −∞ ) otteniamo

e

ovvero

Riassumendo

Nel caso di fermioni non degeneri (ND) si ottiene la equazione di stato di un gas ideale sia in condizioni non relativistiche (NR) che estremamente relativistiche (ER). Nel caso di un gas completamente degenere (D) la pressione non dipende dalla temperatura. Nel caso non degenere e non relativistico la pressione del gas è in ogni caso minore della pressione della radiazione

L’integrale ha il valore . Con g = 2 e µ = η = 0 (fotoni) si ha 4 15/π

dove

è la costante della radiazione. Per K si ottiene (cgs): e , pertanto

se .

1010T = 252 10Pγ ≈ × 610P −≈ n

P Pγ >> 312 10n << ×

20

2.3 SFERE GASSOSE POLITROPICHE Il più semplice modello di stella [Emden 1907; Lane 1870]. Definizione di politropo: Modello di stella in equilibrio idrostatico nel quale la distribuzione di pressione densità obbediscono alla relazione

Le grandezze K e n sono chiamate costante politropica ed indice politropico, rispettivamente. La relazione (2.28) vale sull’intera stella in quanto K e n sono costanti con il raggio r. Molto verosimilmente possono dipendere dal tempo. La legge politropica non deve necessariamente essere identica alla equazione di stato. Vi sono due possibilità A] La equazione di stato è un politropo. Questo per esempio vale nel caso di elettroni totalmente degeneri

B] Le dipendenze della pressione e temperatura sono accoppiate. Il gas in una stella obbedisce alla equazione di stato P=P(ρ,T). Inoltre per la stratificazione di temperatura può anche esservi una dipendenza secondaria T=T(P). Stratificazione isoterma: se in un gas ideale [0T T= P ( R / ) Tµ ρ= ] P , n=ρ∝ ∞ e K dipende da To e µ pertanto è variabile da caso a caso ma costante in una data stella. Stratificazione adiabatica: ( ) grazie alla convezione in un gas ideale con gradiente di temperatura dato da . Se possiamo trascurare la pressione di radiazione,

ADT P∇∝AD AD( d lnT / d ln P )∇ = ∇ =

allora per gas mono - atomico e cioè 2 5AD /∇ = 2 5/T P∝ in tutta la stella. Pertanto se µ = costante si ha il comportamento politropico

11 ADn

AD

1-P con n=ρ

+ ∇∝

∇

con n = 3/2. Commento importante. Quando la equazione di stato è di tipo politropico, la constante K è prefissata e dipende dalle costanti della fisica. Al contrario se le stratificazioni di temperatura e pressione sono accoppiate, allora K è un parametro libero, costante all’interno di una stella ma variabile da stella a stella. Equazioni di Emden L’equazione di equilibrio meccanico è

con

21

Combinate assieme danno la cosiddetta equazione di Poisson

Per un politropo (2.28) essa diventa

da cui

Introducendo due variabili dimensionali così definite

e

si ottiene la equazione differenziale non lineare di Emden

per la funzione di Lane-Emden y(x) con le condizioni al contorno 0 1 0x=0y( x ) e dy/dx|= = = Soluzioni analitiche di questa equazione esistono solo per n = 0,1, 5.

Per n < 5 y = 0 per e y’(xo ) < 0. I politropi con n < 5 hanno comportamento del

tipo

0x x= < ∞2

16xy( x ) per x <<1≈ − .

Proprietà importanti dei politropi Il raggio del politropo è il punto xo dove la funzione y(x) si annulla per la prima volta. Pertanto

La massa di un politropo è

22

ovvero

In virtù della (2.32)

ed infine

ovvero

Attenzione: Per n = 3 la massa non dipende da cρ

Dalle equazioni precedenti per massa e raggio di un politropo si deriva la relazione Massa-Raggio (inequivocabilmente fissata da K e n)

per n = 3 la massa M è indipendente da R per n = 1 il raggio R è indipendente da M Per assegnati K, n e M vi è una sola soluzione. Energia potenziale La energia potenziale di un politropo è data da

2.4 MASSA LIMITE DI CHANDRASEKHAR

23

Il gas di elettroni di una Nana Bianca è fortemente degenere. Pertanto possiamo la equazione di stato di un gas di fermioni totalmente degenere con g=2. Caso non relativistico ( ) 610 3 g/cmρ <<

Sostituendo e en Y / mBρ= ne segue

tale equazione di stato è quella di un politropo con n = 3/2. Caso relativistico ( ) 610 3 g/cmρ >>

una equazione di stato corrispondente al politropo di indice n = 3. Relazioni Massa-Raggio. Dalle relazioni Massa-Raggio e Massa-Densità Centrale dei politropi (2.37) otteniamo

1 23 3

n nn n

cR M assieme a Mρ−− −∝ ∝

cioè per gas totalmente degenere non relativistico (n = 3/2 e 3 2/K K= ) 1 3 2/

cR M assieme a Mρ−∝ ∝ Dalla 0cd / dMρ > segue che dη/dM > 0, pertanto la degenerazione cresce con la massa M del politropo. Sopra una certa massa il gas degenere di elettroni diventa anche relativistico. 1] Gas di elettroni degenere ed estremamente relativistico Il politropo ha indice n = 3. La relazione Massa - Raggio è singolare, cioè esiste una Massa M3

indipendente da R e ρc (2.36). Per n = 3-ε con ε << 1 si ha

2 61 2

cR M assieme a Mε ερ− −

∝ ∝ e pertanto 0 0 e 0 clim R e ancora limε ρ→ →= = ∞ 2] Passaggio da n = 3/2 a n = 3 Per un gas non relativistico di elettroni n = 3/2. La densità centrale del politropo corrispondente scala come 2Mρ ∝ , cioè la densità centrale e la energia di Fermi degli elettroni crescono con la massa M fino a che gli elettroni diventano relativistici. Tuttavia per una Nana Bianca di Massa M si ha dρ/dMr < 0 cioè la degenerazione degli elettroni nel centro è maggiore che vicino alla superficie. Conseguenza: la Nana Bianca non è un politropo. Equazione di stato in una Nana Bianca Partiamo dalla relazione per la pressione per un gas totalmente degenere

24

Indichiamo con m la massa e con me la massa a riposo degli elettroni così che per una certa velocità

Risolviamo in v questa relazione

e con questo deriviamo

Definiamo ora le variabili z = p/mec e F ex p / m c= e con queste scriviamo la pressione nella forma

Da questo si ottiene immediatamente

con

Se la degenerazione degli elettroni non è completa allora interverranno dei termini correttivi contenenti la temperatura (Chandrasekhar 1939). Analogamente si trova

con

Introducendo ora le espressioni trovate per la pressione (2.41) e la densità (2.43) nella equazione di Poisson dell’equilibrio idrostatico si ricava la equazione

In base alla definizione di f(x) (2.42) si ha

e da questa

25

Questa equazione può essere trasformata introducendo una nuova variabile nella seguente

2 2 1y x= +

Poniamo 0 0x x( r )≡ = e e definiamo un raggio adimesionale 2 2

0 1oy x= +

1

o

2Ar con = cmG By

αλ απ

= (2.45)

e un Potenziale tale che Φ

ed infine

con condizioni al contorno centrali 0 1( )λΦ = = (segue da 2.46) e 0 0( d / d )λλ =Φ = , assieme alla condizione supplementare 1 1( ) / y0λΦ = , la quale assicura l’annullarsi della densità alla superficie della Nana Bianca. La massa di una sfera di gas di raggio λ è data da

Dalla equazione di stato introdotta in precedenza, la massa della Nana Bianca è data da

La equazione differenziale (2.47) implica che se la funzione 0y → ∞ Φ si riduce alla funzione nΘ di Lane-Emden con n = 3. Segue inoltre che per 0α → , il raggio della stella si annulla. 0R → Infine la massa della Nana Bianca tende al valore limite

dove 1 3( )λ Θ è il punto definente la superficie della funzione 3Θ di Lane-Emden con n = 3. Per e pertanto 0x → ∞ 2

0 0 1y x= + → ∞ (cioè gli elettroni nell’intera Nana Bianca sono degeneri e relativistici) la equazione di stato tende si avvicina a quella del gas di elettroni estremamente relativistico, cioè 42f ( x ) x→ e 42 3

eP Ax assieme a =Bxρ=ovvero

con

26

dove è la costante politropica di un gas di elettroni totalmente degenere ed estremamente relativistico.

ChK

La massa limite di Chandrasekhar è la massa di politropo con n = 3 e 3 ChK K= ed assume il valore

Per materiale fatto di elio o carbonio o ossigeno 0 5eY .= e 1 44ChM . MΘ= . 2.5 FORMAZIONE ED EVOLUZIONE DELLE NANE BIANCHE 2.5.1 PRINCIPI DI STRUTTURA ED EVOLUZIONE STELLARE Una stella si forma dal mezzo interstellare mediante il collasso di addensamenti locali (con massa maggiore della massa di Jeans) e successive frammentazioni. La forza motrice dell’evoluzione di una stella è la Gravitazione. Le stelle perdono energia per radiazione e neutrini (γ e ν). La energia persa viene prodotta

o da processi di fusione nucleare (fasi di bruciamento idrostatiche) o dalla liberazione dell’energia di legame gravitazionale (la stella si contrae, si addensa

e si riscalda). Nota: Il teorema del Viriale Trattazione integrale di un sistema composto da particelle qualunque. Il teorema del viriale si deriva dalle equazioni dell’equilibrio idrostatico e di conservazione della massa:

ovvero

Integrando sull’intera stella si ottiene

che per integrazione parziale diventa

27

dove è la energia di legame gravitazionale. Poiché la pressione alla superficie è nulla il primo termine del membro di sinistra è nullo. Da questo segue il Viriale

GE

che nel caso particolare di un gas ideale con 2 3 VP / RT / ( / )c Tρ µ= = diventa

dove è la energia interna e il calore specifico a volume costante. Una stella contraendosi aumenta la sua energia di legame gravitazionale e la sua densità. La energia di legame liberata per contrazione, metà va persa per radiazione

TE Vc

G| E |2rad GE E /δ= − . La rimanente metà aumenta la

energia termica ( 2 0T GE E /δ δ= − > ). Pertanto la stella si riscalda. Una stella non può raffreddarsi! Fintanto che la materia costituente la stella è un gas perfetto, ne segue che quando la gravitazione domina la sua evoluzione essa deve sempre aumentare la densità e temperatura. Le interazioni Coulombiane fra nuclei atomici ( 1 2Z Z∝ ) stabiliscono una gerarchia di bruciamenti nucleari in funzione di T.

I bruciamenti nucleari sono limitati nello spazio e nel tempo. Essi generano una struttura a cipolla nella stella. Le ceneri di una fase, sono il combustibile di quella successiva. L’avvenire di un successivo bruciamento, dipende dalla massima temperatura

raggiungibile dalla stella. Il numero di bruciamenti termonucleari dipende dalla massa della stella.

Per 8 10M MΘ≥ − − la stella passa attraverso tutti i bruciamenti nucleari possibili.

28

La contrazione (delle regioni interne, nuclei) porta all’aumento della degenerazione

ed aumento della temperatura centrale cosicché il gas non è fortemente degenere. I prodotti finali dell’evoluzione delle stelle Nane Bianche, Stelle di Neutroni o Buchi neri. Dal calcolo di modelli stellari si vede che la contrazione in buona approssimazione

tende ad essere auto-simile. Per un politropo con assegnato n questo vale esattamente (vedi Kippenhahan & Weigert, p. 191). L’evoluzione si dice auto-simile o omologa se vale

dove r e R sono due raggi qualunque della stella prima della contrazione e e r% R% sono gli stessi dopo la contrazione. Conseguenze per i modelli stellari. Nel caso valga la contrazione omologa (2.54)

e

Possiamo parametrizzare la equazione di stato nel modo seguente (assumendo il peso molecolare costante)

cosi da avere

Combinando le relazioni (2.55), (2.56) e (2.57) si ottiene

Per un gas ideale si ha 1α = e 1δ = da cui 1 3d lnT / d ln /ρ = , mentre nel caso di

29

un gas degenere 3 5 3 4[ / , / ]α ∈ , 0δ = e 0d lnT / d ln ρ < Con l’aiuto della relazione (2.58) si può intuitivamente comprendere il comportamento

della stella nel piano T ρ− mostrato in Fig. 2.1.

Le curve colorate sono i luoghi dove avvengono le reazioni termo-nucleari e picno-nucleari Nelle reazioni termonucleari la energia cinetica dei reattanti dovuto al

comportamento termico dei nuclei atomici è data da

cioè esiste una temperatura di soglia per ogni fase di bruciamento. Nelle reazioni picno-nucleari la energia cinetica dei reattanti è data dall’energia

di punto zero degli ioni

cioè esiste una densità di soglia picρ per ogni reazione. Il passaggio da un modo all’altro di bruciamento è continuo. Per picρ ρ> the reazioni sono molto

veloci (tipicamente anni) 510

(si veda Salpeter & van Horn 1969, ApJ 155, 183; Kippenhahan & weigert, p. 370; Shapiro & Teukolsky, p. 72). Numerosi calcoli evolutivi danno il seguente quadro:

- Niente bruciamento di H per 0 08HM . MΘ≤ . La stella diventa degenere durante la contrazione verso la sequenza principale.

- Niente bruciamento dell’Elio se 0 35HeM . MΘ≤ . La degenerazione incomincia dopo H-burning se 0 5M . MΘ≤ . Nell’intervallo di massa 0 5 2 5. M / M .Θ≤ ≤ la stella attraversa il fenomeno di He-flash

- Niente bruciamento del carbonio se 0 9CM . MΘ≤ . La degenerazione si instaura dopo il bruciamento di He.

Come abbiamo già visto in precedenza la massa media delle Nane Bianche

0 6 0 1WDM ( . . )MΘ< >≈ ± . Il tempo di vita nucleare di una stella di massa simile è più lungo dell’età dell’Universo. Poiché the Nane Bianche sono osservate in ammassi giovani, la massa dei loro progenitori deve essere stata maggiore in modo da avere un tempo evolutivo corto. Inoltre i progenitori devono aver perso massa durante la loro evoluzione. La relazione fra la massa iniziale Mi e la massa finale Mf(Mi) può essere stimata da osservazioni di ammassi giovani. Si trova

30

FIGURA 2.1: Cammino evolutivo del centro di stelle ( linee nere) con masse M1, M2 e M3 nel piano temperatura densità. Il campo vettoriale mostra la direzione lungo la quale si moverebbe una stella in contrazione. A sinistra in alto si ha la equazione di stato di un gas ideale, cioè il cammino ha pendenza 1/3. La linea verde corrisponde ad 0η = . Sotto tale linea si ha il gas di elettroni degeneri. Lungo la linea gialla vale α=3/4 e quindi dlnT/dlnr =0, cioè lungo questa linea le frecce sono orizzontali e sotto puntano verso il basso. Lungo le linee rosee blu e rosa avviene il bruciamento dell’idrogeno, elio e carbonio, rispettivamente. L’evoluzione della stella con massa M1 difficilmente entra nella regione di degenerazione, il suo centro si riscalda durante la contrazione . Nel centro della stella con massa M2 (< M1) inizia la degenerazione; la contrazione omologa riscalda la stella solo fino a circa K Nel caso della stella con massa M3 (< M2) la massima temperatura raggiungibile è ancora più bassa. Le stelle con massa M2 e M3 non raggiungono infatti la temperatura necessaria all’innesco dell’elio.

710

FIGURA 2.2: Cammino evolutivo nel piano temperatura e densità centrali di stelle di massa diversa (i valori sono indicati in masse solari). Le linee tratteggiate sono i luoghi di bruciamento dell’idrogeno, elio e carbonio. La linea retta punteggiata indiac il luogo di separazione fra gas ideale e gas degenere di elettroni (Iben, 1991, ApJ Suppl 76, 55].

2.5.2 EVOLUZIONE DELLE NANE BIANCHE Sotto la condizione che M=costante segue dalla relazione Massa-Raggio che R(t)=costante pertanto . Da questo segue ancora che la variazione temporale dell’energia gravitazionale 0R =&

31

cioè non vi è liberazione di energia gravitazionale. Possiamo inoltre assumere che 0nucE =& cioè niente sorgente nucleare, in quanto non esiste reazione termonucleare possibile (e se vi fosse la stella esploderebbe). Pertanto la luminosità delle Nane Bianche deve essere data da

ovvero essere fornita dal serbatoio di energia termica. Pertanto l’evoluzione di una Nana Bianca comporta il suo raffreddamento! Il tempo di raffreddamento è dato da

Con

segue

cioè per una data massa deve essere

Le osservazioni danno i seguenti valori

Una valutazione del tempo di raffreddamento di una nana Bianca dà

dove con 0T T( r= 0 ) )0 0r r(η= = è la temperatura al bordo della regione degenere (praticamente isoterma ) della Nana Bianca. Per and µ=14 (C/O) si deriva 7

0 3 10T ≈ ×

Natura delle Sorgenti e Perdite di Energia dalle Nane Bianche

In Nane Bianche con 0 1L . LΘ≥ la dominante sorgente di perdita di energia sono i neutrini (Plasma Neutrini). Calore Latente liberato dalla cristallizzazione degli ioni energia gravitazionale liberata dalla ristrutturazione della Nana Bianca (dopo la

cristallizzazione). Decadimenti β-inversi Consideriamo un nuclide (A,Z) con A nucleoni, Z protoni, N=A-Z neutroni, massa del nucleo

KM ( A,Z ) , massa atomica A K eM ( A,Z ) M ( A,Z ) Zm= + . Sono possibili:

32

Decadimento β diretto

che avviene spontaneamente se 1K K eM ( A,Z ) M ( A,Z ) m− > + , dove 1A AM ( A,Z ) M ( A,Z )− > . Decadimento β-inverso (cattura degli elettroni)

è possibile se la densità (ed anche degenerazione) degli elettroni è così elevata che la loro Energia di Fermi obbedisce alla condizione

cioè la reazione 1 ee ( A,Z ) ( A,Z ) ν− + → − + è esoterma. Nuclidi importanti per il quali avviene il decadimento β-inverso nelle Nane Bianche sono i nuclei - gg ( , che sono particolarmente legati) attraverso le 4 12 16 20 24 56He, C, O, Ne, Mg e Fe

Se ne segue anche che , cioè può avvenire un doppio decadimento β-inverso (A,Z) (A,Z-2).

1F A AE M ( A,Z ) M ( A,Z> − − ) −2 1F A AE M ( A,Z ) M ( A,Z )> − −

Per ogni nucleo (A,Z) esiste una densità critica sopra la quale il decadimento β-inverso può aver luogo.

Il decadimento β-inverso è di particolare rilevanza nei processi di formazione delle stelle di neutroni e nella equazione di stato ad altissima densità.

33

CAPITOLO 3

TEORIA DELLA RELATIVITA’ GENERALE 3.1 FONDAMENTI La teoria della Relatività Generale (RG) è una teoria relativistica e geometrica della gravitazione. Principio: La teoria della relatività ristretta o speciale (RS) si basa sul principio di relatività: Le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento che si muovano di moto relativo rettilineo ed uniforme. I Sistemi Inerziali (I) costituiscono una classe (KI) di sistemi di riferimento (corpi non soggetti a forze si muovono di moto rettilineo ed uniforme). Postulato

- Le leggi del moto di Newton sono invarianti per trasformazioni da 1 2I I→ trasformazioni di Galilei.

- Elettrodinamica invariante per trasformazioni 1 2I I→ trasformazioni di Lorentz (RS). Relatività Speciale: Spazio-Tempo descritto dalla Metrica di Minkowski αβη (Matrice diagonale 4x4) con 0 1 2 3, , , ,α β = e Traccia

L’elemento di linea (distanza al quadrato tra due eventi nello Spazio-Tempo) invariante secondo Lorentz nella metrica di Minkowski è rappresentato da

2ds

ovvero in coordinate cartesiane 0 1 2 3x ct , x = x, x = y, x = z=

34

Si vede dalla (3.2) e dal successivo tensore pressione che viene adoperata la convenzione di Einstein sulle somme (3.6), cioè si esegue la somma di termini con gli indici ripetuti. Gli indici con lettere greche vanno da 0 a 3 e quelli con lettere latine da 1 a 3. La metrica di Minkowski αβη descrive una geometria pseudo - euclidea, cioè essa è euclidea (piatta) a parte il segno meno in (3.1). Per i raggi di luce si ha (traiettoria è di tipo luce), cioè il cammino della luce è invariante. 2 0ds =Per le particelle dotate di massa, 2 0ds < (la traiettoria è di tipo tempo e scorre dentro il cono di luce). Lo Spazio-Tempo può essere descritto anche da coordinate non-cartesiane, coordinate curve yγ (per esempio coordinate polari), oppure il sistema di coordinate di un osservatore accelerato. Sia

la trasformazione fra le coordinate xα di un sistema inerziale e le coordinate yα di un sistema non inerziale, cosicché l’elemento di linea è rappresentato da

con

In questo caso la metrica ha una forma complicata. In generale, essa avrà i termini non-diagonali e i coefficienti dipendenti dalla posizione. Ciò nonostante lo Spazio-Tempo sarà sempre piatto! In coordinate polari (per esempio) l’elemento di linea della metrica di Minkowski ha la forma

Uno Spazio-Tempo si dice piatto ovvero tipo-Minkowski se esiste una globale trasformazione di coordinate tale che

Nella Teoria della Relatività Generale: uno Spazio-Tempo di Minkowski non è globalmente piatto, ma curvo (Spazio di Riemann). Per effetto del Campo Gravitazionale non esiste nessun corpo di prova neutro, in altre parole non è possibile realizzare un sistema inerziale. Sono realizzabili solo Sistemi Inerziali Locali, cioè in ogni punto dello Spazio-Tempo esiste una trasformazione di coordinate tale che gαβ αβη→ (Spazio Tangente). Principio di Equivalenza Il principio di equivalenza è una assunzione fisica, la cui realizzazione matematica è il Principio di Covarianza Il principio di covarianza dice che una legge fisica deve essere invariante nella forma o covariante per qualunque trasformazione di coordinate. Esso è pertanto un criterio per formulare le leggi fisiche (senza gravitazione).

35

La motivazione per il principio di equivalenza o di covarianza è la equivalenza fra massa gravitazionale e massa inerziale (esperimento di Einstein). La correttezza del principio di equivalenza deve essere provata sperimentalmente. Principio di Equivalenza Debole (WEP)

- massa gravitazionale ed inerziale sono uguali g im m=

- tutti i corpi cadono con la stessa velocità: pertanto da a if m a=r r e g gf m= ∇Φ

r

segue a se = −∇Φr

g im m= - Definizione esatta: Si collochi una particella di prova non carica (elettricamente neutra;

libera da energia di legame gravitazionale e piccola rispetto alla scala con la quale varia il campo esterno ) con una velocità iniziale ad certo punto-istante e punto-spaziale dello Spazio-Tempo, la sua traiettoria successiva è indipendente dalla sua struttura e composizione interna .

- In un dominio sufficientemente piccolo dello Spazio-Tempo la fisica del corpo in caduta

libera (meccanica) è identica in un campo gravitazionale e in un sistema di riferimento uniformemente accelerato.

Principio di Equivalenza di Einstein (EEP)

1. Vale WEP 2. Un esperimento di misura locale e non gravitazionale (condotto in un laboratorio in caduta

libera schermato contro effetti esterni, piccolo rispetto alle scale su cui varia il campo esterno e in cui gli effetti della gravitazione siano trascurabili) non dipende dalla velocità di caduta libera.

3. Un esperimento di misura locale non gravitazionale non dipende da dove e quando esso è condotto.

4. Se vale il principio di equivalenza di Einstein, allora la teoria della gravitazione deve essere una teoria metrica.

5. WEP vale per tutti i processi fisici senza gravitazione, cioè la Fisica nelle regioni dello

Spazio Tempo che siano sufficientemente piccole è identica alla Fisica della RS; è localmente impossibile rivelare l’esistenza di un campo gravitazionale (Fondamento di tutte le teorie metriche della Gravitazione e non solo della RG!).

Principio di Equivalenza forte (SEP): Fra tutte le teorie metriche della gravitazione note esso si applica solo alla RG.

1. WEP è valido non solo per i corpi auto-gravitanti ma anche i corpi di prova non carichi. 2. Un esperimento di misura locale (condotto in un laboratorio in caduta libera schermata da

effetti esterni, piccolo rispetto alle scale su cui variano i campi) non dipende dalla velocità (di caduta libera) dell’apparato di misura.

3. L’esperimento di misura locale non dipende dunque da dove e quando l’esperimento è condotto.

Congettura di Schiff: Ogni completa, consistente teoria della gravitazione che obbedisca al principio di equivalenza debole, segue anche il principio di equivalenza di Einstein. Formulazione delle leggi Fisiche Lorentz - invarianti

36

Il principio di equivalenza ci indica come formulare le leggi fisiche non gravitazionali in presenza di un campo gravitazionale. Per illustrare il punto prediamo in considerazione la Conservazione dell’ Energia in RS (annullamento della 4-divergenza del tensore Energia-Impulso)

Ciò deve essere a causa del principio di equivalenza nei sistemi inerziali locali. L’equazione (3.3) suole essere invariante sotto qualunque trasformazione di coordinate Calcolo tensoriale La usuale derivazione viene fatta mediante la derivazione covariante (3.15) Problema noto delle coordinate curvilinee in uno Spazio-Tempo piatto, per esempio nel calcolo della divergenza di un campo vettoriale

in coordinate sferiche

ma diventa

cioè i vettori unitari (versori) sono dipendenti dalla posizione. In Spazi-Tempi curvi compaiono dei termini simili a causa della metrica gαβ dipendente dalla posizione, i quali non possono essere trasformati globalmente. Equazioni di campo Fino ad ora abbiamo discusso come la gravitazione influenzi altri fenomeni fisici ed esperimenti di misura in sistemi inerziali locali. Ora ci poniamo la domanda di come la distribuzione di massa-energia influenzi la geometria dello Spazio-Tempo. Questo ci porta alle equazioni di campo. Le equazioni di campo devono soddisfare alle seguenti condizioni fisiche:

1. Nel caso limite non-relativistico deve valere la equazione di Poisson Newtoniana 4 Gπ ρ∆Φ = .

2. La sorgente del campo gravitazionale deve essere descritta dal tensore simmetrico Energia- Impulso T αβ .

3. La gravitazione è determinata dalla metrica spaziale gαβ (principio di covarianza).

4. Deve valere il principio di relatività . [ g ] F[T ]αβαβΦ =

5. La gravitazione è universalmente attrattiva. Assieme a questo si introducono ancora due ipotesi semplificatrici, non fondate su argomenti fisici:

1. il funzionale F[ è lineare in TT ]αβ αβ 2. Il funzionale è del secondo ordine in [ g ]αβΦ gαβ e quasi lineare (cioè lineare nelle

derivate seconde). Con l’aiuto di queste condizioni fisiche ed ipotesi semplificatrici, le equazioni di campo della teoria della gravitazione di Einstein sono univocamente stabilite. Esse sono scrivibili in forma compatta e senza il termine cosmologico ( gαβΛ )

37

dove Gαβ è il tensore simmetrico di Einstein (3.21) con 10 componenti indipendenti. Una importante conseguenza delle equazioni di campo è che la 4-divergenza del tensore di Einstein si annulla, Da ciò segue immediatamente la conservazione del tensore energia-impulso 0Gαβ

α∇ = .

Si vede che la divergenza (3.5) richiede la derivazione covariante, mentre la divergenza nella (3.3) richiedeva solo la derivazione normale. Dalla (3.4) si derivano 10 equazioni di campo per 10 incogniti coefficienti della metrica. Inoltre dalla (3.5), assegnate le sorgenti, si derivano 4 relazioni di conservazione o leggi del moto. Pertanto si hanno 6 equazioni indipendenti per 10 componenti della metrica dello Spazio-Tempo gαβ , o in altre parole la Teoria ha 4 gradi di libertà. La ragione di questi gradi di libertà è la covarianza della teoria, cioè una libera scelta di coordinate. Verifiche sperimentali della RG

- distorsione gravitazionale - perielio di Mercurio (43”/100 anni) - deviazione della luce del sole (1.75”) - uguaglianza fra mass gravitazionale ed inerziale - Pulsar binarie - Dilatazione temporale nel campo gravitazionale della Terra - Campi intensi: Onde gravitazionali (?), Buchi Neri (?), effetto Lense-Thirring

3.1.1 CONVENZIONI, COORDINATE E TENSORI Convenzione di Einstein sulle somme Si deve sommare su indici appaiati, ad esempio

Trasformazioni di coordinate Una trasformazione di coordinate è data da N equazioni

dove f α è una funzione differenziabile. Spesso viene usata la scrittura compatta

La derivazione della (3.7) rispetto ad ogni coordinata genera una matrice di trasformazione N x N (detta matrice di Jacobi)

38

con determinante

Se in un dato dominio di valori delle coordinate, allora esiste la trasformazione inversa 0J ' ≠x x ( x')α α= con

FIGURA. 3.1 Tensori contravarianti (indici superiori) Dati due punti qualunque P e Q in una insieme con coordinate ax e a ax dx+ (Fig. 3.1), essi definiscono un spostamento o vettore infinitesimale PQ

uuur (di cui il punto P è l’origine) con

componenti . adxIn un altro sistema di coordinate ax' le componenti di PQ

uuur si trasformano mediante la

trasformazione lineare

dove a bx' / x∂ ∂ è la matrice di trasformazione nel punto P. Vettore contravariante o Tensore contravariante di rango 1 E’ un insieme di grandezze ( aX nel sistema di coordinate ax ) che subordinate ad un punto P si lasciano trasformare da un’altra trasformazione di coordinate in

Un esempio di vettore contravariante è il vettore tangente ad una curva adx / du a ax x ( u )= (3.2).

39

Per la legge di trasformazione di tensori contravarianti di rango 2 vale

Ovviamente possono essere definiti tensori contravarianti di rango più elevato. Importante caso speciale: un tensore di rango 0 corrisponde ad uno scalare (invariante). 'Φ = Φ

FIGURA 3.2 Tensori covarianti (indici bassi) Sia data una funzione continua e differenziabile

appartenente ad un insieme. Se a ax x ( x')= allora è anche e da questo segue a( x ( x'))Φ = Φ

ovvero (scambio di termini, scambio di indici )

Questa è la trasformazione delle componenti del vettore normale alla iper-superficie . costanteΦ = Attenzione: la trasformazione avviene con la matrice di trasformazione inversa come nel caso di vettori contravarianti (3.9). Un vettore covariante o un tensore covariante di rango 1 è una lista di grandezze ( aX nel sistema di coordinate ax ) subordinate ad un punto ed in grado di trasformarsi per trasformazione di coordinate in

Le definizioni di cui sopra valgono anche per tensori covarianti di rango più elevato.

40

Nota: poiché il differenziale si trasforma come un tensore contravariante (3.8) si conviene di scrivere

adxax (invece di ax ) anche se non esiste alcuna caratteristica tensoriale.

Tensori misti (indici bassi e alti) Ad esempio

Metrica Ogni tensore covariante di rango 2 definisce una metrica. Un insieme con una metrica si chiama insieme di Riemann. Una metrica contiene la definizione di distanza e di lunghezza di un vettore. La distanza infinitesimale ds (intervallo) fra due punti ax e a ax dx+ è definita come

La lunghezza o norma di un vettore contravariante aX è data dalla espressione

Positiva 2 0X >Una metrica è definita Negativa se per 2 0X < Indefinita X∀ qualunque La metrica della GR è indefinita L’angolo fra due vettori contravarianti a aX e Y è dato da

Due vettori contravarianti a aX e Y sono ortogonali fra loro se

Se la metrica è indefinita (come nel caso della GR) esistono i vettori nulli che sono ortogonali con se stessi

Il determinante della metrica si indica usualmente con g abg

Una metrica è non singolare se . In tale caso esiste la metrica inversa (tensore contravariante di rango 2) che è data da

0g ≠ abg

dove se c = a e se . 1c

aδ = 0caδ = c a≠

Con l’aiuto delle tensore metrico si possono alzare o abbassare gli indici dei tensori ad esempio

41

Il tensore metrico può anche ridurre di due il rango dei tensori, ad esempio

FIGURA 3.3 Derivazione covariante Sia dato un campo vettoriale covariante . La (usuale) derivata iA ( x )

del campo vettoriale si trasforma in

ovvero

Il secondo termine del membro di destra di questa equazione in generale non è nullo, ciè la usuale derivata non è un tensore. ikAIl problema nasce in quanto nel calcolo della derivata due vettori con diversa origine vengono uguagliati

e la matrice di trasformazione in generale dipende dalla posizione. Pertanto è necessario introdurre il concetto di trasporto parallelo. Per trasporto parallelo si intende un vettore così inclinato che la sua grandezza e direzione rimangono inalterate (ma non altrettanto le componenti del vettore). Ipotesi: Il cambio di sia proporzionale allo spostamento e proporzionale alle componenti del vettore

iA

Un insieme di funzioni si chiama connessione (non è un tensore!). 3N l

ikΓAl punto Q vale

42

Dopo questo si definisce la derivazione covariante come

ovvero

Analogamente si definisce la derivazione covariante dei tensori di rango più elevato

Se in un insieme esistono una metrica e una connessione, si può definire la connessione metrica con

Vale inoltre , cioè la connessione metrica è simmetrica rispetto agli indici bassi. a

bc cbΓ = Γa

Tensore di Curvatura di Riemann

dove è la connessione metrica dell’insieme. a

bcΓ

Se , la metrica è piatta e , cioè la piattezza della metrica implica vera piattezza. Il tensore di curvatura di Riemann implica una serie di simmetrie. Pertanto il numero di componenti indipendenti i riduce da a , in GR da 256 a 20 componenti indipendenti.

0abcdR ≡ 0q

bcΓ ≡

4N 2 1 2N ( N )− Identità di Bianchi

Tensore di Ricci

Scalare di Ricci

Tensore di Einstein (simmetrico)

3.2 MOTO DI UNA PARTICELLA DI PROVA Per particella di prova si intende un oggetto materiale ideale (piccolo, sferico, non carico…) il quale si muova liberamente in un campo gravitazionale senza influssi di altro tipo (si veda la discussione sul principio di equivalenza).

43

Nella Relatività Speciale la particella di prova si muove con velocità costante. Le equazioni del moto della particella di prova sono derivabili dal Principio Variazionale. Si impone che la distanza (intervallo) lungo una linea di Universo sia estremale

Scriviamo l’integrando della (3.22) nella forma

con

dove λ è un parametro qualunque lungo la linea di Universo. Si vede che il segno meno nella (3.23) vale per particelle dotate di massa e pertanto di tipo tempo (capitolo 3.1). La espressione (3.22) per ds è invariante per trasformazione del parametro ( ')λ λ λ= . La funzione di Lagrange per (3.22) è

Dalle equazioni di Eulero - Lagrange

segue

e che il membro di destra della (3.26) è nullo (in quanto la funzione di Lagrange non dipende esplicitamente dalle coordinate xα )

Eseguendo una trasformazione ( ')λ λ λ= si trova che L rimane costante lungo la linea di Universo. Il parametro λ in questo caso è detto parametro di affinità. In ogni caso si può parametrizzare la linea di Universo della particella di prova mediante la lunghezza s =cτ cioè mediante il tempo proprio della particella di prova. Vale dunque λ = s, L=1 e dalla (3.27) segue

La moltiplicazione con la matrice inversa γαη della matrice αβη dà

Questa è l’equazione del moto per un moto con velocità uniforme lungo una linea retta (moto rettilineo ed uniforme). Le curve stremali lungo le quali avviene il moto della particella di prova si chiamano geodetiche. Nello Spazio-Tempo di Minkowski le geodetiche sono rette quadri-dimensionali. Le geodetiche di una particella libera sono di tipo tempo ( 2 0ds < ). Fotoni ed altre particelle con massa nulla si muovono lungo geodetiche nulle ( ). In questo caso non si può usare il tempo proprio τ come parametro λ, ma si costruisce λ dalla relazione

2 0ds =

dx / d pα αλ ≡ dove pα è il quadri-impulso. Nella teoria della Relatività Generale, sulla base del principio di equivalenza (3.22) vi è un principio variazionale per il moto delle particelle di prova.

44

Una particella libera si muove lungo una geodetica dello spazio-tempo. La funzione di Lagrange (3.25) diventa ora

e dalle equazioni di Eulero-Lagrange si ha (con parametrizzazione affine tale che L = costante)

con

segue

dove

è il simbolo di Christoffel. Moltiplicando per il tensore metrico inverso gδα e successivamente scambiando δ α↔ si ottiene la equazione delle geodetiche in Relatività Generale

con

3.3 CAMPO GRAVITAZIONALE SFERICAMENTE SIMMETRICO Una metrica sfericamente simmetrica dipende dal tempo (t) e da una coordinata radiale (r). Essa può anche essere una funzione delle coordinate angolari ϑ e ϕ ma solo nella combinazione

La forma più generale di una metrica sfericamente simmetrica è (vedi Shapiro & Teukolsky 1983, cap. 5.6)

dove Φ e λ sono funzioni qualunque di (t,r). Nella teoria newtoniana: il campo gravitazionale in un punto qualunque esterno ad una distribuzione sferica di massa dipende solo dalla massa contenuta nella sfera sottosante. Assegnata una distribuzione di massa sfericamente simmetrica nella regione sottostante, il campo gravitazionale esterno è statico ed è dato da GM / rΦ = − . Entrambe queste proprietà valgono anche in Relatività Generale e sono note come il Teorema di Birkoff: Un singolo campo gravitazionale sfericamente simmetrico nel vuoto è statico. Esso è descritto dalla metrica di Schwarzschild

45

La costante M è il parametro della soluzione. Il significato di questa relazione si chiarisce con la approssimazione di campo debole della metrica di Schwarzschild. Si consideri una particella di prova in moto lento (v << c) entro un campo gravitazionale debole ( 2cΦ << ). Per la componente 00 della metrica si trova (si veda Shapiro & Teukolsky 1983, cap. 5.4)

dove è il potenziale gravitazionale newtoniano. Dall’uguaglianza con la approssimazione di campo debole della metrica di Schwarzschild ( ) segue

Φ22r GM />> c

ed anche

cioè il parametro M della metrica di Schwarzschild è la massa sorgente del campo gravitazionale. Essa è misurabile, per esempio si può portare un satellite su un’orbita distante dalla sorgente del campo e con l’aiuto delle leggi di Keplero si può misurare la massa gravitazionale. La metrica di Schwarzschild è asintoticamente piatta. Nella metrica di Schwarzschild, le coordinate hanno un immediato significato fisico: - e ϑ ϕ sono le usuali coordinate polari di una 2-sfera (raggio r)

- La coordinata radiale r è definita dall’unica circonferenza di una 2-sfera con t e r costanti. In corrispondenza la metrica su una 2-sfera dà per grandezze fisiche misurabili

e pertanto per l’unica circonferenza

- Per l’unica distanza fra 2 punti su un raggio radiale si ha 1 2r e r

- La coordinata temporale t tende al tempo di Minkowski Minkt per , dove 2r GM / c>>

Minkt t≤ (in un campo gravitazionale il tempo scorre più lento).

3.4 STELLE SFERICHE ED EQUAZIONE DI TOLMAN-OPPENHEIMER-VOLKOV La metrica (3.3) descrive anche il campo gravitazionale all’interno di una stella sferica.

46

In equilibrio idrostatico la funzione metrica Φ e λ non dipendono dal tempo t. La materia dentro la stella è un gas ideale con equazione di stato data da ( n,s )ρ ρ= dove

, ε, n , ed s sono la densità di massa, la densità di energia totale, la densità numerica di barioni e la entropia per barione, rispettivamente. Tutte queste grandezze sono misurate nel sistema di coordinate scelto. Con l’aiuto della prima legge della Termodinamica la pressione è P = P(n,s).

2/ cρ ε=

Anche se il gas ideale è adiabatico (entropia costante nel tempo), in generale non è iso-entropico, cioè la sua entropia non è dovunque la stessa. Nane Bianche fredde ( ) e Stelle di Neutroni sono in buona approssimazione iso-entropiche (

Bk T E<< F

0s ≈ ). In questo caso vale P =P(ρ), cioè la pressione è solo funzione della densità di massa. Per derivare le equazioni di struttura stellare in Relatività Generale si definisce una nuova funzione metrica m(r) tale che

Con la (3.33) e (3.35) si ottengono delle equazioni di campo

e

ovvero

Questa è la ben nota equazione di Tolman-Oppenheimer-Volkov, generalmente indicata come Equazione TOV. Si ritrova il limite newtoniano per 2 2P c e Gm/c rρ<< << La funzione metrica m(r) viene anche interpretata come “ la massa entro il raggio r “ e

come la massa totale della stella. Questa ultima relazione garantisce che il coefficiente della metrica della soluzione interna dolcemente si raccordi al corrispondente coefficiente della soluzione di Schwarzschild esterna. Nota: le grandezze m(r) e M contengono tutti i contributi alla massa gravitazione inclusa l’energia gravitazionale di legame (negativa). Questa affermazione, che nella (3.40) non è direttamente osservabile, diventa chiara se uno considera il volume proprio diverso da 24 r drπ

47

Pertanto la grandezza M nella equazione (3.40) non è solo la somma di tutti i contributi locali alla massa, ma contiene anche il contributo globale della energia di legame gravitazionale della stella. Le condizioni al contorno per la equazione di TOV Esse sono nel centro

e alla superficie

dove è la pressione centrale. 0P Soluzione della equazione TOV per ρ = costante Nel caso di densità costante si deriva dalla (3.36) 34 3m( r ) / rπ ρ= . Introducendo nuove variabili

e

la forma della equazione TOV diventa

ovvero

ed infine

L’integrazione della (3.42) con le condizioni al contorno P(R) = 0 cioè η(X) = 0 dove

dà

In centro ( 0ξ = ) si ha

48

Da questo deriva una condizione per X, cioè deve essere 0P < ∞

Per una stella incompressibile di massa M si deriva

cioè non esiste una soluzione statica delle equazioni di campo di Einstein se il raggio della stella (sferica e incompressibile) è minore di 9/8 il suo raggio di Schwarzschild. Raggio minimo dunque massima compattezza per le Stelle di Neutroni. In generale: la condizione (3.43) vale per tutte le distribuzioni di densità ρ(r) con dρ/dr < 0.

49

CAPITOLO 4 STELLE DI NEUTRONI E PULSARS 4.1 STORIA E SIGNIFICATO Storia 1931 Chandrasekhar trova la massa massima delle nane Bianche 25 76Ch eM . Y MΘ= 1932 Chadwick scopre il neutrone: Landau inventa la stella di neutroni e calcola la massa massima 1934 Baade & Zwicky: suppongono l’esistenza delle stelle di neutroni nelle Supernovae 1939 Oppenheimer & Volkoff: primo modello di stella di neutroni 1967 Hewish et al. scoprono le radio-pulsars 1968 Gold: le pulsars sono stelle di neutroni rootanti; scoperta della Crab-pulsar nel resto di

supernova SNR1054 1969 Scoperta della Crab-pulsar nel visuale 1971 Scoperta delle pulsar-X con UHURU (ad esempio Her X-1); evidenza di stella di neutroni in

accrescimento in un sistema binario 1974 Hluse & Taylor scoprono la pulsar binaria PSR1913+16 1976 Trumpler et al: prima misra del campo magnetico di una stella di neutroni nella pulsar X Her

X-1 1982 Scoperta della prima ms- pulsar PSR1937+214 con periodo P=1.5578 ms 1987 Scoperta della prima ms-pulsar in un ammasso globulare (M28) 1992 Scoperta del primo pianeta extra-solare attorno alla ms-pulsar PSR1257+12 2000 Scoperta della stella di neutroni giovane (300 anni) nel resto di spernova CasA con

l’osservatorio X Chandra Significato Stadio finale dell’evoluzione di una stella massiccia ( 8M MΘ≥ ) a seguito dell’esplosione di

supernova per collasso gravitazionale Verosimilmente il risultato del collasso indotto per accrescimento di una Nana Bianca con massa

ChM M≈ Le stelle di neutroni permettono di studiare la materia a densità estreme ( ) ed

estremi campi magnetici (

142 10 3 g/cmρ >> ×1310B Gauss)≥

Stella di neutroni in accrescimento Esplosione termonucleare di una stella di neutroni (analogo alle classiche Novae)

50

Contribuiscono alla sorgente di radiazione stellare X nella Via Lattea ( ) 3810L erg≥ /s

3

Radio-pulsars Elettrodinamica delle pulsars, accelerazione di particelle relativistiche, generazione di radiazione γ Le pulsars in un sistema binario sono un ideale laboratorio relativistico Le ms-pulsars sono ideali per misurare il tempo, per migliorare le effemeridi etc… 4.2 MODELLI DI STELLA DI NEUTRONI Un modello di stella di neutroni si ottiene dall’integrazione (numerica) della equazione TOV (3.39) per una assegnata equazione di stato. Le proprietà del modello stellare (densità centrale, raggio, massa, momento di inerzia, etc..) dipendono fortemente dalla equazione di stato. Masse limite (massa gravitazionale, senza rotazione) Massa minima Esiste una massa minima per una stella di neutroni, in quanto nell’intervallo di densità

l’indice adiabatico Γ è < 4/3 Pertanto l’indice adiabatico medio in una stella di neutroni può essere minore di 4/3. La energia totale della stella è positiva e la stella è instabile (vedasi il Teorema del Viriale 2.52).

114 10 3 12 g/cm 7 10 g/cmρ× ≤ ≤ ×

Massa massima Per un gas ideale di fermi composto di neutroni si ha 0 7maxM . MΘ≈ (massa TOV), R( )maxM ≈ 9.6 km e densità . 155 10 3

c g/cmρ ≈ ×

maxM dipende fortemente dalla equazione di stato. Ma per tutte le equazioni di stato realistiche 3maxM MΘ≤

Si può stabilire un limite superiore alla massa con l’aiuto delle seguenti condizioni (Rhoades & Ruffini 1974, Phys. Rev Lett. 32, 324)

maxM

- La teoria della Relatività Generale è la corretta teoria della gravitazione - Vale 0dp / d ρ ≥ , cioè la equazione di stato è microscopicamente stabile - , cioè la casualità è assicurata 20 dp / d cρ< ≤- La equazione di stato è nota per 0ρ ρ<

La equazione di stato che rispetta queste condizioni e grazie alla quale la massa è massima ha la forma

Integrando la equazione TOV (3.39) con questa equazione di stato per e quella di Harrison-Wheeler per

140 4 6 10 3. g/cρ ρ≥ = × m

0ρ ρ≥ si trova

51

Se invece della equazione di stato di Harrison -Wheeler si usa quella di Bayn-Bethe per si ottiene 14

0 5 10 3 g/cmρ ρ≤ = ×

Le due equazioni di stato che abbiamo ora ricordato verranno illustrate meglio più avanti. Limite di massa assoluto dovuto alla RG Si consideri una stella incompressibile senza la condizione che 2dP / d cρ < , dalla (3.43)

e

ne segue (vedasi Weinberg 1972, Gravitation & Cosmology, Wiley NY)

ovvero

Equazione di stato Riferimenti: Shapiro & Teukolsky, cap. 2 e 8; Lattimer & Prakash 2000, Physics Reports, 333-334, 121) Il calcolo della equazione di stato (EOS) per le stelle di neutroni è complicato e in parte non chiarito in quanto

- si copre un intervallo di densità di circa dieci ordini di grandezza (fina a 10 volte la densità nucleare;

- si deve tener conto della dipendenza della densità da diversi tipi di particelle (n, p, e− , nuclei, 0,π π− , iperoni, quarks);

- è implicata fisica parzialmente sconosciuta (con densità in media due o tre volte la densità dei nuclei);

- si deve tener conto delle diverse interazioni fra le particelle (colombiana, debole e forte). In pratica sono obbligatorie delle approssimazioni per i diversi intervalli di densità. Una revisione della dipendenza della EOS dalla temperatura è importante solo quando si vuole trattare la formazione di una stella di neutroni, altrimenti 0T ≈ rappresenta una buona approssimazione. 1) 710 3 g/cmρ ≤La EOS è come nel caso delle Nane Bianche fredde è dominata dalla pressione di Fermi di elettroni degeneri non relativistici . Gli ioni (nuclei atomici) positivi che garantiscono sono ordinati in un reticolo Coulombiano. Se la materia si trova nello stato fondamentale, cioè se la energia per cambiamento di composizione a seguito di processi deboli ed elettromagnetici non può essere abbassata (equilibrio nucleare), 56

26 Feè il nucleo di equilibrio.

52

2) 7 110 4 3 103 3 g/cm . g/cmρ≤ ≤ × 1

La EOS contiene una miscela di elettroni, nucleoni liberi (n,p) e nuclei (A,Z). Il decadimento b-inverso ( e p n ν− + → + ) è energeticamente possibile se critρ ρ> cioè se

ovvero se la energia di Fermi è maggiore della differenza di massa dei nuclei coinvolti (si veda capitolo 2.4). Si vede che la reazione inversa

1F A AE M ( A,Z ) M ( A,Z> − − )( n p e )ν−→ + + a

causa della degenerazione degli elettroni non è possibile (blocco dello spazio delle fasi). Correzioni coulombiane. Queste sono necessarie. Infatti la carica positiva non è uniformemente distribuita, ma è concentrata nei nuclei di carica Z. Questo riduce la energia e la pressione degli elettroni circostanti: gli elettroni sono respinti nel mezzo di nuclei ed elettroni, la repulsione è piccola come la attrazione. La composizione è stabilita dalle reazioni di equilibrio ( 0νµ = in quanto i neutrini possono sfuggire) e la neutralità della carica

I potenziali chimici dei nucleoni sono derivati dalla massa M(A,Z) e il potenziale chimico degli elettroni dalla teoria del gas di Fermi. Reazioni all’equilibrio e neutralità della carica fissano il nucleo (A,Z) energeticamente più favorevole (all’equilibrio) e pertanto la EOS (si veda cap. 4.1) - Harrison-Wheeler EOS (HW): masse dei nuclei AM ( A,Z ) dal modello di Tropfchen. - Baym, Pertrick & Sutherland EOS (BPS): come HW, ma con migliori masse e calcolo dell’energia del reticolo colombiano. Per attraverso il decadimento β-inverso vengono liberati dei neutroni (ciò è energeticamente favorevole in quanto la loro presenza serve ad aumentare il legame). Questo processo si chiama neutron drip e rende la EOS debole, ovvero abbassa l’indice adiabatico Γ (si veda cap. 4.2).

114 3 10 3drp . g/cρ ρ≥ = × m

3

c

3m

3) 114 3 10 3 14. g/cm 5 10 g/cmρ× ≤ ≤ ×La composizione e data da elettroni (liberi) neutroni e nuclei (A,Z) ricchi di neutroni. I nuclei sono strutturati in un reticolo colombiano (BCC). Al crescere della densità, la densità numerica di neutroni liberi aumenta e quella degli elettroni diminuisce. Si instaura la degenerazione dei neutroni (la degenerazione non è relativistica in quanto ) e quella degli elettroni decresce. Il contributo alla pressione alla fine diventa trascurabile. A il contributo del nuclei diventa pur trascurabile in quanto i neutroni liberi dominano la pressione. Il reticolo coulombiano si scioglie ma i nuclei continuano ad esistere fino a . Al crescere ulteriormente della densità sopra

2nF nE m<<

122 10 3g/cmρ ≈ ×

142 8 10 nuc . g/cρ ρ≈ = ×

nucρ anche i nuclei si sciolgono. Per densità 2 nucρ ρ≥ la equazione di stato è sconosciuta. Modello: Baym, Bethe & Pethik (BBP-EOS) usano una modello di massa AM ( A,Z ) simile al modello di Trofchen (goccia di liquido compressibile) tenendo in considerazione i risultati dettagliati di calcoli con molte particelle (in particolare la diminuzione dei termini di superficie a causa dell’effetto dei neutroni liberi). La BBP-EOS è applicabile fino a . Un 145 10 3 g/cmρ ≈ ×

53

FIGURA. 4.1: Equazione di stato sotto il neutron-drip: Chandrasekhar; gas di elettroni, FMT (Fermi-Metropolis-Teller), HW (Harrison-Wheeler), BPS (Bethe-Pethick-Sutherland), n-p-e ( gas ideale di neutroni, protoni ed elettroni ) e BBP (Bethe-Baym-Pethick). Per la EOS di Chandrasekhar si è preso µe = 56/26 (Figura. 2.2 di Shapiro & Teukolsky)

FIGURA 4.2: Indice adiabatico

( d ln P / d ln )ρΓ = in funzione della densità per le EOS mostrate in Figura 4.1 (Figura 2.3 di Shapiro & Teukolsky).

54

risultato importante contenuto nella BBP-EOS è che Γ < 4/3 nell’intervallo

. 11 124 10 7 103 3 g/cm g/cmρ× ≤ ≤ × Problema. Per nucρ ρ≥ la materia adronica compare come un gas di adroni, che interagiscono in modo forte fra di loro. La componente dominante della pressione è l’interazione forte nucleone- nucleone. E’ necessaria una diversa trattazione della EOS in quanto bisogna includere la interazione fra i nucleoni (teorie non relativistiche a molti corpi o teorie relativistiche di campo). 4) 45 10 3 g/cmρ ≥ ×Non esistono più i nuclei. I nucleoni sono degeneri relativisticamente: 2N

F Np m c> . Compaiono nuove particelle (X), molto verosimilmente mesoni (π − ) e iperoni ( ), in quanto

. Modello: Bethe & Johnson (BJ-EOS) propongono un potenziale di interazione che è una derivazione del potenziale di Yukawa (con parametri basati su dati sperimentali). Indubbiamente gli esperimenti non danno informazioni precise sull’interazioni a cortissima distanza (<0.25 fm).

0 0,, ,±Λ Σ ∆ ,±

2NF XE m c>

5) Problemi aperti per nucρ ρ> Soppressione dei processi di scambio pionico in materia nucleare più densa (situazione virtuale NN, N∆, ∆∆ dove ∆ è la risonanza delta dei nucleoni a E=1236 Mev) rendono la EOS più “dura”. Produzione di mesoni π − attraverso la n p π −→ + (se ) possono rendere la EOS debole. C’è indizio che tale effetto si presenti a

2 139 6n p m c . Mevπ

µ µ −− > ≈

2 nucρ ρ≥ . Comparsa di condensati Bose - Einstein di pioni con spin nullo per temperature tendenti a zero. Poiché tali condensati si formano da un gran numero di bosoni con diminuzione della energia cinetica, questi bosoni non contribuiscono alla pressione e pertanto indeboliscono la EOS. Secondo l’opinione attuale i nucleoni hanno un raggio di circa 0.5 fm e sono circondati da una nuvola di mesoni, per cui il raggio viene circa raddoppiato. Alla densità nucleare la distanza media fra nucleoni è circa 2fm e pertanto le nuvole mesoniche non si sovrappongono. A circa 6 volte la densità nucleare le nuvole mesoniche si sovrappongono, così che deve essere tenuto conto dell’ interazione fra singoli mesoni. In queste condizioni la materia adronica è come un fluido composto da nucleoni, leptoni e mesoni. All’aumentare ancora della densità si trova una transizione di fase della materia adronica in un plasma di quark e gluoni. La densità a cui avviene la transizione di fase non è ancora sicura (

151 6 10 3. g/cρ ≈ × m

5 8Q nuc( )ρ ρ≈ − ). I nucleoni sono composti da 3 quarks di valenza e i mesoni da coppie quark-antiquark. La loro struttura interna è descritta dalla Cromo-Dinamica Quantistica. Nel centro di una stella di neutroni, protoni e neutroni sono così compressi che può instaurarsi un Mare di quarks (libertà asintotica dell’interazione forte alle alte densità). Quando una singola, normale componente di quark (solo quarks u e d) compare nel centro, i quarks u e d possono trasformarsi in quarks strani (s) attraverso l’ interazione debole, i quali posseggono una piccola massa. Con questi processi i neutroni liberi sono assorbiti e la stella di neutroni si trasforma (fino alla sua crosta che non contiene neutroni liberi) in una Stella di quarks strani (s).

55

Un dettagliato confronto fra le diverse equazioni di stato delle stelle di neutroni è stato presentato da Arnett & Bowers (Ap. J. Suppl. 1977, 33, 415) e riportato nelle Figure. 4.5 e 4.7. In queste Figure la massa barionica AM è definita come

e la massa gravitazionale come

dove m(r) è la funzione metrica della equazione di TOV (3.35), R è il raggio della stella di neutroni e n(r) la densità numerica di barioni. Struttura Le stelle di neutroni hanno una struttura a cipolla (Figura 4.8) La crosta esterna racchiude un reticolo di ioni nuclei atomici completamente ionizzati e un gas di elettroni degeneri. Essa è spessa circa cento metri. La densità nella crosta esterna cresce verso l’interno. Essa raggiunge il valore di e i neutroni sgocciolano dai nuclei (neutron drip). Sotto vi è la crosta interna contenente nuclei pesanti, elettroni degeneri e neutroni. Essa è spessa circa un km. Ancora più all’internò nella stella di neutroni la materia si trova cosi densamente compatta che i neutroni diventano un fluido assieme ad piccolo residuo di elettroni, protoni superconduttori e muoni. Questo superfluido di neutroni contiene la maggio parte della massa della stella. Nel vero centro della stella le condizioni fisiche della materia diventano ancora più esotiche. La densità è salita a circa dieci volte la densità nucleare e i quarks elementi costitutivi dei neutroni diventano liberi. Il centro di una stella di neutroni di

113 10 3g/cm×

2MΘ potrebbe essere fatto di quarks.

56

FIGURA 4.3: Masse „osservate“ di stelle di neutroni appartenenti a sistemi binari con radio-pulsars (Thorsett & Chakrabarty, Astrophys. J., 512 (1999), 288). Vi sono 5 sistemi binari NS-NS (in alto), 8 sistemi binari NS-WD (in mezzo) e solo 1 sistema NS- stella di sequenza principale. Le barre di errore danno il livello di confidenza del 68% e le linee verticali mostrano il valore M = 1:35 ± 0:04Mo.

FIGURA 4.4: Masse „osservate“ di stelle di neutroni e Buchi Neri (Charles, 1998, astro-ph/9806217 und Theory of Black Hole Accretion Disks, CUP, p.1). Si nota la stretta distribuzione in massa delle stele di neutroni. Tutte le masse dei Buchi Neri misurate stanno sopra il limite canonico della massa massima delle stelle di neutroni di circa 3:2Mo (linea tratteggiata verticale).

57

FIGURA 4.5: Masse barioniche (sinistra) e gravitazionali (destra) in funzione della densità per diverse EOS (Figure da 7 a 10 di Arnett & Bowers, 1977).

FIGURA 4.6: Relazione fra massa gravitazionale e raggio per alcune EOS di stelle di (Figura 11 di Arnett & Bowers, 1977).

58

FIGURA 4.7: Profilo di densità (scala a sinistra) e profilo di massa (scala a destra) di una stella di neutroni fredda in funzione del raggio per la EOS B (Reid soft core con ridotta interazione iperone-iperone da Arnett & Bowers 1977) per tre diversi valori della densità centrale. I valori lungo le curve danno logρc. Le linee lungo la scala di destra (fra 0.8 < m(r)/M < 0.9) indicano per ogni modello la regione della massa della stella di neutroni ρc > 10^15 g/cm^3. Lungo la scala di sinistra è indicata la densità nucleare (Figura 6 di Arnett & Bowers, 1977).

59

FIGURA 4.8: Struttura schematica di una stella di neutroni e di altre ipotetiche stelle compatte (gentilmente concessa da FridolinWeber, Univ. Notre Dame, USA).

4.3 NASCITA DI UNA STELLA DI NEUTRONI Collasso del nucleo (Figura 4.9) La stella alla fine della sua storia termonucleare ho acquistato una struttura a cipolla con opportuna composizione. Le tipiche condizioni nel centro del nucleo di Fe-Ni sono ,

K,

1010 3c g/cmρ ≈

1010cT ≈ c ChM M≈ , 1 2 1/coll dynτ τ ρ −≈ ≈ ≈ msec. Fintanto che : le interazioni

forti ed elettromagnetiche sono in equilibrio; la interazione debole non è in equilibrio e i

123 10 3 g/cmρ ≤ ×

e ' sν in pratica sono liberi di sfuggire. e− -cattura su protoni liberi: ee p n ν− + → + Effetti *** inducono la cattura di elettroni da parte di protoni legati nei nuclei ricchi di neutroni

. eY⇒ ↓

Quando 133 10 3diff coll g/cmρ τ τ≥ × → >

Neutrino trapping: i e ' sν sono catturati durante in collasso del nucleo; diventano degeneri.

en 'νε ν↑→ s

e

La materia ora si trova in equilibrio-β e pertanto vale la condizioni fra i potenziali chimici e p n νµ µ µ µ+ = + .

60

Idrodinamica Il nucleo di Fe si separa in due parti : il nucleo interno in collasso omologo ( ), nel quale la materia è in contatto sonico (

v r∝s| v | c≤ ) e la cui massa è IC Ch eM M (Y )≤ ; il nucleo esterno in

caduta libera ( s| v | c> ). Per si ha 142 10 3g/cmρ ≤ × 4 3Sd ln p / d ln | /γ ρ≡ < , cioè i leptoni relativistici ( ee ,ν− ) dominano la pressione fino all’intervallo della densità della materia nucleare. Per si ha 142 10 3 g/cmρ ≈ × 2 5.γ ≥ cioè la materia diventa incompressibile: il collasso si arresta quando nucρ ρ≥ (bounce del nucleo). Al bordo del nucleo interno si instaura un’onda di compressione (onda d’urto) verso l’esterno

Energetica Viene liberata energia di legame gravitazionale

di cui circa 99% e’ in neutrini, erg nell’energia cinetica dell’onda d’urto, e

erg in radiazione elettromagnetica.

210 10−≈ ↔≈ 51

49410 10−≈ ↔≈ Prompte explosion e sviluppo dell’onda d’urto (Figura 4.10) La energia iniziale dell’onda d’urto (Stosswelle) è circa pari all’energia cinetica del nucleo in collasso omologo meno l’energia del bounce. Le simulazioni idrodinamiche danno indicato che

L’onda d’urto dissipa la sua energia attraverso la foto-dissociazione del nucleo di Ferro in nucleoni liberi e particelle α

L’onda d’urto sopravvive (energeticamente) su un intervallo di massa dato

La “ prompte explosion” può avvenire se

cioè se la massa iniziale del nucleo di Fe è sufficientemente piccola e l’onda d’urto riesce a raggiungere gli strati esterni al nucleo. Difetto del modello prompte explosion L’ interazione dei neutrini che sfuggono dal nucleo (per diffusione e/o convezione) con gli strati sovrastanti non sembra essere sufficiente!

61

FIGURA 4.9: Core-Collapse Supernova: Nucleo prima del collasso (sopra) e allo stadio della cattura dei neutrini (sotto).

62

FIGURA 4.10: Core-Collapse Supernova: Bounce e formazione dell’onda d’urto (sopra); Propagazione dell’onda d’urto e burst di neutrini (sotto).

63

FIGURA 4.11: Core-Collapse Supernova: Stagnazione dell’onda d’urto e riscaldamento da neutrini (sopra); Raffreddamento dei neutrini e vento causato dai neutrini (sotto).

64

Esplosione ritardata (Figure 4.11 e 4.12) I neutrini sfuggono dal nucleo otticamente spesso con una scala di tempo di circa 1 s tramite processi diffusivi e/o convettivi e depositano in circa 100 ms circa 1% della loro energia nello strato tra la neutrino sfera (analogo della fotosfera) e l’onda d’urto. Questo (i) fa aumentare la pressione e quindi espandere lo strato e (ii) forma una zona di minore densità e maggio temperatura (hot bubble). Il gas in questa zona si raffredda attraverso le perdite di neutrini

e si riscalda attraverso i neutrini energetici provenienti dal nucleo attraverso i processi inversi

Problemi: - La opacità dei neutrini nel plasma denso e correlato;

- Trattazione del trasporto di neutrini: fermioni (blocking), diverse specie di neutrini (trasporto multi-flavour); risultati fortemente dipendenti da energia e angolo (multi-group, multi-angle transport) estreme perdite Boltzmann (perdite radiative) difficili da trattare.

- La proto stella di neutroni e la bolla riscaldata dai neutrini sono convettivamente instabili; le

osservazioni di supernova mostrano processi di mescolamento e disomogeneità su grande scala che si instaurano durante l’esplosione sono indispensabili simulazioni multi-dimensionali.

Il meccanismo di esplosione ritardata in linea di principio dovrebbe funzionare, ma quando e come in concreto una stella esploda non è chiaro! Se avviene l’esplosione, circa 5-50 s dopo il collasso si forma una proto stella di neutroni con circa

K ( 1 Mev) che si raffredda per emissione di neutrini ed è osservabile dal flusso di neutrini. Quando Mev la proto stella di neutroni diventa così fredda (energia di Fermi dei neutroni di circa 100 Mev) che i neutroni diventano superfluidi (gap-energy di circa 1 Mev). E’ nata una stella di neutroni.

1010 ≈1Bk T ≈

4.4 STELLE DI NEUTRONI ROTANTI E PULSARS I periodi di rotazione osservati nelle stelle di neutroni ovvero pulsars (Figura 4.14) stanno fra molti secondi e 1.56 msec (PSR1937+21). Descrizione La descrizione (in relatività generale) delle stelle di neutroni rotanti è sostanzialmente diversa da quella del caso non rotante. I tre fondamenti sono:

65

Bisogna includere le deformazioni dovute alla rotazione (al Polo nulla e all’equatore massima). La funzione metrica dipende dalla coordinata angolare ϑ . La rotazione può stabilizzare la stella rispetto al collasso, la stella di neutroni rotante può avere una massa maggiore della corrispondente non rotante. La massa totale comporta un corrispondente cambiamento dello Spazio-Tempo. Gli elementi di linea dipendono dalla frequenza di rotazione della stella di neutroni. Le stelle di neutroni rotanti trascinano con se lo Spazio-Tempo: trascinamento del sistema di riferimento locale. Gli elementi di linea contengono generalmente dei termini non diagonali tg ϕ . E’ implicito un vincolo di consistenza per le equazioni di struttura: una stella di neutroni che ruoti con frequenza , sarà deformata dalla rotazione e trascinerà a sua volta in rotazione il sistema inerziale di riferimento con velocità angolare

Ω( r , , )ω ϑ ϕ dipendente dalla posizione.

In coordinate sferiche, gli elementi di linea di una configurazione stazionaria, assialmente simmetrica sono

dove ognuna delle quattro funzioni metriche , , e ν ψ µ λ dipende esplicitamente dalla coordinata radiale r ed angolo polare ϑ ed implicitamente dalla velocità angolare Ω (costante) della configurazione. La grandezza ausiliaria ω descrive la velocità angolare del sistema inerziale locale e dipende anche esplicitamente da r e ϑ ed implicitamente da Ω. La velocità angolare relativa ( r , , ) ( r , , )ω ϑ ϕ ω ϑ ϕ≡ Ω − determina la grandezza della forza centrifuga, la quale come nella teoria newtoniana anche nella teoria di Einstein è data dal tasso di rotazione degli elementi di fluido rispetto al sistema inerziale locale. Il modello relativistico di stelle di neutroni in rotazione lenta con (velocità kepleriana) è stata sviluppato da Hartle & Thorne sin dal 1968 (ApJ 153, 807). Nella loro approssimazione analitica la metrica è scritta come una perturbazione della metrica di Schwarzschild: Questa contiene tre parametri: la massa totale M, il momento angolare

e il momento di Quadrupolo .

K ( R )Ω << Ω

2 2* * *J k MR , con k=0.4= Ω *Q

Nel caso di una stella di neutroni in rapida rotazione bisogna risolvere le equazioni di Einstein con i coefficienti della metrica calcolati numericamente. Una descrizione dettagliata del modello relativistico di stelle di neutroni rotanti si può trovare nel libro di Weber “ Pulsars as astrophysical laboratories for nuclear and particle physics, Inst. of Physics, 1999) . Condizioni sulle stelle di neutroni rotanti Zona interna (analoga al caso non rotante) Vale la teoria della Relatività Generale per garantire stabilità e causalità 20 dP / d cρ< <

La EOS per alta densità si raccorda a quella conosciuta per bassa densità come ad esempio in BPS-EOS.

66

FIGURA 4.12: Simulazione idrodinamica del collasso In simmetria sferica di una stella di M = 15Mo. La figura Mostra la variazione del raggio di alcune shells di massa Dall’inizio del collasso fino a circa 0.5 sec dopo il bounce. La posizione dell’onda d’urto è indicata dalla linea rossa, quella della neutrino-sfera dalla curva tratteggiata. Le shells di massa in arancio, blu e verde sono i bordi esterni del nucleo di ferro, della shell di Si,e della shell di Ne all’inizio del collasso (Rampp & Janka, Astrophys. J. Lett. 2000, 539, L33).

67

FIGURA 4.13: Zona convettiva nel centro di una supernova circa 0.1 sec dopo la nascita dell’orda d’urto. La stella di neutroni nel centro ha un raggio di circa 50 km. Il fronte d’urto al bordo esterno ha circa 300 km.

68

Con la massa corrente delle stelle di neutroni si hanno periodi di rotazione minimi con valori di circa 0.5 msec. Stabilità contro la forza centrifuga La eguaglianza fra forza centrifuga e forza gravitazionale deve dare

Le stelle di neutroni sono dinamicamente e secolarmente stabili rispetto alle deformazioni triassiali (pertanto non a simmetria assiale) quando queste danno luogo all’emissione di onde gravitazionali (ampiezza ), le quali portano via l’energia rotazionale e il momento angolare della stella di neutroni.

h Q∝ &&

I criteri di cui sopra non sono esattamente conosciuti nella teoria della Relatività Generale. Per un politropo di indice n in meccanica newtoniana vale il seguente criterio di stabilità con β dato dal rapporto fra l’energia rotazionale e quella di legame gravitazionale:

22 11 3 0 26

2 5 0 24GM . per la stabilità dinamicaI ( )

n R . per la stabilità secolare β − ⎧ ⎫

≈ Ω ≤ ⎨ ⎬− ⎩ ⎭

dove I è il momento di inerzia. In una stella di neutroni con EOS dura la densità è circa costante (ovvero ), pertanto 0n ≈

2 3 0 8R . per la stabilità dinamica

GM 0.4 per la stabilità secolare⎧ ⎫Ω

≤ ⎨ ⎬⎩ ⎭

ovvero quando si vuole soddisfare la stabilità secolare (criterio più forte) contro le deformazioni triassiali il periodo di rotazione deve soddisfare alla condizione

Per una stella di neutroni con 1M MΘ≈ e una EOS dura si trova 15R ≈ km, ovvero 1 3minP .≈ msec. Ad esempio la pulsar più veloce fino ad ora PSR1937+21 con P = 1.558 sec, la quale è secolarmente e dinamicamente stabile. Ulteriori risultati di carattere generale La rotazione veloce aumenta la massa limite di circa il 20% (Figura 4.15). Stelle di neutroni con massa critica (raggio minimo) possono ruotare velocemente. Attraverso la deformazione triassiale una stella di neutroni rapidamente perde energia rotazionale e momento angolare con l’emissione di onde gravitazionali; in seguito mantiene fisso il periodo di rotazione e ruota più lentamente. Il periodo di rotazione minimo di una stella di neutroni con EOS dura è attorno a 1 msec. Con una EOS debole the stelle di neutroni ruotano alquanto più velocemente senza distruggersi.

69

FIGURA 4.14: Distribuzione osservata dei periodi delle pulsars.

FIGURA 4.15: Massa gravitazionale in funzione densità di energia totale (sinistra) e del raggio equatoriale (destra) per sequenze di modelli di stelle di neutroni con massa a riposo costante (massa dei barioni) e per una EOS di moderata durezza. Le sequenze scelte sono indicate con il valore della massa a riposo corrispondente. La linea punteggiata indica il bordo della regione, dove la forza centrifuga inizia a far perdere massa. Le linee approssimativamente parallele mostrano il confine del caso statico (niente rotazione) (Cook, Shapiro & Teukolsky, 1994, Astrophys. J. 424, 823).

70

FIGURA 4.16: Relazione fra campo magnetico e Periodo nelle Pulsars (Glendenning, 1998, Nuclear Physics A638, 239).

Pulsars e loro evoluzione Le pulsars osservate si possono raggruppare in due classi (vedi Figura 4.14): le pulsars normali (circa 800) con periodo di rotazione compreso fra 0.03 sec e 8 sec e le millisecond-pulsars (circa 50) con periodi di rotazione fra 1.5 msec e 30 msec. Ciò significa che le pulsars nascono come pulsars normali e poi dopo lungo tempo diventano millisecond-pulsars. Il nucleo in rotazione di una stella massiccia collassa a stella di neutroni. La conservazione del momento angolare fa ruotare la stella di neutroni appena formata e a causa del grande conducibilità elettrica del plasma nel nucleo a causa della conservazione del flusso magnetico si forma un campo magnetico molto intenso 1210 B Gauss≈ (il cosiddetto magnete può anche generare campi magnetici fino a 1410 B Gauss≈ . Una stella di neutroni giovane è un dipolo magnetico in rotazione che emette radiazione elettromagnetica. Questa stella di neutroni rotante e magnetizzata viene osservata come pulsar quando la radiazione elettromagnetica direzionale emessa arriva sulla terra ad ogni periodo di rotazione.

71

La stella di neutroni perde energia per emissione energia che viene estratta dalla energia rotazionale. A causa di ciò la stella diventerà più lenta al trascorrere del tempo, il periodo di rotazione si allunga con . L’energia di rotazione è sufficiente a che la stella di neutroni si mostri come pulsar normale attiva per circa anni.

1510P sec/sec−≈ +&710

Nel Diagramma Periodo –Campo Magnetico la stella di neutroni a causa della perdita di momento angolare per emissione si sposta da sinistra verso destra (Figura 4.16). Essa cessa di essere una pulsar attiva, quando per una data combinazione di periodo di rotazione e campo magnetico essa supera un valore limite. Mediante accrescimento di massa e di momento angolare da una stella vicina (o presente dall’inizio o catturata in seguito) la pulsar incomincia a ruotare più velocemente (spin up). Durante la fase di accrescimento il campo magnetico della pulsar si riduce per dissipazione ohmica. Nel diagramma Campo-Magnetico- Periodo (Figura 4.16) la pulsar si sposta nuovamente da destra verso sinistra. A questo punto la pulsar può diventare una millisecond-pulsars: essa può nuovamente irradiare in quanto il suo campo magnetico più debole è compensato dalla rotazione più veloce. Poiché il campo magnetico è ora più debole ( 108 B Gauss≈ ), anche il rallentamento diventa molto più lento

. La scala di tempo di rallentamento caratteristica è di circa anni.

1910P sec/sec−≈ +& 2c P /( P )τ ≡ & 910

Le pulsars millisecond sono degli orologi molto precisi.

72

CAPITOLO 5

BUCHI NERI Nei capitoli precedenti abbiamo visto che sia per la Nane Bianche che per le Stelle di Neutroni esiste una massa massima. Cosa succede ad un nucleo in collasso se la sua massa è maggiore della massa massima di una stella di neutroni? La teoria della Relatività Generale afferma che in questo caso il collasso è inarrestabile e che si forma un Buco Nero. Un Buco Nero è una regione limitata dello Spazio-Tempo che è casualmente escluso dal mondo esterno. Il limite della regione è chiamato superficie del Buco Nero ovvero Orizzonte degli Eventi. Si può immaginare che la soluzione delle equazioni di campo di Einstein, che descrivono il Buco Nero sia molto complicata , in quanto il buco nero si forma da stelle con diverse distribuzioni di densità struttura (varie componenti, campo magnetico, momento angolare). E’ un compito molto difficile ottenere le soluzioni generali per un buco nero stazionario. La metrica generale di un corpo nero stazionario, chiamata anche metrica di Kerr-Newman dipende da tre parametri: la massa M, il momento angolare J e la carica elettrica Q. Casi speciali sono: la metrica di Kerr (Q=0), la metrica di Reissner-Nordstrom (J=0) e la metrica di Schwarzschild (J=Q=0). I corpi astrofisica carichi vengono di solito rapidamente neutralizzati e pertanto il corpo nero carico è di scarso interesse astrofisica. Nel seguito prederemo sempre Q=0. Attenzione: nel corso di questo capitolo faremo uso delle Unità Geometriche G=c=1. Pertanto il tempo e la massa sono espressi in cm: 1 sec = (fattore c in unità cgs), 1 g = (fattore in unità cgs), altra quantità importante km.

103 10 cm×0 7425 -28. 10 × cm 2G / c 1 4766M .Θ =

5.1 BUCO NERO NON ROTANTE La metrica di Schwarzschild per un buco nero non rotante, statico, sferico (si veda la equazione (3.34) tenendo conto della notazione diversa dovuta alla diversa interpretazione fisica delle coordinate) è data da

73

con 2 2 2d d sin dϑ ϑ ϕΩ = + . L’orizzonte degli eventi della metrica è data da r = 2M. Si chiama anche limite statico in quanto per r < 2M non può esistere un osservatore statico. Un osservatore statico, cioè un osservatore con coordinate solidali ( r, ,ϑ ϕ ), misura in tale campo gravitazionale il tempo proprio (fisico)

ovvero

dove dt è l’intervallo di tempo delle coordinate (o metrico). Questo è la dilatazione temporale discussa nel capitolo o spostamento gravitazionale verso il rosso di un orologio in un campo gravitazionale rispetto ad un orologio all’infinito (dτ < dt) . Esiste una singolarità nella metrica di Schwarzschild a r = 2M ? Per r 2M (da r > 2M) dt , cioè gli orologi sembro rallentare all’orizzonte degli eventi. Un fotone radiale ( ) si sposta con velocità nel sistema delle coordinate (in unità di c)

2 2 2 0ds d dϑ ϕ= = =

per r 2M si ha dr/dt 0, cioè i fotoni sembrano rallentare. Certamente quello che ha importanza è la velocità fisica dei fotoni, in quanto anche a r = 2M deve essere

Questo e la condizione che il determinante della metrica 4 2det( g ) r sinαβ ϑ= − sia regolare anche a r = 2M, ci fa comprendere che la singolarità posseduta dalla metrica a r = 2M è solo una deficienza della scelta delle coordinate, cioè è una singolarità delle coordinate non fisica.

rrg

L’orizzonte degli eventi della metrica di Schwarzschild è una iper-superficie nulla ( 2 0rr

r Mg | = = ), la quale divide lo Spazio-Tempo in due componenti non correlate fra di loro I. 2M r< < ∞ II. 0 2r M< < All’interno della regione I la coordinata 0t x≡ è di tipo tempo ( 00 0g < ) e la coordinata 1r x≡ è di tipo spazio ( ). All’interno della regione II le coordinate t e r si scambiano i ruoli, cioè la coordinata t è di tipo spazio e la coordinata r è di tipo tempo. Da questo segue che la topologia della metrica di Schwarzschild non è euclidea.

11 0g >

74

Una tecnica efficace per l’interpretazione delle soluzioni dell’equazioni di campo di Einstein in generale e della metrica di Schwarzschild in particolare è l’esame della struttura dei coni di luce nel futuro. Definizione: Un locale cono di luce nel futuro è l’origine di tutti i punti a ax dx+ nelle vicinanze del punto ax con

La struttura dei coni di luce confina i possibili movimenti futuri di un osservatore: solo spostamenti di tipo spazio e di tipo tempo sono possibili, ovvero le direzioni dei moti possibili devono stare all’interno del cono di luce. I coni di luce di una metrica si possono rappresentare sotto forma di Diagrammi Spazio-Tempo. Dato che questi portano a rappresentazioni quadri-dimensionali, nella rappresentazione concreta (soprattutto in presenza di simmetrie) viene usata solo una dimensione spaziale l massimo due (Figura 5.1). L’asse temporale nel Diagramma Spazio-Tempo è usualmente l’asse verticale. In uno Spazio-Tempo curvo la curvatura dello Spazio-Tempo si mostra anche in tali diagrammi in quanto i coni di luce sono distorti o estesi e girati ed inclinati lungo diverse direzioni. Per interpretare la metrica di Schwarzschild introduciamo la classe delle geodetiche radiali nulle (un punto sopra una grandezza significa derivazione della grandezza rispetto al parametro affine λ, si veda la equazione (3.24) )

Da questo segue la equazione differenziale (d’Inverno, capitolo 16.4)

FIGURA 5.1: Diagramma Spazio-Tempo di un segnale luminoso emesso da un punto O, dove sono mostrate due (sinistra) o una dimensione spaziale (d`Inverno, cap. 16.5 e 16.6).

Integrando si ottiene

75

dove il segno + (-) indica geodetiche radiali nulle dirette verso l’esterno (interno). La trasformazione scambia una geodetica verso l’esterno con una verso l’interno. t → −t

6

Diagramma dello Spazio-Tempo della soluzione di Schwarzschild in coordinate di Schwarzschild (Figura 5.2) Di questo diagramma si possono mettere in evidenza le seguenti proprietà: Le geodetiche nulle a formano un angolo di 45 gradi con l’asse delle coordinate (piattezza asintotica della metrica.

r → ∞

Un osservatore all’interno della regione II non può restare in quiete. Esso deve muoversi in direzione della singolarità intrinseca (lo scalare di Ricci, equazione (3.20), 248R M / r= diverge) a r = 0 . (Dato che il tempo proprio lungo una geodetica è massimo un osservatore avvicinandosi alla singolarità non può muoversi perché subito la sua vita sarebbe più corta !) Il diagramma sembra suggerire che un osservatore all’interno della regione I che si muova verso l’origine (del campo o i altre parole verso il buco nero) percepisca il tempo allungarsi sempre più man mano che si avvicina a r =2M. Lo stesso sembra valere anche per i raggi di luce. Come si vedrà nella prossima sezione, questo è certamente un controsenso!

FIGURA 5.2: Diagramma Spazio-Tempo della soluzione di Schwarzschild nelle coordinate Schwarzschild, e dove sono Mostrate due dimensioni spaziali (d`Inverno, cap. 16.7).

76

Diagramma dello Spazio-Tempo della soluzione di Schwarzschild nelle coordinate di Eddington- Finkelstein (Figura 5.3) Si adotti un nuovo sistema di coordinate, nel quale le geodetiche radiali nulle siano dirette verso l’interno (o verso l’esterno). Per una geodetica puntata verso l’interno si applichi la trasformazione

e si prenda come equazione della geodetica

oppure con una nuova ordinata nulla (parametro temporale avanzato)

Questa è una linea retta, che forma con l’asse x un angolo di 45 gradi. Differenziando la (5.5) si trova

e con la sostituzione di dt nell’elemento di linea (5.1) si ha l’elemento di linea di Eddington-Finkelstein

L’elemento di linea è regolare a r = 2M. Con ciò, la trasformazione (5.5) estende, in un modo ben preciso, l’intervallo delle coordinate da 2M < r < ∞ a 0 < r < ∞ . Questo è molto simile alla analitica estensione di una funzione nell’analisi complessa e pertanto la (5.8) è chiamata prolungamento analitico della (5.1). La (5.8) può essere scritta in maniera più semplice col prevedere il parametro temporale avanzato v

Le geodetiche radiali nulle rivolte verso l’interno sono con v = costante. Orizzonte degli eventi Dalla Figura 5.3 si capisce che la iper-superficie r = 2M funziona come una membrana semi-permeabile che lascia passare le curve nulle di tipo tempo dirette verso il futuro solo da fuori (regione I) a dentro (regione II). Al contrario nessuna curva nulla di tipo tempo diretta verso il futuro può passare dalla regione II alla regione I. Per questo motivo la iper-superficie r = 2M è chiamata orizzonte degli eventi. In quanto pone un confine, quello che per principio può essere osservato da un osservatore esterno. L’orizzonte degli eventi pone un confine assoluto in quanto tutti gli eventi interni sono preclusi ad ogni osservatore esterno. Collasso sfericamente simmetrico verso un buco nero La metrica di Schwarzschild è valida nel vuoto circostante una distribuzione di materia con simmetrica sferica. All’interno di stella a simmetria sferica, il cui raggio *R sia maggiore del raggio di Schwarzschild SR , vale la soluzione interna di Schwarzschild non singolare

77

dove m(r) è una funzione di r che tende a zero più rapidamente di r (con ). Pertanto esiste anche la soluzione di Schwarzschild completa (esterna + interna) di una stella a simmetria sferica senza singolarità fintanto che

*m( R ) M=

* SR R> .

FIGURA 5.3: Diagramma Spazio-Tempo della soluzione di Schwarzschild Nelle coordinate di Eddington-Finkelstein, dove sono mostrate due dimensioni Spaziali ( d`Inverno, cap. 16.10). Si vede che per r = 2M fotoni in moto radiale “stanno dove sono”.

La Teoria della Relatività Generale dice innanzi tutto: una stella a simmetria sferica (e massa sufficientemente elevata si contrae fino a diventare un buco nero ( * SR R≤ ) e tutta la materia della stella finirà in una singolarità (Figura 5.4).

78

Un osservatore sulla superficie della stella può osservare come il raggio della stella superi il raggio di Schwarzschild. Un osservatore lontano registra regolari, lontani segnali con ritardo temporale sempre più crescente. Un segnale emesso a r = 2M non arriverà mai per quanto a lungo si attenda (la singolarità non è visibile!). Dopo un tempo finito 510SR / c M / Mτ −

Θ≈ ≈ sec la stella a causa dell’estremo spostamento verso il rosso non è più osservabile. Il collasso asferico in un buco nero porta alla costruzione di un orizzonte degli eventi non stazionario. Tuttavia l’emissione di onde gravitazionali ( 0Q ≠&& ) porta rapidamente ( 310 M / M−

Θ≈ sec) ad una situazione stazionaria (Figura 5.5). Il Teorema No-Hair (senza capelli) afferma che all’atto della formazione un Buco Nero è determinato dalla sua massa, momento angolare e carica (la dimostrazione è un notevole compito della fisica matematica). Un Buco Nero è il più semplice corpo macroscopico che si conosca Quando una stella oltrepassa il suo orizzonte degli eventi, le sue proprietà non sono più osservabili ma solamente M, J e Q. Per esempio non è più possibile sapere quanti barioni abbiano contribuito alla formazione della stella di neutroni. La formazione di un buco nero comporta una perdita crescente di informazione. 5.2 TRAIETTORIA DI UNA PARTICELLA DI PROVA NELLA METRICA DI

SCHWARZSCHILD Per analizzare la traiettoria di una particella di prova nella metrica di Schwarzschild partiamo dalle considerazioni sviluppate nel capitolo 3.2. Tuttavia invece della funzione di Lagrange

adopereremo l’equivalente funzione di Lagrange (nella ipotesi che λ sia il parametro affine e che L sia costante lungo la geodetica

con x dx / dα α λ≡& . Con la metrica di Schwarzschild si ha

con (t-componente del quadri-impulso) e così di seguito. Il parametro affine λ è scelto in modo tale che λ = τ/m per una particella di massa m.

tt dt / d pλ= =&

79

FIGURA 5.4: Collasso sferico di un buco Nero nelle coordinate di Eddington-Finkelstein (Fig. 4 in Luminet, astro-ph/980152).

80

FIGURA 5.5: rappresentazione schematica di un collasso asferico verso un Buco Nero (Fig. 7 da Luminet, astro-ph /980152).

Dalle equazioni di Eulero-Lagrange (3.26) si deriva

Invece di usare direttamente la equazione per r (è più semplice) si utilizzi la relazione

81

(nello Spazio-Tempo di Minkowski si ha

2 2 2 20 1 2 3 2 2 2 2p p p p m | p | E m c− + + + = − → = −r dove

pr è il 3-impulso. Senza perdita di generalità si può scegliere il sistema di coordinate in modo tale che inizialmente la particella si trovi sul piano equatoriale 2/ϑ π= . Dalla equazione (5.10) ne segue che cioè la particella rimane sul piano equatoriale.

0ϑ =&

Per 2/ϑ π= si ottiene dalle relazioni (5.11) e (5.12) per i momenti canonici coniugati p L / xα

α = ∂ ∂&

dove l ed E sono costanti del moto. Per comprendere il significato fisico delle costanti del moto, si consideri un osservatore statico (cioè un osservatore situato alle coordinate fisse r, ,ϑ ϕ che si trovi sul piano equatoriale. Egli compie delle misure nel suo sistema inerziale locale con l’aiuto dei suoi quadri-versori cioè del suo locale sistema di base ortonormale. Si indichino le grandezze misurate con questa base con il simbolo Λ, per gli autovettori ortonormali si ha

In uno Spazio-Tempo con metrica gαβ (a causa di 2ds dx dx g dx dxα β

αβ= ⋅ =r r e dx dx eα

α=r r ) si

ottiene per i vettori di base ortogonali

Dalle relazioni (5.1), (5.16) e (5.17) si ricavano finalmente gli autovettori ortonormali della metrica di Schwarzschild

La energia della particella è la t-componente del 4-impulso misurato nel locale sistema ortonormale dell’osservatore, cioè la proiezione del 4-impulso lungo la direzione ter

Dalla (5.18) si ottiene

e da questa con la (5.15)

82

cioè

Per si ha , cioè la grandezza conservata è la “Energia all’infinito” la quale è connessa tramite il fattore di redshift a .

r → ∞ localeE → E

localeE Il significato fisico della grandezza conservata l si ottiene considerando la velocità tangenziale misurata localmente

Dalla (5.14) segue

cioè la grandezza conservata l è il Momento Angolare della particella ( ovvero in linguaggio newtoniano ˆmrvϕ ). Particelle dotate di massa In questo caso è opportuno normalizzare le grandezze conservate E e l alla massa della particella, introducendo la Energia Specifica

e il Momento Angolare Specifico

dalla (5.14) si deriva

dalla (5.15)

e dalla (5.13)

ovvero

La equazione (5.26) può essere risolta in r = r(τ) (in generale esiste un integrale ellittico). Poi dalla (5.24) si deriva ( )ϕ τ e dalla (5.25) t( )τ . La velocità radiale (misurata dall’osservatore locale) è data da

83

ovvero

Per si ha , cioè per un osservatore locale statico vicino a r la particella si avvicina all’orizzonte degli eventi lungo una geodetica radiale con la velocità della luce indipendentemente dal momento angolare. Attenzione: per r < 2M non esiste un osservatore statico!

2r → M 1rv →

Le geodetiche più semplici sono quelle radiali 0l = cioè la particella cade radialmente ( 0ϕ = ). In tal caso si ha

Si consideri il caso limite di . Ci sono tre possibilità: r → ∞1. la particella cade dalla posizione a riposo a r = R 1E <2. la particella cade dalla posizione a riposo all’infinito 1E =3. la particella cade con velocità di infall finita dall’infinito ( v1E > v∞≡ ) La integrazione della (5.28) per il caso 1E < , cosicché 1 2 , porta (τ = 0 a r = R) E M /− = R

Si può ora definire il cosiddetto parametro di cicloide η

e con questo si ha

cioè il tempo proprio di caduta da r = R > 2 M fino a r = 2M è finito, esattamente come il tempo proprio di caduta da r = R > 2M fino a r = 0. Questo ultimo dà

Il corrispondente tempo delle coordinate (metrico) si ottiene integrando la (5.25) con t = 0 a r = R> 2M

Il tempo metrico (cioè il tempo proprio di un osservatore all’infinito) è infinito per una caduta da r = R> 2M fino a r = 2M, in quanto

2 12Rtan( / ) per r = 2MM

η = −

84

FIGURA 5.6: Rappresentazione schematica del potenziale effettivo per una particella dotata di massa che orbiti attorno ad un Buco Nero non rotante (Fig. 12.2 di Shapiro & Teukolsky).

Passiamo ora al caso di orbite non radiali. Gli integrali ellittici che si ottengono da (5.12), (5.24) e (5.26) non sono particolarmente informativi. Tuttavia possiamo avere un quadro generale delle orbite possibili considerando un Potenziale Effettivo così definito

La equazione (5.26) può essere scritta nella forma

Per orbite circolari deve valere (niente accelerazione) e dr/dτ = 0 (niente velocità radiale). Dalla prima condizione si ha

0V / r∂ ∂ =

cioè il potenziale effettivo V(r) non ha minimi per 2 3 3 464l M .< ≈% M (non esiste un’orbita circolare stabile). Dalle equazioni (5.32) e (5.33) si ha

e

cioè orbite circolari esistono solo per , dove il limite r = 3M vale solo per orbite di fotoni ( ).

3r M≥2E E / m= →% ∞

Le orbite circolari sono stabili se

(minimo di potenziale). Pertanto sono possibili orbite circolari stabili solo per r > 6M. Energia di legame delle particelle: sorgente di energia Facendo uso della

85

si ottiene che la energia di legame (per massa) di una particella nell’ultima orbita circolare stabile a r = 6M è data da

Questa è la frazione della energia di massa a riposo liberata quando una particella originariamente ferma all’infinto lentamente spiraleggia fino all’ultima orbita circolare stabile a da questa cade dentro il Buco Nero. Essa è chiaramente maggiore della frazione massima liberata dai bruciamenti nucleari (< 0.9%) andando da H a Fe. Pertanto l’accrescimento di materia su un buco nero è una potente sorgente di energia. Particelle prive di massa Per particelle prive di massa la linea di Universo della particella dipende solo dal parametro b = l/E detto parametro di impatto e non separatamente dal l ed E (Shapiro & Teukolsky capitolo 12.5). Il potenziale effettivo ha la forma

con a r = 3M. 21 27max

photV /= MIl parametro di impatto critico per l’ingresso della particella dentro il buco nero è

La sezione d’urto di cattura di particelle senza massa (fotoni) che cadono dall’infinito è

cioè il raggio effettivo del Buco Nero è 5 2 2 6eff Sr . M . R= = . Una particella senza massa (fotone) sfugge al buco nero se l’angolo fra la direzione radiale la direzione di propagazione è

Da questo si vede che 50% della radiazione di un emettitore isotropo stazionario a r = 3M verrà catturata dal buco nero e che a r = 2M solamente un fotone radiale può arrivare all’infinito. 5.3 BUCO NERO ROTANTE E SOLUZIONE DI KERR In questo capitolo la segnatura della metrica è (+1,-1,-1,-1)

86

FIGURA 5.7: Potenziale effettivo per una particella dotata di massa e momento angolare qualunque, la quale orbiti attorno ad un Buco Nero non rotante (Fig. 12.3di Shapiro & Teukolsky).

87

FIGURA 5.8: (a) Angolo fra la direzione di propagazione di un fotone e la direzione radiale ad un dato punto P.

(b) La radiazione che viene emessa ai vari punti P nella direzione indicata dalle aree scure, viene catturata dal Buco Nero (Fig. 12.6 di Shapiro & Teukolsky). Le aree mostrate valgono per un osservatore locale statico.

88

La forma anticipata di Eddington-Finkelstein della metrica di Kerr (si veda d’Inverno cap. 19.1, 19.2)

dove

L’analogo della soluzione di Schwarzschild si ottiene attraverso la trasformazione di coordinate ( v,r , , ) ( t ,r , , )ϑ ϕ ϑ→ ϕ con

dove

Tale espressione della soluzione di Kerr (dovuta a Boyer-Lindquist) è

Kerr stesso, il quale nel 1963 trovò questa soluzione delle equazioni di campo di Einstein, fece uso di coordinate di tipo cartesiano così definite

La corrispondente espressione di Kerr della soluzione è data da

Proprietà fondamentali della soluzione di Kerr La soluzione dipende da due parametri m e a. Si ponga a = 0 nella espressione di Boyer-Lindquist si ha la soluzione di Schwarzschild nelle omonime coordinate e il parametro m può essere identificato con la massa del Buco Nero. I coefficienti della metrica sono indipendenti da t e ϕ . Pertanto la soluzione è stazionaria ed assialmente simmetrica. Essa possiede inoltre una simmetria discreta attraverso la seguente trasformazione

La prima simmetria discreta mette in evidenza che il campo di Kerr nasce da una sorgente in rotazione. La seconda simmetria significa che il parametro a specifica il momento angolare.

89

La coordinata r non è l’usuale coordinata radiale delle coordinate sferiche (se non nel limite asintotico di ). Consideriamo la espressione di Kerr della soluzione (5.37) nelle usuali coordinate cartesiane (x,y,z) cosicché il raggio usuale è dato da

r → ∞

Da questo segue con la (5.37)

Per r >> a si ottiene

cioè R asintoticamente e nel limite di Schwarzschild coincide con r. 0a → Per la metrica di Kerr (5.37) tende alla metrica di Minkowski R → ∞ abη , cioè la soluzione di Kerr è asintoticamente piatta. La soluzione di Kerr descrive il campo del vuoto attorno ad una sorgente rotante, dove a attraverso la velocità angolare e ma attraverso il momento angolare (spesso all’infinito) sono in relazione. Tuttavia essa non descrive la metrica esterna di una stella rotante, assialmente simmetrica e collassate. Essa è asintoticamente corretta in senso asintotico cioè quando tutta la dinamica è cessata. Singolarità e orizzonte Nella ricerca di invarianti di Riemann abcd

abcdR R R= si ottiene che la metrica di Kerr possiede una singolarità solo a 0ρ = . Dalla

si deriva

cioè

Si tratta che presso la singolarità esiste anche un anello di raggio a che giace nel paino equatoriale z = 0 (Figura 5.9). Nella metrica di Kerr, superfici infinitamente spostate verso il rosso (come nel caso statico della metrica di Schwarzschild) sono date dalla condizione

cioè

Tali superfici hanno le seguenti proprietà: Nel caso limite di Schwarzschild per , la superficie 0a → S+ è fissata da r = 2M e la superficie

da r = 0. S−

Queste superfici sono assialmente simmetriche.

90

FIGURA 5.9: Orizzonte degli eventi, limite di stazionarietà ed anello di singolarità della soluzione di Kerr (Fig. 19.3 di d'Inverno).

S+ all’equatore ha il raggio 2m e ai poli (se ) il raggio . 2a m< 2 22 2 1 /m ( m a )+ − La superficie è completamente contenuta dentro la superficie S− S+ . La esistenza di tali superfici implica la esistenza di un Orizzonte degli Eventi (iper-superficie con r = costante, di tipo luce e cioè ). Dalla espressione della metrica di Kerr (5.35) segue 11 0g =

Pertanto, quando è nullo, cioè (se ) esistono due orizzonti degli eventi

11 0g = 2 2r mr∆ = − + 2a 22a m<

Nel limite di Schwarzschild ( ) si ha 0a → 2r m+ = e 0r− = cioè le superfici infinitamente spostate verso il rosso e l’orizzonte degli eventi coincidono. L’orizzonte degli eventi giace completamente all’interno di r r+= S+ cioè esiste una regione fra i due chiamata Ergosfera. Se non esiste un orizzonte degli eventi e si presenta la cosiddetta singolarità nuda (***). Il matematico inglese Penrose ha suggerito l’ipotesi che una singolarità nuda sia proibita (Censore Cosmico).

2a m> 2

La soluzione di Kerr è regolare in tre regioni

91

Geodetiche Nulle Poiché la soluzione di Kerr non è sfericamente simmetrica, non esistono geodetiche nulle radiali. La sorgente rotante trascina con se lo spazio circostante e le geodetiche. Questo effetto relativistico è noto come frame dragging.

Mentre nella teoria newtoniana è possibile, in un sistema di riferimento rotante, nel quale la sorgente sia a riposo, questo non avviene nel caso della Relatività Generale in quanto non esiste un sistema di coordinate, nel quale la soluzione di Kerr coincida con quella di Schwarzschild. Le equazioni delle geodetiche nulle 2 0ds = nella iper-superficie ϑ =costante (in quanto assialmente simmetriche) sono (d’Inverno capitolo 19.6)

dove

e

Nella regione I dove ∆ > 0 e pertanto dr/dt > 0 cioè r l= +& descrive una geodetica nulla verso l’esterno. Analogamente descrive geodetiche nulle verso l’interno. r = −& l L’insieme delle geodetiche nulle verso l’interno e l’esterno gioca nella metrica di Kerr lo stesso ruolo che le geodetiche nulle radiali giocano nella metrica di Schwarzschild. Esse contengono l’informazione sul cambiamento lungo r della struttura dei coni di luce. All’orizzonte degli eventi r r t e += ϕ sono singolari. Come nel caso della metrica di Schwarzschild, questo è ancora una conseguenza di una singolarità delle coordinate in quanto passando alle coordinate di Eddington – Finkelstein essa può essere rimossa (d’Inverno cap. 19.6). Limite Stazionario Per curve nulle nella regione I (cioè fotoni, che girano attorno al Buco nero con dati r e

2 0dr d dsϑ= = =ϑ ) l’elemento di linea di Boyer-Lindquist (5.35) si può scrivere

Risolta in d / dtϕ si ottiene

92

Si vede che queste curve non sono geodetiche. Tuttavia esse toccano le linee di Universo dei fotoni, che girano attorno alla sorgente con assegnati r e ϑ . Il segno positivo nella (5.42) significa d / dtϕ > 0, cioè i fotoni girano attorno alla sorgente nella direzione di rotazione del buco nero.

FIGURA 5.10: Diagramma spaziale della soluzione di Kerr (a^2 < m^2) nel piano equatoriale (Fig. 19.5 di d'Inverno).

Quando si ha 0d / dtϕ ≤ ? A tal scopo bisogna esaminare quando la (5.42) può essere negativa. Nella regione I

Poiché nella (5.42) il denominatore è positivo, si ha

Perciò sulla superficie S+ la derivata 0d / dtϕ = , e ogni particella su questa superficie che cerchi di girare attorno alla sorgente in verso contrario alla sua direzione di rotazione, deve muoversi con la velocità della luce e rimanere stazionario (stazionario relativo ad un osservatore collocato all’infinito).

93

Nella ergosfera i coni di luce ruotano verso la direzione di ϕ fino a che fotoni e particelle saranno obbligati a girare attorno alla sorgente nella direzione del momento angolare (Figura 5.10). Pertanto la superficie è anche la superficie limite per la stazionarietà. La superficie è di tipo tempo, in quanto in due punti dell’asse, dove essa è di tipo nullo e con orizzonte degli eventi

coincidono. Pertanto dove la superficie è di tipo tempo può essere attraversata sia da particelle muoventesi verso l’interno che da particelle muoventesi verso l’esterno.

S+

r r+=

Orbita di una particella nell’equatore di un Buco Nero rotante Come nel caso della metrica di Schwarzschild, le equazioni del moto sono derivate dalla lagrangiana (si veda Shapiro & Teukolsky cap. 12.7). La equazione per cioè moto radiale nel piano equatoriale, si ha

r&

dove µ è la massa a riposo della particella e E e l sono le costanti di integrazione. Per orbite circolari, il potenziale effettivo V deve soddisfare la condizione V = 0 e . Entrambe queste equazioni possono essere risolte in E e l. Dopo molta algebra si ottiene per la energia specifica e momento angolare specifico

0V / r∂ ∂ =

e

Nel limite di si hanno le relazioni corrispondenti della metrica di Schwarzschild. Il segno positivo significa orbite co-rotanti, mentre in segno negativo significa orbite retrograde.

0a →

Orbite circolari sono possibili da fino ad una orbita circolare minima , dove il denominatore nella (5.44) e (5.45) si annulla, cioè

r → ∞ phr

Da questo segue

L’orbita circolare minima corrisponde pertanto all’orbita di un fotone ( v c ). phr ϕ = Non tutte le orbite con sono legate. Per mezzo di una piccola infinitesima perturbazione

diretta verso l’esterno, una particella può portarsi su un’ orbita non legata ( ) e scappare all’infinito (traiettoria asintoticamente iperbolica). Orbite circolari legate ( ) esistono solo per

dove indica l’orbita circolare marginalmente legata con

phr r>

1E >%

1E ≤%

mgr r> mgr 1E =%

94

Si vede che è anche il periastro minimo di tutte le orbite paraboliche. In problemi astrofisici la caduta di particelle dall’infinito è quasi sempre parabolica poiché (

mgr1v∞ << ) . Ogni particella che

penetri a cadrà direttamente nel buco nero. mgr r< Inoltre non tutte le orbite circolari sono stabili. Infatti la stabilità richiede 2 2 0V / r∂ ∂ ≤ ovvero

La soluzione per raggio dell’orbita circolare marginalmente stabile è

con

e

La tabella seguente da un riassunto dei diversi raggi critici delle orbite circolari:

La proprietà che nelle coordinate di Boyer-Lindquist, tendano tutti a m per

è un artefatto delle coordinate. ph mg msr ,r ,r e r+

a m→ La energia specifica e l’energia di legame specifica 1E% E− % per una particella di prova nell’ultima orbita circolare stabile possono essere riassunte nella tabella seguente:

Una interessante proprietà del Buco Nero è l’esistenza di orbite con energia negativa. Risolvendo la equazione del moto (5.43) per E si deriva

dove il segno della radice quadrata è determinato per r . Per avere E < 0 abbiamo bisogno di l < 0 (orbita retrograda)

→ ∞

Il limite della regione delle orbite con energia negativa si determina rendendo il più piccolo possibile il membro di sinistra della disuguaglianza. Questo avviene per 0µ → (particelle ultra-

95

relativistiche) e . Si vede che E < 0 se 0r →& r r+< cioè la ergosfera (dal greco ergos = lavoro) è il luogo delle orbite con energia negativa. Una particella può essere immessa in un’orbita con energia negativa solo all’interno della superficie limite della stazionarietà: essa poi cade immediatamente all’interno del Buco Nero. Estrazione di energia da un Buco Nero Penrose (1969) sfruttò questa proprietà dei buchi Neri per dimostrare con un esperimento ideale che i buchi neri rotanti sono degli immensi serbatoi di energia. Supponiamo di inviare una particella di prova con energia nella ergosfera dove questa particella è stata programmata a separarsi in due. Una delle due particelle va in un’orbita con energia negativa e quindi cade all’interno del buco nero ( ), mentre l’altra particella va in un’orbita con energia positiva ( e quindi torna indietro all’infinto (Figura 5.11).

inE

0downE < 0outE >

La conservazione dell’energia impone

Anche se una parte dell’energia di massa è andata persa nel processo, vi è un guadagno netto di energia all’infinito. L’energia è estratta dalla energia rotazionale del Buco Nero che rallenta un poco quando la energia negativa retrograda della particella viene catturata. Il processo di Penrose non verosimilmente importante in astrofisica in quanto la separazione della particella in due frammenti deve avvenire con velocità relative circa pari a 0.5 c. E’ difficile immaginare processi astrofisici di tale energia. La massima energia estraibile dal processo di Penrose (si veda Frolov & Novikov) è data da

dove 0M è la massa iniziale e il momento angolare iniziale del Buco Nero. La quantità 0a irM si chiama la massa irriducibile ed è data da

Per si ricava 2

0a M= 20

Un’altro modo di scrivere la massa irriducibile è

dove

A parte un fattore numerico, la grandezza A è uguale alla superficie del Buco Nero

dove g è il determinante della 2-metrica (t = costante, r r+= = costante) cioè 22g ( Mr sin )ϑ+= . Da questo segue

96

ovvero

Nel limite di Schwarzschild si ricava 0a → 24 2A ( Mπ= )

FIGURA 5.11: Sezione di un Buco Nero rotante (Fig. 10 di J.P. Luminet, astro-ph/9801252).

. Teorema dell’Area di Hawking In ogni interazione l’ area di superficie di un buco nero non può mai diminuire. Se vi sono più buchi neri la somma delle aree di superficie non può mai diminuire. Possiamo usare il teorema di Hawking per dimostrare che non si può ottenere una singolarità nuda aggiungendo massa ad Buco Nero in rotazione massima nel tentativo di forzarlo ad una più rapida rotazione. Dalla relazione

Con 0Aδ > segue

97

e da questa

e nel caso limite a M →

ovvero

Pertanto 2M rimane sempre maggiore di e l’orizzonte non viene distrutto. La sezione d’urto della particella, che cresce con a/M, va a zero come .

2aa M→

5.4 TERMODINAMICA DI UN BUCO NERO La legge dell’aumento dell’area assomiglia alla seconda legge della termodinamica per l’aumento dell’entropia. Su questa base, Bekenstein (1973) si pose la domanda se fosse possibile sviluppare una termodinamica dei buchi neri. Prima di sviluppare il problema si ricordi che nella classica Teoria della relatività Generale non è possibile uno stato di equilibrio per i Buchi Neri. In quanto un Buco Nero posto in campo di radiazione continuamente assorbe radiazione senza mai arrivare ad uno stato di equilibrio. Se un corpo caldo cade in un Buco Nero, la entropia dell’Universo diminuisce. Poiché questa è una contraddizione della seconda legge della termodinamica, i Buchi Neri devono avere entropia. I corpi che cadono nei Buchi Neri ne aumentano la massa M, il momento angolare L e la entropia S. E’ l’entropia dei Buchi Neri collegata all’area dell’orizzonte? Radiazione di Hawking: creazione di coppie nelle vicinanze dell’orizzonte (teoria quantistica di campo in un campo gravitazionale). Idea: Il vuoto ha una struttura complessa, che permette la creazione, interazione e distruzione di particelle virtuali (di vita breve). Un vuoto normale è stabile, cioè non possono essere create particelle reali (di lunga vita). In presenza di campi esterni (ad esempio ) le particelle virtuali possono trarre energia dal campo circostante e pertanto materializzarsi e diventare particelle reali (di lunga vita).

E,B e Grr r

Hawking (1974, 1975) afferma: il vuoto è instabile nel campo gravitazionale nelle vicinanze di un buco nero. Un buco Nero emette particelle come un corpo nero (trascurando la dispersione delle particelle) con la temperatura di Hawking

dove gravitazione alla superficie κ caratterizza la intensità del campo gravitazionale. Essa vale

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ovvero

la gravitazione superficiale di un Buco Nero (anche rotante) e quindi la sua temperatura sono costanti all’orizzonte e sono determinati dalla massa e momento angolare del Buco Nero. Per a = M si ha k = 0 (5.48) e (5.47) : cioè in un buco nero rotante alla massima velocità la gravitazione superficiale svanisce e la temperatura di Hawking è nulla.

0HT =

Nel limite di Schwarzschild J = 0 si ha

cioè la temperatura di Hawking di Buco Nero di Schwarzschild diventa

Essa è inversamente proporzionale alla massa del Buco Nero e il suo valore è dato da una combinazione di costanti fondamentali della Fisica. Dalla definizione di massa di Planck

si ha

ed infine

Per un Buco Nero con massa plM m>> le correzioni quantistiche sono descrivibili in maniera semiclassica. Per plM m<< è necessaria la teoria quantistica della gravitazione. La radiazione di Hawking provoca una perdita di energia (massa) del Buco Nero e porta alla fine alla evaporazione del Buco Nero. Qui viene meno il teorema della superficie, in quanto assieme alla massa si annulla anche la superficie del Buco Nero

dove . Per la diminuzione temporale della massa del Buco Nero è espressa dalla relazione

2 4 3 260Bk /( c )σ π= h

dove , 3 61 30 8 2 6 10b /( ) .π −= ≈ × 5 45 6 10pl G c . secτ −≡ = ×h 4 e N è il numero di stati e tipi di particelle che saranno irradiati.

99

Il tempo di vita del Buco Nero si deriva da

per un buco nero con massa solare anni. 6510Ht ≈Quando la massa del Buco Nero tende a zero, la sua temperatura di Hawking si innalza ed N aumenta. Ha luogo una fase finale dell’evoluzione simile ad una esplosione. La energia della radiazione di Hawking arriva fino a circa 100 15Mev(10 g/M)ω =h . La evaporazione del Buco Nero contribuisce alla radiazione Gamma di fondo. Dalle osservazioni si trova che il limite superiore al contributo da parte di Buchi Neri in evaporazione alla densità cosmica è molto piccolo (circa

1510 810( g )BH

−Ω < ). Domanda frequente: l’evaporazione del Buco Nero è completa o rimane una massa a riposo

rest plM m≈ ? La risposta a questa domanda richiede una teoria quantistica della gravitazione. Primo Principio della Termodinamica dei Buchi Neri: Invertendo la condizione per la superficie di un Buco Nero A(M,J) si ottiene una relazione l’energia interna (massa)

Da questo segue che le energie interne di due Buchi Neri stazionari che differiscono nell’area dA e nel momento angolare dJ differiranno della quantità

dove 4H J /( MA )πΩ ≡ è la velocità angolare e H dJΩ è la energia di rotazione del Buco Nero. Questa relazione è identica al Primo Principio della Termodinamica.

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Regione Termodinamica Buco Nero 0 Temperatura T

costante in un corpo in equilibrio termico

κ costante in tutto l’orizzonte di un buco nero stazionario

1 dE=TdS+ Lavoro reversibile 8 H

H H H

dM dA dJ

=T dS + dJ

κπ

= + Ω

Ω

2 dS >= 0 in ogni processo

dA ≥ per ogni processo classico. Per ogni processo

0H mS S S∆ ≡ ∆ + ∆ ≥%

3 Non esiste processo che porti allo stato T=0

Non esiste processo che porti allo stato κ = 0 ( ) 2 2a M<

24H plS A /( l= )

k

è la entropia di Bekenstein-Hawking e è la entropia di materia e radiazione fuori dal Buco Nero.

mS

Per il sole mentre per un Buco Nero di massa uguale , cioè la nascita di un buco Nero implica una gigantesca perdita di informazione. Questa è una conseguenza del Teorema “no-hair” (niente capelli).

5810Sole BS ≈ 7710BH ( Sole ) BS k≈

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