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LA ENSEÑANZA DE LA ADICIÓN Y LA SUSTRACCIÓN
CAPITULO SEGUNDO PRIMERA PARTE
Abstract
Este artículo trata sobre el programa preparatorio para la introducción
de los 4 procesos fundamentales que deben seguirse para la
enseñanza de las operaciones básicas de la adición y sustracción en la
escuela primaria. El contenido del artículo contempla los siguientes
aspectos: enseñanza de las adiciones y sustracciones básicas,
enseñanza de adición de columnas simples, adición de números
compuestos, el proceso de llevar en la suma, sustracción de números
compuestos, el vocabulario específico de la sustracción y la prueba de
la sustracción.
Descriptores: Didáctica / Aritmética
I.- INTRODUCCION.
II.- ENSEÑANZA DE LAS ADICIONES Y SUSTRACCIONES BASICAS.
III.- ENSEÑANZA DE ADICION DE COLUMNAS SIMPLES.
IV.- ADICION DE NUMEROS COMPUESTOS.
V.- EL PROCESO DE LLEVAR EN LA SUMA.
VI.- SUSTRACCION DE NUMEROS COMPUESTOS.
VII.- EL VOCABULARIO ESPECIFICO DE LA SUSTRACCION.
VIII.- LA PRUEBA DE LA SUSTRACCION.
EDUCACIÓN: REVISTA PARA EL MAGISTERIO Nº 125 · 1966 Págs. 50-83
LA ENSEÑANZA DE LA ADICION Y LA SUSTRACCION EN LA ESCUELA PRIMARIA
I.- INTRODUCCION
Un programa preparatorio o de apresto para la introducción de los cuatro
procesos fundamentales debe abarcar aspectos que propendan a la comprensión de
los conceptos básicos. En consecuencia, debe propiciar en el niño el aprendizaje de:
1.- Valor cardinal y ordinal de los números hasta 10.
2.- La secuencia y el orden en que se repiten los dígitos hasta 100.
3.- El valor de lugar o posición de los dígitos en cantidades de dos cifras.
4.- Representación concreta (con materiales manipulables) de cantidades de una o
dos cifras.
5.- Agrupación y reagrupación de dos grupos de materiales manipulables.
Deben tenerse en cuenta ciertas recomendaciones para cuando se piense
cumplir con las actividades de iniciación en el aprendizaje de los procesos básicos.
Tales recomendaciones son:
1.- Aplicación del principio de "descubrimiento" al trabajo de los primeros grados
igual a como se hace en los grados superiores.
2.- Utilización individual por parte de los alumnos de los materiales que los
capaciten para descubrir relaciones entre cantidades.
3.- Lograr que el alumno comprenda que cada representación simbólica que
anote debe registrar alguna experiencia significativa.
4.- Buscar que el alumno practique determinada operación básica en amplia
variedad de situaciones.
5.- Aprovechar las situaciones cuantitativas que surjan en el aula para enriquecer
los significados de los conceptos envueltos en ellas.
El cumplimiento de las recomendaciones apuntadas habilita al maestro para
que lleve a cabo la estructuración de efectivo programa para la enseñanza de la
adición y la sustracción.
II.- ENSEÑANZA DE LAS ADICIONES Y SUSTRACCIONES BASICAS. A.- Significado.
Una operación básica es la combinación de dos números dígitos y su
respuesta. Ejemplos:
3 + 4 = 7; 8 + 2 = 10; 2 x 6 = 12.
Hay 100 operaciones básicas de sumar y 100 de restar. De estas operaciones,
19 comprenden el cero y las otras 81 comprenden todos los agrupamientos posibles
de los nueve dígitos restantes. Se pueden formar dos operaciones básicas de adición
por cada agrupamiento que tenga dos números diferentes, con intercambio de estos
últimos.
Las operaciones básicas derivadas del agrupamiento 3 son 2 + 3 = 5 y 3 + 2
= 5
Las 100 operaciones básicas de adición pueden ser organizadas de acuerdo
con la siguiente clasificación:
a) 19 operaciones con cero.
b) 45 operaciones con totales de 10 ó menos de 10, con exclusión de ceros.
c) 36 operaciones con totales mayores de 10.
Los agrupamientos con cero en adición son:
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Los agrupamientos que tienen sumas de 10 ó menores de 10, con exclusión de
ceros son:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2 3 4 5 6 7 8
3 + 3 + 3 + 3 + 3 +
3 4 5 6 7
4 + 4 + 4 +
4 5 6
5 +
5
Los agrupamientos que tienen sumas mayores que 10 son:
2 +
9
3 + 3 +
8 9
4 + 4 + 4 +
7 8 9
5 + 5 + 5 + 5 +
6 7 8 9
6 + 6 + 6 + 6 +
6 7 8 9
7 + 7 + 7 +
7 8 9
8 + 8 +
8 9
9 +
9
Siendo la adición y la sustracción procesos inversos, la misma clasificación se
aplica a las sustracciones básicas. Así, para el agrupamiento 3 + 6, las cuatro
operaciones derivadas de los procesos relacionados son 3 + 6 = 9; 6 + 3 = 9; 9 – 3 =
6; 9 – 6 = 3. Las 19 operaciones de sustracción que envuelven ceros, están
formadas por las sustracciones: cero de sí mismo, cero de cada uno de los otros
nueve dígitos y de las sustracciones de los números iguales como: 4 – 4 = 0.
El Programa de Educación Primaria señala para Primer Grado las 45
operaciones básicas de sumar con sumas de 10 ó menos de 10, con exclusión de
operaciones con cero, y sus correspondientes de restar. Se requiere que al final del
Primer Grado los alumnos dominen dichas operaciones.
B.- Enseñanza de las Operaciones Básicas de Sumar.
Durante el proceso de contar los alumnos aprendieron los diferentes
agrupamientos (en dos conjuntos) de cada número.
Ahora es necesario introducir la notación de las operaciones básicas y esto sí
es nuevo para el niño. Si un niño tiene 2 caramelos y le dan 1 más, él sabe que ahora
tiene 3 caramelos, pero la representación simbólica de esta acción es extraña para él.
Por esta razón las notaciones de adiciones y sustracciones no deben presentarse
simultáneamente. Para lograr la distinción entre las dos combinaciones que son
similares, los alumnos deben aprender primero algunas combinaciones de sumar. El
Programa señala 15 combinaciones y luego las correspondientes sustracciones.
Cuando aprenden las combinaciones de sustracción pueden también descubrir la
relación entre los dos procesos. En esta forma el aprendizaje de cada proceso
complementa al otro.
La enseñanza de las operaciones básicas de sumar con totales mayores que
10 y sus respectivas sustracciones pueden enseñarse simultáneamente, pero para
esta etapa ya los niños deben estar muy familiarizados con las representaciones
simbólicas y los significados de las combinaciones deben tener una comprensión
clara de los signos "+" y "-" y no tener ninguna duda o confusión en su uso. Es
correcto también cumplir el mismo plan de enseñanza que se usó para las primeras
combinaciones, es decir, enseñar algunas combinaciones de sumar y luego las
correspondientes de restar. Así, los alumnos deberían descubrir todas las
combinaciones de sumar con un mismo total, por ejemplo 12. Luego deberían derivar
las sustracciones correspondientes. De esta manera los alumnos amplían su
comprensión de la relación que hay entre los dos procesos.
No hay investigaciones que determinen cuál es la mejor organización del orden
de enseñanza de las operaciones básicas de adición y de sustracción. Lo que sí es
cierto es que cualquier orden de enseñanza que se escoja debe capacitar a los
alumnos para que entiendan las relaciones entre dichas operaciones. Las
combinaciones no deben ser aprendidas en forma aislada. Cualquier orden de
enseñanza de combinaciones correspondientes a un proceso, debe también capacitar
a los alumnos para que descubran un patrón, el cual caracteriza a un grupo o
conjunto de combinaciones y merece ser considerado.
Los alumnos deberán estar capacitados para descubrir relaciones entre las
combinaciones si éstas se introducen como "familias" o si son agrupadas para "aplicar
generalizaciones a un grupo o conjunto de combinaciones". El término conjunto es un
término matemático para una colección. Los objetos comprendidos en un conjunto
son llamados miembros o elementos del conjunto. Así, todos los números pares
constituyen un conjunto, todos los números impares constituyen otro conjunto. Los
números pares de 10 a 98, inclusive, constituyen el conjunto de los números pares de
dos cifras. Una familia o conjunto en adición comprende todas las combinaciones que
hacen un mismo total y las que les corresponden de sustracción forman las
combinaciones de sustracción para dicha familia. Así, las combinaciones para la
familia del 7 son las siguientes:
1 + 6 = 7 7 – 6 = 1
2 + 5 = 7 7 – 5 = 2
3 + 4 = 7 7 – 4 = 3
4 + 3 = 7 7 – 3 = 4
5 + 2 = 7 7 – 2 = 5
6 + 1 = 7 7 – 1 = 6
Si se incluyen los ceros hay dos combinaciones más en cada proceso, estas
son:
7 + 0 = 7; 0 + 7 = 7; 7 - 0 = 7 y 7 – 7 = 0.
Del estudio de las operaciones básicas arriba señaladas, los alumnos pueden
llegar a hacer los siguientes descubrimientos:
a) Uno de los números en cada combinación sucesiva aumenta en uno y el
otro número disminuye en uno.
b) Si se intercambian los números en una combinación no se altera la suma.
c) No hay ninguna combinación en la cual los dos números sean iguales. La
suma de cada agrupamiento es un número impar. Sí la suma fuera un
número par, los números en una de las combinaciones deberán ser
iguales.
d) Para cada familia de 10 ó menos, el número de combinaciones en una
familia es uno menos que el número de la familia, silos ceros no se
incluyen. Si se incluyen los ceros, el número de combinaciones será uno
más que el número de la familia. (Para las familias del 11 al 18, inclusive, el
número de combinaciones disminuye en uno por cada familia sucesiva,
comenzando con 8 combinaciones para la familia del 11, 7 combinaciones
para la familia del 12...).
e) La adición y la sustracción son procesos opuestos.
Excepto la segunda regla todas las demás generalizaciones de adición se
aplican a la sustracción. En la sustracción los alumnos deben descubrir que el número
de la "familia" permanece igual en cada conjunto de combinaciones. Luego cuando el
número sustraído disminuye en uno el resultado aumenta en uno más.
De las generalizaciones dadas puede verse que si se introducen las
combinaciones de adición y sustracción por familias, se ofrece a los niños amplias
oportunidades para descubrir patrones y relaciones que caracterizan a un conjunto o
familia de combinaciones. Es evidente que la mayoría de los alumnos de grados
inferiores no podrá enunciar todas las generalizaciones dadas anteriormente. Pero si
podrán hacer los descubrimientos que aparecen en los apartes a) y b). El maestro
puede guiar a los niños más avanzados para que hagan todas las generalizaciones
anotadas.
Un plan recomendable para introducir las combinaciones básicas consiste en
enseñarlas por familias. Otro plan efectivo consiste en agrupar las combinaciones de
acuerdo con un patrón común. En investigaciones hechas se encontró que los
alumnos que habían sido enseñados a descubrir un patrón particular perteneciente a
un grupo de combinaciones de adición, aprendieron en forma más efectiva que
cuando un grupo comparativo aprendió las combinaciones en determinada secuencia,
pero sin identificar el patrón. Las adiciones básicas que envuelven a "1" forman un
grupo que tiene una identificación especial. El alumno debe descubrir que sumando
"1" a un número, éste se transforma en el número siguiente. Más adelante daremos
las orientaciones para enseñar las adiciones básicas siguiendo patrones.
El maestro debe introducir las combinaciones básicas agrupadas por familias,
luego, cuando se han presentado hasta el 10, puede agruparlas de acuerdo con un
patrón común.
C.- Materiales.
No hay una lista estandarizada para equipar un aula con materiales adecuados
que los alumnos puedan manipular. Esto depende de los recursos del ambiente y de
la habilidad del maestro. Semillas, tapas, palitos, chupetas de cartón , corchos, fichas
de cartón y otros, son materiales de bajo costo, que permitirán a los niños trabajar con
las representaciones simbólicas. Es indispensable contar con un “franelógrafo”, un
“ábaco” , un “cartel de valor de lugar” y una colección de 45 cartas plegadizas
(doblables) como dominoes para estudiar dichas combinaciones. Otra ayuda efectiva
es la pizarra “mágica” o magnética. Consiste en una pieza de zinc de superficie lisa.
Un tamaño conveniente es 40 cm. x 50 cm. En el comercio se consiguen bandejas
aislantes del calor que sirven perfectamente para este uso. Se preparan siluetas de
animales u objetos y se les fija un trocito de imán en la parte posterior, lo que permitía
su adherimiento a la pizarra de metal.
D.- Cómo introducir una Familia Numérica de Adición.
Es muy probable que muchos de los alumnos de Primer Grado conozcan
oralmente la combinación básica 3 + 1 = 4, pero su representación simbólica no la
conocen.
Nuestro Programa de Educación Primaria señala como primera lección la
enseñanza de agrupamientos de 4 pero las sucesivas lecciones presentan
agrupamientos para otros números. Consideramos prudente organizar la enseñanza
de acuerdo con la didáctica de esta materia para iniciar el trabajo de la adición con la
combinación 3 + 1 = 4 ó 2 + 2 = 4, y cumplir el siguiente orden de actividades:
a) Pida a cada niño que muestre el agrupamiento con tapas o en palitos (en
sus asientos). Esté seguro de que el niño sabe cómo expresar oralmente la
representación.
b) Invite a un niño a que muestre la combinación en un franelógrafo y use
siluetas de objetos y figuras geométricas.
c) Permita a otro niño representar la combinación con dibujos de cuadrados o
círculos en el pizarrón.
d) Muestre a los niños una tarjeta como la del dibujo e ínstelos a que lean la
combinación en ella representada. Luego mueva la tarjeta de manera que
muestre el otro agrupamiento (1 + 3) y proceda de la misma manera que
para el caso anterior.
FIGURA 1
e) Escriba las combinaciones en el pizarrón de la siguiente manera:
1) 3 y 1 es 4 y 1 y 3 es 4.
2) La forma horizontal o ecuacional:
3 + 1 = 4 y 1 + 3 = 4.
3) La forma vertical o de columna:
3 1
+ 1 y + 3
4 4
El maestro debe guiar a los alumnos para que discutan el uso de los
signos: "+" e "-". Permita que los niños digan el significado de las luces de
semáforo, de las señales que presentan niños caminando, que se
encuentran cerca de las escuelas., etc. Estos son signos que le indican a
los conductores lo que deben hacer: seguir la marcha en luz verde,
detenerse en luz roja, despacio cerca de las escuelas. Así mismo, la
Aritmética usa signos que indican lo que vamos a hacer con los números.
El signo "+" indica que vamos a sumar; esto significa reunir dos o más
grupos en un solo grupo. El signo "=" indica que dos cosos son iguales.
f) Leer las combinaciones en forma simbólica: "3 más 1 igual 4" y "1 más 3
igual 4".
El próximo agrupamiento que se introduce será "2 + 2". La secuencia de
actividades para todos los agrupamientos será la misma indicada para el
agrupamiento "3 + 1". Los alumnos usarán sus tapas para comparar los
agrupamientos "1 y 3" con "2 y 2". Deben hacer los siguientes descubrimientos acerca
de los dos agrupamientos:
a) Los resultados son iguales.
b) Los dos grupos en "2 y 2" son iguales.
c) Moviendo una tapa del grupo de las 3 tapas y colocándola en el grupo de 1
tapa, los dos grupos se hacen iguales.
Por último los alumnos escribirán las tres combinaciones que constituyen la
"familia 4":
3 + 1 = 4, 1 + 3 = 4, 2 + 2 = 4.
E.- Reconocimiento de las Formas Estructurales de una Familia.
El autor John Mahoney en su libro "Aritmética en el Nivel Primario", describe
una efectiva manera de desarrollar en los niños la habilidad en el reconocimiento de
los diferentes agrupamientos de una familia numérica. Consiste la misma en
demostrar en el franelógrafo, mediante la utilización de siluetas recortadas en forma
de círculos, cuadrados o triángulos, la adición de una familia numérica. Por ejemplo,
para la familia del "4", se recortan siluetas de color verde y de color rojo, luego se las
arregla sobre el franelógrafo en la siguiente forma: (todas de un solo color).
FIGURA 2
El maestro hace que la clase identifique y nombre el grupo representado.
Luego cubre con una hoja de papel la representación y cambia el primer círculo por
uno de otro color. El maestro descubre la representación para que los alumnos vean
el agrupamiento 1 y 3.
FIGURA 3
Uno de los alumnos identifica el agrupamiento y dice la operación básica
representada. Si el agrupamiento original se presentó con los círculos rojos y el nuevo
con círculos verdes, el número del círculo verde se da primero, como 1 y 3, Los
diferentes agrupamientos para el número 4 se muestran de inmediato:
4 1+3 2+2 3+1
FIGURA 4
En esta misma forma se mostrará cada una de las otras familias numéricas,
hasta llegar a la que presenta 10 como total.
F.- Cómo Introducir una Familia Numérica en Sustracción.
La enseñanza de las sustracciones básicas de restar debe iniciarse tomando
como fundamento la estrecha relación que existe entre éstas y las de sumar. Sin
embargo, para las familias numéricas del 11 al 18, los dos procesos pueden
introducirse separadamente.
La sustracción, como se explica en el Suplemento Didáctico para Primer
Grado, en nuestro programa vigente, tiene diferentes significados. Mas, para la
introducción de tal proceso sólo debe utilizarse el significado de "quitar", "tomar" o
"cuántos quedan". De esta manera, el alumno que tiene un grupo cualquiera de
objetos, "quita" o "toma" algunos de ellos para encontrar la cantidad que le queda.
La secuencia de actividades para introducir las operaciones básicas de restar
es similar a la que se usó para introducir las primeras operaciones básicas de sumar.
Usando la familia numérica 4, como tipo para cada familia, las actividades serán las
siguientes:
a) Dramatizar la operación básica y formar un grupo de 4 niños de pie frente a
la clase e indicar a uno de ellos que se separe del grupo. Luego invitar al
resto de los alumnos para que describa la situación numérica. Seguidamente
repetir el proceso para mostrar cuánto es 3 "tomado" de 4.
b) Estimular a los niños para que muestren los agrupamientos mediante el uso
de materiales manipulables (palitos, tapitas, metras, etc.) y luego describan
las representaciones oralmente.
b) Invitar a los alumnos a que representen las combinaciones en el
"franelógrafo" o en la "pizarra magnética", mediante el uso de siluetas
recortadas en cartulina, fieltro, etc.
e) Invitarlos a que representen cada combinación en el pizarrón y a emplear
dibujos como los que aquí se ilustran.
FIGURA 5
e) Escribir las combinaciones en el pizarrón en la forma siguiente:
1) “4 menos 1 es 3” y "4 menos 3 es 1".
2) "4 - 1 = 3" y "4 – 3 = 1".
3) La forma vertical o de columna:
4 4
- 1 y - 3
3 1
El maestro guiará a los alumnos para que descubran el significado del signo
"-". También deben descubrir que en sustracción se tiene un grupo total y
que de este grupo se separa otro grupo. En este nivel de enseñanza de la
sustracción el proceso significa: quitar un cierto número de un grupo o
número dado. Cuando el alumno enriquezca su comprensión, podrá
descubrir que la sustracción lleva en sí otros significados.
f) Pida a un alumno que muestre las operaciones básicas de sumar
correspondientes, o sea 3 + 1 = 4 y 1 + 3 = 4.
g) Pida a la clase que diga en qué se diferencia la adición de la sustracción.
Es importante que los alumnos lleguen a descubrir lo siguiente:
1) En la adición formamos un grupo de otros dos grupos. (Más de dos
grupos pueden combinarse, pero en este nivel de comprensión los
alumnos combinan sólo dos).
2) En la sustracción se "quita" parte de un grupo para encontrar "cuánto
queda".
Cada paso que el alumno siga para demostrar cualquier situación de adición o
sustracción, por medio de materiales manipulables o símbolos, debe ir acompañada
de una descripción verbal por parte del mismo alumno.
El alumno puede leer la notación de esta combinación 4 – 1 = 3 así: "cuatro
menos 1 es 3".
La próxima combinación que se introduce es 4 - 2 = 2. Al efecto, deben
cumplirse las mismas actividades señaladas para las combinaciones descritas
anteriormente, luego de lo cual los alumnos hacen un estudio en tarjetas (11 cm. x 22
cm.) de todas las combinaciones aprendidas.
El diagrama siguiente muestra la representación: "3 + 1 = 4".
4 - 1 3
3 +1 4
FIGURA 6
Es muy útil preparar juegos de tarjetas para que los alumnos trabajen por
parejas y estudien las combinaciones aprendidas. Uno de los alumnos puede mostrar
la tarjeta con el agrupamiento y el otro debe dar la respuesta representada por las
pintas, o también buscar la tarjeta con la representación simbólica para aparearla con
la mostrada.
G.- Agrupamiento de Combinaciones Básicas para Facilitar Generalizaciones.
Primeramente, el maestro presenta las combinaciones básicas de acuerdo con
familias numéricas cuyas sumas no excedan de 10, acompañadas de sus respectivas
sustracciones. Luego se las agrupa de tal manera que la clase pueda descubrir
generalizaciones que se apliquen a determinado conjunto o grupo clasificado de
combinaciones.
Por ejemplo, con las adiciones cuyas sumas arrojan 10 ó menos de 10 (con
exclusión de las agrupaciones con ceros, por supuesto) pueden ser organizados
varios grupos. Veamos:
a) Grupo de los "dobles": 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +
1 2 3 4 5
b) Grupo de los "vecinos de los dobles": 1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 5 + 4 +
2 1 2 3 3 4 4 5
c) Grupo de los "unos": 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 +
1 1 2 1 3 1 4 1 5
Los alumnos deben descubrir el patrón que caracteriza a la suma en cada
clasificación. Cada suma sucesiva en la secuencia de los "dobles" aumenta en 2. Los
alumnos pueden usar este descubrimiento para encontrar la suma en una nueva
combinación o para verificar la suma de una combinación ya presentada. Así: 3 + 3 =
6 porque 2 + 2 = 4. La suma de 6 + 6 tiene que ser 2 más que la suma de 5 + 5.
Luego la suma de 6 + 6 es 12.
Para los alumnos es bastante fácil encontrar la suma de una combinación de
"vecinos de dobles", ya que lo único que tienen que hacer es localizar la combinación
de los "dobles" correspondiente a uno de los números del agrupamiento y establecer
la comparación. Por ejemplo: la suma 2 + 3 es 5, porque 2 + 2 = 4 y 3 es 1 más que 2.
De la misma manera podrían utilizar la combinación "doble" 3 + 3 y pensar que si es 2
uno menos que 3, la suma de 2 + 3 debe ser 1 menos que 6, o sea 5.
El tercer conjunto incluye las combinaciones con 1. El alumno descubre que
sumando 1 a un número, el número resultante es el siguiente en la serie numérica.
En cuanto a las generalizaciones que los alumnos deben hacer en relación a
las combinaciones con ceros o nueves tenemos las siguientes:
d) Los Nueves:
Sumar 9 a un número es lo mismo que sumarle 10 al número y disminuir 1 a
la suma.
9 + 3 + 9 + 4 + 9 + 5 + 9 + 6 + 9 + 7 +
3 9 4 9 5 9 6 9 7 9
e) Los Ceros:
Si sumamos cero a un número, o a un número le sumamos cero, la suma es
igual al número.
0 + 1 + 0 + 2 + 0 + 3 + 0 +
0 0 1 0 2 0 3
4 + 0 + 5 + 0 + 6 + 0 +
0 4 0 5 0 6
7 + 0 + 8 + 0 + 9 + 0 +
0 7 0 8 0 9
f) Grupo Mixto:
No hay generalización que se pueda establecer y aplicar a los
agrupamientos de la siguiente clasificación:
5 + 3 + 6 + 3 + 7 + 3 + 8 + 3 +
3 5 3 6 3 7 3 8
6 + 4 + 7 + 4 + 8 + 4 + 7 + 5 + 8 + 5 + 8 + 6+
4 6 4 7 4 8 5 7 5 8 6 8
Este grupo de combinaciones es el de más difícil aprendizaje por parte de los
alumnos, puesto que no presenta un patrón que les permita estructurar una regla de
fácil y práctica aplicación.
Las generalizaciones dadas para la adición son similares a las que se
establecen para la sustracción.
H.- Cómo Organizar y Fijar las Combinaciones Básicas.
Una vez cumplidas las actividades anteriormente apuntadas, los alumnos
estarán en capacidad de ordenar sus conocimientos a nivel abstracto. Esto último es
de capital importancia y para lograrlo es necesario que el maestro proceda muy
organizadamente. Ejemplifiquemos: se desea que los alumnos estructuren la familia
del "8". Primeramente se les orienta para que escriban las adiciones básicas que
arrojen 8 como total. Luego se les pregunta qué patrón han seguido para la
elaboración de las mismas y se procede a discutir un tanto la situación. Este
intercambio de ideas permitirá el arribo a la organización adecuada de dichas
adiciones básicas que es la siguiente:
7 + 1 + 6 + 2 + 5 + 3 + 4 +
1 7 2 6 3 5 4
De inmediato se les pide que escriban las sustracciones correspondientes,
cuya ordenación será la siguiente:
8 - 8 - 8 - 8 - 8 - 8 - 8 -
1 7 2 6 3 5 4
Además del ordenamiento anterior, pueden establecerse otros como los
siguientes:
8 – 1 = 7 8 – 7 = 1
8 – 2 = 6 8 – 6 = 2
8 – 3 = 5 8 – 5 = 3
8 – 4 = 4 8 – 4 = 4
8 – 5 = 3 8 – 3 = 5
8 – 6 = 2 8 – 2 = 6
8 – 7 = 1 8 – 1 = 7
Otra actividad que puede desarrollarse para el mismo propósito que las
anteriores es la siguiente:
Diga a los niños: " hay varias sustracciones en las que el resultado es 2, por
ejemplo: 3 - 1 = 2". "Piensen y luego escriban en orden otros ejemplos de
sustracciones que también tengan como resultado 2".
Seguramente que los mejores ejercicios serán presentados así:
3 – 1 = 2
4 – 2 = 2
5 – 3 = 2
6 – 4 = 2
7 – 5 = 2
8 – 6 = 2
9 – 7 = 2
10 - 8 = 2
11 - 9 = 2
Para que los alumnos dominen efectivamente las combinaciones básicas, es
menester que se cumpla con ellos actividades en las que deban emitir respuestas con
mucha prontitud. Pero téngase muy en cuenta que deben ser actividades de interés
para ellos, y no de simple memorización.
Al efecto, se recomienda el empleo del material llamado "Muestra la
Respuesta", que consiste en un juego de tarjetas con las combinaciones básicas, otro
con las respectivas respuestas y un bolsillo hecho de cartulina donde el alumno ubica
el resultado de una combinación dada. (Ver ilustraciones).
6 9 - 3
FIGURA 7
También se recomienda que los alumnos copien los agrupamientos (15 cada
vez) del pizarrón y que a una señal dada comiencen a escribir las respuestas.
Previamente se ha establecido que el alumno que vaya terminando levante la mano y
voltee su hoja de trabajo. Una vez que los primeros cinco niños hayan concluido se da
la orden de interrumpir la actividad. Seguidamente se anotan los resultados en el
pizarrón y los que no completaron el trabajo tienen la oportunidad de hacerlo. A estos
últimos se les comunica que si desean dedicar unos minutos al estudio de las
combinaciones que en un principio no resolvieron y después repetir la actividad con
más rapidez, pueden hacerlo. Si aceptan, se copian de nuevo los agrupamientos en la
pizarra, pero ordenados de otra manera.
El empleo de las llamadas "tarjetas de relación" es también gran ayuda, puesto
que permite al alumno establecer comparaciones entre el proceso de la adición y el
de la sustracción. Consiste este material en rectángulos de cartulina doble faz, de
aproximadamente 30 cm. x 10 cm., sobre los que se anotan las combinaciones de
sumar con las cuales se esté trabajando, (ver ilustración). De esta manera el niño
puede decir las adiciones y sustracciones básicas que estén relacionadas con los
números que en dichas tarjetas aparezcan escritos.
2 7 9 6 8 14
FIGURA 8
Combinaciones derivadas de las contenidas en las dos tarjetas que arriba se
muestran:
2 + 7 = 9 6 + 8 = 14
7 + 2 = 9 8 + 6 = 14
9 – 7 = 2 14 – 8 = 6
9 – 2 = 7 14 – 6 = 8
Cabe advertir que estas operaciones básicas deben ser utilizadas en
situaciones problemáticas de interés para los alumnos.
Un tarjetero para representar simbólicamente una combinación dada, resulta
muy útil. Este consiste en una lámina de cartón de 70 cm. x 30 y 5 ranuras con
ganchitos para colocar las tarjetas con las cifras y signos que presente la
combinación. La actividad principal que se cumple con este recurso es la de hacer
que los niños inserten las tarjetas que falten, con el signo o con la cifra, para
completar la expresión correcta. Ejemplo:
El maestro plantea en el tarjetero lo siguiente:
7 + 3 = _____
El alumno deberá colocar la tarjeta con el número 10 que es precisamente lo
que completa una expresión verdadera. O bien coloca:
7 + _____ = 10
y el alumno insertará la tarjeta con el número 3.
También el maestro puede proponer lo siguiente:
7 ____ 3 = 10
y el alumno insertará la tarjeta con el signo + que hace verdadera la expresión.
Lo mismo podrá hacerse para la sustracción, la multiplicación y la división.
6 + 3 = 9
FIGURA 9
III.- ENSEÑANZA DE ADICION DE COLUMNAS SIMPLES.
Llamamos columnas simples a combinaciones de 3 ó más dígitos como 2 + 3 +
1= 6. Hay tres tipos de "columnas".
a) La que arroja un total inferior a diez.
Ejemplos:
1 + 4 + 4 + 3 +
2 1 2 3
3 2 3 1
6 7 9 7
b) La que arroja un total superior a diez.
Ejemplos:
6 + 7 + 4 + 5 +
2 1 2 3
3 4 6 3
11 12 12 11
c) La que arroja un total superior a diez solamente con las dos primeras cifras.
Ejemplos:
4 + 8 + 4 + 9 +
7 4 8 2
3 5 4 4
14 17 16 15
Es conveniente que los niños reconozcan todas las situaciones de su vida
(escuela y bogar) en que tengan necesidad de sumar tres números: comprando,
midiendo, vendiendo o contando cosas. Dejemos que narren sus experiencias en este
sentido, para que aprendan que la suma no se usa sólo con dos números sino
también con tres.
El maestro debe estar seguro de que los niños han descubierto la suma de tres
números con material concreto antes de presentársela en forma simbólica.
No será muy difícil para los alumnos hacer esto, porque ya adquirieron la
habilidad de escribir las combinaciones básicas.
El maestro puede decir por ejemplo:
"Tomen 6 tapas y hagan 3 grupos de diferentes maneras".
"Después Uds. van a escribir todas las sumas posibles con este total 6".
Los niños escribirán:
1 + 4 + 1 + 2 + 3 + 3 + 1 + 2 + 1 +
1 1 4 2 1 2 2 1 3
4 1 1 2 2 1 3 3 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6
Ahora los niños deberán tener la oportunidad de usar sus conocimientos en
diferentes situaciones.
Hasta ahora hemos hablado de los dos primeros tipos de columnas, ya que el
tercer tipo encierra una dificultad diferente. Para que los niños se enfrenten a esta
situación necesitan de cierta preparación previa.
Ejemplo: 5 +
8
4
17
En este caso la suma de los dos primeros números (5 + 8) es un número
compuesto de dos dígitos que será adicionado a un número simple o sea 13 + 4.
Antes de dar a los niños columnas con esta dificultad hay que prepararlos con
actividades de suma de un número compuesto con uno simple:
15 + 15 + 15 + 15 + 16 +
2 1 3 4 2
Si los alumnos conocen los principios de nuestro sistema de numeración
decimal, les será fácil observar que en estos casos se suscita un aumento de las
unidades mientras que las decenas permanecen iguales.
Los maestros necesitan examinar con cuidado cada nuevo conocimiento para
saber qué preparación anterior los niños deben tener.
Después se trabajará con casos más difíciles:
17 + 18 + 16 +
4 5 8
En estas sumas hay que llevar una decena para ser adicionada a otra decena.
Antes que los niños entiendan bien el sistema de numeración no es posible realizarlas
con comprensión. El uso del "Cartel numérico del 100" y de la "franja numérica" se
recomienda ampliamente en estas adiciones.
IV. - ADICIÓN DE NUMEROS COMPUESTOS.
Hay una secuencia de dificultades.
a) Suma de decenas exactas:
Ejemplo:
20 + 50 + 30 + 40 +
30 10 40 10
b) Uno de los dos sumandos está formado por decenas exactas:
Ejemplo:
26 + 35 + 10 + 20 +
20 10 42 32
c) Suma de números compuestos sin cero y sin llevar:
Ejemplo:
23 + 42 + 25 +
45 34 11
d) Sumas con dificultad de llevar:
Ejemplo:
23 + 45 + 34 +
18 16 19
e) Sumas de centenas exactas:
Ejemplo:
200 + 400 +
100 200
f) Suma de centenas y decenas exactas:
Ejemplo:
200 + 300 + 400 +
10 50 60
g) Suma de números compuestos de tres dígitos sin llevar y llevando:
Ejemplo:
132 + 243 + 347 + 328 +
243 122 215 191
h) Otras dificultades:
Ejemplo:
436 + 25 +
24 134
2 27
Consideraciones generales.
En todos estos casos los niños requieren mucha comprensión. Necesitan
conocer bien el sistema decimal de numeración y el valor de cada dígito de acuerdo
con el lugar que ocupa. Con estos conocimientos y las habilidades para trabajar con
las combinaciones básicas, los niños tendrán pocas dificultades para comprender y
aprender la adición de dos números compuestos sin llevar.
Se usará el "Cartel de Valor del Lugar", "el ábaco", las cajas numéricas para
unidades, decenas y centenas y dibujos como los siguientes:
13 +
24
37
FIGURA 10
También el maestro presenta las cantidades así:
13 = 1 decena + 3 unidades
36 = 3 decenas + 6 unidades
49 = 4 + 9
Los niños pueden representar también las sumas usando materiales variados,
como el cartel del 100, la franja numérica y los cuadrados y cuadraditos.
V.- EL PROCESO DE LLEVAR EN LA SUMA.
Antes de presentar un problema en el cual los niños tengan que sumar 2
cantidades con la "dificultad de llevar", conviene dar buena preparación para estar
seguros de que conocen bien el principio de agrupación, necesario para que no haya
dificultades en entender el por qué de llevar.
En la enseñanza de la Matemática es necesario explicar el "por qué" y el
"cómo" con el propósito de desarrollar en los niños la capacidad de razonamiento.
Una vez cumplidas las actividades de preparación arriba mencionadas, se
presenta un problema con el propósito de que los alumnos exploren las posibles
soluciones.
Ejemplo:
"Tenemos 24 sillas pero necesitamos 17 más porque vamos a recibir algunas
visitas. ¿Cuántas sillas necesitamos por todo?".
Los niños usarán el "Cartel de Valor del Lugar" para "descubrir" la respuesta:
DECENAS UNIDADES
FIGURA 11
Colocan 3 decenas y 4 unidades en una franja y 1 decena con 7 unidades en la
otra franja.
Si los alumnos están bien preparados notarán que en lugar de las "unidades"
tienen 11 unidades, con 10 de las cuales se hace un agrupamiento de 1 decena que
juntarán a las otras cuatro que se encuentran en el lugar de las "decenas". De esta
manera tendremos:
DECENAS UNIDADES
5 1
FIGURA 12
El maestro debe preparar muchas otras actividades para que los niños
exploren la solución. Es conveniente, siempre, pedirles que expliquen lo que están
haciendo para que adquieran dominio del vocabulario exacto y habilidad en la
expresión oral del trabajo mental que realicen.
Los niños pasan ahora a presentar la misma solución, pero en forma simbólica:
3 decenas 4 unidades +
1 decena 7 unidades
4 decenas 11 unidades
ó
5 decenas 1 unidad.
Después, abandonan esta forma por otra más abstracta:
Ejemplo:
34 +
17
51
Reconocemos que la enseñanza hecha en esta forma es más lenta y exige del
maestro mayor esfuerzo en el planeamiento, pero el resultado será un aprendizaje
más efectivo y más acorde con los intereses y necesidades del niño.
Una vez que los alumnos dominen el proceso de "llevar" de las unidades a las
decenas, conviene enfrentarles a situaciones donde tengan que "llevar" de las
decenas a las centenas, etapa por etapa, sin forzarlos.
VI.- SUSTRACCION DE NUMEROS COMPUESTOS.
El orden con que se presentan las dificultades en la enseñanza de la
sustracción de números compuestos está relacionado con el mismo que se consideró
para la adición.
A.- Sustracción de decenas exactas.
50 - 50 - 70 - 80 –
20 10 30 20
Se trabaja mucho con las decenas exactas, porque toda la enseñanza está
basada en el sistema de numeración decimal. Los niños usan las sustracciones de
decenas exactas con mucha facilidad. Algunas pueden ser usadas antes que
conozcan todas las sustracciones fundamentales.
Por ejemplo:
40 - 30 - 20 –
20 10 10
En estos casos recomendamos al maestro que oriente a los niños para que
capten el minuendo y el sustraendo en una forma global: 40 - 20, y no 0 - 0, y luego 4
- 2.
B.- Casos en que el sustraendo está formado por decenas exactas. En estas situaciones los alumnos llegan a comprender que, sólo "quitamos"
decenas y quedan iguales las unidades del minuendo.
46 - 34 - 56 - 22 - 32 –
20 10 30 10 10
Las dificultades de las partes "A" y "B" se harán más fáciles si el maestro usa
"tarjetas relámpago" para la presentación rápida, a fin de que los niños desarrollen la
habilidad de calcular sin usar lápiz y papel.
40 - 26 –
20 10
C.- Sustracciones cuando todas las cifras del minuendo y del sustraendo son significativas (sin cero) y sin dificultad en el minuendo.
46 - 58 - 63 - 37 -
23 24 41 25
Al igual que en situaciones anteriores, recomendamos que estos casos se
presenten dentro de problemas con significación real para los alumnos.
El maestro debe pedir siempre a los niños que calculen la respuesta antes de
efectuar la operación. El desarrollo de la habilidad para el cálculo de la respuesta
antes de efectuar la operación es de gran importancia para el mejoramiento de la
capacidad de reflexión.
D.- Sustracciones cuando la cifra de las unidades en el minuendo es menor que las cifras de las unidades en el sustraendo.
Ejemplos:
82 - 43 - 54 –
17 28 17
La expresión que más comúnmente se utiliza cuando la cifra que se va a restar
es mayor que la que le corresponde en el minuendo es "quitar prestado".
Recomendamos que se utilice con preferencia el término "reagrupar" o
"descomponer" para nombrar con precisión lo que realmente se hace cuando
debemos resolver operaciones como la siguiente:
82 –
17
Para resolverla hacemos un trabajo de descomposición en el minuendo así:
82 7 decenas 12 unidades
- 17 1 decena 7 unidades
65 6 decenas 5 unidades
El maestro evaluará los conocimientos que el niño tenga de la estructura del
sistema de numeración y hará rápido recuento sobre el valor de las cifras de acuerdo
con el lugar que ocupan en la cantidad.
El niño debe tener oportunidad de usar el ábaco y el "Cartel de Valor del
Lugar", para descomponer decenas en unidades, un proceso opuesto al que se
realiza en la suma cuando se transforman unidades en decenas.
"Tenemos 32 gallinas. Si vendemos 17; ¿ Cuántas quedarán?".
El maestro pide al niño que explore con el material para hallar la solución.
3 2
DECENAS UNIDADES
FIGURA 13
Colocar en el Cartel el número de gallinas que tiene por todo. Luego sacar de
este total 17. Si está bien preparado, el niño percibe que no puede sacar 7 unidades
de donde hay 2, pero que puede usar una decena como 10 unidades para unirlas a
las demás. Ahora tiene esto en el “Cartel de Valor del Lugar”.
123
DECENAS UNIDADES
FIGURA 14
O sea 2 decenas y 12 unidades. Ahora es posible retirar de 12 unidades 7 y de
2 decenas 1. Así encuentra la respuesta:
51
DECENAS UNIDADES
FIGURA 15
Una vez cumplidas las anteriores actividades, el maestro pasa a cumplir con la
enseñanza de la forma eminentemente simbólica:
2 12
- 1 7
1 5
Si el niño ha logrado una comprensión satisfactoria del proceso, sabrá por qué
2 unidades pasan a constituirse en 12 unidades, por qué el número 3 se convierte en
2 y por qué es posible hacer todo esto. No debe olvidarse que en la enseñanza de la
Matemática el por qué es fundamental.
E.- Sustracciones con centenas exactas:
200 - 400 - 600 –
100 200 400
F.- Sustracciones con números de tres cifras sin dificultades:
416 - 384 -
212 262
G.- Otras, dificultades.
742 - 831 -
381 284
H.- Casos con ceros:
340 - 408 - 500 -
212 262 324
Estos ejemplos deben solucionarse en el "Cartel de Valor de Lugar", recurso
que debe tener espacio para las centenas, las decenas y las unidades y que facilita la
mejor comprensión del proceso.
Ejemplo:
500 -
324
El niño coloca en el tarjetero 500:
05
DECENAS UNIDADES CENTENAS
0
FIGURA 16
De esta cantidad debe retirar 324; no es posible retirar 4 unidades si no hay
ninguna en el lugar que les corresponde. Puede usar 1 decena como 10 unidades;
como no hay decenas puede usarse 1 centena como 10 decenas y de éstas puede
usarse 1 como 10 unidades. De 10 unidades retiramos 4 y quedan 6.
Ahora retiremos 2 decenas de 9 (porque ya descompusimos 1 decena en
unidades) y nos quedarán 7. Por último vamos a retirar 3 centenas de 4, ya que
previamente hemos utilizado una de ellas para descomponerla en decenas. Nos
queda entonces 1 centena.
El Cartel quedará así cuando se haga la descomposición de 1 centena:
DECENAS UNIDADES CENTENAS
9 3 10
FIGURA 17
Cuando el niño haya retirado 324 le quedará el tarjetero con 176, así:
DECENAS UNIDADES CENTENAS
71 6
FIGURA 18
Los alumnos deben escribir la representación simbólica para mostrar la
reagrupación hecha. Posteriormente debe orientárseles para que hagan la
reagrupación en forma mental:
Ejemplo:
a) Mostrando la reagrupación hecha:
4 9 10 –
3 2 4
1 7 6
b) Reagrupando en forma mental:
500 –
324
VII.- EL VOCABULARIO ESPECIFICO DE LA SUSTRACCION.
Para la operación de restar tenemos tres términos específicos que son:
Minuendo
Sustraendo
Diferencia.
El término más familiar para el niño es el de "resta". Por ello es el término que
primero aprende.
El maestro de Primer Grado, por ejemplo, no debe usar los vocablos
"minuendo" y "sustraendo" hasta tanto no enseñe la función específica de cada uno
de ellos. Esto es, que el minuendo debe ser considerado como un grupo total y el
sustraendo un grupo que se separa de aquél. Una vez que los alumnos dominen
estos conceptos, el maestro planea cuidadosamente la introducción de los términos
antes citados. Para ello puede decir:
"En todas las sustracciones tenemos un grupo total y de ese grupo total es que
tomamos un grupo menor con el propósito de saber cuánto queda".
"Hoy vamos a aprender cómo se llama ese grupo total":
17 Minuendo
- 8
Y el maestro escribe la palabra "minuendo" al lado de la cantidad que lo
representa en la operación.
Luego hace lo mismo con el grupo que se retira.
17 Minuendo
- 8 Sustraendo
9 Diferencia
Después de esta introducción el maestro puede preparar una lámina donde
aparezca la operación con los nombres de los términos y la fija en el salón por cierto
tiempo para que los alumnos la vean.
VIII. - LA PRUEBA DE LA SUSTRACCION.
La prueba más generalizada en sustracción es la de sumar la diferencia al
sustraendo. Esta prueba es valiosa porque demuestra que la adición y la sustracción
son procesos opuestos. La adición, en el caso de la prueba, anula o deshace el
proceso de sustraer.
De seguida presentamos una serie de conclusiones relacionadas con la
importancia de la prueba de las operaciones y en especial de la sustracción:
1) Los alumnos tienen que comprender el valor e importancia de probar el
proceso.
2) Es necesario enseñar a probar el proceso tan cuidadosamente como se
enseña el mismo proceso.
3) Todos los alumnos deben aprender una prueba básica, pero los alumnos
que demuestran gran comprensión para los números deben ser estimulados
para que descubran varias formas de probar.
Consideremos varias formas de probar este ejemplo:
704
- 158
546
La prueba corriente es añadir 546 a 158. La suma es 704.
Otra prueba es sustraer 546 de 704. La respuesta es 158.
Otra prueba es sustraer 100 de ambas cantidades', la diferencia permanece
igual:
704 604
- 158 - 58
También el alumno puede comprobar que 704 es casi 700 y luego añadir 4 a
la diferencia.
Hay diferentes maneras de probar el proceso, las cuales pueden ser
descubiertas por los niños. Cuando descubran una nueva forma de probar
su trabajo enriquecen su comprensión de los números.
4) Es inefectivo solicitar que todos los ejemplos sean probados. El maestro y
los alumnos pueden llegar al acuerdo de dedicarse una vez a la semana a
probar todos los ejemplos realizados. Por ser la prueba un proceso de
pensamiento, los alumnos que van a probar sus operaciones tienen que
disponer de un tiempo doble del que disponen cuando sólo se les pide
efectuar la operación inicial.
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