クリープと乾燥収縮の検証

1. クリープ検証

1.1 Creepによる変形の検証

MIDASプログラムでクリープに対する解析はクリープの特性関数を Dirichlet に数式化して計

算します。 日本規準、CEB-FIP Code、 ACI Code、実験データを使ったユーザー定義などを

使ったクリープ特性を定義することができます。 実際には構造物に作用する応力度は一定で

はなく時間によって変化するため、クリ－プ量は一定の応力度が作用すると仮定して得たクリー

プ変形曲線を用い、それを時間で積分することで求めることができます。

tc

0

d ( )(t) J(t, ) ddσ τ

ε = ττ∫ τ

(1)

c (t)ε : 観測時点tでのクリープ変形量

J(t, )τ : 載荷時点が で観測時点がtである時の特性クリープ関数 τ

特性クリープ関数は材齢 τ日に単位応力度を載荷した時、材齢t日に発生するクリープ変形量

任意の時点でクリープによる総変形量は上の式を積分しなければなりません。これのためには

全体時間区間にわたった応力度履歴がすべて必要になりますので、多くの計算量が必要にな

ります。これを解決するため、特性クリープ関数を次のような Dirichlet に数式化します。

i

m(t ) /

ii 1

J(t, ) a ( ) 1 e− −τ Γ

=

τ = τ − ∑ (2)

ia ( )τ :荷重載荷時刻が τである時の特性クリープ関数の初期形状を示す材料変数

iΓ : 遅延時間

式(2)の特性クリープ関数を使って式 (1)を整理すれば式 (3)を得ることができます。

i

mt t /c ii i0

i 1

d ( )dy ( )(t) a ( ) 1 e d y (t) t /

dy ( )d−∆ Γ

=i

i

σ τ τ ε = τ − τ = τ τ∑∫ Γ

(3)

ia (t), (t)σ

c

が時間段階 t と t 間で一定であると仮定すれば時間段階 と 間のクリープ変形

増分∆ε は次のように計算することができます。

n 1− n nt n 1t −

1

i

i

mt /c

i n 1i 1

t /i n i n 1 i n 1 n

g (t ) 1 e

g (t ) g (t )e a (t )

−∆ Γ−

=

−∆ Γ− −

∆ε = −

= +

∑

1−∆σ (4)

MIDASでは上のような方法でクリープに対する変形を現在の時間段階の応力度と累積した応

力度形態を持って合理的に計算します。

簡単な例題としてMIDASプログラムのクリープ変形に対する適用方法を検証してみます。梁部

材に一定の間隔で圧縮力を三度載荷して発生した変形を計算して、応力度の履歴と特性クリー

プ係数を使用した正確解と比較してみます。

断面 : 1×1 m , 長さ : 10 m , 初期材齢 : 10 日

荷重 : 第１段階 : 材齢 10日 100 ton 載荷

第２段階 : １番目荷重載荷後、100日経過した後 100 ton 載荷

第３段階 : ２番目荷重載荷後、100日経過した後 100 ton 載荷

解析時間間隔 : 10日間隔で解析して変形計算

100 tonf

図 1.検討モデル

2

クリープと乾燥収縮の検証

解析結果検討 : CEB-FIP CODEによるクリープ係数を使用して正確解を計算したものとMIDA

Sでのクリープの特性関数を Dirichlet に数式化して計算した結果はよく一致しています。

0

1

2

3

4

5

6

7

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

시간(day )

변형

M IDAS/CIVIL EXACT

グラフ 1. MIDASを使用した変形結果とクリープ係数を使用した正確解の比較

3

1.2 Creep Secondary Moment 検証

3スパンの連続梁(3@30m = 90m)をMIDASと日本のF社のプログラムを使用して解析結果を比

較します。コンクリートの初期材齢は7日と仮定し、14日が経過する毎に施工段階が１段階進行

すると仮定します。

解析モデル

使われた構造物の断面性能は次のとおりです。

断面積 : 4m2

断面2次モーメント (Ixx, Iyy, Izz) : 1m4 コンクリート圧縮強度 : 30000 kN/m2

弾性係数 : 3.1381×107 kN/m2 相対湿度 : 80 %

ポアソン比 : 0.18 概念寸法(H=2A/u) : 0.5 m

単位重量 : 24.52 kN/m3 セメント種類 : Normal

載荷荷重 : 10 kN/m

ステージ 3

ステージ 2

ステージ 1

図 2. 検証モデル図

4

クリープと乾燥収縮の検証

Creep Secondary Moment graph

Creep Secondary Moment

- 3500

- 3000

- 2500

- 2000

- 1500

- 1000

- 500

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Mom

ent (

tonf

-m)

F8 2 F8 3 MIT 2 MIT 3

グラフ 2. Creep Secondary Moment 結果の比較

MIT：MIDAS; F8：日本のF社

最大誤差 = (1288-1223.9)/1288*100 = 4.97%

発生する誤差は構造解析実行時に使用した内部時間間隔によって差があります。内部時間間

隔を小さくすれば誤差をより小さくなります。

5

Creep Secondary Moment 結果テーブル

[単位 : kN-m]

表 1. Creep Secondary Moment 結果テーブル

節点位置 F8 2 MIT 2 誤差 F8 3 MIT 3 誤差

1 0 0 - 0 0 -

2 -123 -127.0 3.28% -643.8 -612.0 -4.95%

3 -245.1 -254.1 3.65% -1288 -1223.9 -4.98%

4 -369.1 -381.1 3.25% -1931 -1835.9 -4.93%

5 -492.1 -508.1 3.25% -2575 -2447.8 -4.94%

6 -615.1 -635.1 3.26% -3219 -3059.8 -4.95%

7 -492.1 -508.1 3.25% -2958 -2814.9 -4.84%

8 -369.1 -381.1 3.25% -2696 -2570.0 -4.67%

9 -245.1 -254.1 3.65% -2435 -2325.1 -4.51%

10 -123 -127.0 3.28% -2174 -2080.2 -4.31%

11 0 0 - -1913 -1835.3 -4.06%

12 0 0 - -1530 -1468.3 -4.04%

13 0 0 - -1148 -1101.2 -4.08%

14 0 0 - -765.1 -734.1 -4.05%

15 0 0 - -382.6 -367.1 -4.06%

16 0 0 - 0 0 -

6

クリープと乾燥収縮の検証

2. 乾燥収縮の検証

2.1 乾燥収縮による変形の検証

MIDASプログラムで乾燥収縮解析は日本規準、CEB-FIP Code、ACI Code、実験データを使用

したユーザー定義などを使って乾燥収縮特性曲線を定義して実行されています。乾燥収縮特

性曲線を使って施工段階の時間経過に対して変形量を計算し、該当段階での乾燥収縮変形率

として使用します。

sh 2 1 sh 2 0 sh 1 0(t , t ) (t , t ) (t , t )ε = ε − ε

sh 2 1(t , t )ε : 施工段階t1からt2までの乾燥収縮変形率

sh 1 0(t , t )ε : 部材の材齢t0からt1までの乾燥収縮変形率

sh 2 0(t , t )ε : 部材の材齢t0からt2までの乾燥収縮変形率

乾燥収縮による荷重は弾性係数、断面積、乾燥収縮変形率の積であり、軸方向に対してのみ

生成します。

primary shF EA= ε

乾燥収縮変形は温度、クリープによる変形と同様に自発的な(Nonmechanical)変形ですから断

面力計算時の変形率は荷重による変形率から乾燥収縮による変形率を引いて計算します。

secondary sh primaryF EA( ) F F= ε − ε = −

よって軸方向拘束がない構造物での乾燥収縮では断面力を生じず変位のみを発生させます。

外部荷重がなくても拘束条件によっては、乾燥収縮によって発生する断面力がクリープ変形を

誘発することあります。乾燥収縮変形は拘束条件と時間に影響を受けます。

7

簡単な例題としてMIDASプログラムの乾燥収縮変形に対する適用方法を検証するクリープ検証

例題を使用して同じ施工段階に対して乾燥収縮に対する解析結果と乾燥収縮特性曲線を使用

した正確解と比較してみます。

断面 : 1×1m、 長さ : 10m 、初期材齢 : 10日

荷重 : 第１段階 : 材齢10日～100日経過

第２段階: 100日～200日経過

第３段階 : 200日～300日経過

解析時間間隔 : 10日間隔で解析して変形を計算

図 3.検討モデル

解析結果検討 : CEB-FIP CODEによる乾燥収縮係数を使用して正確解を計算したものとMID

ASでの乾燥収縮の特性関数を使用して計算した結果はよく一致しています。

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 50 100

変位

(mm

)

MIDAS IVIL EXACT(By Shrinkage Data)

グラフ 3. MIDASを使用した変

/C

150 200 250 300 350 400 450

時間　(days)

形結果と乾燥収縮係数を使用した正確解の比較

8

クリープと乾燥収縮の検証

2.2 施工段階を考慮した乾燥収縮変位の検証

次のような3スパンの連続梁(3@30m = 90m)をMIDASによる解析と手計算による計算とを比較

します。 コンクリートの初期材齢は7日と仮定し、14日が経過する毎に施工段階が1段階進行

すると仮定します。

解析モデル

使用された構造物の断面性能は次のとおりです。

断面積 : 4m2

断面2次モーメント (Ixx, Iyy, Izz) : 1m4 コンクリート圧縮強度: 30000 kN/m2

弾性係数 : 3.1381×107 kN/m2 相対湿度 : 80 %

ポアソン比 : 0.18 概念寸法(H=2A/u) : 0.5 m

単位重量 : 24.52 kN/m3 セメント種類 : Normal

載荷荷重 : 10 kN/m 乾燥収縮の開始時間 : 3 days

ステージ 3

ステージ 2

ステージ 1

図 4. 検証モデル図

9

乾燥収縮による節点変位の比較

表 2. 乾燥収縮による節点変位テーブル 「単位：mm」

ステップ 1 ステップ 2 ステップ 3 節点

番号 解析値 理論値 解析値 理論値 解析値 理論値

1 0 0 0 0 0 0

2 -0.05697 -0.05697 -0.09276 -0.09276 -1.47607 -1.47607

3 -0.11394 -0.11394 -0.18551 -0.18551 -2.95215 -2.95212

4 -0.17091 -0.17091 -0.27826 -0.27826 -4.42822 -4.42818

5 -0.22788 -0.22788 -0.37102 -0.37102 -5.90429 -5.90424

6 -0.28484 -0.28484 -0.46377 -0.46377 -7.38037 -7.38030

7 -0.34181 -0.34181 -0.55653 -0.55653 -8.85644 -8.85637

8 0 0 -0.27168 -0.27168 -9.99032 -9.99025

9 0 0 -0.32865 -0.32865 -11.46600 -11.40898

10 0 0 -0.38562 -0.38562 -12.94169 -12.94165

11 0 0 -0.44259 -0.44259 -14.41739 -14.41735

12 0 0 -0.49956 -0.49956 -15.89308 -15.89305

13 0 0 0 0 -16.86883 -16.86877

14 0 0 0 0 -18.34414 -18.34405

15 0 0 0 0 -19.81945 -19.81933

16 0 0 0 0 -21.29475 -21.29461

10

クリープと乾燥収縮の検証

手計算方法

手計算で乾燥収縮による節点変位を計算する方法は次のとおりです。

節点変位 = 要素長さ×乾燥収縮による変形率

sh 2 1 sh 2 0 sh 1 0(t , t ) (t , t ) (t , t )ε = ε − ε

sh 2 1(t , t )ε : 施工段階t1からt2までの乾燥収縮変形率

sh 1 0(t , t )ε : 部材の材齢t0からt1までの乾燥収縮変形率

sh 2 0(t , t )ε : 部材の材齢t0からt2までの乾燥収縮変形率

-> ステージ 1

各要素別の変位量

要素1～6 : 要素長さ× (21,7) = 6000shε ×9.4948E-6 = -0.05697

ここで、 (21,7) 値は CEB-FIP 規定による計算値

shε

節点変位

各節点別の乾燥収縮変位 : 節点1での距離 shε (21,7)

2 : 16000×9.4948E-6 = -0.05697

3 : 26000×9.4948E-6 = -0.11394

4 : 36000×9.4948E-6 = -0.17091

5 : 46000×9.4948E-6 = -0.22788

6 : 56000×9.4948E-6 = -0.28484

7 : 6×6000×9.4948E-6 = -0.34181

11

-> ステージ 2

各要素別変位量

要素1～6 ; 要素長さ( ε (35,7)-sh shε (21,7) ) = 6000× (-1.5459E-5+9.4948E-6)

= -0.03578

要素7～11 ; 要素長さ× (21,7)= 6000shε × (-9.4948E-6) = -0.05697

節点変位

各節点別の乾燥収縮変位 : 節点1での距離( shε (35,7)- shε (21,7))+以前変位

2 : -0.05697+1×6000×(-1.5459E-5+9.4948E-6) = -0.09276

3 : -0.11394+2×6000×(-1.5459E-5+9.4948E-6) = -0.18551

4 : -0.17091+3×6000×(-1.5459E-5+9.4948E-6) = -0.27826

5 : -0.22788+4×6000×(-1.5459E-5+9.4948E-6) = -0.37102

6 : -0.28484+5×6000×(-1.5459E-5+9.4948E-6) = -0.46377

7 : -0.34181+6×6000×(-1.5459E-5+9.4948E-6) = -0.55653

各節点別の乾燥収縮変位 : 節点7での距離× ( shε (21,7))+現在段階に発生した

7番節点の変位

8 : -0.21471+1×6000×(-9.4948E-6) = -0.27168

9 : -0.21471+2×6000×(-9.4948E-6) = -0.32865

10 : -0.21471+3×6000×(-9.4948E-6) = -0.38562

11 : -0.21471+4×6000×(-9.4948E-6) = -0.44259

12 : -0.21471+5×6000×(-9.4948E-6) = -0.49956

12

クリープと乾燥収縮の検証

-> ステージ 3

各要素別の変位量

要素1～6; 要素長さ× ( ε (10035,7)-sh shε (35,7) )

= 6000× (-2.4601E-4+1.5459E-6) = -1.38331

要素7～11; 要素長さ× ( ε (10021,7)-sh shε (21,7))

= 6000× (-2.4595E-4+9.4948E-6) = -1,41873

要素12～15; 要素長さ× ( ε (10007,7)) sh

= 6000× (-2.4588E-4) = -1,47528

節点変位

各節点別の乾燥収縮変位 : 節点 1での距離( shε (35,7)- shε (21,7))+以前変位

2 : -0.09276+1×6000×(-2.4601E-4+1.5459E-5) = -1.47607

3 : -0.18551+2×6000×(-2.4601E-4+1.5459E-5) = -2.95212

4 : -0.27826+3×6000×(-2.4601E-4+1.5459E-5) = -4.42818

5 : -0.37102+4×6000×(-2.4601E-4+1.5459E-5) = -5.90424

6 : -0.46377+5×6000×(-2.4601E-4+1.5459E-5) = -7.38030

7 : -0.55653+6×6000×(-2.4601E-4+1.5459E-5) = -8.85637

各節点別の乾燥収縮変位 : 節点7での距離× ( shε (10021,7)-( shε (21,7))

+現在段階に発生した7番節点の変位+以前変位

8 : -0.27168-8.29984+1×6000×(-2.4595E-4+9.4948E-6) = - 9.99025

9 : -0.32865-8.29984+2×6000×(-2.4595E-4+9.4948E-6) = -11.40898

10 : -0.38562-8.29984+3×6000×(-2.4595E-4+9.4948E-6) = -12.94165

11 : -0.44259-8.29984+4×6000×(-2.4595E-4+9.4948E-6) = -14.41735

12 : -0.49956-8.29984+5×6000×(-2.4595E-4+9.4948E-6) = -15.89305

各節点別の乾燥収縮変位 : 節点 12での距離× ( shε (10007,7))

+現在段階に発生した12番節点の変位

13 : -15.39349+1×6000×(-2.4588E-4) = -16.86877

14 : -15.39349+2×6000×(-2.4595E-4) = -18.34405

15 : -15.39349+3×6000×(-2.4595E-4) = -19.81933

16 : -15.39349+4×6000×(-2.4595E-4) = -21.29461

13