Adriansyah A

Adriansyah A

2410105016

Ordinary Differential Equation

Persamaan ODE orde 1 :

...pers1

Dimana :

= massa jenis gas pembakaran = 0.215 Kg/Nm3

= kalor spesifik udara 1.05 KJ/Kg.C

= kalor spesifik gas pembakaran = 0.918 KJ/Kg.C

= temperature udara yang masuk ruang pembakaran 50 0C

= nilai kalor pembakaran bahan bakar methane 2186 KJ/Kg

= laju aliran bahan bakar (Kg/s)

= laju aliran gas pembakaran (Kg/s) = 40 Kg/s

= volume burner = 329 m3

Lalu sesuai dengan persamaan ODE diatas maka nilai-nilai yang

diketahui dimasukkan kedalam persamaan ODE maka didapatkan

persamaan 2 sebagai berikut :

...pers2

Dari persamaan diatas maka akan dilakukan penyelesaian untuk

solusi eksak dan beberapa metode seperti Runge-Kutta, Euler, Ralston,

Taylor. Sebelum persamaan tersebut dimasukkan ke dalam Matlab maka

perlu dimisalkan terlebih dahulu untuk = x dan = y .

Dengan mengganti = x dan = y maka persamaan 2 akan

menjadi :

...pers 3

Persamaan 3 ini yang akan dimasukkan kedalam matlab untuk

dianalisa penyelesaiannya dengan metode lainnya.

1. Metode Euler

Pada Metode ini akan dilakukan perhitungan dengan

membandingkan hasil dari solusi eksak dan hasil menggunakan metode

euler.

Sebagian source code untuk metode euler :

fcnstr='(905.625+4372)*x-y*(45.9)' ;f=inline(fcnstr) ;x0=3 ;y0=2 ;xf=12 ;n=10 ;for i=1:nya(i+1)=ya(i)+fcn*h ;xa(i+1)=xa(i)+h ;fcn = f(xa(i),ya(i)) ;end% Euler's formulaya(i+1)=ya(i)+fcn*h ;% 'Exact' solutionxspan = [x0 xf];[x,y]=ode45(f,xspan,y0);[yfi dummy]=size(y);yf=y(yfi);% Plotting the Exact and Approximate solution of the ODE.hold onxlabel('x');ylabel('y');title('Exact and Approximate Solution of the ODE by Euler's Method');plot(x,y,'--','LineWidth',2,'Color',[0 0 1]); plot(xa,ya,'-','LineWidth',2,'Color',[0 1 0]);legend('Exact','Approximation');

Setelah menjalankan soure code diatas maka didapatkan hasil perhitungan sebagai berikut dan hasil plot grafik hasil eksak dengan metode euler.

Hasil untuk solusi eksak sebesar : 1377.14

Hasil untuk solusi metode euler sebesar : -3.8562518

Pada hasil tersebut dapat dilihat errornya sebesar :

Error = Eksak - metode euler

= 1377.14 – (-3.8562518)

= 3.8562518

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

18

x

y

Exact and Approximate Solution of the ODE by Euler's Method

Exact

Approximation

Gambar 1 grafik perbandingan solusi eksak dengan metode

euler

Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa metode pendekatan Euler

dapat lebih akurat jika kita membuat ukuran “step” (n) yang lebih kecil.

2.Metode Runge-Kutta 2nd Orde



Runge-Kutta 2nd Orde.

Sebagian source code untuk Runge-Kutta 2 nd :

fcnstr='(905.625+4372)*x-y*(45.9)' ;f=inline(fcnstr) ;x0=0 ;y0=1 ;

xf=2 ;n=5 ;for i=1:nxa(i+1)=xa(i)+h ;k1 = f(xa(i),ya(i)) ;k2 = f(xa(i)+p1*h,ya(i)+q11*k1*h) ;% 2nd Order Runge-Kutta formulaya(i+1)=ya(i)+(a1*k1+a2*k2)*h ;end%'Exact' solutionxspan = [x0 xf];[x,y]=ode45(f,xspan,y0);[yfi dummy]=size(y);yf=y(yfi);% Plotting the Exact and Approximate solution of the ODEhold onxlabel('x');ylabel('y');title('Exact and Approximate Solution of the ODE by the 2nd Order Runge-Kutta Method');plot(x,y,'--','LineWidth',2,'Color',[0 0 1]); plot(xa,ya,'-','LineWidth',2,'Color',[0 1 0]);legend('Exact','Approximation');

Setelah menjalankan soure code diatas maka didapatkan hasil perhitungan sebagai berikut dan hasil plot grafik hasil eksak dengan metode Runge-Kutta 2nd Orde.


Hasil untuk solusi metode Runge-Kutta 2nd Orde sebesar :

2.7684211


Error = Eksak - metode Runge-Kutta 2nd Orde

= 227.474 – 2.7684211

= -2.7684211

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

11

x

y

Exact and Approximate Solution of the ODE by the 2nd Order Runge-Kutta Method

Exact

Approximation

Gambar 2 grafik perbandingan solusi eksak dengan Runge-Kutta

2nd Orde

Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa metode pendekatan Runge-

Kutta 2nd Orde dapat lebih akurat jika kita membuat ukuran “step” yang

lebih kecil.

3.Metode Runge-Kutta 4nd Orde



Runge-Kutta 4nd Orde.

Sebagian source code untuk Runge-Kutta 4 nd :

fcnstr='(905.625+4372)*x-y*(45.9)' ;f=inline(fcnstr) ;x0=0 ;y0=1 ;xf=2 ;n=5 ;for i=1:nxa(i+1)=xa(i)+h ;k1 = f(xa(i),ya(i)) ;k2 = f(xa(i)+0.5*h,ya(i)+0.5*k1*h) ;k3 = f(xa(i)+0.5*h,ya(i)+0.5*k2*h) ;k4 = f(xa(i)+h,ya(i)+k3*h) ;

ya(i+1)=ya(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h end% 'Exact' solutionxspan = [x0 xf];x,y]=ode45(f,xspan,y0);[yfi dummy]=size(y);yf=y(yfi);% Plotting the Exact and Approximate solution of the ODE.hold onxlabel('x');ylabel('y');title('Exact and Approximate Solution of the ODE by the 4th Order Runge-Kutta Method');plot(x,y,'--','LineWidth',2,'Color',[0 0 1]); plot(xa,ya,'-','LineWidth',2,'Color',[0 1 0]);legend('Exact','Approximation');

Setelah menjalankan soure code diatas maka didapatkan hasil perhitungan sebagai berikut dan hasil plot grafik hasil eksak dengan metode Runge-Kutta 4nd Orde.


Hasil untuk solusi metode Runge-Kutta 2nd Orde sebesar :

2.981218


Error = Eksak - metode Runge-Kutta 4nd Orde

= 227.474 – 2.981218

= -2.981218

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

18

x

y

Exact and Approximate Solution of the ODE by the 4th Order Runge-Kutta Method

Exact

Approximation

Gambar 3 grafik perbandingan solusi eksak dengan Runge-

Kutta 4nd Orde

Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa metode pendekatan Runge-

Kutta 4nd Orde dapat lebih akurat jika kita membuat ukuran “step” (n)

yang lebih kecil.

4.Konvergensi metode euler dengan ODE (pers 3)

Simulasi berikut menggambarkan konvergensi dari metode euler

untuk pemecahan persamaan diferensial biasa (ODE). Dari

f (x, y) = dy / dx, kondisi awal, dan nilai dari x di mana

solusi yang diinginkan. Dengan memasukkan data ini, program akan

menghitung nilai eksak, diikuti oleh hasil dengan menggunakan Runge-

Kutta 4nd Orde

dengan 1, 2, 4, 8 ... n langkah(step).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

200

250

x

y

Exact and Approximate Solution of the ODE by Euler Method

Exact

Approximation

Gambar 4 grafik perbandingan konvergensi solusi eksak

dengan metode euler

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa konvergensi dari metode

euler untuk pemecahan persamaan diferensial biasa (ODE) masih dapat

mengikuti hasil dari pemecahan eksak.

5. Konvergensi Runge-Kutta 2nd Orde dengan ODE (pers 3)

Simulasi berikut menggambarkan konvergensi dari metode Runge-

Kutta 4nd Orde untuk pemecahan persamaan diferensial biasa (ODE). Dari

f (x, y) = dy / dx, kondisi awal, dan nilai dari x di mana solusi yang

diinginkan. Dengan memasukkan data ini, program akan menghitung nilai

eksak, diikuti oleh hasil dengan menggunakan Runge-Kutta 2nd Orde


2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

22

x

y

Exact and Approximate Solution of the ODE by RK2 Method

Exact

Approximation


dengan Runge-Kutta 2nd Orde


Runge-Kutta 2nd Orde untuk pemecahan persamaan diferensial biasa

(ODE) masih dapat mengikuti hasil dari pemecahan eksak namun pada

saat nilai x mencapai 6.5 metode Runge-Kutta 2nd Orde tidak memberikan

hasil yang akurat maka hasilnya dapat menimbulkan error yang besar.

6.Konvergensi Runge-Kutta 4nd Orde dengan ODE (pers 3)

Simulasi berikut menggambarkan konvergensi dari metode


(ODE). Dari

f (x, y) = dy / dx, kondisi awal, dan nilai dari x di mana

solusi yang diinginkan. Dengan memasukkan data ini, program akan

menghitung nilai eksak, diikuti oleh hasil dengan menggunakan Runge-

Kutta 4nd Orde


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

200

250

x

y

Exact and Approximate Solution of the ODE by RK4 Method

Exact

Approximation


dengan Runge-Kutta 4nd Orde



(ODE) masih dapat mengikuti hasil dari pemecahan eksak hal ini sangat

berbeda ketika menggunakan metode Runge-Kutta 2nd Orde.

7.Perbandingan metode eksak, heun, midpoint, ralston,

taylor

Program ini membandingkan hasil dari solusi untuk metode yang

tepat untuk metode Runge-Kutta 2nd Orde, Heuns, Ralstons, Polygon,

taylor dan eksak.

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

x 1025

x

y

Comparing exact and Runge-Kutta methods with h=0.55

exact

heun

midpointralston

taylor

Gambar 7 grafik perbandingan metode Runge-Kutta 2nd Orde,

Heuns, Ralstons, Polygon, taylor dan eksak.

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa untuk metode Runge-Kutta 2nd

Orde, Heuns, Ralstons, Polygon, taylor dapat memberikan hasil yang baik

ketika nilai x berada pada x < 5, namun ketika x > 5 maka akan

menghasilkan nilai error yang sangat besar.

Kesimpulan

Bahwa untuk menyelesaikan persamaan ODE dapat digunakan

beberapa metode yaitu : metode euler, Runge-Kutta 2nd Orde, Runge-

Kutta 4nd Orde, Heuns, Ralstons, Polygon, Taylor. Dari metode-metode

tersebut mempunyai beberapa kekurangan dan kelebihan masing-masing.

Untuk metode euler,kurang teliti melakukan perhitungan sehingga hasil

yang didapatkan terlalu menjauhi nilai eksak. Untuk error pada metode

euler dapat dihitung dengan memanfaatkan Deret Taylor namun hal ini

memiliki keterbatasan yaitu deret taylor hanya memberikan

perkiraan/estimasi local truncation error, yaitu error yang timbul pada

satu langkah hitungan metode euler, untuk mengatasi hal tersebut maka

membuat ukuran “step”(n) yang lebih kecil. Selain itu metode euler hanya

mudah dipakai apabila ODE berupa fungsi polinomial sederhana yang

mudah untuk di-diferensial-kan, fi(xi,yi) mudah dicari.

Metode poligon merupakan metode euler yang dimodifikasi

perubahan dari nilai slopenya. Oleh karenanya error nya dapat ditekan

lebih sedikit daripada metode euler saja.

Metode heun hanya dapat diterapkan secara iteratif pada saat

menghitung slope di ujung akhir selang pengujian. Nilai yi+1 korektor

pertama dihitung berdasarkan nilai yi+1 prediktor

...pers4

Persamaan 4 menjadi persamaan 5 dikarenakan nilai yi+1 korektor

tersebut dipakai sebaga nilai yi+1 prediktor.

...pers5

Metode Runge Kutta lebih teliti dari metode euler serta tidak

memerlukan suku derivativ. Namun metode ini hanya mampu mengikuti

nilai eksak pada titik tertentu selebihnya akan menghasilkan error yang

besar.

Documents

Adriansyah A