Aed II Grafos

5/21/2018 Aed II Grafos

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Jos Augusto BaranauskasDepartamento de Fsica e Matemtica FFCLRP-USP

[email protected]

http://dfm.ffclrp.usp.br/~augusto

Algoritmos e

Estruturas de Dados II

GrafosGrafos

Nesta aula fornecidoum breve histrico sobrea teoria dos grafos

So tambm

introduzidos conceitossobre grafos ealgoritmos que osmanipulam

HistricoHistrico

A primeira evidncia sobre grafos (graphs) remonta a1736, quando Euler fez uso deles para solucionar oproblema clssico das pontes de Koenigsberg

Na cidade de Koenigsberg (na Prssia Oriental), o rioPregal flui em torno da ilha de Kneiphof, dividindo-se emseguida em duas partes

Assim sendo, existem quatro reas de terra que ladeiam

rio: as reas de terra (A-D) esto interligadas por setepontes (a-g) O problema das pontes de Koenigsberg consiste em se

determinar se, ao partir de alguma rea de terra, possvel atravessar todos os pontos exatamente uma vezpara, em seguida, retornar rea de terra inicial

3

HistricoHistrico

possvel caminhar sobre cada ponte exatamente umanica vez e retornar ao ponto de origem?

A D

B

Cc d

ab

f

g

Rio Pregale

HistricoHistrico

Um caminho possvel consistiria em iniciar na rea deterra B, atravessar a ponte a para a ilha A; pegar a pontee para chegar rea D, atravessar a ponte g, chegando C; cruzar a ponte d at A; cruzar a ponte b at B e aponte f, chegando a D

A D

B

Cc d

ab

f

g

Rio Pregale

5

HistricoHistrico Um caminho possvel consistiria em iniciar na rea de

terra B, atravessar a ponte a para a ilha A; pegar a pontee para chegar rea D, atravessar a ponte g, chegando aC; cruzar a ponte d at A; cruzar a ponte b at B e aponte f, chegando a D

Esse caminho no atravessa todas as pontes uma vez,nem tampouco retorna rea inicial de terra B

Euler provou que no possvel o povo de Koenigsbergatravessar cada ponte exatamente uma vez, retornandoao ponto inicial

Ele resolveu o problema, representando as reas de terracomo vrtices e as pontes como arestas de um grafo (na

realidade, um multigrafo)

DefinioDefinio Um grafo G(V,E) composto de

V um conjunto no-vazio de vrticesvrtice (vertex); vrtices (vertices, vertexes)

E um conjunto de arestas (edges), conectando os vrtices emV

Uma aresta (u,v) um par de vrtices, ou seja, uV e vV

Usaremos a notao V ou V(G) para representar o conjunto de vrtices de G E ou E(G) para representar o conjunto de arestas de G G ou G=(V,E) ou G(V,E) para representar um grafo n = |V| o nmero de vrtices e = |E| o nmero de arestas

Em geral, |A| indica a cardinalidade (nmero deelementos) do conjunto A


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7

Problema das Pontes deProblema das Pontes deKoenigsbergKoenigsberg como um Grafocomo um Grafo

C

B

A D

c d

a b

e

g

f

A D

B

Cc d

ab

f

g

Rio Pregal

e

Problema das Pontes deProblema das Pontes deKoenigsbergKoenigsberg como um Grafocomo um Grafo

A soluo elegante e tem aplicao a todos os grafos Definindo o grau de um vrtice como sendo o nmero de

arestas que lhe so incidentes, Euler mostrou que existeum caminho com ponto de incio em qualquer vrtice, qupassa atravs de cada aresta exatamente uma vez etermina no vrtice inicial contanto que o grau de cadavrtice seja par

O caminho que cumprir com essas condies denominado Euleriano No existe nenhum caminho Euleriano nas pontes de

Koenigsberg, uma vez que todos os quatro vrtices tmgrau mpar

9

ExemploExemplo

V={a,b,c,d,e}

E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)}

Nmero de vrtices, n n = |V| = 5

Nmero de arestas, e

e = |E| = 7

a b

d e

c

AplicaesAplicaes

Anlise de circuitos eltricosVerificao de caminhos mais curtosAnlise de planejamento de projetos (scheduling Identificao de compostos qumicosGenticaCibernticaLingsticaCincias Sociais, etcPode-se afirmar que de todas as estruturas

matemticas, grafos so as que se encontramem uso mais amplo

11

TerminologiaTerminologiaEm um grafo no-orientado (ou no-dirigido),

no h ordenao especial no par de vrticesque representam qualquer aresta Assim sendo, os pares (u,v) e (v,u) representam a

mesma aresta

Num grafo orientado (ou dirigido ou dgrafo)cada aresta representada por um par dirigido(u,v), onde u o incio e v o trmino da aresta Assim sendo (u,v) e (v,u) representam duas arestas

distintas

TerminologiaTerminologia Os grafos G1 e G2 so no-orientados

O grafo G3 um grafo orientado (dgrafo)

Observe que as arestas de um grafo orientado sodesenhadas com uma seta que vai do incio at o trmino

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1


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TerminologiaTerminologia

V(G1)={1,2,3,4}; E(G1)={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

V(G2)={1,2,3,4,5,6,7};E(G2)={(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(3,6),(3,7)}

V(G3)={1,2,3}; E(G3)={(1,2), (2,1), (2,3)}

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1


O grafo G2 tambm uma rvore, ao passque os grafos G1 e G3 no so

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1

15


As rvores podem ser definidas como sendocasos especiais de grafos (veremos isso maisadiante)

Vamos precisar que se (vi,vj) ou (vj,vi) umaaresta em E(G), ento v ivj

Uma vez que E(G) um conjunto, um grafo nopode ter ocorrncias mltiplas da mesma aresta

Quando h mais de uma ocorrncia de uma mesmaaresta, o objeto de dados denominado multigrafo

O mesmo valido para V(G), ou seja, no hocorrncias mltiplas de um mesmo vrtice

Nmero Mximo de ArestasNmero Mximo de Arestas

O nmero de pares diferentes no-ordenados(vi,vj) com vivj em um grafo com n vrtices n*(n-1)/2

Assim, o nmero mximo de arestas em qualquegrafo no-orientado com n vrtices n*(n-1)/2

Um grafo no-orientado com n vrtices e comexatamente n*(n-1)/2 arestas denominadocompleto; caso contrrio denominado

incompleto (ou no-completo)Para o caso de um grafo orientado com n

vrtices, o nmero mximo de arestas n*(n-1)

17

Nmero Mximo de ArestasNmero Mximo de ArestasIntuitivamente, em um grafo completo com n

vrtices, cada um dos n vrtices incidente a (n-1) arestas; assim, cada aresta contada duasvezes, ou seja, resultando em n*(n-1)/2

1

2

5

4

3

1

2

3

4

Nmero Mximo de Arestas emNmero Mximo de Arestas em

uma rvoreuma rvoreUma rvore com n vrtices possui exatamente

(n-1) arestas

1

2

4 5

3

6 7

4

5

12

3

rvore1 rvore2


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Grafos Completo e IncompletoGrafos Completo e Incompleto

G1 o grafo completo com 4 vrtices,enquanto que G2 e G3 so grafosincompletos

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1

Grafos CompletosGrafos Completos

Em geral, Kn denota o grafo completo comn vrtices

1 1

2

1 3

2

1

2

3

4

1

2

5

3

K1 K2 K3 K4 K5

21

Vrtices AdjacentesVrtices Adjacentes

Sendo (u,v) uma aresta em E(G), dizemosque os vrtices u e v so adjacentes e quea aresta (u,v) incidente nos vrtices u ev

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1

Vrtices AdjacentesVrtices Adjacentes

Os vrtices adjacentes ao vrtice 3 em G2 so 1,6 e 7

Em G3, as arestas incidentes ao vrtice 2 so(1,2), (2,1) e (2,3)

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1

23

GrauGrauO grau de um vrtice v, escrito como grau(v), o nmero

de arestas incidentes no vrtice v Caso G seja um grafo orientado:

o grau de entrada de um vrtice v definido como sendo onmero de arestas para as quais v seja o trmino

o grau de sada o nmero de arestas para as quais v o incio

Em grafo G com n vrtices {v1, v2, ..., vn} e e arestas, fcil perceber que

No restante desta apresentao vamos nos referir a umgrafo orientado como dgrafo; um grafo no-orientadoser, por vezes, chamado simplesmente de um grafo

=

=n

i

ivgraue1

)(2

1

GrauGrauO grau de vrtice 1 em G1 3

O vrtice 2 de G3 tem grau de entrada igual a 1,grau de sada igual a 2 e grau igual a 3

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1


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SubgrafoSubgrafo

Um subgrafo de G um grafo G' tal queV(G') V(G) e E(G') E(G)

1

2 3

4

1

2 3 2 3

4

Subgrafos de G1

1

2 3

4

1

G1

SubgrafoSubgrafo

Um subgrafo de G(V,E) um grafoG(V,E) tal que V(G') V(G) e E(G') E(G)

Subgrafos de G3

1

2

3

G3

1

2

3

1

2

3

1

22

27

CliqueClique

O clique de um grafo G um subgrafo deG que seja completo

1

2

3

4

G

1

2

3

clique de G

CaminhoCaminho

Um caminho (path) do vrtice vp para o vrtice vno grafo G uma seqncia de vrtices vp, vi1,vi2, ...,vin, vq de tal maneira que (vp,vi1), (vi1,vi2),...,(vin,vq) so arestas em E(G)

O comprimento (ou tamanho) de um caminho o nmero de arestas que ele contm

Um caminho simples um caminho em que sodiferentes todos os vrtices, com a possvelexceo do primeiro e o do ltimo

Um ciclo um caminho simples em que oprimeiro e o ltimo vrtices so iguaisUm trajeto um caminho no qual todas as

arestas so distintas

29

CaminhoCaminho

a b

d e

c

a b

d e

c

Caminho: a,b,e,d,cTamanho: 4

Ciclo: c,e,d,cTamanho: 3

CaminhoCaminho O caminho (1,2),(2,4),(4,3) em G1, tambm escrito como

1,2,4,3, caminho simples ao passo que (1,2),(2,4),(4,2)escrito como 1,2,4,2 tambm um caminho em G1, masno um caminho simples Ambos caminhos tm comprimento 3 em G1

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1


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31

CaminhoCaminho

1,2,3 um caminho simples orientado em G31,2,3,2 no um caminho em G3, uma vez que a

aresta (3,2) no se encontra em E(G3)

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1

CicloCiclo

1,2,3,1 um ciclo em G1 1,2,1 um ciclo orientado em G3 Normalmente, para grafos orientados, acrescentamos o

termo "orientado" aos termos ciclo e caminho

1

2 3

4

1

2

4

1

5

2

3

3

6 7

G2 G3G1

33

CaminhosCaminhos HamiltonianoHamiltoniano ee EulerianoEuleriano

Caminho ou Ciclo Hamiltoniano um caminho que contm

cada vrtice do grafoexatamente uma vez.

Um ciclo v1, ..., vk, vk+1 hamiltoniano quando ocaminho v1, ..., vk o for

Caminho ou Ciclo Euleriano um caminho que contm

cada aresta do grafoexatamente uma vez

caminho hamiltoniano 3, 4, 5, 2,

1, 6 caminho euleriano 3, 4, 5, 3, 2,

5, 6, 2, 1, 6

1

4

2 6

3 5

Vrtices e Grafos InterligadosVrtices e Grafos Interligados

Em um grafo no-orientado G dois vrtices vp evq se dizem interligados se houver um caminhoem G desde vp at vq (uma vez que G no orientado, isto significa que h tambm umcaminho desde vq at vp)

Um grafo no-orientado se diz interligado(conexo) se para cada par de vrtices individuaisvi e vj em V(G) existe um caminho desde vi at vj

em G; caso contrrio G no-interligado(desconexo)Assim, se e


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37

Componente ConexoComponente Conexo

Uma rvore um grafo conexo sem ciclos(acclico)

Uma floresta uma coleo de rvores

1

2 3

5

4

1211

1310

14

181715

16 19

98

76

20

rvore

rvore

rvore

rvore


Uma rvore um grafo conexo sem ciclos(acclico)

Uma floresta uma coleo de rvores

1

2 3

5

4

1211

1310

14

181715

16 19

98

76

20

rvore

rvore

rvore

rvore

Floresta

39

rvore um Grafo Conexo Acclicorvore um Grafo Conexo Acclico

Teorema: Um grafo G uma rvore se e somente se existir um nico

caminho entre cada par de vrtices G

Prova: Se G uma rvore ento G conexo Portanto existe pelo menos um caminho entre cada par de

vrtices v e w de G Suponha que existem dois caminhos distintos (v,P1,w) e (v,P2,w)

entre v e w; ento o caminho (v,P1,w,P2,v) forma um ciclo, o quecontradiz G ser acclico

Reciprocamente, se existe exatamente um caminho entre cadapar de vrtices de G, ento o grafo obviamente conexo, e almdisso no pode conter ciclos

Portanto, G uma rvore


Um grafo orientado G se diz fortementeconexo (fortemente interligado) se paracada par de vrtices diferentes vi e vj emV(G) existe um caminho orientado desde vat vj e tambm de vj para vi

Um componente fortemente interligado

um subgrafo mximo fortementeinterligado

41

Componente ConexoComponente ConexoO grafo G3 no est fortemente interligado, uma

vez que no existe nenhum caminho de v3 at v2G3 tem dois componentes fortemente interligados

1

2

3

G3

1

2

Componentes de G3 fortemente interligados

3

DistnciaDistnciaA distncia d(v,w) entre dois vrtices v e w de

um grafo o tamanho do menor caminho entre ve w

No exemplo, d(1,4) = 1

1

2 3

4

G1


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43

ExcentricidadeExcentricidade

A excentricidade de um vrtice v adistncia mxima entre v e w, para todo wde V(G)

7

1 2

4 3

56

37

36

25

24

23

3231

ExcentricidadeVrtice

CentroCentro

O centro de um grafo G o subconjuntode vrtices de excentricidade mnima

No exemplo, centro(G)={3,4,5}

7

1 2

4 3

56

37

36

25

24

23

3231

ExcentricidadeVrtice

45

SubgrafoSubgrafo e rvore de Coberturae rvore de Cobertura

O subgrafo de espalhamento (spanning graph),ou subgrafo geradorou subgrado estendido,de um grafo G1(V1,E1) um subgrafo G2(V2,E2)de G1, onde V1 = V2

Quando o subgrafo de espalhamento umarvore, ele recebe o nome de rvore deespalhamento, ou rvore geradora ou rvoreestendida (spanning tree)

Dessa forma, a rvore de geradora de um grafo

G uma rvore contendo todos os vrtices de GUm grafo G pode possuir vrias rvores de

cobertura

SubgrafoSubgrafo e rvore de Coberturae rvore de Cobertura

G2, G3 e G4 so subgrafos de cobertura de G1 G3 e G4 so subgrafos de cobertura de G2 G4 subgrafo de cobertura de G3 G4 rvore de cobertura de G1, G2 e G3

1

2 3

4

G1

1

2 3

4

G2

1

2 3

4

G3

1

2 3

4

G4

47

rvore de Coberturarvore de CoberturaTodo grafo conexo G(V,E) possui uma

rvore de cobertura que pode ser obtida daseguinte forma Para cada aresta (u,v) E(G)Se G(V,E-{(u,v)}) for conexo ento remova (u,v) de

G

Quando todas as arestas quepermanecerem tiverem sido consideradas,o grafo resultante uma rvore de

cobertura de G

PlanaridadePlanaridade Seja G um grafo e uma representao geomtrica de G

em um plano (duas dimenses)A representao denominada plana quando no houve

cruzamento de linhas (exceto nos vrtices) Um grafo denominado planarse possuir pelo menos

uma representao planaAs linhas de representao dividem o plano em regies,

denominadas faces Existe exatamente uma regio ilimitada (chamada face externa) Duas representaes planas de um mesmo grafo possuem

sempre o mesmo nmero de faces

Todo grafo planar admite uma representao plana em

que todas as linhas so retas


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49

PlanaridadePlanaridade

Se G um grafo planar ento n+f= e+2 n=|V|, e=|E|, f o nmero de faces

Se G um grafo planar ento e 3*n-6

Assim, quanto maior o nmero de arestas em relao aonmero de vrtices, mais difcil se torna obterrepresentaes planas

1 1

2

1 3

2

K1 K2 K3

K1, K2 e K3 soplanares




K4 plan

1

2

3

4

K4

1

2

3

4

K4

1

2

3

4

K4

Representaono planar

Representaoplanar

Representaoplanar com todas linhas retas

51




K5 no planar

1

2

5

4

3

K5

1

2

5

4

3

K5




G no planar

1 2 3

G

4 5 6

53

ColoraoColoraoUma colorao de G(V,E) uma atribuio de

alguma cor para cada vrtice de V, de forma quedois vrtices adjacentes possuam cores distintas

Uma k-colorao uma colorao que utiliza ummximo de k cores

O nmero cromtico de um grafo G nmeromnimo de cores k para o qual existe uma k-colorao de G

Colorir um grafo simples, entretanto no trivialencontrar um algoritmo eficiente para obtenodo nmero cromtico; na realidade ainda

desconhecido um algoritmo eficiente para isso

ColoraoColoraoNumero cromtico de G1 = 4; G2 = 3, G3 =

2; G4 = 2

1

2 3

4

1

2

4 5

3

6

G4G1

1

2 3

4

G2

1

2 3

4

G3


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55

ColoraoColorao

O problema das 4 cores, ou colorao de mapasusando quatro cores, data de 1852 quando o inglsFrancis Guthrie observou que apenas quatro cores eramsuficientes para colorir o mapa dos condados daInglaterra

O problema das 4 cores consiste em colorir os pases deum mapa arbitrrio plano, cada pas com uma cor, de tal

forma que pases fronteirios possuam cores diferentes,usando no mximo 4 cores, teorema provado em 1977por Appel e Haken

Desde a prova do teorema, os algoritmos mais eficientesencontrados para 4-colorao de mapas quererem O(n2),onde n o nmero de vrtices

ColoraoColorao

Cada regio do mapa substituda por um vrtice

Dois vrtices so conectados por uma aresta se esomente se as duas regies so fronteirias(compartilham um segmento de borda)

1

2

43

1

2

43

57

EspecificaoEspecificao

bool Graph::Empty(); retorna true se o grafo est vazio; false caso contrrio

int Graph::numVertices(); Retorna o nmero de vrtices

int Graph::numEdges(); Retorna o nmero de arestas

int Graph::Size(); Retorna o nmero de vrtices mais arestas

vertex Graph::Vertex(int i) Retorna o i-simo vrtice, 1


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61

Matriz de AdjacnciasMatriz de Adjacncias

Seja G=(V,E) um grafo com n vrtices, n1A matriz de adjacnciasA de G um arranjo

bidimensional n x n com a propriedade de que A[i,j] = 1 se a aresta (vi,vj) pertence a E(G) A[i,j] = 0 caso contrrio

A matriz de adjacncias para um grafo no-orientado simtrica, pois a aresta (vi,vj) est em E(G), se a aresta(vj,vi) tambm est em E(G)

A matriz de adjacncias de um grafo orientado no necessariamente simtrica

O espao necessrio para representar um grafo usando amatriz de adjacncias de n2 bits Aproximadamente metade desse espao pode ser poupado no

caso dos grafos no-orientados, armazenando apenas o tringulosuperior ou inferior da matriz


0

1

11

4

1114

0113

10121101

3211

2 3

4

G1

0

1

0

3

003

012

101

21

1

2

3

G3

63


1

2

4 5

3

6 7

G21

1

0

0

0

0

1

3

0

0

0

0

0

1

0

4

0

0

0

0

0

1

0

5

11013

00104

00105

00006

0

0

0

7

0007

0012

0101

621


0

1

0

1

0

0

0

0

6

01100006

0

0

0

1

0

0

1

3

0

0

0

0

1

1

0

4

0

0

0

0

0

0

0

5

00013

00104

00005

10007

0

0

0

8

1008

0012

0101

721

1

2 3

4

G4

5

6 7

8

65

Matriz de AdjacnciasMatriz de AdjacnciasA partir da matriz de adjacncias possvel

determinar se existe uma aresta que ligaquaisquer dois vrtices vi e vj

Para um grafo no-orientado, o grau de qualquervrtice vi vem a ser a soma de sua linha:

Para um grafo orientado, a soma da linha ograu de sada ao passo que a soma da colunavem a ser o valor grau de entrada

=

n

j

jiA1

],[

Matriz de AdjacnciasMatriz de Adjacncias Suponha que queremos responder perguntas sobre

grafos tais como: Quantas arestas existem em G? Ser que G est interligado?

Usando as matrizes de adjacncias, todos os algoritmosvo exigir, pelo menos, O(n2) de tempo uma vez que (n2-n) entradas da matriz (a diagonal principal possuisomente zeros) tm de ser examinadas

Se o grafo for esparso, isto , quando a maioria dostermos na matriz de adjacncias for zero, possvelresponder as perguntas acima em tempo O(n+e), onde e o nmero de arestas em G e e


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67

Lista de AdjacnciasLista de Adjacncias

Nesta representao as n linhas da matriz deadjacncias so representadas como n listasencadeadas, ou seja, existe uma lista para cadavrtice em G

Os ns na lista i representam os vrtices que so

adjacentes ao vrtice viCada n possui, pelo menos, dois campos Um campo que contm o ndice do vrtice adjacente

ao vrtice vi Um campo de ligao com o prximo vrtice adjacente

ao vrtice vi


1

2 3

4

G1

2 3

4

3

2

1 4

1 3 4

1 2 4

1 2 3

N decabealho

N de lista

69


G3

2

3

2

1

1 31

2

3


1

2

4 5

3

6 7

G2

2

7

6

5

4

3

2

1

2

3

3

2 3

1 4 5

1 6 7

71


1

2 3

4G4

5

6 7

8

87

6

5

4

3

2

1

7

2 3

1 4

1 4

6

2 3

5 7

6 8

Lista de AdjacnciasLista de Adjacncias Cada lista possui um n de cabealho (incio ou headda

lista) Os ns de cabealho so seqenciais, permitindo fcil acesso

aleatrio lista de adjacncias de determinado vrtice

No caso de um grafo no-orientado com n vrtices e aarestas, essa representao requer n ns de cabealho e2*a ns de lista, sendo que cada n de lista possui 2campos (vrtice adjacente + ligao)

Em termos de quantidade de bits de memria necessriaessa contagem deve ser multiplicada por log2(n) para osns de cabealho e por log2(n)+log2(a) para os ns delista, uma vez que so necessrios Iog2(x) bits pararepresentar um nmero de valor x

Em alguns casos os ns podem ser condensadosseqencialmente nas listas de adjacncias eliminando-seos campos de ligao


13/40

73


O grau de qualquer vrtice em um grafo no-orientado pode ser determinado simplesmentecontando o nmero de ns na respectiva lista deadjacncias

Portanto, o nmero total de arestas pode serdeterminado em tempo O(n+e)

No caso de um dgrafo, o nmero total de arestascorresponde ao nmero de ns de lista

O grau-de-sada de qualquer vrtice pode serdeterminado contando o nmero de ns na listade adjacncias

O nmero total de arestas em G pode, portanto,ser determinado em O(n+e)


Determinar o grau de entrada de um vrtice uma tarefaum pouco mais complexa, havendo necessidade de teracesso repetidamente a todos os vrtices adjacentes aoutro vrtice

Assim, talvez seja conveniente o esforo de manter outroconjunto de listas, alm das listas de adjacncias

Esse conjunto de listas, chamado de listas de

adjacncia inversa, conter uma lista para cada vrtice Cada vrtice conter um n para cada vrtice adjacente ao vrtic

que representa

Alternativamente, pode-se adotar Listas Cruzadas,estrutura tambm utilizada para a representao dematrizes esparsas

75

Lista de Adjacncias InversaLista de Adjacncias Inversa

G3

2

3

2

1

1 3

1

2

3

2

3

2

1

1

2

Lista de Adjacncias

(arestas que partem de cada n)

Lista de Adjacncias Inversa

(arestas que chegam em cada n)

RepresentaoRepresentao

Em algumas situaes so atribudos pesos sarestas de um grafo

Esses pesos podem representar a distncia deum vrtice para outro ou o custo de se passar deum vrtice para outro adjacente

Neste caso as entradas da matriz de adjacnciasA[i,j] mantm tambm essas informaesNo caso das listas de adjacncias, essa

informao sobre pesos pode ser conservada

nos ns de listas, incluindo um campo adicionalUm grafo com arestas dotadas de pesos

denominado rede ou grafo ponderado

77

BuscaBuscaPartindo-se do n de raiz de uma rvore binria,

uma das coisas que se efetua de forma muitofreqente atravessar a rvore e visitar os nsem alguma seqncia Por exemplo, as trs maneiras bsicas de fazer isto

so: pr-ordem, em-ordem e ps-ordem

Um problema anlogo ocorre em grafos: sendoG(V,E) um grafo no-orientado e um vrtice v emV(G), estamos interessados em visitar todos os

vrtices em G que so alcanveis a partir de v(isto , todos os vrtices interligados a v)

Busca em GrafosBusca em GrafosSeja G um grafo conexo em que todos os seus

vrtices se encontram desmarcados Inicialmente, marca-se um vrtice

arbitrariamente escolhidoAps isso, seleciona-se algum vrtice v que

esteja marcado e seja incidente a alguma aresta(v,w) ainda no selecionada

A aresta (v,w) torna-se ento selecionada e ovrtice w marcado (caso ainda no o seja)

O processo termina quando todas as arestas de

G tiverem sido selecionadas


14/40

79

Busca em GrafosBusca em Grafos

Quando a aresta (v,w) selecionada a partir dovrtice marcado v, diz-se que (v,w) foi visitada(ou explorada) e o vrtice w foi alcanado

Um vrtice torna-se visitado (ou explorado)quando todas as arestas incidentes a ele tiverem

sido exploradasAssim, durante o processo de explorao de um

vrtice possvel que este venha a ser alcanadodiversas vezes

O vrtice inicial denominado raiz da busca


procedure GeneralSearch

escolher e marcar um vrtice inicial (raiz dabusca);

while existe algum vrtice v marcado e incidente auma aresta (v,w) no exploradado

escolher o vrtice v;

visitar a aresta (v,w);

if w no est marcadothen

marcar w;

endif

endwhile

endGeneralSearch

1

2 3

4

1

2

4 5

3

6 7

G2G1

81


Na busca geral, a escolha do prximovrtice e da aresta a ser visitada arbitrria

Nos critrios de busca em profundidade ebusca em largura a escolha do prximovrtice torna-se nica Entretanto, a escolha do vrtice inicial e aresta

incidente permanece arbitrria


Busca em Profundidade (depth first search) Uma busca dita em profundidade quando o critrio de escolha

do vrtice marcado (a partir do qual ser realizada a prximavisita de aresta) obedecer ao seguinte: Dentre todos os vrticesmarcados e incidentes a alguma aresta ainda no visitada,escolher aquele mais recentemente alcanado na busca

Busca em Largura (breadth first search) Uma busca dita em largura quando o critrio de escolha do

vrtice marcado (a partir do qual ser realizada a prxima visitade aresta) obedecer ao seguinte: Dentre todos os vrticesmarcados e incidentes a alguma aresta ainda no visitada,

escolher aquele menos recentemente alcanado na busca

83

Busca em ProfundidadeBusca em ProfundidadeA pesquisa em profundidade de um grafo se

realiza da seguinte maneira: Visita-se o vrtice inicial v Em seguida um vrtice no visitado w, adjacente a v,

selecionado iniciando-se uma pesquisa emprofundidade, a partir de w

Atingindo-se um vrtice u tal que tenham sido visitadostodos seus vrtices adjacentes, voltamos para o ltimovrtice visitado que tem vrtice w no visitadoadjacente ao mesmo e iniciamos uma pesquisa emprofundidade a partir de w

A busca termina quando nenhum vrtice no

visitado pode ser atingido de qualquer umdaqueles que foram visitados

Busca em ProfundidadeBusca em Profundidade

d fe

a

b c

g

h i j k

Inserir na frente, remover da frente: a


15/40


16/40


17/40

97

SoluoSoluo

Fornea a ordem em queso visitados os vrticesdo grafo ao lado usandobusca em profundidade(caso um vrtice tenhamais de um vrticeadjacente a ele, visiteprimeiro os vrtices de

menor nmero),assumindo a raiz dabusca como: vrtice 1

1,2,4,5,3,6,7 vrtice 4

4,2,1,3,6,7,5

1

2

4 5

3

6 7

G2

1

2

4

5

3

6 7G

2

Algoritmo de Busca emAlgoritmo de Busca emProfundidadeProfundidade// Dado um grafo G=(V,E) com n vrtices e arranj

VISITED[1..n] zerado inicialmente, este algoritmvisita em profundidade todos os vrticealcanveis a partir de v

procedure DepthFirstSearch(v)

VISITED[v] true; // marque v como visitado

for cada vrtice w adjacente a vdo

if not VISITED[w] thenDepthFirstSearch(w);

endif

next w

endDepthFirstSearch

100

Algoritmo de Busca emAlgoritmo de Busca emProfundidadeProfundidade

procedure DepthFirstSearch(v)


for cada vrtice w adjacente a vdo

if not VISITED[w] then

DepthFirstSearch(w)

endif

next w

endDepthFirstSearch

// procedimento que chama DepthFirstSearch

for i 1 to n do

VISITED[i] false;next i

escolher vrtice raiz da busca, v;

DepthFirstSearch(v);

Algoritmo de Busca emAlgoritmo de Busca emProfundidadeProfundidade

Como pode ser observado, o algoritmo de buscaem profundidade possui uma chamada recursivano final

Portanto o algoritmo recursivo pode sersubstitudo por uma verso iterativa por meio douso de uma pilha

Alm disso, as arestas de retorno tambm podem

ser visitadas estendendo o algoritmo fornecidoA implementao dessas alteraes deixada

como exerccio

103

Busca em LarguraBusca em Largura

d fe

a

b c

g

h i j k

Inserir no final, remover da frente: a


d fe

a

b c

g

h i j k

Inserir no final, remover da frente: b, c


18/40


19/40

111


d fe

a

b c

g

h i j k

Inserir no final, remover da frente: i, j, k


d fe

a

b c

g

h i j k

Inserir no final, remover da frente: j, k

113


d fe

a

b c

g

h i j k

Inserir no final, remover da frente: k


d fe

a

b c

g

h i j k

Ordem de visita partindo do vrtice a: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k

115

ExerccioExerccio Fornea a ordem em que

so visitados os vrticesdo grafo ao lado usandobusca em largura (casoum vrtice tenha mais deum vrtice adjacente aele, visite primeiro osvrtices de menornmero), assumindo a raizda busca como: vrtice 1

vrtice 4

1

2

4 5

3

6 7

G2

SoluoSoluo Fornea a ordem em que

so visitados os vrticesdo grafo ao lado usandobusca em largura (casoum vrtice tenha mais deum vrtice adjacente aele, visite primeiro osvrtices de menornmero), assumindo a raizda busca como: vrtice 1

1,2,3,4,5,6,7

vrtice 44,2,1,5,3,6,7

1

2

4 5

3

6 7

G2

1

2

4

5

3

6 7G2


20/40

117

Algoritmo de Busca em LarguraAlgoritmo de Busca em Largura

Para o algoritmo de busca em largura, uma filaser necessria

Para tanto, assume-se que os mtodos do ADTfila encontram-se disponveis Quando um vrtice adicionado na fila, usa-se a

operao Append (inserir no final)

Quando um vrtice retirado da f ila, usa-se aoperao Serve (retirar do incio) O mtodo Empty retorna true se a fila est vazia;

false caso contrrio

Como na busca em profundidade, as arestas deretorno tambm podem ser visitadas estendendoo algoritmo, o que deixado como exerccio


// Uma pesquisa em largura de G=(V,E) com n vrtices iniciada apartir do vrtice v. Todos os vrtices visitados so marcadoscomo sendo VISITED[i]. O arranjo VISITED[1..n] zeradoinicialmente

procedure BreadthFirstSearch(v)


definir uma fila Q vazia

Q.Append(v);

while not Q.Empty() do

Q.Serve(v); // retire v da fila Q

forpara cada vrtice w adjacente a vdoif not VISITED[w] then

Q.Append(w); // adicione w fila Q

VISITED[w] true; // marque w como visitado

endif

next w

endwhile

endBreadthFirstSearch

121


procedure BreadthFirstSearch(v)


definir uma fila Q vazia

Q.Append(v);

while not Q.Empty() do

Q.Serve(v); // retire v da fila Q

forpara cada vrtice w adjacente a vdo

if not VISITED[w] then

Q.Append(w); // adicione w fila Q

VISITED[w] true; // marque w como visitado

endif

next w

endwhile

endBreadthFirstSearch

// procedimento que chama BreadthFirstSearch

for i 1 to n doVISITED[i] false;

next i

escolher vrtice raiz da busca, v;

BreadthFirstSearch(v);

Componentes ConexosComponentes Conexos

Sendo G um grafo no-orientado, pode-se determinar seest ou no interligado, por simplesmente executandoDFS ou BFS para, em seguida, determinar se existealgum vrtice no visitado

O tempo necessrio para se fazer isto de O(n2), seforem utilizadas matrizes de adjacncias e O(e) se foremutilizadas listas de adjacncias

Um problema mais interessante aquele em que sedeterminam todos os componentes conexo de um grafo,efetuando chamadas repetidas, a DFS(v) ou BFS(v),sendo v um vrtice ainda no visitado

Isso nos leva ao algoritmo Comp, que determina todos ocomponentes conexos de um grafo G

O algoritmo faz uso de DFS, sendo possvel substitu-lopor BFS, sem afetar o tempo de computao

124

Componentes ConexosComponentes Conexos// Determina os componentes conexos de G, que tem n 1

vrtices; VISITED agora um arranjo local.

procedure COMP()

// marcar todos os vrtices como no visitados

for i 1 to n do

VISITED[i] false;

next i

for i 1 to n do

if not VISITED[i] then

DepthFirstSearch(i); // procure um componente

d sada em todos os vrtices recm visitados,

junto com todas as arestas que incidem nos mesmos;

endif

next i

endCOMP

Componentes ConexosComponentes Conexosprocedure COMP()

// marcar todos os vrtices como no visitados

for i 1 to n do

VISITED[i] false;

next i

for i 1 to n do

if not VISITED[i] then

DepthFirstSearch(i); // procure um componente

d sada em todos os vrtices recm visitados,

junto com todas as arestas que incidem nos mesmos;

endif

next i

endCOMP1

2 3

4

G4 5

6 7

8

H2H1


21/40

126

Componentes ConexosComponentes Conexos

Se G for representado por lista de adjacncias, o tempototal consumido por DFS de O(e) A sada pode ser completada em tempo O(e), contando que DFS

mantenha uma relao de todos os vrtices recm visitados

Uma vez que os laos forconsomem O(n), o tempo totalnecessrio para gerar todos os componentes conexos O(n+e)

Em virtude da definio de um componente conexo,

existe um caminho entre cada par de vrtices nocomponente e no existe caminho em G do vrtice v paraw, se v e w estiverem em dois componentes diferentes

Assim, se A matriz de adjacncias de um grafo no-orientado (A simtrica), seu fechamento transitivo A+pode ser determinado em tempo O(n2) por sedeterminarem primeiro os componentes conexos (queser visto mais adiante)

rvore de Coberturarvore de Cobertura

Sendo um grafo G conexo, uma pesquisa emprofundidade ou em largura, comeando em qualquervrtice, visita todos os vrtices em G

Nesse caso, as arestas de G so divididas em doisconjuntos T, para arestas de rvore e B, para arestas de retorno, ou frondes

sendo T o conjunto de arestas utilizadas ou atravessadas

durante a busca e B o conjunto de arestas remanescente O conjunto T pode ser determinado por se inserir o

comando seguinte nas clusulas then de DFS e BFS T T {(v, w)}

As arestas em T formam uma rvore que inclui todos osvrtices de G, ou seja, uma rvore de cobertura de G

128


rvores de cobertura resultantes de busca emprofundidade e em largura de G, comeando pelovrtice 1

1

2

4 5

3

6 7

G

8

1

2

4 5

3

6 7

rvore de cobertura

DFS(1)

8

1

2

4 5

3

6 7

8

rvore de cobertura

BFS(1)


Se os ns de G representarem, por exemplo, cidades e aarestas representarem possveis meios de comunicaoentre duas cidades ento o nmero mnimo necessrio delos para interligar n cidades de (n-1) arestas As rvores estendidas de G representaro todas as escolhas

possveis Todavia, em situaes prticas so designadas s

arestas determinadas ponderaes Essas ponderaes podem representar o custo da construo, o

comprimento de ligao etc

Tendo um grafo ponderado, seria ento desejvel

selecionar para fins de construo um conjunto de elos dcomunicaes que interligariam todas as cidades, tendocusto total mnimo ou extenso total mnima Em qualquer dos casos os elos selecionados tero que formar

uma rvore (admitindo que sejam positivas todas as ponderaes

130

rvore de Coberturarvore de CoberturaAssim sendo, a seleo dos elos contm

ciclosA remoo de qualquer um dos elos desse

ciclo resultar numa seleo de elos decusto mais baixo, para interligar todas ascidades

O objetivo encontrar uma rvore decobertura de G com custo mnimo

O custo de uma rvore de cobertura ser asoma dos custos das arestas dessa rvore

rvore de Cobertura de Custorvore de Cobertura de Custo

MnimoMnimoUma abordagem para determinao de uma

rvore estendida de custo mnimo de um grafo foproposta por Kruskal

Nessa abordagem construda, aresta poraresta, uma rvore estendida de custo mnimo T

So consideradas as arestas para incluso em Tpor ordem crescente de seus custos

Uma aresta includa em T, caso no forme ciclocom as arestas j existentes em T

Uma vez que G est interligado e possui n > 0vrtices, sero selecionadas exatamente n-1

arestas para incluso em T


22/40

132

rvore de Cobertura de Custorvore de Cobertura de CustoMnimoMnimo

Quais as duas primeiras arestas a seremincludas em T, lembrando que as arestas soselecionadas por ordem crescente de seuscustos?

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

Componentes conexos: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}


As primeiras duas arestas (2,3) e (2,4)esto includas em T

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

5

Componentes conexos: {1}, {2,3}, {4}, {5},

134


As primeiras duas arestas (2,3) e (2,4)esto includas em T

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

36

5

Componentes conexos: {1}, {2,3,4}, {5}, {6}


A prxima aresta a ser considerada (4,3)que liga entre si dois vrtices j interligadosem T e por isso rejeitada

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

36

5

10

Componentes conexos: {1}, {2,3,4}, {5}, {

136


MnimoMnimoA aresta (2,6) selecionada...

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

11

6

5

Componentes conexos: {1}, {2,3,4,6}, {5}


MnimoMnimoA aresta (2,6) selecionada, ao passo que (4,6)

rejeitada, uma vez que os vrtices 4 e 6 jesto ligados em T, sendo que a incluso de(4,6) resultaria num ciclo

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

11

14

6

5

Componentes conexos: {1}, {2,3,4,6}, {5


23/40

138


Finalmente, so includas as arestas (1,2)...

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

16

11

6

5

Componentes conexos: {1,2,3,4,6}, {5}


Finalmente, so includas as arestas (1,2) e(4,5)

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

16

11

18

6

5

Componentes conexos: {1,2,3,4,5,6}

140


Nesse ponto, T possui n-1 arestas, sendo umarvore que abrange n vrtices

A rvore de cobertura obtida tem custo de 56

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

16

11

18

6

5

rvore de cobertura de custo mnimo de G


A seqncia de arestas consideradas para seremincludas na rvore de cobertura de custo mnimo foi: (2,3), (2,4), (4,3), (2,6), (4,6), (1,2) e (4,5)

Isto corresponde seqncia de custos 5, 6, 10, 11, 14, 16 e 18

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

16

11

18

6

5

rvore de cobertura de custo mnimo de

142

ExerccioExerccioEncontre a rvore de cobertura de custo

mnimo do grafo G e o custocorrespondente

4

6

21

5

3

14

5

11 21

3318

19

7

3

6

G

4

6

21

5

3

SoluoSoluoT = {(2,3), (1,5), (3,4), (1,6), (1,2)}

Custo(T) = 39

4

6

21

5

3

14

5

11 21

3318

19

7

3

6

G rvore de cobertura de custo mnimo de

4

6

21

5

3

14

5

113

6


24/40

144

Algoritmo deAlgoritmo de KruskalKruskal

function Kruskal

1 T ;

2 while T contm menos de n-1 arestas andE no vazio do

3 escolha uma aresta (v,w) de E, de menor custo;

4 E E {(v,w)}; // remova (v,w) de E

5 if (v,w) no cria um ciclo em T then

6 T T {(v, w)}; // adicione (v,w) a T

7 endif

8 endwhile

9 if T contm menos de n-1 arestasthen

10 T ; // nenhuma rvore de cobertura encontrada

11 endif

12 return T;

endKruskal


Inicialmente, E o conjunto de todas as arestas em G As nicas funes realizadas com este conjunto so:

(i) determinar uma aresta com custo mnimo (linha 3) e (ii) remover essa aresta (linha 4)

Ambas funes podem ser realizadas com eficincia, contanto que aarestas em E sejam mantidas como lista seqencial ordenada porcustos

Na realidade, no essencial classificar todas as arestas, contantoque a prxima aresta para a linha 3 possa ser determinada com

facilidade A ordenao pelo mtodo heapsortserve de maneira ideal para isto permite que a prxima aresta seja determinada e seja removida emtempo O(e*log(e)) A construo do heap em si requer tempo O(e)

O tempo de computao do algoritmo determinado pelas linhas 3 e4 que, no pior caso, de O(e*log(e))

146


Para se realizar eficientemente os passos 5 e 6, osvrtices em G devem ser agrupados de tal maneira quese possa facilmente determinar se os vrtices v e wjesto interligados pela seleo anterior de arestas Nesse caso, a aresta (v,w) deve ser descartada

Caso contrrio, (v,w) deve ser includa em T Um agrupamento possvel consistiria em se colocarem

todos os vrtices do mesmo componente conexo de Tnum conjunto (todos os componentes conexos de T serotambm rvores)

Assim, dois vrtices v e w, estaro interligados em T seestiverem no mesmo conjunto


No exemplo, onde se considera a aresta (4,3), osconjuntos seriam {1}, {2,3,4}, {5}, {6} Os vrtices 4 e 3 j esto no mesmo conjunto, de

forma que a aresta (4,3) rejeitada

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

36

5

10

148

Algoritmo deAlgoritmo de KruskalKruskal A prxima aresta a ser considerada (2,6), os conjuntos ainda so

{1}, {2,3,4}, {5}, {6} Como os vrtices 2 e 6 esto em conjuntos diferentes, a aresta aceita

interligando os dois componentes {2,3,4} e {6}

Esses dois componentes devem ser unidos para se obter o conjunto querepresenta o novo componente {2,3,4,6}

4

6

21

5

3

16

19

21 11

1433

18

6

5

10

G

4

6

21

5

3

11

6

5

Caminhos Mais CurtosCaminhos Mais Curtos Os grafos podem ser utilizados para representar a

estrutura rodoviria de um estado ou de um pas, com osvrtices representando cidades e as arestasrepresentando trechos de rodovia

As arestas podem ento ter ponderaes podem ser adistncia entre as duas cidades interligadas pela aresta,ou o tempo mdio necessrio para percorrer a referidaseo da rodovia ou mesmo o custo de combustvel

Um motorista que queira ir da cidadeA para a cidade Bestaria interessado em ter as respostas para: Existe um caminho que vai deA para B? Havendo mais de um caminho deA para B, qual o caminho mais

curto?


25/40

150

Caminhos Mais CurtosCaminhos Mais Curtos

Os grafos podem ser utilizados para representar aestrutura rodoviria de um estado ou de um pas, com osvrtices representando cidades e as arestasrepresentando trechos de rodovia

As arestas podem ento ter ponderaes podem ser adistncia entre as duas cidades interligadas pela aresta,ou o tempo mdio necessrio para percorrer a referida

seo da rodovia ou mesmo o custo de combustvel Um motorista que queira ir da cidadeA para a cidade B

estaria interessado em ter as respostas para: Existe um caminho que vai deA para B? Havendo mais de um caminho deA para B, qual o caminho mais

curto?

Caminhos Mais CurtosCaminhos Mais Curtos

O comprimento de um caminho agora definido como a soma das ponderaes dasarestas do caminho ao invs do nmero dearestas

O vrtice inicial do caminho ser denominadoorigem e o ltimo vrtice destino

Os grafos possivelmente sero dgrafos paralevar em conta as ruas de mo nica

A no ser que se indique ao contrrio,admitiremos que todas as ponderaes sopositivas

152

Origem nica de Todos os DestinosOrigem nica de Todos os Destinos

Sejam G(V,E) um grafo dirigido w(e) uma funo de ponderao para as

arestas de G vo o vrtice de origem

O problema consiste em se determinarquais os caminhos mais curtos de vo para

todos os demais vrtices de GAdmite-se que todas as ponderaes

sejam positivas


No exemplo, os nmeros aplicados s arestasso as ponderaes

Sendo vo=0 o vrtice de origem, o caminho maiscurto de 0 para 1 0,2,3,1 O comprimento desse caminho 10+15+20 = 45

0 1 4

2 3 5

50

15

15 3

20 10 20

10

35

30

45

154

Origem nica de Todos os DestinosOrigem nica de Todos os Destinos No exemplo, os nmeros aplicados s arestas so as ponderaes Sendo vo=0 o vrtice de origem, o caminho mais curto de 0 para 1

0,2,3,1 O comprimento desse caminho 10+15+20 = 45

Ainda que esse caminho apresente trs arestas, ele mais curto doque o caminho 0,1 cujo comprimento 50

No existe caminho de 0 para 5

450,4450,2,3,1

250,2,3

100,2

ComprimentoCaminho0 1 4

2 3 5

50

15

15 3

20 10 20

10

35

30

45

Caminhos mais curtos de vopara todos os destinos

Origem nica de Todos os DestinosOrigem nica de Todos os DestinosOs caminhos foram relacionados por ordem

crescente de comprimentoSe elaborarmos um algoritmo que gere os

caminhos mais curtos, nessa ordem, podemosento chegar a diversas observaes

Seja S o conjunto de vrtices (inclusive vo) paraas quais j foram encontrados os caminhos maiscurtos

Para o caso de w S, seja DIST[w] ocomprimento do caminho mais curto, partindo devo e passando unicamente por aqueles vrtices

que esto em S e que terminem em w


26/40

156


Observamos que (i) Se o prximo caminho mais curto for aquele que vai para o vrtice u, o

caminho comea em vo, termina em u e passa unicamente atravsdaqueles vrtices de S Para comprovar isto temos que mostrar que todos os vrtices intermedirios

no caminho mais curto para u esto em SAdmitamos que exista um vrtice w nesse caminho que no se encontre em S Nesse caso, o caminho de vo para u contm tambm um caminho de vo para

w que de comprimento inferior ao caminho de vo para u Supondo que os caminhos mais curtos esto sendo gerados em ordem

crescente de comprimento, o caminho mais curto vo para w j deve ter sido

geradoAssim sendo, no pode haver vrtice intermedirio que no esteja em S

(ii) O destino do prximo caminho gerado deve ser aquele vrtice u quetem a distncia mnima, DIST[u] entre todos os vrtices que no estoem S Isto decorre da definio de DIST e da observao (i) Caso existam diversos vrtices que no estejam em S, mas que tenham a

mesma DIST, qualquer um deles poder ser selecionado


(iii) Tendo selecionado um vrtice u, como em (ii) e tendo gerado o caminhmais curto de vo para u, o vrtice u passa a se tornar integrante de S Nesse ponto, poder diminuir o comprimento dos caminhos mais curto

comeando em vo e que passam atravs dos vrtices em S, que terminam em uvrtice w que no est em S

Em outras palavras, o valor de DIST[w] poder sofrer alterao Caso no mude, isto ser devido a um caminho mais curto que comea em vo

que vai a u e depois a w Os vrtices intermedirios no caminho vo para u e no caminho de u para w deve

todos estar em S Alm do mais, o caminho de vo para u deve ser o caminho mais curto (ca

contrrio, DIST[w] no foi definida corretamente) O caminho de u para w pode ser escolhido para no conter quaisquer vrticintermedirios

Podemos, portanto, concluir que se DIST[w] vai mudar (isto , diminuir), evirtude de um caminho de vo para u para w, onde o caminho de vo para u caminho mais curto, sendo que o caminho de u para w a aresta (u,w)

O comprimento desse caminho ser DIST[u] + custo da aresta (u,w)

159


O algoritmo para encontrar o caminho mais curto foi enunciado pelaprimeira vez por Dijkstra e recorre s observaes precedentes a fimde determinar o custo dos caminhos mais curtos de vo para todos osdemais vrtices em G

Admite-se que os n vrtices de G so numerados de 1 at n O conjunto S mantido como um arranjo de bits com S[i]=false se o

vrtice i no esteja em S e sendo S[i]=true caso contrrio Admite-se ainda que o grafo est representado pela sua matriz de

adjacncias de custos, sendo COST[i,j] a ponderao da aresta (i,j) COST[i,j] conter algum nmero grande +, caso a aresta (i,j) no

esteja em E(G) Para i=j, COST[i,j] pode ser qualquer nmero no-negativo sem

afetar o resultado do algoritmo A gerao real dos caminhos uma extenso de menor importnciado prprio algoritmo, sendo deixada como exerccio

Algoritmo deAlgoritmo de DijkstraDijkstra

Inicialmente: vo = 5 (origem)

S vazio

DIST[i] consiste em COST[vo,i]

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

+

+

25

0

150

+

+

+

S = {}

161


Inicialmente: vo = 5 (origem)

S

DIST[i] consiste em COST[vo,i]

Coloque vo em S S S {v

o}

DIST[vo] 0

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

+

+

25

0

150

+

+

+

S = {5}


Escolha u tal que

DIST[u] = mn{DIST[w]} para todos w S

u = 6

Coloque u em S S S {u}

Para todos w S DIST[w] mn{DIST[w], DIST[u]+COST[u,w]}

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

+

+

25

0

150

+

+

+

S = {5}


27/40

163


Escolha u tal que DIST[u] = mn{DIST[w]} para todos w S

u = 6

Coloque u em S

SS {u}

Para todos w S DIST[w]mn{DIST[w], DIST[u]+COST[u,w]}

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

21

DIST

+

+

25

0

150

+

++

S = {5,6}


Escolha u tal que

DIST[u] = mn{DIST[w]} para todos w S u = 6



DIST[4] mn{DIST[4], DIST[6]+COST[6,4]} DIST[4]mn{150, 25+100} DIST[4]125 Analogamente para demais w S

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

21

DIST

+

+

25

0

150

+

++

S = {5,6}

165



u = 6

Coloque u em S S S {u} Para todos w S

DIST[w]mn{DIST[w], DIST[u]+COST[u,w]}

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

+

+

+

S = {5,6}


Escolha u tal que


u = 7

Coloque u em S S S {u} Para todos w S

DIST[w] mn{DIST[w], DIST[u]+COST[u,w]}

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

+

+

+

S = {5,6}

167



u = 7

Coloque u em S

SS {u}


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

+

+

+

S = {5,6,7}



u = 7


Para todos w S


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

+

+

+

S = {5,6,7}


28/40

169


Escolha u tal que


u = 4



1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

21

DIST

165

115

25

0

125

+

++

S = {5,6,7}



u = 4

Coloque u em S

SS {u}


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

21

DIST

165

115

25

0

125

+

++

S = {5,6,7,4}

171



u = 4


Para todos w S


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

+

+

S = {5,6,7,4}


Escolha u tal que


u = 8



1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

+

+

S = {5,6,7,4}

173



u = 8

Coloque u em S

SS {u}


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

+

+

S = {5,6,7,4,8}



u = 8


Para todos w S


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

+

335

S = {5,6,7,4,8}


29/40

175


Escolha u tal que


u = 3



1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

21

DIST

165

115

25

0

125

245

+335

S = {5,6,7,4,8}



u = 3

Coloque u em S

SS {u}


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

21

DIST

165

115

25

0

125

245

+335

S = {5,6,7,4,8,3}

177



u = 3


Para todos w S


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

325

335

S = {5,6,7,4,8,3}


Escolha u tal que


u = 2



1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

325

335

S = {5,6,7,4,8,3}

179



u = 2

Coloque u em S

SS {u}


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

140901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

10007

0

8

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

325

335

S = {5,6,7,4,8,3,2}



u = 2


Para todos w S


1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

1000

25

6

901006

120

0

3

150

0

4

0

5

801003

4

5

07

1708

0302

01

721

8

7

6

5

4

3

2

1

DIST

165

115

25

0

125

245

325

335

S = {5,6,7,4,8,3,2}


30/40

181


DISTVrtice

1651152501252453253355,6,7,4,8,3,2final

16511525012524532533525,6,7,4,8,36

16511525012524532533535,6,7,4,85

165115250125245+33585,6,7,44

165115250125245++45,6,73

165115250125+++75,62

165115250125+++651++250150+++5inicial

87654321SelecionadoSIterao

1

2 3 4 5

6

78

80

30 100

170

120 150

25

14090

100

100


// DIST[j], 1 j n posicionado para o comprimento do caminhomais curto do vrtice v at o vrtice j num dgrafo G com nvrtices. G representado por sua matriz de adjacncias decustos COST[1..n, 1..n]. S um arranjo declarado como S[1..n]

procedure ShortestPath(v, COST, DIST, n)

1for i 1 to n do // inicialize conjunto S como vazio

2 S[i] false; DIST[i] COST[v,i];3next j

4 S[v] true; DIST[v] 0; num 2 // coloque v no conjunto S5while num < n do // determine n-1 caminhos a partir de v

6 escolha u: DIST[u] = mn{DIST[w]} para todos w com S[w]=false

7 S[u] true; num num + 1; // coloque u no conjunto S8 for todos w com S[w]=falsedo // atualize as distncias

9 DIST[w] mn{DIST[w], DIST[u]+COST[u,w]};10 next w

11endwhile

endShortestPath

184

ExerccioExerccio

Utilize o algoritmo ShortestPath para obter, emseqncia crescente, os comprimentos doscaminhos mais curtos entre o vrtice 1 e todos osvrtices restantes do dgrafo

3

4

25

6

1

10

10

15

30

4

10

4

2

15

20

ExerccioExerccio

Utilize o algoritmo ShortestPath para obter, emseqncia crescente, os comprimentos doscaminhos mais curtos entre o vrtice 1 e todos osvrtices restantes do dgrafo

3

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6

1

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10

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15

20

0

15

3

4

15

0

4

10

0

10

5

1043

4

5

0

30

6

6

022

2001

21

186

SoluoSoluo

3

4

25

6

1

10

10

15

30

4

10

4

2

15

20

DISTVrtice

252929151901,3,2,6,4final

2529291519041,3,2,64

2529291519061,3,23

2529+1519021,32

25++15190311

+++152001inicial

654321SelecionadoSIterao

0

15

3

4

15

0

4

10

0

10

5

1043

4

5

0

30

6

6

022

2001

21Anlise deAnlise de ShortestPathShortestPathO tempo consumido pelo algoritmo em um

grafo com n vrtices : O lao forda linha 1 leva um tempo de O(n)

O lao while executado n-2 vezesCada execuo deste lao requer um tempo de

O(n) na linha 6, para selecionar o prximo vrtice enovamente, nas linhas 8-10 para atualizar DIST

Assim, o tempo total de execuo deO(n2)


31/40

188

Anlise deAnlise de ShortestPathShortestPath

Qualquer algoritmo de caminho mais curto deve examinar cadaaresta no grafo uma vez pelo menos, j que qualquer uma dasarestas poderia estar num caminho mais curto

Assim sendo, o tempo mnimo possvel seria O(e) Uma vez que foi utilizada matriz de adjacncias de custos para

representar o grafo, isso toma o tempo de O(n2) s para determinarquais as arestas que esto em G Assim qualquer algoritmo de caminho mais curto que utilizar essa

representao deve tomar O(n2) Dessa forma, o algoritmo ShortestPath encontra-se otimizado, dentro de

um fator constante No caso de listas de adjacncias, o tempo total para o lao fordas

linhas 8-10 pode ser reduzido para O(e) Uma vez que DlST pode mudar somente no caso dos vrtices adjacentes

a u O tempo total para a linha 6 continua a ser O( n2)

Caminhos Mais Curtos entre TodosCaminhos Mais Curtos entre Todosos Paresos Pares

O problema do caminho mais curto entre todos os paresrequer encontrar os caminhos mais curtos entre todos ospares de vrtices vi e vj, ij

Uma possvel soluo seria aplicar n vezes o algoritmoShortestPath, uma vez para cada vrtice em V(G) comoorigem O tempo total consumido seria O(n3)

Para o problema de todos os pares, podemos obter umalgoritmo mais simples em termos conceituais e quefuncionar ainda que algumas arestas em G tenhamponderaes negativas. contanto que G no tenha cicloscom comprimento negativo O tempo de computao desse algoritmo ainda ser O(n3),

embora seja menor o fator constante

190


O grafo G representado pela sua matriz deadjacncias de custos, com COST[i,i] = 0 e COST[i,j] = + caso a aresta (i,j), ij no esteja em G

Seja Ak[i,j] defindo como o custo do caminhomais curto de i atj que no passa por nenhumvrtice intermedirio com ndice superior a k

Nesse caso An[i,j] ser o custo do caminho maiscurto de i paraj em G, que possui n vrtices

A0[i,j] igual a COST[i,j] uma vez que os nicoscaminhos de i atj permitidos no podem incluirvrtices intermedirios


A idia bsica no algoritmo de todos os pares gerarsucessivamente as matrizes A0, A1, A2, ..., An

Se j tivermos gerado Ak-1, podemos gerar Ak, porcompreender que para qualquer par de vrtices i ej ou (a) o caminho mais curto de i paraj (que no atravessa

nenhum vrtice com ndice superior a k) no passa pelo vrtice kassim, seu custo ser Ak-1[i,j]

ou (b) o mais curto desses caminhos passa pelo vrtice k: essecaminho composto por uma rota de i at k e outro rota de k at

j; esses caminhos devem ser os caminhos mais curtos de i parae de k paraj que no atravessam nenhum vrtice com ndicesuperior a k-1; assim, seus custos so Ak-1[i,k] e Ak-1[k,j]

Isto verdade se G no tiver nenhum ciclo com ocomprimento negativo contendo o vrtice k

192

Caminhos Mais Curtos entre TodosCaminhos Mais Curtos entre Todos

os Paresos ParesAssim, obtemos as seguintes frmulas para

Ak[i,j]A0[i,j] = COST[i,j]Ak[i,j] = mn{Ak-1[i,j], Ak-1[i,k]+Ak-1[k,j]}, k1

O algoritmo AllCosts calcula An[i,j]O clculo efetuado na prpria matriz,

sendo eliminado o superscrito de A O clculo pode ser feito na prpria matriz uma

vez que Ak[i,k]=Ak-1[i,k] e Ak[k,j]=Ak-1[k,j] de

modo que a computao no altera o resultado

1

2 3

4

2

116 3

0+33

2062

11401

321COST

0+33

2062

11401

321A0

0733

2062

11401

321A1

0733

2062

6401

321A2

0733

2052

6401

321A3

ExemploExemplo


32/40

194

AlgoritmoAlgoritmoAllCostsAllCosts

// COST[1..n,1..n] a matriz de adjacncias de custos de um grafocom n vrtices; A[i,j] o custo do caminho mais curto entrevrtices i e j. COST[i,i]= 0, 1 i n

procedure AllCosts(n,COST,A)

1 for i 1to n do

2 for j 1 to n do

3 A[i,j] COST[i,j];4 next j

5 next i

6 for k 1 to n do

7 for i 1 to n do

8 for j 1 to n do

9 A[i,j] mn{A[i,j], A[i,k]+A[k,j]};10 next j

11 next i

12 next kendAllCosts

Fechamento TransitivoFechamento Transitivo

Um problema relacionado com o problema do caminhomais curto de todos os pares o de se determinar paracada par de vrtices i ej em G, a existncia de umcaminho de i atj

O comprimento do caminho igual ao nmero de arestas Sendo A a matriz de adjacncias de G, ento a matriz A+

que tiver a propriedade A+[i,j] = 1, se h um caminho de comprimento > 0 de i paraj

A+[i,j] = 0, caso contrrioA+ denominada matriz de fechamento transitivo de GA matriz A* com a propriedade

A*[i,j] = 1, se h um caminho de comprimento 0 de i paraj A*[i,j] = 0, caso contrrio

A* denominada matriz de fechamento transitivoreflexivo de G

196

ExemploExemplo

1 2 3

45

00100510000401000300100200010154321A

111005111004111003111002

11110154321A+

111005111004111003111102

11111154321A*

Fechamento TransitivoFechamento Transitivo

A nica diferena entre A* e A+ reside nos termos dadiagonal

A+[i,j] = 1 se existe um ciclo de comprimento > 1 contendo vrtice i, enquanto A*[i,i] ser sempre igual a 1, umavez que existe um caminho de comprimento 0 que vai depara i

Se usarmos o algoritmo AllCosts com COST[i,j]=1, se (i,j) for uma aresta em G e COST[i,j]=+ se (i,j) no est em G

ento podemos obter facilmente A+ da matriz final A

deixando A

+

[i,j]=1 se A[i,j] < +

A* pode ser obtido de A+, fazendo-se iguais a 1 todos oselementos da diagonal

O tempo total de O(n3)

198

Ordenao TopolgicaOrdenao Topolgica Todos os projetos, exceto os mais simples, podem ser subdivididos em

diversos subprojetos denominados tarefas ou atividades A terminao bem-sucedida dessas atividades resultar na concluso do

projeto na sua totalidade Em projetos de engenharia ou manufatura, uma tarefa dividida em subtarefas.

Em geral, o trmino de certas subtarefas deve preceder a execuo de outrassubtarefas. Se uma subtarefa x deve preceder uma subtarefa y, isto ser denotadopor x < y. A ordenao topolgica, neste caso, consiste em dispor as subtarefasem uma ordem tal que, antes da iniciao de cada subtarefa, todas as subtarefasde que ela depende tenham sido previamente completadas

Em um currculo universitrio, algumas disciplinas devem ser cursadas antes deoutras, uma vez que se baseiam nos tpicos apresentados nas disciplinas que soseus pr-requisitos. Se uma disciplina x pr-requisito da disciplina y, a notaoser x < y. A ordenao topolgica corresponde, no caso, a arranjar as di sciplinasem uma ordem tal que nenhuma delas exija como pr-requisito uma outra que notenha sido previamente cursada

Em um programa, alguns procedimentos podem conter referncias (chamadas) aoutros procedimentos. Se um procedimento x chamado por um procedimento y,denota-se o fato por x < y. Neste caso, a ordenao topolgica implica o arranjodas declaraes de procedimento em tal forma que nunca haja referncias a

procedimentos a serem declarados posteriormente

Ordenao TopolgicaOrdenao Topolgica Uma ordem parcial de um conjunto S uma relao entr

os elementos de S Esta relao, denotada pelo smbolo


33/40

200

Ordenao TopolgicaOrdenao Topolgica

Admita que o conjunto S e suasrelaes de ordenao sejaminicialmente representados poruma seqncia de pares de ns

Para o exemplo ao lado, asrelaes de ordem entre osvrtices so mostrados aseguir, no qual os smbolos refere-se ao que apontado por ptr

8

ptr

ptr

ptr->

244


// n vrtices de um grafo so relacionados em ordem topolgica

procedure TopologicalOrder(n,count,link)

1 top 0; // inicialize a pilha

2 for i 1 to n do // crie uma pilha de ligao de vrtices sem predecessores

3 if count[i] = 0 then count[i] top; top i; endif4 next i

5 for i 1 to n do // imprima os vrtices em ordem topolgica6 if top = 0 then print('grafo tem um ciclo'); return; endif

7 j top; top count[top]; print(j); // coloque vrtice j na lista de sada

8 ptr link[j];9 while ptr NULL do // decremente a contagem de vrtices sucessores de j

10 k ptr->vertex; // k o sucessor de j

11 count[k] count[k] 1;12 if count[k] = 0 then // adicione vrtice k pilha

13 count[k] top; top k;14 endif

14 ptr ptr->NextNode;15 endwhile

16 next i

endTopologicalOrder


Como resultado de uma escolha criteriosa deestruturas de dados o algoritmo muito eficiente

Para uma rede com n vrtices e e arestas o lao de linhas 2-4 requer um tempo de O(n) as linhas 6-8 requerem O(n) para o algoritmo inteiro o lao while precisa de tempo O(di) para cada vrtice

i, onde di o grau de sada do vrtice i (1 i n)Uma vez que esse lao encontrado uma vez para cada

vrtice de sada, o tempo total para essa parte do algoritmo de O((di)+n) = O(e+n)

Portanto, o tempo assinttico de computao doalgoritmo O(e+n), ou seja, linear segundo otamanho do problema

246

ResumoResumoGrafos so estruturas de dados que

possuem um conjunto de vrtices e umconjunto de arestas

Entre outros, foram vistos algoritmoselementares de busca em grafos: Profundidade Largura

Observa-se que a eficincia de algoritmosem grafos, em alguns casos, depende daescolha adequada de estruturas de dados

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Aed II Grafos