Upload
vothuan
View
234
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Aerodinâmica I
Introdução
Objectivo: Determinar as forças que se exercem
sobre um corpo imerso num
escoamento
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Introdução
Sustentação
Resistência
Força Propulsiva
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Peso
Força Propulsiva
Aeronave a voar a altitude e velocidade constante
Peso = Sustentação
Força Propulsiva = Resistência
Aerodinâmica I
Introdução
Força de Sustentação é a componente da força aerodinâmica
na direcção perpendicular ao escoamento de aproximação.
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Força de Resistência é a
componente da força
aerodinâmica na direcção
do escoamento de
aproximação.
Aerodinâmica I
Introdução
Origem da força aerodinâmica:
1. Pressão na superfície do corpo
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Introdução
Origem da força aerodinâmica:
2. Tensão de corte na superfície do corpo
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição
TurbulentoTensão de
corte na parede
0=
∂
∂=
y
wy
Uµτ
Aerodinâmica I
IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:
a) Experimental
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:
b) Teórica (Solução numérica de um modelo matemático)
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Descrição do campo do escoamento
Variáveis a determinar:
• Pressão (1)
• Velocidade (3)
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Velocidade (3)
• Massa específica (1)
• Temperatura (1)
Aerodinâmica I
Descrição do campo do escoamento
• Fluido é tratado como um meio contínuo
• Equação de estado(1)
- Fluido Incompressível ρ=constante
- Gás Perfeito p=ρRT
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Gás Perfeito p=ρRT
• Princípio de Conservação da Massa (1)
• Segunda lei de Newton (Balanço de quantidade de movimento)(3)
• 1ª Lei da Termodinâmica (Balanço de energia)(1)
Aerodinâmica I
Descrição do campo do escoamento
• Metodologia Euleriana
- Análise do escoamento num volume fixo
no espaço
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Derivada temporal inclui duas parcelas
1. Variação com o tempo num ponto fixo
do espaço
2. Variação de ponto para ponto no espaço,
num determinado instante de tempo
Aerodinâmica I
Conceitos Básicos
• Derivada Material
Propriedade genérica→= ),,,( tzyxqq
zqyqxqqDq ∂∂∂∂∂∂∂
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
z
qw
y
qv
x
qu
t
q
Dt
Dq
t
z
z
q
t
y
y
q
t
x
x
q
t
q
Dt
Dq
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂=
Aerodinâmica I
Conceitos Básicos
• Teorema da divergência de Gauss
SVdSnQdVQ����
⋅=⋅∇ ∫∫
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço do campo vectorial a um volume infinitesimal
zyx ez
ey
ex
����
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
→⋅∇ Q��
Q�
Aerodinâmica I
Conceitos Básicos
• Transformação da derivada temporal de um volume
variável (V) no tempo para um volume fixo (Vo)
∂D ��
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Propriedade genérica por unidade de massa
( ) ( )∫∫∫ ⋅+∂
∂=
oo SVVdSnvdV
tdV
Dt
D ��ρξρξρξ
→ξ
Aerodinâmica I
Balanço de uma propriedade genérica
(“Equação de conservação”)
• Volume variável no tempo
∫∫ = dVfdVD
ρξ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
fontes/poços da propriedade
∫∫ =VV
dVfdVDt
Dξρξ
→ξf ξ
Aerodinâmica I
Balanço de uma propriedade genérica
(“Equação de conservação”)
• Volume fixo
( ) ( ) =⋅+∂
∂∫∫ ∫ ξρξρξ dVfdSnvdV
t oo o VV S
��
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Como Vo é arbitrário
( ) ( )
( ) ( ) 0
0
=−⋅∇+∂
∂
=
−⋅∇+
∂
∂
∂
∫
∫∫ ∫
ξ
ξ
ρξρξ
ρξρξ
fvt
dVfvt
t
o
oo o
V
VV S
��
��
Aerodinâmica I
Balanço de uma propriedade genérica
(“Equação de conservação”)
Propriedade ξ fξ
Massa 1 —
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Massa 1 —
Quantidade de
movimentoForças
EnergiaCalor
Trabalho
v�
gzv
ue ++=2
2
Aerodinâmica I
Conservação da Massa (equação da continuidade)
• Forma integral
• Forma diferencial
( ) 0=⋅+∂
∂∫ ∫
o oV SdSnvdV
t
��ρ
ρ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Forma diferencial
( )
( ) 0
0
0
=⋅∇+
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=⋅∇+∂
∂
vDt
D
z
w
y
v
x
u
zw
yv
xu
t
vt
��
��
ρρ
ρρρρρ
ρρ
Aerodinâmica I
Conservação da Massa (equação da continuidade)
• Fluido incompressível (ρ=constante)
• Forma integral
( ) 0=⋅∫ dSnv��
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Forma diferencial
( ) 0=⋅∫oV
dSnv
0
0
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=⋅∇
z
w
y
v
x
u
v��
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Forma integral
Soma da forças aplicadas ao fluido no
( ) FdSnvvdVt
v
o oV S
�����
=⋅+∂
∂∫ ∫ ρ
ρ
→F�
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Soma da forças aplicadas ao fluido no
volume de controle Vo
→F�
• Forças de pressão + tensões normais
• Tensões de corte
• Forças mássicas (força da gravidade)
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação das forças com as variáveis que caracterizam
o escoamento
( )∫ ∂
+⋅∇+∇−=oV
ij gpF
τ
ρτ�����
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
∫
∫
∫
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
o
o
o
V
zzyzxzz
V
zyyyxy
y
V
zxyxxxx
zyxz
pF
gzyxy
pF
zyxx
pF
τττ
ρτττ
τττ
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Forma diferencial
(Navier-Stokes)
puuuu
gpz
vw
y
vv
x
vu
t
vij
∂∂∂∂∂∂∂∂
+⋅∇+∇−=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
τττρρρρ
ρτρρρρ ��������
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
zyxz
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gzyxy
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
zyxx
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
τττρρρρ
ρτττρρρρ
τττρρρρ
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido
(modelo de Newton)
• As tensões são linearmente proporcionais
às derivadas das componentes da velocidade
(Navier-Stokes)
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
às derivadas das componentes da velocidade
• As constantes de proporcionalidade são
independentes da direcção. Fluido isotrópico
• As tensões não dependem explicitamente da
posição no espaço e da velocidade do fluido
• O tensor é simétrico, τxy=τyx, τxz=τzx, τyz=τzy
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido
(modelo de Newton)
x
v
y
uA
x
uyxxyxx
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−= µττµµλσ 2
3
2
(Navier-Stokes)
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
z
w
y
v
x
u
y
w
z
vA
z
w
x
w
z
uA
y
v
xyx
zyyzzz
zxxzyy
yxxyxx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Θ
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
∂∂∂
µττµµλσ
µττµµλσ
23
2
23
2
3
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)
wuv
x
v
y
uA
x
uyxxyxx
∂∂∂
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−= µττµµλσ
2
23
2
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• µ, λ e A são parâmetros independentes dos gradientes
das componentes do vector velocidade
z
w
y
v
x
u
y
w
z
vA
z
w
x
w
z
uA
y
v
zyyzzz
zxxzyy
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Θ
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
µττµµλσ
µττµµλσ
23
2
23
2
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)
- Escoamento Uniforme
zzyyxx A=== σσσ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Pressão média (average pressure),
th
zzyyxx
pA
A
−≡
=== σσσ
( )
th
zzyyxx
pp
p
+Θ−=
++−=
λ
σσσ3
1
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)
wuv
x
v
y
u
x
up yxxyxx
∂∂∂
∂
∂+
∂
∂==
∂
∂+Θ−−= µττµµσ
2
23
2
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• As constantes λ e A desaparecem das relações entre tensões
e gradientes das componentes do vector velocidade
z
w
y
v
x
u
y
w
z
v
z
wp
x
w
z
u
y
vp
zyyzzz
zxxzyy
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Θ
∂
∂+
∂
∂==
∂
∂+Θ−−=
∂
∂+
∂
∂==
∂
∂+Θ−−=
µττµµσ
µττµµσ
23
2
23
2
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
( )
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
Θ∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
x
w
z
u
zx
v
y
u
yx
u
x
xx
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
µµµ
µρρρρ
2
3
2
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( )
( )
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
Θ∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
Θ∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂
z
w
zy
w
z
v
yx
w
z
u
x
zz
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gy
w
z
v
zy
v
yx
v
y
u
x
yy
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
xzzxyyxx
µµµ
µρρρρ
ρµµµ
µρρρρ
2
3
2
2
3
2
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
Fluido incompressível, ρ=constante
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
zy
w
z
v
yx
w
z
u
xz
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gy
w
z
v
zy
v
yx
v
y
u
xy
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
x
w
z
u
zx
v
y
u
yx
u
xx
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
νννρ
νννρ
νννρ
21
21
21
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
Fluido incompressível, ρ=constante
Viscosidade constante, ν=constante
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
w
y
w
x
w
z
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gz
v
y
v
x
v
y
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
z
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
νρ
νρ
νρ
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
• Variação de quantidade de movimento,
- Derivada temporal,
Escoamento permanente (estacionário) se 0=∂
∂
t
v�
t
v
∂
∂�
ρ
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
- Termo convectivo,
• Força de pressão
- Gradiente de pressão,
• Forças viscosas
- Termo difusivo,
• Força mássica,
∂t
p∇�
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
vw
y
vv
x
vu
���
ρ
( )wuvuuuui ===∇⋅∇ 321 ,,��
µ
g�
ρ
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Condições de fronteira
1. Superfície Sólida
→+=
→+=
tvnvv
tvnvv stsns���
���Velocidade da superfície
Velocidade do fluido
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
→+= tvnvv tn
��Velocidade do fluido
• vt=vst – Condição de não escorregamento
(no-slip condition)
• vn=vns – Condição de impermeabilidade
(impermeability condition)
Referencial solidário com a superfície 0=⇒v�
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Condições de fronteira
2. Interface de dois fluidos não mísciveis
Velocidade do fluido 1
Velocidade do fluido 2→+=
→+=
tvnvv
tvnvv
tn
tn���
���
222
111
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• – Continuidade do vector velocidade
• – Igualdade da tensão de corte
• – Discontinuidade da tensão normal
dada pela tensão superficial
21 vv��
=
21 ττ =
tsp∆=− 21 σσ
→
→
−=∆
21
21
11
rr
rrpts σσ Tensão superficial
Raios principais de
curvatura da superfície
Aerodinâmica I
Balanço de Quantidade de Movimento
• Inclusão das forças mássicas no termo de pressão
• Fluido em repouso
( ) gupDt
vDi
�����
+∇⋅∇+∇−= νρ
1
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Pressão hidrostática
• pressão relativa à pressão hidrostática
hh pggp ∇=⇔+∇−=����
ρρ
110
≡hp
( ) ( )ih uppDt
vD∇⋅∇+−∇−=���
�
νρ
1
( )hppp −=
Aerodinâmica I
Balanço de Energia
• Forma integral
( )∫∫ +=⋅
+++
++
∂
∂
oo SVWQdSnvgz
vhdVgz
vu
t��
��
22
22
gzv
ue ++==2
2
ξ
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Forma diferencial
Dissipação viscosa
( )
( ) ( ) Φ+⋅∇⋅≡⋅⋅∇
⋅⋅∇+∇⋅∇=∇⋅+
ijij
ij
vv
vTkpvDt
De
ττ
τρ
������
�������)(
→Φ
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
h
U
x
y
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
x
0=∂
∂
t
0=∂
∂
z
0=∂
∂
x
v�
• Escoamento permamente,
• Escoamento independente da direcção z,
(bi-dimensional)
• Escoamento completamente desenvolvido,
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
y
h
U
x
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Condições de Fronteira
- Impermeabilidade das paredes:
- Não escorregamento:
x
000 =⇒==⇒= vhyvy
Uuhyuy ˆ00 =⇒==⇒=
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Equação da continuidade
.0 constvy
v=⇔=
∂
∂
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Condição de fronteira
0=v
y∂
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Balanço de quantidade de movimento,
2
210
y
u
x
p
∂
∂+
∂
∂−= ν
ρ
x
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Balanço de quantidade de movimento,
• A pressão só pode variar com
tem de ser indepedente de
y
y
p
∂
∂−=
ρ
10
x
=
∂
∂0
x
vx
�
dx
dp
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Balanço de quantidade de movimento,
u
ydx
dp
y
u yx
∂
∂
∂==
∂
∂ τ
ρρν
112
2
x
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Condições de fronteira
y
uyx
∂
∂= µτ
Uuhy
uy
ˆ
00
=⇒=
=⇒=
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Solução
( )
−+=
−−=
ˆ
2
1ˆ
hy
dpU
yhydx
dpU
h
yu
µτ
µ
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Comprimento e velocidade de referência
−+=
2
hy
dx
dp
h
Uyx µτ
UU
hL
ref
ref
ˆ=
=
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Solução com variáveis adimensionais
−Λ−=
y
h
y
h
y
U
u
12
11ˆ
τ
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Números adimensionais
−Λ−=
h
y
U
yx
2
121
Re
2
ˆ21 2ρ
τ
dx
dp
U
h
hURe
µ
ν
2
ˆ
2
=Λ
= Número de Reynolds
Parâmetro do gradiente de pressão
Aerodinâmica I
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Números adimensionais
Número de Reynolds
2
ˆ
ˆ
U
h
U
Re
µ
ρ
∝
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Parâmetro do gradiente de pressão
2
2
ˆ
h
U
dx
dp
h
U
µ
µ
=Λ