Aeroelasticità A.A. 2007-2008 Lauree Specialistiche in Ingegneria Aeronautica e Spaziale Franco Mastroddi L’Operatore Aerodinamico Instazionario per Flussi

Aeroelasticità

A.A. 2007-2008

Lauree Specialistiche in Ingegneria

Aeronautica e Spaziale

Franco Mastroddi

L’Operatore Aerodinamico Instazionario

per Flussi Incomprimibili

http://www.diaa.uniroma1.it/docenti/f.mastroddi

dal corso di

AeroelasticitàAnno Accademico 2007-2008

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ENFASI SU:

– Specificità delle formulazione nel caso di flussi portanti

– Generalità dell’approccio

SOMMARIO Richiami di termodinamica dei fluidi (fluidi non viscosi)

Formulazione differenziale (PDE) per flussi (quasi-)potenziali incomprimibili (portanti), instazionari

Formulazione integrale per flussi quasi-potenziali incomprimibili

Discretizzazione (spaziale) “solo sulla frontiera”: metodo dei pannelli

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Aeronautica e Spaziale Il problema aeroelastico lineare

dalla meccanica del continuo

Struttura

Aerodinamica

Modello (Laplace Domain)

Obiettivo dell’Aerodinamica

identificazione di

inco

mprim

ibile

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Aeronautica e Spaziale Richiami di meccanica del continuo

Principio della Termodinamica per fluidiV postulato (termodinamca): esistono le varabili di stato temperatura ed entropia tali che

per ogni volume materiale del continuo (Blasius)

segno “=“ per trasformazioni reversibili

FLUIDO: continuo il cui stato è determinato da due grandezze scalari: “volume specifico”

(ovvero “densità”) ed. “entropia”

L’equazione di stato che fornisce l’energia interna per un solido è

Pertanto, se si definiscono e

Poiché dalla (1) si può ricavare e ,

(1)

l’equazione dell’energia diventa

Contributo alla crescita di entropia dovuto al lavoro

fatto dalla “porzione irreversibile” del

tensore degli sforzi:il tensore degli sforzi viscoso V

(2)

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Aeronautica e Spaziale Modello di flusso potenziale

Incomprimibile - IPOTESIIl fluido è non viscoso se il lavoro fatto dalla velocità deformazione è reversibile, v. Eq. (2),,

In assenza di flussi e sorgenti di calore la (2), se il flusso è inizialmente isentropico, da inoltre

in ogni istante : l’entropia non più variabile di stato

(3

)

Sia il flusso attaccato al corpo solido

Sia il flusso inizialmente irrotazionale cioè la vorticità quando t=0

1.

4.

3.

2. Il fluido sia incomprimibile, cioè, essendo per l’equazione di continuità , allora

implica

5.

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Incomprimibile - modello PDEContinuità:

Conservazione quantità di moto (Eulero)

4 equazioni nelle incognite: 3 componeni di e una di

Condizioni al contorno sul corpo (impermeabilità) interfaccia fluido-struttura

Condizioni al contorno all’

Riduzione del problema ad

Una sola grandezza scalare

Incognita

FLUSSO POTENZIALE

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Incomprimibile – esiste un “potenziale”Se il flusso è inizialmente irrotazionale , allora lo è sempre

- Se infatti si definisce la circolazione come

poiché vale il teorema di Stokes (v. Figura)

allora in per qualsiasi contorno materiale C ( )- Vale il teorema di Kelvin

per cui per

- Riapplicando di nuovo il teorema di Stokes per e vista l’arbitrarietà della

sperficie S e del suo contorno materiale C si ha la tesi … MA ….

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Incomprimibile – esiste un “potenziale”.. .nulla può dirsi per quei punti materiali fluidi che abbandonano il corpo nel suo

bordo di uscita: questi punti costituiscono un insieme di punti che chiamiamo sciascia o

wakewakePer tutti gli altri punti materiali di fluido vale invece

e si può definire univocamente una funzione

potenziale di velocità tale che

e quindi

Infatti in un qualsiasi percorso materiale chiuso ed in ogni istante vale

che dimostra che l’integrale da A a B è indipendente dal percorso e pertanto,,

fissato ad esempio , esiste una univoca funzione del punto x data dalla (1)

(1)

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Incomprimibile formulazione differenziale potenziale

Nel campo fluido: vale l’equazione di continuità che diventa

Sulla frontiera del corpo (impermeabilità)

Sulla frontiera all’infinito

E sulla frontiera di scia ?????

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Incomprimibile discontinuità sulla scia

Se si indica con le velocità della superficie di discontinuità di scia

n con la componente normale ad essa del fluido e con l’operatore

di “salto” ( ) delle grandezza dalla parte 2 alla parte 1 della scia,, si ha

per la conservazione della massa attraverso la discontinuità

Applicando similmente la conservazione della quantità di moto attraverso la scia

Combinando le precedenti si ha che proiettata in direzione n da

che per un flusso incomprimibile porge

Sulla discontinuità-fontiera di scia NON CI SONO salti di pressione e di componente

normale della velocità del fluido…………ma in termini di potenziale di velocità……

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Incomprimibile discontinuità sulla scia

- Sulla frontiera scia deve essere

- Dall’equazione di cons. della quantità di moto deriva il Th. di Bernoulli

Infatti poiché è , allora

che attraverso la discontinuità si scrive e cioè

con

Che si interpreta dicendo che il salto di potenziale attraverso la scia è costante purchè

ci si muova con velocità

(Th. Di Bernoulli)

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Incomprimibile formulazione differenziale potenziale

COMPLETANel campo fluido: vale l’equazione di continuità che diventa

Sulla frontiera del corpo (impermeabilità)

Sulla frontiera all’infinito

Sulla frontiera di scia

e NB: unica B.C. con derivata

temporale

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Incomprimibile Formulazione integrale di contorno per il

potenzialeConsideriamo la soluzione del problema potenziale della sorgente di massa di portata

unitaria concentrata nel punto un fluido infinito ( nessuna B.C.)

La soluzione è analitica ed è il potenziale della “sorgente aerodinamica”

con

Considerando allora un problema potenziale generico

non punti interni del campo governati da

(1)

(2)

Operando un prodotto incrociato tra (1) e (2) ed

integrando sull’intero dominio fluido si ha

-

-

-

si trasforma con la II identità di Green

(3)

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potenzialeII identità di Green: date due generiche funzioni e si ha sviluppano la divergenza

Quindi sottraendo si ha l’identità

che applicata alla precedente (3) con il teorema di Gauss (normale “interna” al campo)

In cui è stata introdotta la funzione di dominio per nel campo fluido per nel corpo

per nella superficie corpo

per cui si ha in definitiva

che è l’espressione integrale di contorno per il

potenziale di velocità

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potenzialeIn base alle condiioni al contorno sul corpo, all’infinito e sulla scia tale espressione diviene

che è sia una rappresentazione integrale rappresentazione integrale (per nel fluido) della soluzione qualora si

conosca la soluzione nella frontiera, sia una condizione di compatibilità (per sul corpo)

poiché in tal caso (E=1/2):

La discretizzazione spaziale della precedente rappresentazione rappresenta la base

numerica risolutiva per l’aerodinamica potenziale instazionaria: il metodo dei pannelli

è costituita da tutte funzioni incognite “potenziale di velocità”, una “collocata” nel punto

, le altre integrate sul corpo. G e sono note analiticamente,

è nota dalle condizioni al contorno di impermeabilità

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Incomprimibile Discretizzazione: il metodo dei pannelli

Dividendo la superficie del corpo in M pannelli (blu) e quella della scia in N pannelli (rossi)

e “collocando” il punto negli M pannelli si ottiene per la k-ima equazione collocata

in cui l’input (normalwash) è dato da

ed i coefficienti puramente geometrici ricavati

dalla suddivisione dell’integrale in pannelli, sono

NB: non dipendono dal tempo se

il corpo si muove con piccole oscillazioni

attorno ad una configurazione di riferimento

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Incomprimibile Discretizzazione: il metodo dei pannelliL’unica condizione al contorno del problema differenziale

NON ANCORA UTILIZZATA è

Nel caso di geometria della scia fissata e piana

e considerando trascurabile la velocità di perturbazione

della particella di scia rispetto alla velocità della corrente,

la (1) diviene

(1)

con

Quindi la precedente discretizzazione diviene

Se quindi si esprime il salto di potenziale al bordo di uscita come differenza del valore del

Potenziale del pannello superiore ed inferiore tramite una matrice di opportuni (1,-1,0)

si ha

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Osservazione: la parte di operatore aerodinamico che

trasforma le condizioni al contorno di impermeabilità in

potenziale di velocità è trascendente nel dominio di

Laplace, integrale nel dominio del tempo.

Esso costituisce una parte dell’operatore aerodinamico..

Modello di flusso potenziale

Incomprimibile Discretizzazione: il metodo dei pannelli

Trasformando nel dominio di Laplace la precedente (cond. Iniziali nulle) si ha

con

È quindi definibile un operatore lineare in termini di matrice di trasferimento multi-input

multi-output che trasforma le M condizioni al contorno di impermeabilità negli M potenziali

di velocità, cioè

essendo

matrice M X M

NB: se definisco

allora

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Struttura

Aerodinamica

Modello (Laplace Domain)

Modello di flusso potenziale

Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze

Generalizzate

Tale operatore può essere decomposto

in quattro operatori lineari discreti uno dei

quali è proprio la matrice

matrice N X N

matrice N X M matrice M X M matrice M X M matrice M X N

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Generalizzate- Matrice dalle variabili modali alle B.C. aerodinamiche

Al fluido sulla parete va imposta la componente normale della struttura pari a

in cui la velocità del corpo e data da

Le normali deformate ed indeformate sono data da

in cui

Ma poiché

allora e quindi

in cui

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GeneralizzateEliminando i termini di ordine superiore nelle e considerando l’adimensionaliz.

si ha

il cui termine stazionario è ininfluente (in campo lineare) per lo studio della stabilità: prendendo

allora la trasformata di Laplace sulla parte instazionaria si ha

in cui si è usata nuovamente la

La ricercata matrice delle BC sarà allora l’operatore discreto tale che

e quindi finalmente dalla precedente Osservazione: la parte di operatore

aerodinamico che trasforma le variabili

lagrangiane in componenti normali della velcità

della superficie del solido è polinomiale al

primo ordine nel dominio di Laplace,

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Generalizzate- Matrice dal potenziale di velocità ai coefficienti di pressioni (Bernoilli)

Il teorema di Bernoulli (integrale cons. q. di moto) per flussi potenziali nel sistema di

riferimento solidale con il corpo che trasla di porge

Il coefficiente di pressione (linearizzato) è dato allora da

Passando allora al dominio di Laplace e a quantità adimensionali

La ricercata matrice di Bernoulli sarà allora l’operatore discreto tale che


aerodinamico che trasforma il potenziale in

coefficienti di pressione è polinomiale al

primo ordine nel dominio di Laplace,

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Generalizzate- Matrice dai coefficienti di pressione alle forze generalizzate

La forza per unità di superficie sul solido dovuta da un non viscoso è flusso

La n-ima forza generalizzata è (considerando la definizione di coeff. di pressione)

Eliminando il contributo stazionario del primo integrale si ha allora

La matrice di proiezione delle forze sarà l’operatore discreto tale che


aerodinamico che trasforma i carichi

aerodinamici in forze generalizate è

costante rispetto la variabile di Laplace

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GeneralizzateL’operatore aerodinamico per un flusso potenziale linearizzato ha una dipendenza dalla

variabile di Laplace s (oppure p):

- di tipo polinomiale al più di secondo grado possono esistere per l’aerodinamica

comportamenti vibratori tipo masse/smorzamenti/rigidezza aggiunte alle strutturali,

cioè esistono a livello modellistico matrici di massa, rigidezza smorzamento aerodinamici

- .ma non solo la dipendenza è pure di tipo trascendente nella variabile di Laplace e

ciò risiede fisicamente al meccanismo di trasporto convettivo operato dalla scia.

OSSERVAZIONI

con

(funzioni di Bessel)

1.

2. La procedura illustrata su geometrie semplici da luogo a soluzioni analitiche come nel

caso del profilo (2-D) sottile piano Theodorsen (1935) fornisce per portanza e momento:

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GeneralizzateOSSERVAZIONI (segue)

3.

La stabilità si potrebbe studiare con un problema standard di autovalori

Si avrebbero modelli aerodinamici di ordine ridotto, ROM, Reduced Order Model

Sul sistema aeroelastico globale si può operare la teoria del controllo

(AEROSERVOELASTICITA’)

Se l’operatore aerodinamico, noto computazionalmente per punti nel dominio di Laplace, fosse

in esso approssimabile con strutture funzionali polinomiali (in analogia con curve fitting usato

dinamica strutturale sperimentale)

allora è come se si approssimasse l’operatore con un operatore puramente differenziale

riconducibile alla forma di stato

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