15C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

∆ιαχείριση του υδροφορέα των πηγών ∆ράµας µε

εφαρµογή του γραµµικού προγραµµατισµού

Χρήστος Τζιµόπουλος, Παναγιώτα Γκινίδη

Τοµέας Συγκοινωνιακών και Υδραυλικών έργων, Τµήµα Αγρονόµων & Τοπογράφων Μηχανικών,

Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

Περίληψη. Εξετάζεται η συµπεριφορά του υπό-

γειου υδροφορέα των πηγών Αγίας Βαρβάρας στην

περιοχή της ∆ράµας. Το αντικείµενο της έρευνας

εντοπίζεται στην εύρεση του υδατικού ισοζυγίου

του υδροφορέα και στη βέλτιστη διαχείρισή του µε

την εφαρµογή ενός ολοκληρωµένου µοντέλου προ-

σοµοίωσης–διαχείρισης– βελτιστοποίησης. Για την

εξοµοίωση του υδροφορέα χρησιµοποιείται ένα

τρισδιάστατο µοντέλο, που βασίζεται στη θεωρία

των πεπερασµένων διαφορών (Finite Difference

Method), για τη διαχείρισή του εφαρµόζεται η τε-

χνική του πίνακα απόκρισης (Response Matrix

Method), ενώ η εύρεση της βέλτιστης λύσης επι-

τυγχάνεται µε τη βοήθεια του Γραµµικού Προγραµ-

µατισµού (Linear Programming). Ο αντικειµενικός

στόχος της παρούσας εργασίας είναι η ελαχιστο-

ποίηση του κόστους λειτουργίας του αντλιοστασίου

και η βελτιστοποίηση των παροχών άντλησης νε-

ρού από τις γεωτρήσεις.

Λέξεις κλειδιά: περιορισµένος υδροφορέας, µο-

ντέλα προσοµοίωσης, Γραµµικός Προγραµµατι-

σµός, τεχνικές διαχείρισης και βελτιστοποίησης.

1 Εισαγωγή

Το νερό αποτελεί αναντικατάστατο αγαθό για

τον άνθρωπο, για τον πολιτισµό του, για την ίδια

του τη ζωή. Είναι αγαθό «εν αφθονία» και µάλιστα

τα συνολικά αποθέµατα του νερού στη γη παραµέ-

νουν σταθερά και αναλλοίωτα στο πέρασµα των

αιώνων. Η παρέµβαση όµως του ανθρώπου, η αύ-

ξηση του πληθυσµού µε γεωµετρικούς ρυθµούς, οι

συνεχώς αυξανόµενες απαιτήσεις και η ασέβεια

προς το περιβάλλον και τους φυσικούς πόρους,

έχουν δηµιουργήσει ένα πολύ σοβαρό πρόβληµα,

δηλαδή την έλλειψη πόσιµου νερού.

Σηµαντικό ρόλο για την εκµετάλλευση του υδά-

τινου πλούτου των υπόγειων υδροφορέων διαδρα-

µατίζει η σωστή διαχείρισή τους. Η διαµόρφωση

και επίλυση των προβληµάτων διαχείρισης στηρί-

ζεται στην εφαρµογή ενός σύνθετου µοντέλου προ-

σοµοίωσης –διαχείρισης-βελτιστοποίησης.

Τα µοντέλα προσοµοίωσης περιγράφουν την κί-

νηση του νερού στο έδαφος µε ένα σύστηµα διαφο-

ρικών εξισώσεων, το οποίο επιλύεται µε τη µέθοδο

των πεπερασµένων διαφορών µε ένα πλήρες πε-

πλεγµένο σχήµα. Τα αποτελέσµατα που προκύ-

πτουν µέσα από τη διαδικασία της προσοµοίωσης

του υδροφορέα, υφίστανται περαιτέρω επεξεργασία

µε τη βοήθεια του προγράµµατος της διαχείρισης

και µε απώτερο σκοπό την εύρεση της βέλτιστης

λύσης.

Η γραµµική άλγεβρα παρέχει τις µεθόδους που

είναι απαραίτητες για την ανάλυση πολύπλοκων και

δύσκολων συστηµάτων. Μέσα από τις πληροφορίες

που δίνονται για τη µεγιστοποίηση ή ελαχιστοποί-

ηση πολλών παραµέτρων του συστήµατος, υπάρχει

η δυνατότητα ανάπτυξης και σχεδίασης περισσό-

τερο πολύπλοκων µηχανισµών και η ικανότητα της

βελτιστοποίησής τους.

Ο Γραµµικός Προγραµµατισµός αποτελεί µία

από τις σηµαντικότερες µεθόδους βελτιστοποίησης

η οποία εφαρµόζεται µε στόχο τη λύση προβληµά-

των στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση και οι

περιορισµοί εµφανίζονται ως γραµµικές συναρτή-

σεις των µεταβλητών αποφάσεων.

Πρωτοπόρος στα προβλήµατα βελτιστοποίησης

υπόγειων υδροφορέων ο Schwarz (1971), παρουσί-

ασε ένα παράδειγµα βελτιστοποίησης των αντλή-

σεων µε Γραµµικό Προγραµµατισµό σε έναν υδρο-

φορέα χωρισµένο σε 25 ορθογώνιες περιοχές. Ο

Bear (1979), τον ακολούθησε δίνοντας έµφαση σε

συνδυασµένα προβλήµατα διαχείρισης και βελτι-

στοποίησης υπόγειων υδροφορέων. Oι Mc Donald

& Harbaugh (1988) ασχολήθηκαν µε το τρισδιά-

στατο µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νε-

ρού µε πεπερασµένες διαφορές. Ο Greenland

(1994) συνεργάστηκε µε τους Mc Donald & Har-

baugh κυρίως στην επίλυση του προβλήµατος δια-

χείρισης µε την κατασκευή του αντίστοιχου µοντέ-

λου και όλου του λογισµικού (software).

Η παρούσα έρευνα αναφέρεται στην ελαχιστο-

ποίηση του κόστους ενός µεγάλου αρδευτικού δι-

∆Ì‹Ì· ∞ÁÚÔÓfiÌˆÓ Î·È ∆ÔÔÁÚ¿ÊˆÓ ªË¯·ÓÈÎÒÓ, ∞.¶.£., 2003∞fi Ù· ¿ÛÙÚ· ÛÙË ÁË Î·È ÙÔÓ ÔÏÈÙÈÛÌfi∞ÊȤڈ̷ ÛÙË ÌÓ‹ÌË ÙÔ˘ ∫·ıËÁËÙ‹ ∞ϤͷӉÚÔ˘ ∆ÛÈÔ‡ÌË ÛÂÏ. 15-29

κτύου στην περιοχή του νοµού ∆ράµας (Κοινότητα

Αγίας Παρασκευής), εκτάσεως περίπου 6000

στρεµµάτων (Γκινίδη, 2002). Σαν µέθοδος βελτι-

στοποίησης χρησιµοποιήθηκε ο Γραµµικός Προ-

γραµµατισµός (µέθοδος simplex). Για το σχηµατι-

σµό της αντικειµενικής συνάρτησης χρησιµοποιή-

θηκαν σαν µεταβλητές αποφάσεων, τα µήκη των

αγωγών του αρδευτικού δικτύου, ενώ για τους πε-

ριορισµούς δοµής τα µήκη και τα φορτία απωλειών

(Χ. Τζιµόπουλος, Α. Σπυρίδης, 2000).

2 Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης

της κίνησης του νερού στο έδαφος

2.1 Γενικά

H κίνηση του υπόγειου νερού µέσα σ’ ένα πο-

ρώδες µέσο, µπορεί να περιγραφεί από την παρα-

κάτω τρισδιάστατη εξίσωση (Bear, 1979, Ψιλοβί-

κος, 1996) µε µερικές παραγώγους:

=−

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

wK

z

K

y

K

x

zzyyxx

z

h

y

h

x

h

t

h

Ss

= (1)

όπου Kxx, Kyy, Kzz οι τιµές της υδραυλικής αγω-

γιµότητας κατά µήκος των διευθύνσεων x, y, z

αντίστοιχα [L T-1

],

h το πιεζοµετρικό φορτίο [L]

W οι εξωτερικές εισροές ή εκροές νερού ανά

µονάδα όγκου [Τ-1

]

s

S η ειδική αποθηκευτικότητα του πορώδους

υλικού [L-1

]

t ο χρόνος [Τ]

Η εξίσωση (1) σε συνδυασµό µε τις οριακές συνθή-

κες στα όρια του υδροφορέα και µε την αρχική

συνθήκη πιεζοµετρίας, αποτελεί ένα µαθηµατικό

µοντέλο ενός υπόγειου υδροφορέα. Εκτός από τα

απλά συστήµατα υδροφορέων, αναλυτικές λύσεις

της εξίσωσης (1) είναι πολύ δύσκολο και τις περισ-

σότερες φορές αδύνατο να επιτευχθούν. Γι’ αυτό το

λόγο έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια µαθη-

µατικά µοντέλα που στηρίζονται σε αριθµητικές µε-

θόδους επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων και

δίνουν προσεγγιστικές λύσεις. Τέτοιες αριθµητικές

µέθοδοι είναι οι πεπερασµένες διαφορές, τα πεπε-

ρασµένα στοιχεία, τα πολλαπλά κελιά, τα οριακά

στοιχεία κ.α. Το µοντέλο µε τη βοήθεια του οποίου

γίνεται η επίλυση της εξίσωσης, χρησιµοποιεί τη

µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στις τρεις

διαστάσεις, όπου το συνεχές σύστηµα που περιγρά-

φεται από την εξίσωση (1), αντικαθίσταται από ένα

πεπερασµένο αριθµό διακριτών σηµείων τόσο ως

προς το χώρο, όσο και ως προς το χρόνο. Οι µερι-

κές παράγωγοι αντικαθίστανται από όρους που

υπολογίζονται ως διαφορές στην πιεζοµετρία για τα

συγκεκριµένα αυτά σηµεία και η διαδικασία αυτή

τελικά οδηγεί σε συστήµατα γραµµικών αλγεβρι-

κών εξισώσεων µε διαφορές.

3 Γραµµικός Προγραµµατισµός-

Θεωρία επί των κυρτών συνόλων

3.1 Εισαγωγή

Σύµφωνα µε τον Γραµµικό Προγραµµατισµό υπάρ-

χει µια συνάρτηση fo των µεταβλητών x

i ,

i=1,2,......n, η οποία πρόκειται να βελτιστοποιηθεί

(maximum ή minimum):

fo=c

1x1+c

2x2 +c

3x3+.........+c

nxn. (2)

Συνήθως λαµβάνεται υπόψη η διαδικασία ελαχι-

στοποίησης έτσι ώστε:

minimize fo=c

1x1+c

2x2 +c

3x3+.........+c

nxn.

Η συνάρτηση αυτή καλείται αντικειµενική συνάρ-

τηση, ενώ οι άγνωστες παράµετροι x1, x

2, ... x

n κα-

λούνται µεταβλητές αποφάσεως. Επιπροσθέτως

υπάρχουν m περιοριστικές σχέσεις (περιορισµοί)

που συνδέουν τις παραµέτρους x1, x

2, ... x

n :

a11

x1 + a

12x2+...........a

1nxn (≤ ή ≥) b

1

a21

x1 + a

22x2+...........a

2nxn ((≤ ή ≥) b

2

(3)

am1

x1 + a

m2x2+.........a

mnxn ((≤ ή ≥) b

m

x1 ≥ 0, x

2 ≥ 0,............................x

n ≥ 0.

Το παραπάνω πρόβληµα της βελτιστοποιήσεως (εύ-

ρεση του µεγίστου ή ελαχίστου) της συνάρτησης fo

µε τους m περιορισµούς, µπορεί να γραφεί µε την

κανονική του µορφή:

Βελτιστοποίηση:

Αντικειµενική συνάρτηση:

– 16 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

16

Minimize fo=c

jxj

µε τους περιορισµούς:

aij x

j ≤ = b

i , i=1,2.........m

xj ≥ 0 j=1,2,......n . (4)

ή σε µητρώα µορφή ως ακολούθως:

minimize fo=a⋅x (5)

µε τους περιορισµούς:

Α⋅x ≤ b (6)

x≥ 0.

Το παραπάνω πρόβληµα των ανισοτήτων µετατρέ-

πεται σε πρόβληµα ισοτήτων µε την εισαγωγή κά-

ποιων νέων µεταβλητών που καλούνται ψευδοµε-

ταβλητές (slack variables). Οι νέες αυτές µεταβλη-

τές Si προκύπτουν από την αλλαγή της ανισότητας :

ai1

x1 + a

i2 x

2 + ....................a

in x

n ≤ b

i(7)

σε ισότητα στην τυπική µορφή :

ai1

x1 + a

i2 x

2 + ....................a

in x

n + S

i=b

i(8)

Έτσι το παραπάνω πρόβληµα παίρνει την ακόλουθη

τελική τυπική µορφή του:

minimize fo=a⋅x (9)

µε τους περιορισµούς:

Α⋅x = b (10)

x≥ 0.

3.2 Θεωρία επί των κυρτών συνόλων

Κυρτά σύνολα

Ένα σύνολο X στο χώρο En

, καλείται κυρτό εάν

δεδοµένων δύο σηµείων x1 και x

2, τότε το σηµείο λ

x1 + (1-λ) x

2 ∈Χ για κάθε λ∈[0,1], και παριστάνει

ένα σηµείο στο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα

σηµεία x1 και x

2. Οποιοδήποτε σηµείο της µορφής λ

x1 + (1-λ) x

2 καλείται κυρτός συνδυασµός των ση-

µείων x1 και x

2.

x1

x2

x1

x2

Κυρτό σύνολο Μη κυρτό σύνολο

Υπερεπίπεδα και ηµιεπίπεδα

Ένα υπερεπίπεδο στον En

γενικεύει την έννοια της

ευθείας γραµµής στον Ε2

και την έννοια του επιπέ-

δου στον Ε3

. Ένα λοιπόν υπερεπίπεδο στον En

είναι

ένα σύνολο της µορφής:

x: p⋅x=k

όπου p είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα που καλεί-

ται κλίση του υπερεπιπέδου και είναι κάθετο στο

υπερεπίπεδο. Το k είναι ένα βαθµωτό µέγεθος.

Ένα υπερεπίπεδο χωρίζει το En

σε δύο περιοχές που

καλούνται ηµιεπίπεδα

α) Το ηµιεπίπεδο x: p⋅x ≥ k .

β) Το ηµιεπίπεδο x: p⋅x ≤ k .

Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις

Μια συνάρτηση f των διανυσµάτων (x1, x

2,…..,x

n)

καλείται κυρτή εάν ισχύει η ακόλουθη σχέση για

δύο οποιαδήποτε διανύσµατα x1 και x

2:

f (λ x1 + (1-λ) x

2) ≤ λf(x

1) + (1-λ)f(x

2) (11)

για κάθε λ∈[0,1]

και κοίλη εάν ισχύει:

f (λ x1 + (1-λ) x

2) ≥ λf(x

1) + (1-λ)f(x

2) (12)

για κάθε λ∈[0,1]

x1 x2x2x1

f(x1) f(x1)

f(x2) f(x2)

Κυρτή συνάρτηση Κοίλη συνάρτηση

– 17 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

17

Πολυεδρικά σύνολα

Ένα πολυεδρικό σύνολο είναι η αλληλοτοµία ενός

πεπερασµένου αριθµoύ ηµιεπιπέδων. Ένα οροθετη-

µένο πολύεδρο καλείται πολύτοπο. Επειδή ένα ηµι-

επίπεδο παριστάνεται από την ανισότητα

a⋅x ≤ b (a, x, b διανύσµατα), (13)

το πολυεδρικό σύνολο παριστάνεται από τη σχέση:

x: A⋅x ≤ b ,

όπου Α είναι ένα µητρώο m x n. Έτσι ένα πολυε-

δρικό σύνολο µπορεί να παρασταθεί από ένα πεπε-

ρασµένο αριθµό γραµµικών ανισοτήτων ή ισοτή-

των.

Ακραία σηµεία

Ένα σηµείο x σε ένα κυρτό σύνολο Χ καλείται

ακραίο σηµείο, εάν δεν µπορεί να παρασταθεί σαν

κυρτός συνδυασµός δύο διακεκριµένων σηµείων

του Χ. Για παράδειγµα εάν o κυρτός συνδυασµός

δίνεται από τη σχέση x =λ x1 + (1-λ) x

2για λ∈[0,1],

και το x αποτελεί ακραίο σηµείο τότε ισχύει: x =

x1= x

2. Στο παρακάτω σχήµα το σηµείο x

1 είναι

ακραίο σηµείο ενώ τα σηµεία x2 και x

3 δεν είναι

ακραία σηµεία.

x2

x3

x1

Θα δοθεί τώρα µια γεωµετρική ερµηνεία του ακραί-

ου σηµείου. Έστω λοιπόν ότι υφίσταται το κυρτό

σύνολο

x: A⋅x ≤ b ,

όπου το µητρώο Α είναι m x n. Αυτό σηµαίνει ότι

υπάρχουν n ηµιεπίπεδα που προσδιορίζουν το σύ-

νολο Χ. Από το παραπάνω µητρώο Α µπορεί να

προσδιοριστεί ένα νέο µητρώο Β µε τάξη m x m το

οποίο να είναι αντιστρεπτό. Άρα:

==

N

B

x

x

x,]N,B[A (14)

και Ν είναι µητρώο mx(n-m),

Η λύση

=

N

B

x

x

x στην εξίσωση A⋅x=b όπου

xB=B

-1

⋅b, xN=0, καλείται βασική λύση του συστή-

µατος. Εδώ το Β καλείται βασικό µητρώο και το Ν

µη βασικό µητρώο. Οι συνιστώσες του xB

καλού-

νται βασικές µεταβλητές και οι συνιστώσες του xN

καλούνται µη βασικές µεταβλητές. Εάν xB>0 τότε

το x καλείται µη εκφυλισµένη βασική δυνατή λύση

και εάν τουλάχιστον µια συνιστώσα του xB

είναι

µηδέν τότε το x καλείται εκφυλισµένη βασική δυ-

νατή λύση.

Το σηµείο x καλείται επί πλέον και ακραίο ή γω-

νιακό σηµείο:

=

=

−

0

bB

x

x

x

1

N

B

(15)

όπου το µητρώο Β είναι m x m, είναι αντιστρεπτό

και οι στήλες του µητρώου Β-1

αποτελούν µια βάση

και επί πλέον ικανοποιείται η σχέση Β-1

b≥ 0. Γεω-

µετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν n γραµµικά

ανεξάρτητα υπερεπίπεδα που περνούν από το ση-

µείο x. Εάν από το σηµείο αυτό περνούν περισσό-

τερα υπερεπίπεδα το σηµείο αυτό καλείται ακραίο

σηµείο εκφυλισµού. Ένα πολύεδρο έχοντας τουλά-

χιστον ένα ακραίο σηµείο εκφυλισµού καλείται

εκφυλισµένο πολυεδρικό σύνολο. Με βάση τα πα-

ραπάνω στο χώρο των δύο διαστάσεων ένα

ακραίο σηµείο ορίζεται από την τοµή δύο ευ-

θειών, στο χώρο των τριών διαστάσεων, ένα

ακραίο σηµείο ορίζεται από την τοµή τριών επι-

πέδων και στο χώρο των n διαστάσεων ορίζεται

σαν η τοµή n υπερεπιπέδων.

Θεώρηµα. Κάθε βασική δυνατή λύση αποτελεί ένα

ακραίο σηµείο του κυρτού συνόλου.

3.3 Γραµµικός προγραµµατισµός

Στο γενικό πρόβληµα του γραµµικού προγραµµατι-

σµού ισχύει:

Minimize f=c⋅x (16)

(η f καλείται αντικειµενική συνάρτηση)

µε τους περιορισµούς:

x: A⋅x = b , (17)

x ≥ 0.

– 18 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

18

Η θεωρία του Γραµµικού Προγραµµατισµού διέπε-

ται από τα ακόλουθα θεωρήµατα:

Θεώρηµα 1ο: Η δυνατή περιοχή ενός προβλήµατος

γραµµικού προγραµµατισµού είναι κυρτή.

Θεώρηµα 2ο: Έστω Χ ένα κλειστό οριοθετηµένο

κυρτό πολύγωνο µε xi

e

, i=1,....p το σύνολο των

ακραίων σηµείων του. Τότε οποιοδήποτε διάνυσµα

x ∈X µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός

(κυρτός) των ακραίων σηµείων του πολυέδρου Χ:

1λ,0λ,xλx

p

1i

ii

e

i

p

1i

i=∑≥∑=

==

(18)

Θεώρηµα 3ο: ‘Έστω Χ ένα κλειστό κυρτό πολύε-

δρο. Τότε το βέλτιστο (ελάχιστο ή µέγιστο) µιας

γραµµικής συνάρτησης (αντικειµενικής) στο Χ επι-

τυγχάνεται σε κάποιο ακραίο σηµείο του Χ.

3.4 Αλγόριθµος Simplex

Χώρος n-διαστάσεων

Γενικά σε ένα χώρο των n-διαστάσεων το κάθε

ακραίο σηµείο (µέγιστο ή ελάχιστο) ορίζεται από

την τοµή n-υπερεπιπέδων, των οποίων η γραµµική

εξίσωση είναι της µορφής

n,....2,1i......bxaii

i

==∑ (19)

Εδώ πρέπει να τονισθεί ότι η δυνατή περιοχή στο

χώρο των n-διαστάσεων είναι ένα πολύεδρο, του

οποίου οι κορυφές είναι τα ακραία σηµεία που ανή-

κουν στην δυνατή περιοχή και κατά συνέπεια απο-

τελούν βασικές δυνατές λύσεις. Εποµένως ο προσ-

διορισµός της βέλτιστης λύσης πρέπει να αναζητη-

θεί σε όλα εκείνα τα ακραία σηµεία του χώρου,

δηλαδή αρκεί κάθε φορά να επιλύεται ένα σύστηµα

m×m από τους

)!mn(!m

!n

m

n

−

=

(20)

δυνατούς συνδυασµούς και στη συνέχεια να αναζη-

τείται η ελάχιστη λύση.

Επειδή η παραπάνω διαδικασία είναι πολύπλοκη,

χρονοβόρα και πρακτικά ασύµφορη εισήχθη από

τον Dantzig η µέθοδος simplex, η οποία απλου-

στεύει το πρόβληµα και το µετατρέπει από σύστηµα

γραµµικών ανισοτήτων σε σύστηµα γραµµικών εξι-

σώσεων.

Κάθε ανισότητα µπορεί να µετατραπεί και να

γραφεί σαν ισότητα µε την προσθήκη της ψευδοµε-

ταβλητής (slαck variable) xn+1

.

Η ανισότητα λοιπόν της µορφής

1nn1212111bxa...xaxa ≤+++ (21)

µπορεί να µετατραπεί στην ισότητα

n,.....2,1i...bxxa11nii1

i

==+∑+

(22)

Tο µαθηµατικό πρότυπο του γραµµικού προγραµ-

µατισµού µορφώνεται τώρα ως εξής:

minimizejj

n

1mj

ii

m

1i

xcxc)x(f ∑+∑=

+==

(23)

(όπου οι σταθερές cj....

j=m+1,n+2,....n είναι ίσες µε

µηδέν),

µε τους περιορισµούς µη αρνητικότητας:

n,......,1m,m,......2,1i,0xi

+=≥ (24)

και µε τους περιορισµούς:

1ii1

n

1mi

1bxa......................x =∑+

+=

2ii2

n

1i

2bxa................x........ =∑+

=

(25)

mimi

n

1i

mbxax...................... =∑+

=

Το σύστηµα (25) µπορεί να γραφεί ως εξής:

1⋅ x1 + 0⋅ x

2 +…. + 0⋅ x

m + a

1,m+1 x

m+1 + …… +

+ a 1n

xn = b

1

0⋅ x1 + 1⋅ x

2 +…. + 0⋅ x

m + a

2,m+1 x

m+1 + ……

+ a 2n

xn = b

2

(26)

0⋅ x1 + 0⋅ x

2 +…. + 1⋅ x

m + a

m,m+1 x

m+1 + ……+ a

mn x

n = b

m

0⋅ x1 + 0⋅ x

2 +…. + 0⋅ x

m - f

+ c m+1

⋅ x m+1

+ …… + c n x

n = - f

0

– 19 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

19

=

=

−

+

−

++

−+−+−

++

++

m

1m

2

1

n

1m

m

1m

2

1

n,m...........1m,m1m,m

n,1m......2m,1m1m,1m

n,2..............2m,21m,2

n,1.............2m,11m,1

b

b

.

b

b

x

.

x

x

x

.

x

x

aaa1...........000

aaa0...........000

........

aaa0...........010

aaa0...........001

Ax

=

m,m1,m

m,11,1

a...........a

.......................

.......................

.......................

a...........a

B

=

++

−+−+−

++

++

n,m...........1m,m1m,m

n,1m......2m,1m1m,1m

n,2..............2m,21m,2

n,1.............2m,11m,1

aaa

aaa

........

aaa

aaa

N

=

=

=

−

+

−

0

bB

x

.

x

x

x

.

x

x

x

x

x

1

n

1m

m

1m

2

1

N

B

Η βασική λύση βρίσκεται από το παραπάνω σύ-

στηµα ως εξής:

xi = b

i όταν i = 1,2,….m (βασικές µεταβλητές)

f = f0 (-f=βασική µεταβλητή)

xi=0, όταν i=m+1,m+2,….n (µη βασικές µεταβλη-

τές)

bi ≥ 0 όπου i =1,2,…m. ⇒ εφικτή λύση

Από το παραπάνω σύστηµα διαπιστώνεται ότι η

αρχική κανονική µορφή στην έναρξη του αλγόριθ-

µου της µεθόδου Simplex δίνει πάντοτε µια βασική

δυνατή λύση. Οι µεταβλητές που δίνουν το ακραίο

σηµείο καλούνται βασικές µεταβλητές, ενώ οι µε-

ταβλητές οι οποίες και µηδενίζονται καλούνται µη

βασικές µεταβλητές. Από προηγούµενο θεώρηµα

διαπιστώθηκε ότι η βέλτιστη λύση αποτελεί ακραίο

σηµείο του συνόλου.

Έτσι τα βήµατα που ακολουθούνται για την εύ-

ρεση της βέλτιστης λύσης µε τη µέθοδο Simplex

είναι τα εξής:

• Βεβαιώνεται πρώτα ότι η παρούσα λύση δεν

αποτελεί τη βέλτιστη λύση.

• Αναζητείται εκείνη η µη βασική µεταβλητή η

οποία θα γίνει βασική µεταβλητή.

• Επιλέγεται η βασική µεταβλητή η οποία θα φύγει

από τη βάση και θα γίνει µη βασική µεταβλητή.

Θεώρηµα: Μια βασική δυνατή λύση αποτελεί τη

βέλτιστη λύση παρέχοντας την ελάχιστη τιµή της

αντικειµενικής συνάρτησης fo, εάν όλοι οι συντελε-

στές κόστους cj, j=m+1, m+2, …, n είναι µη αρνη-

τικοί.

Βελτίωση µιας µη βέλτιστης βασικής δυνατής

λύσης (Optimality condition)

Από την τελευταία σειρά της εξίσωσης (26) γρά-

φουµε

∑+∑+=

+==

n

1mj

jj

m

1i

ii0xcxcff (27)

=fo για τη λύση της εξ.

Για να µειωθεί η τιµή της f, θα πρέπει µια µη βα-

σική µεταβλητή xj

στην οποίαν αντιστοιχεί ένας

συντελεστής κόστους cj αρνητικός, να γίνει βασική

µεταβλητή. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της µεθό-

δου της κανονικοποίησης (pivotal operation), έτσι

ώστε η στήλη στην οποίαν βρίσκεται η µεταβλητή

αυτή να γίνει µοναδιαίο διάνυσµα. Στον χρόνο αυτό

λόγω της εκτέλεσης της κανονικοποίησης οι τιµές

των µεταβλητών στο νέο πλέον σύστηµα θα προ-

σαρµοστούν, ενώ η τιµή της f θα γίνει µικρότερη

από την fo. Εάν υπάρχουν περισσότεροι από ένα

συντελεστές κόστους αρνητικοί (cj<0) τότε ο δεί-

κτης s της µη βασικής µεταβλητής xs

η οποία θα

γίνει βασική µεταβλητή επιλέγεται έτσι ώστε να

πληροί τη σχέση:

cs= minimum c

j < 0 (28)

Η τιµή της µεταβλητής xs ,

η οποία θα γίνει βασική

µεταβλητή, αυξάνεται από το µηδέν, ενώ όλες οι

– 20 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

20

υπόλοιπες µη βασικές µεταβλητές διατηρούνται µη-

δενικές. Στην παρούσα φάση, οι προηγούµενες βα-

σικές µεταβλητές και η αντικειµενική συνάρτηση

θα τροποποιηθούν ως εξής:

0b,xabx''

1s

''

s1

''

11≥⋅−=

0b,xabx''

2s

''

s2

''

22≥⋅−= (29)

.

.

0b,xabx''

ms

''

ms

''

mm≥⋅−=

0c,xcff''

ss

''

s

''

0<⋅+= (30)

Επειδή cs

΄΄

< 0, από την (30) προκύπτει ότι η τιµή

της xs θα πρέπει να πάρει µεγάλες τιµές, έτσι ώστε

η τιµή της f να ελαττωθεί όσο είναι δυνατόν περισ-

σότερο. Εν τούτοις µε την αύξηση της τιµής της xs,

ορισµένες από τις µεταβλητές xi (i=1,2,…,m) µπο-

ρεί να γίνουν αρνητικές. Βέβαια αν όλοι οι συντε-

λεστές ais

΄΄

< 0, i=1,2,…,m, τότε η µεταβλητή xs

µπορεί να πάρει απείρως µεγάλες τιµές και οι µετα-

βλητές xi(i=1,2,…,m) να παραµένουν θετικές. Στην

περίπτωση αυτή η ελάχιστη τιµή της f είναι µείον

άπειρο και το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατι-

σµού θεωρείται ότι δεν έχει φραγµένη λύση

(unbounded solution).

Εάν τώρα υπάρχουν συντελεστές ais

΄΄

> 0 θα πρέ-

πει οι µεταβλητές xi

(i=1,2,…,m) να παραµένουν

θετικές, δηλαδή θα πρέπει να ισχύει:

''

s1

''

1

ss

''

s1

''

11

a

b

x0xabx ≤⇒≥−=

''

s2

''

2

ss

''

s2

''

22

a

b

x0xabx ≤⇒≥−=

(31)

''

ms

''

m

ss

''

ms

''

mm

a

b

x0xabx ≤⇒≤−= .

Από τα παραπάνω φαίνεται ότι αν επιλεγεί η τιµή

της xs* σαν η ελάχιστη από τους παραπάνω λόγους,

δηλαδή:

==''

is

''

i

''

rs

''

r

s

a

b

imummin

a

b

x

''

s1

''

1

ss

''

s1

''

11

a

b

x0xabx ≤⇒≥−= (32)

τότε οι παραπάνω βασικές µεταβλητές είναι όλες

θετικές. Με τον τρόπο αυτό καθορίζεται η βασική

µεταβλητή xr που θα γίνει µη βασική µεταβλητή και

θα φύγει από τη βάση. Στην περίπτωση που

οποιοσδήποτε συντελεστής bi

΄΄

έχει µηδενική τιµή

τότε η µεταβλητή xs

δεν µπορεί να αυξηθεί περισ-

σότερο και η λύση καλείται εκφυλισµένη.

Στην περίπτωση λοιπόν της µη εκφυλισµένης

βασικής δυνατής λύσης, δηµιουργείται µια νέα βα-

σική δυνατή λύση που δίνει µικρότερη τιµή στην

αντικειµενική συνάρτηση. Το όλο σύστηµα γράφε-

ται ως ακολούθως:

riκαιm,...2,1i,0xabx

xx

s

''

is

''

ii

*

ss

≠=≥−=

=

0

a

b

abx

''

rs

''

r''

rs

''

rr=−=

(33)

sjκαιn,....2m,1mj,0xj

≠++==

''

0s

''

s

''

0fxcff ≤⋅+= (34)

Η εξίσωση (34) δείχνει ότι η βασική δυνατή λύση

αντιστοιχεί σε µικρότερη τιµή της αντικειµενικής

συνάρτησης από την προηγούµενή της. Η νέα αυτή

βασική δυνατή λύση θα πρέπει να ελεγχθεί εκ νέου

για να εξακριβωθεί κατά πόσον η λύση αυτή απο-

τελεί τη βέλτιστη λύση. Εάν η λύση αυτή δεν είναι

βέλτιστη η διαδικασία συνεχίζεται και αναζητείται

νέα βασική δυνατή λύση, δηλαδή καινούργιο

ακραίο σηµείο.

4 Μοντέλο διαχείρισης

Η διαχείριση του υδροφορέα πραγµατοποιείται µε

τη βοήθεια ενός µοντέλου, το οποίο βασίζεται σε

κώδικα της γλώσσας FORTRAN και προσθέτει τη

δυνατότητα βελτιστοποίησης στο µοντέλο προσο-

µοίωσης της υπόγειας ροής στις τρεις διαστάσεις.

Αποτελεί δηλαδή ένα πρόγραµµα κέλυφος που

συνδέει το µοντέλο των πεπερασµένων διαφορών

µε τον Γραµµικό προγραµµατισµό.

– 21 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

21

Στην παρούσα φάση χρησιµοποιείται η τεχνική

του πίνακα της απόκρισης για τη µετατροπή του

προβλήµατος σε ένα γραµµικό πρόγραµµα. Την

πρώτη φορά υπολογίζονται οι πτώσεις στάθµης του

υδροφορέα σε κάθε χρονικό βήµα χωρίς να λη-

φθούν υπόψη οι αντλήσεις από τις γεωτρήσεις.

Κάθε µία από τις επόµενες επαναλήψεις αντιστοιχί-

ζεται µε µία γεώτρηση έτσι ώστε σε κάθε επανά-

ληψη να αντλείται µία µοναδιαία παροχή από κα-

θεµία από τις υπόλοιπες, και για κάθε χρονική πε-

ρίοδο. Στη συνέχεια µε τη µέθοδο του πίνακα της

απόκρισης προκύπτουν οι συνολικές πτώσεις στάθ-

µης που προκαλούνται από τη ταυτόχρονη λειτουρ-

γία όλων των γεωτρήσεων. Εξετάζεται το πρό-

βληµα της ασταθούς ροής το οποίο περιγράφεται

µαθηµατικά µε την ακόλουθη εξίσωση:

∑ ∑

= =

−−

⋅−=

T

1k

N

1j

k

j

)1k(T

ij

T

i

T

iQαUh (35)

όπου:

T

ih το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο i στη

χρονική στιγµή Τ όταν λειτουργούν τα

“διαχειριζόµενα” πηγάδια.

T

iU το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο i στη

χρονική στιγµή Τ όταν δε λειτουργούν

τα “διαχειριζόµενα” πηγάδια.

)1( −− kT

ijα πτώση στάθµης στο σηµείο i

από µια

µοναδιαία καταπόνηση (παροχή) του

πηγαδιού j, η οποία προκλήθηκε το

µήνα κ.

κ

jQ παροχή στο πηγάδι j η οποία αντλείται

το µήνα κ.

Έστω ότι σε µία περιοχή υπάρχουν 3 πηγάδια

άντλησης σε δύο διαδοχικά χρονικά βήµατα, το

καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα µήνα. Αν

αντληθεί µία παροχή Q από το πηγάδι 1 στον πρώτο

µήνα (Q1(1)), οι πτώσεις του φορτίου στα πηγάδια

1, 2, 3, λόγω άντλησης στο µήνα αυτό θα είναι

)1(

1,3

)1(

1,2

)1(

1,1,, aaa αντίστοιχα, όπου ο εκθέτης δείχνει

το χρονικό βήµα. Η επίδραση του φαινοµένου αυ-

τού επεκτείνεται και στους επόµενους µήνες. ∆η-

λαδή η µοναδιαία άντληση από το πηγάδι 1 στον

πρώτο µήνα (Q1(1)), θα προκαλέσει πτώσεις στάθ-

µης στο δεύτερο µήνα ίσες µε )2(

1,3

)2(

1,2

)2(

1,1,, aaa , για

τα πηγάδια 1, 2, 3 αντίστοιχα. Επειδή όµως όλα τα

χρονικά διαστήµατα θεωρούνται ίσης διάρκειας

(µήνες), και η ποσότητα της παροχής άντλησης

ισούται µε τη µονάδα, οι πτώσεις της στάθµης που

θα λάβουν χώρα στο δεύτερο µήνα, θα είναι ίσες µε

αυτές που συνέβησαν τον πρώτο µήνα λόγω άντλη-

σης στον µήνα αυτό. Γενικά οι πτώσεις στάθµης

στον οποιοδήποτε µήνα k λόγω άντλησης µονα-

διαίας παροχής κατά το συγκεκριµένο αυτό µήνα k,

είναι πάντα ίδιες και λαµβάνονται ίσες µε

)1(

1,3

)1(

1,2

)1(

1,1,, aaa . Στο τέλος του 2ου µήνα η συνο-

λική πτώση φορτίου στο 3ο πηγάδι που οφείλεται

στην άντληση και από τα τρία πηγάδια θα είναι ίση

µε:

QαQαQα

QαQαQαh

)2(

3

)1(

3,3

)2(

2

)(!

2,3

)2(

1

)(!

1,3

)(!

3

)2(

3,3

)1(

2

)2(

2,3

)1(

1

)(!

1,3

2

3

⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅=∆

(36)

5 Πρόγραµµα βελτιστοποίησης

Με τη βοήθεια του Γραµµικού Προγραµµατισµού

και της µεθόδου Simplex το µοντέλο οδηγείται στη

βέλτιστη λύση επιτυγχάνοντας µε αυτόν τον τρόπο

την καλύτερη διαχείριση του υπόγειου νερού. Η

βέλτιστη λύση µεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί µια

οριζόµενη από το χρήστη αντικειµενική συνάρτηση

και ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς

(Psilovikos, 1999). Η αντικειµενική συνάρτηση έχει

την εξής µορφή:

MinMaxQi

N

i

i/

1

=⋅∑=

α (37)

όπου αi είναι οι συντελεστές κέρδους ή κόστους

Με βάση την αρχή της επαλληλίας για τη µη µό-

νιµη κατάσταση οι ανισότητες των περιορισµών σε

ορισµένες θέσεις ελέγχου (control points), όπου

παρατηρείται η µεγαλύτερη πτώση στάθµης του

υδροφορέα, εκφράζονται µε τη βοήθεια της γενικής

σχέσης (Psilovikos Α. και Tzimopoulos C., 1998):

T

min,i

T

i

T

i

k

j

T

1k

N

1j

)1k(T

ij

k

i

k

i

k

i

HUb

QαHUh

−=≤

⋅∑ ∑=−=∆

= =

−−

(38)

Το άθροισµα των αντλούµενων παροχών για κάθε

µήνα πρέπει να παραµένει σταθερό έτσι ώστε να

ικανοποιούνται οι αρδευτικές και υδρευτικές ανά-

γκες της περιοχής. Οι περιορισµοί ισοζυγίου ανα-

φέρονται στις συνολικές ποσότητες αντλούµενου

– 22 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

22

νερού για όλα τα πηγάδια και κάθε περίοδο ξεχωρι-

στά και δίνονται ως εξής:

∑∑

= =

=

T

1k

N

1j

k

jctQ (39)

όπου

i είναι το σηµείο ελέγχου

j είναι το πηγάδι άντλησης

k είναι η κρίσιµη χρονική περίοδος

Τ είναι η χρονική περίοδος

T

i

b η διαφορά “αρχικό φορτίο – ελάχιστο

επιτρεπόµενο φορτίο”.

T

min,iH το ελάχιστο επιτρεπόµενο φορτίο στο

κελί i, τη χρονική στιγµή Τ.

6 Εφαρµογή

6.1 Γεωγραφικά και Μορφολογικά στοιχεία

Η περιοχή έρευνας, των πηγών Αγίας Βαρβάρας,

βρίσκεται γεωγραφικά στην Ανατολική Μακεδονία

και εντός των διοικητικών ορίων του Νοµού ∆ρά-

µας, ενώ υδρολογικά και σύµφωνα µε τις διαιρέσεις

του νόµου 1739/87, ανήκει στο υδατικό διαµέρισµα

(11) της Ανατολικής Μακεδονίας (σχήµα 5).

Σχήµα 5 : Θέση των πηγών ∆ράµας στον Ελλαδικό χώρο

Η υδρολογική λεκάνη έχει συνολικό εµβαδόν

218,91 km2 και εκτείνεται υψοµετρικά έως την

ισοϋψή των 2194 m. Η περιοχή της ανήκει στη γε-

ωλογική ζώνη της Ροδόπης. Στη δοµή της συµµετέ-

χουν µεταµορφωµένα πετρώµατα µε ελάχιστες µι-

κρές εµφανίσεις ηφαιστειακών πάνω στα οποία

επικάθονται, κυρίως στις πεδινές περιοχές τα νεώ-

τερα ιζήµατα.

6.2 Στοιχεία γεωτρήσεων

Η περιοχή έρευνας αποτελεί έναν εκτεταµένο

υδραυλικό φορέα, που εκτείνεται από τη θέση πη-

γών ∆ράµας µέχρι και τις κορυφές του Φαλακρού

όρους. Από το σύστηµα επέµβασης και διαχείρισης

του υδραυλικού περιβάλλοντος που επικρατεί στην

τοποθεσία αυτή, επιλέχτηκε ένα σύνολο 59 γεω-

τρήσεων για την µελέτη της συµπεριφοράς του

υδροφορέα και τη διαχείριση του υπόγειου ύδατος.

Αν και το αντιπροσωπευτικό δείγµα γεωτρήσεων

φέρει όλες τις πληροφορίες για το σύστηµα τροφο-

δοσίας των πηγών, οι παράµετροι που έχουν µετρη-

θεί αφορούν µόνο τις 24 από αυτές

Οι θέσεις των εξεταζοµένων γεωτρήσεων στην

ευρύτερη περιοχή έρευνας διακρίνονται στο σχήµα

6:

Σχήµα 6 : Θέση των γεωτρήσεων και τα όρια της περιοχής

µελέτης

Τα υδραυλικά και γεωµετρικά στοιχεία των γεω-

τρήσεων συλλέχθηκαν από την Υ.Ε.Β ∆ράµας. Οι

πληροφορίες αφορούν το είδος τους, το φορέα κα-

τασκευής, το χρόνο λειτουργίας τους και την πα-

ροχή άντλησης. (πίνακας 1).

Η περιοχή έχει χωριστεί σε 23 x 33 ορθογώνια

στοιχεία διαστάσεων 500 x 500 m. Tα 159 από

αυτά αντιπροσωπεύουν µη ενεργά σηµεία στα νο-

τιοανατολικά και νοτιοδυτικά του υδροφορέα

(σχήµα 6). Στα κελιά αυτά δεν λαµβάνονται υπόψη

οι γεωτρήσεις, ενώ τα υδρογεωλογικά και γεωµε-

τρικά στοιχεία που χαρακτηρίζουν το υδατικό µέσο

– 23 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

23

έχουν µηδενικές τιµές. Για κάθε κεντρικό σηµείο

των κελιών υπολογίστηκε η αντίστοιχη τιµή όλων

των παραµέτρων που εισήχθησαν στο µαθηµατικό

µοντέλο, µε βάση τις παρεµβολές που έγιναν µε την

τεχνική του Kriging. (Ερευνητικό πρόγραµµα

«Υδροφορία πηγών Αγ. Βαρβάρας ∆ράµας», 1997).

Σχήµα 7: Μορφή αρχικής πιεζοµετρίας του υδροφορέα σε τρισ-

διάστατη µορφή.

Σχήµα 8: Μορφή πιεζοµετρίας του υδροφορέα σε τρισδιάστατη

µορφή για το µήνα Σεπτέµβριο.

Οι τιµές εισάγονται µε τη βοήθεια του γραφικού

περιβάλλοντος του προγράµµατος προσοµοίωσης

δίνοντας τιµές σε κάθε κελί ξεχωριστά (cell-by-

cell):

• Άνω και κάτω όριο υδροφορέα (m)

• Kωδικός κελιού (0 για τα µη ενεργά, 1 για τα

ενεργά και –1 για σταθερό φορτίο).

• Ενεργό πορώδες

• Συντελεστής αποθήκευσης (m-1

)

• Υδραυλική Αγωγιµότητα (m/day)

• Αρχική Πιεζοµετρία (m)

Στα σχήµατα 7 και 8 παρατίθενται τα γραφήµατα

της αρχικής πιεζοµετρίας και της αντίστοιχης για το

µήνα Σεπτέµβριο, όπου παρατηρούνται οι µεγαλύ-

τερες πτώσεις στάθµης,, έτσι όπως προέκυψαν µέσα

από τα αποτελέσµατα του προγράµµατος προσο-

µοίωσης του υδροφορέα.

6.3 Αντλήσεις-Παροχές πηγών ∆ράµας-

Βροχοπτώσεις

Οι γεωτρήσεις που βρίσκονται εντός των ορίων της

λεκάνης των πηγών της ∆ράµας, αντλούνται είτε

περιοδικά (αρδευτικές αντλήσεις), δηλαδή τους

µήνες Μάιο-Σεπτέµβριο, είτε σε συνεχή βάση

(υδρευτικές-βιοµηχανικές), όπως φαίνεται στον πί-

νακα 1.

Οι τιµές των αντλήσεων εισάγονται στο συγκε-

κριµένο κελί όπου υφίσταται η κάθε γεώτρηση.

Στην περίπτωση που σε κάποιο κελί υπάρχουν πα-

ραπάνω από µία γεωτρήσεις η τελική τιµή αντιπρο-

σωπεύεται από το άθροισµά τους.

Τα δεδοµένα τόσο των βροχοπτώσεων όσο και

των παροχών πηγών προέκυψαν µετά από παρατη-

ρήσεις που έγιναν από τους υδρολογικούς σταθµούς

παρατήρησης που λειτουργούν εντός της υδρολογι-

κής λεκάνης των πηγών της Αγίας Βαρβάρας. Ο

όγκος τροφοδοσίας των πηγών εισάγεται στο µαθη-

µατικό µοντέλο κεντροβαρικά, χρησιµοποιώντας ως

βάρη τόσο τις αγωγιµότητες των κελιών της υπό

µελέτη περιοχής, όσο και τις βροχοπτώσεις µε µια

χρονική υστέρηση 4 µηνών.

Οι τιµές των παροχών που εισρέουν στον υδρο-

φορέα προκύπτουν µε βάση τις αντίστοιχες αγωγι-

µότητες του κάθε κελιού και τις βροχοπτώσεις του

κάθε µήνα. Η σχέση που συνδέει τις παραµέτρους

αυτές είναι η εξής:

⋅

⋅=

SumP

P

SumK

K

VQmonth

eargrech (40)

όπου

• Κ είναι η υδραυλική αγωγιµότητα του αντίστοι-

χου κελιού.

• SumK το άθροισµα των υδραυλικών αγωγιµοτή-

των που αντιστοιχούν στα συγκεκριµένα κελιά.

• Pmonth

η βροχόπτωση που αντιστοιχεί στον µήνα

µετά από τη χρονική υστέρηση.

• SumP το σύνολο των βροχοπτώσεων.

• Qrecharge

η θετική τιµή της παροχής σε m3/day που

εισάγεται στο κάθε κελί και αντιστοιχεί στην

επαναπλήρωση του υδροφορέα.

• V είναι το σύνολο των εισροών από τις βροχο-

πτώσεις για όλες τις χρονικές περιόδους

– 24 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

24

Στο σχήµα 9 απεικονίζονται οι γραφικές παραστά-

σεις των µηνιαίων αθροισµάτων για τις αντλήσεις,

παροχές πηγών, για τις εισροές από τα πάνω κελιά

και για τις βροχοπτώσεις.

Στην περίπτωση των πηγών Αγίας Βαρβάρας στη

∆ράµα οι παροχές αντιπροσωπεύουν αντλήσεις και

έχουν αρνητικό πρόσηµο. Έτσι το ζητούµενο είναι

η µέγιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης η

οποία στην περίπτωση των 24 εξεταζόµενων γεω-

τρήσεων παίρνει τη µορφή:

12

24

12

24

1

24

1

24

12

4

12

4

1

4

1

4

12

2

12

2

2

2

2

2

1

2

1

2

12

1

12

1

2

1

2

1

1

1

1

1

...........

)41(........

....

........)(max

WWWWWW

WWWW

WWWWWW

WWWW

k

i

k

i

QCQCQC

QCQC

QCQCQC

QCQCQCxf

⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+

+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅=⋅=

όπου

i είναι το διαχειριζόµενο πηγάδι

i = W1,W

2 ,W

4,……W

18

k είναι η χρονική περίοδος k = 1,2…..12

Οι περιορισµοί πιεζοµετρίας σχηµατίζονται µε

βάση τη σχέση (38) λαµβάνοντας ως χρονικές πε-

ριόδους το µήνα Σεπτέµβριο όπου αντιστοιχεί στο

τέλος των αντλήσεων και το ∆εκέµβριο που σηµαί-

νει και το τέλος της εξέτασης του φαινοµένου. Οι

περιορισµοί ισοζυγίου διαµορφώνονται ως εξής:

d/m21464Q......QQ31

24W

1

1W

1

i−=++=∑

d/m20464Q...QQ32

24W

2

1W

2

i−=++=∑

d/m27464Q.....QQ33

24W

3

1W

3

i−=++=∑

d/m26464Q....QQ34

24W

4

1W

4

i−=++=∑

d/m48136Q...QQ35

24W

5

1W

5

i−=++=∑

d/m48136Q....QQ36

24W

6

1W

6

i−=++=∑

d/m47136Q...QQ37

24W

7

1W

7

i−=++=∑ (42)

d/m48136Q.....QQ38

24W

8

1W

8

i−=++=∑

d/m46136Q....QQ39

24W

9

1W

9

i−=++=∑

d/m22464Q.....QQ310

24W

10

1W

10

i−=++=∑

d/m23464Q.....QQ311

24W

11

1W

11

i−=++=∑

d/m20464Q....QQ312

24W

12

1W

12

i−=++=∑

7 Συµπεράσµατα

Ο αντικειµενικός στόχος της έρευνας είναι η ελαχι-

στοποίηση του κόστους λειτουργίας του αντλιο-

στασίου και η βελτιστοποίηση των παροχών άν-

τλησης νερού από τις γεωτρήσεις, λαµβάνοντας

υπόψη κάποιους περιορισµούς πιεζοµετρίας. Σύµ-

φωνα µε τους τελευταίους, ο υδροφορέας θα πρέπει

να διατηρείται µέσα σε ορισµένα όρια τα οποία δεν

πρέπει να ξεπεραστούν.

• Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν αφορούν τις

τελικές πιεζοµετρίες (πίνακας 2) και τις επιθυµη-

τές παροχές (πίνακας 4) που θα έπρεπε να εφαρ-

µοστούν σε κάθε πηγάδι έτσι ώστε τα αθροί-

σµατα των τελευταίων να είναι για κάθε µήνα

αυτά που επιλέχθηκαν αρχικά. Θα πρέπει να ση-

µειωθεί ότι στη διαδικασία της βελτιστοποίησης

δεν συµµετέχουν και οι 24 γεωτρήσεις αλλά µόνο

αυτές στις οποίες είτε η στάθµη είναι αρκετά χα-

µηλή κατά των τέλος των αντλήσεων, είτε οι τι-

µές των παροχών άντλησης είναι αρκετές µεγάλες

(control points).

• Η γεώτρηση W11

θεωρείται από το πρόγραµµα

ότι είναι πηγή εφόσον δίνει τόσο υψηλές τιµές

πιεζοµετρίας τόσο για το τέλος των αντλήσεων,

όσο και της µελέτης του φαινοµένου. Από τη

στιγµή που η γεώτρηση αυτή βρίσκεται στο ίδιο

κελί µε την πηγή P2, δεν υφίσταται κάποιος δια-

χωρισµός.

• Όσον αφορά τις γεωτρήσεις W14

, W15

, W16

, W17

,

W18

οι τελικές τιµές παρουσιάζονται αρκετά

µειωµένες σε σχέση µε τις αντίστοιχες που δόθη-

καν αρχικά στο αρχείο modinp (πίνακας 3) Αυτό

συµβαίνει διότι οι γεωτρήσεις αυτές είναι συγκε-

ντρωµένες στην ίδια περιοχή, µε αποτέλεσµα οι

ταυτόχρονες αντλήσεις να ρίχνουν αρκετά τη

στάθµη του υδροφορέα στο σηµείο αυτό. Έτσι,

για να αποφευχθεί αυτή η µεγάλη πτώση πιεζοµε-

τρίας και πιθανή εξασθένηση του υδροφορέα στο

νότιο µέρος της περιοχής, θα πρέπει να µειωθεί ο

ρυθµός εξαγωγής νερού.

• Τελικά το ετήσιο κόστος άντλησης συµπεριλαµ-

βανοµένων και των µισθών των υπαλλήλων και

των εξόδων συντήρησης του αντλιοστασίου που

προκύπτει από τη βέλτιστη λύση ανέρχεται στις

6690875 δρχ. ή 19635,73 Ε.

– 25 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

25

Βιβλιογραφία

ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΗ

Bear, J., 1979. Hydraulics of Groundwater, Mc

Graw – Hill Book Company, London.

Greenwald, R. M., 1994. MODflow MANagement:

An Optimization Module for MODFLOW,

IGWMC, version 3.02.

Mc Donald. M. G., and A.W. Harbaugh, 1988. A

modular three – dimensional finite – difference

groundwater flow model, U.S. Geological

Survey, Techniquew of Water Resources Investi-

gations, Book 6, Chapter A1

Psilovikos A. 1999. Optimization Models in

Groundwater Management, Based on Linear and

Mixed Integer Programming. An application to a

Greek Hydrological Basin, Phys. Chem. Earth

(B), Vol.24, No. 1-2, pp. 139-144.

Psilovikos A. and C. Tzimopoulos, 1998. Pumping

cost analysis in groundwater management, using

the MODMAN (MODflow MANagement) model.

Under publication Proc. 12th

International Conf.

On Computational Methods In Water Resources,

Crete, Greece, 1998.

Shamir, 1974, Optimal Design and Operation of

Water Distribution Systems, Water Res.Res. Vol

10, No 1pp. 27-36).

Schwarz, J., 1971, Linear Models for Groundwater

management. Water planning for Israel. Ltd.

Israel, P.N. ET/71/062.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Γκινίδη Παναγιώτα, 2002. ∆ιαχείριση του Υδροφο-

ρέα των πηγών ∆ράµας µε εφαρµογή του Γραµµι-

κού Προγραµµατισµού, Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή.

Επιβλέπων καθηγητής: Χρήστος Τζιµόπουλος.

Ερευνητικό πρόγραµµα Υδροφορία πηγών Αγ. Βαρ-

βάρας ∆ράµας, 1997, Ερευνητική οµάδα Α.Π.Θ,

Επιστηµονικός υπεύθυνος : Χρήστος Τζιµόπου-

λος, Καθηγητής Α.Π.Θ.

Τζιµόπουλος Χ., Σπυρίδης Α., 2000. Προσέγγιση

της Υδραυλικής συµπεριφοράς του υδροφορέα των

πηγών Αγ. Βαρβάρας ∆ράµας, 8ο

Πανελλήνιο

Συνέδριο της Ελληνικής Υδροτεχνικής ένωσης).

Τζιµόπουλος., Γραµµικός Προγραµµατισµός, Θεω-

ρία επί των κυρτών συνόλων

Ψιλοβίκος Α., 1996 : Βέλτιστη διαχείριση Υπόγειων

υδροφορέων µε τη µέθοδο του Γραµµικού προ-

γραµµατισµού. Εφαρµογή στον υδροφορέα Ειδο-

µένης – Ευζώνων. Μεταπτυχιακή διατριβή, Θεσ-

σαλονίκη.

– 26 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

26

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Παροχές πηγών (m3/day)

Αντλήσεις (m3/day)

Εισροές από τα πάνω κελιά

(m3/day)

Βροχόπτωση (mm)

m3/day mm

Σχήµα 9 : Παροχές πηγών ∆ράµας - αντλήσεις- Βροχοπτώσεις – Εισροές από τα πάνω κελιά

α/α Γεώτρηση

Φορέας

Κατασκευής

Χρήση

Χρόνος

Λειτουργίας

Παροχή

άντλησης (m3

/h)

1 W1 YEB Ύδρευση Συνεχής 39,6

2 W2 YEB Ύδρευση 10 µήνες 225

3 W3 YEB Ύδρευση Συνεχής 9

4 W4 Ιδιωτική Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 46,8

5 W5 YEB Άρδευση-΄Υδρ. Συνεχής 63

6 W6 YEB Βιοµηχανική Συνεχής 58,5

7 W7 YEB Ύδρευση Συνεχής 360

8 W8 YEB Ύδρευση Συνεχής 135

9 W9 YEB Ύδρευση Συνεχής 405

10 W10 YEB Ύδρευση Συνεχής 90

11 W11 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 270

12 W12 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 117

13 W13 YEB Άρδευση-΄Υδρ. Συνεχής 6,3

14 W14 YEB Άρδευση-΄Υδρ. Συνεχής 4,5

15 W15 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 8,1

16 W16 Ιδιωτική Στρατόπεδο Συνεχής 9

17 W17 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 36

18 W18 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 135

19 W19 YEB Ύδρευση Συνεχής 207

20 W20 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 117

21 W21 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 270

22 W22 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 144

23 W23 Ιδιωτική Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 90

24 W24 Ιδιωτική Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ. 360

Πίνακας 1 : Υδραυλικά και γεωµετρικά στοιχεία των γεωτρήσεων

– 27 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

27

9ος ΜΗΝΑΣ

(ΤΕΛΟΣ ΑΝΤΛΗΣΕΩΝ)

12ος

ΜΗΝΑΣ

(ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΤΟΥ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ)

α/α

Γεωτρήσεις Αρχική

πιεζοµετρία

Μέγιστη τιµή Βέλτιστη τιµή Ελάχιστη τιµή Βέλτιστη τιµή

1 W1 99,45 32,00 94,98 42,00 64,79

2 W2 77,74 32,00 46,75 41,00 41,00

3 W4 96,40 27,00 27,00 45,00 53,38

4 W5 94,20 27,00 27,00 37,00 55,47

5 W6 94,73 25,00 28,10 38,00 58,56

6 W7 107,59 25,00 27,70 35,00 57,98

7 W8 263,12 26,00 29,73 35,00 59,50

8 W11

97,99 35,00 - 47,00 -

9 W14

95,42 25,00 25,00 34,00 69,05

10 W15

147,53 27,00 42,04 34,00 70,28

11 W16

103,60 26,00 36,91 35,00 70,62

12 W17

167,87 25,00 122,40 34,00 90,42

13 W18

89,86 36,00 36,00 34,00 69,61

Πίνακας 2: Βέλτιστες πιεζοµετρίες στις θέσεις ελέγχου

a/a Γεωτρήσεις Ι Φ M A M Ι ΙΙ Α Σ O N ∆

1 W1 1056 1056 1056 1056 1056 1056 1056 1056 1056 1056 1056 1056

2 W2 0 0 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000

3 W4 3000 3000 3000 3000 4248 4248 4248 4248 4248 3000 3000 3000

4 W5 16370 16370 16370 16370 16370 16370 16370 16370 16370 16370 16370 16370

5 W6 1715 1715 1715 1715 1715 1715 1715 1715 1715 1715 1715 1715

6 W7 10800 10800 10800 10800 10800 10800 10800 10800 10800 10800 10800 10800

7 W8 2905 2905 2905 2905 2905 2905 2905 2905 2905 2905 2905 2905

8 W11

264 264 264 264 264 264 264 264 264 264 264 264

9 W12

0 0 0 0 238 238 238 238 238 0 0 0

10 W14

6070 6070 6070 6070 10300 10300 10300 10300 10300 6070 6070 6070

11 W15

0 0 0 0 3432 3432 3432 3432 3432 0 0 0

12 W16

0 0 0 0 18480 18480 18480 18480 18480 0 0 0

13 W17

0 0 0 0 4224 4224 4224 4224 4224 0 0 0

14 W18

0 0 0 0 2640 2640 2640 2640 2640 0 0 0

*όλες οι παροχές αντιπροσωπεύουν αντλήσεις

Πίνακας 3 :Αρχικές παροχές γεωτρήσεων για όλους τους µήνες (m3/day)

– 28 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

28

α/α Γεωτρήσεις Ι Φ M A M Ι ΙΙ A Σ O N ∆

1 W1 739 739 739 739 739 739 739 739 739 739 739 739

2 W2 0 0 4200 4200 6000 6000 6000 6000 6000 4200 4200 4200

3 W4 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 3251 1000 1000 1000

4 W5 11765 9182 13565 12565 16370 16370 16370 16370 9825 8565 9565 6401

5 W6 100 1715 100 100 1715 1715 1715 1715 1715 100 100 100

6 W7 7560 7560 7560 7560 10800 10800 10800 10800 10800 7560 7560 7560

7 W8 100 100 100 100 2905 2905 2905 2905 2905 100 100 99

8 W11

100 168 100 100 100 100 100 100 100 100 100 264

9 W12

0 0 0 0 238 238 238 238 238 0 0 0

10 W14

100 0 100 100 7868 7868 6868 7868 168 100 100 100

11 W15

0 0 0 0 100 100 100 100 3432 0 0 0

12 W16

0 0 0 0 100 100 100 100 100 0 0 0

13 W17

0 0 0 0 100 100 100 100 4224 0 0 0

14 W18

0 0 0 0 100 100 100 100 2640 0 0 0

* όλες οι παροχές αντιπροσωπεύουν αντλήσεις

Πίνακας 4 :Βέλτιστες παροχές γεωτρήσεων για όλους τους µήνες (m3/day)

– 29 –

C Y M B C Y M B

C Y M B C Y M B

29