Embed Size (px)
Citation preview
الثالفصل الث
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
النشر بمتسلسالت لوران ونظرية الرواسب
AURENTLمتسلسالت لوران 1.
عموميات 1-1.
) لتكن )n na ∈ℤ مجاعة من األعداد العقدية جمموعة أدلتها هي جمموعة األعداد الصحيحةℤ . من املتسلسلة كال ولنتأمل
الصحيحة 0
nn
n
a z
∞
=املتسلسلة الصحيحة و ،1R اليت نرمز إىل نصف قطر تقارا بالرمز ∑
1
nn
n
a z
∞
−=اليت نرمز إىل نصف ∑
ولنفرتض أن . R/21 قطر تقارا بالرمز
2 10 R R≤ < ≤ +∞ (1) 2 : تعارفم ـمع االصطالح ال( 0”R )“2يعين = 1/R = +∞. : كما يلي gو 1fلنا هذا تعريف التابعني التحليليني تيحي
1 10
12
, | | , ( )
1, | | , ( )
nn
n
nn
n
z z R f z a z
z z g z a zR
∞
=∞
−=
∀ ∈ < =
∀ ∈ < =
∑
∑
ℂ
ℂ
,0)1 هولومورفيا يف القرص املفتوح 1f فيكون )D R،)أو يف ℂ 1 حني يكون(R = هولومورفيا يف g، ويكون ∞+/0,1)2 القرص املفتوح )D R .
املتسلسلة إذن1
nn
n
a z
∞−
−=|2متقاربة حني يكون ∑ |z R> .2 التابع لنعرفf بالعالقة:
2 21
, | | , ( ) nn
n
z z R f z a z
∞−
−=
∀ ∈ > = ∑ℂ
)يكون ف )2 21(0, ), ( )z D R f z g z∀ ∉ حيققالذي z كان مهماتابع هولوموريف وأنه 2fأن يبني هذا و . =
2| |z R> كان 1
12 2 2
1 1
1 1 1 1( ) ( )
n
nn n
n n
f z g na n a zz zz z
−∞ ∞− −
− −= =
′ ′= − = − = − ∑ ∑
:احللقة املعرفة كما يلي Aلتكن 2 1: | |z R z R= ∈ < <A ℂ
حينئذ تتقارب كلتا املتسلسلتني0
nn
n
a z
∞
=و ∑
1
nn
n
a z
∞−
−= نعرف إذن الرمز. A من zعند كل نقطة ∑
nn
n
a z+∞
=−∞nأو∑
nn
a z∈∑ℤ
لة علىللدال
0 1
n nn n
n n
a z a z
∞ ∞−
−= =
+ ∑ ∑
.Aمن zوذلك مهما تكن
28 النشر بمتسلسالت لوران ونظرية الرواسب
وبـاق عمران. د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
nn نسميn
a z∈∑ℤ
) ذات الثوابت متسلسلة لوران )n na ∈ℤ . ونقول إن متسلسلة لوران متقاربة إذا وفقط إذا تقاربت
لتاناملتسلس0
nn
n
a z
∞
=و ∑
1
nn
n
a z
∞−
−=nn متسلسلة لوران تتقارب (1)د حتقق الشرط لقد وجدنا أنه عن. ∑
n
a z∈∑ℤ
عند
nاليت نسميها حلقة تقارب املتسلسلة Aكل نقطة من نقاط احللقة n
n
a z∈∑ℤ
.
) وعرفنا Aمن zفإذا كانت ) nn
n
f z a z+∞
=−∞= ألن Aتابعا هولومورفيا يف f، كان ∑
1 2, ( ) ( ) ( )z f z f z f z∀ ∈ = +A ا ويكونا حد باشتقاق املتسلسلة حد fوحنصل على مشتق
1, ( ) nn
n
z f z na z+∞
−
=−∞
′∀ ∈ = ∑A
.عمم مفهوم املتسلسالت الصحيحةي متسلسالت لوران مفهوم بناء على املناقشة السابقة نرى أن
1ليكن : تعريف 2-1. 2( , )R R 2منℝ 2 حيقق 10 R R≤ < ≤ صيغة املعرفة بال الحلقة Aولتكن . ∞+
2 1: | |z R z R= ∈ < <A ℂ .وأخريا ليكن f تابعا عقديا معرفا على جمموعة مفتوحةΩ احللقة حتوي A . نقول إنf يف يقبل النشر بمتسلسلة لورانA إذا وجدت متسلسلة لوران ،n
nn
a z∈∑ℤ
Aمتقاربة يف
, :حتقق ( ) nn
n
z f z a z+∞
=−∞∀ ∈ = ∑A.
لتكن احللقة : مبرهنة 3-1. 2 1: | |z R z R= ∈ < <A ℂ ليكن، و :f Ω → ℂ تابعا عقديا يقبل النشرnn مبتسلسلة لوران
n
a z∈∑ℤ
.عندئذ يكون هذا النشر وحيدا . Aيف
النشر f يها، وبناء عليه إذا قبل تابع عل ولوموريفه A ا فيما سبق أن جمموع متسلسلة لوران متقاربة يف حلقةلقد وجدن .بني املربهنة التالية صحة عكس هذه اخلاصةت . Aرفيا يف تابعا هولومو f ، كانAمبتسلسلة لوران يف حلقة
1ليكن : مبرهنة4-1. 2( , )R R 2من
ℝ 2 حيقق 10 R R≤ < ≤ صيغة ة املعرفة بالحللقا Aولتكن . ∞+ 2 1: | |z R z R= ∈ < <A ℂ .وأخريا ليكن :f →A ℂ تابعا هولومورفيا يفA . عندئذ يقبلf
.Aالنشر مبتسلسلة لوران يف احللقة
∗مـن r،ـ ولـيكن ℂجمـموعـة جزئـية مـن Uلـتكن : تعريف5-1.+ℝ جيعل U ـموعـة حتـوياـ :| |z z r∈ >ℂ ،
f: وليكن U → ℂ نقول إن التابع. تابعا عقديا f العدد يقبلℓ منℂ سعى تاية له عندما| |z إىل+∞ ،limونكتب ( )
zf z
→+∞= ℓق الشرطالتايل ، إذا، وفقط إذا حتق:
, | |0, ( )r A f zA z∃ > > ⇒∀ > − <ε εℓ
ةتصنيف النقاط الشاذ 29
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
1ليكن : نتيجة 6-1. 2( , )R R 2منℝ 2 حيقق 10 R R≤ < ≤ صيغة رفة بالاحللقة املع Aولتكن . ∞+
2 1: | |z R z R= ∈ < <A ℂ . التابع اهلولوموريف وأخريا ليكن:f →A ℂ . عندئذ يوجد تابع وحيد
1f موعةهولوموريف على ا 1 1: | |D z z R= ∈ <ℂ2 ، ويوجد تابع وحيدf موعة هولوموريف على ااملفتوحة 2 2: | |D z z R= ∈ >ℂ ، قوالتاليني نيالشرط انحيق:
2 1 2| |lim ( ) 0 , ( ) ( ) ( )z
f z z f z f z f z→∞
= ∀ ∈ = +Aو
ونصف قطره 0zمركزه نقوصا قرصا م نسمي. دا حقيقيا موجبا متاما عد Rليكن ، و ℂعنصرا من 0z كنيل: تعريف 7-1.R موعةا 0 0 0( , ) ( , )\D z R D z R z=.
∗مــن R،ــ وـℂ عـنصراــ مـن 0z كنيلـ: نتيجة 8-1.
+ℝ .وـلــيكن 0: ( , )f D z R → ℂ تــابـعا هـولــومـوـرـفـيا إــذـنــ تـوجــد
nمتسلسلة لوران n
n
a z
∞
=−∞,0)متقاربة يف احللقة ∑ )D R ، قوحتق
0 0( , ), ( ) ( )nn
n
z D z R f z a z z+∞
=−∞∀ ∈ = −∑
إضافة إىل ذلك يكون
] [2
ii0
0
1, 0, , ( ) d
2
nn nn r R a f z re e
r
π− θθ∀ ∈ ∀ ∈ = + θ
π ∫ℤ
النقاط الشاذة تصنيف 2. على fمث لنتأمل تابعا هولومورفيا .U عنصرا من 0z، وليكن ℂ جمموعة مفتوحة من U لتكن 0\U z .ما ـل0 جمموعة مفتوحة وجدنا U كانت R< ق0 حيق( , )D z R U⊂. وعندئذ يكون f تابعا هولومورفيا على القرص
)0 نقوصامل , )D z Rɶعلى 1-8.لنا تطبيق النتيجة تيح، وهذا ما ي0( , )D z Rf ɶ.
ليصبح تابعا هولومورفيا يف 0zعند fميكن متديد التابع أ : السؤال الذي ميكن أن يطرح علينا يف مثل هذا الوضع هو)0القرص املفتوح , )D z R 0؟ فإذا مل يكن هذا التمديد ممكنا قلنا إن النقطةz ع للتاب نقطة شاذة معزولةf ا تكونوإال فإ ،
.لنتفحص فيما يلي هاتني احلالتني. هلذا التابع قطة شاذة كاذبةن
z0 ع اذبة للتابنقطة شاذة كf . 0zفهو إذن تابع حمدود يف جوار النقطة 0zللنقطة إىل تابع مستمر يف جوار fيف هذه احلالة ميكن متديد التابع متسلسلة 0zسلة لوران يف جوار مبتسل fمنشور ألصبح ، 0zحمدود يف جوار للنقطة f وبالعكس، لو افرتضنا أن التابع
.0zجوار إىل تابع هولوموريف fوأمكن متديد التابع .صحيحة
z0 نقطة شاذة معزولة للتابع f
، أو أال 0z هو أال يكون هذا التابع حمدودا يف جوار f نقطة شاذة معزولة للتابع 0zالشرط الالزم والكايف حىت تكون إن يف f ما للتابعتكون مجيع ثوابت منشور لوران ذات الدليل السالب متا
0( , )D z R معدومة .
30 النشر بمتسلسالت لوران ونظرية الرواسب
وبـاق عمران. د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
: ز بني حالتنيي منوهنا )إن عدد ثوابت منشور لوران )n na ∈ℤ للتابع f 0 نقوصيف القرص امل( , )D z Rɶ متاما وغري ذات الدليل السالب
.املعدومة منته يف هذه احلالة نعرف العدد الطبيعي max : 0km k a∗
−= ∈ ≠ℕ ،ويكون عندئذ
1 101
0 00 0
( ) ( )( ) ( )
mm nnm m
n
aa af z a z z
z z z zz z
∞− +− −
−=
= + + + + −− −− ∑⋯
)0من zكن يوذلك مهما , )D z Rɶ. ، fللتابع mقطب من المرتبة 0z، ونقول إن النقطة z0 ميرومورفي في جوارتابع fنقول يف هذه احلالة إن التابع
ونسمي التابع الكسري1 1
10 00( ) ( )
mmm m
aa az
z z z zz z
− +− −−+ + +
− −−֏ ⋯
.z0عند fالجزء القطبي للتابع هولوموريف على f وهكذا، فحىت يقبل تابع 0\U z قطبا من مرتبة أصغر أو تساويp 0 عندzن تكون، يلزم ويكفي أ
)0املعرف بالعالقة نقطة شاذة كاذبة للتابع 0zالنقطة ) ( )pz z z f z−֏ 0، أو أن يكون التابع( ) ( )pz z z f z−֏ .0zحمدودا يف جوار النقطة
)إن عدد ثوابت منشور لوران )n na ∈ℤ للتابعf 0 نقوصيف القرص امل( , )D z Rɶ ذات الدليل السالب متاما وغري .املعدومة الائي
ة ال يكون أي من التوابع لل هذه احلاويف مث. fومعزولة للتابع نقطة شاذة أساسية 0zنقول يف هذه احلالة إن 0( ) ( )nz z z f z−֏، ( )n ∈ ℕ 0، حمدودا يف جوار النقطةz.
: توضح املربهنتان التاليتان الفرق بني النوعني السابقني من النقاط الشاذة املعزولة
على fمث لنتأمل تابعا هولومورفيا . Uعنصرا من 0z، وليكن ℂ جمموعة مفتوحة من U لتكن : مبرهنة 1-2. 0\U z .يلزم ويكفي أن يتحقق الشرط fقطبا للتابع 0zىت تكون النقطة ح
0
lim ( )z z
f z→
= +∞.
مث لنتأمل تابعا هولومورفيا . Uعنصرا من 0z، وليكن ℂجمموعة مفتوحة من U لتكن: −Weierstrassمبرهنة 2-2.f على 0\U z 0 ويقبل النقطةz لة للتابع نقطة شاذة أساسية ومعزوf .نقوصعندئذ مهما يكن القرص امل
0( , )D z Rɶ احملتوى يف U ،0صورته تكن( ( , ))f D z Rɶ كثيفة يف املستوي العقديℂ.
: وأخريا ليكن. Ωجمموعة جزئية من Pولتكن . ℂ جمموعة مفتوحة يف Ω لتكن: عريفت 4-2. \f Ω →P ℂ تابعا : إذا حتققت الشروط التالية. Pأقطابه هي نقاط اموعة Ωيف تابع ميرومورفيf نقول إن . عقديا
، أي Pلمجموعة أي نقطة جتمع ل Ωليس يف
, 0, ( , )D∀ω ∈ Ω ∃ε > ω ε ∩ = ∅Pɶ Ω\هولوموريف على fابع الت P. .fهي قطب للتابع Pكل نقطة من
ةتصنيف النقاط الشاذ 31
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
ال حتوي إال عددا منتهيا Ωة مرتاصة يف نقاطا معزولة، وأن كل جمموع P الحظ أن الشرط األول يقتضي كون عناصرخالية، وهكذا نرى أن مفهوم التابع املريوموريف يعمم مفهوم Pمث إننا مل نستثن احلالة اليت تكون فيها اموعة . P من عناصر .وموريفالتابع اهلول
نظريـة الرواسب 3.
إذا . P جمموعة أقطابه هي Ω تابعا مريومورفيا يف fوليكن . ℂجمموعة مفتوحة وغري خالية من Ωلتكن : تعريف 1-3. معطى بالعالقة pاملوافق للقطب f لتابعاجلزء القطيب ل وكان P منقطبا pكان
1 11
1
( )( ) ( ) ( )
mmm k
p m m kk
aa a aQ z
z p z pz p z p
− +− − −−
== + + + =
− −− −∑⋯
)نقطة شاذة كاذبة للتابع pعندها تصبح ( pf Q− 1، أمسينا العددa− راسب التابعf عندpورمزنا إليه ، )Resبالرمز , )f p.
. P جمموعة أقطابه هي Ωتابعا مريومورفيا يف fوليكن . ℂجمموعة مفتوحة وغري خالية من Ωلتكن : مبرهنة 2-3.Ω\قطعيا حمتوى يف 1Cطريقا مغلقا من الصف Γوليكن P . نفرتض أنΓ تشويه مستمر يفΩ عندئذ . لنقطة
1( )d Res( , ) Ind( , )
2 i p
f z z f p p∈Γ
= Γπ ∑∫
P
قطبا من p يف احلقيقة، إذا كان. لنذكر بعض الطرائق العملية حلساب الراسب عند قطب لتابع مريوموريف: مالحظة 3-3.)، جنري نشرا حمدودا للتابع fريف لتابع مريومو kاملرتبة ) ( )
gkz z p f z−֏ يف جوارp 1حىت املرتبةk ، وعندئذ يكون −
)Resالراسب , )f p 1هو ثابت احلد( )kz p tوغالبا ما جنري تغيري املتحول . هذا النشر يف −− z p= لتحقيق − .ذلك
، فيمكننا مالحظة أن f لتابع مريوموريف 1)من املرتبة (قطبا بسيطا p أما يف احلالة اخلاصة اليت يكون فيها Res( , ) lim ( ) ( )
z pf p z p f z
→= −
.وهي نتيجة مفيدة يف بعض األحيان
A صـيغةمعطـى بال f على سبيل املثال، إذا كان التـابع B
صـفرا p، وكـان pان يف جـوار ولومورفيـهتابعـان Bو Aو ،)، وB لتابعبسيطا ل ) 0A p ، استنتجنا أن ≠
( ) ( )Res( , ) lim ( )
( ) ( )z p
z p A pf p A z
B z B p→
−= =
′
نظرية الرواسب و تطبيقاتها في حساب التكامالت 32
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
الرواسب في حساب بعض التكامالت تطبيقات نظرية 4.
1ليكن : توطئة 1-4. 2( , )θ θ 2عنصرا منℝ ق1 حيق 2θ < θ .كن يول:f S → ℂ موعةتابعا معرفا على ا
i1 2: ,S re rθ ∗
+= ∈ θ ≤ θ ≤ θℝ )، RΓوأخريا ليكن 0)R ، الطريق املمثل وسيطيا كما يلي <
i1 2: [ , ] , ( )R R Re θϕ θ θ → ϕ θ =ℂ
عندئذ اموعة مستمرا على f إذا كان :z S z a∈ ∗من aو <
+ℝ وكان ،| |lim ( ) 0z
z f z→∞
فإن =
lim ( )d 0RRf z z
→∞ Γ=∫.
موعة امستمرا على f إذا كان : | |z S z a∈ ∗من aو >+ℝ وكان ،
0lim ( ) 0zz f z
→فإن =
0lim ( )d 0
RRf z z
→ Γ=∫.
1ليكن : توطئة 2-4. 2( , )θ θ 2منℝ 1 حيقق 20 ≤ θ < θ ≤ π .كنتول
i1 2: ,S re rθ ∗
+= ∈ θ ≤ θ ≤ θℝ f:وليكن S → ℂ تابعا مستمرا على جمموعة من النمط : | |z S z a∈ ∗من a حيث، >
+ℝ قوحيق ،( )
| |lim 0z
f z→∞
) ،RΓوأخريا ليكن . = 0)R صيغة ال، الطريق املمثل وسيطيا ب<
i1 2: [ , ] , ( )R R Re θϕ θ θ → ϕ θ =ℂ
) عندئذ ) i, lim d 0R
z
Rf z e z∗ α
+→∞ Γ
∀α ∈ =∫ℝ.
∗من R لتكن: توطئة 3-4.+ℝ وليكن ،: (0, )f D R →ɶ ℂ وليكن . 0تابعا هولومورفيا يقبل قطبا بسيطا عندεΓ ،
0 مع R< ε :i: ، الطريق املعطى بالتمثيل الوسيطي> [0, ] , ( ) e θε εϕ π → ϕ θ = εℂ،عندئذ
0lim ( )d iRes( , 0)f z z f
εΓε→= π∫
التكامالت المثلثية 4-4.
نريد حساب التكامالت من النمط2
0
(sin , cos )dI F t t t
π
= yو xمبتحولني ا كسري ا تابع F وذلك عندما يكون، ∫
ليس له أقطاب على الدائرة الواحدية 2 2 21 ( , ) : 1x y x y= ∈ + =S ℝ ، إذا وضعناi tz e= حني يكون
0 2t≤ ≤ π وجدنا أن ،
( ) ( )( )1 1 1 1 1, d
i 2 i 2I F z z z
z z zΓ
= − +∫
2 وي جداء ضربيسا Iوبناء على هذا نرى أن . +C(0,1)هو الطريق Γو iπ مبجموع رواسب التابع
( ) ( )( )1 1 1 1 1,
i 2 i 2z F z z
z z z− .D(0,1) عند أقطابه الواقعة يف القرص ֏+
نظرية الرواسب و تطبيقاتها في حساب التكامالت 33
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
التكامالت المعممة لتوابع كسرية 5-4.
) نريد حساب التكامالت من النمط )d
( )
S xI x
Q x
+∞
−∞
= ]إىل Qو Sينتمي كثريا احلدود ، إذ∫ ]Xℝ . ونفرتض حىت
degأصفار حقيقية، وأن Q ليس لكثري احلدود أن I يتقارب التكامل 2 degQ S≥ +.
)نطبق نظرية الرواسب على التابع Iحلساب )
( )
S zz
Q zوعلى الطريق ℂوهو تابع مريوموريف يف ֏
RΓ 1من الصفC تقيمة كون من القطعة املساملقطعيا[ , ]R R− 0، ونصف الدائرة اليت مركزها يف نصف املستوي املوجود Rونصف قطرها : Im 0z z+ = ∈ ≥P ℂ واملوجهة .باالجتاه املوجب
، degQ)عددها أصغر أو يساوي (،f كبرية بقدر كاف حىت تقع مجيع أقطاب Rنفرتض عند تطبيق نظرية الرواسب أن ,0)داخل القرص )D R . الرمزبلنرمز+
P إىل جمموعة أقطابf املوجودة يف نصف املستوي +P أي
+ += ∩P PP . عندئذ جند استنادا إىل نظرية الرواسب أن ( )
d 2 i Res ,( )
p
S x Sx p
Q x Q+
+∞
∈−∞
= π ∑∫P
): التكامالت المعممة من النمط 6-4. ) i dxI f x e x
+∞α
−∞
= ∫.
∗من αمع +ℝو ،f تابع مريوموريف وله عدد منته من األقطاب يف جمموعة مفتوحة حتوي نصف املستوي العلوي+
P على)نفرتض أيضا أن . fلتابع حيتوي احملور احلقيقي على أقطاب ل أال )f x ∈ ℝ أيا كانتx منℝ وأن ،
lim ( ) 0z
f z→∞
:لنا أن نكتب تيحوهذا ما ي. متقارب I، وأن التكامل =
ilim ( ) d
R
x
RR
I f x e xα→∞
−
= ∫
)i نطبق نظرية الرواسب على التابع ) ( ) zz g z f z e α→ جمموعة مفتوحة حتوي نصف املستوي العلوي، يفاملريوموريف = الذي درسناه يف الفقرة السابقة، فنجد RΓɶوعلى الطريق
i i( ) d 2 i Res( ( ) , )x z
p
f x e x z f z e p+
+∞α α
∈−∞
= π ∑∫P
֏
حساب بعض التكامالت من النمط 8-4.0
( )d
F xI x
x
+∞
α= [من α مع ∫ [0,1.
deg تابع كسري درجته حتقق الشرط F نفرتض أن 1F ≤ وذلك حىت نضمن تقارب التكامل ℝ+ ، وال يقبل أقطابا يف−txوذلك بوضع I من املفيد يف مثل هذه احلالة أن نبدأ بتغيري املتحول يف التكامل املدروس. Iاملعمم e= فيصبح ،
( ) dt t tI e F e e t
+∞−α
−∞
= ∫
R0R−
ΓR
34 النشر بمتسلسالت لوران ونظرية الرواسب
وبـاق عمران. د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
)وحلساب هذا التكامل نتأمل التابع املريوموريف ) ( )f
z z zz f z e F e e−α=֏ الذي يقبل عددا منتهيا من األقطاب داخلالشريط : 0 Im 2S z z= ∈ ≤ ≤ πℂ . مث ليكن الطريقRΓ 1من الصفC ن منقطعيا واملكو
[ , ] [ , 2 i] [ 2 i, 2 i] [ 2 i, ]R R R R R R R R RΓ = − ∪ + π ∪ + π − + π ∪ − + π −
داخل املستطيل S املوجودة يف f تقع مجيع أقطاب التابعكبرية بقدر كاف ل 0R خنتارإذ ] [ ] [0 0, 0, 2R R− × π .) عدد هذه األقطاب منته وال يقع أي منها على هذا ممكن ألن
Im املستقيم 0z Im) أو على املستقيم = 2z = π . نستنتج أن ، ∞+تسعى إىل R جعلبتطبيق نظرية الرواسب و
2 i (1 )
0
( )(1 ) d 2 i Res( ( ), )
S
z z
p
F xe x z e F e p
x
+∞− π α −α
α∈
− = π ∑∫P
֏
.حساب التكامل املطلوب يتيح لناوهذا ما دف إىل حساب التكاملني −Fresnel: مثال 10-4.
2
0
cos dI x x
+∞
= 2و ∫
0
sin dJ x x
+∞
= ∫
2 لنتأمل التابع اهلولوموريف
: , ( ) zf f z e−→ =ℂ ℂ. 0 كنيول R<و ،RΓɶ ن من القطعة املستقيمة0]الطريق املغلق املكو, ]R متبوعة بالقوس RΓ
iو R، واليت تصل بني النقطتنيRونصف قطرها 0من الدائرة اليت مركزها /4Re
π مث بالقطعة ،iاملستقيمة /4[ , 0]Re
π. ا كان
) استنتجنا أن ℂهولومورفيا يف fمل )d 0
R
f z z
Γ
=∫ɶ
أو،
i /4[0, ] [0, ]
( )d ( )d ( )d 0
RR Re
f z z f z z f z zπΓ
+ − =∫ ∫ ∫
ولكن من جهة أوىل2
[0, ] 0
( )d d
R
x
R
f z z e x−=∫ ∫
ومن جهة ثانية
i /4
2
0[0, ]
1 i( )d exp( i )d
2
R
Re
f z z r rπ
+= −∫ ∫
ما كانـوأخريا، ل
( )/4
i 2 i
0
( )d exp ( ) i d
R
f z z Re Re
π
θ θ
Γ
= − θ∫ ∫
0
R
R R
Γ
−
2 iπ
O
RΓ
R
4π
نظرية الرواسب و تطبيقاتها في حساب التكامالت 35
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
استنتجنا l im ( )d 0
R
Rf z z
→∞Γ
=∫
نستنتج ،∞+تسعى إىل R، وجبعل و و ومن
2 2
0 0
1 iexp( i )d exp( )d
22r r x x
+∞ +∞+ π
− = − =∫ ∫
2النتيجة املعروفة استفدنا منوقد
0
d2
xe x
+∞− π
بفصل اجلزأين احلقيقي والتخيلي يف العالقة السابقة نستنتج أن . ∫=
I J= و 2
I Jπ
+ = ومنه
2 2
0 0
2sin d cos d
4x x x x
+∞ +∞π
= =∫ ∫
تمرينات
التايل أوجد النشر مبتسلسلة لوران للتابع 1. التمرين2 1
( 2)( 3)
zz
z z
−+ +
֏.
احللقة أوال يف 1 : 2 3z z∆ = ∈ < <ℂ. احللقة مث يف 2 : 3z z∆ = ∈ <ℂ.
) نفرتض أن 2. التمرين , )a b 2 عنصرا منℂ ق0حيق a b< أوجد النشر مبتسلسلة لوران للتابع، >
1
( )( )z
z a z b− −֏
أوال يف 1 :z a z b∆ = ∈ < <ℂ، مث يف 2 :z b z∆ = ∈ <ℂ.
أوجد النشر مبتسلسلة لوران للتابع 3. التمرين2 2
1
( 1)( 2)z
z z+ +֏.
أوال يف 1 : 1 2z z∆ = ∈ < <ℂ، مث يف 2 : 2z z∆ = ∈ <ℂ.
أوجد النشر مبتسلسلة لوران للتابع 4. التمرين2
2Log
1
zz
z − يف احللقة ֏
: 1z z∆ = ∈ <ℂ
) عرب عن ثوابت النشر مبتسلسلة لوران للتابع 5. التمرين )1expz zz
مستخدما تكامالت مثلثية، مث باالستفادة من ֏+
)املتطابقة ) 1/1exp zzz e e
z+ = ⋅.
تمرينـات 36
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
أثبت أن التابعني 6. ينالتمر 2
2sin ( )
fz
z
ππ
2و ֏
1
( )
g
n
zz n
+∞
=−∞ ℂ\ ان يف، هولومورفي ֏∑− ℤ وأثبت أن األجزاء ،
)ت أن مث أثب. متساوية ℤالقطبية هلذين التابعني عند كل نقطة من ) ( )z g z f z−֏ حمدود يفℂ .ماذا تستنتج ؟
: اذكر طبيعة النقاط الشاذة للتوابع التالية 7. التمرين
( )( ) ( )
5
3 2
2
1
11. , 2. ,
(1 )
13. , 4. ,
11
1 15. exp , 6. exp ,
1 1 1
1 17. exp tan , 8. sin ,
cos
z z
z
z
z
zz z
z z z
e ez z
ez
zz z
z e z
z zz
− −−++
− − −
֏ ֏
֏ ֏
֏ ֏
֏ ֏
: ة، واحسب رواسب هذه التوابع عند كل من أقطااعني أقطاب التوابع التالي 8. التمرين2
3 5 2 2
2
2 2
4 4
1
2
11. , 2. ,
(1 )
3. , 4. ,(1 ) (9 )
15. , 6. , 0
( 1)
7. , 8. ,1
n z
n
z
z n
n n
zz z
z z z
z ez n z
z z z
ez z a
z z z a
e zz z n
z az
∗
π −∗
− +
∈+ +
≠− +
∈++
֏ ֏
֏ ℕ ֏
֏ ֏
֏ ֏ ℕ
∗من kلتكن 9. التمرينℕوليكن ، f تابعا هولومورفيا يف جوار a منℂ. أثبت أن
( ) ( )( )
1Res ,
!( )
k
k
f z f az a
kz a +
= − ֏
: احسب الرواسب التالية 10. التمرين
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 4
ln i
2 22 2 2
22
sin1. Res , 0 , 0 2. Res ,1
1sin
3. Res , i , 4. Res , i1
1 15. Res , i 6. Res ,
( ) ( )1 ch
17. Res
z
a z mz
nz
z ez z
zz z
e ez a z a
z z a
z z az a z bz
zz
π
α β ≠ −β ∈ + +
− − +
֏ ֏
֏ ℝ ֏
֏ ֏
֏( ) ( )2 2
2, i , 8. Res ,
sin1n
zn z n
z∗
∈ π + ℕ ֏
تمرينـات 37
وبـاقعمران . د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
: اآلتيةنظرية الرواسب التكامالت تعمال احسب مست 11. التمرين2 22 2
20 0
2 2 2
2 20 0
2 2
2 2 20 0
sin cos d1. d , 2. ,
cos 1 2 cos( )
0 0 1
d cos 3 d3. , 4. ,
(1 cos ) 1 2 cos 2
1 0 1
d d5. , 6. ,
1 2 cos (1 cos )
1 0
a b a a
b a a
a a a
a a
a a a
a a
π π
π π
π π
θ θ θθ
+ θ + − θ − ϕ
< < < <
θ θ θ+ θ + − θ
< < <
θ θ+ − θ + θ
≠ >
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
)مبكاملة التابع 12. التمرين )i z
zz f z
a e−=
−ي رؤوسه هي ذحميط املستطيل الالذي ميثل nΓعلى الطريق ֏
,النقاط in±π ±π n مع، + ∗∈ ℕكامل، احسب الت
2
sind
1 2 cos
x xx
a a x
π
−π+ −∫
1ابدأ أوال حبالة ( a< 0).مث عاجل حالة 1a< < : نظرية الرواسب التكامالت التاليةعمال احسب مست 13. التمرين
2
4 2 6
0 0
2
2 2 3 2 2 2 2 2
0
2
6 2
4 4 2 2
0
2
d1. d , 2. ,
6 13 1
d3. d , 4. ,
( ) ( )( )
0 ( , )
5. d , 6. d ,( ) 1
0 ( , ) ,
m
n
x xx
x x x
x xx
x a x a x b
a a b
x xx x
x a x
a n m n m
+∞ +∞
∞ +∞
−∞∗+
+∞ +∞
−∞∗
+ + +
+ + +
> ∈
+ +
> ∈ >
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
ℝ
ℕ
: اآلتيةالتكامالت احسب . عددان حقيقيان موجبان متاما βو αفيما يلي الوسيطان 14. التمرين
2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
2 2 2 2 2
0 0
cos sin1. d , 2. d ,
1 1
sin( ) cos( )d3. d , 4. ,
( 1)
sin( ) sin5. d , 6. d ,
( )
x xx x
x x x x
x x x xx
x x
x x xx x
xx x x
+∞ +∞
−∞ −∞∞ +∞
+∞ +∞
+ + + +
α α+ β +
α − α+ β + α
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
38 النشر بمتسلسالت لوران ونظرية الرواسب
وبـاق عمران. د
دسنيللمهن
ت ا اضي
الريعض
ب
0نفرتض أن 15.التمرين 1< α :اآلتية نظرية الرواسب التكامالت عمال احسب مست .>
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
0 0
3 3
0 0
d d1. , 2. ,
1 1
d d3. , 4. ,
1 n
x xa
x x x x a x
x xa n
x xx a x
+∞ +∞∗+α α
+∞ +∞∗ ∗+ αα
∈+ + +
∈ ∈++
∫ ∫
∫ ∫
ℝ
ℝ ℕ
: اآلتيةنظرية الرواسب التكامالت عمال مستاحسب 16. التمرين
( )( ) ( )4 2 2 220 0 0
2 2
3 4 2 20 0 0
ln ln ln1. d , 2. d , 3. d ,
1 1 1 1
ln (ln ) (ln )4. d , 5. d , 6. d ,
( ) 1
x x xx x x
x x x x x
x x xx a x x a
x a x x a
+∞ +∞ +∞
+∞ +∞ +∞∗ ∗+ +
+ + + + +
∈ ∈+ + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ℝ ℝ
1نفرتض أن 17. التمرين 2− < α ، بعد إجراء تغيري مناسب اآلتية نظرية الرواسب التكامالت عمال احسب مست .> : للمتحول
1 11 1
3 2
0 0
1 11 1
2
0 0
1 1
2
1
(1 ) (1 )1. d , 2. d ,
( 1) 1
(1 ) (1 )3. d , 0 4. d ,
1( )
(1 ) (1 )5. d
1
x x x xx x
x x
x x x xx x
xx
x xx
x
−α α −α α
−α α −α α
−α α
−
− −+ +
− −β >
++ β
+ −+
∫ ∫
∫ ∫
∫
، احسب التكامل ℝمن aكن يل 18. التمرين0
sin( )d
sh
axx
x
+∞
وذلك مبكاملة التابع املريوموريف ∫i
sh
azez
zعلى ֏
:الشكل التايليف طول الطريق املبني
QWE
AgD
ZXC
2 iπ
iπ
ε
0 RR− ε
