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Introdução
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Osciladorforçado:forçaexternaagesobreoosciladormas nãoocontrário
Oscilações acopladas: dois ou vários osciladores conectados de tal maneira que a energia pode ser transferida de um para outro.
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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ConsidereumsistemaconservaQvodescritoporumconjuntodevariáveisgeneralizadasqkeotempot.
ngrausdeliberdade:k=1,2,...,n.
Suporexisteumaconfiguraçãodeequilíbrioestávelrepresentadoporcoordenadasgeneralizadasqk0.Nessaconfiguração:
Eqs.deLagrange:
Cadatermonãonulode: temqueserproporcionala:
e
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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ConsidereumsistemaconservaQvodescritoporumconjuntodevariáveisgeneralizadasqkeotempot.
Eqs.deLagrange:
Cadatermonãonulode: temqueserproporcionala:
e
Então:
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Assumaqueasequaçõesqueconectamascoordenadasgeneralizadas,qk,eascoordenadasretangulares,xαi,nãocontémexplicitamenteo
tempo:
DocursodeMecG1(cap.7doMarion)temosque:
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Assumaqueasequaçõesqueconectamascoordenadasgeneralizadas,qk,eascoordenadasretangulares,xαi,nãocontémexplicitamenteo
tempo:
Edaequação:
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Podemosespecificarasvariáveisgeneralizadasdemodoquenoequilíbrio,elasvalem0:qk0=0.Expandindoaenergiapotencialemtornodosprodutosdasvariáveisnaconfiguraçãodeequilíbrio:
Podemostrocaraordemdasderivadas:
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Assim,navizinhançadaconfiguraçãodeequilíbrio:
Ajksãonúmeros,masmjkpodemserfunçõesdascoordenadas:
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Semjkforumamatrizdiagonal,aexpressãodeTacimafica:
Se,alémdisso,Ajksãodiagonais,oproblemasetornaequivalenteanosciladoresharmônicossimplesedesacoplados.
AcharumatransformaçãodecoordenadasquediagonalizesimultaneamentemjkeAjktornaosistemadescricvelemtermos
+simpleseessesistemaéchamado:coordenadasnormais.
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Asequaçõesdemovimentocomenergiasfornecidaspor:
obQdaspelasequaçõesdeLagrange:
ficam:
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Comooproblemaéestudaromov.oscilatório:
nraízesωr2,ounauto-
frequênciasdosistema
Problemageraldeoscilaçõesacopladas
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Soluçãogeral–somasobretodososnvaloresder:
Ou,melhor,apartereal:
Coordenadasnormais
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Soluçãogeral–somasobretodososnvaloresder:
Comoépossívelnormalizarosautovetorespodemosintroduzirumfatordeescalaαrquedependerádascondiçõesiniciais:
Essaequaçãopodeserrescritademodoqueofatordeescalaincorporeasfasesδr:
Coordenadasnormais
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Definiçãodeηr(t):
Demodoqueaequaçãoanteriorparaasoscilaçõesnascoordenadasgeneralizadasqj(t):
Fica:
Ondeηr(t) que são funções que oscilam comumaúnica frequênciaωr,saQsfazem:
Coordenadasnormais
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Resumindo:
1.EscolhacoordenadasgeneralizadaseencontreTeUcomosefazaousarométodolagrangeano.
2. Represente Ajk e mjk como tensores/matrizes n x n e ache osautovalores ωr, e autovetores correspondentes as equações demovimento:
3.Determineosfatoresdeescalaβr,pelascondiçõesiniciais.
4.Determineηporcombinaçõeslinearesapropriadasdascoordenadasqj ,queexibemoscilaçõesnaautofrequênciaωr.ηréchamadadeummodonormal.Omov.geraléumasobreposiçãodemodosnormais.
Vibraçõesmoleculares
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Umamoléculadenátomos: Possui3ngrausdeliberdade;
Possui3grausdeliberdadeparadescrevertranslação;
Possui3grausdeliberdadeparadescreverrotação;
Restam3n–6grausdeliberdadeparaoscilações.
Emmoléculaslineares,arotaçãoemtornodadireçãodeligaçãoentreelesédesprezível:restam3n–5grausdeliberdadeparaoscilações.
Seapenasconsiderarmosasvibraçõesnumplano,de2ngrausdeliberdade,temos2detranslaçãoeumderotaçãodemodoquesobram2n–3grausdeliberdadadeparaoscilaçõesnoplano.
(3n–6)–(2n–3)=n–3éonúmerodegrausdeliberdadedevibraçõesforadoplano.
Fiocarregado
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FioelásQco(ouumamola)comnparcculasidênQcasemintervalosregulares:
L=(n+1)d Desejamostratarocasodeoscilaçõestransversais
Fiocarregado
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FioelásQco(ouumamola)comnparcculasidênQcasemintervalosregulares:
senθ≅tanθ =(qj–qj-1)/d
Fiocarregado
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FioelásQco(ouumamola)comnparcculasidênQcasemintervalosregulares:
Essaéumaequaçãoparaaj-ésimaparcculaacopladaàsparcculasj-1ej+1
Fiocarregado
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Explicitandoostemosproporcionaisaqjedqj/dtnalagrangianaacima:
Deverdecasa:Mostreaplicandoaseqs.deLagrangeque:
Fiocarregado
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Pararesolveraseqs.:
ondeajpodemsercomplexos.SubsQtuindonaprimeiraeq.:
coma0 =an+1 = 0.A soluçãonão-trivial daeq. acima leva ao seguintedeterminante:
Fiocarregado
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Cason=1(mov.tranversal):
Cason=1(mov.longitudinal):
Cason=2comτ/dsubsQtuidoporκ,obtemos:
Deverdecasa:estudaradeduçãodolivroemostrarqueparanqualquer: