Age of Empires 2

Και τώρα…μια μαθηματική ανάλυση

Age of Empires 2

• Προβλήματα που δέχονται ανάλυση

• Μοντελοποίηση/Ποσοτικοποίηση

• Βέλτιστος σχεδιασμός στρατηγικής

• Εφαρμογές και χρήσιμα αποτελέσματα!

Ερωτήματα που απαιτούν ανάλυση (και δέχονται καλώς ορισμένες απαντήσεις)

• Να κάνουμε τα upgrades που σχετίζονται με οικονομία, όταν θέλουμε να επιτεθούμε γρήγορα;

• Να χτίσουμε λιμάνι όταν ο χάρτης έχει λίγη θάλασσα;

• Ποια είναι η πιο συμφέρουσα πηγή φαγητού;• Πόσα town centers θα οδηγήσουν στη

γρηγορότερη ανάπτυξη;

Το πρόβλημα των Town centers

• 1 Town center κοστίζει 275 wood + 100 stone• Κάθε επιπλέον εργάτης κοστίζει 50 food• Όμως κάθε επιπλέον εργάτης μαζεύει υλικά• Συμφέρει να χτίσουμε δεύτερο town center

στην Castle age;• Τρίτο; Τέταρτο;…• Σε πόση ώρα θα κάνει απόσβεση της αξία του;• Συμφέρει αν θέλουμε να επιτεθούμε νωρίς;

Το πρόβλημα των οικονομικών upgrades

• Έστω ότι θέλουμε να έχουμε σε κάποια στιγμή του παιχνιδιού μια ποσότητα χρυσού

• Η τεχνολογία gold mining επιταχύνει το ρυθμό εξόρυξης χρυσού κατά 15%

• Κοστίζει όμως 100 φαγητό + 75 ξύλο• Θα μπορούσαμε να τοποθετήσουμε

περισσότερους εργάτες στο χρυσό, αν δε χρειαζόταν να κάνουμε το gold mining

• Τελικά πότε συμφέρει και πότε όχι;

Υλικά και μονάδα μέτρησης

• Τις περισσότερες φορές χρειάζεται να συγκρίνουμε αξίες διαφορετικών υλικών

• 1 food = 1 wood = 1 gold = 1 stone???• Κάποια υλικά συλλέγονται γρηγορότερα• Χρειαζόμαστε μια κοινή μονάδα μέτρησης…

Villager-second

• 1 villager-second = villager*second = κέρδος που προσφέρει ένας villager που δουλεύει για ένα δευτερόλεπτο

• Για συντομία villi-second ή villi-sec ή vs• Έστω ότι ένας villager μπορεί να μαζέψει:– 10 food σε 25 δευτερόλεπτα ή– 10 wood σε 20 δευτερόλεπτα

τότε 1 food = 2,5 villi-secondsκαι 1 wood = 2 villi-seconds

Villager-second

• Η ισχύς ενός παίκτη σε villi-seconds καθορίζεται από το πλήθος των villagers

• Αν έχουμε 20 villagers, σε 1 λεπτό προσφέρουν κέρδος 20*60 = 1200 villi-sec

• Μπορεί αυτό να σημαίνει 600 wood ή 480 food ή κάποιος συνδυασμός

Κόστος σε villager-seconds

• Pikeman– 35 food = 87,5 villi-sec– 25 wood = 50 villi-sec– Συνολικό κόστος Pikeman: 137,5 villi-sec

• Barracks– 175 wood = 350 villi-sec– 50 δευτερόλεπτα για να χτιστεί από έναν εργάτη

= 50 villi-sec– Συνολικό κόστος Barracks: 400 villi-sec

Υπολογισμός κόστους υλικών

• Οι ρυθμοί συλλογής υλικών είναι καθορισμένοι από το παιχνίδι (food/sec, wood/sec, gold/sec, stone/sec)

• Αλλάζουν αν έχουμε επιπλέον τεχνολογίες και για διαφορετικές πηγές (πχ berries, boars κλπ)

• Τους βρίσκουμε με πειράματα• Κόστος σε villi-sec = 1/(ρυθμός συλλογής)

Gathering rates (καμιά τεχνολογία)

Resource Gathering rate Cost (villi-sec)Gold 0.379 2.638Stone 0.359 2.785Lumberjacking 0.388 2.577Berries 0.310 3.226Hunting 0.408 2.451Shepherding 0.330 3.030Shore Fishing 0.426 2.347Farming 0.319 3.135

Τι πρέπει να λάβουμε υπόψη

• Κόστος κατασκευής dropsite (mill/camp)

• Μετακίνηση από και προς την πηγή

• Και για μεγαλύτερη ακρίβεια: Φαινόμενα συνωστισμού

Πραγματικοί Gathering Rates - Wood

• Πολλά δέντρα• Πολλοί villagers• Μεγάλο χρονικό διάστημα

Πραγματικοί Gathering Rates - Wood

• Σε χρόνο Τ δευτερόλεπτα• Με Ν εργάτες• Συλλέξαμε W μονάδες wood

• Κέρδος: W-100 μονάδες wood• Χρειαστήκαμε N*T+35 villi-seconds• Κόστος της μονάδας wood σε villi-seconds:

Cw=(N*T+35)/(W-100)

• Σε χρόνο Τ δευτερόλεπτα• Με Ν εργάτες• Συλλέξαμε G μονάδες gold

• Κέρδος: G μονάδες gold• Χρειαστήκαμε: N*T + Cw*100 + 35• Κόστος της μονάδας gold σε villi-seconds:

Cg= (N*T + Cw*100 + 35)/G

Πραγματικοί Gathering Rates - Gold

• Κέρδος: F μονάδες food• Κόστος wood: 60 για farm + 100/8 για mill• Κόστος χτισίματος σε vs: 15 για farm + 35/8

για mill• Κόστος συλλογής σε vs: T• Κόστος της μονάδας food σε villi-seconds:

Cf=(72,5*Cw + 19,4 + T)/F

Πραγματικοί Gathering Rates - Farms

Πηγές φαγητού

Πηγή Κόστος 1 μονάδας food σε vsBerries 4.13

Sheep 3.53

Deer (group of 3) 4.27

Deer (group of 4) 4.02

Boar 2.88

Shore Fish 4.13

Farm (no upgrades) 4.33

Farm (all upgrades) 2.69

Άλλα υλικά

Υλικό (upgrades) Κόστος 1 μονάδας σε vsGold (no upgrades) 3.08

Gold (gold mining) 2.85

Gold (gold shaft) 2.54

Stone (no upgrades) 3.27

Stone (stone mining) 2.99

Stone (stone shaft) 2.57

Wood (no upgrades) 3.34

Wood (double axe) 3.06

Wood (bow saw) 2.65

Wood (two man saw) 2.35

Απόσβεση οικονομικών upgrades

• Gold mining: 100 food + 75 wood = 100*4,33 + 75 * 3,06 = 662,5 vs

• Gold cost χωρίς gold mining: 3.08 vs• Gold cost με gold mining: 2.85 vs• Κέρδος: 0.23 vs/gold• Έχω κέρδος μετά από 662,5/0,23 = 2880 gold

Απόσβεση οικονομικών upgrades

• Double axe: 2117 wood• Bow saw: 2330 wood• Two man saw: 6097 wood• Gold mining: 2880 gold• Gold shaft mining: 4076 gold• Stone mining: 2366 stone• Stone shaft mining: 3008 stone

Πόσους… βοσκούς θέλουμε;

• Ρυθμός εξόρυξης φαγητού από πρόβατο: 0.33• Άρα 1 food = 3 vs• Κάθε 25 δευτερόλεπτα θέλουμε 50 food• 50*3/25 = 6 villagers είναι αρκετοί• Στην πράξη είναι 3.53 vs/food• Άρα 50*3,53/25 = 7,06 villagers• Χοντρικά 7 shepherds για συνεχή παραγωγή

villagers

Στρατηγικές και θεωρητικά όρια

• 1 villager κάθε 25 δευτερόλεπτα• Σε 25*τ δευτερόλεπτα θα έχουμε τ+3 villagers

• 3*25+4*25+…+(τ+2)*25 = 25*(τ+5)*τ/2 vs• Feudal age με ν villagers + loom με κ villagers:

Ρ=25τ(τ+5)/2 – 50(τ-ν+2)(τ-ν-1) - 25(τ-κ+2)

Man at arms rush

• 10 man-at-arms σε 14 λεπτά = 840s• 60 food + 20 gold/man at arms• Upgrade: 100 food + 40 gold • 21 δευτερόλεπτα/man at arms• Χρόνος για upgrade: 40 δευτερόλεπτα

Man at arms rush

• Για men at arms: 700 food + 240 gold• 1 mill + 1 lumber camp + 1 mining camp

+ 1 barracks + 8 houses = 795 wood• Feudal age + loom: 500 food + 50 gold• 28 villagers = 1400 food (τ=32)• Συνολικά πρέπει να συλλεχθεί 2400 food• 5 farms = 300 wood

Man at arms rush

• Συνολικά:– 2400 food * 3.5vs/food = 8400 vs– 900 wood * 2.8vs/wood = 2520 vs– 100 gold * 2.8vs/gold = 280 vs

• Άρα αθροιστικά: 11200 vs• Feudal age με v=30 villagers• Loom με κ=10 villagers• Ρ=14000 vs

Τελικά πόσα Town centers;

• Κόστος 275 wood + 100 stone = 1226 vs• Χτίσιμο 150 vs• Γλιτώνουμε ένα house = 123 vs• Συνολικά 1253 vs• Οι Ν πρώτοι εργάτες προσφέρουν

Ν*(Ν-1)*25/2 vs• Αλλά κοστίζουν 218*Ν vs• Και τα αντίστοιχα houses 123*Ν/5 vs

Χρόνος απόσβεσης

• Τελικά: 25*N*(N - 1)/2 >= 1253 + 218*N + 123*N/5

• Άρα Ν>=23• Χρόνος απόσβεσης:

150 + 25*23 = 725s = 12:05• Αν χτίσουμε με 4 villagers:

75 + 25*24 = 675s = 11:15

Τελικά πόσα Town centers;

• Κάποτε σταματάμε την παραγωγή villagers• Με περισσότερα Town Centers σταματάει

νωρίτερα• Το κέρδος;; Έχουμε villagers νωρίτερα! • Αλλά το κέρδος είναι πεπερασμένο για t-

>oo!!

Τελικά πόσα Town centers;

• Για 60 επιπλέον villagers:– Με 2 town centers παράγονται σε 30*25 = 750s– Με 3 town centers παράγονται σε 20*25 = 500s

• Ο πρώτος εργάτης από το 3ο town center δουλεύει +500 δευτερόλεπτα, ο δεύτερος +475 δευτερόλεπτα, ο τρίτος +500 κλπ

• Άρα κέρδος (500+475)*10 = 9750 vs• Κόστος Town Center: 1400 vs

Να το κάνουμε!!

Τελικά πόσα Town centers;

• Για v επιπλέον villagers και κ ήδη χτισμένα Town Centers:25ν*(2ν-κ2+1)/2(κ+1)2

• Αλλαγή μεταβλητής ν->ν-3κ 25(ν-3κ)*(2ν-6κ-κ2+1)/2(κ+1)2

• Ψάχνουμε για διάφορα κ το ελάχιστο ν ώστε: 25(ν-3κ)*(2ν-6κ-κ2+1)/2(κ+1)2 > 1400

Τελικά πόσα Town centers;

• Με… Matlab:– 2ο Town Center: για +18 villagers– 3ο Town Center: για +30 villagers– 4ο Town Center: για +42 villagers– 5ο Town Center: για +54 villagers– 6ο Town Center: για +66 villagers– 7ο Town Center: για +80 villagers

• Γενικά: Χτίσε κ-οστό Town Center αν πρόκειται να φτιάξεις άλλους 12κ-6 villagers!