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Il problema della ottimizzazione
Componenti: Un insieme di variabili indipendenti Un insieme di condizioni sulle variabili (vincoli) Una funzione obiettivo
Soluzione: I valori delle variabili che, rispettando i vincoli, portano la funzione obiettivo
ad un valore ottimo In forma generale:
massimizza F x , x n
c i x 0, i m' 1,... ,m
c i x 0, i 1,2 , ... m'
Con i vincoli
Lo spazio di ricerca della soluzione
Descritto da: Numero di dimensioni Dominio di ciascuna dimensione
Discreto Limitato Reale
Natura della relazione tra vettori di ingresso e funzione obiettivo Continua Discontinua
Ricerca locale nello spazio di ricrca: non tiene conto delle soluzioni precedenti Considera solo la soluzione corrente Usa un metodo per generare soluzioni alternative.
Una tassonomia approssimata delle tecniche di ottimizzazione
ottimizzazione
Tecniche euristiche
Tecniche enumerative
BFSDFS Programmazione dinamica
Tabu Search Hill Climbing
Simulated Annealing
Algoritmi evoluzionistici
Programmazione genetica
Algoritmi genetici
Tecniche euristiche
Tecniche per la soluzione di problemi mediante algoritmi iterativi che selezionano via via la soluzione più appropriata tra quelle ottenute a ciascun passo. Tra queste: Tabu search. Definisce come muoversi localmente da una soluzione all’altra
usando una tabella delle soluzioni visitate recentemente Hill Climbing: parte da un punto e cerca punti con migliore funzione obiettivo Ant colony optimization: risolve problemi che possono essere ridotti alla ricerca
di cammini ottimi in un grafo. Idea: le formiche in cerca di cibo esplorano a caso l’ambiente e quando lo trovano ritornano alla colonia lasciando tracce chimiche, eventualmente rinforzate da altre formiche
Simulated annealing: ricerca la soluzione generando soluzioni vicine alla corrente. Soluzioni che portano a un valore superiore sono sempre accettate. Soluzioni che portano a un valore inferiore sono accettate probabilisticamente
Genetic algorithms: mantiene un insieme di soluzioni che evolvono usando i principi della evoluzione Darwiniana
Hill Climbing
varianti: stochastic hill climbing
Non sceglie sempre il migliore first-choice hill climbing
Prende il primo buon successore (utile se il numero di successori è grande) random restart
Cerca il punto migliore da diversi punti di partenza Ovviamente la probabilità di trovare il massimo aumeta con l’aumentare del numero
di tentativi
Algoritmi di ottimizzazione mediante Simulated
Annealing Simulated Annealing: (~ tempera simulata) Idea: imitare quello che succede nel processo di tempera
la tempera è il processo nel quale il metallo viene riscaldato e poi raffreddato lentamente
Il materiale temperato viene arriva ad uno stato a minore energia nel quale le molecle si assestano su una posizione più stabile
Riassunto dell’algoritmo di minimizzazione
selezione dei parametri inizialiperturba i parametriValutazione Se v’ < v accetta la perturbazione Altrimenti accetta la perturbazione con Prob(E,T)
Test di Metropolis
Ripeti con stato e temperatura aggiornati
Test di Metropolis
Si approssima l’allineamento delle molecole in natura consentendo le transizioni verso l’alto con qualche probabilità Prob (nello stato ad energia E) ~
Funzione di distribuzione di probabilità di Boltzmann (Z normalizz., k cost.Boltzmann)
Anche quando T è piccola, c’è una possibilità di accettazione
Prob (accettazione) = Metropolis if E2 < E1, prob () > 1 if E2 > E1, possiamo trasferirci ad uno stato ad energia maggiore
La velocità alla quale si decrementa T e la quantità di decremento è stabilito da una sequenza di tempera prestabilita (annealing schedule)
1Z
eE
kT
eE
kT
Pseudocodice del Simulated annealing
Fissa un valore iniziale del parametro T sufficientemente alto: T0Fissa la configurazione iniziale: i0Ripeti
RipetiPerturba la configurazione attuale: ijCalcola c=c(i)-c(j);Se c ≤ 0 Allora
Accetta la configurazione j;Altrimenti
Se (exp(-c/T) ≥ Random(0,1)) AlloraAccetta la configurazione j;
FineSeFinoAQuando(l’equilibro termico è bene approssimato);Decrementa T;
FinoAQuando(il criterio di stop è verificato);
Proprietà
L’algoritmo può essere considerato come una successione di catene di Markov omogenee
Si può realizzare delle catene non omogenee diminuendo la temperatura ad ogni iterazione
Si può dimostrare che se T scende abbastanza lentamente, il processo converge all’ottimo globale con probabilità 1
presentato in: Kirkpatrick, Gelatt and Vecchi, “Optimization by Simulated Annealing”, Science, 220(4598):498-516, May 1983 per problemi di routing VLSI
semplice da utilizzare per l’ottimizzazine vincolata
Sequenze di raffreddamento
La temperatura iniziale, la temperatura finale e la sequenza di raffreddamento sono determinate sperimentalmente
Alcuni schemi: t = t, dove è tipicamente intorno a 0.95 t = e-t t, dove è tipicamente intorno a 0.7 ......
Parametri di SA
Valore iniziale di temperatura determina l’efficienza dell’algoritmo un valore troppo basso fà convergere l’algoritmo ad un minimo
locale un valore troppo alto fà si che le prime catene siano superflue possibile modo di determinare T0:
1. Si fissa un valore arbitrario2. si esegue un certo numero di iterazioni3. si calcola il rapporto tra il numero di transizioni accettate e il
numero di transizioni proposte4. se il rapporto è superiore a un numero prefissato
(tipicamente 0.8), allora il valore di T0 proposto viene accettato, altrimenti si raddoppia tale valore e si ripete da 2.
Algoritmi Genetici (GA)
Tecnica di ottimizzazione euristica; prende come modello il processo di evoluzione biologica
NB: IL PROCESSO DI EVOLUZIONE BIOLOGICO E’ GROSSOLANAMENTE APPROSSIMATO!!!
Proposta da John Holland nel 1975 Uno sguardo sul suo modo di operare:
mantiene una popolazione di possibili soluzioni al problema Gestisce la loro evoluzione applicando concetti di evoluzione
naturale e ereditarietà genetica Questi concetti sono applicati mediante Operatori Stocastici:
Selezione Ricombinazione Mutazione
Operatori stocastici
Selezione: preferisce le soluzioni migliori nella popolazione definizione della qualità di una soluzione
Ricombinazione: prende due soluzioni distinte e genera nuove soluzioni ricombinandole a caso
Mutazione: perturba a caso una soluzione
Il processo preso a modello
Evoluzione naturale
Problema: adattarsi all’ambiente
Attori: gli individui viventi in quell’ambiente
Il metro di giudizio: la capacità degli individui di adattarsi all’ambiente
Algoritmi genetici
Problema: trovare l’ottimo globale di una funzione
Attori: le possibili soluzioni
Il metro di giudizio: valore della funzione da ottimizzare, chiamata fitness
Modalità di evoluzione: selezione, ricombinazione e mutazione genetica delle specie viventi
Modalità di evoluzione: applicazione iterativa degli Operatori Stocastici
Risultato: le specie viventi si adattano all’ambiente
Risultato: la popolazione di soluzioni cambia cercando di massimizzare la funzione
Ottimizzazione Genetica: pseudocodice
Genera la popolazione iniziale di soluzioni;
Valuta la fitness di ogni soluzione;
while (condizione di termine non raggiunta) do
seleziona le soluzioni per la riproduzione;
ricombina le soluzioni selezionate;
mutazione delle soluzioni;
valuta la fitness delle soluzioni modificate;
genera una nuova popolazione rimpiazzando la popolazione iniziale con le soluzioni modificate;
done
GA
for(gen=0; gen<maxgen; gen++)
{
fprintf(outfp,"\nRUN %d of %d: GENERATION %d->%d\n",run,maxruns,gen,maxgen);
application(); /*application dependent routines*/
generation(); /* create a new generation */
statistics(newpop); /* compute fitness statistics on new populations */
report(); /* report results for new generation */
temp = oldpop; /* advance the generation */
oldpop = newpop;
newpop = temp;
}
Evoluzione
selezione
Genera la popolazione
valutazione
riproduzione
Esempio massimizzare la funzione f(x)=x2 con x tra 0 e 31 struttura dati:
unsigned *chrom double fitness
int xsite
int *parent
int *utility
unsigned *chrom double fitness
int xsite
int *parent
int *utility
...
...
individuo i
individuo i+1
cromosoma
genitori
eventuali variabili utili
Esempio
inzializzazione a caso di una popolazione di 4 individui con cromosoma lungo 5
--------------------------------------------------------------------------------
1) 11010 v11 121.000000
2) 11101 v23 529.000000
3) 11101 v23 529.000000
4) 00011 v24 576.000000
--------------------------------------------------------------------------------
Codice: inizializzazioneInizializzazione della popolazione:initpop(){ int j, j1, k, stop; unsigned mask = 1; for(j = 0; j < popsize; j++) { for(k = 0; k < chromsize; k++) { oldpop[j].chrom[k] = 0; if(k == (chromsize-1)) stop = lchrom - (k*UINTSIZE); else stop = UINTSIZE; for(j1 = 1; j1 <= stop; j1++) { oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k]<<1; if(flip(0.5)) oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k]|mask; } } oldpop[j].parent[0] = 0; /* Initialize parent info. */ oldpop[j].parent[1] = 0; oldpop[j].xsite = 0; objfunc(&(oldpop[j])); /* Evaluate initial fitness */ }}
Selezione
Metodo della ruota della roulette:
Si ripete la selezione tante volte quanti sono gli individui che devono avere gli stessi genitori
i
if
if
)(
)(
21n
34
L’individuo ‘i’ ha una probabilità pari a di essere scelto
quest’area è proporzionale al valore della fitness
Codice: selezione
int rws(struct individual *pop){ float rand, partsum; int j,k; float randomperc();
sumfitness=0; for(j = 0; j < popsize; j++) { sumfitness = sumfitness + pop[j].fitness; //trova la fitness totale }
rand = randomperc() * sumfitness;
partsum=0.; j=0; do { partsum += pop[j].fitness;
j++; } while(!((partsum>=rand)||(j==popsize))); return(j-1);}
Selezione:
Esempio
s1` = 1111010101 s2` = 1110110101
s5` = 0100010011 s6` = 1110111101
Crossover.
Prima:
Dopo:
s1`` = 1110110101 s2`` = 1111010101
s5`` = 0100011101 s6`` = 1110110011
Codice: crossoverint crossover (unsigned *parent1, *parent2, *child1, *child2){ int j, jcross, k; unsigned mask, temp;
if(flip(pcross)) { jcross = rnd(1 ,(lchrom - 1));/* Cross tra 1 and l-1 */ ncross++; for(k = 1; k <= chromsize; k++) { if(jcross >= (k*UINTSIZE)) {child1[k-1] = parent1[k-1]; child2[k-1] = parent2[k-1];} else if((jcross < (k*UINTSIZE)) && (jcross > ((k-1)*UINTSIZE))) { mask = 1; for(j = 1; j <= (jcross-1-((k-1)*UINTSIZE)); j++) { temp = 1; mask = mask<<1; mask = mask|temp; } child1[k-1] = (parent1[k-1]&mask)|(parent2[k-1]&(~mask)); child2[k-1] = (parent1[k-1]&(~mask))|(parent2[k-1]&mask); } else { child1[k-1] = parent2[k-1]; child2[k-1] = parent1[k-1]; } } } else { for(k = 0; k < chromsize; k++) { child1[k] = parent1[k]; child2[k] = parent2[k]; } jcross = 0; } return(jcross);}
EsempioMutazione:ogni bit è sottoposto ad una piccola probabilità d’errore (per esempio 0.1)
Prima:
s1`` = 1110110101
s2`` = 1111010101
s3`` = 1110111101
s4`` = 0111000101
s5`` = 0100011101
s6`` = 1110110011
Dopo:
s1``` = 1110100101 f (s1``` ) = 6
s2``` = 1111110100 f (s2``` ) = 7
s3``` = 1110101111 f (s3``` ) = 8
s4``` = 0111000101 f (s4``` ) = 5
s5``` = 0100011101 f (s5``` ) = 5
s6``` = 1110110001 f (s6``` ) = 6
Codice: mutazionemutation(child)unsigned *child;/* Mutate an allele w/ pmutation, count # of mutations */{ int j, k, stop; unsigned mask, temp = 1;
for(k = 0; k < chromsize; k++) { mask = 0; if(k == (chromsize-1)) stop = lchrom - (k*UINTSIZE); else stop = UINTSIZE; for(j = 0; j < stop; j++) { if(flip(pmutation)) { mask = mask|(temp<<j); nmutation++; } } child[k] = child[k]^mask; }}
--------------------------------------------------------------------------------Generation 0 Generation 1num string value fitness parents xsite string value fitness-------------------------------------------------------------------------------- 1) 11010 v11 121.000000 | ( 4, 3) 0 00011 v24 576.000000 2) 11101 v23 529.000000 | ( 4, 3) 0 11101 v23 529.000000 3) 11101 v23 529.000000 | ( 2, 4) 0 11101 v23 529.000000 4) 00011 v24 576.000000 | ( 2, 4) 0 00011 v24 576.000000--------------------------------------------------------------------------------Generation 1 Generation 2num string value fitness parents xsite string value fitness-------------------------------------------------------------------------------- 1) 00011 v24 576.000000 | ( 2, 1) 0 11101 v23 529.000000 2) 11101 v23 529.000000 | ( 2, 1) 0 00011 v24 576.000000 3) 11101 v23 529.000000 | ( 4, 3) 0 00011 v24 576.000000 4) 00011 v24 576.000000 | ( 4, 3) 0 11101 v23 529.000000-------------------------------------------------------------------------------Generation 2 Generation 3num string value fitness parents xsite string value fitness-------------------------------------------------------------------------------- 1) 11101 v23 529.000000 | ( 3, 4) 2 00101 v20 400.000000 2) 00011 v24 576.000000 | ( 3, 4) 2 11011 v27 729.000000 3) 00011 v24 576.000000 | ( 1, 2) 0 11101 v23 529.000000 4) 11101 v23 529.000000 | ( 1, 2) 0 00011 v24 576.000000--------------------------------------------------------------------------------Generation 3 Generation 4num string value fitness parents xsite string value fitness-------------------------------------------------------------------------------- 1) 00101 v20 400.000000 | ( 4, 3) 3 00001 v16 256.000000 2) 11011 v27 729.000000 | ( 4, 3) 3 11111 v31 961.000000 3) 11101 v23 529.000000 | ( 2, 1) 0 11011 v27 729.000000 4) 00011 v24 576.000000 | ( 2, 1) 0 00101 v20 400.000000--------------------------------------------------------------------------------Generation 4 Generation 5num string value fitness parents xsite string value fitness-------------------------------------------------------------------------------- 1) 00001 v16 256.000000 | ( 2, 2) 3 11111 v31 961.000000 2) 11111 v31 961.000000 | ( 2, 2) 3 11111 v31 961.000000 3) 11011 v27 729.000000 | ( 1, 3) 0 00001 v16 256.000000 4) 00101 v20 400.000000 | ( 1, 3) 0 11011 v27 729.000000--------------------------------------------------------------------------------
Operatori Alternativi per il Crossover Crossover a n punti
Scegliere a caso n punti per il crossover Dividere i cromosomi in questi punti incrociarli, alternano i genitori Generalizzazione del crossover a 1 punto
Crossover Uniforme
Assegnare la testa a un genitore, la coda all’altro Lanciare una moneta per ogni gene del primo figlio Realizza una copia inversa per il gene del secondo figlio L’ereditarietà è indipendente dalla posizione
Crossover o mutazione?
Lungo dibattito: qual’è migliore o necessario
Risposta: dipende dal problema in generale, è meglio avere entrambi entrambi hanno il loro ruolo generalmente, usare solo mutazione è possibile, usare solo
crossover non funziona bene
Rappresentazioni
Possibili codifiche degli individui Bit strings (0101 ... 1100) Real numbers (43.2 -33.1 ... 0.0 89.2) Permutations of element (E11 E3 E7 ... E1 E15) Lists of rules (R1 R2 R3 ... R22 R23) Elementi di programmi (genetic programming) ... strutture dati ...
Rappresentazioni
Alcuni problemi hanno varabili intere, per. esempio segnali campionati
Altri problemi hanno valori da un insieme prefissato Molti problemi sono intrinsicamente reali, tipicamente l’ottimizzazione
f : n Esempio: la funzione di Ackley’s
Crossover tra valori reali
Discrete: each allele value in offspring z comes from one of its
parents (x,y) with equal probability: zi = xi or yi
Could use n-point or uniform Intermediate
exploits idea of creating children “between” parents (hence a.k.a. arithmetic recombination)
zi = xi + (1 - ) yi where : 0 1. The parameter can be:
• constant: uniform arithmetical crossover• variable (e.g. depend on the age of the population) • picked at random every time
Crossover aritmetico singolo
• Genitori: x1,…,xn e y1,…,yn• Scegliere a caso un gene (k) • il figlio è:
• ugualmente per l’altro figlio. Esempio ( = 0.5)
nkkk xxyxx ..., ,)1( , ..., ,1
• estensione al caso multiplo
GA: ottimizzazione vincolata
I GA sono adatti per l’ottimizzazione non vincolata attività in corso
i metodi proposti sono basati sulla penalizzazione basati sula ricerca di soluzioni fattibili basati sulla preservazione della fattibilità metodi ibridi
