Agregate termice

www.cartiaz.ro – Carti si articole online gratuite de la A la Z

AGREGATE TERMICE

1. ASPECTE GENERALE PRIVIND AGREGATELE TERMICE METALURGICE

1.1. Introducere

Majoritatea proceselor metalurgice (elaborarea fontelor, a oţelurilor, a aliajelor neferoase, retopirea în diferite scopuri, încălzirea în vederea deformării plastice ulterioare prin laminare, forjare, matriţare, etc., încălzirea în vederea realizării tratamentelor termice şi termochimice, uscarea argilelor pentru turnătorie, sinterizarea, etc.), se desfăşoară la o temperatură mai mare decât temperatura mediului ambiant.

Pentru a realiza aceste procese este necesar un aport de căldură (energie termică) din exterior, sau conservarea unei cantităţi de căldură, în interiorul unui corp, procese care se realizează prin încălzire, respectiv izolare termică. După cum se ştie din principiul al doilea al termodinamicii, transferul de căldură se realizează în mod natural de la un sistem termodinamic cu o temperatură ridicată la unul având o temperatură mai scăzută.

Procesele metalurgice menţionate mai sus, se desfăşoară în aşa numitele agregate termice. Ca o definiţie succintă, agregatul termic metalurgic, reprezintă un ansamblu de corpuri în care se desfăşoară un proces termotehnologic metalurgic. De aceea agregatele termice metalurgice se mai numesc si agregate termotehnologice metalurgice (A.T.M) .

Aceste procese termotehnologice se desfăşoară pe seama schimbului energetic între elementele componente ale A.T.M şi între A.T.M şi mediul ambiant. În baza acestei observaţii putem spune că A.T.M reprezintă un sistem termodinamic. Deoarece între un A.T.M şi mediul ambiant au loc schimburi de energie mecanică (datorită diferenţelor de presiune care se stabilesc) şi schimburi de energie termică sub formă de căldură, A.T.M poate fi considerat, un sistem termodinamic neizolat. De asemenea între A.T.M şi mediul ambiant, au loc şi schimburi de masă, datorită diferitelor procese de evacuare a gazelor, de evacuare şi introducere a încărcăturii metalice, etc. În consecinţă, A.T.M poate fi considerat şi un sistem termodinamic deschis.

În majoritatea cazurilor, mediul ambiant pentru un A.T.M. îl reprezintă hala industrială în care funcţionează, cu atmosfera din interiorul acesteia, precum şi cu celelalte agregate şi instalaţii montate în interiorul halei.

Deoarece condiţiile în care se află mediul ambiant amintit mai sus nu se modifică semnificativ în timp, iar regimul de funcţionare al A.T.M este oarecum cvasiconstant, putem spune ca între A.T.M şi mediul ambiant se stabileşte un regim staţionar din punct de vedere termodinamic, regim care este caracterizat de mărimile de stare cunoscute din termotehică.

1

http://Www.cartiaz.ro/


Fig. 1.1. Agregatul termotehnologic metalurgic1- spaţiul de lucru al cuptorului; 2- zidăria cuptorului; 3- instalaţia de ardere;4- structura metalică de susţinere a zidăriei; 5- canale de evacuare a gazelor

6- schimbător de căldură; 7- coşul de fum.

Pe lângă procesele pur metalurgice care au loc în cuptor (CM), în interiorul A.T.M. mai au loc şi unele procese auxiliare, cum ar fi: preîncălzirea aerului şi/sau a combustibilului, în schimbătorul de căldură (SC); obţinerea aburului tehnologic, etc.Aceste procese au la bază tot fenomene de transfer de căldură.

Procesul metalurgic propriu-zis se desfăşoară în spaţiul de lucru al cuptorului (SL), spaţiu de lucru care are volumul Vsl. Acest spaţiu este format dintr-un volum ocupat de încărcătura metalică, notat Vm şi un spaţiu liber, notat Vl:

Vsl=Vm+Vl (1.1)

1.2. Clasificarea cuptoarelor metalurgice

Varietatea proceselor metalurgice şi diversitatea tehnologiilor specifice unui proces a generat de-a lungul timpului apariţia unor numeroase tipuri de cuptoare a căror clasificare este foarte greu de realizat. Totuşi luând în considerare anumiţi factori putem face următoarea clasificare:

a) În funcţie de natura procesului termotehnologic care are loc: cuptoare metalurgice de elaborare (topire); cuptoare metalurgice de încălzire:

o cuptoare de încălzire pentru deformări plastice;o cuptoare de încălzire pentru tratamente termice şi termochimice;o cuptoare de încălzire pentru sinterizarea produselor din pulberi;o cuptoare metalurgice de uscare.

b) După modul de funcţionare tehnologică: cuptoare cu funcţionare discontinuă - se caracterizează prin faptul că operaţiunile de

încărcare-descărcare sunt distincte în raport cu procesul metalurgic propriu-zis, astfel durata totală a unui ciclu de funcţionare este dată de relaţia:

2



τc=τînc+τp.m+τdesc (1.2)

Aceste cuptoare cu funcţionare discontinuă se mai numesc şi cuptoare tip cameră. Temperatura în interiorul acestora este una variabilă în timp, sau uneori constantă în timp, dar întotdeauna constantă în diferitele puncte ale spaţiului de lucru.

cuptoare cu funcţionare continuă - la aceste cuptoare procesele de încărcare şi descărcare se suprapun peste procesul tehnologic propriu-zis, astfel:

τc=τp.m (1.3)

Aceste cuptoare poartă denumirea de cuptoare traversate. În acest caz temperatura cuptorului este constantă în timp, dar variabila în spaţiul de lucru.

c) După sursa termică: cuptoare cu combustie:

cuptoare cu flacără; cuptoare de tip convertizor;

cuptoare electrice.

La cuptoarele cu flacără căldura se degajă pe seama arderii unui combustibil.În cazul cuptoarelor de tip convertizor, producerea căldurii are loc pe seama reacţiilor de ardere din interiorul topiturii.

d) După desfăşurarea volumului util al cuptorului: cuptoare tip vatră - lungimea şi lăţimea spaţiului util sunt mult mai mari decât

înălţimea. Este cazul cuptoarelor de încălzire. cuptoare tip cuvă - cu dezvoltare pe verticală, având lungimea şi lăţimea mult mai

mici decât înălţimea. Este cazul cuptoarelor circulare, la care diametrul vetrei este mult mai mic decât înălţimea.

3



2. ELEMENTE CONSTRUCTIVE ALE CUPTOARELOR METALURGICE

Indiferent de categoria din care fac parte, există probleme general valabile tuturor cuptoarelor, probleme legate de partea constructivă a acestora. Există şi particularităţi, ele nefăcând subiectul acestui capitol.

Părţile constructive esenţiale ale unui cuptor metalurgic sunt: Fundaţia; Zidăria; Elementele de susţinere metalice.

Menţionăm faptul că unele aspecte înfăţişate în capitolul de faţă trebuie corelate cu informaţiile existente în capitolul următor, referitor la materialele de construcţie.

2.1. Fundaţia

Fundaţia reprezintă partea constructivă a cuptoarelor care are rolul de a uniformiza presiunile specifice de contact, la nivelul solului.

Fundaţiile se execută, în funcţie de situaţiile particulare existente, din cărămidă roşie, rocă brută legată cu mortar, din beton sau din beton armat.

Alegerea acestor tipuri de materiale se face, în funcţie de tipul solicitărilor care apar. A dimensiona fundaţia unui cuptor, înseamnă a determina aria totală de contact cu solul şi grosimea fundaţiei.

Din punct de vedere mecanic, calculul fundaţiei presupune un echilibru al forţelor care acţionează asupra acesteia:

Gc + Gf = ps.a . Sc = R (2.1)

unde ps.a reprezintă presiunea specifică admisibilă a solului în suprafaţa de contact şi diferă în funcţie de natura solului. Pentru a obţine rezultate optime, această presiune trebuie să fie în jurul a 0,25 MN/m2. Gc este greutatea cuptorului, iar Gf este greutatea fundaţiei (figura 2.1).

Fig. 2.1. Dimensionarea fundaţiei

În cazul în care, pentru anumite situaţii concrete, această presiune admisibilă nu se atinge se iau măsuri speciale de ajungere la această valoare. O măsură ar fi mărirea suprafeţei de contact (figura 2.2).

4



Fig. 2.2. Evazarea fundaţiei pentru mărirea suprafeţei de contact Ac cu solul

O altă metodă ar fi mărirea rezistenţei solului prin compactare, sau prin eliminarea acestuia până se ajunge la roca dură. Când nivelul rocii se află la o adâncime mai mare de 4 metri, se recurge la realizarea unor fundaţii suspendate pe piloni (figura 2.3).

Pe lângă solicitările mecanice la care este supusă fundaţia, mai apar şi solicitări de natură termică, datorită existenţei unui gradient de temperatură între suprafaţa de contact vatra cuptorului - fundaţie şi suprafaţa de contact fundaţie - sol.

Fig. 2.3. Dispunerea fundaţiei pe piloni

Acest gradient de temperatură duce la dilatări neuniforme ale fundaţiei, provocând fisuri în masa acesteia. Pentru a se evita acest lucru, se poate recurge la următoarele metode:

realizarea vetrei, astfel încât fluxul de căldură care se pierde spre exterior qI, să fie mai mare decât fluxul de căldură care se transmite către fundaţie, qII (figura 2.1): qI > qII presupune ca rezistenţa termică a vetrei pe direcţia I, să fie mult mai mică decât rezistenţa termică pe direcţia II. Această afirmaţie conduce la ideea conform căreia grosimea vetrei trebuie să fie mai mare decât semilăţimea cuptorului. Este evident vorba despre o soluţie scumpă, la care se apelează numai în cazuri speciale (furnalele pentru elaborarea fontei).

o altă variantă constă în realizarea de vetre răcite (figura 2.4). Prin această metodă, între vatră şi fundaţie se realizează canale prin care circulă (natural sau uneori forţat) aer.

prevenirea efectului negativ al dilatării termice excesive se poate obţine şi prin construcţia fundaţiilor în formă de “şa” (figura 2.5). În acest caz, părţile laterale ale fundaţiei lucrează ca nişte grinzi dispuse la marginea acesteia.

La construcţia fundaţiilor mai trebuie respectate şi unele condiţii legate de umiditatea optimă a solului. Când acesta este prea uscat se recurge la umectarea artificială. Dacă nivelul apelor freatice are o adâncime mai mică de 2 metri, se adoptă soluţii de drenaj ale zonei sau hidroizolarea fundaţiei cu ajutorul unor chesoane metalice sau cu betoane speciale.

În cazul cuptoarelor executate în afara halelor industriale mai trebuie să se ţină cont şi de nivelul de îngheţ al solului, corespunzător zonei geografice respective. La noi în ţară nivelul maxim de îngheţ este de 70 cm, aceasta presupunând o poziţionare a fundaţiei sub acest nivel deoarece solul îngheţat îţi modifică total proprietăţile faţă de cel neîngheţat.

SC

S’C

5



Fig.2.4. Metoda vetrelor răcite Fig.2.5. Construcţia fundaţiei în şa

2.2. Zidăria

Zidăria ca noţiune generală cuprinde: vatra cuptorului, pereţii laterali şi bolta. Zidăria este elementul de construcţie care închide spaţiul de lucru al cuptorului având următoarele funcţii:

să poată asigura o rezistenţă termică, mecanică şi chimică adecvată în interiorul spaţiului de lucru;

să asigure etanşeitatea spaţiului de lucru; să menţină în interiorul spaţiului de lucru temperatura optimă cerută de procesul tehnologic,

cu alte cuvinte, pierderile de căldură spre exterior să fie minime.Realizarea zidăriei se poate face utilizând 1, 2, 3, sau, în cazuri excepţionale, mai multe

straturi din materiale ceramice cu proprietăţi diferite. În interiorul cuptorului peretele trebuie să reziste la şocurile termice, la coroziunea chimică şi

la acţiunile mecanice. Pentru aceasta, stratul interior trebuie să aibă proprietăţi refractare foarte bune, adică materialul să reziste la temperaturi înalte şi la şocuri termice. Pe de altă parte materialul zidăriei trebuie să prezinte proprietăţi termoizolante pentru a diminua fluxul de căldură pierdut spre exterior. Acest material mai trebuie să aibă şi o rezistenţă mecanică suficientă pentru a se putea realiza susţinerea întregului ansamblu. Zidăria are şi rolul de susţinere a instalaţiei de ardere şi a dispozitivelor auxiliare montate pe cuptor.

În situaţia în care regimul termic al cuptorului este unul scăzut, dimensiunile acestuia fiind reduse, zidăria se poate realiza în varianta cu un strat, strat care îndeplineşte toate condiţiile menţionate mai sus.

În majoritatea cazurilor însă, zidăria se realizează din două straturi, unul interior, din material ceramic refractar, rezistent la temperaturi înalte, coroziune şi şoc termic şi unul exterior, termoizolator.

6



Fig.2.6. Realizarea zidăriei cu unul, două şi respectiv trei straturi

În cazul în care temperatura intermediară tx , nu poate fi coborâtă sub 1100 0C (figura 2.6), se recurge la varianta cu trei straturi. Primul este un strat refractar, al doilea unul termoizolator, dintr-un material rezistent la temperaturi înalte şi un al treilea start, tot termoizolator, dar care rezistă la temperaturi sub 800 0C.

2.3. Vetrele cuptoarelor metalurgice

Vatra este elementul de zidărie care închide la partea inferioară spaţiul de lucru al cuptorului. Ca şi o clasificare generală putem spune că, în primul rând, vetrele se împart în două categorii:

vetrele cuptoarelor de elaborare; vetrele cuptoarelor de încălzire.

Vetrele cuptoarelor de încălzire se diferenţiază pentru : cuptoare tip cameră, la care există:

vetre fixe; vetre mobile;

cuptoare traversate (cu funcţionare continuă).

Vetrele cuptoarelor de elaborare pot fi: vetre în arc negativ; vetre în pantă; vetre în trepte.

Exemple demonstrative pentru modul de construcţie a acestor tipuri de vetre sunt prezentate în schiţele următoare.

a) b) c)

Fig.2.7. Tipuri de vetre pentru cuptoare de elaborare:a- în arc negativ; b- în pantă; c- în trepte

1- strat refractar; 2- strat izolator; 3- strat de uzură stampat

a) b) c)

7



Fig.2.8. Tipuri de vetre pentru cuptoare de încălzirea- vatră fixă; b-vatră mobilă; c-vatră cu grinzi păşitoare.1- vatra;2- pereţii laterali;3- semifabricatul supus încălzirii;

4- fundaţia cuptorului;5- mecanism de antrenare a grinzilor mobile;1a- grinzi mobile;1b- grinzi fixe.

detaliul A

2.3.1. Vetrele cuptoarelor de elaborare

Vetrele cuptoarelor de elaborare în arc negativ (figura 2.7.a) sunt folosite la elaborarea aliajelor neferoase, pe când vetrele în pantă (figura 2.7.b) şi în trepte (figura 2.7.c) sunt folosite la elaborarea oţelului şi a fontei. Dintre acestea două din urmă, vetrele în pantă sunt mai scumpe şi mai pretenţioase din punct de vedere al manoperei pentru că folosesc cărămizi speciale, în schimb au avantajul unui strat de uzură uniform ca şi grosime, ceea ce conduce la o micşorare a riscului de apariţie a fisurilor datorate gradienţilor de temperatură pe grosime.

2.3.2. Vetrele cuptoarelor de încălzire

Vetrele fixe (figura 2.8.a) se folosesc la cuptoarele tip cameră, cu funcţionare discontinuă. Vatra este monolitică. Operaţiunile de încărcare-descărcare din cuptor se realizează cu dispozitive speciale. Vatra mobilă din figura 2.8.b este utilizată tot la cuptoarele tip cameră, cu funcţionare discontinuă, dar în acest caz, vatra are posibilitatea de culisare pe nişte şine şi poate fi scoasă din incinta cuptorului. Aceasta facilitează încărcarea şi descărcarea cuptorului.

Acest tip de vetre se foloseşte la cuptoarele de încălzire a lingourilor de dimensiuni mari, necesitând un sistem de etanşare care poartă numele de etanşare jgheab-cuţit, reprezentat în detaliul A din figura 2.8.

Mai sunt şi alte tipuri de vetre mobile, spre exemplu vetrele cuptoarelor cu funcţionare continuă, la care se foloseşte foarte des sistemul cu grinzi păşitoare, prezentat în figura 2.8.c.

Pe lângă aceste tipuri de vetre, mai există vetre cu glisiere, cu bandă, cu lanţuri, etc. Acestea sunt specifice cuptoarelor cu funcţionare continuă.

2.3.3. Dimensionarea vetrelor

Vetrele, în general, sunt supuse unor solicitări mecanice, termice şi chimice. Intensitatea acestor solicitări depinde de tipul cuptorului. Spre exemplu vetrele cuptoarelor de elaborare, sunt supuse cu precădere unor solicitări termice şi chimice pentru că vin în contact direct cu topitura metalică. În schimb, vetrele cuptoarelor de încălzire sunt supuse unor solicitări mecanice mai intense, apoi termice şi chimice într-o mai mică măsură.

Dimensionarea vetrelor presupune un calcul al grosimii acestora ( vδ ) şi al lungimii (L), respectiv lăţimii (B).

vδ se determină din condiţii de rezistenţă mecanică şi izolare termică; L, B se determină din următoarele considerente:

8



=

=⋅

KBL

SvBL

(2.2)Lungimea × Lăţimea = Aria Vetrei (S v).K este un coeficient a cărui valori sunt recomandate în literatura de specialitate funcţie de tipul cuptorului.

Calculul ariei vetrei, Av, se face diferenţiat, astfel:- Pentru cuptoarele cu funcţionare continuă:

pPSv = (2.3)

- Pentru cuptoare cu funcţionare discontinuă:

cpCSv

τ×= (2.4)

unde:o P [t/h]- este productivitatea cuptoarelor cu funcţionare continuă;o P [t/m2h] - este productivitatea specifică.o C [t]- capacitatea cuptorului cu funcţionare discontinuă în tone;o [ ]hcτ - durata unui ciclu de funcţionare al cuptorului discontinuu.

9


2.4. Pereţii cuptoarelor

Pereţii reprezintă partea zidăriei care închide spaţiul de lucru al cuptorului în zonele laterale şi frontale. În funcţie de tipul cuptoarelor există:

pereţi plani (drepţi): • verticali;• înclinaţi;

pereţi curbi (radiali).În cazul pereţilor verticali este de preferat o racordare plană cu vatra (figura 2.9), pentru a evita

amorsele de fisurare, induse de unghiurile drepte. Pereţii înclinaţi se execută în scopul de a mării suprafaţa bolţii şi de a uşura repararea zidăriei la cald.Cazul pereţilor curbi se întâlneşte la cuptoarele tip creuzet, la care bolta este sub formă de cupolă. Pe lângă rolul de închidere a spaţiului de lucru pereţii mai îndeplinesc şi alte funcţii cum ar fi:

susţinerea în anumite cazuri a instalaţiei de ardere; în pereţi sunt prevăzute orificiile de încărcare-descărcare; includ orificii de alimentare şi vizitare, etc.

a)

b) c)

Fig.2.9. Tipuri de pereţia- plani verticali; b- plani înclinaţi; c- radiali

În concluzie, pereţii sunt supuşi atât solicitărilor termice cât şi celor mecanice, datorită greutăţii proprii şi, în unele cazuri, a bolţii, precum şi solicitări mecanice induse de instalaţiile auxiliare montate pe aceştia. Dimensionarea pereţilor presupune determinarea grosimii acestora. Lungimea este una din dimensiunile vetrei, rămânând de determinat doar înălţimea:

SvV

H SL= (2.5)

Volumul spaţiului de lucru, VSL se determină diferenţiat după tipul cuptorului. Spre exemplu, pentru cuptoarele de tratament termic acesta se determină astfel:

10

imatc.cm.t

mmatSlSL

Cp

qCVVVϕ⋅ρ

+τ⋅

⋅=+= (2.6)

unde: VSl – este volumul spaţiului liber, în [m3], Vmat – este volumul materialului supus încălzirii, în [m3], C – capacitatea cuptorului dată prin tema de proiect, în [kg/ciclu], qm – este consumul specific de căldură în [J/kgmat], pt.m – puterea termică specifică în [W/m3], τc.c – durata ciclului de încălzire, în [s/ciclu], ρmat – este densitatea materialului procesat, în [kg/m3], ϕi – coeficient de umplere a spaţiului respectiv.

La zidirea pereţilor trebuie avut în vedere că, în timpul procesului de încălzire, apar dilatări semnificative între cărămizile sau componentele ce alcătuiesc pereţii şi în consecinţă trebuie să se prevadă aşa numitele rosturi de dilatare.

2.5. Bolţile cuptoarelor metalurgice

Bolta, reprezintă elementul de zidărie care închide spaţiul de lucru al cuptorului la partea superioară a acestuia. Bolţile sunt mai puţin solicitate mecanic şi foarte intens solicitate termic. Diversele tipuri de bolţi întâlnite se pot clasifica astfel:

După formă:

bolţi în arc; bolţi plane; bolţi în cupolă (semicirculare).

După modul de aşezare:

bolţi rezemate; bolţi suspendate.

După orientare: bolţi longitudinale; bolţi transversale.

Câteva tipuri mai importante de bolţi sunt schiţate în figura de mai jos.

a b cFig.2.10.Tipuri de bolţi

a- boltă în arc simplu rezemată longitudinal, b- boltă în arc suspendată, c- boltă plană suspendată

Modul de înzidire al bolţilor în arc, simplu rezemate, este prezentat în figura 2.11. Pentru a realiza arcurile, bolţile se zidesc pe cofraje introduse în spaţiul dintre pereţi. După aşezarea cărămizilor de reazem (umerii bolţii) se zidesc alternativ cărămizile pană şi cele rectangulare, începându-se pe ambele laturi de la cărămizile de reazem spre centrul bolţii. Arcul se încheie prin introducerea forţată, pe direcţia axului bolţii, a unei cărămizi pană numită cheia bolţii care rigidizează bolta. Înzidirea se poate face în arce succesive, pe lungimea cuptorului, caz în care rezistenţa bolţii este mai mică, sau în arce întrepătrunse, caz în care rezistenţa este superioară dar apar dificultăţi cu înzidirea [9].

În continuare sunt prezentate câteva exemple de tipuri de cărămizi utilizate la zidirea bolţilor, precum şi modul de asamblare a acestora.

Fig.2.12. Tipuri de cărămizi utilizate la construcţia bolţilor

Bolţile în arc sunt solicitate mecanic, mai puţin termic. Dimensionarea lor presupune determinarea dimensiunilor geometrice schiţate în figura 2.13.

α

δ b

fb

D=BR

Linie medianaLinie interioara

GF

T G/2

Fig.2.13. Elementele geometrice ale unei bolţi în arcSolicitările la care sunt supuse bolţile în arc se pot considera la rece, când nu se iau în

considerare dilatările termice, sau la cald, când peste solicitările existente se suprapun cele datorate dilatărilor.Greutatea bolţii:

Fig.2.11.

Modul de înzidire al bolţilor în arc simplu rezemate1- cofrajul cu stâlpii de

susţinere; 2- cărămizi pană ; 3- cheia bolţii ;

4- umărul bolţii ; 5- perete lateral;

6- stâlpul armăturii metalice

=G gALgVgm lmatbmat ⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ=⋅ (2.7)

( )[ ] ( )2bb

22bl R2

360RR

360A δ+δα⋅π=−δ+π⋅α=

(2.8)

( )2bbmat R2

360LgG δ+δα⋅π⋅⋅⋅ρ=

(2.9)

unde: R - raza bolţii; δb - este grosimea bolţii; −α unghiul de deschidere care este considerat un unghi în evantai, adică pentru α ⇒= 180 o boltă în semicerc, iar pentru ⇒=α 0 o boltă plană.

În stare rece bolta este solicitată la compresiune datorită reacţiunilor din reazeme induse de forţa T (figura 2.13).

Valoarea optimă pentru unghiul α este de 600. O mărire a acestui unghi, va duce la o diminuare a căldurii radiate de boltă spre încărcătură. Scăderea unghiului α este limitată de creşterea semnificativă a tensiunii T.

Săgeata bolţii se calculează cu formula:

α−=

21 cosRfb (2.10)

Grosimea bolţii, δb depinde de modul de înzidire a acesteia. Peste cărămizile pană se aplică un strat izolator termic, de obicei din materiale sub formă de pulberi. În cazul unor regimuri termice foarte ridicate se evită această izolare pentru ca bolta să nu se supraîncălzească şi să apară fisuri în materialul acesteia. La alegerea tipului de boltă, în arc sau plană, se ţine cont de următoarele:

bolţile plane sunt mai scumpe, datorită formelor particulare ale cărămizilor care necesită personal calificat pentru înzidire, dar sunt superioare din punct de vedere termic celor în arc deoarece întreaga energie radiată de bolţile plane este îndreptată spre încărcătură.

dacă: B<4m, atunci se folosesc bolţile plane în arc, deoarece sunt mai ieftine. dacă: B>4m, bolţile în arc devin foarte scumpe, deoarece creşte forţa T şi cresc cheltuielile

cu armătura metalică, recomandându-se în acest caz bolţile plane.

2.6. Elemente de construcţie auxiliare

Pentru a se asigura funcţionarea în bune condiţiuni, este necesar ca în construcţia cuptorului să se prevadă şi unele elemente auxiliare, cum ar fi:

canale de fum; orificii de lucru; uşi; dispozitive de manipulare a uşilor; registre de fum.

2.6.1. Canalele de fum

Canalele de fum reprezintă o componentă a instalaţiei de evacuare şi transport a gazelor. Acestea dirijează gazele spre exterior în mediul ambiant. De regulă ele sunt subterane, caz în care se zidesc cu căptuşeală refractară. Există, mai rar, şi situaţii în care gazele arse se evacuează pe la partea superioară a cuptorului, caz în care canalele de fum sunt reprezentate de conducte, căptuşite la interior cu materiale refractare.

Pe lungimea sa, un canal de fum subteran prezintă trei porţiuni (figura 2.14):Porţiunea verticala a canalului de fum;Porţiunea orizontală a canalului de fum;Porţiunea de subtraversare a peretelui lateral.

Porţiunea verticală a canalului de fum se află în interiorul conturului cuptorului şi este sub forma unui puţ cu secţiune dreptunghiulară. Partea orizontală este dispusă în afara conturului cuptorului. Pentru realizarea acestei porţiuni se lasă în fundaţie o cavitate (şanţ), în care ulterior se zideşte canalul de fum.

Zidăria porţiunii orizontale, se realizează cu boltiţe în semicerc. Din acest motiv forţa de desfacere este nulă, nefiind necesare armături metalice suplimentare pentru consolidare. Distanţa rămasă între boltiţa canalului şi nivelul solului se umple cu un strat granular de umplutură (umplutură de construcţie). În cazul în care, datorită temperaturii ridicate, apar dilatări termice semnificative se recomandă ca pereţii cavităţii în care se zideşte canalul de fum să fie consolidaţi cu grinzi metalice transversale, montate în fundaţie cu bolţuri. Pe porţiunea orizontală, este necesar să se prevadă puţuri de vizitare.

b

P o r t iu n e a v e r t ic a l a

P o r t iu n e a d e s u b t r a v e r s a r e

a p e r e te l u i

P o r t i u n e a o r i z o n t a la

1

2

3

4

5

a

a 1

b 1

Fig.2.14. Canal de fum subteran1- încărcătura metalică, 2- vatra cuptorului, 3- fundaţia, 4- perete lateral, 5- umplutură

Porţiunea de subtraversare a peretelui prezintă următoarea particularitate: bolta acestei porţiuni este puternic solicitată termic din două direcţii:

un flux de căldură de la gazele arse solicită partea inferioară a bolţii; un flux de căldură ce traversează peretele lateral solicită partea superioară a bolţii.

De asemenea apare o solicitare mecanică importantă datorită preluării de către boltă a unei părţi din greutatea peretelui. În aceste condiţii, pentru această porţiune se recurge la metoda cu două boltiţe (figura 2.14).

2.6.2. ConducteleSunt folosite tot pentru transportul gazelor. Când acestea sunt reci (t < 400 0 C), conductele nu se

deosebesc cu nimic faţă de conductele metalice folosite în alte domenii. În cazul în care se folosesc pentru transportul gazelor cu temperaturi mari, conductele se zidesc la interior cu cărămizi refractare,

Porţiunea verticală Porţiunea de subtraversare a peretelui Porţiunea orizontală

tip pană şi rectangulare. Dacă diametrul conductei este suficient de mare încât să permită accesul în interior a operatorilor, atunci zidirea se face în poziţie orizontală (culcată). La partea superioară, zidirea se realizează cu ajutorul cofrajelor, la fel ca la zidirea bolţilor. Dacă diametrul conductei este mic, zidirea se face pe porţiuni de conductă, în poziţie verticală, urmând apoi ca aceste porţiuni să fie asamblate.

2.6.3. Orificiile de lucru

Orificiile de lucru reprezintă degajări în pereţii cuptoarelor, cu scopul realizării anumitor operaţii:

încărcare-descărcare; vizitarea spaţiului de lucru; introducerea de adaosuri; alte operaţii cu caracter tehnologic.

La construcţia orificiilor trebuie să se acorde o atenţie deosebită realizării boltiţelor şi a pereţilor despărţitori (în cazul unor orificii multiple).

Pe lângă solicitările care apar, ca şi în cazul canalelor de fum, boltiţa orificiilor de lucru este solicitată şi la şocuri mecanice, datorită operaţiilor de încărcare-descărcare. Când cuptorul are mai multe uşi, peretele despărţitor este suprasolicitat termic deoarece gazele arse spală trei din cele patru suprafeţe ale peretelui (figura 2.15). Pentru evitarea deformării peretelui, acesta se construieşte cu grosime variabilă.

u s ip e re te d e s p a r t it o r

f la c a ra

Fig.2.15. Solicitarea termică a pereţilor despărţitori în cazul uşilor multiple

2.6.4. UşileUşile servesc la închiderea orificiilor de lucru după terminarea operaţiilor de intervenţie în

cuptor. Scopul lor este de a reduce fluxul de căldură pierdut prin radiaţie spre mediul înconjurător având totodată rol de protecţie pentru personalul care deserveşte cuptorul. Uşile sunt solicitate la şoc termic, datorită faptului că în perioada cât sunt închise se încălzesc, urmând apoi să se răcească pe perioada cât sunt deschise. Acest ciclu de încălzire-răcire repetată, numit şoc termic, duce la distrugerea materialului din care este confecţionată uşa.

La agregatele solicitate termic intens, uşa glisează pe o ramă metalică răcită, de obicei, cu apă. Tot în această situaţie, mantaua metalică este dublă pentru a se putea realiza şi răcirea acesteia. Răcirea nu este dictată atât din considerente tehnologice, cât mai mult din considerente de protecţie a operatorilor.

Masa refractară a uşii (figura 2.16.c) poate fi realizată din cărămizi refractare sau din masă ceramică plastică. Pentru protecţia masei ceramice, în interior uşa poate fi căptuşită cu cimenturi refractare.

A

A

A - A

1

2

3

4

5

a

b

c

Elementele metalice de armătură sunt sub formă de bare cu secţiune rotundă sau plase de sârmă. Uşile sunt manipulate cu ajutorul unor dispozitive cu contragreutăţi. Aceste operaţii pot fi mecanizate, dar pentru siguranţă se păstrează contragreutăţile.

2.6.5. Registrele de fum

Se mai numesc şi şubere. Sunt organe cu ajutorul cărora se obturează total sau parţial secţiunea de curgere a gazelor. Aceste registre de fum au un rol foarte important în stabilirea regimului gazo-dinamic al cuptorului.

Registrul de fum are forma unei plăci plane, cu posibilitate de translatare astfel încât să poată duce la modificarea secţiunii de curgere a gazelor.

La temperaturi ale gazelor de până la 600 0C, registrul se realizează sub forma unei plăci turnate din fontă. La temperaturi peste 600 0C, acesta se realizează dintr-o ramă metalică răcită cu apă, în interiorul căreia se zideşte material refractar.

p l a c at i j a c a r c a s a

Fig.2.17. Registru de fum

2.6.6. Armătura metalică a cuptoarelorExistă două feluri de armături metalice:

armătură metalică extensibilă; armătură metalică rigidă.

Armătura metalică extensibilă (figura 2.18) permite dilatarea cuptorului, astfel încât să nu apară tensiuni de natură termică care să ducă la distrugerea acesteia.

Fig.2.16. Uşa unui cuptor:1- uşa, 2- construcţia pentru susţinerea mecanismului de ridicare, 3- roţi de transmisie, 4- cablu, 5- contragreutăţi, a- rama uşii, b- armătură, c- material refractar

12

3

56

Această soluţie permite reglarea cu ajutorul tiranţilor inferiori şi superiori a spaţiilor destinate dilatării zidăriei în timpul funcţionării cuptorului.

Mantaua metalică are rolul de a prevenii interacţiunea zidăriei cu mediul ambiant (care, în timp, duce la degradarea zidăriei). Mantaua mai are rolul de susţinător pentru diverse instalaţii auxiliare şi de asemenea, în cazul în care cuptorul funcţionează cu o suprapresiune în interior, sau cu o depresiune, are rol de etanşare, în scopul evitării exfiltraţilor / infiltraţilor de gaze sau de aer în / din mediu.

Grinda longitudinală (2), este confecţionată din profil U (în majoritatea cazurilor) şi are rolul de a prelua eforturile rezultante date de boltă.

Stâlpii dispuşi pe lungimea cuptorului, la o anumită distanţă, constituie puncte de reazem pentru grinda longitudinală. Aceşti stâlpi sunt solicitaţi la încovoiere, datorită legăturii acestora cu tiranţii superior şi inferior. Tiranţii au rolul de consolidare al stâlpilor. Sunt confecţionaţi din oţel cu profil rotund, filetaţi la capete şi fixaţi de stâlpi cu ajutorul piuliţelor.

Armătura metalică rigidă (figura 2.19) se utilizează în cazul cuptoarelor cu regimuri termice mai scăzute, la care dilatarea zidăriei este mică şi nu se pune problema deschiderii acesteia pentru compensare.

t i r a n t s u p e r i o r

s t a l p

Deosebirea faţă de armătura extensibilă, constă în lipsa tiranţilor inferior şi superior, stâlpii fiind încastraţi în fundaţie la partea inferioară şi rigidizaţi la partea superioară cu o traversă fixată prin sudură de aceştia.

Anihilarea eventualelor dilatări în acest caz se face printr-o armare corespunzătoare a fundaţiei.

4

Fig.2.18. Armătura metalică extensibilă1- manta metalică,2- grindă longitudinală,3- stâlp,4- tirant superior,5- tirant inferior,6- profile metalice.

Fig. 2.19. Armătură metalică rigidă

3. Materiale refractare folosite la construcţia cuptoarelor metalurgice

3.1. Introducere

La execuţia unui cuptor metalurgic sunt folosite o serie de materiale de construcţie ale căror particularităţi şi proprietăţi au un rol hotărâtor în durata de funcţionare a acestuia. Alegerea judicioasă a materialelor de construcţie şi folosirea lor corespunzătoare asigură nu numai o durată mare de serviciu pentru tot cuptorul sau pentru unele elemente ale lui, dar micşorează atât investiţiile pentru construcţie, cât şi cheltuielile de exploatare.

Materialele de bază folosite în construcţia cuptoarelor metalurgice sunt materiale ceramice şi materialele metalice. Din categoria materialelor ceramice fac parte materialele refractare şi materialele izolatoare, iar din categoria materialelor metalice fac parte fontele şi oţelurile cu caracteristici adecvate.

3.2. Definiţia şi clasificarea materialelor refractare

Prin materiale refractare se înţeleg materialele care, fără a se topi, îşi menţin proprietăţile tehnologice impuse de utilizator la temperaturi de peste 1500°C.

O primă clasificare a materialelor refractare poate fi:refractare alcătuite din elemente:metale;nemetale (carbon, bor).refractare alcătuite din compuşi:

nemetal + metal( oxizi, azoturi, boruri, carburi, sulfuri ale metalelor);nemetal + nemetal (carbură de bor, nitrură de bor);metal + metal (compuşi intermetalici).refractare alcătuite din elemente şi compuşi – cermeturi

Dintre combinaţiile chimice refractare, o importanţă practică mai mare o au unii oxizi (Al2O3,

MgO, CaO, ZrO2, Cr2O3, SiO2), silicaţi (3Al2O3⋅ SiO2, 3CaO⋅ SiO2, 2CaO⋅ SiO2, 2MgO⋅SiO2), aluminaţi (CaO⋅ Al2O3) şi spineli (CaO⋅ Al2O3, MgO⋅ Al2O3, MgO⋅ Cr2O3). Pentru refractarele speciale se utilizează compuşi refractari neoxidici cum sunt:

carburi (TiC, SiC, CaC2, B4C, HfC); nitruri (TiN, Si3N4, BN, AlN); boruri (HfB, TiB2, ZrB2); siliciuri (MoSi2, ZrSi2, TaSi2).

În ţara noastră clasificarea materialelor refractare se face după următoare criterii: compoziţie chimică şi mineralogică; refractaritate; porozitate; mod de legare; mod de prezentare.

3.3. Materiale refractare fasonate

3.3.1. Materiale refractare silicioase

În această categorie sunt incluse materialele ce conţin minimum 93% SiO2 şi un procent scăzut de impurităţi în special Al2O3. Sunt cunoscute şi sub denumirea de silica.

Produsele silica au o variaţie de volum liniară neregulată, cu o dilatare maximă în intervalul 700…1000 0C. Temperatura de topire este mai scăzută decât a SiO2 pur, iar deformarea sub încărcare este mai scăzută cu 50…100 0C, faţă de refractaritatea produsului, ceea ce reprezintă un avantaj în comparaţie cu celelalte produse refractare, unde diferenţa este de 200…400 0C.

Aceste produse au în schimb o rezistenţă scăzută la şocuri termice la temperaturi sub 650…700 0C, datorită transformării bruşte a cristalelor de cuarţ (transformări polimorfe). La temperaturi peste 650…700 0C, rezistenţa la şocuri termice este bună şi nu pune probleme deosebite în exploatare. Au de asemenea o bună rezistenţă mecanică şi la abraziune la temperaturi ridicate, cât şi o mare rezistenţă la coroziunea zgurilor acide şi a oxizilor de fier în atmosferă oxidantă. Sunt în schimb atacate de zgurile bazice.

În timpul fabricaţiei şi utilizării lor la temperaturi înalte sunt condiţii ca în structură să apară, în diferite proporţii, cele trei forme polimorfe ale silicei: cuarţul, tridimitul şi cristobalitul, alături de o cantitate variabilă de fază vitroasă.

3.3.2. Materiale silico-aluminoase

Produsele silico-aluminoase sunt cele mai răspândite, reprezentând cca. 70% din totalul refractarelor de utilizare curentă.

Compuşii chimici principali care stau la baza acestor materiale sunt SiO2 şi Al2O3. Compoziţia chimică a diverselor mărci care intră în această categorie pot fi caracterizate pe baza diagramei de echilibru a sistemului binar SiO2 -Al2O3.

Cercetările întreprinse pentru cunoaşterea acestui sistem au arătat existenţa unui singur compus binar de echilibru termic în condiţii de presiune normală, mulitul, corespunzător formulei 3Al2O3⋅2SiO2 cu temperatura de topire egală cu 1934 0C la un conţinut de 71,8 % Al2O3.

Pentru obţinerea unor produse de cea mai bună calitate este necesară utilizarea unor materii prime cât mai pure şi omogene, dozarea şi granularea lor adecvată, amestecarea omogenă şi fasonarea semiuscată cu prese foarte puternice, care dau cele mai compacte produse, iar arderea cât mai avansată, aproape de temperatura de sinterizare a liantului.

În plaja largă a sistemului binar SiO2-Al2O3 se fabrică şi se utilizează un mare număr de materiale ceramice refractare, dintre care cele mai importante sunt:

materiale silico-aluminoase semiacide, caracterizate printr-un conţinut de Al2O3 = 12…28 %; în această subgrupă se înscriu materiale antiacide care, la acelaşi conţinut de Al2O3 au şi (Na2O + K2O) = 6…3 %;

materiale de şamotă, care la un conţinut de Al2O3 = 28…45 % se prepară pe bază de şamotă, prin care se înţelege o argilă refractară arsă; prin ardere componentele argilei (caolinit, muscovit, cuarţ) se transformă în mulit, cristobalit şi fază vitroasă.

materiale aluminoase, care, la un conţinut de Al2O3 = 45…62 % se fabrică pe bază de şamotă cu adaos de alumină;

materiale superaluminoase, la un conţinut de Al2O3 = 62…90 %, aceste materiale se obţin din corindon, silimanit, andaluzit sau şamotă bogată în alumină;

materiale corindonice, care conţin peste 95 % Al2O3 pe seama utilizării la fabricaţie a bauxitei sinterizate, aluminei tabulare şi a altor materii prime [7].

3.3.3. Materiale magneziene

Din această categorie fac parte numeroase mărci de materiale care îşi regăsesc compoziţiile chimice în sistemul polinar MgO-CaO-R2O3-SiO2. În continuare vor fi prezentate materialele cele mai utilizate în construcţia zidăriilor cuptoarelor metalurgice:

Materiale magneziticeSunt produse cu un conţinut în MgO de minimum 85%. Pentru studierea acestor refractare

prezintă interes cunoaşterea diagramei de echilibru a sistemului binar MgO-CaO, care nu conţine nici un produs binar, ci numai un eutectic 1a 2370oC.

Materiale dolomiticeSunt produse refractare fabricate din roci naturale al cărui component principal îl constituie

dolomitul ( CaCO3⋅MgCO3).Principalele calităţi refractare ale produselor dolomitice sunt refractaritatea lor ridicată, rezistenţa

bună la zgurile bazice şi o stabilitate termică satisfăcătoare (ceva mai bună decât a produselor magnezitice).

O grupă de materiale dolomitice este cea cu CaO liber, care aparţin subsistemului: MgO - 2(CaO) ⋅ (Fe2O3 ) - 3(CaO) ⋅SiO2 - CaO. Neajunsul lor principal este prezenţa în compoziţia dolomitelor arse a unei cantităţi ridicate de CaO, fază extrem de sensibilă la hidratare şi carbonatare, motiv pentru care asemenea refractare sunt denumite dolomite nestabilizate. O ameliorare limitată a stabilităţii la hidratare se obţine prin acoperirea granulelor sau fabricarea de produse legate cu şamotă, gudron, răşini, când se obţin dolomite semistabilizate.

O a doua grupă de dolomite refractare, dolomitele stabilizate, este repartizară în sistemul: MgO - 2(CaO) ⋅ (Fe2O3 ) - 2(CaO) ⋅(SiO2) – 3(CaO) ⋅(SiO2),şi se caracterizează prin faptul că oxidul de calciu CaO nu este liber, ci legat sub formă de aluminat, feritaluminat, ferit şi silicaţi de calciu.

Produsele refractare dolomitice au refractarităţi de 1800…2000 0C, însă temperaturile începutului de deformare sub sarcină sunt numai de cca. 1500…1600 oC datorită legării granulelor prin intermediul fazei vitroase sau a unor compuşi fuzibili; porozitatea este de cca. 14…25 %. Rezistenţa la şoc termic este de 8…30 cicluri (răcire în aer), iar rezistenţa la coroziune este foarte bună faţă de zgurile bazice şi mai slabă faţă de cele acide.

Materiale cromo-magnezitice si magnezio-cromiticeMateriale din această grupă reprezintă, din punct de vedere al constituenţilor chimici principali,

amestecuri de MgO şi Cr2O3. Materiale cromo-magnezitice conţin 15…35 % Cr2O3 şi min. 40 % MgO. Materiale magnezio-cromitice se disting prin conţinuturi mai scăzute de Cr2O3 (sub 20 %) respectiv conţinut mai ridicat de MgO (min. 60 %).

Caracteristic pentru astfel de materiale este faptul că adaosul de Cr2O3 în magnezită determină mărirea unghiului diedru de legătură şi deci, probabilitatea apariţiei legăturii directe. Datorită formării

structurilor spinelice (MgO)⋅(Cr2O3) la materialele cromo-magnezitice se pot înregistra două feluri de legături directe: "periclaz-spinel" (numită şi legătura spinelică) şi "periclaz-periclaz".

În funcţie de ponderea celorlalţi constituenţi însoţitori şi mai cu seamă în raportul CaO/SiO2 este posibilă formarea legăturilor silicatice.

Materiale forsteriticeRefractarele forsteritice conţin, de regulă, 50…60 % MgO şi 25…35 % SiO2, care indică

prezenţa în compoziţie a acestor materiale a compuşilor MgO, 2MgO⋅SiO2 (forsterit) cu cca. 60 % MgO şi temperatură de topire de 1890 oC şi MgO⋅SiO2 cu cca.40% MgO şi temperatură de topire 1537 0C. Dată fiind temperatura de topire scăzută a ultimului compus, sunt mai puţin utile masele cu sub 50 % MgO.

Cărămizile forsteritice sunt sensibile la Fe2O3 şi la alţi oxizi metalici, ca şi la alte zguri bazice, pentru că în cazul când au un conţinut de 35 % SiO2, eutecticul ternar MgO-FeO- SiO2 se topeşte chiar de la 1250 oC [8].

3.3.4. Materialele refractare zirconice

În funcţie de natura materiei prime utilizate la fabricaţie se deosebesc două categorii de refractare zirconice:

- pe bază de ZrO2 (zirconie);- pe bază de silicat de zirconiu ZrO2 ⋅SiO2 sau ZrSiO4 (zircon).

De la temperatura camerei până la 1170 0C, zirconia cristalizează în sistemul monoclinic (m). În intervalul 1170…2350 0C sistemul de cristalizare este tetragonal (t), la temperaturi superioare înregistrându-se sistemul cubic (c).

Transformarea la răcire tetragonală (t) → monoclinic (m) este o transformare distorsională (reversibilă) de tip martensitic însoţită de o importantă creştere a volumului (7…9 %). Această transformare provoacă fisurarea produselor, motiv pentru care se practică stabilizarea ZrO2 cu adaosuri de MgO, CaO, Y2O3, etc. În acest mod se obţine ZrO2 cubic stabilizat. Proporţia de zirconie stabilizată, menţinută la temperatura camerei depinde de cantitatea de oxid stabilizat şi de viteza de răcire. Deşi zirconia stabilizată nu prezintă variaţii de volum, totuşi ea are inconvenientul unor valori mari pentru coeficientul de dilatare, motiv pentru care în unele cazuri se prepară zirconia parţial stabilizată (PSZ), care îmbină valori moderate pentru variaţia volumului şi coeficientul de dilatare.

Materialele pe bază de zircon pot fi caracterizate cu ajutorul diagramei de echilibru ZrO2 – SiO2

în care ZrO2⋅SiO2 este singurul produs. În aprecierea proprietăţilor acestor materiale trebuie ţinut cont de faptul că la 1538 0C zirconul disociază termic, zirconia astfel formată putând avea influenţe negative.

3.3.5. Materiale din oxizi puri

În mod convenţional, în această clasă sunt incluşi oxizii având temperatura de topire peste 1800 oC.

Pentru confecţionarea unor elemente constructive rezistente la agenţi termochimici, cei mai folosiţi oxizi puri sunt: Al2O3, MgO, CaO, BeO, CeO2, ZrO2, UO2 şi sticla de cuarţ.

Recomandarea lor ca materiale refractare se bazează pe unele proprietăţi deosebite ale acestora:- stabilitatea termică ridicată, reacţiile de disociere de tipul MO2 → M + O2, având loc la

temperaturi mari;- eventualele transformări polimorfe pot fi evitate prin folosirea de adaosuri stabilizante;- rezistenţa chimică mare în atmosfere oxidante şi reducătoare, cu excepţia MgO şi CaO

(datorită sublimării metalului din compoziţie la temperaturi relativ scăzute), oxizii refractari rezistă la acţiunea H2, CO şi C;

- comparativ cu materialele metalice prezintă valori scăzute pentru conductivitatea termică (2…14 W/(m⋅grd)) şi cea electrică (la 1200 oC rezistivitatea electrică este 102…106 Ω⋅cm), motiv pentru care pot fi întrebuinţate în scopuri izolante.

3.3.6. Materiale refractare neoxidice

În ultimul timp gama materialelor ceramice utilizate în condiţii de puternice solicitări termomecanice sau termochimice este îmbogăţită cu materiale noi, neoxidice, dintre care cele mai importante sunt:

- azoturile, în rândul cărora există azotură de siliciu, Si3N4 şi azotură de bor, BN;- carburi, din care cele mai cunoscute sunt carbura de siliciu, SiC şi cea de bor, B4C;- compuşii neoxidici ai elementelor tranziţionale (Ti, V, Cr, Mo), în care sunt dispuse:

- carburi (TiC, VC, Cr3C2);- boruri (TiB2, VB2, CrB2);- azoturi (TiN, VN, Cr2N);

- siliciuri (MoSi2).- compuşii de tip sialon caracterizaţi de sistemul cuaternar Si-Al-O-N, a căror obţinere

principală se poate realiza prin înlocuirea parţială în structura Si3N4 a azotului cu oxigen şi a Si cu Al.Dintre materialele enumerate mai sus în tehnica realizării cuptoarelor metalurgice o întrebuinţare

semnificativă o are SiC (carborundul) folosită ca atare sau ca masă principală de fabricaţie a refractarelor carborundice.

Tot în această categorie sunt cuprinse şi materialele alcătuite dintr-un singur element chimic precum cele cu conţinut de carbon, care funcţie de forma alotropică a carbonului (carbon amorf şi grafit) se fabrică în trei categorii principale: refractare carbonice, refractare grafitice şi refractare carborundice.

Materiale refractare carbonice. Conţin minim 90 % C sub formă necristalizată (carbon amorf). În principal ele se obţin din cocs sau antracit (varietate de cărbune cu porozitate scăzută), cu un liant pe bază de gudron, smoală sau diverse răşini. Datorită structurii lor necristaline, ele au conductivitate termică mai scăzută decât produsele grafitice.

Materiale refractare grafitice. Se caracterizează prin 98 % C liber sub formă de grafit. La fabricarea lor se utilizează grafitul natural sau cocsul de petrol. Tot în această grupă sunt incluse refractarele grafito-argiloase.

Materiale refractare carborundice. Sunt obţinute din granule de SiC legate între ele prin diferite procedee. Proprietăţile acestor produse diferă în funcţie de modul în care se realizează legarea granulelor de SiC la temperatură ridicată, în procesul de fabricaţie [7].

3.3.7. Materiale ceramometalice (cermeturi)

Cermeturile sunt materiale ceramice mixte constituite dintr-o fază ceramică dură, refractară, reprezentată de oxizi ca Al2O3, SiO2, ZrO2, etc., sau carburi, nitruri, boruri şi siliciuri şi dintr-o fază metalică ductilă. Proprietăţile cermeturilor, care nu sunt o sumă aditivă a proprietăţilor celor două tipuri diferite de constituenţi, tind să îmbunătăţească rezistenţele mecanice la cald ale aliajelor metalice, mărind şi rezistenţa chimică, iar pe de altă parte să îmbunătăţească rezistenţele la şoc termic şi mecanic ale componentelor ceramice.

3.4. Materiale refractare nefasonate

La construcţia agregatelor termice, în afara materialelor refractare fasonate, se întrebuinţează şi produse pulverulente sau granulare. Unele din acestea se folosesc ca materiale ajutătoare pentru executarea zidăriei din produse fasonate, iar altele înlocuiesc sau le protejează pe acestea.

3.4.1. Mortare, chituri, acoperiri refractare

Mortarele refractare sunt amestecuri de agregat şi liant care servesc pentru legarea cărămizilor refractare într-o zidărie (umplerea rosturilor).

Chiturile şi acoperirile (vopselele) refractare se aplică în straturi subţiri, manual sau prin pulverizare şi au o natură chimică şi mineralogică asemănătoare cu a mortarelor însă cu granulaţii mai fine ale agregatului. Deci, mortarul trebuie să umple golurile dintre cărămizi, să aibă o bună adeziune la cărămizi şi să le lege puternic unele de altele. Un mortar de bună calitate trebuie să îndeplinească şi alte cerinţe:

să prezinte o contracţie totală mică, cât mai apropiată de cea a cărămizii; să aibă o refractaritate suficientă şi o temperatură ridicată de deformare sub sarcină; trebuie să fie compatibil cu cărămizile pe care le leagă, să prezinte caracteristici apropiate

şi uneori chiar superioare acestora; să prezinte o capacitate suficientă de reţinere a apei care nu trebuie să fie absorbită prea

repede în cărămizi; să prezinte o granulaţie fină a agregatului (sub 1 mm), în afara unor cazuri speciale; să posede o plasticitate şi lucrabilitate care să asigure formarea unei paste uşor de întins

pentru a realiza un rost subţire (în general sub 3 mm) şi bine închis.Mortarele refractare reprezintă 6...10 % din întreaga zidărie. Cele mai obişnuite mortare

refractare sunt amestecuri fine ale unor granule (sub 1 mm) de agregate dure refractare şi un liant argilos plastic. Dacă temperaturile de utilizare nu sunt prea mari, dar se cere o rezistenţă mecanică mare, poate fi folosită ca liant argila cu conţinut ridicat de fondanţi, în timp ce la temperaturi mari de utilizare, liantul trebuie să fie caolinul sau argila refractară. Partea refractară degresantă, cu porozitate mică, trebuie să prezinte cel puţin 60 % din compoziţia mortarului, pentru a reduce contracţia.

Mortarele cu liant argilos ating rezistenţa mecanică, densitatea şi constanţa de volum, numai atunci când sunt încălzite la temperaturi superioare celei de sinterizare, când are loc aşa numita legătură ceramică ceea ce face ca ele să fie cunoscute sub denumirea de mortare cu întărire la cald.

O a doua categorie de mortare o reprezintă cele care se întăresc la temperatura mediului ambiant sau în condiţii de uşoară încălzire, la care o legătură relativ puternică apare chiar la temperaturi scăzute. Liantul utilizat poate fi: soluţie de silicat de sodiu, fosfat de sodiu, fosfat de aluminiu, fosfat de Al şi Cr, lianţi hidraulici, etc.

În cazul mortarului cu silicat de sodiu, pe lângă agregatul refractar, de cele mai multe ori, format din şamotă sau şisturi argiloase, cu contracţie minimă la ardere se foloseşte, argila plastică şi 5…20 % soluţie de silicat de sodiu. Alegerea argilei-liant şi a raportului Na2O/SiO2 al soluţiei de silicat de sodiu este o problemă importantă, de ea depinzând proprietăţile mortarului. Pentru aplicaţii speciale se folosesc mortare uscate în care, în loc de soluţie de silicat de sodiu, se foloseşte o pulbere uscată de sodiu, restul componenţilor rămânând aceeaşi.

Pentru a grăbi întărirea mortarelor cu silicat de sodiu, în compoziţia acestora se adaugă fluorosilicat de sodiu (10…15 % din cantitatea de silicat de sodiu).

Natura mortarelor pe bază de silicat de sodiu este relativ largă dacă se ţine seama de componenţii care intră în alcătuirea lor; se alcătuiesc astfel mortare pe bază de şamote, agregate silicioase (cu conţinut de cuarţ şi deşeuri de silică), magnezitice, cromitice (cu conţinut de magnezită arsă, cromit sau cromomagnezit) etc. Mortarele bazice pot conţine ca lianţi soluţiile de clorură sau sulfat de magneziu, fosfat de magneziu, etc.

De dată mai recentă sunt mortarele pe bază de fosfaţi (inclusiv acid fosforic). Asemenea mortare au o proporţie crescută de Al2O3 şi întărirea lor are loc prin încălzire uşoară până la maximum 400 0C. Aceste mortare au o comportare bună la atacul chimic al zgurilor şi diverselor tipuri de topituri.

Pentru fiecare tip de cărămidă refractară există un mortar specific cu proprietăţi apropiate de cele ale cărămizii. În cazul în care solicitările căptuşelilor sunt maxime la temperaturi înalte, se preferă utilizarea unor mortare lipsite de lianţi chimici (mai ales silicat de sodiu) şi reducerea, uneori chiar excluderea (în cazul mortarelor bazice) a lianţilor ceramici. În astfel de cazuri legătura este asigurată prin sinterizarea care are loc la temperaturi înalte, îmbunătăţind performanţa căptuşelilor la asemenea temperaturi.

Există şi mortare cu lianţi hidraulici, în a căror compoziţie intră aceleaşi agregate refractare alături de cimenturi hidraulice (20…40 %):

ciment portland stabilizat (care se poate utiliza până la 1100 0C, în funcţie de natura agregatului);

cimenturi aluminoase (până la 1200 0C); cimenturi superaluminoase (până la 1600 0C).

Deseori căptuşelile refractare sunt protejate de temperaturile înalte, de acţiunea zgurilor, gazelor, prin aplicarea unor tencuieli refractare, chituri etc. Acestea trebuie să adere bine la zidărie şi să reziste la acţiunea zgurii mai bine decât zidăria propriu-zisă. Ele au compoziţii asemănătoare căptuşelilor pe care le protejează.

Acoperirile refractare, pot avea compoziţii oxidice, metalice, metaloceramice sau de tip combinat. Compoziţiile oxidice pot fi simple sau complexe. Drept oxizi refractari de acoperire se folosesc: Al2O3, ZrO2, Cr2O3, CeO2, TiO2, MgO.

Acoperirile metaloceramice sunt obţinute din amestecuri de metale cu oxizi sau silicaţi, precum şi cu carburi, boruri, siliciuri, azoturi etc. Metalele şi materialele ceramice, care au fost supuse unei măcinări prealabile, separate sau împreună, se dispersează într-un mediu lichid (în apă sau alcool polivinilic, în tricloretilenă etc.). Ca acoperiri cu performanţe bune se pot menţiona cermeturile: Ni + MgO, Ni+SiC, Ni+ Al2O3, Ni+Cr3B4.

Acoperirile de tip combinat reprezintă combinaţii complexe în a căror compoziţie pot intra, în calitate de component refractar: oxizi, silicaţi, pulberi metalice, carburi, siliciuri, boruri etc., iar ca lianţi servesc emailurile vitroase, zgurile, silicatul de sodiu, răşinile organice şi silico-organice, etc.[7].

3.4.2. Betoane refractare

Betoanele refractare sunt betoane cu agregate refractare şi prezintă stabilitate la temperatură înaltă. Ele sunt de două tipuri:

betoane care manifestă un minim al rezistenţei în cursul încălzirii (betoane cu lianţi hidraulici şi magnezieni);

betoane a căror rezistenţă nu variază practic cu ridicarea temperaturii (betoane cu silicat de sodiu şi cu fosfat de aluminiu).

Betoanele cu ciment portland sunt de regulă utilizate în căptuşeli cu temperatura de exploatare de până la aproximativ 1100…1200 0C. Prin folosirea cimentului portland în alcătuirea betoanelor, după amestecarea cu apă, se formează, alături de faze hidratate silicatice, aluminatice sau cu fier, cantităţi importante de Ca(OH)2. La hidratarea silicaţilor de calciu se formează ca produs principal gelul tobermoritic, cu o structură slab cristalină, deformată şi stratificată cu comportament coloidal; structura sa este evolutivă conducând în final, la structuri de cristalizare-policondensare. Când betonul este încălzit la peste 550 0C, Ca(OH)2 se descompune cu eliminarea vaporilor de apă şi formare de CaO; la temperaturi mai ridicate au loc transformări structural-compoziţionale importante şi în compuşii hidrosilicatici, de asemenea cu eliberare de CaO. Aceste transformări sunt cauza principală a stabilităţii termice reduse a betoanelor pe bază de ciment portland, mai ales în condiţiile în care betonul este răcit şi când CaO se va converti în Ca(OH)2 provocând tensionarea maselor şi fisurarea lor accentuată, până la distrugerea lor. Folosirea unor stabilizatori fin măcinaţi (şamotă, diatomită, cromită, zgură etc.) capabile să lege CaO, reduce neajunsurile de comportament ale betoanelor pe bază de ciment portland.

Betoanele cu ciment aluminos au temperaturi de utilizare mai mari. Se folosesc atât cimenturi aluminoase obţinute prin topire (de compoziţie aproximativă: 37…40 % Al2O3, 36…40 % CaO, 11…

17 % Fe2O3, 3…8 % SiO2) cât şi cimenturi aluminoase obţinute prin sinterizare (cu 51…60 % Al2O3

respectiv 72…80 % Al2O3). Creşterea conţinutului de Al2O3 duce la mărirea temperaturii de utilizare a cimentului (cu condiţia alegerii corespunzătoare a agregatului refractar).

Componentul principal al cimenturilor aluminoase este CaO⋅Al2O3 care imprimă şi proprietăţi înalte de rezistenţă mecanică.

Cele mai întrebuinţate agregate care intră în compoziţia betoanelor refractare cu liant hidraulic sunt: şamota, silimanitul, andaluzitul, distenul (cianitul), bauxitele calcinate, corindonul, cromita, ZrO2

etc.Un rol important revine compoziţiei granulometrice a amestecului. Prin folosirea unei anumite

granulozităţi se urmăreşte, de obicei, să se obţină o compactitate cât mai mare. Această caracteristică depinde atât de distribuţia cât şi de forma granulelor de agregat. Amestecuri de agregat de formă aşchioasă au uneori aria suprafeţei dublă faţă de cele sferice, ele solicită o cantitate de apă mai mare pentru obţinerea unei lucrabilităţi bune. Pentru obţinerea unei rezistenţe la încovoiere mari, suprafeţele rugoase ale granulelor sunt mai avantajoase decât cele netede. Procentul de agregat fin din betoanele refractare trebuie să fie mai mare decât la betoanele obişnuite, deoarece astfel se obţine o lucrabilitate corespunzătoare scopului şi o uşurare a procesului de sinterizare dintre agregat şi ciment.

Dimensiunea maximă a agregatelor utilizate este de 40 mm; ea nu trebuie să depăşească 1/4…1/5 din dimensiunea minimă a piesei de beton. În cazul agregatelor de corindon deferizat dimensiunea maximă se limitează la 10 mm.

Refractaritatea şi temperatura de deformare sub sarcină la cald a betoanelor refractare cresc atunci când conţinutul de ciment scade.

O altă categorie de betoane refractare sunt betoanele refractare termoizolatoare.Betoanele termoizolatoare sunt amestecuri de cimenturi hidraulice refractare cu agregate

granulare termoizolatoare (uşoare). Se pot produce în următoarele sortimente:

betoane termoizolatoare cu ciment Portland stabilizat având ca agregat diatomită calcinată. Aceste betoane au utilizări până la 700 0C. Se folosesc numai la izolaţii termice.

betoane termoizolatoare cu ciment aluminos şi agregate de şamotă silico-aluminoase cu utilizări la 1300...1400 0C şi maximum 1750 0C. Aceste betoane au la bază cimenturi superaluminoase şi agregate de şamotă uşoare, aluminoase, superaluminoase şi alumină globulară.

betoane termoizolatoare cu ciment aluminos şi cu agregate uşoare diverse. Temperaturile de utilizare pot fi până la 1150 0C în funcţie de calitatea cimentului şi a agregatelor uşoare (zgură, perlit, diatomită etc).

Datorită calităţii lor bune izolatoare, aceste betoane au început să înlocuiască în multe locuri de utilizare căptuşelile izolatoare din produse termoizolatoare clasice.

3.4.3. Mase refractare

Masele refractare sunt amestecuri din argilă plastică şi agregate refractare cu sau fără lianţi chimici anorganici sau organici (soluţii de silicat de sodiu, acid fosforic, fosfaţi, clorură sau sulfat de magneziu, dextrină, amidon ş.a.)

După forma de prezentare şi de punere în operă, masele refractare se clasifică în: mase refractare plastice, sub formă granulară sau de calupuri, umezite, gata de prelucrare şi

punere în operă prin uşoară stampare; masele de stampare, sub formă de amestec, care se umezesc cu liantul chimic şi cu apa în

momentul când sunt prelucrate, fie prin stampare pneumatică sau manuală, fie prin vibrare; mase de torcretare sub formă de amestec uscat, care se umezesc cu liantul chimic şi cu apa

în instalaţia de torcretare la utilizare.Masele refractare plastice rezultă în general din amestecarea unor agregate cu un liant ceramic -

una sau două tipuri de argile. La multe compoziţii de mase plastice conţinutul de argilă este de 15…30

%; conţinuturile mai mari de argilă sunt utilizate la produsele cu solicitări mai reduse, care se instalează în poziţii dificile.

Masele de stampare se deosebesc de masele refractare plastice prin cantitatea mai mică de argilă, liant şi apă, precum şi prin utilizarea unor mijloace de compactare mai energice.

Pentru masele de torcretare aplicate cu ajutorul maşinilor speciale de torcretare (dispozitive de aplicare sau proiectare a maselor de reparaţie pe zonele deteriorate ale cuptorului, la cald sau la execuţia căptuşelii) se utilizează agregate de aceeaşi natură cu zidăria conţinând lianţi ceramici şi/sau chimici şi diverse alte adaosuri cu rol de agenţi de sinterizare, plastifiere etc. Astfel de exemplu, masele de torcretare folosite pentru cuptoarele electrice cu arc au o compoziţie granulometrică continuă cuprinsă între 0,2 mm, care conţine maxim 50 % granule peste 0,5 mm şi 25 % fracţiuni foarte fine sub 0,063 mm.

Masele refractare au un avantaj în plus faţă de betoane, deoarece pot fi folosite şi în contactul cu băile de metal topit.

Rezistenţa maselor refractare la atacul chimic depinde de caracteristicile fizice şi chimice ale acestora (densitate, porozitate, refractaritate etc.), de natura materialelor în contact, de atmosfera cuptorului (gaze, temperatură) etc. Astfel, rezistenţa la atacul chimic al oxidului feric creşte cu conţinutul de Al2O3 şi cu densitatea refractarului. Din punct de vedere al rezistenţei la atacul alcaliilor s-a constatat că produsele legate fosfatic se comportă cel mai bine.

1.3.5. Conceptul de model şi tipuri de modele.

I. CONCEPTUL DE MODEL

Definiţie Modelul este o reprezentare izomorfă a realităţii obiective şi constituie o descriere simplificată, riguroasă şi fundamentată, în sensul structurării logice a sistemului (procesului) pe care îl reprezintă, care facilitează descoperirea unor legităţi şi legături între variabilele sistemului foarte greu de găsit pe alte căi.

Prin model matematic al unui proces se înţelege ansamblul de ecuaţii şi inecuaţii capabil să descrie în mod corect interdependenţele dintre variabilele procesului.

La baza modelării unui sistem (proces) se află existenţa unei analogii între entitatea din realitatea modelată (sistem, subsistem, fenomen, proces) şi model.

Considerând O mulţimea tuturor obiectelor;N submulţimea obiectelor naturale;A submulţimea obiectelor realizate de către oameni;C submulţimea obiectelor conceptuale (concepte ştiinţifice, tehnice, etc.)

se poate spune că orice element X din mulţimea O(∀X∈O) este analog cu un alt element Y din mulţimea O şi notăm X ≅ Y dacă sunt îndeplinite condiţiile:

X şi Y au propreietăţi comune sau chiar identice; există o corespondenţă între părţi ale lui X şi părţi ale lui Y sau între proprieţăţi ale

acestor părţi.În aceleaşi condiţii, relatia de echivalenţă este adevărată şi pentru perechea (X, Y) cu X∈A∪C

şi Y∈O.Proprietăţile relaţiei de analogie sunt: simetria şi reflexivitatea.Dacă relaţiei de analogie i se adaugă şi tranzitivitatea atunci ea devine o relaţie de echivalenţăAnalogia stă la baza modelării. În acest fel, un obiect X∈A∪C modelează un obiect Y∈O

dacă: 1) X ≅ Y (X şi Y sunt analoage)2) relaţia de analogie este şi tranzitivă.

Sistemul (procesul) ce trebuie modelat reprezintă BAZA (R), iar rezultatul modelării este MODELUL (M).

Legătura dintre model şi bază se numeşte simulare, deci modelul simulează baza.M este un model pentru baza R, dacă M şi R satisfac condiţiile:

1) M şi R sunt ambele sisteme;2) pentru oricare element X∈R există cel mult un element X’∈M;3) pentru orice relaţie P între elemente din R există cel mult o relaţie P’ între elementele

corespondente din M;4) pentru fiecare set de elemente X...X,X '

n'2

'1 puse în legătură printr-o relaţie P’ în

M, elementele corespondente X...X,X n21 din R sunt puse în legătură de relaţia P din R, corespunzătoare relaţiei P’ din M.

Condiţiile 2) şi 3) arată că modelul M are cel mult tot atâtea elemente, respectiv lagături ca şi baza R, deci modelul este o reprezentare simplificată a bazei.

Condiţia 4) face ca modelul să fie util în analiza bazei, impunând ca tot ceea ce este adevărat în model să fie adevărat şi în bază. Această concluzie este strâns legată de utilizarea modelului ca suport pentru luarea unei decizii, concluziile stabilite pe baza modelului putând fi translatate în bază.

Proprietăţile modelării:

Nonsimetria: Modelarea se face într-un singur sens, astfel dacă A modelează B, atunci B nu poate modela A.

Reflexivitatea: Orice sistem este propriul său model (proprietate rezultată din cele patru condiţii ale modelului);

Tranzitivitatea: Dacă A este un model a lui B şi B este un model a lui C, atunci A este un model şi a lui C;

Nontransferabilitatea (neidentificarea) modelelor :Două sau mai multe modele ale unei baze nu sunt în mod obligatoriu echivalente sau comparabile, ele putând să reprzinte diferite aspecte ale bazei;

Reducerea complexităţii se face fie prin grupare unor elemente similare sau cu aceleaşi proprietăţi, fie prin eliminarea elementelor irelevante sau a proprietăţilor irelevante.

Nonpartiţionarea: un sistem nu poate fi divizat în subsisteme fără a ţine cont, pe de o parte de conexiunile stabilite între aceste subsisteme şi, pe de altă parte de conexiunile între subsisteme şi sistemul în ansamblu. Un model al unui subsistem nu este un model al întregului sistem.

II. TIPURI DE MODELE utilizate în optimizarea proceselor:1) modele descriptive;2) modele normative;3) modele procedurale;4) modele calculatorii: 4.1.) deductive

4.2.) predictive: 4.2.1.) staţionare; 4.2.2.) dinamice.

1) Modelele descriptive au ca principal obiectiv reproducerea unor proprietăţi ale sisitemului (procesului) modelat şi oferă posibilitatea găsirii unor soluţii acceptabile, dar au şi dezavantaje cum ar fi: durata prea mare pentru aplicarea lor, ceea ce poate duce ca decizia luată pe baza lor să fie tardivă şi avantajul (eficienţa) adus prin utilizarea sa poate să fie prea mic, nejustificând costul elaborării şi implementării sale.

Modelele descriptive stau la baza construirii modelelor normative.Modelele descriptive conţin următoarele grupe mai utilizate în practică

modele descriptive ale proceselor tehnologice şi de producţie , care descriu succesiunea secţiilor, utilajelor şi a operaţiilor care alcătuiesc procesul tehnologic al fiecărui produs etc.

Dintre modelele acestui grup deosebim: modele descriptive gen arborescenţă, care reprezintă o descompunere a structurii

tehnologice a unui produs în subproduse, repere, materii prime, cu precizarea normelor de consum pe fiecare nivel. Pe baza acestor modele se pot construi baze de date care să cuprindă algoritmii care să permită calculul necesarualui de resurse şi costurile aferente fiecărui nivel de realizare a unui produs;

modele descriptive gen listă ca:• fişa tehnologică a produsului, care specifică pentru fiecare produs, subprodus şi reper

cantitatea de materii prime necesare, manopera, operaţiile care trebuie efectuate şi duratele acestora etc.

•grafice Gantt, care prezintă sub formă grafică succesiunea logică în timp a operaţiilor ce trebuie efectuate.

modele informaţional-decizionale , care abordează problema informaţională şi a luării deciziei într-o intreprindere, secţie etc. şi cuprin două categorii de modele: organigrama structurii organizatorice; diagrame informaţional-decizionale şi modele

tip aval-amonte, care au ca scop descrierea reţelei informaţional-decizional (circuitul informaţiei şi a deciziei);

modele ale logicii matematice şi modele ale teoriei decizionale care descriu structura procesului decizional.

modele ale resurselor şi relaţiilor umane care cuprind: modele ce descriu relaţiile interpersonale şi de grup;

modele ce descriu relaţiile dintre motivaţia şi performanţele personalului; modele ce descriu tehnicile de selecţie a personalului; etc.Modelele resurselor şi relaţiilor umane sunt dificil de elaborat, utilizând în principal

mijloace şi metode ce ţin de sociologia industială, a muncii şi a conducerii.

2) Modelele normative.În timp ce modelele descriptive au ca obiect descrierea unor proprietăţi ale sistemului modelat,

modelele normative urmează să fie utilizate în stabilirea unor reguli cât mai eficiente de conducere a sistemului, care să conducă la creşterea performanţelor sistemului.

Modelul normativ este o perfecţionare a celui descriptiv, acestuia fiindu-i asociat un set de variabile şi reguli precise, exprimate, de regulă, prin relaţii matematice.

Modelele normative permit luarea unei decizii în timp mult mai scurt decât modelele descriptive şi cu costuri mai mici.

3) Modele proceduraleModelul procedural reprezintă un set de instrucţiuni care trebuie executate într-o anumită

situaţie. Adică se stabileşte un anumit algoritm ce trebuie executat la primirea unor anumite informaţii, acordând mai multă atenţie algoritmului decât descrierii sistemului.

Modelele procedurale se pot realiza sub două aspecte:printr-o modelare generală, care să surprindă toate cazurile posibile;printr-o modelare pe tipuri de probleme, când se alege o clasă de probleme care apar frecvent în practică, pentru care se elaborează un algoritm specific de elaborare.

De exemplu: pentru conducerea elaborării în C.E.A. modelul procedural cuprinde o serie de instrucţiuni privind puterea arcului electric şi poziţia electrozilor în fiecare moment, în funcţie de cantitatea şi natura încărcăturii şi de fazele elaborării.

Modelul procedural nu ţine seama de relaţiile dintre variabilele procesului modelat, ci cuprinde numai instrucţiuni de conducere a procesului. El nu este deci foarte exact, dar asigură reproductibilitatea condiţiilor de desfăşurare a procesului.

4) Modelele calculatorii sunt modele matematice propriu-zise, care conţin relaţii matematice ce leagă între ele variabilele sistemului (procesului) şi care sunt utilizate în optimizarea proceselor tehnologice.

4.1.) Modele calculatorii deductive – reprezintă un sistem de ecuaţii prin care se pot determina variabilele (parametrii) nemăsurabili din valorile unor parametrii măsurabili.

Modelul conţine un număr de ecuaţii egal cu numărul variabilelor nemăsurabile ce trebuie determinate şi trebuie să fie un sistem compatibil determinat.

4.2.) Modele calculatorii predictive sunt modelele care stabilesc relaţii între parametrii independenţi (de intrare) ale procesului şi parametrii dependenţi (de ieşire) şi care permit să se evalueze răspunsul procesului la modificare parametrilor de intrare. Reprezintă modelele de bază în stabilirea valorile optime ale parametrilor de intrare, valori ce vor asigura optimul (min. sau max.) funcţiei obiectiv. Pot să fie:

4.2.1) statice, în cazul când relaţiile între parametrii sunt stabilite în regim static de desfăşurare a procesului;

4.2.2) dinamice, în cazul când relaţiile între parametrii sunt stabilite în regim dinamic de desfăşurare a procesului. Acestea reprezintă cele mai performante modele utilizate în optimizarea proceselor şi în conducerea cu calculatorul a acestora, dar totodată sun şi cele mai dificil de elaborat şi deci mai scumpe.

1.3.6. Metodologia elaborării modelelor matematice

După modul de elaboarare a modelului, deosebim:

modele teoretice, atunci când procesul este cunoscut în totalitate din teorie. Modelele teoretice stabilite pentru procese metalurgice au la bază bilanţuri de materiale şi energie, bazate pe legea conservării masei şi pe principiile termodinamicii, dar stabilirea modelelor pur teoretice pentr metalurgie este practic imposibilă datorită marii complexităţi a acestora şi a insufucientelor cunoştinţe teoretice;

modele empirice (statistico-matematice), atunci când procesul (sistemul) este insuficient cunoscut, apelându-se la o analiză experimentală a căror rezultate vor fi prelucrate prin metode statistico-matematice în vederea stabilirii ecuaţiilor matematice dintre variabilele procesului. Experimentările efectuate, atât în vederea elaborării modelului matematic, cât şi în vederea determinării optimului funcţiei obiectiv (de performanţă) se pot desfăşura: aleator, atunci când cercetătorul nu intervine în stabilirea valorilor variabilelor de

intrare, situaţie în care experimentul se numeşte neprogramat sau pasiv controlat, atunci când cercetătorul intervine, după un plan experimental prestabilit,

în alegerea valorilor variabilelor de intrare, situaţie în care experimentul se numeşte programat sau activ. În această situaţie, datorită alegerii de către cercetător a unor valori convenabile a parametrilor de intrare, este foarte mult uşurată determinarea ecuaţiilor ce leagă variabilele procesului şi stabilirea optimului funcţiei obiectiv.

Indiferent de tipul modelului ce se elaborează (teoretic sau practic, cu precizarea că majoritatea modelelor ce descriu sisteme (procese) complexe, aşa cum sunt şi procesele metalurgice, sunt modele mixte, teoretico-empirice) etapele procesului de modelare sunt:

1) formularizarea modelului; 2) stabilirea ecuaţiilor modelului şi a funcţiei de performanţă; 3) verificarea modelului.

1) FORMULARIZAREA MODELULUI cuprinde următorii paşi:

a) stabilirea scopului modelului, care poate fi analizat din mai multe puncte de vedere, cum ar fi:

dacă modelul este de ansamblu, pentru conducerea unui proces sau a unei instalaţii, în întregul său, sau a unei părţi din proces;

dacă modelul este sau nu utilizat pentru conducerea pe calculator a procesului; dacă modelul este utilizat în conducerea economică sau tehnologică a sistemului; dacă modelul este utilizat pentru conducerea unui proces existent în funcţie (caz în

care se va elabora pe baza datelor experimentale de exploatare) sau pentru un proces nou, la proiectarea şi testarea sa (în acest caz se folosesc date experimentale de laborator şi date teoretice)

Scopul modelului condiţionează alegerea variabilelor care vor fi luate în considerare, precizia care va fi impusă modelului şi metodele de stabilire a ecuaţiilor modelului.

b) delimitarea procesului analizat derivă din scopul modelului şi va condiţiona parametrii (variabilele) de intrare şi de ieşire luate în considerare.

c) stabilirea parametrilor independenţi şi dependenţi luaţi în considerare d) stabilirea tipului de model necesare) formularea unui model preliminar ce constă în formularea, pe bază teoretică şi a unor

cunoştinţe experimentale anterioare, unui set de presupuneri necesare explicării procesului şi obţinerii unor concluzii preliminare care se referă, în general, la natura calitativă a relaţiilor între paramatrii procesului.

2) STABILIREA ECUAŢIILOR MODELULUI ŞI A FUNCŢIEI DE PERFORMANŢĂ

În cazul în care dispunem de suficiente date teoretice modelul va fi determinat doar pe baza acestora.

Modelarea pur teoretică este însă drastic limitată de necunoaşterea exactă a legităţii diferitelor procese, în special a celor complexe, cum sunt cele metalurgice.

În această situaţie modelul preliminar, stabilit în principal pe baza unor cunoştinţe teoretice, va fi completat şi verificat pe cale experimentală.

Determinarea ecuaţiilor modelului se face pe baza datelor colectate în urma unor experimentări efectuate asupra procesului şi în urma aplicării unor metode statistico-matematice (analiză statistică a datelor, estimarea parametrilor statistici, analiză dispersională, analiză de corelaţie şi regresie).

Funcţia obiectiv este reprezentată de corelaţia existentă între principalul parametru de ieşire, care se doreşte a fi optimizat, şi ceilalţi parametrii ai procesului.

Funcţia obiectiv este un criteriu unic, univoc şi obiectiv prin care se apreciază eficienţa unui proces.

În conducerea proceselor pe baza unui model se pot urmări îndeplinirea a două scopuri: stabilirea optimului (min. sau max.) funcţiei obiectiv sau menţinerea funcţiei obiectiv la un nivel constant (de referinţă), care este, de regulă,

nivelul optim, dar nu obligatoriu.

3) VERIFICAREA MODELULUI

Verificarea modelului este o etapă care este strâns legată de elaborarea modelului în sensul în care rezultatele negative obţinute la verificare vor determina efectuarea unor corecţii în cadrul modelului, corecţii ce vor fi repetate de câte ori va fi nevoie până când între model şi procesul pe care îl modelează va exista gradul de concordanţă (de analogie) dorit.

Verificarea modelului se face în mai multe etape.

Etapele verificării modelului sunt:a) Analiza erorilor în cadrul căreia se va stabili influenţa preciziei de măsură a diferitelor

variabile asupra precizei modelului determinat. În urma acestei analize se va stabili şi precizia pe care vor trebui să o aibă aparatele de măsură, control şi comandă ce vor fi utilizate în conducerea respectivului proces cu un calculator, pe baza modelului stabilit.

b) Testarea preliminară a modelului care constă în testarea modelului utilizând aceleaşi date care au fost utilizte la stabilirea modelului. Probabilitatea invalidării modelului în acastă etapă este relativ redusă, fiind posibilă doar în cazul unor erori grosolane aparute în stabilirea procesului. Totuşi aplicarea acestei testări preliminare poate economisi timp, prin modficarea şi retestarea imediată a modelului. Deci, în această etepă sunt eliminate erorile grosolane.

c) Simularea procesului pe un calculator cuplat în afara procesului – off line -, calculatorul neavând legătură cu procesul, ci doar cu operatorul uman (figura 1), utilizând date reale, colectate direct din procesul ce se află în desfăşurare. În această etapă se introduc date de intrare din proces şi se compară ieşirile reale cu cele ce sunt stabilite din model, în cazul unor neconcordanţe se efectuează corecţii în model. În această etapă vor fi eliminate erorile mari.

d) Încercarea modelului se face pe un calculator cuplat în proces – on line – în circuit deschis (legătura între proces şi calculator se face prin intermediul operatorului uman) figura 2. În această etapă calculatorul preia variabilele de ieşire din proces şi stabileşte, pe baza modelului, valorile de intrare necesare, dar comenzile asupra acestora sunt date de către operatorul uman. În această etapă sunt eliminate micile erori ale modelului şi se stabileşte forma finală a modelului.

După această etapă se poate trece la conducerea procesului pe baza modelului de către un calculator cuplat on line, în circuit încis. Calculatorul preia, prin intermediul unor aparate de măsură şi a unor interfeţe, parametrii de ieşire din proces, stabileşte pe baza modelului valorile necesare ale parametrilor de intrare, pe care îi comandă prin intermediul unor regulatoare (fig 3).

Fig.1. Simularea procesului cu un calculator off-line (în afara procesului)R – regulator; AM – aparat de măsură

Fig.2. Verificarea modelului cu un calculator cuplat on-line (în proces), în circuit deschis

Fig.3. Conducerea procesului pe baza modelului cu un calculator cuplat on-line, în circuit închis

1.3.7. Criterii de evaluare (apreciere) a modelelorSub aspectul deciziei de proiectare şi a eficienţei implementării modelelor trebuie avut în vedere un cadru general

de evaluare calitativă a acestora.Cele mai importante criterii de evaluare a modelelor sunt:1) Valoarea aşteptată a modelului – arată cât de valoros se aşteaptă să fie modelul şi beneficiile pe care urmează

să le aducă implementarea modelului, prin creşterea rapidităţii şi corectitudinii deciziilor ce se iau pe baza modelului.2) Costul modelului reprezentat de costul de proiectare, costul de implementare şi costul de exploatare.3) Structura modelului ce cuprinde:

completitudinea modelului, apreciată prin cuprinderea variabilelor semnificative din bază în model;

Σi

CALCULATOR

comenzi

PROCES

R

A.M

Σi ΣeA.M. OPERATOR

UMAN

comenzi

OPERATORUMAN

A.M

Σe

CALCULATOR

A.M.Σi

PROCES

R

Σi

ΣiPROCES Σe

ΣiA.M

A.M.

comenzi

CALCULATOR

R

uşurinţa de înţelegere a modelului, apreciată prin rapiditatea şi calitatea înţelegerii logicii generale a modelului de către un utilizator obişnuit;

adaptabilitatea modelului, apreciată prin uşurinţa cu care se pot face modificări, cerute de exploatare, în model fără a diminua performanţele acestuia

robusteţea modelului, apreciată prin sensibilitatea modelului la diverse erori4) Validitatea modelului, reprezintă cel mai important criteriu de evaluare a unui model şi reprezintă gradul de

fidelitate cu care modelul descrie procesul.;5) Calitatea modelului, apreciată prin:

coerenţa modelului, dată de compatibilitatea relaţiilor matematice şi logice care descriu dependenţele dintre variabilele procesului;

corectitudinea modelului, apreciată prin proprietatea modelului de a nu deforma caracterul unor legături existente între variabilele procesului;

eficienţă, apreciată prin proprietatea modelului de a furniza soluţii corecte în timp util; utilizabilitatea modelui, apreciată prin posibilitatea utilizării practice a modelului în conducerea

procesului, fiind un compromis între completitudinea modelului (care necesită un grad ridicat de complexitate) şi utilizarea sa practică eficientă (care necesită un grad de complexitate cât mai scăzut).

Pe baza acestor criterii de evaluare a modelelor analistul şi conducătorul unui sistem (proces) poate decide: fie utilizarea unuia dintre modelele existente ce descriu acel sistem (proces); fie elaborarea unui model nou, atunci când nu există modle asupra acelui sistem sau cele existente

sunt necorespunzătoare.1.4. DETERMINAREA SOLUŢIEI OPTIME

Această etapă constă în determinarea unor valori ale variabilelor (parametrilor) independenţi (de intrare) procesului – valori optime -, care să asigure cea mai bună valoare (minim sau maxim) a funcţiei obiectiv – optimul.

Evident, o problemă de minimizarea a funcţiei obiectiv este identică cu o problemă de maximizare, rezolvându-se cu ajutorul aceloraşi metode, datorită faptului că:maxY(X) = min[-Y(X)]

• În funcţie de valorile pe care le pot lua variabilele independente avem: optimizarea fără restricţii – atunci când variabilele independente pot lua orice valori; optimizarea cu restricţii – atunci când valorile pe care le pot lua variabilele independente

sunt limitate de diferite restricţii de tip egalitate: hi(X1, X2, ... Xn) = 0, i = 1,2, ... p şi/sau inegalitate: gj(X1, X2, ... Xn) > 0, j = 1,2,...,q, numărul total de restricţii fiind r = p+q. Restricţiile variabilelor independente sunt impuse de consideraţii tehnologice de desfăşurare a respectivului proces metalurgic

• În funcţie de numărul variabilelor independente luate în considerare avem: optimizare monovariabilă – când se ia în considerare o singură variabilă independentă,

funcţia de performanţă fiind de forma Y=Y(X); optimizarea multivariabilă - când se iau în considerare două sau mai multe variabile

independente, funcţia de performanţă fiind de forma Y=Y(X1, X2, ... Xn).• În funcţie de forma matematică a funcţiei de performanţă avem:

optimizare liniară – când forma funcţiei de performanţă este liniară: Y=X1+ X2+ ... +Xn; optimizare neliniară – când funcţia de performanţă nu este de formă liniară(poate fi

polinomială de diferite grade, exponenţială, logaritmică, etc)

1.4. DETERMINAREA SOLUŢIEI OPTIME

Această etapă constă în determinarea unor valori ale variabilelor (parametrilor) independenţi (de intrare) procesului – valori optime -, care să asigure cea mai bună valoare (minim sau maxim) a funcţiei obiectiv – optimul.

Evident, o problemă de minimizarea a funcţiei obiectiv este identică cu o problemă de maximizare, rezolvându-se cu ajutorul aceloraşi metode, datorită faptului că:

maxY(X) = min[-Y(X)]• În funcţie de valorile pe care le pot lua variabilele independente avem:

optimizarea fără restricţii – atunci când variabilele independente pot lua orice valori; optimizarea cu restricţii – atunci când valorile pe care le pot lua variabilele independente

sunt limitate de diferite restricţii de tip egalitate: hi(X1, X2, ... Xn) = 0, i = 1,2, ... p şi/sau inegalitate: gj(X1, X2, ... Xn) > 0, j = 1,2,...,q, numărul total de restricţii fiind r = p+q. Restricţiile variabilelor independente sunt impuse de consideraţii tehnologice de desfăşurare a respectivului proces metalurgic

• În funcţie de numărul variabilelor independente luate în considerare avem: optimizare monovariabilă – când se ia în considerare o singură variabilă independentă,

funcţia de performanţă fiind de forma Y=Y(X); optimizarea multivariabilă - când se iau în considerare două sau mai multe variabile

independente, funcţia de performanţă fiind de forma Y=Y(X1, X2, ... Xn).• În funcţie de forma matematică a funcţiei de performanţă avem:

optimizare liniară – când forma funcţiei de performanţă este liniară: Y=X1+ X2+ ... +Xn; optimizare neliniară – când funcţia de performanţă nu este de formă liniară(poate fi

polinomială de diferite grade, exponenţială, logaritmică, etc)Metodele de optimizare (determinarea optimului funcţiei obiectiv) sunt în acord cu metodele

de determinare a modelelor matematice, urmând două direcţii distincte:1) o direcţie aplicabilă sistemelor (proceselor) riguros cunoscute – metodă aplicabilă în cazul

în care modelul matematic poate fi elaborat pe baza unor cunoştinţe teoretice suficiente asupra respectivului proces, caz foarte rar pentru procesele metalurgice, care, datorită particularităţilor lor, nu sunt deplin cunoscute teoretic

2) o a două directie, experimental-statistică, când procesul analizat este considerat ca o “black-box”

1) Optimizarea sistemelor riguros cunoscute

În această situaţie se utilizează trei categorii de metode de optimizare, ce sunt prezentate schematic în figura 4:

metode analitice, care utilizează calculul diferenţial în determinarea optimului (min. sau max.) funcţiei obiectiv. Aceste metode presupun continuitatea funcţiei şi a derivatelor sale şi sunt dificil de utilizat în cazul unor funcţii obiectiv complicate. Astfel, multe dintre sistemele (procesele) de interes practic nu pot fi optimizate prin astfel de metode. Un caz particular îl constituie programarea liniară, caz în care funcţia obiectiv este liniară în raport cu variabilele de optimizat.

metode numerice, adică metode care utilizează diverşi algoritmi ce dirijează evaluările funcţiei obiectiv către optimul său, algoritmi ce conţin şi un criteriu de oprire a evaluărilor succesive atunci când funcţia obiectiv s-a apropiat suficient de mult de optimul său. În acest caz funcţia obiectiv este tratată ca un sistem black-box.

metode mixte, în cazul cărora prin metode numerice funcţia obiectiv este adusă la o formă echivalentă, a cărui optim este stabilit apoi prin metode analitice. De cele mai multe ori, această metodologie de stabilire a optimului se aplică în faza finală a unei metode numerice, atunci când s-a ajuns, prin evaluări numerice, în zona apropiată optimului

funcţiei obiectiv şi se doreşte îmbunătătirea rezultatului prin determinarea analitică a optimului unei forme echivalente a funcţiei obiectiv.

2) Optimizarea experimental-statisticăÎn aceste cazuri, sistemul (procesul) este tratat conform principiului black-box din cibernetică.Sistemul (procesul) există în funcţiune, se modifică valorile variabilelor de optimizat şi se

evaluează răspunsul sistemului (funcţiei obiectiv) pentru fiecare stare nou impusă variabilelor. Aşa cum este schiţat în figura 5, metodele de optimizare experimental-statistice pot urma două căi:

una dintre căi ia în considerare valorile succesive ale funcţiei obiectiv şi dirijează cercetările (valorile parametrilor de optimizat) în direcţia optimului funcţiei obiectiv. Cercetarea se opreşte în baza unui criteriu de stop, ce ia în considerare nivelurile de variaţie succesivă a funcţiei obiectiv la modificare variabilelor (în general experimentările se opresc atunci când modificările variabilelor de optimizat duc la variaţii situate sub un anumit prag de semnificaţie a funcţiei obiectiv).

cea de a doua cale, în baza unui plan experimental, evaluează răspunsul sistemului pentru anumite valori ale variabilelor de optimizat (spre deosebire de cale anterioară valorile variabilelor de optimizat sunt impuse iniţial, nefiind stabilite în funcţie de răspunsul sistemului). Planul experimental este astfel conceput încât să permită determinarea facilă a funcţiei obiectiv (răspunsul sistemului), a cărui optim este apoi determinat prin metode numerice sau analitice.

Deci, prima cale este utilizată la începutul cecrcetării, când nu suntem interesaţi de relaţia matematică a funcţiei obiectiv, ci doar de stabilirea valorilor (intervalelor de valori) variabilelor de optimizat care asigură plasarea funcţiei obiectiv în zona optimului. A doua cale este utilizată în completare la prima cale, în scopul îmbunătăţirii rezultatelor obţinute anterior, în acest scop stabilindu-se funcţia obiectiv şi apoi determinând extremele sale.

În legătură cu metodele de optimizare experimental-statistice, metode cu foarte multe utilizări în procesele metalurgice, se impun următoarele precizări:

• răspunsul unui sistem aflat în funcţiune, ca urmare a prezenţei perturbaţiilor, are întotdeauna un caracter aleator. Deciziile cu privire la evaluarea optimului trebuie deci fundamentate pe principii ale statisticii matematice;

• de cele mai multe ori funcţiile de răspuns ale proceselor metalurgice sunt deosebit de complexe, motiv pentru care metodele numerice de determinare a optimului au o mare importanţă şi. deci. o largă aplicabilitate practică;

• funcţie de răspuns poate avea mai multe extereme, optimul obţinut în urma unui singur ciclu de cercetare având un caracter local. Pentru îmbunătăţirea rezultatelor, deci a aflării optimului global, de cele mai multe ori cercetarea necesită mai multe cicluri de cercetare, fiecare având alte puncte de pornire (valori de start ale variabilelor de optimizat)

Fig.4. Optimizarea unui sistem riguros cunoscut; funcţia obiectiv şi restricţiile sunt în forma matematică

METODEMIXTE

METODE NUMERICE

METODE ANALITICE

Forme echivalente a funcţiei obiectiv

Funcţie obiectiv şi restricţii

Sistem de optimizat riguros cunoscut

Calcule diferenţiale pt stabilirea optimului

Analiza rezultatelor

OPTIM

OPTIMAnalizarezultatelor

Evaluarea numerică a funcţiei obiectiv

Algoritmul cercetării numerice

Fig.5. Metode experimental – statistice de optimizareAnaliza răspunsului

sistemului

Algoritmul experimentului ptr.evaluarea optimului

OPTIMobţinut experimental

Experiment

OPTIMEstimare pentrufuncţia obiectiv

Planexperimental

Metode analitice şi numerice de

optimizareSistem în funcţiune

(black – box)

Capitolul 2APLICAŢII ALE STATISTICII MATEMATICE LA PRELUCRAREA ŞI INTERPRETAREA DATELOR (REZULTATELOR) EXPERIMENTALE

2.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE PRIVIND STATISTICA MATEMATICĂ

Statistica este ramura matematicii care cuprinde un grup de metode de calcul cu ajutorul cărora se pot obţine datele cele mai probabile privind fenomenele de masă.

Statistica matematică operează cu două noţiuni de bază: COLECTIVITATEA (POPULAŢIA) STATISTICĂ, definită ca totalitatea fenomenelor

sau a obiectelor calitativ omogene la care se urmăreşte o anumită proprietate; PROBA (EŞANTIONUL) STATISTIC, care este o selecţie restrânsă, luată dintr-o

colectivitate. Numărul de valori extrase din colectivitate se numeşte volumul probei (eşantionului).

Proprietăţile elementelor componente ale eşantionului se pot determina, iar pe baza acestora proprietăţile colectivităţii se estimează.

În general, proprietăţile fiecărui element al eşantionului diferă faţă de a altui element din eşantion datorită factorilor aleatori, motiv pentru care proprietăţile eşantionului se exprimă prin aşa numiţii parametrii statistici, dintre care cei mai importanţi sunt:

media aritmetică; dispersia; abaterea medie pătratică.În acest sens trebuie făcută o distincţie între parametrii statistici ai colectivităţii şi ai

eşantionului extras din această colectivitate, aceştia şi notându-se diferit. Astfel: parametrii statistici ai eşantionului se calculează; parametrii statistici ai colectivităţii se estimează pe baza celor ai eşantionului.

Notaţiile pentru parametrii statistici sunt:

ptr. PROBĂ (EŞANTION) ptr. COLECTIVITATE (POPULAŢIE)

media aritmetică x µdispersia 2s σ2

abaterea medie pătratică s σ

Parametrii statistici ai mai multor eşantioane extrase din aceeaşi colectivitate diferă între ei, dar sunt omogeni dacă selecţia a fost făcută în mod corespunzător, şi diferă de parametrii statistici ai colectivităţii (figura 6).

P

En

E2

E1

Fig. 6. P – populaţia (colectivitatea)

E1, E2, ... En – eşantioane extrase din P

σ≠≠≠

σ≠≠≠

µ≠≠≠

n21

22n

22

21

n21

s....ss

;s....ss

;x....xx

Pe baza parametrilor calculaţi pentru eşantion se estimează parametrii statistici ai probei, determinându-se un INTERVAL DE ÎNCREDERE pentru parametrii statistici ai colectivităţii.

Prin interval de încredere pentru un parametru statistic al colectivităţii se întelege acel interval în care se încadrează respectivul parametru statistic cu o probabilitate P = 1 - α.

Probabilitatea de încadrare a unui parametru statistic a colectivităţii în intervalul de încredere este:

P = 1 - α şi se numeşte NIVEL DE ÎNCREDERE şi ia valori în intervalul [0, 1] ([0%, 100%]),valoarea P = 0 reprezentând imposibilitatea, iar P = 1 reprezentând certitudinea.Probabilitatea de neîncadrare a respectivului parametru în intervalul de încredere, adică

contrarul nivelului de încredere, este:α = 1 – P şi se numeşte NIVEL DE SEMNIFICAŢIE, cu α in intervalul [0,1] şi reprezintă

riscul ca parametrul colectivităţii să nu se încadreze în intervalul de încredere.Riscul (nivelul de semnificaţie) cu care se fac afirmaţii statistice, bazate pe eşantioane, asupra

colectivităţii diferă de la un domeniu de cercetare la altul. Astfel, în tehnica obişnuită, ca în metalurgie valoarea nivelului de semnificaţie (a riscului) al afirmaţiilor bazate pe date statistice este α = 0,05 (5%), adică nivelul de încredere este P = 1 - α = 1 – 0,05 = 0,95 (95%), pe când în medicină este de α = 0,001 (0,1%).

2.2. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE

Prelucrarea datelor rezultate în urma unor determinări experimentale cuprinde următoarele etape:

gruparea datelor, determinarea frecvenţelor intervalelor de grupare şi prezentarea grafică a repartiţiei datelor experimentale;

calculul parametrilor statistici ai eşantionului; verificarea caracterului repartiţiei experimentale; verificarea caracterului aleator al datelor experimentale; eliminarea rezultatelor anormale (eronate) şi recalcularea parametrilor (indicatorilor)

statistici; estimarea parametrilor (indicatorilor) statistici ai colectivităţii din care a fost extras

respectivul eşantion.

2.2.1. Gruparea datelor, determinarea frecvenţelor intervalelor de grupare şi prezentarea grafică a repartiţiei datelor experimentale

Presupunem că pentru un parametru oarecare (de exemplu: conţinutul de carbon dintr-o marcă de oţel, temperatura de evacuare a fontei din furnal etc.) s-au efectuat “n” măsurători, la care s-au obţinut valorile x1, x2, ... xn care reprezintă un eşantion (probă) extrasă din respectiva colectivitate.

Numărul “n” al elementelor din eşantion se numeşte volumul eşantionului (probei).Valorile obţinute în ordinea determinării lor experimentale alcătuiesc aşa numitul tabel al

datelor primare, care nu este altceva decât o înşiruire dezordonată de date, din care nu reiese explicit nici o concluzie privitoare la respectivul eşantion.

Pentru o prezentare sugestivă a datelor experimentale şi pentru uşurarea calculului indicatorilor statistici, datele experimentale se grupează în intervale de grupare, în fiecare de astfel de interval găsindu-se un anumit număr de date experimantale, rezultând astfel tabelul repartiţiei experimentale. Tot pentru o prezentare sugestivă a repartiţiei datelor experimentale acestea vor fi prezentate şi sub o forma grafică ce constă în aşa numitele histograme şi poligoane de frecvenţă.

Deci gruparea datelor experimentale în intervale de grupare are ca scop:

prezentarea sugestivă a repartiţiei datelor experimentale;

uşurarea calculului indicatorilor (parametrilor) statistici

Trebuie precizat că:• calculul indicatorilor statistici pe baza unor date experimentale grupate în intervale de

grupare se poate aplica doar pentru eşantioane (probe) cu volum mare (n > 50). În cazul eşantioanelor (probelor) cu volum mic (n < 50) gruparea datelor experimentale duce la apariţia unor erori semnificative în calculul indicatorilor (parametrilor) statistici ai eşantionului;

• calculul parametrilor statistici ai eşantioanelor pe baza datelor experimentale grupate în intervale este o metodă depăşită odată cu apariţia sistemelor de calcul electronic (P.C.), fiind utilizată în trecut, când efectuarea unor calcule matematice de mare amploare ridica probleme deosebite (statistica matematică avându-şi originile la începutul secolului XIX, anii 1800, odată cu matematicienii german Gauss şi francez Laplace). Deci, la ora actuală continuarea grupării datelor experimentale în intervale de grupare îşi are explicaţia doar în realizarea unei prezentări sugestive, uşor inteligibilă, sub formă tabelară şi grafică a repartiţiei acestor date.

Pentru gruparea datelor experimentale se parcurg următorii paşi:• se determină valoarile minime şi maxime ale variabilei aleatoare X, şi anume Xmax şi Xmin;• se determină numărul intervalelor de grupare după următoarele relaţii aproximative:

ng = 8 ... 20, direct proporţional cu volumul (n) al probei (eşantionului);ng = 1 + 3,222⋅log n (formula Sturgers)

• se determină lungimea intervalelor de grupare (h):

h X Xng

= −max min

Observatie Numărul şi lungimea grupelor se aproximează in sensul obţinerii unor valori convenabile ale lungimii intervalelor. În acest scop se pot varia puţin şi valorile Xmax şi Xmin.• se determină caracteristica fiecărei grupe (Xci) - adică jumătatea fiecărui interval;• se determină frecvenţele intervalelor de grupare şi anume:fai = ni - frecvenţa absolută a intervalului "i", care reprezintă numărul de valori ale variabilei

aleatoare X ce se încadrează în intervalul "i";

fri = nni - frecvenţa relativă a intervalului "i";

fcai = fcai-1+ fai = fa1+ fa2+...+ fai - frecvenţa cumulată absolută a intervalului "i"; cu fca1 = fa1

fcri = fcri-1 + fri = fr1+ fr2+...+ fai sau fcri = fca

ni - frecvenţa cumulată relativă a intervalului "i";

cu fcr1 = fr1

Între frecvenţe există relaţiile:

fa n si frii

n

ii

ng g

= =∑ ∑= =

1 11 (α)

• cu ajutorul acestor frecvenţe se trasează grafic histograme şi poligoane de frecvenţă, care sunt mult mai sugestive pentru reprezentare repartiţiei experimentale decât prezentarea datelor tabelat. Histogramele şi poligoanele de frecvenţă se pot trasa pentru fiecare dintre cele patru tipuri de frecvenţe.

Tabelul repartiţiei experimentale are următoarea formă:Limitelegrupelor

Caracteristicagrupei (Xci)

F R E C V E N Ţ EAbsolută (fai) Relativă (fri) Cumulată

absolută (fcai)Cumulată

relativă (fcri)2 3 2,5 2 0,2 2 0,2

3 4 3,5 3 0,3 5 0,54 5 4,5 4 0,4 9 0,95 6 5,5 1 0,1 10 1,0SUMA - 10 1 - -

2.2.2. Calculul indicatorilor (parametrilor) statistici ai eşantionului (probei)

Cei mai importanţi parametrii statistici ce se calculează pentru probe sunt: media aritmetică (x ), dispersia ( s2 ) şi abaterea medie pătratică ( s ), care au următoarele formule de definiţie:

a) Media: ∑=

=n

1iix

n1x (1)

b) Dispersia se defineşte ca: media pătratelor abaterilor valorilor experimentale de la media lor aritmetică

∑=

−=n

1i

2i

2 )xx(n1s (2)

Calculul dispersiei cu această relaţie este relativ dificil, motiv pentru care această relaţie, prin prelucrare matematică (dezvoltând binomul la pătrat şi distribuind suma la fiecare termen), devine

Histograma frecvenţei absolute

0

1

2

3

4

5

interval

Frec

v.ab

solu

ta

2 3 4 5 6

Poligonul frecvenţei relative

2 3 4 5 6 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

interva l

Frec

v.re

lativ

a

0

2

4

6

8

10

interval

Frec

v.cu

mul

ata

abso

luta

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

interval

Frec

v. c

umul

ata

rela

tiva

Poligonul frecvenţei cumulată absolută

2 3 4 5 6

Histograma frecventei cumulată relativă

2 3 4 5 6

( )2

n

1i

2i

22n

1i

2i

2n

1ii

n

1i

2i

n

1i

2n

1ii

n

1i

2i

n

1i

2i

2i

n

1i

2i

2

xxn1xx2x

n1xn

n1x

n1x2x

n1

xxx2xn1xxx2x

n1)xx(

n1s

−=+−=⋅⋅+

⋅⋅−=

=

+⋅⋅−=−⋅⋅−=−=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

====

=====

2n

1i

2i

2 xxn1s −= ∑

= (3)

Astfel, dispersia se calculează mai uşor cu formula (3), o altă definiţie a dispersiei fiind:

dispersia este egală cu diferenţa dintre media pătratelor valorilor experimentale

∑=

n

1i

2ix

n1

şi

pătratul mediei aritmetice ( )2xc) Abaterea medie pătratică este radicalul pătrat din dispersie:

s s= 2 (4)

Pentru probe (eşantioane) cu volum mic (n < 50) se utilizează pentru calculul parametrilor statistici relaţiile (1), (2), (2’) şi (3).

Pentru probe (eşantioane) cu volum mare (n ≥ 50) calculul indicatorilor (parametrilor) statistici direct cu aceste formule este dificil, motiv pentru care datele se grupează în intervale de grupare cărora li se determină frecvenţa, aşa cum s-a prezentat în punctul 2.2.1.

Într-o primă simplificare se utilizează relaţiile:

∑=

⋅=gn

1icii xfa

n1x (1’)

2n

1i

2cii

2 xxfan1s

g−⋅= ∑

= (3’)

unde: ng este numărul de intervale de grupare;i este numărul intervalului (i = 1 ... ng);xci este caracteristica grupei (jumătatea intervalului de grupare “i”)fai este frecvenţa absolută a intervalului “i”Totuşi, calculele efectuate cu aceste formule sunt relativ complicate, motiv pentru care se

utilizează o a doua simplificare:Pentru aceasta se defineşte o nouă variabilă aleatoare (ui), ce se va calcula pentru fiecare

interval de grupare, cu relaţia: h

xxu 0ci

i−

= (5)

unde : xci - caracteristica fiecărei grupe;x0 - caracteristica grupei cu frecv. absolută (fa) maximă;Datorită formei de definire variabila ui ia doar valori întregi (ui

∈ Z) , pentru intervalul cu frecv. absolută maximă fiind zero (ui=0 ptr. fai=max.), pentru inrtervalele dinaintea acestuia (cu valori mai mici decât el) fiind: -1, -2, -3, ..., iar pentru cele de după acesta (cu valori mai mari decât el) fiind: +1, +2, +3, ...

Datele se prelucrează tabelar, în continuarea tabelului prezentat la punctul 2.2.1)Limitelegrupelor

Caracteristicagrupei (Xci)

F R E C V E N Ţ Eh

xxu 0ci

i−

=Absolută (fai)

Relativă (fri)

Cumulată absolută (fcai)

2 3 2,5 2 0,2 2 -23 4 3,5 3 0,3 5 -1

4 5 4,5 4 0,4 9 05 6 5,5 1 0,1 10 +1SUMA - 10 1 - -

• se calculează media şi dispersia variabilei u, cu relaţiile:

media: ∑=

⋅=gn

1iii ufa

n1u (1”)

dispersia: 2n

1i

2ii

2u uufa

n1s

g−⋅= ∑

=(3”)

• pe baza mediei şi dispersiei variabilei “u” se calculează media, dispersia şi abaterea medie pătratică a variabilei X, cu relaţiile:

media: huxx 0 ⋅+= (6)

dispersia: 22u

2 hss ⋅= (7)

abaterea medie pătratică se calculează cu relaţia (4): s s= 2

Demonstraţia relaţiilor (5) şi (6)În relaţia (1”) de calcul a mediei variabilei “u” se înlocuieşte relaţia (5) de definire a variabilei

“u” şi se obţine:

( )

huxxhxx

nnhx

hxfa

nhx

xfan1

h1

xfanh1xfa

nh1xfaxfa

nh1

hxx

fan1ufa

n1u

ooo

)(.relat.confn

n

1ii

o

)"1(relatieiconformx

n

1icii

n

1i

n

1ioicii

n

1ioicii

n

1i

ocii

n

1iii

gg

g gggg

⋅+=⇒−

=⋅−=−⋅⋅=

=⋅−⋅=⋅−⋅=−

⋅=⋅=

α=

==

=

= ====

∑∑

∑ ∑∑∑∑

În relaţia (3”) se înlocuiesc relaţiile (5) şi (6) şi se obţine:

( )

22u

22

2

2

2o

2o2

o22o

)"3(.rel.confs

2n

1iai

2ci2

2

2oo

2n

1i

2o2

)"1(.rel.confx

n

1iaici2

on

1iai

2ci2

2o

n

1i

2ooci

2cii2

2n

1i

2oci

i2

n

1i

2ii

2u

hsshs

h

x

h

xx2nx

nh1

h

xx2xfx

n1

h1

h

xxx2xx

nh

1fxn1

h

x2fx

n1

h

1

hxx

xxx2xfanh

1uh

xxfauufa

n1s

2

g

ggg

ggg

⋅=⇒=−++−

−⋅=

=+⋅⋅−

−+⋅⋅−⋅⋅=

=

−

−+−=−

−

=−⋅=

=

=

==

==

===

∑

∑∑∑

∑∑∑

2.2.3. Verificarea caracterului repartiţiei experimentale

În această etapă se stabileşte în ce tip de repartiţie teoretică se încadrează repartiţia experimentală obţinută.

Pentru aceasta se presupune că variabila experimentală urmează una dintre repartiţiile teoretice cunoscute şi apoi, pe baza unor teste, se verifică dacă această ipoteză este adevărată.

Pentru verificarea ipotezei privind încadrarea repartiţiei experimentale într-una dintre repartiţiile teoretice se utilizează mai multe teste, dintre care cele mai importante sunt:

testul hi-pătrat (notat cu litera grecească “hi”: χ2); testul KolmogorovEste evident că pentru această verificare este necesară cunoaşterea repartiţiilor teoretice, motiv

pentru care le vom analiza în continuare.

2.2.3.1. REPARTIŢII TEORETICE

A) GENERALITĂŢI PRIVIND PROBABILITĂTILE ŞI REPARTIŢIILE TEORETICE

Pentru început se dau câteva definiţii necesare a fi cunoscute: Prin EVENIMENT se înţelege orice rezultat al unui experiment. Acesta poate fi:

eveniment sigur – care se produce cu certitudine la efectuarea experimentului; eveniment imposibil – care nu se poate produce la efectuarea experimentului; eveniment aleator – care se poate realiza sau nu la efectuarea experimentului;

Se va numi VARIABILĂ ALEATOARE “X” orice mărime care ia o mulţime de valori, cu anumite probabilităţi (şanse de realizare).

Valoarea (valorile) “x” pe care le ia variabila aleatoare “X” se numesc ARGUMENT. În funcţie de valorile pe care le poate lua (argumente) variabila aleatoare poate fi: variabilă aleatoare discretă – care poate lua doar o mulţime finită, numărabilă de

valori; variabilă aleatoare continuă – care poate lua o mulţime infinită de valori, într-un

interval de tip [a, b], care poate fi chiar mulţimea numerelor reale (- ∞, +∞); Se înţelege prin PROBABILITATE a unui eveniment, legat de un experiment cu un

număr finit de rezultate egal-posibile, raportul dintre numărul rezultatelor favorabile producerii evenimentului şi numărul tuturor rezultatelor posibile:

nn

)E(P i= (1)

unde: P(E) este probabilitatea evenimentului E;ni este numărul rezultatelor favorabile evenimentului E (adică în care evenimentul E se

realizează);n este numărul tuturor rezultatelor egal – posibile,Deoarece nn i ≤ avem: 1)E(P ≤ (2)Când ni = 0 (evenimentul E nu se realizează în nici un experiment) avem P(E) = 0, adică

apariţia evenimentului E este imposibilă.Când ni = n (evenimentul E se realizează la fiecare experiment) avem P(E) = 1, adică apariţia

evenimentului E este sigură (certă). Vom avea deci:

1)E(P0 ≤≤ (3)

Dacă într-un experiment o variabilă aleatoare “X” ia valoare “x”, cu probabilitatea:P(X=x) = f(x) (4)

în mod convenţional vom nota:

)x(f

x:X (5)

Funcţia f(x) se numeşte FUNCŢIA DE PROBABILITATE şi caracterizează distribuţia (repartiţia) variabilei aleatoare “X”. Funcţia de probabilitate, fiind o probabilitate, respectă relaţia (3), adică:

1)x(f0 ≤≤ (3’) Dacă variabila aleatoare “X” ia valorile n21 x...,,x,x cu probabilităţile

)x(P...,),x(P),x(P n21 , notate pe scurt n21 p...,,p,p , atunci expresia:

n21

n21p...ppx...xx

:X (6)

reprezintă REPARTIŢIA DE PROBABILITATE, cu condiţia ca:

1p...ppadica,1p n21n

1ii =+++=∑

= (7)

În funcţie de natura variabilei aleatoare (natura argumentelor “x” pe care le poate lua variabila aleatoare “X”) avem:

repartiţii de probabilitate discrete, când variabila aleatoare este discretă (vezi definiţia variabilei aleatoare )

repartiţii de probabilitate continue, când variabila aleatoare este discretă (vezi definiţia variabilei aleatoare )

Probabilitatea unui eveniment astfel ca argumentul variabilei aleatoare “X” să ia valori mai mici decât o valoare “x”, notată P(X<x) reprezintă FUNCŢIA DE DE REPARTIŢIE (numită şi PROBABILITATE CUMULATIVĂ), se notează cu F(x):

F(x) = P (X<x) (8) şi reprezintă cumularea tuturor probabilităţilor evenimentelor până la evenimentul cerut.

Având în vedere cele expuse, se pot definii repartiţiile teoretice discrete şi cele continue

I ) Generaliţăţi privind repartiţiile discrete

Sunt acele repartiţii în care variabila aleatoare “X” poate lua doar o mulţime finită, numărabilă de valori (argumentele variabilei aparţin unei mulţimi finite), în general aparţinând numerelor întregi.

Aceste repartiţii sunt definite de:

domeniul de variaţie al argumentului: x ∈x1, x2, ... xn ; funcţia de probabilitate: f(xi), care reprezintă de probabilitatea ca variabila aleatoare să ia

valoarea “xi”: f(xi) = P(X = xi) funcţia de repartiţie: F(x), numită şi probabilitate cumulativă, care reprezintă

probabilitatea ca argumentul variabilei aleatoare să ia valori mai mici ca “x”:

)xX(P)x(f)x(Fxx

1ii

i<== ∑

=

=cu îndeplinirea următoarelor condiţii:

• pentru funcţia de probabilitate: 1)x(f0 ≤≤ ;• pentru funcţia de repartiţie: 1)x(F0 ≤≤ ;• ţinând cont de faptul că este cert că variabila aleatoare “X” va lua unul dintre argumente:

∑=

=n

1inn )x(f)x(F =1,

aceasta fiind, de fapt, o altă formă a relaţiei (7)

Vom nota o repartiţie discretă astfel:

)x(f

x:X

i

i , i = 1, 2, ..., n

În cazul repartiţiilor discrete parametrii statistici se calculează cu relaţiile:

media aritmetică, notată M(x), cu: ∑=

⋅=n

1iii )x(fx)X(M (9)

dispersia, notată D2(x), cu: [ ] [ ] 2n

1ii

2i

22

2 )X(M)x(fx)X(M)X(M)X(D −⋅=−= ∑=

(10)

Exemplu de repartiţie discretă:Dacă se efectuează experimentul de a arunca un zar atunci e posibil să apară următoarele şase

evenimente: E1: apare faţa 1, E2: apare faţa 2, ..., E6: apare faţă 6. În acest caz: • ni = 1, numărul rezultatelor favorabile unui eveniment (de a apărea o anumită faţă a zarului); • n = 6, deoarece pot să apară oricare dintre cele şase feţe la o aruncare a zarului

şi conform relaţiei (1), probabilitatea fiecăruia dintre cele şase evenimente este:

61

nn

)6E(P...)2E(P)1E(P i =====

În cazul considerării variabilei aleatoare “numărul feţei care apare la o aruncare a zarului” aceasta are:

domeniul de variaţie al argumentului: x ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;

funcţia de probabilitate: f(xi) = P(X = xi) = 61

, ∀i

funcţia de repartiţie: )xX(P)x(f)x(Fxx

1ii

i<== ∑

=

=

şi repartiţia va fi notată:

61

61

61

61

61

61

654321:X

Evident sunt îndeplinite condiţiile:

• pentru funcţia de probabilitate: )1610(1)x(f0 ≤≤≤≤ ;

• pentru funcţia de repartiţie (probabilitate cumulativă):probabilitatea ca la o aruncare să iasă faţa 1 este: f(x)=F(1) = 1/6probabilitatea ca la o aruncare să iasă faţa 1 sau 2 este: F(2) = 1/6 + 1/6 = 2/6;probabilitatea ca la o aruncare să iasă faţa 1 sau 2 sau 3 este: F(3) = 1/6 + 1/6 +1/6= 3/6;probabilitatea ca la o aruncare să iasă faţa 1 sau 2 sau 3 sau 4 este: F(4) = 1/6 + 1/6 +1/6+1/6= 4/6;probabilitatea ca la o aruncare să iasă faţa 1 sau 2 sau 3 sau 4 sau 5 este:

F(5) = 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 5/6;probabilitatea ca la o aruncare să iasă una dintre feţele 1,2,3, 4,5 sau 6 este:

F(6) = 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 6/6 = 1;deci: 1)x(F0 ≤≤

• ţinând cont de faptul că este cert că la o aruncare a zarului va ieşi una dintre feţe:

616)x(f)6(F

6

1ii ⋅== ∑

==1,

Cele mai uzuale repartiţii discrete sunt: repartiţia constantă, repartiţia binomială, repartiţia Poisson şi repartiţia hipergeometrică

II ) Generalităţi privind repartiţiile continue

Sunt acele repartiţii în care variabila aleatoare “X” poate lua o mulţime infinită de valori, argumentele variabilei aparţinând unui interval real [a, b], acesta putând fi chiar întregul interval al numerelor reale (- ∞, +∞).

În cazul acestor repartiţii numărul tuturor rezultatelor egal – posibile “n” din relaţia (1) este infinit (n = ∞), deci probabilitatea ca variabila aleatoare “X” să ia o anumită valoare “x” din intervalul [a, b] este, conform relaţiei (1), nulă:

01)xX(P =∞

==

Pentru rezolvarea totuşi a problemei, se va considera intervalul infinitezimal [x, x+dx] şi se va considera probabilitatea elementară (infinitezimală) ca argumentul variabilei aleatoare “X” să fie cuprins în acest interval, care va fi o funcţie de x, ce va avea forma:

dP = f(x)dx

adică: dP = f(x)dx = P[x<X<x+dx]în acest caz funcţia f(x) reprezentând o DENSITATE DE PROBABILITATE.

Integrând această relaţie între limitele intervalului [a, b] se obţine:

1dx)x(fdPb

a

b

a== ∫∫

deoarece este evident că ∫b

adP reprezintă probabilitatea ca variabila aleatoare “X” să ia valori în

intervalul [a, b], ceea ce este o certitudine, intervalul [a, b] fiind intervalul de definire al variabilei aleatoare.

Această ultimă relaţie este transformarea relaţiei: ∑=

=n

1inn )x(f)x(F =1, corespunzătoare

unei variabile aleatoare discrete, prin înlocuirea operatorului “sumă”: ∑=

n

1iprin operatorul: “integrală

definită”: ∫b

aDeci, în cazul variabilelor continue funcţia de probabilitate de la variabilele discrete este

înlocuită cu densitatea de probabilitate. Din această cauză nu se pot face confuzii (aşa cum s-ar fi putut face în cazul variabilelor discrete) între funcţia de probabilitate (aceasta fiind numită densitate

de probabilitate) şi funcţia de repartiţie, motiv pentru care, în cazul variabileor continue, se vor folosi denumirile de: densitatea de probabilitate va fi denumită şi densitate de repartiţie - notată f(x)

funcţia de probabilitate va fi acelaşi lucru cu funcţie de repartiţie – notată F(x)

Repartiţiile continue sunt definite de:

domeniul de variaţie al argumentului: x ∈ [a, b], putând fi x∈ (- ∞, +∞) (adică x ∈R); densitatea de probabilitate (de repartiţie): f(x) definită pe intervalul [a, b] funcţia de repartiţie (de probabilitate): F(x), care reprezintă probabilitatea ca

argumentul variabilei aleatoare să ia valori mai mici ca “x” este o primitivă a densităţii de repartiţie:

)xX(Pdt)t(f)x(Fx

a<== ∫ ,

unde prin f(t) doar s-a schimbat notaţia “x” cu “t” în expresia densităţii de repartiţie (de proba-bilitate) pentru a nu avea aceleaşi notaţii în expresia de sub integrală şi în limitele de integrare),

cu îndeplinirea următoarelor condiţii:

• pentru densitatea de probabilitate (de repartiţie):∞≤≤ )x(f0 , adică f(x):[a, b] → [0,∞) şi f(x) este continuă şi integrabilă

• pentru funcţia de repartiţie (de probabilitate): 1)x(F0 ≤≤ , adică F(x):[a, b] → [0,1] şi F(x) este continuă şi crescătoare

• ţinând cont de faptul că este cert că variabila aleatoare “X” va lua numai valori mai mici decât “b”, care este limita superioară a intervalului [a, b] de definire a argumentelor

variabilei “X”: )bX(Pdx)x(f)b(Fb

a<== ∫ =1

Este evident că, atunci când variabila aleatoare aparţine numerelor reale, x∈ (- ∞,+∞) vom avea condiţiile la limită:

• pentru funcţia de repartiţie (de probabilitate): 1)x(Flimsi0)x(Flim

xx==

∞→− ∞→ , adică F(x): (-∞, +∞) → [0,1]

• ţinând cont de faptul că este cert că variabila aleatoare “X” va lua numai valori mai mici

decât “+∞”: 1dx)x(f =∫+ ∞

∞−

Vom nota o repartiţie continuă astfel:

)x(f

x:X , x∈ [a, b]

Având în vedere proprietăţie integralei definite, în cazul unei variabile aleatoare ce urmează

orice tip de repartiţie continuă

)x(f

x:X , x∈ [a, b] sau x ∈ (- ∞ ,+ ∞ ) , vom avea următoarele

probabilităţi: probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori mai mici decât o valoare m, cu

m ∈ [a, b], respectiv ∈ (- ∞,+∞): )m(Fdx)x(f)mX(Pm

a==< ∫

respectiv: )m(Fdx)x(f)mX(Pm

==< ∫∞−

;

probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori mai mari sau egale cu o valoare m, cu m ∈ [a, b], respectiv ∈ (- ∞,+∞)::

)m(F1)mX(P1dx)x(fdx)x(fdx)x(f)mX(Pm

a

b

a

b

m−=<−=−==≥ ∫∫∫

respectiv: )m(F1)mX(P1dx)x(fdx)x(fdx)x(f)mX(Pm

m−=<−=−==≥ ∫∫∫

∞−

+ ∞

∞−

+ ∞;

(acest fapt rezultă şi din observaţia că evenimentul ca “x” să fie mai mare sau egal cu “m” este evenimentul contrar celui ca “x” să fie mai mic decât “m” şi suma probabilităţilor evenimentelor contrare este 1);

probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval [m, n) (adică m ≤ x < n) cu intervalul [m, n) inclus în intervalul [a, b], respectiv (- ∞, +∞):

)m(F)n(F)mX(P)nX(Pdx)x(fdx)x(fdx)x(f)nXm(Pm

a

n

a

n

m−=<−<=−==<≤ ∫∫∫

În cazul repartiţiilor discrete parametrii statistici se calculează cu relaţiile:

• media aritmetică, notată M(x), cu: ∫ ⋅=b

adx)x(fx)X(M (11)

• dispersia, notată D2(x), cu: [ ] [ ] 2b

a

222

2 )X(Mdx)x(fx)X(M)X(M)X(D −=−= ∫ (12)

B) REPARTIŢII DISCRETE

B1) Repartiţia discretă constantă

Este acea repartiţie în care funcţia de probabilitate f(x) este o constantă (vezi exemplul de la generalităţi privind repartiţia discretă)

B2) Repartiţia binomială

Este acea repartiţie în care funcţia de probabilitate f(x) este rezultatul unor probe repetabile, în cursul cărora fiecare probă oferă o singură alternativă (Atenţie! o alternativă are doi termeni (două variante posibile) a cărei probabilitate este constantă, numită experienţă “de tip Bernoulli” sau “a bilei revenite”.

Bernoulli a efectuat următoarea experienţă (numită şi experienţa bileo revenite): intr-o urnă a introdus “a” bile albe şi “b” bile negre şi şi-a pus problema de a stabili care este probabilitatea ca extrăgând aleator (fără să se uite în urnă) de “n”ori câte o bilă din urnă şi punând bila înapoi după fiecare extragere (bilă revenită) să extragă de “k” ori bila albă (evident k ≤ n, şi problema este similară cu a întreba care este probabilitatea de a extrage “n – k” bile negre). O experienţă similară este controlul unei piese, caz în care avem alternativa de a avea fie o piesă bună, fie o piesă defectă (rebut).

În aceste condiţii este evident că avem următoarele probabilităţi ale termenilor alternativei existente la extragerea unei bile (alternativa este ca la o extragere să scoatem din urnă fie o bilă albă, fie o bilă neagră):

• probabilitatea ca la o extragere să scoatem o bilă albă:ba

ap+

= ;

• probabilitatea ca la o extragere să scoatem o bilă neagră:ba

bq+

= ;

Evident, avem:

p + q = 1 deoarece la o extragere vom scoate în mod cert (cu o probabilitate egală cu 1 adică 100%) o bilă albă sau o bilă neagră, fiindcă în urnă se găsesc doar bile de culoare albă sau negră;

probabilităţile termenilor alternativei (p şi q) sunt constatnte deoarece după fiecare extragere punem bila înapoi în urnă.

Răspunsul la această întrebare (Care este probabilitatea ca extrăgând aleator de “n”ori câte o bilă din urnă şi punând bila înapoi după fiecare extragere (bilă revenită) să extragă de “k” ori bila albă?) i-a permis lui Bernoulli să formuleze următoarea repartiţie:

Pentru o serie de “n” probe repetate, ce oferă o singură alternativă, cu termenii ce au probabilităţile de apariţie “p”, respectiv “q” (q=1-p) constante, probabilitatea de apariţie de “k” ori a termenului ce are probabilitatea “p” este dată de relaţia:

knkknk qpCP −⋅⋅=

unde knC sunt combinări de “n” luate câte “k”, calculate cu relaţia:

!kA

Cknk

n =

în care: )!kn(!nAk

n −= sunt aranjamente de “n” luate câte “k” şi

k...321!k ⋅⋅⋅⋅= este “k factorial”(atenţie!: 0! = 1, zero factorial este egal cu 1 şi de exemplu: 3! = 1. 2 . 3 = 6 )

şi obţinem:

)!kn(!k

!n!k

AC

knk

n −⋅==

Variabila aleatoare “numărul de apariţii ale termenului de probabilitate constantă “p” în cadrul unui experiment ce conţine “n” încercări, fiecare încercare oferind o singură alternativă” urmează o repartiţie binomială ce este definită de:

domeniul de variaţie al argumentului x ∈ 0, 1, 2, ... n funcţia de probabilitate:

xnxxn qpC)p,n,x(f −⋅⋅=

care reprezintă probabilitatea ca în “n” experienţe, termenul de probabilitate “p” să apară de “x” ori; funcţia de repartiţie (probabilitatea cumulată):

)xX(PqpC)n,x(f)p,n,x(Fx

0x

xnxxn

x

0x≤=⋅⋅== ∑∑

=

−

=,

care reprezintă probabilitatea ca în “n” extrageri termenul de probabilitate “p” să apară de mai puţin sau egal de “x” ori (adică reprezintă suma probabilităţilor de a nu apărea niciodată, o dată, de două ori, .... de “x” ori).

Repartiţia binomială va avea notaţia:

−− nknkk

n1n1

nn p...qpC...pqCq

n...k...10:X

Ţinând cont de formula binomului lui Newton: nn

0x

xnxxn )qp(qpC +=⋅⋅∑

=

− , avem evident

îndeplinită condiţia:

11)qp(qpC)n,x(f)p,n,n(F nnn

0x

xnxxn

n

0x==+=⋅⋅== ∑∑

=

−

=Calculul mediei şi dispersiei pentru o variabilă distribuită binomial

Pentru medie – notată M(x):Se utilizează relaţia (9), care, prin înlocuirea funcţiei de probabilitate corespunzătoare

repartiţiei binomiale, devine: ∑∑∑=

−

==⋅=⋅=⋅=

n

0x

xnxxn

n

0x

n

1iii qpCx)p,n,x(fx)x(fx)X(M (9’)

Se introduce o nouă variabilă “t” şi se porneşte de la relaţia binomului lui Newton:

( ) ( )∑=

−=+n

0x

xnxxn

n qptCqpt

pe care o derivăm în raport cu “t” şi, ţinând cont că derivarea este distributivă faţă de sumă, obţinem:

( ) ∑=

−−− ⋅⋅⋅⋅=⋅+⋅n

0x

xn1xxxn

1n qtxpCpqptn

Punând în această relaţie t = 1 şi ţinând cont de relaţia (9’) şi că p+q=1 vom obţine:

( )

)'9(.relconform)x(M

n

0x

xnxxn

11

1n qxpCpqpn1n

==

−

==

− ∑ ⋅⋅⋅⋅=⋅+⋅−

adică: media unei variabile distribuită binomial este : M(x) = np Pentru dispersie – notată D2(x):

Se utilizează relaţia (10), care, prin înlocuirea funcţiei de probabilitate corespunzătoare repartiţiei binomiale, devine:

[ ] [ ] 2n

0x

xnxxn

22n

0x

222

2 )np(qpCx)X(M)x(fx)X(M)X(M)X(D −⋅⋅⋅=−⋅=−= ∑∑=

−

= (10’)

Introducând aceeaşi variabilă “t” ca şi în cazul mediei şi derivând de două ori în raport cu “t”

relaţia binomul lui Newton: ( ) ( )∑=

−=+n

0x

xnxxn

n qptCqpt se obţine:

( ) ∑=

−−− ⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅+⋅−n

0x

xn2xxxn

21n qt)1x(xpCpqpt)1n(n

Punând în această relaţie t = 1 şi ţinând cont că p+q=1, se obţine:

( )

)x(D)p1(np)np(qxpCnpnp

npqxpCnppn

qxpCqxpCp)1n(n

q)1x(xpCpqp)1n(n

2

q)'10(.relconform)x(D

2n

0x

xn2xxn

2

n

0x

xn2xxn

222

)'9.(rel.confnp)x(M

n

0x

xnxxn

n

0x

xn2xxn

2

n

0x

xnxxn

21n

2

=−⇔−⋅⋅⋅=−

⇔−⋅⋅⋅=−

⇔⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=−

⇔⋅−⋅⋅⋅=⋅+⋅−

==

=

−

=

−

===

−

=

−

=

−−

∑

∑

∑∑

∑

adică: dispersia unei variabile distribuită binomial este: D2(x) = npqÎn relaţiile mediei şi dispersiei notaţiile reprezintă:

n este numărul total de încercări;p este probabilitatea unuia dintre termenii alternativei;q = 1-p este probabilitatea celuilalt termen al alternativei.

Exemplu de aplicare a distribuţiei binomiale

Într-o secţie există 6 stunguri. Din cercetări anterioare se ştie că probabilitatea de funcţionare fără defecţiuni a unui strung timp de o lună de zile este 2/3 (=0,666).

Se cere:a) să se determine funcţia de probabilitate şi funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare

X : “numărul de strunguri care funcţionează normal pe parcursul unei luni” şi să se scrie repartiţia corespunzătoare;

b) să se reprezinte grafic aceste funcţii;c) să se stabilească probabilitatea ca cel puţin 4 strunguri să funcţioneze normal pe parcursul

unei luni;d) să se calculeze media şi dispersia variabilei aleatoare X.

Din datele problemei concluzionăm că variabila aleatoare X: “numărul de strunguri care funcţionează normal pe parcursul unei luni” urmează o repartiţie binomială, deoarece avem o singură alternativă cu următorii termeni:

• strungul funcţionează normal - ce are probabilitatea p = 2/3 şi evenimentul contrar:• strungul este defect - ce are probabilitatea q = 1 – p = 1 – 2/3 = 1/3.Numărul total de incercări este reprezentat de numărul total de stunguri: n = 6.

Variabila aleatoare X: “numărul de strunguri care funcţionează normal pe parcursul unei luni” poate lua valorile:

0 dacă nu funcţionează normal nici un strung (toate 6 sunt defecte);1 dacă funcţionează normal un strung (cinci sunt defecte);2 dacă funcţionează normal două strunguri (patru sunt defecte);3 dacă funcţionează normal trei strunguri (trei sunt defecte);4 dacă funcţionează normal patru strunguri (două sunt defecte);5 dacă funcţionează normal cinci strunguri (unul este defect);6 dacă funcţionează normal toate strungurile (nici unul nu este defect);

a) Funcţia de probabilitate f(x, n,p), adică probabilitatea ca să fie în funcţiune “x” strunguri, cu argumentele variabilei aleatoare X, x∈0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 se calculează cu relaţia:

xnxxn qpC)p,n,x(f −⋅⋅= ,

care particularizată pentru cazul nostru (n=6, p=2/3 şi q=1/3) devine:xnx

x6 3

132C)3/2,6,x(f

−

⋅

⋅=

Dând lui x valorile: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 se obţin valorile funcţiei de probabilitate (vezi tabelul)

Funcţia de repartiţie F(x,n, p), adică probabilitatea să fie în funcţie mai puţin de “x” stunguri se obţine cumulând probabilităţile anterioare:

∑∑=

−

=

⋅

⋅==

x

0x

x6xx6

x

0x 31

32C)n,x(f)3/2,6,x(F

adică: F(0)=f(0); F(1) = f(0)+f(1); F(2) = f(0)+f(1)+f(2); ... F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) = 1 Atenţie! : întotdeauna ultima probabilitate cumulată este egală cu 1, dacă calculele s-au făcut corect.

Variabila “X”: numărul de strunguri ce funcţionează normal

Funcţia de probabilitate f(x)probabilitatea de a funcţiona “x”

strunguri

Funcţia de repartiţie F(x)probabilitatea de a funcţiona mai puţin de “x” strunguri

0 0,00137 0,001371 0,01646 0,017832 0,08231 0,100143 0,21948 0,319624 0,32922 0,648845 0,26337 0,912216 0,08779 1,00000

Repartiţia binomială a variabilei aleatoare X:”nr. de strunguri ce funcţionează normal” se scrie:

08779,026337,032922,021948,008231,001646,000137,0

6543210:X

b) Reprezentarea grafică este:

c) Probabilitatea ca să fie în funcţie cel puţin 4 strunguri este egală cu:

• suma probabilităţilor de a fi în funcţiune 4, 5 şi 6 strunguri:68038,008779,02337,032922,0)6X(P)5X(P)4X(P)4X(P =++==+=+==≥

sau cu:

• cu inversul probabilităţii ca să fie în funcţie mai puţin de 4 strunguri (adică 0, 1, 2 sau 3 strunguri):

68038,031962.01)]3(f)2(f)1(f)0(f[1)3(F1)4X(P1)4X(P =−=+++−=−=<−=≥

d) Media este M(X) = np = 6(2/3) = 4Dispersia este D2(X) = npq = 6(2/3)(1/3) = 4/3 = 1,3333

Funcţia de repartiţie

Funcţia de probabilitate

x

f(x)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

B3) Repartiţia Poisson (numită şi legea evenimentelor rare)

Este un caz particular al repartiţiei binomiale pentru cazul când probabilitatea “p” a unui termen al alternativei este mică (în general p < 0,01, sub 1%) şi volumul “n” al încercărilor este mare (în general n > 100).

În acest caz se poate considera că produsul “np” este constant şi egal cu :np = const. = µ

şi funcţia de probabilitate se obţine prin trecere la limită (n) în expresia funcţiei de probabilitate a repartiţiei binomiale.

Domeniul de variaţie al argumentului x∈ 0, 1, 2, ..., nFuncţia de probabilitate a repartiţiei Poisson va fi

)xX(Pe!x

),x(fx

==⋅µ=µ µ−

în care µ = np va fi media variabilei aleatoare distribuită Poisson şi funcţia de probabilitate va reprezenta probabilitatea ca variabila aleatoare distribuită Poisson să ia valoarea “x”

DemonstraţieÎnlocuind în expresia funcţiei de probabilitate a repartiţiei binomiale:

xnxxn qpC)p,n,x(f −⋅⋅=

valoarile n

1p1qsin

p µ−=−=µ= se obţine:

xnx

xnx

xn

x

x

xn

x

)!xn(

!nx

xnxxnxxn

n1

n1

n1x1

n2x1...

n21

n111

!x

n1

n1

nn

n1n...)2x(n

n)1x(n

!x

n1

n1

n

n)1n(...)1xn(!x

n1

n1

n)xn()1xn(...21n)1n(...)1xn()xn()1xn(...21

!x

n1

n)!xn(!x!n

n1

nC)p,n,x(f

−

−

−

−

−=

=

−−

µ−⋅

µ−⋅

−−⋅

−−⋅⋅

−⋅

−⋅⋅µ=

=

µ−⋅

µ−⋅

⋅−⋅⋅−−⋅−−⋅µ=

=

µ−⋅

µ−⋅⋅−⋅⋅+−⋅µ=

=

µ−⋅

µ−⋅

⋅−⋅−−⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅+−⋅−⋅−−⋅⋅⋅⋅µ=

=

µ−⋅

µ⋅

−⋅=

µ−⋅

µ⋅=

Trecând la limită n → ∞ şi ţinând cont că x ia valori finite, fiind argumentul unei variabile discrete, se obţine:

µ−−µ−

−

→

∞→

→

∞→

→→→→

∞→

∞→

⋅µ=⋅⋅⋅µ=

=

µ−⋅

µ−⋅

−−⋅

−−⋅⋅

−⋅

−⋅µ=

=µ=

µ−

e!x

1e1!x

n1lim

n1lim

n1x1

n2x1...

n21

n111lim

!x

),x(f)p,n,x(flim

xxx

x

x

1

n

e

n

n

1111

n

x

n

Funcţia de repartiţie a repartiţiei Poisson va fi:

∑=

µ− <=µ=µx

0m

m)xX(P

!me),x(F

şi reprezintă probabilitatea ca variabila discretă “X” să ia valori mai mici ca “x”.

Repartiţia Poisson se scrie:

µµµ µ−µ−µ−µ− ...e

!1...e

!1e

!1e

...k...210:X k2 , pentru µ > 0,

având că: pentru k → n avem f(x) = P(X=x) → 0Media variabilei aleatoare distribuită Poisson este: M(x) = µ = np;Dispersia variabilei aleatoare distribuită Poisson este: D2(x) = µ = np;

Exemplu de aplicare a repartiţiei PoissonDintr-un lot de 8000 de produse 40 sunt defecte. Pentru un eşantion de 100 de produse să se

determine:a) probabilităţile ca în eşantionul de 100 de produse să nu se găsească nici un produs defect, să

se găsească un produs defect, două produse defecte, etc;b) probabilitatea ca în eşantionul de 100 de piese să se găsească mai mult de 2 produse defecte;c) practic, care este maximul numărului de produse defecte care se pot găsi în eşantionul de

100 produse.RezolvareDin datele problemei rezultă că probabilitatea de găsire a unei piese defecte este:

005,08000

40p == (0,5%)

deci suficient de mică şi volumul eşantionului n = 100 suficient de mare ca să se poată aplica repartiţia Poisson pentru variabila aleatoare X : “numărul de produse defecte”.

Avem deci: p = 0,005 şiµ = np = 100 . 0,005 = 0,5

Funcţia de probabilitate va fi: )xX(Pe!x

5,0)5,0;x(f 5,0x

==⋅= − ;

Funcţia de repartiţie va fi: ∑=

− <=µ=x

0m

m5,0 )xX(P

!me)5,0;x(F

a) Probabilitatea ca în lotul de 100 de piese să nu se găsească nici una defectă este:

60653,0e!0

5,0)05,0;0(f)0X(P 5,00

=⋅=== − (≈60,6%)

Probabilitatea ca în lotul de 100 de piese să se găsească una defectă este:

303265,0e!15,0)05,0;1(f)1X(P 5,0

1=⋅=== − (≈30,3%)

Probabilitatea ca în lotul de 100 de piese să se găsească două defecte este:

075816,0e!2

5,0)05,0;2(f)2X(P 5,02

=⋅=== − (≈7,6%)

Probabilitatea ca în lotul de 100 de piese să se găsească trei defecte este:

012636,0e!35,0)05,0;3(f)3X(P 5,0

3=⋅=== − (≈1,3%)

Analog se obţin probabilităţile:P(X = 4) = 0,00158 (≈0,2%) şi P(x = 5), P(X = 6), ... P(X=100) << 0,2% (mult mai

mică ca 0,2%) şi P(X = k, cu k → 100) →0Deci, probabilităţile să găsim 5, 6, 7 ... 100 piese defecte este practic nulă.În tabelul următor se dau funcţiile de probabilitate f(x) şi funcţia de repartiţie F(x)

Valorile variabilei “X”= nr. de piese defecte în eşantionul de 100 piese

Funcţia de probabilitate f(x) ce reprezintă probabilitatea să găsim “x” piese defecte în eşantion

Funcţia de repartiţie F(x) ce reprezintă probabilitatea să găsim mai puţin de “x” piese defecte în eşantion

0 0,606531 0.6065311 0,303265 0.9097962 0,075816 0.9856123 0,012636 0.9982484 0,001581 0.9998285 ≈ 0 ≈ 1

6 ≈ 0 ≈ 1

.

..

.

.

.

100 ≈ 0 ≈ 1

Repartiţia va fi:

00...00001581,0012636,0075816,0303265,0606531,0

10099...6543210:X

b) Probabilitatea de a se găsi mai mult de două piese defecte este probabilitatea contrară celei de a se găsi maxim două piese defecte:

)2X(P1)2X(P ≤−=>Probabilitatea să se găsească maxim două piese defecte este dată de funcţia de repartiţie F(2),

adică reprezintă probabilitatea să se găsescă mai puţin de trei piese, fiind probabilităţile cumulate de a se găsi 0 piese defecte, 1 piesă defectă şi 2 piese defecte:

985612,0)5,0;2(f)5,0;1(f)5,0;0(f)2X(P)1X(P)0X(P)3(F)3X(P)2X(P =++==+=+=+=<=≤Deci probabilitatea de a se găsi mai mult de două piese defecte în eşantionul de 100 produse va

fi: 0144,0985612,01)2X(P1)2X(P =−=≤−=> (1,44%)c) Se consideră că este practic imposibil să găsim un număr de piese defecte pentru o probabilitate (funcţie de probabilitate) sub 1% (0,01).

În cazul nostru avem f(3; 0,5) = 0,012636 (1,3%) şi f(4; 0,5) = 0.001581 (0,16%), deci este practic imposibil să găsim 4 sau mai multe produse defecte din eşantionul de 100 de produse.

B4) Repartiţia hipergeometrică

Este situaţia în care pe parcursul experimentului lui Bernoulli (vezi B2 – repartiţia binomială) bila extrasă nu este reintrodusă în urnă, motiv pentru care repartiţia hipergeometrică este numită şi “schema bilei nerevenite”.

Se utilizează atunci când se ia în considerare numărul de evenimente ce aparţin termenilor alternativei.

Fie “N” volumul lotului, în care apare de “a” ori unul dintre termenii alternativei şi de “b” celălalt termen al alternativei, având evident “a+b = N”.

Probabilitatea ca, într-un eşantion de volum “n”, termenul alternativei care apare de “a” ori în lot, să apara de “k” ori este:

nN

knb

ka

kC

CCP

−⋅= .

Domeniul de variaţie a argumentului x∈ 0, 1, 2, ..., nFuncţia de probabilitate depinde de “a”, “b” şi “n” fiind:

nba

xnb

xa

C

CC)xX(P)n,b,a,x(f

+

−⋅=== pentru x∈ 0, 1, 2, ..., n);

Funcţia de repartiţie va fi:

∑= +

−⋅=<=

x

0kn

ba

knb

ka

C

CC)xX(P)n,b,a,x(F

Repartiţia hipergeometrică se scrie:

⋅⋅

++

−

+

−

+n

ba

na

nba

knb

ka

nba

1nb

1a

nba

nb

C

C...

C

CC...

C

CC

C

Cn...k...10

:X

Media unei variabile distribuite hipergeometric este:

bana

Nna)X(M

+== ;

Dispersia unei variabile distribuite hipergeometric este:

)1ba()ba(

)nba(nab

)1N(N

)nN(nab)X(D22

2

−++

−+=−

−=

Observaţie importantă!: Repartiţia binomială este un caz particular al repartiţiei hipergeometrice pentru cazul în

care volumul lotului este foarte mare: N →∞. Trecând la limită N →∞ (a+b → ∞) în relaţiile funcţiei de probabilitate şi de repartiţie a

distribuţiei hipergeometrice se ajunge relativ uşor la funcţiile de probabilitate şi de repartiţie a distribuţiei binomiale.

Această concluzie este de fapt şi uşor de înţeles intuitiv, având în vedere că, dacă lotul este foarte mare (numărul de bile albe şi negre din urnă este foarte mare), nu mai prezintă importanţă dacă bila extrasă se mai întoarce (revine) sau nu în urnă, probabilitatea de a extrage o bilă de o anumită culoare (albă sau neagră) fiind practic constantă (ceea ce este condiţia de a avea o distribuţie binomială)

Exemplu de aplicare a repartiţiei hipergeometrice

În cazul unor loturi de produse formate din 20 numărul produselor rebut este 7 şi al produselor bune este 13. Pentru eşantioane de 5 produse se cere:

a) care este probabilitatea ca în eşantion să găsim o piesă rebut;

b) funcţiile de probabilitate şi de repartiţie a variabilei aleatoare X: “nr. de rebuturi în eşantion” şi să se scrie tabloul repartiţiei acestei variabile.

c) să se calculeze media şi dispersiaRezolvare Avem: volumul lotului N = 20, numărul de rebuturi (unul dintre termenii alternativei bun-

rebut) a = 7 şi numărul de piese bune (celălalt termen al alternativei bun-rebut) b = 13. (evident a+b = 7+13 = 20) şi volumul eşantionului n = 5.

Variabila aleatoare X:” nr. de rebuturi în eşantion” urmează o repartiţie hipergeometrică şi vom avea:

a) probabilitatea ca în eşantion să găsim o piesă rebut:

322820,015504

7157

)!520(!5!20

)!413(!4!13

)!17(!1!7

C

CC

C

CC)1X(P

520

413

17

nba

1nb

1a =⋅=

−

−⋅

−=⋅

=⋅

==+

−

b) Funcţia de probabilitate va fi: 520

x513

x7

C

CC)xX(P)5,13,7,x(f

−⋅=== cu x∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5

Funcţia de repartiţie va fi: ∑=

−⋅=<=

x

0k520

k513

k7

C

CC)xX(P)5,13,7,x(F

Pentru a determina valorile funcţiei de probabilitate şi de repartiţie se calculează combinările

cu relaţia: )!kn(!k!nCk

n −= (unde k

nC reprezintă combinări de n luate câte k).

Astfel:

15504193171654321

2019181716)15...21)(54321(

20....321!15!5

!20)!520(!5

!20C520 =⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=

−=

Similar se calculează şi celelalte combinări, care se trec într-un tabel de forma:

Valoare “X”

“5 – x” x7C x5

13C − x513

x7 CC −⋅ Funcţia de probabilitate

520

x513

x7

C

CC)5,13,7,x(f

−⋅=


∑=

−⋅=

x

0k 520

k513

k7

C

CC)5,13,7,x(F

0 5 1 1287 1287 0,083011 0,0830111 4 7 715 5005 0,322820 0,4058312 3 21 286 6006 0,387384 0,7932153 2 35 78 2730 0,176084 0,9692994 1 35 13 455 0,029347 0,9986465 0 21 1 21 0,001354 1,000000

Repartiţia variabilei aleatoare X: “nr. de piese defecte dintr-un eşantion de 5 piese”, repartizată hipergeometric este:

X :

001354,0029347,0176084,0387384,0322820,0083011,0

543210

c) Media va fi: 75,120

75ba

naNna)X(M =⋅=

+==

Dispersia va fi: 898026,01920

)520(1375

)1ba()ba(

)nba(nab

)1N(N

)nN(nab)X(D222

2 =⋅

−⋅⋅⋅=−++

−+=−

−=

B1) Repartiţia continuă

Este acea repartiţie în care probabilitatea de apariţie a evenimentelor este constantă.Avem:

Domeniul de variaţie a argumentelor x ∈ 0,1, 2, ... nFuncţia de probabilitate: f(x) = P(X=x) = k =const. oricare ar fi x

şi reprezintă probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valoarea x

Funcţia de repartiţie F(x) = P(X<x) = k2

)1m(m)x(fmx

0m⋅+=⋅∑

=şi reprezintă probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori mai mici ca x

Media este: k2

)1n(n)x(f2

)1n(n)n...21(kx)x(f)x(fx)x(Mn

0x

n

0x⋅+=⋅+=+++=⋅=⋅= ∑∑

==

Dispersia este:

2

22222

n

0x

22

)x(f2

)1n(nk6

)1n2)(1n(n

)x(f2

)1n(n)n...21)(x(f)]X(M[)x(fx)x(D

⋅+−⋅++=

=

⋅+−+++=−⋅= ∑

=

Exemplu Pentru aruncarea unui zar, probabilităţile de apariţie a uneia dintre feţele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 este constantă şi egală cu 1/6.

Deci:funcţia de probabilitate f(x) = 1/6 oricare ar fi x ∈1, 2, 3, 4, 5, 6 şi reprezintă probabilitatea ca la o aruncare a zarului să iasă una dintre feţele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6

funcţia de repartiţie F(x) = k2

)1m(m)x(fmx

0m⋅+=⋅∑

=

şi reprezintă probabilitatea ca la o aruncare a zarului să iasă o fată mai mică ca “x” Valorile celor două funcţii se trec în tabelul următor:

Variabila aleatoare X: “numărul feţei ce iese la o

aruncare a zarului”

Funcţia de probabilitatef(x)


1 1/6 1/6 (0,166)2 1/6 1/3 (0,333)3 1/6 1/2 (0,500)4 1/6 2/3 (0,666)5 1/6 5/6 (0,833)6 1/6 1/6 (1,000)

Repartiţia se notează:

X :

61

61

61

61

61

61

654321

Media: M(X) = 5,361

276)x(f

2)1n(n =⋅⋅=⋅+

;

Dispersia:

[ ] 9167,225,126915,3

61

61376

k2

)1n(nk6

)1n2)(1n(n)]X(M[)x(fx)x(D

2

22

n

0x

22

=−=−⋅⋅⋅

=

⋅+−⋅++=−⋅= ∑

=

C) R E P A R T I Ţ I I C O N T I N U E

Aşa cum s-a prezentat anterior, o repartiţie continuă a unei variabile continue se caracterizează prin:

domeniul de definiţie a variabilei (argumentelor): intervalul [a, b], putând fi (-∞, +∞); densitatea de probabilitate (repartiţie): f(x)

funcţia de repartiţie (probabilitate): F(x) = ∫x

adx)x(f

care trebuie să respecte condiţiile: f(x) : [a, b] → [0, ∞] şi să fie continuă şi integrabilă pe intervalul [a, b]; F(x) : [a, b] → [0, 1] să fie crescătoare şi continuă cel puţin la stânga ∀ x∈[a, b], pentru

intervalul (-∞, +∞) punându-se condiţiile la limită: 1)x(Flimsi0)x(Flimxx

==+ ∞→− ∞→

1dx)x(frespectiv,1dx)x(fb

a== ∫∫

+ ∞

∞−

Aşa cum s-a precizat, în cazul repartiţiilor continue, probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o anumită valoare este nulă, astfel că NU se poate scrie f(x) = P(X=x) ca în cazul repartiţiilor discrete. În cazul repartiţiilor continue funcţia f(x) are înţeles de densitate de probabilitate, putându-se determina doar probabilităţile ca variabila aleatoare să ia valori într-un anumit interval şi anume:

)m(Fdx)x(f)mx(Pm

a==< ∫ ;

)m(F1dx)x(f1dx)x(f)mx(Pm

a

b

m−=−==≥ ∫∫ ;

)m(F)n(Fdx)x(fdx)x(fdx)x(f)nxm(Pm

a

n

a

n

m−=−==<≤ ∫∫∫

Reprezentarea grafică a acestor probabilităţi este aria cuprinsă sub graficul densităţii de probabilitate f(x), fiind valori ale integralelor definite.

Observaţie importantă! Cele expuse anterior se aplică pentru toate tipurile de repartiţii continue

Cele mai importante repartiţii continue sunt: repartiţia uniformă, repartiţia normală (Gauss-Laplace) – notată cu “ N ”, repartiţia hi-pătrat (Helmert-Pearson) – notată cu “ χ2 ”, repartiţia Student (numită şi repartiţia t) – notată cu “ t ” , repartiţia Fischer – notată cu “ F ”, repartiţia

)m(F)n(Fdx)x(f)nxm(Pn

m−==<≤ ∫)m(Fdx)x(f)mx(P

m

a==< ∫ )m(F1dx)x(f1dx)x(f)mx(P

m

a

b

m−=−==≥ ∫∫

f(x)f(x)f(x)

a m n b a m b a m b

Cauchy, repartiţia Weibull, repartiţia Gamma, repartiţia Beta, repartiţia exponenţial negativă, repartiţia Erlang.

C1) R e p a r t i ţ i a u n i f o r m ăCaracteristicile acesteia sunt:

domeniul de definiţie a variabilei (argumentelor): (-∞, +∞); densitatea de probabilitate (repartiţie) – vezi fig. 1 – este:

∉

∈=−=

]b,a[a0

]b,a[a.constab

1)x(f (1)

funcţia de repartiţie (probabilitate) – vezi fig. 2 – este:

F(x) = )ax(ab

1dtab

1dt)t(fx

a

x

a−

−=

−= ∫∫ (2)

Deci:

∉

∈−−=

]b,a[a0

]b,a[a.)ax(ab

1)x(F (2’)

media:

2ab

2)ab)(ab(

2ab

ab1

2x

ab1dx

abxdx)x(fx)x(M

22b

a

2b

a

b

a

+=+−=−⋅−

=⋅−

=−

=⋅= ∫∫

dispersia:

[ ]

12)ab(

12aab2b

12a3ab6b3aab4b4

4aab2b

)ab(3)aabb)(ab(

4aab2b

3ab

ab1

2ab

3x

ab1

2abdx

abx)x(Mdx)x(fx)x(D

2222222

22222233

2b

a

32b

a

22

b

a

22

−=+−=−−−++=

=++−−

++−=++−−⋅−

=

=

+−⋅

−=

+−

−=−⋅= ∫∫

1

1/2

a 2abM += b x a 2

abM += b xFig.1 Densitatea de probabilitate Fig.2 Funcţia de repartiţieRepartiţia uniformă

F(x)f(x)

ab1−

proprietăţile funcţiilor f(x) şi F(x):

Avem: ( )211

2ab

ab1

2abF

2abXP)X(MXP =

−+

−=

+=

+<=< ;

Deci: ( ) ( )21)X(MXP)X(MXP =≥=< şi P(X < b) = F(b) = 1)ab(

ab1 =−⋅−

C2) R e p a r t i ţ i a n o r m a l ă ( G a u s s - L a p l a c e )a) R e p a r t i ţ i a n o r m a l ă – n o t a t ă N(x, µ , σ )

Caracteristicile acesteia sunt:

domeniul de definiţie a variabilei (argumentelor): (-∞, +∞);Observaţie Pentru variabile a căror valori negative nu au sens fizic, domeniul de definiţie este

aproximat cu (0, +∞) densitatea de probabilitate (repartiţie) – vezi fig. 3 – este:

2

2

2)x(

e2

1)x(f σ

µ−−

πσ= (3)

în care: µ este media variabilei aleatoare;σ2 este dispersia variabilei aleatoare;σ este abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare.

Deci, densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare depinde şi de medie (µ) şi abatere medie pătratică (σ), motiv pentru care se scrie f(x, µ, σ).

funcţia de repartiţie (de probabilitate) – vezi fig. 4 – este:

dxe2

1)x(Fx

2)x(

2

2

∫∞−

σ

µ−−

πσ= = P(X < x) (4)

Observaţie Se aplică regulile de calcul al probabilităţilor de la prezentarea generală a repartiţiilor continue.

media: M(X) = µ dispersia: D2(X) = σ2 şi abaterea medie pătratică: D(X) = σ proprietăţile funcţiilor f(x) şi F(x):

1/2

Punct de inflexiune

Punct de maxim

F(x)

πσ 21 f(x)

µ − σ µ µ + σ x µ xFig.3 Densitatea de probabilitate Fig.4 Funcţia de repartiţie

R e p a r t i ţ i a n o r m a l ă ( G a u s s - L a p l a c e )

Punct deinflexiune

pentru densitatea de probabilitate f(x) – vezi fig. 3:• este simetrică faţă de dreapta verticală x = µ;

• prezintă un maxim în x = µ, care are valoarea πσ 2

1;

• prezintă două puncte de inflexiune în x = µ − σ şi în x = µ + σpentru funcţia de repartiţie F(x) – vezi fig. 4:

• ( ) ( )21)X(MXP)X(MXP =≥=<

b) R e p a r t i ţ i a n o r m a l ă – n o r m a t ă , n o t a t ă N(u, 0, 1)

Aşa cum se vede din relaţii (3) şi (4) de definiţie a densităţii de probabilitate şi a funcţiei de repartiţie, acestea depind de parametrii statistici (medie şi dispersie) ai variabilei aleatoare, parametrii ce sunt diferiţi de la o variabilă la alta, motiv pentru care, la calculul probabilităţilor, ar trebui să determinăm de fiecare dată integrala din formula (4), ceea ce este foarte dificil.

Din acest motiv s-a încercat găsirea unei forme a densităţii şi funcţiei de repartiţie care să nu mai depindă de medie şi dispersie şi astfel, valorile funcţiei de repartiţie F(X) să poată fi calculate şi trecute într-un tabel care să poată fi utilizat în determinarea diferitelor probabilităţi.

Se introduce o nouă variabilă – notată cu “u” – şi definită cu relaţia:

σ

µ−= xu (5)

unde: x – valoarea variabilei aleatoare “X” ce urmează o repartiţie normală cu media µ , dispersia σ2

şi abaterea medie pătratică σ = 2σ ;µ – media variabilei aleatoare “X”;σ – abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare “X”Se poate arăta cu uşurinţă că variabila aleatoare “u” urmează o repartiţie mormală normată cu

media M(U) = 0 , dispersia D2(U) = 1 şi abaterea medie pătratică D(U) = 1:• media:

( ) 0xnn1x1x

n1x

n11xx

n1xx

n1u

n1)U(M

n

1i

n

1ix

n

1ii

n

1ii

in

1ii =

σ−

σ=

σ−⋅

σ=−

σ=

σ−== ∑∑ ∑∑∑

===

===

• dispersia:

[ ]

11xxn11xx2x

n11

xxn1x2x

n1n

n1xnxx2x

n1

xxx2xn

1xxn1)U(Mu

n1)U(D

22

)X(D

2n

1i

22

22n

1i

22

2

x

n

1ii

n

1i

22

2n

1ii

n

1i

22

n

1i

2n

1ii

n

1i

22

n

1i

2i

0

2n

1i

2i

22

=σ⋅σ

=

−σ

=

+−

σ=

=

+⋅−⋅σ

=

+−

σ=

=

+−

σ=

σ−=−=

σ==

==

=====

======

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

Difereţiind relaţia (5) se obţine:

dxdxdx1du σ=⇒σ

= (6)

Înlocuind relaţiile (5) şi (6) în relaţia (4) se obţine:

∫∫∫∞−

−

∞−

−

∞−

−

π=σ

πσ=σ

πσ=

u2

uu2

uu2

u

due21due

21due

21)u(F

222

(4’)

care reprezintă funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare “U” şi care are, deci, densitatea de

probabilitate: 2u 2

e21)u(f

−

π= (3’)

Deci, variabila aleatoare introdusă prin relaţia (5) urmează o repartiţie normală (Gauss-Laplace) ce are media M(U) = 0 , dispersia şi abaterea medie pătratică D2(U) = D(U) = 1, caracterizată prin densitatea de probabilitate f(u) dată de relaţia (3’) şi funcţia de repartiţie dată prin relaţia (4’). Această repartiţie se numeşte repartiţie normală normată şi variabila aleatoare “U” se numeşte variabilă normală normată.

Aşa cum se vede din relaţia (4’) funcţia de repartiţie normală normată nu mai depinde decât de valorile lui “u”, ceea ce a dus la posibilitatea calculării sale şi a trecerii rezultatelor într-un tabel, ce se găseşte în literatura de specialitate, şi care uşurează calculele statistice (în sensul în care determinarea valorilor lui F(u) nu mai impune calculul integralei din relaţia (4), ci doar căutarea lor într-un tabel a cărei utilizare este facilă).

Astfel, orice problemă ridicată de analiza unei variabile aleatoare “X” normal distribuită devine, prin transformarea acesteia cu relaţia (5), o problemă legată de analiza variabilei aleatoare distribuită normal normat:

)u(F)uU(P)m(F)xX(P =<==< ;

)u(F1)uU(P)m(F1)xX(P −=≥=−=≥ ;

)u(F)u(F)uUu(P)x(F)x(F)xXx(P 12211221 −=<≤=−=<≤

unde valorile lui “u” corespunzătoare lui “x” se calculează cu relaţia (5): σ

µ−= xu .

Astfel, orice problemă ridicată de analiza unei variabile aleatoare “X” normal distribuită (cu media M(X) = µ şi dispersia D2(X) = σ), ce necesita de fiecare dată calculul integralei din relaţia (4) pentru determinarea lui F(x), prin transformarea variabilei într-o variabilă normală normată “U” (cu media M(U) = 0, dispersia şi abaterea medie pătratică D2(U) = D(U) = 1) se transformă într-o problemă legată de analiza unei variabile aleatoare “U” normală normată, ce necesită doar căutarea într-un tabel a valorilor F(u).

În figurile 5 şi 6 sunt prezentate grafic densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie pentru repartiţia normală normată.

f(u)

Deci, caracteristicile repartiţiei normale normate sunt:

domeniul de definiţie a variabilei (argumentelor): (-∞, +∞); densitatea de probabilitate (repartiţie) – vezi fig. 5 – este:

2u 2

e21)u(f

−

π= (3’)

funcţia de repartiţie (de probabilitate) – vezi fig. 6 – este:

due21)u(F

u2

u 2

∫∞−

−

π= = P(U < u) (4’)

media: M(U) = 0 dispersia şi abaterea medie pătratică: D2(U) = D(U) = 1 proprietăţile funcţiilor f(u) şi F(u):

pentru densitatea de probabilitate f(u) – vezi fig. 5:• este simetrică faţă de dreapta verticală x = 0;

• prezintă un maxim în x = 0, care are valoarea π2

1;

• prezintă două puncte de inflexiune în x = −1 şi în x = +1pentru funcţia de repartiţie F(u) – vezi fig. 6:

• ( ) ( )210UP0UP =≥=<

Valorile lui F(u) se găsesc în tabele pentru valori u ∈ [-3, +3] care au forma următoare şi în care căutarea pentru diverse valori ale lui “u” este exemplificată pentru u = +1,28 şi se obţine F(+1,28) = 0,8997

F(u)

1

0,5

π21

Fig. 5 Densitatea de probabilitate Fig. 6 Funcţia de repartiţie

Repartiţia normală normată

U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 → sutimile− 3,0 0,0010 ... ... ... ... ... ... ... 0,0013− 2,9 0,0014 ... ... ... ... ... ... ... 0,0019− 2,8 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

......

......

......

......

......

− 0,1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...− 0,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ...+ 0,0 0,5 ... ... ... ... ... ... ... ...+ 0,1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

......

......

......

......

......

+ 1,2 0,8997...

......

......

......

......

......

+ 2,8 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...+ 2,9 0,9981 ... ... ... ... ... ... ... ... 0,9986+ 3,0 0,9987 ... ... ... ... ... ... ... ... 0,9990

↓ unităţile şi zecimile

Analog se determină F(−2,90) = 0,0014; F(+2,90) = 0,9981; F(+2,99) = 0,9986 etc.

c) R e g u l a c e l o r t r e i s i g m a ( σ )

Calculând următoarele probabilităţi pentru repartiţia normală şi, respectiv, normală normată se obţine:

P(x−σ ≤ X < x+σ) %)3,68(6826,0dxe2

1x

x

2

)x(2

2

≈=πσ

= ∫σ+

σ−

σ

µ−−

respectiv P(−1≤ U < +1) %)3,68(6826,0due21

1

1

2u 2

≈=π

= ∫+

−

−

P(x−2σ ≤ X < x+2σ) %)5,95(9545,0dxe2

12x

2x

2

)x(2

2

≈=πσ

= ∫σ+

σ−

σ

µ−−

respectiv P(−2 ≤ U < +2) %)5,95(9545,0due21

2

2

2u 2

≈=π

= ∫+

−

−

P(x−3σ ≤ X < x+3σ) %)8,99(9975,0dxe2

13x

3x

2

)x(2

2

≈=πσ

= ∫σ+

σ−

σ

µ−−

respectiv P(−3 ≤ U < +3) %)8,99(9975,0due21

3

3

2u 2

≈=π

= ∫+

−

−

Regula celor trei sigma enunţă că: practic, toate valorile (99,75% dintre ele) pe care le poate lua o variabilă aleatoare ce urmează o repartiţie normală (Gauss-Laplace) sunt cuprinse în intervalul [µ − 3σ, µ + 3σ]. Pentru o variabilă normală normată acest interval devine [− 3, + 3].

Fig. 7 R e p r e z e n t a r e a g r a f i c ă a r e g u l i i c e l o r 3 σ

d ) I m p o r t a n ţ a r e p a r t i ţ i e i n o r m a l e ( G a u s s - L a p l a c e )

Importanţa repartiţiei normale pentru prelucrarea datelor experimentale rezultă din următoarele considerente:

distribuţia normală descrie, în multe cazuri, distribuţia erorilor ce însoţesc măsurătorile;

distribuţia normală este bine studiată şi valorile sale se găsesc sub formă de tabele, astfel încât este convenabil de utilizat;

suma mai multor variabile distribuite nu neapărat normal tinde către o repartiţie normală;

µ

µ+3σ 99,75 % µ+3σ

µ−σ 68,3 % µ−σ

µ−2σ 95,5 % µ+2σ

x

f(x)

dacă numărul determinărilor (volumul “n” al eşantionului) este suficient de mare orice altă distribuţie (repartiţie) tinde către repartiţia normală;

multe dintre tehnicile statistice bazate pe distribuţia normală sunt robuste, ele rămânând suficient de corecte pentru abateri rezonabile de la normalitate.

C3) R e p a r t i ţ i a h i − p ă t r a t ( χ 2 ) ( n u m i t ă ş i r e p a r t i ţ i e H e l m e r t - P e a r s o n )

Astronomul F.R. Helmert a arătat că suma pătratelor a “ν” (litera grecească “niu”) variabile aleatoare νX...,X,X,X 321 ce urmează o repartiţie normală normată N(0,1) (adică au media nulă şi abaterea medie pătratică egală cu 1), sumă notată cu χ2, urmează o repartiţie continuă ce are densitatea de probabilitate:

( )

≤

>⋅⋅νΓ=

−−ν

ν

0xpentru0

0xpentruex22

1)x(f

2x1

22 (7)

unde: ν se numeşte grade de libertateSe observă că densitatea de probabilitate a repartiţiei χ2 depinde şi de numărul gradelor de

libertate “ν”, deci poate fi scrisă f(x, ν)În relaţia de definire a densităţii de probabilitate pentru repartiţia hi-pătrat “Γ” (litera grecească

“gamma” mare) reprezintă “funcţia Gamma” numită şi “funcţia de speţă a doua a lui Euler” (mai există “funcţia Beta” numită şi “funcţia de primă speţă a lui Euler”) introdusă de matematicianul Euler prin relaţia:

∫∞

−− >=Γ0

x1p 0ppentrudxex)p(

Pentru calculul valorilor funcţiei Γ(p) nu este necesar a se calcula integrala, ci se folosesc următoarea relaţie de recurenţă:

)1p()1p()p( −Γ−=Γ

ştiindu-se că: Γ(1) = 1 şi π=

Γ

21

deci, pentru p număr întreg pozitiv: +∈−⋅⋅⋅⋅=−=Γ oZppentru)1p(...321)!1p()p(

Deci, repartiţia hi-pătrat se caracterizează prin:

densitatea de probabilitate:

( )

≤

>⋅⋅νΓ=

−−ν

ν

0xpentru0

0xpentruex22

1)x(f

2x1

22 (7)

funcţia de repartiţie:

( )

≤

>⋅⋅νΓ=<= ∫

−−ν

ν

0xpentru0

0xpentrudxex22

1)xX(P)x(F

x

0

2x1

22 (8)

media: M(X) = ν dispersia: D2(X) = 2ν abaterea medie pătratică: ν= 2)X(D

În calculele statistice prezintă importanţă determinarea mărimii 2, ανχ cu ν grade de libertate

care are probabilitatea α (nivelul de semnificaţie, care este în tehnica obişnuită α=0,05) de a fi depăşită, adică 2

, ανχ pentru care:

( )α=⋅⋅

νΓ⇔α=χ≥ ∫

∞+

χ

−−ν

ναν

αν2

,

dxex22

1)X(P 2x1

22

2,

motiv pentru care aceste valori sunt tabelate în funcţie de gradele de libertate “ν” şi de nivelul de semnificaţie “α” – vezi Anexa II din “Optimizarea proceselor metalurgice – D. Taloi, C. Bratu ş.a. – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

Tabelul cu aceste valori 2, ανχ cu “ν” grade de libertate, care au probabilitatea “α” de a fi

depăşite este de forma prezentată în figura următoare, în care se dă şi exemple de alegere:

α ν 0,99 0,98 0,95 0,10 0,05 0,025

→ α=nivel de semnificatie

1 0,00016 ... ... ... ... ... ... ... 5,0242 0,0201 ... ... ... ... ... ... ... 7,3783 0.115 ... ... ... ... ... ... ... 9,348...

......

......

......

......

...10 2,558 ... ... ... ... ... ... ... ...11 3,053 ... ... ... ... ... ... ... ...12 3,571 ... ... ... ... ... ... ... ...13 4,107 ... ... ... ... ... ... ... ......

......

......

......

......

...16 26,296...

......

......

......

......

......

20 8,260 ... ... ... ... ... ... ... ... 34,170:

30:

14,953:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:46,979

......

......

......

......

......

...↓

ν = grade de libertate

Pentru numărul gradelor de libertate ν = 16 şi probabilitatea α = 0,05 de a fi depăşită se alege din tabel: 296,262

05,0;16 =χ

Alegerea numărului gradelor de libertate “ ν ”

dacă avem “n” variabile aleatoare X1, X2, ... Xn, repartizate normal normat, dintre care “k” sunt independente, variabila aleatoare χ2 ca sumă a pătratelor celor “n” variabile:

∑=

=χn

1i

2i

2 X

va avea numărul gradelor de libertate ν = k;

dacă cele “n” valori ale unei variabile aleatoare X sunt împărţite în “ng“ intervale de grupare, numărul gradelor de libertate va fi: ν = ng – 1 deoarece există o legătură

între frecvenţele intervalelor de grupare:

== ∑∑

==1frsaunfa

gg n

1ii

n

1ii - adică dacă se

cunosc frecvenţele pentru “ng – 1” intervale se poate determina frecvenţele celuilalt interval de grupare;

în cazul în care se estimează o repartiţie normală pe baza a “n” determinări numărul gradelor de libertate este: ν = ng – 2 deoarece se estimează doi parametrii indepensenţi (media şi abaterea medie pătratică a repartiţiei normale)

Importanţa repartiţ iei hi – pătrat

pe baza sa se poate construi un test pentru verificarea ipotezei că o distribuţie experimentală urmează o repartiţie normală;

pe baza sa se poate estima intervalul de încredere pentru dispersia unei repartiţii normale;

pe baza sa se poate testa dispersia unei repartiţii normale în raport cu o valoare dată;

pe baza sa se construiesc repartiţiile Student şi Fischer, care la rândul lor permit formularea unor tete pentru verificarea unor ipoteze statistice.

C4) R e p a r t i ţ i a S t u d e n t ( t ) numită astfel în memoria matematicianului englez Gosset a

cărui pseudonim era Student

Două variabile aleatorii:

• “U” cu o repartiţie normală normată N(0,1) şi

• “χ2” cu o repartiţie hi – pătrat cu “ν” grade de libertate

alcătuiesc o nouă variabilă aleatoare “ t “ definită prin relaţia:ν

χ=

2

ut

care urmează o repartiţie Student, care are densitatea de probabilitate:

( )∞+∞−∈

ν+⋅

νΓ

+νΓ

⋅ν π

=

+ν−

,tpentrut1

2

21

1)t(f2

12

unde “ Γ ” este funcţia “Gamma” numită şi “funcţia de speţă a doua a lui Euler”

În metodele statistice intereseză valorile variabilei “ t “ pentru care avem probabilitea:

( ) ( )2

ttPtttP ,2,2,2α=<=+<≤− νανανα

motiv pentru care acestea sunt tabelate – vezi Anexa III din “Optimizarea proceselor metalurgice – D. Taloi, C. Bratu ş.a. – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

Importanţa repartiţiei Student

permite stabilirea unui interval de încredere pentru media unei distribuţii normale;

permite formularea unor teste privind ipotezele statistice asupra mediei unei variabile normale.

C5) R e p a r t i ţ i a F i s c h e r ( t )

Două variabile aleatorii:

• “ 21χ ” cu o repartiţie hi – pătrat cu “ν1 ” grade de libertate

• “ 22χ ” cu o repartiţie hi – pătrat cu “ν2 ” grade de libertate

alcătuiesc o nouă variabilă aleatoare “ F “ definită prin relaţia:1

222

21

2

22

1

21

Fνν

⋅χ

χ=

νχ

νχ

=

care urmează o repartiţie Fischer ce are densitatea de probabilitate:

2

2

11

2

21

212

2

12111

F1F

22

2)F(f

ν+ν−

−

νν

⋅

νν

+⋅⋅

νΓ⋅

νΓ

ν+ν

Γ⋅

νν

=

În majoritatea calculelor statistice este necesar a se cunoaşte variabila 21 ,,F ννα care are

probabilitatea α de a fi depăşită , adică: ( ) α=> ννα 21 ,,FFP

motiv pentru care aceste valori se găsesc tabelate – vezi Anexa IV din “Optimizarea proceselor metalurgice – D. Taloi, C. Bratu ş.a. – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

C6)A p l i c a ţ i e p r i v i n d d i s t r i b u ţ i a ( r e p a r t i ţ i a ) n o r m a l ă ( G a u s s - L a p l a c e )

Într-o instituţie publică s-au instalat 2000 de becuri noi. Producătorul garantează o durată de funcţionare medie de 1000 ore, cu o abatere medie pătratică de 100 ore. Presupunându-se că durata de funcţionare a unui bec urmează o repartiţie normală să se determine:

I) să se scrie densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie a duratei de funcţionare a unui bec.

II) numărul de becuri care probabil se vor arde în primele 800 ore de funcţionare?

III) numărul de becuri care probabil vor mai fi în funcţiune după 1100 ore de funcţionare?

IV) numărul de becuri care probabil se vor afla în funcţiune între 850 şi 1150 ore?

V) numărul de becuri care probabil se vor arde între 850 şi 1150 ore?

VI) numărul de ore după care se vor arde 400 de becuri?

VII) practic, în câte ore nu s-a ars nici un bec? şi practic, după câte ore s-au ars toate becurile?

I) Variabila aleatoare X : “durata de funcţionare a unui bec” urmează o repartiţie normală (Gauss-Laplace) cu media: M(X) = µ = 1000 şi abaterea medie pătratică D(X) = σ = 100.

Vom avea deci:

• densitatea de probabilitate: 20000)1000x(

2

)x( 2

2

2

e2100

1e2

1)x(f−

−σ

µ−−

π=

πσ=

• funcţia de repartiţie: dxe2100

1)xX(P)x(Fx

20000)1000x( 2

∫∞−

−−

π=<=

Pentru diverse calcule de probabilităţi vom introduce variabila normală normată “U” prin relaţia

II) Probabilitatea că un bec să se ardă în primele 800 de ore este aceeaşi cu probabilitatea ca variabila X: “durata de funcţionare” să fie mai mică ca 800 ore şi este echivalentă cu probabilitatea ca

variabila normală normată “U” să fie mai mică decât 2100200

1001000800xu −=−=−=

σµ−= :

0183,0)2(F)2U(P)800X(P =−=−<=< = 1,83 %

unde valoarea F(−2) s-a găsit în tabelul repartiţiei normale – Anexa I din “Optimizarea proceselor metalurgice – D. Taloi, C. Bratu ş.a. – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

Având 2000 de becuri, rezultă că numărul celor care se vor arde în primele 800 de ore va fi:

becuri376,36100

83,12000)800X(P2000N ore800t ≈=⋅=<⋅=<

1001000xxu −=

σµ−=

III) Pentru calculul numărului de becuri care vor mai fi în funcţiune după 1100 de ore se poate proceda în două moduri:

• se calculează probabilitatea ca un bec să se ardă după 1100 ore de funcţionare, ceea ce

acelaşi lucru cu probabilitatea ca X: “durata de funcţionare” este mai mare ca 1100 ore şi este echivalent cu probabilitatea ca variabila normală normată “U” să fie mai mare ca :

1100100

10010001100xu ==−=

σµ−= ,

1587,08413,01)1(F1)1U(P)1100X(P =−=−=≥=≥ =15,87%

se determină numărul de becuri care se ard după trecere a 1100 ore de funcţionare:

becuri3174,317100

87,152000)1100X(P2000N ore1100t ≈=⋅=≥⋅=≥

acestea fiind şi numărul de becuri care vor mai fi în funcţiune după 1100 ore.

• se calculează probabilitatea ca un bec să se ardă înainte de 1100 ore de funcţionare:8413,0)1(F)1U(P)1100X(P ==<=< = 84,13%

se calculează numărul de becuri ce se ard în primele 1100 ore de funcţionare:

becuri16836,1682100

13,842000)1100X(P2000N ore1100t ≈=⋅=<⋅=<

şi numărul de becuri care vor mai fi în funcţie după 1100 ore se va calcula ca diferenţă până la 2000:

becuri31716832000N2000N ore1100tore1100t =−=−= <≥

Observaţie Primul mod de calcul este mai uşor şi îl vom prefera.

IV) Se poate proceda în două moduri:

• Se calculează probabilitatea ca un bec să se afle în funcţiune între 850 şi 1150 ore,

adică probabilitatea ca variabila X : “durata de funcţionare” să fie între 850 şi 1100 ore, prin

intermediul valorilor variabilei normale normate: 5,1100150

1001000850xu1 −=−=−=

σµ−= şi

5,1100150

10010001150xu 2 ==−=

σµ−= :

%73,878773,00559,09332,0)5,1(F)5,1(F)5,1U5,1(P)1150X850(P ==−=−−=<≤−=<≤

şi numărul de becuri ce se vor afla în funcţiune între 850 şi 1150 ore:

becuri17556,1754100

73,872000)1150X850(P2000N 1150t850 ≈=⋅=<≤⋅=<≤

• se calculează: numărul de becuri ce se ard înainte de 850 de ore, adică X: “durata de

funcţionare” mai mică de 850 ore:

becuri1128,111100

59,52000)5,1U(P2000)850X(P2000N 850t ≈=⋅=−<⋅=<⋅=< ,

numărul de becuri ce se ard după 1150 ore de funcţionare, adică au X: “durata de funcţionare” mai mare ca 1150 ore

[ ] ( )becuri1346,133

10068,62000

9332,012000)5,1(F12000)5,1U(P2000)1150X(P2000N 1150t

≈=⋅=

−⋅=−⋅=≥⋅=≥⋅=≥

şi numărul de becuri ce se află în funcţiune între 850 şi 1150 ore se află ca diferenţă până la 2000:

becuri17556,17546,1338,1112000:precismai,saubecuri17541341122000NN2000N 1150t850t1150t850

≈=−−==−−=−−= ≥<<≤

Observaţie A doua metodă necesită un volum mai mare de calcule şi poate introduce erori mai mari, prin cumularea erorilor de la fiecare calcul (am obţinut 1754 becuri, faţă de 1755), deci va fi preferată prima metodă.

V) Numărul de becuri care se ard între 850 şi 1150 ore de funcţionare se calculează ca diferenţă între numărul celor care se ard în primele 1150 ore (care au X: “durata de funcţionare” mai mică de 1150 ore) şi a celor care se ard în primele 850 ore (care au X: “durata de funcţionare” mai mică de 850 ore):

becuri1128,111100

59,52000)5,1U(P2000)850X(P2000N 850t ≈=⋅=−<⋅=<⋅=<

becuri18664,1866100

32,932000)5,1U(P2000)1150X(P2000N 1150t ≈=⋅=+<⋅=<⋅=<

N = 1866,4 – 111,8 = 1754,6 = 1755 becuri

Observatie Numarul de becuri care se ard în perioada 850 ... 1150 ore este egal cu celor care se află în funcţie în aceeaşi perioadă (vezi pct. IV) şi care nu se vor mai afla în funcţie după 1150 ore.

VI) Durata până când se ard 400 de becuri este T necunoscută şi se află din condiţia ca 400 de becuri să aibă X: “durata de funcţionare” mai mică de T ore, adică:

⇔=

−<⇔=

−<⋅⇔=<⋅⇔=< 2000

4001000

1000TUP4001000

1000TUP2000400)TX(P2000400N Tt

2,0)u(F =

Ne aflăm deci, în situaţia în care în tabelul repartiţiei normale cunoaştem F(u) şi dorim să determinăm valoare “u” (adică în situaţia inversă de până acum).

Pentru F(u) = 0,2 în tabel găsim u = 0,85 şi vom obţine:

ore91510085,01000T85,0100

1000T85,0u =⋅−=⇒−=−⇔−=

Deci, până la 915 ore s-au ars 400 de becuri.

VII) Conform regulii celor 3σ (sigma) valorile pe care le poate lua o variabilă distribuită normal sunt, practic (99,75 % dintre ele) cuprinse în intervalul [µ − 3σ, µ + 3σ].

În cazul problemei, variabila aleatoare X: “durata de funcţionare” a unui bec este practic cuprinsă în intervalul [ ]10031000,10031000 ⋅+⋅− , adică în întervalul [700, 1300] ore.

Deci:

• în primele 700 de ore nu se arde practic nici un bec dintre cele 2000 nou instalate (ceea ce este echivalent cu a spune că după 700 de ore se află în funcţiune toate cele 2000 de becuri nou instalate);

• după 1300 ore nu se mai află practic în funcţiune nici un bec din cele 2000 nou instalate (ceea ce este echivalent cu a spune că în 1300 de ore se ard toate cele 2000 de becuri nou instalate).

Documents

Agregate termice