修士論文

Aharonov - Bohm リングにおける電子のコヒーレンス

東京大学大学院理学系研究科

物理学専攻修士 2年

学生番号 26060

佐野 徹之

指導教官 勝本 信吾 助教授

2004年 1月

　

目 次

第 1章 研究の背景と目的 11.1 量子デコヒーレンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 量子情報エントロピー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 環境によるデコヒーレンスモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 簡単な環境のモデル例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 メゾスコピック系でのデコヒーレンス研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 固体中電子の量子デコヒーレンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 AB効果を用いたデコヒーレンス研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 本研究の目的 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 エッジチャネル伝導における AB的振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 本研究の目的 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

第 2章 試料作成と測定手法 122.1 試料の作成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 測定手法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 測定装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 測定系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

第 3章 低磁場下のＡＢ振動 143.1 実験に用いた端子配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 実験結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 AB振幅の測定電流依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.2 AB振幅の温度依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.3 AB振幅の電流-温度依存のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 議論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1 駆動電流（バイアス電圧）の効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 温度依存性の測定法による違い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 本章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

第 4章 高磁場下のＡＢ振動 284.1 整数量子ホール効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 整数量子ホール状態でのエッジチャネルによる伝導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 磁場制御と静電制御 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 クーロンダイアモンドの観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 AB振幅の温度依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 本章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

第 5章 総括 39

i

付 録A 40A.1 Aharonov-Bohm(AB)効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.2 Landauer-Buttiker公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.3 Landau準位と量子化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.4 単電子トランジスタ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ii

概 要

AB効果を用いてバリスティック系における電子のデコヒーレンスのメカニズムの解明を目的とし、低磁場

領域で端子配置による AB振幅の温度依存性の違いを詳細に調べた。また高磁場領域では整数量子ホール状態

下でのエッジチャネルを用いた AB振動のメカニズムを調べた。

低磁場では通常の４端子測定でも非局所４端子測定でも、測定の駆動電流によって、最低温での AB振幅や

温度依存性が大きく異なることが明らかになった。十分低電流側では AB振幅は飽和し、このときの温度依存

性が exp(−aT )の形でフィットできることや、通常の４端子測定の方が非局所４端子測定よりも温度上昇に対

して速やかに減衰することが確かめられた。電流依存性や温度依存性から、AB振幅を弱める要因や端子配置

による温度依存性の違いを引き起こす要因について考察した。

高磁場では閉じたエッジチャネルを介して伝導するトンネル伝導度が磁場やゲート電圧に対して周期的な振

動を示し、この振動を単電子帯電効果によって離散化したエネルギー準位への共鳴トンネルによって説明した。

クーロンダイアモンドの観測により、単電子帯電効果の存在を確認し、さらに単電子帯電効果によって離散化

した場合の式で温度依存性をよくフィットすることができた。今回の測定では SETモデルが適用でき、振動

の消失は単電子帯電エネルギーとソースドレインバイアス、温度によるエネルギー幅の大小で決まるため、コ

ヒーレンスに関する議論はできないことを明らかにした。

第1章 研究の背景と目的

本研究の動機の形成上、背景となった重要な研究についてまとめる。量子デコヒーレンス問題について簡単に

触れ、最近標準的となりつつある環境自由度によるデコヒーレンスについての簡単な説明を試みる。これを背

景として、固体中でのデコヒーレンス問題、更にメゾスコピック系におけるデコヒーレンス、とりわけ、小林

らによる端子配置によるデコヒーレンスの違いの実験、その解釈を紹介し、本研究の動機・目的を述べる。

1.1 量子デコヒーレンス

この節では、量子デコヒーレンスのごく一般的な議論を簡単に行う。以降の節の議論とは直接関係ないが、

一般的知識として重要な背景であるため付録にはまわさずここに配した。

1.1.1 概念

量子力学の「確率解釈」は、ごく簡潔に次のように述べることができる [1]。

今、状態 |ψ〉があるとし、これについて演算子 Qで表される力学量Qがあるとする。この時、Qの、固有値

qを持つ固有状態を |q〉とすると、|ψ〉について Qの測定を行った時、測定値として qを得る確率は、|〈q|ψ〉|2で与えられる。

様々な実験を説明するためには、続いて「射影仮説」が必要となる。Qについての（完全な）測定を行い、

qという値を得たとすると、状態は |q〉に「収縮」する。すなわち、

|ψ〉 =∑

p

Ap|p〉 −→ |q〉 (1.1)

という変化が起こる。ここで、|p〉はQの固有状態の全集合であり、完全系をなす。矢印の左は係数 Apで|ψ〉を展開した状態を示している。この変化を量子力学の枠内にないものとして仮定してしまうのが正統的コペンハーゲン解釈（素朴な確率解

釈）である。これは、次のような考察が元になっている。

適当な表示を用いて、Schrodinger描像で考え、簡単のため、ψが c1,2 を係数として、２つの波動関数 ψ1,2

の線形結合で書けたとする。

ψ = c1ψ1 + c2ψ2 (1.2)

これを空間 1, 2において観測するとし、観測装置の状態を |O〉で表す。「観測」装置であるからには、状態1, 2に対応してマクロに区別可能な状態 |O1,2〉を考え、これと(1.2)との量子絡み合い（entangled, エンタン

グルド）状態

Ψ = c1ψ1O1 + c2ψ2O2 (1.3)

を作り出す必要がある。Oを調べて、1であれば ψ1、2であれば ψ2 が測定されたことになる。

しかし、これは問題を先送りしたに過ぎない。というのは、(1.3)は依然として２つの量子状態の重ねあわせ

であり、収縮、あるいは択一 (einselection)を全く説明していない。逆に Oはマクロな状態だから 2項のクロ

1

スタームから来る干渉を起こさない、と規定すると、ψについての干渉もなくなってしまい、量子力学効果が

観測できるという事実に反する。これを極端な形で示したのが Schrodingerの猫の逆説である。以上が、「収縮

は量子力学の枠外」と規定する議論の最も素朴なものである。

(1.1)の変化は最も典型的なデコヒーレンスの例になっている。(1.2)をやや具体的例に適用して、Youngの

２重スリットの実験を考え、1と 2を２つのスリットを通る経路に対応させる。干渉パターンを形成するスク

リーン上での観測の確率密度は

|ψ|2 = c21|ψ1|2 + c2

2|ψ2|2 + 2c1c2|ψ1||ψ2| cos θ (1.4)

となる。θは 1と 2の位相差である。(1.2)での位相は、すべて波動関数に負わせることにして、c1,2は非負実

数とした。２つの波動関数の位相差に対応した干渉項が第３項として現れているが、(1.1)の過程が生じると、

明らかに第３項は消失し、干渉がなくなる。一般に、このように量子力学的効果を表す非対角項が失われるこ

とを量子デコヒーレンスと呼ぶ。

1.1.2 量子情報エントロピー

「波束の収縮」の問題は非常に多くの議論があり、現在十分解決しているとは言い難いので、ここではこれ

以上立ち入らない。次に、なぜマクロな物体は量子力学的効果を示さないか、という「系の古典化」の問題を

考える。解のひとつは、もちろん、質量が大きすぎるから、というものであるが、メゾスコピックなサイズや、

あるいは、固体中の電子など、質量的には十分量子効果を示しても良いはずの系が、古典的にふるまうことが

多いことが実験的に明らかにされている。これについて、「環境との相互作用」という視点で考える。

最初から(1.3)のように置いてしまうのはやや素朴すぎるので、もう少し自由度を持たせてみる。Oを測定器

ではなく、無限大の自由度を持つ「環境」と考える。(1.3)から、非対角項は

2c1c2|ψ1||ψ2| cos θ〈O1|O2〉 (1.5)

である。ここで、前は、白か黒かの測定器であるから 〈O1|O2〉 = 0 としていたが、今度は環境であり、これら

が直交するとは限らない。逆に 〈O1|O2〉が 1になってコヒーレンスが完全に保たれるためには、

1.系と環境が実際には全く相互作用せず、系が孤立している、か

2. ψの時間発展の途中で相互作用によって O1と O2が変化したとしても、(1.5) を調べる測定をする時点で

は元に戻っている

ことが必要である。2.の場合、熱力学の可逆過程の用語を借用して、相互作用が断熱的であると称する。極端

な場合、エネルギーのやり取りがあるような、一方の系にとっては非弾性的な過程があるような場合でも、最

終的には断熱的であり得る。

熱力学・統計力学からは、用語ばかりでなく、本質的概念も借用する。すなわち、熱統計力学では断熱変化

であるかどうかはエントロピーの増加があるか否かで判断する。環境によるデコヒーレンスモデルでも、無限

自由度系であることから、熱統計力学とほぼ平行に様々な概念を考えることができる [1]。

断熱性に関する概念として、量子情報に関するエントロピー（von Neumann enthropy)を考える。そのため

には、まず、Schrodinger方程式で記述される状態 |ψ〉に対して密度演算子

ρ = |ψ〉〈ψ| =∑

l,m

clc∗m|l〉〈m| (1.6)

を定義する。ここで、|l〉や |m〉は適当なオブザーバブルの固有関数系で、また cl などは、

|ψ〉 =∑

l

cl|l〉 (1.7)

2

と展開したときの展開係数である。ρは |ψ〉と同じ情報を持っているので、Schrodinger形式の量子力学は、ρ

を用いて表現することができる。例えば、オブザーバブル F の期待値は

〈F 〉 = Tr(F ρ)/Trρ (1.8)

と与えることができる。Schrodinger方程式に相当するのは、von Neumann方程式

i~∂ρ

∂t= [H, ρ] (1.9)

である。

この密度行列形式の量子力学において、(1.6)で和をとる際にすべての可能な (l, m)ではなく、部分和をと

ることも許せば、この形式は Hilbert空間中のベクトル（純粋状態）を状態として扱う形式よりも広く、デコ

ヒーレンスを起こして干渉性を失った状態（混合状態）も記述することができる。例えば、非対角項を完全に

落とした

ρmix =∑

l

|cl|2|l〉〈l| (1.10)

を考えると、この状態では異なる lを持つ状態間の干渉が起こらない。

この形式ではデコヒーレンスは、可干渉性のある純粋状態から混合状態への遷移と捉えることができる。そ

こで、

Si = −Tr(ρ log ρ) (1.11)

で情報エントロピーを定義する。純粋状態に対しては、ρが自己共役条件 ρ2 = ρを満たすことから、Si = 0と

なることがわかる。その他の状態に対しては、Si > 0であり、Siが「混合の度合い」を表している、というこ

とができる。

1.1.3 環境によるデコヒーレンスモデル

大自由度を持つ「環境」の簡単なモデル [2]を考え、実際に「系（システム）」のデコヒーレンスが生じるこ

とを確認する。

ハミルトニアンをシステム、環境、この２者の相互作用に分けて

Htot = Hs + He + Hint (1.12)

とする。問題となるシステムの波動関数 ψs、その属する Hilbert空間を As、その初期状態を |−〉とする。ここで、|±〉は、

|±〉 =1√2(|0〉 ± |1〉) (1.13)

で、|0〉と |1〉がトンネルによって分裂した２つの準位だとして、それぞれの井戸に偏った状態を表す。全システムの波動関数を Ψとすると、

i~d

dtΨ = HtotΨ (1.14)

Ψ(0) = |−〉 ⊗ |χ〉 (1.15)

である。ここで、|χ〉は環境の波動関数の初期状態である。形式解は、

Ψ(t) = exp

(−i

Htott

~

)Ψ(0) (1.16)

3

と書ける。ここで、Asの基底を |n〉とおき、これで、Ψを展開する型に書く。ただし、Ψの属する空間はAs

より広いので、線形結合では書けず、係数は定数にはならない。Hsによる位相因子以外をAeに属するHilbert

空間のベクトル |χn(t)〉に負わせると、

|Ψ(t)〉 =∞∑

n=0

exp(−iEnt/~)|n〉|χn(t)〉 (1.17)

と展開した形に書ける。これは、|n〉と Aeの基底にとって見れば、エンタングルド状態であり、相互作用を

含む時間発展によって単純な直積ではかけなくなったことを意味する。

Es =∞∑

n=0

En|χn|2 (1.18)

(1.17)について、n = 0, 1のみ分けて考え、これを擬似的に２準位系と捉えてみる。仮にこの２準位以外に

何もなかったとすれば、|−〉、ないし |+〉に初期状態をおけば、コヒーレンス振動が期待できる。「環境」の影響で、励起エネルギーは次第に環境に散逸し、基底状態 |0〉に落ち込むと考えられる。その特徴的時間スケールをエネルギー緩和時間 T1とする。これに対して、環境によって、それぞれの Feynman経路の位相がすこし

ずつ乱れ、干渉して打ち消しあってしまうためにコヒーレンス振動が弱まる位相擾乱効果も考えられる。

|Ψ(t)〉 = e−i(E0+E1)t/2h |+〉|χ+(t)〉+ |−〉|χ−(t)〉+∞∑

n=2

e−iEnt/h|n〉|χn(t)〉 (1.19)

ただし、

|χ±(t)〉 =1√2

eit∆/2~|χ0(t)〉 ± e−it∆/2~|χ1(t)〉

(1.20)

である。いま、|n〉が実現する確率を

Pn(t) = |χn(t)|2 (1.21)

と置き、χn(t)を規格化して

|xn(t)〉 ≡ |χn(t)〉/Pn(t) (1.22)

としておく。このとき、

P± = |χ±(t)|2 =12[P0(t) + P1(t)± I(t)] (1.23)

である。ただし、

I(t) = Re[−2e−it∆/~〈χ0(t)|χ1(t)〉

](1.24)

が干渉項である。これは時間発展と共に χ0 と χ1 の位相がずれることで減少する。これより、規格化した

〈x0(t)|x1〉を位相擾乱因子と呼ぶ。位相擾乱因子の一般的な形として、指数的な減少と振動があるであろうと考えると、緩和時間 T ∗2 を導入して

−〈x0(t)|x1(t)〉 ∝ exp−

(1

T ∗2+ i

∆∗

~

)t + iθ0

(1.25)

となる。これより、t ¿ T1 では T ∗2 で、t À T1 では

T2 =(

12T1

+1

T ∗2

)−1

(1.26)

で緩和する。

4

1.1.4 簡単な環境のモデル例

次に、このようなエネルギー散逸を伴うような環境の例として Bose粒子集団

He =∑α

~ωαb†αbα, [bα, b†β ] = δαβ , |α〉 = b†α|vac〉 (1.27)

を考える [2]。相互作用Hamiltonianとしては、系の励起に伴い、Bosonが１個生成消滅するという簡単なもの

とする。

Hint = i~∑α

κα(S−b†α − S+bα) (1.28)

ただし、スピン演算子に習って

S− = S1 − iS2 = −i|0〉〈1|, S+ = S†− (1.29)

である。|0〉等は、As を張る |n〉の要素である。さて、全系の状態の基底 |n〉|α〉を |n, α〉と表す。全粒子数（マクロ系の単位励起を粒子１個と勘定する）1

の状態の基底は |1, vac〉と |0, α〉である。したがって初期状態を |1, vac〉に取ると、時刻 tでの状態は

c(t)|1, vac〉+∑α

cα(t)|0, α〉 (1.30)

と書ける。Schrodinger方程式より

c(t) = −i

(c(t)∆/~+

∑α

cα(t)κα

)

cα(t) = −i(cα(t)ωα + c(t)κα)

(1.31)

これは、線形の微分方程式なので、次のように解ける。

Lc(s) =

(s + i∆/~+

∑α

κ2α

s + iωα

)−1

(1.32)

ただし、Lは、Laplace変換

Lf(s) =∫ ∞

0

dte−stf(t) (1.33)

である。１粒子の状態密度に相互作用の重みをつけたもの

JB(ω) =∑α

κ2αδ(ω − ωα) (1.34)

を導入すると、

Lc(s) =(

s + i∆/~+∫ ∞

0

dωJB(ω)s + iω

)−1

(1.35)

このモデルを使って次の初期状態を考える。

Ψ(0) = |−, vac〉 (1.36)

5

時間発展は次のようになる。

|χ0(t)〉 =1√2

|vac〉 −

∑α

cα(t)|α〉

(1.37)

|χ1(t)〉 = − 1√2eit∆/~c(t)|vac〉 (1.38)

P1(t) =12|c(t)|2 (1.39)

P0(t) =12

(1 +

∑α

|cα(t)|2)

= 1− P1(t) (1.40)

−〈x0(t)|x1(t)〉 =eit∆/~c(t)

2√

P0(t)P1(t)=

eit∆/~√

2− |c(t)|2 (1.41)

t →∞では、(1.35)より、c(t)はゼロに漸近するから、位相擾乱因子の絶対値は 1/√

2 になる。すなわち、単

純にエネルギー散逸によってコヒーレンスが失われる効果以外に、位相の乱れによって、1/√

2だけ干渉項が

縮む。

1.2 メゾスコピック系でのデコヒーレンス研究

1.2.1 固体中電子の量子デコヒーレンス

以上見てきたように、量子デコヒーレンスは、量子情報が少自由度系から大自由度系へ拡散していく過程と

みることができる。固体中の電子はフォノンや自由電子など多くの自由度に取り囲まれているため、これらと

の結合を通してデコヒーレンスが生じる。十分低温では、これらの結合は、散乱という形で捉えることができ、

平均散乱時間で特徴付けることができる。また、平均散乱時間の間に電子が移動する平均距離として散乱長で

特徴付けることもできる。

これらの散乱以外に重要なものが、温度の効果である。通常、固体中電子のコヒーレンスを問題にする場合、

電子を Fermi面付近に注入し、その時間発展を調べる。線形領域での電気伝導は Fermi面においてのみ起こ

り、これは、電子波の単色性の点では大変有利なことである。しかし、当然ながら、Fermi面は温度分の「ぼ

け」を持っているので、注入電子波束もそれだけのぼけを持ってしまう。この温度効果によるデコヒーレンス

（というよりディフェージング）も、電子位相が 2π以上分散する距離として特徴的長さを定義できる。拡散的

伝導の場合、これは、熱拡散長と呼ばれ、拡散係数をDとして、√

hD/kBT で与えられる。バリスティック伝

導の場合は、Fermi速度を vF として、hvF/kBT で与えられ、単に熱長と呼ばれる [3]。

以上、様々な長さが現れたが、最終的に、電子が量子力学的伝播を始めてからデコヒーレンスを起こすまで

の平均の距離を、lφ とし、Matthiessen則が成立するとすると、

1lφ

=∑

i

1li

(1.42)

と書ける。li は様々なデコヒーレンス要因に規定される長さであり、lφ を位相緩和長と呼ぶ

位相緩和長を実験から求める有力な手段のひとつが、Anderson弱局在に基づく磁気抵抗を調べることであ

る。Anderson弱局在効果は、時間反転対称性が成立する系で、同じ空間ループを逆行する Feynman経路の干

渉が必ず正符号を持つことから局在が強められる効果である。磁場は時間反転対称性を破ることから、局在が

弱められ負の磁気抵抗効果が現れる。この時、局在に関与する空間ループの条件として、ループ長 lp が lφ よ

りも短くなければならないから、負の磁気抵抗を調べることで lφ を求めることができる。

絶対零度で、基底状態を対角化された表示で見ている限りでは、散乱が消失するはずで、実際多くの散乱時

間を導く理論モデルでは、絶対零度で散乱時間は無限大に発散する。ところが、Mohantyらは絶対零度におい

6

てもデコヒーレンスが存在すると主張した [4]。彼らの議論は、主に実験結果の解析に基づくもので、後で述べ

る ABリングや量子細線などのメゾスコピック実験、また、上記 Anderson弱局在実験などで得られた lφのす

べてが、絶対零度に向かって発散しておらず、飽和する傾向があるとした 。彼らはその理論的モデルとして、

絶対零度でも電磁場環境の零点振動によってデコヒーレンスが起こるというものを考えた。

このモデルは誤っていたが、デコヒーレンスに関する議論を呼び起こした。現在も議論はつづいているが、

結局弱局在研究の時に問題となったスピン散乱の効果を排除することは難しいという議論が今のところ優勢で

ある [5]。

1.2.2 AB効果を用いたデコヒーレンス研究

Youngの二重スリットの干渉実験は典型的量子力学的干渉効果を示すものである。Aharonov-Bohm(AB)効

果は、ベクトルポテンシャルを通して干渉の位相差を変化させるもので、これを用いて干渉効果の振幅を調べ

ることができることから、デコヒーレンスの定量的測定に適している。AB効果の詳細については、付録 A.1

にまとめた。

拡散的な系ではデコヒーレンスに関して ABリングを用いて詳しく調べられてきた。一方、バリスティック

系ではABリングに量子ドットを埋め込んだ系で実験 [6, 7]が行われ、AB振動の観測によってドットを通過し

た電子のコヒーレンスや AB位相を調べる実験が行われてきた。さらに、ABリングの存在そのものが伝導の

様子を大きくかえる Fano効果が観測され、系のコヒーレンスはますます注目を集めている [8]。しかしながら、

拡散領域における系でのデコヒーレンスのメカニズムに比べ、バリスティック系でのデコヒーレンスのメカニ

ズムについては実験そのものが少なく、現在のところよくわかっていない。以下、本研究の動機付けになった

最近のバリスティック系での AB効果を用いたデコヒーレンス研究について述べる。

Hansenらはリングを多数回囲む軌道のAB振幅を比較してデコヒーレンスについて議論した [9]。リングの直

図 1.1: (a)各成分ごとのAB振幅の温度変化と (b)温度による平均化のみを考慮して数値計算した温度依存性。。

径が 1 µm程度のリングを測定し、AB振幅の温度依存の様子を詳細に調べた。図 1.1(a)はAB振動の h/e(n=1)

から、h/6e(n=6)までの高調波成分の振幅の温度依存を示したものである。各成分はいずれも anexp(−bnT )

という指数関数型の温度依存性を示す。

数値計算によって有限温度の温度による平均化の効果を計算すると図 1.1(b)が得られた。n=2,4,6の偶数高

調波成分については、温度平均化による減衰の効果は小さい。このことは、奇数の高調波成分には時間反転対

称な経路からの寄与が含まれており、これらの経路には温度平均化が効かないことを反映したものである。

ここで、図 1.1(b)で求められた温度平均化の効果を図 1.1(a)から差し引くと、bn = n × 0.3(1/T )となる。

7

これよりデコヒーレンスによる AB振幅の減少が、位相緩和長を lφ、リングの周の長さを Lとしたときに、

h

ne成分の振幅 ∝ exp

(− nL

lφ(T )

)(1.43)

と仮定すると、測定結果の温度依存性と合わせて、

lφ(T ) ∝ T−1 (1.44)

という温度依存性を持つことが示唆された。

更に重要な実験として、小林らの実験 [10]において端子の配置によって AB振幅の温度依存性に差が生じる

ことが報告された。

3

4

5

6

7

8

90.01

2

3

4

5

6

7

8

90.1

δT

1/T

1

8006004002000

Temperature (mK)

Nonlocal#1 #2

Local#1 #2

0.01

0.1

400020000

Nonlocal#1

4

2

0

R1

2,4

3(Ω

)

-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Magnetic Field (T)

800 mK600400200100 40

Nonlocal

1.6

1.5

1.4

1.3

R1

4,2

3 (

kΩ

)

800 mK600400200100 40

Local(a)

(b)

(c)

図 1.2: (a)通常の４端子測定と (b)非局所４端子測定での AB振動の温度変化の様子。(c)AB振幅の温度依存性。

図 1.3: バリステック系での４端子測定におけるセットアップ。

図 1.3のような端子配置で、通常の４端子測定によって得た抵抗値 R14,23(= V23I14

)と非局所４端子測定によっ

て得た抵抗値 R12,34(= V34I12

)の AB振動の振幅の温度依存性を測定したところ、図 1.2(c)のように、それぞれ

exp(−aT )の形でよくフィットできるが、非局所測定の方が通常の４端子測定に比べて、その傾きが緩やかであ

ることが報告された。このことから測定端子の取り方がコヒーレンスに大きな影響を及ぼすことが示唆された。

Seeligらは次のようなモデルに基づいて、この実験結果を説明した [11]。図 1.3のような端子配置を考え、

AB振動はMach-Zehnder型の干渉によって担われているとし、リングは１チャンネルから成り、近くのゲー

トとのキャパシタンスを通してカップルすると仮定する。彼らのモデルでは、静電的な結合を通してゲート等

の電圧揺らぎに対して量子情報が拡散しデコヒーレンスを生じる。電流端子における電圧揺らぎを 0、電圧端

子における電流揺らぎを 0という波動関数の境界条件を与えると、AB振幅の通常の４端子測定と非局所４端

子測定の温度依存性は、出入り口での散乱のされかたや、リングの腕の透過率の違いによって差が生じること

が示された。これは伝播する電子から見たときの端子のインピーダンスが端子の取り方により大きく変化し、

電圧揺らぎに差が発生するためである。

8

1.3 本研究の目的 (1)

量子デコヒーレンスのメカニズムを理解することは、量子的描像と古典的描像とを結びつける重要なテーマ

である。以上述べてきたように、バリスティック系でのデコヒーレンス機構はまだ十分解明されていない。と

りわけ、小林らの実験に現れた端子配置によるデコヒーレンスの違いは、バリスティック系に特有のものと考

えられ、Seeligらの機構が真実に近いものであるかどうかも非常に興味が持たれる。

以上から本研究の第１のテーマは、「AB効果を用いてバリスティック系での電子のデコヒーレンスのメカニ

ズムについて調べること」で、特に電圧揺らぎに起因するデコヒーレンス機構について小林らの実験より更に

知見を深めることを目的とする。具体的には、

1.端子配置による AB振幅の温度変化の違いを詳細に測定する

2.コヒーレンスの測定のための駆動電流依存性を詳細に測定する

1.4 エッジチャネル伝導におけるAB的振動

高磁場下の２次元電子系においては、エッジ状態が出現し、エッジ状態を通して伝導が生じているとみなす

ことが可能になる。これについては、付録 A.3にまとめた。高磁場でのエッジチャネルを用いた AB振動は、

同じ大きさのＡＢリングで測定される低磁場でのＡＢ振動と比べて、温度に対して極めて速やかに減少するこ

とが、量子ドットや、アンチドット、Mach-Zehnder干渉計の実験で知られている。

図 1.4: 斜線部分が金属ゲートで A,Bはそれぞれ QPCを構成し、かつ 2次元電子系を円状に切り出している。図 1.5: いくつかのエッジチャネル状態で得られた AB

振動。

図 1.4に高磁場下の量子ドットで行われた実験 [12]の伝導の概念図を示す。図 (a)のように端子をホール配

置にとると、整数量子ホール効果によってホール伝導度は量子化する。しかし図 (b)で示すように金属ゲート

A,Bに電圧を印加して量子ポイントコンタクト (QPC)の部分で、例えば２番目のエッジチャネルを反射する

と、中央部に形成された２番目のエッジチャネルは孤立し、この状態に共鳴的にトンネルが起こると、量子化

値からずれた伝導度になる。

9

図 1.5は図 1.4(b)の領域で磁場を掃引したときに観測された AB振動である。振動が非常に大きいが、この

振動は温度が 200 mK程度、またソースドレインバイアス電圧が 40 µV程度で消失してしまうと報告された。

ε

µ

(a)

(b)

図 1.6: (a)アンチドットでのエッジチャネルによる　伝導の概念図。アンチドットの半径は 300 nm程度。　(b)そのときのポテンシャル形状の概念図

図 1.7: トンネル伝導度がバックゲート (下)と磁場 (上)に対して振動する様子。

図 1.6にエッジチャネルを利用しアンチドットで行われた実験 [13]のセットアップを示す。ゲート電圧によっ

てドット状に空乏化した領域であるアンチドットを形成する。さらに図 1.6(a)のようにアンチドットを２つの

ゲート電極で挟み、磁場を印加して、整数量子ホール状態にすると、図のようにエッジチャネルが形成されア

ンチドットに磁気的に束縛されたチャネルが生じる。図 1.6(b)はアンチドット付近のポテンシャルの様子を書

いたもので、エネルギー準位が揃うと、左側のエッジチャネルから、中央のアンチドットのチャネル、そして

右側のエッジチャネルへと共鳴トンネルが起こる。

図 1.7は,バックゲートや磁場の掃引に対して、トンネルコンダクタンスが振動する様子を示したものであ

る。このときバックゲートとアンチドットの周りのエッジチャネルを円盤のコンデンサーとみなして、

q =εε0dBG

S∆VBG (1.45)

で書けるとし、また AB振動の条件から

∆BS = Φ0 (1.46)

であるので、面積 Sを量子磁束１個分貫く際に、アンチドットに流れ込む準粒子の数を考慮して、電荷を求め

ると q=0.98e となり、電子の電荷量とかなりよい一致を示した。

トンネル伝導度の振動は温度 150 mK程度、ソースドレインバイアス電圧が 30 µV程度で消失してしまうと

報告された。

その後アンチドットでクーロンダイアモンドの観測がなされ、アンチドットにおける単電子帯電エネルギー

が 50 µV～150 µV程度と求められた [14]。このバックゲートの掃引に対する振動から、Fermi面における離散

化した準位が形成され、その準位への共鳴トンネルがおきており、アンチドットの周りのエッジに束縛されて

いる電子数が変わるときに、振動が生じることが明らかになった。

Mach-Zehnder干渉計 [15]の実験では、これまでのような共鳴トンネルではないが、エッジチャネルを利用

した AB振動が観測されており、AB振幅が全抵抗の 60パーセント程度になるほど干渉性がよいにも関わら

ず、温度 100 mK程度、ソースドレインバイアス電圧 40 µV程度で消失してしまうことが報告された。

10

1.5 本研究の目的 (2)

エッジチャネルでは後方散乱が抑制され、コヒーレンス長が長いと考えられており、それぞれの系で、この

ような大きな温度依存性を示すメカニズムについては、現在のところ統一見解がない。特にアンチドットでは、

共鳴トンネルによって理解されているが、トンネルを担うエネルギー準位が、主に単電子帯電効果によって離

散化したものか、閉じ込めによる一電子状態の離散化によるものであるか活発に議論されている。

そこで今回の実験の第２の目的は、エッジチャネルを用いた AB振動の温度依存性のメカニズムを明らかに

することである。具体的実験方法については 4章で述べるが、ゲート電極を用いて適当な形状に試料を整形す

ることで、AB振動の本質を見極めやすい状態での実験を行うことを目指す。

11

第2章 試料作成と測定手法

この章では試料の作成方法と実験方法について述べる。

2.1 試料の作成

試料はGaAs/AlGaAsヘテロ界面に形成される 2次元電子系を微細加工して作成した。使用した 2次元電子

基板の 4.2 Kでの特性は、電子濃度 ns = 3.8× 1015 m−2 、移動度 µ = 90 m2/Vsで、平均自由行程は約 9 µm

である。また 2次元電子は基板表面から約 60 nmの深さにある。本研究で作成した試料は次の 3つの工程で作

成され、ABリングや量子ドットなどの微細構造の形成には全て電子線リソグラフィー (EB)を用いた。

1. 2次元電子系とのオーミック電極

まず 2次元電子基板を洗浄してからレジストをスピンコーターで塗布、プリベークでレジストを乾燥、

密着させてから 2次元電子との電極をとる部分を EBで描画する。この段階で後から重ね描画で使用する

マーカーも描いておく。描画パターンを現像し、AuGe合金 (Ge ∼ 5 %)をスパッタ蒸着したのち余計な

部分をリフトオフによって取り除く。窒素雰囲気中で 430 程度に加熱して AuGeをGaAs中に拡散させ

てオーミック電極を取る。

2. ABリングの形成

EB描画でレジストに ABリングを描画、現像し、ウェットエッチングでリング構造を基板に形成する。

3.ゲート電極の作成

感度の異なる 2種類のレジストを使用してゲートパターンを EB描画、現像する。その後、e-gun加熱

による Tiのアンダーコートと抵抗加熱による Auの膜を真空蒸着によって作成した。

この順序で作製すると、もともとの基板表面と、エッチングした面とで高低差ができ、ゲート電極に段切れ

が起こりそうであるが、斜め蒸着や、蒸着する厚さを調整することにより、段切れは抑えることができた。

以上の工程によって試料 (図 2.1と図 2.2)を作成した。

12

1µm

図 2.1: 低磁場の AB振動の測定に用いた試料。

1µm

図 2.2: 高磁場の AB振動の測定に用いた試料。

2.2 測定手法

2.2.1 測定装置

実験は全て希釈冷凍機を用いており、試料は混合器内に設置されて 3He-4He混合液に直接冷却する方式と、

銅板を介して熱伝導で冷却する方式とを用いた。最低到達温度はいずれも約 30 mKであり、ヒーターとのバ

ランスを取ることで 700 mK程度まで安定して温度調整が行える。

磁場の印加には超伝導マグネットを利用した。このマグネットは最大で 7 Tまでの磁場がかけられ、必要な

ときにはヒートスイッチを切って電源から切り離すことができる。

2.2.2 測定系

測定は全て電磁シールド内で行った。シールド内にはアナログ機器のみを設置し、測定シグナルは貫通フィ

ルターを通してシールド外のデジタル計測器に入力して、そこからコンピュータに取り込んだ。

測定はロックイン測定 (80 Hz)を行い、試料には定電流をかけ、シグナルをプリアンプを通してからロック

インアンプに戻して測定した。ゲート電圧の印加には市販の電源を用いており、全ての電極が独立に制御でき

るようになっている。

sample

differentialamplifier

lock-in ampsynchronize

digital multi-meter

R

図 2.3: 定電流回路の模式図。抵抗 Rを試料抵抗より十分大きくとる。

13

第3章 低磁場下のＡＢ振動

3.1 実験に用いた端子配置

測定に用いた ABリングは図 2.1のような形状で 4本の測定端子がある。このうち 2つを電流端子、残る 2

つを電圧端子とするときに端子の独立な選び方は 4C2 = 6通りあり、この実験では次の 2種類を使用した。

• 通常の 4端子測定 R14,23(電流：1-4、電圧：2-3) 図 3.1(a)

試料に電流を流しておいてその電圧降下を試料をまたいで測定する方法。以降、この測定法を「通常４

端子測定」あるいは、「局所測定」と呼ぶ。

• 非局所 4端子測定 (非局所測定)R12,34(電流：1-2、電圧：4-3) 図 3.1(b)

この測定方法は、バリスティック系の研究で用いられていた「曲がり抵抗 (図 3.1(c))」や「伝達抵抗 (図

3.1(d))」と呼ばれる抵抗の測定方法に似たもので、一般的に非局所測定と呼ばれている。古典的な一様

な電流が流れている状態では発生電圧は極めて小さいはずであるが、メゾスコピックサイズでは２つの

効果によってこの見積もりよりも大きな電圧が発生する。ひとつは、電子が液体としてではなく運動量

を持った粒子として運動する、バリスティック効果であり、もうひとつは、系がコヒーレンスを保ち、伝

導電子の波動関数がリング全体に広がっていることによる、量子的非局所効果である。以降、この測定

法を「非局所４端子測定」あるいは「非局所測定」と呼ぶ。

V V

I I

V

V

(a) (b)

(c) (d)

II1

2 3

4 1

2 3

4

図 3.1: (a)通常の 4端子抵抗 R14,23と (b)非局所 4端子抵抗 R12,43を測定する端子配置のとり方。4本の端子に図のように番号をふる。非局所抵抗には他にも (c)曲がり抵抗、(d)伝達抵抗などがある。

14

Spe

ctru

m In

tens

ity (a

.u.)

6004002000Inverse Magnetic Field (1/T)

0

R12,34(non-local)R14,23(local)

(c)

20

0

-20

R12

,34

(Ω)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10Magnetic Field (T)

-20-10010 ∆R

(Ω)

(b)

1.2

1.1

1.0

R14

,23

(kΩ

)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10Magnetic Field (T)

-0.04-0.020.000.020.04 ∆R

(kΩ)

(a)

図 3.2: (a)上側のグラフは通常の４端子測定で見られる典型的なＡＢ振動。下側はＡＢ成分のみを FFTによって取り出したもの。(b)非局所４端子測定で得られた AB振動と AB成分。(c)それぞれのパワースペクトル。

まず最低温 70 mKで得られた典型的なAB振動の様子を図 3.2に示す。どちらの測定でも図 3.2(c)に矢印で

示した範囲の 220 (1/T)から 300 (1/T)にピークを持っており、これは磁場の振動周期では∆B =3.9±0.6 mT

と表せる。一方サンプルの SEM写真図 2.1から幾何的に周期を予想すると、磁束を囲む軌道を、縦の長さが

0.8 µm、横の長さが 1.4 µmの長方形で近似すると、磁場の周期は 3.7 mT程度となり、かなり近い値を見積

もることができる。ゆえにこのピークは AB振動に対応していると考えられる。

AB振動の振幅の割合としては、通常の４端子で、10 パーセント程度であるのに対して、非局所４端子では

抵抗は正負の両方の値をとり、さらに 20 mT付近のように抵抗の平均は 0であるところに AB振動成分が加

わって、ほとんど 100 パーセントちかく AB振動成分のみを観測していると見なせる領域もある。これは、波

動関数がリング全体にわたって広がってはじめて非局所抵抗は生じるため、見かけ上、磁気抵抗成分の割合が

大きくなるためである。

様々な問題を簡単化するためには、単一の１次元的なサブバンドでリングが形成されていることが望ましい

が、実験上はこれは非常に困難である。実際には、AB振動が観測される伝導度の領域では不可避的にいくつ

かのサブバンドを介した多チャネル伝導になっていることがほとんどである。本実験においても FFTピーク

にはかなりの幅があり、これは伝導度からも多チャネルの効果と考えられる。多チャネル効果は、磁場による

AB振動を調べる上では、振動の振幅変調として現れる。これは、測定を広い磁場領域で行い、平均化（実際

には FFTピーク面積を調べる）することで解消することができる。AAS振動や、リングを多数回囲む軌道に

対応する高周波成分は今回の測定では非常に小さかったため以下では議論に用いない。

15

-10

-5

0

5

R (

Ω)

0.080.060.040.020.00

Magnetic Field (T)

-0.08-0.06-0.04-0.020.00

R34,12

R12,34

(b)

1.2

1.1

1.0

R (k

Ω)

0.100.080.060.040.020.00

Magnetic Field (T)

-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.00

R23,14

R14,23

(a)

図 3.3: (a)通常の４端子測定での磁気抵抗（赤線）。電流電圧端子を入れ替えて測定したものを、青線で磁場軸（横軸）を反転させて示した。Onsagarの相反定理により、ほぼ重なったプロットが得られている。(b)非局所４端子測定で同様な測定をしてプロットしたもの。

測定結果がOnsagarの相反定理に従っているかどうかは、実験上何らかの系統誤差が発生していないかどう

かのチェックになる。次に図 3.3に式 (A.19)で示す関係式を実験的に確認したものを示す。通常の４端子測定、

非局所４端子測定ともほぼ重なっていることから Onsagar関係式に従っていることが確認できた。

3.2 実験結果

3.2.1 AB振幅の測定電流依存性

低温での量子コヒーレンスを伝導によって測定する際に常に実験的な問題となるのが、測定のための励起の

程度である。Joule熱による試料の温度上昇を始め、様々な効果が考えられ、それらの多くは理論的に考察さ

れていない。ここでは、励起効果を無視できるほど十分に低励起である条件を求めるために行った実験、また、

励起の引き起こすデコヒーレンス効果を調べるために行った実験の結果について述べる。

最低温での結果

まず、最低温度 70 mKにおける、AB振動の測定電流依存性を示す。測定は全て定電流測定を用いている。

図 3.4と図 3.5では通常の４端子測定と非局所４端子測定での AB振動の様子と、FFTによって得られたスペ

クトル強度を表示したものを、異なる駆動電流に対してプロットした。前節で多チャネルの効果について述べ

たように、リングのコヒーレンスを定量的に議論するために、スペクトル強度を AB振動に対応する範囲で積

分したAB振幅について見ていくことにする。図 3.6には通常の４端子測定と非局所４端子測定で得られたAB

振幅を、駆動電流に対してプロットした。電流を小さくするほど、AB振幅が大きくなり、十分に電流が小さ

い領域 (∼2 nA以下)では AB振幅は飽和して、ある極限値に近づく傾向があり、逆に電流を大きくしていく

16

Spe

ctru

m In

tens

ity (a

.u.)

6004002000Inverse Magnetic Field (1/T)

0

1.6

1.4

1.2

1.0

R (k

Ω)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10Magnetic Field (T)

1nA5nA15nA30nA50nA100nA200nA

図 3.4: R14,23(局所測定)のAB振動の電流依存性。測定された抵抗の振動の様子とスペクトル強度をプロットしたもの。200 nAのデータに対してオフセットをつけて表示してある。矢印で示した範囲を積分してＡＢ振幅とした。

Spe

ctru

m In

ensi

ty (a

.u.)

6004002000Inverse Magnetic Field (1/T)

0

150

100

50

0

R (Ω

)

0.100.050.00-0.05-0.10Magnetic Field (T)

1nA5nA10nA20nA50nA100nA200nA

図 3.5: R12,34(非局所測定)の AB振動の電流依存性。測定された抵抗の振動の様子とスペクトル強度をプロットしたもの。200 nAのデータに対してオフセットをつけて表示してある。矢印で示した範囲を積分してＡＢ振幅とした。

17

Osc

illat

ion

Am

plitu

de (a

.u.)

4 5 6 7 81

2 3 4 5 6 7 810

2 3 4 5 6 7 8100

2 3

Current (nA)

0

∆R14,23(local)∆R12,34(non-local)

図 3.6: 70 mKにおける AB振幅の電流依存性。矢印で示した箇所より高電流側では自己発熱が問題になる。

とAB振幅は小さくなり、やがて消失する傾向にある。これは通常の４端子測定での Yacoby[16]らの報告とコ

ンシステントな結果である。図 3.6に示すように、非局所４端子でも同様の電流依存性があることがわかった。

以上の実験結果から、まず、駆動電流 2nA以下では振動振幅がほぼ飽和傾向にあることから、この領域では

伝導はほぼ Ohmicで、有限電流値の影響を無視できると考えられる。一方駆動電流をこれより増やしたとき

に生ずる有限電流（有限バイアス）の効果は、後節でまとめて議論するが、ここで、どちらかと言えば系統誤

差に属する、ジュール熱によって試料温度が上昇する自己発熱の効果について大まかに見積もっておく。自己

発熱効果は、低温での試料や冷却装置の熱伝導度、界面での Kapitza熱抵抗など複雑な要素が絡んでおり、正

確な見積りは一般に困難である。ここでは、代表的な Ohmic抵抗である抵抗温度計の自己発熱効果を指針と

する。最低温 70 mK付近での温度計の抵抗値は ∼20 kΩであり、電圧 30 µVで測定しているが、このとき発

生するパワーは ∼50 fWである。この時温度計は Ohmicであり、自己発熱による温度上昇は観測されないの

で、この測定パワーが一応の目安となる。

測定試料の抵抗値は、通常の４端子測定の場合には ∼1 kΩであるから、10 nA以上で、∼100 fW以上にな

る。非局所４端子測定の場合には、どの抵抗値を用いるとよいかは問題であるが、仮に、非局所４端子測定で

得られた抵抗値 ∼5 Ωを用いると 140 nA以上で、∼100 fW以上になる。これらの電流を図 3.6に目安として

示した。したがって、これらの電流値以上の領域では、最低温での測定において Joule熱による試料の温度上

昇が問題になる可能性がある。また、試料本体ばかりでなく、コンタクト抵抗 ∼5 kΩでの Joule発熱も問題に

なる場合がある。ただ、本実験の条件ではコンタクトと試料との距離が離れているため、リング試料自体での

自己発熱が効かないくらいに小さい電流領域では、コンタクトでの発熱の効果も小さいと考えられる。

AB振幅の電流依存性の温度変化

次に測定温度をかえて、AB振幅の電流依存を測定した結果を図 3.7に示す。図 3.7(a)、(b)をみると、通常

の測定、非局所測定で電流依存性そのものはかなり異なってはいるが、いずれも全ての温度において、駆動電

流が十分小さい領域で AB振幅は飽和し、駆動電流を増やすにつれて AB振幅は減少する傾向がある。

AB振幅が低電流域で飽和した値に着目すると、温度上昇に従って AB振幅の飽和値は減少している。この

18

60

40

20

0Sou

rce

Dra

in b

ias

Vol

tage

(µV

)

6004002000Temperature (mK)

(d)

local

60

40

20

0

Cur

rent

(nA

)

6004002000Temperature (mK)

(c)

localnon-local

Osc

illat

ion

Am

plitu

de (a

.u.)

2 3 4 5 610

2 3 4 5 6100

2

Current (nA)

R (non-local)12,34

0

70mK100mK200mK300mK400mK500mK600mK

(b)

Osc

illat

ion

Am

plitu

de (a

.u.)

4 6 81

2 4 6 810

2 4 6 8100

2

Current (nA)

R (local)14,23

0

70mK100mK200mK300mK400mK500mK600mK

(a)

図 3.7: (a)通常の４端子測定と、(b)非局所４端子測定において得られた異なる温度での AB振幅の電流依存性。(c)(a)、(b)に黒の点線で書いてあるように、低電流側で飽和した AB振幅の値を、最低温のデータの電流値と対応づけて、測定温度に対してプロットしたもの。(d)通常の４端子測定の場合に、駆動電流と抵抗値の積をソース・ドレインバイアス電圧として、(c)のグラフを変換したもの。点線は eV = kBT。

19

Spe

ctru

m In

tens

ity (a

.u.)

6004002000Inverse Magnetic Field (1/T)

0

1.6

1.4

1.2

1.0

R (k

Ω)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10Magnetic Field (T)

100mK200mK300mK400mK500mK600mK700mK

図 3.8: R14,23(局所測定)のAB振動の温度依存性。測定された抵抗の振動の様子とスペクトル強度をプロットしたもの。700 mKのデータに対してオフセットをつけて表示してある。データは測定の駆動電流が 2 nAのときのものである。

領域は、十分駆動電流が小さいため、AB振幅の減少は温度によって決まっていると考えられる。逆に、最低

温 70 mKでの 10 nA以上でのデータは、駆動電流による AB振幅の減少が大きい。そこで、図 3.7(a),(b)中

の点線で示したように、まず各温度に対して低電流で飽和した AB振幅の値を対応させ、70 mKでこれと同じ

AB振幅を与える駆動電流を調べて、温度–電流の対応関係を付けてプロットしたものが図 3.7(c)である。この

図をみると、通常の４端子でも、非局所４端子でも、この対応関係においては良く似ている。また、通常の測

定の場合、古典的には駆動電流と４端子抵抗∼1.1 kΩの積が、バイアス電圧とみなせるので、このバイアス電

圧と温度との対応関係を調べると、図 3.7(d)のように、ほぼ対応している。ただし、非局所測定ではほとんど

バイアス電圧が生じていないことからこのようなプロットをすることが不可能である。

以上については、後節で簡単に議論する。

3.2.2 AB振幅の温度依存性

次に駆動電流を一定にしたときの、AB振動の温度依存性を示す。図 3.8と図 3.9に、電流が十分に小さい

領域で通常の４端子測定と非局所４端子測定での AB振動の様子と、FFTによってスペクトル強度を表示し

たものを、異なる温度に対してプロットした。スペクトル強度を AB振動に対応する範囲で積分した AB振幅

を、温度に対してプロットしたものが次の図 3.10と図 3.11である。駆動電流を変えて測定した結果を重ねて

プロットしてある。ただし温度変化の傾向を見やすくするため最低温でそれぞれ規格化してある。前副節まで

の結果から当然であるが、電流を下げるにつれて温度依存性は大きくなる。ここでは、Ohmic領域での温度変

化を問題とする。

第１章で述べたように、これまで exp(−aT )という温度依存性に従うという実験結果が報告されている。この

場合、図 3.10、3.11ではデータは直線上に並ぶはずであるが、本実験結果ではかなりの曲がりが見られる。図

3.10と図 3.11の AB振幅の温度依存のグラフに exp(−aT )の形でフィットした直線を重ねて表示した。フィッ

ティングには直線近似が比較的良い低温部のデータを使用している。図 3.10と図 3.11のフィッティングの様子

をみると、駆動電流が大きいほど exp(−aT )の形でよくフィットされているようであるが、これは単に低温部

20

Spe

ctru

m In

tens

ity (a

.u.)

6004002000Inverse Magnetic Field (1/T)

0

150

100

50

0

R (Ω

)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10Magnetic Field (T)

100mK200mK300mK400mK500mK600mK700mK

図 3.9: R12,34(非局所測定)の AB振動の温度依存性。測定された抵抗の振動の様子とスペクトル強度をプロットしたもの。700 mKのデータに対してオフセットをつけて表示してある。データは測定の駆動電流が 5 nAのときのものである。

0.1

2

3

4

5

6

789

1

Nor

mal

ized

Osc

illat

ion

Am

plitu

de

10005000

Temperature (mK)

50nA20nA10nA2nA1nA

図 3.10: R14,23(局所測定)のAB振幅の温度依存性。　それぞれの駆動電流における最低温 70 mKのデータ　で規格化したものをプロットしてある。

2

3

4

5

6

7

8

91

Nor

mal

ized

Osc

illat

ion

Am

plitu

de

10005000Temperature (mK)

100nA45nA35nA25nA15nA10nA5nA2nA

図 3.11: R12,34(非局所測定)の AB振幅の温度依存性。それぞれの駆動電流における最低温 70 mKのデータで規格化したものをプロットしてある。

21

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Nor

mal

ized

Osc

illat

ion

Am

plitu

de

10005000Temperature (mK)

∆R14,23(local 1nA)∆R14,23(local 2nA)∆R12,34(non-local 2nA)∆R12,34(non-local 5nA)

図 3.12: 駆動電流が十分小さい領域での,通常の４端　子測定と非局所４端子測定による AB振幅の温度依　存性。

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Nor

mal

ized

Osc

illat

ion

Am

plitu

de

10005000Temperature (mK)

∆R14,23(local 1nA)∆R14,23(local 1.5nA)∆R14,23(local 3nA)∆R12,34(non-local 2nA)∆R12,34(non-local 3nA)∆R12,34(non-local 5nA)

図 3.13: 測定結果の試料依存性。図 3.12までと異なる試料での測定結果。

での温度依存性が小さくなって偶然の一致が起こった可能性がある。図 3.12に図 3.10、図 3.11のデータのう

ち、駆動電流が十分小さい領域での結果を、比較のため同時にプロットした。図 3.10、図 3.11でのフィットに

おいて、低電流領域で aとして得られた値が非局所測定では 2×10−3[1/K]程度だったのに対し、局所測定では

3×10−3[1/K]と、1.5倍程度に大きくなっていたが、これはこのプロットにおいて明瞭に見ることができる。

図 3.13には異なる試料で測定した結果を示した。ただし試料の作成方法は同一である。この試料では高温領

域での AB振幅がうまく測定できず、詳細な温度依存の様子を議論することはできないが、図 3.12ほどには、

通常の４端子測定と非局所４端子測定による AB振幅の温度依存性に違いがないように見える。試料は非常に

微小であるため、試料の作成方法を同じにしてもメゾスコピックな揺らぎが存在し、コヒーレント伝導はそれ

らを反映するので、この温度依存性の違いは透過係数等の、試料特有の性質に依存する可能性を示唆する。

22

図 3.14: 通常の４端子測定で得られた AB振幅を　　温度、駆動電流に対して 3次元プロットしたもの。

図 3.15: 非局所４端子測定で得られた AB振幅を温度、駆動電流に対して 3次元プロットしたもの。

3.2.3 AB振幅の電流-温度依存のまとめ

これまでに見てきたAB振幅の電流依存と、温度依存の関係をみるために、図 3.14と図 3.15のように測定点

を 3次元プロットし、そのデータ点を三角補完法によって曲面を描いたものを示した。温度に対しても、駆動

電流に対しても、同じようにAB振幅は減衰し、特に低電流側、低温側で急峻に減衰している様子が見られる。

図 3.16には同じデータを２次元のカラープロットとして表示したが、通常の４端子でも、非局所４端子で

も、電流軸と温度軸に対しほぼ対称になっている。このような対称性に関してその原因はよく分かっていない

が、少し異なる系で、エッジチャネルを用いて AB振幅の温度依存性とバイアス電圧依存性について測定した

Yang Jiらのデータ [15]と同じ傾向を示している。また通常の４端子測定も、非局所４端子測定もほぼ同様の

電流依存性、温度依存性をもっている様子が見られる。

3.3 議論

バリスティック系における AB振幅の温度依存性に関しては、理論的には Seeligらによる研究 [11]と、Shin

らによる研究 [18]がある。Seeligらは、透過 (Mach-Zehnder)型の干渉のみによって AB振動が生じていると

きの AB振幅に関して計算を行い、exp(−aT )の関数形を温度変化に当てはめた時の係数 aの端子配置依存性

を調べた。この理論において、温度依存性を決めているのは、試料中の電子から見た電極やゲートの電位揺ら

ぎによる量子デコヒーレンスである。電位（結局は電荷）揺らぎの程度は、電極のアンバランスなどに大きく

23

600

400

200

Tem

pera

ture

(mK

)

80604020Current (nA)

600

400

200

Tem

pera

ture

(mK

)

80604020Current (nA)

R14,23(local) R12,34(non-local)

図 3.16: それぞれ図 3.14と図 3.15の 2次元のカラープロット。

左右されるため、端子配置によって温度依存性が大きく変化する可能性がある。

一方、Shinらは人工的な「ゲート」を考え、これによる位相シフトに揺らぎを入れることで温度を理論に取

り入れている。AB振動が透過型と、リングを周回する軌道による共鳴型の干渉とによって担われていると考

え、低温では共鳴型が支配的で exp(−aT )の形であるが、共鳴型が温度によって平均化されて見えなくなる高

温側では、温度 T に比例して AB振幅は減衰すると結論している。

この節では、これらの理論、および、コヒーレント伝導において一般的に推論可能な事柄から、本章での測

定結果の解釈を試みる。第１章で述べたように、電子輸送における量子干渉効果を抑制する効果として、電子

の非単色性に起因する効果（位相の分散）と量子情報エントロピーの増大を伴う量子デコヒーレンスとが存在

する。前者をディフェージングと呼んで区別する場合もあるが、位相擾乱（ディフェージング）はこれも第１

章で述べたように、典型的なデコヒーレンスの一種であり紛らわしいので、本論文ではあまり使わない用語だ

が、前者は位相分散と呼ぶことにする。

3.3.1 駆動電流（バイアス電圧）の効果

駆動電流の効果として、試料が Ohmicに近い伝導体であることから、試料（ソース-ドレイン）部分にバイ

アス電圧 Vsdが生じた効果と考える可能性がある。図 3.17にバイアスがあるときの伝導の概念図を示した。こ

のとき Vsdだけ異なるエネルギーの電子は、異なる波数 kを持つため、ソース-ドレイン間の伝播によって獲得

した位相に差が生じる。これは典型的な位相分散である。一方、図 3.18にゼロバイアスにおける有限温度での

伝導の概念図を示した [17]。有限温度ではフェルミ面付近に kBT 程度の幅をもって電子が分布するため、図の

ように伝導に寄与する電子も kBT 程度のエネルギー幅をもち、これもバイアス電圧と同様に位相分散を与え

る。この位相分散によって AB振幅の温度依存性が決まっていると考えると、eVsd と kBT は、干渉を同程度

に弱める働きをすると考えられる。これは、図 3.7(d)のふるまいを定性的によく説明している。

しかし、この位相分散による説明は、次の２点において破綻する。まず、図 3.7(c)に示したように、駆動電

流の効果は局所・非局所両測定に共通して見られ、その性質も程度も非常に似通っているが、非局所測定では

バイアス電圧は局所測定に比べて桁違いに小さいのでこのように共通した性格を持ちうるということを説明で

きない。次に、定量的にはこの位相分散の効果はこれほど大きな干渉効果の抑制を説明できない。位相分散の

強さは、分散が 2π 程度になるまでに電子の伝播する距離 Ldisp（の逆数）で見積もることができる。温度に

よる位相分散の場合、Ldisp は第１章で述べた熱長 hvF/kBT である。同様に、バイアス電圧による Ldisp は、

24

Source

Vsd

Drain

図 3.17: ソースドレインバイアス下での伝導の概念図。

DrainSource

k TB

図 3.18: 有限温度での伝導の概念図。

hvF/eVsd である。これを見積もってみると、Fermi速度 vF= 2.7×105 m/sを用いて、Ldisp ∼ 1.1[mm]V[µV] と計算

でき、試料の両端のサイズ ∼3 µm程度になるのは、Vsd ≥ 400 µeVという大きなバイアスが必要である。逆

に言えば、Vsd=50 µeVのときでも、試料の長さスケールで獲得する位相の差は極めて小さく、図 3.7(a)(b)で

得られるような、AB振動の減衰を生じさせることはできない。

駆動電流効果に対する説明として、次に考えられるのはエネルギー緩和によるデコヒーレンスである。有限

バイアス下で入射したエネルギーが高い電子は、何らかの散乱過程があれば、これによりエネルギーを緩和す

る確率が高くなる。バリスティック系では低電場ではエネルギー緩和は主に電子-電子散乱を介して行われると

考えられる。文献 [19]では、本実験と同様の駆動電流依存性が観測され、電子-電子散乱によって解釈されてい

る。しかし、この説明も、上記位相分散同様、発生電圧の小さな非局所測定の結果を説明できない。

以上で、有限バイアスから生じる単純な要因を一通り検証し、いずれも実験結果を説明できないという結論

を得た。残された可能な説明として、試料側から端子を介して「環境」を見た場合の電荷（電流・電圧）ゆら

ぎによるデコヒーレンスが考えられる。電流値が増大すると、ショット雑音はこれに比例して増大するので電

荷揺らぎによるデコヒーレンスも増大する。また、温度効果も Seeligの理論（そのものではないが、Nyquist

雑音に類似）により説明することができる。この説明は、まだ定量的な検討ができる段階ではないが、リング

にネットな電流が流れない非局所測定においても、ショット雑音は増大すると考えられ、２つの測定法で類似

の干渉抑制が生じるという点の説明には非常に有利である。

3.3.2 温度依存性の測定法による違い

以下では、AB振幅の温度依存性、またその測定法による違いの原因を議論する。この２つは当然包括的に

議論されなければならない。また、上で議論したバイアス依存性とも関連付けられることが望ましい（ただし、

温度依存性とバイアス依存性の関係が偶然だと考えるとこの関連付けは絶対の必要条件ではない）。可能性と

して、２つ以上のデコヒーレンス要因が同時に同程度影響を及ぼしていることも考えられるが、議論が極めて

複雑になることと、積極的に２つ以上の要因を示唆する結果が得られていないことから、とりあえずは単一の

デコヒーレンス要因を仮定して議論を進める。以下、デコヒーレンス要因に分けて議論し、もっとも可能性の

高いものを選定する。

25

電子-電子散乱

電子-電子散乱が、バリスティック系でどのような形で、特に輸送現象に現れるかは理論・実験ともに非常に多

くの検討がなされてきた。ランダムポテンシャルが大きな影響を及ぼす拡散系と違って、バリスティック系の場

合、電子間散乱は完全な内力になるため、直接は伝導には関与しない。しかし、量子干渉に対するデコヒーレン

ス効果や、朝永-Luttinger液体形成、Wigner結晶の形成など、様々なチャネルから伝導に顔を出すと考えられ

てきた。特に量子細線では電子間の相関が強く、電子間散乱が大きな影響を及ぼす可能性がある。一般に電子間

散乱による位相緩和長は、lφ ∝ T−ν という温度依存性が期待され、また測定結果からは exp(− Llφ

)=exp(−LT ν)

から、ν=1 が示唆されるが、この値を支持する理論は今のところない。このような内的な要因で、端子配置に

よるデコヒーレンスの違いという外部環境に依存した効果を説明することは非常に困難である。

電荷ゆらぎ

すでに前副節でも議論したが、電子が通る毎にポテンシャルに微小なゆらぎが生じて、これが他の電子にデ

コヒーレンスをもたらすのがこの効果である [20]。広い意味での電子-電子散乱とも言えるが、試料形状などに

依存する高次の効果を「電荷揺らぎ」の効果と呼んで区別することにする。

まず、温度依存性そのものについては、Seeligの理論では透過干渉型の温度依存性を計算し exp(−aT )を理

論的に導出したが、本実験の結果については明らかに exp(−aT )からの外れが観測された。ひとつの説明は、

Shinらが議論したように [18]、共鳴型干渉が先に減衰して高温域へ向けてクロスオーバーが生じていると考え

るものである。ただし、共鳴型干渉の消滅で温度依存性を考える場合、低温での磁気抵抗のスペクトルに高調

波成分が少なく、むしろ低調波成分が多いように見える現象を定性的に説明できない。これは、試料の微妙な

形状による可能性もある。

次に、端子配置依存性であるが、電荷揺らぎは境界条件に敏感であるため端子配置にも大きく影響される。

詳しい計算によれば、電流端子における電圧揺らぎを 0、電圧端子における電流揺らぎを 0という波動関数の

境界条件を与えると、透過型干渉による AB振幅の通常の４端子と非局所４端子の温度依存は、リングの出入

り口での散乱のされ方や、リングの腕の部分の透過率の違いによって、測定法による差が生じることが報告さ

れている [11]。共鳴型に関する詳細な計算はまだなされていないが、透過型のほうが境界条件に敏感であろう

と予想される。すると、高温で透過型が優勢になった領域で端子配置の違いが明確になることが予想され、図

3.12は、まさにそのような傾向を示している。

更に低温側では共鳴型が優勢になり、これが温度効果によって急速に減少すると考えると、有限バイアスに

対しても同様な効果が期待され、図 3.7の結果を説明することができる。

観測量の違い

Landauer-Buttiker(LB)公式に従えば、通常の４端子測定も非局所４端子測定も、透過率を反映したものを

検出するという点ではまったく同じであって、測定端子の取り方によって透過率の演算のされ方が違うに過ぎ

ない。この点に着目し、測定にかかる透過係数の違いが温度依存性に大きく関わってくるという説がある。デ

コヒーレンスが経路上でポアソン過程で起きるとすると、測定にかかる透過係数のうち、経路が長いものを多

く含むとデコヒーレンスが起こりやすくなる [21]。

以上の検討から、現在の実験結果は、定性的な比較にとどまってはいるが、電荷ゆらぎ説を支持していると

考えられる。

26

3.4 本章のまとめ

通常の４端子配置と、非局所４端子配置で AB振動を測定し、実験的に以下を見出した。

• 最低温で、駆動電流を変化させたところ、低電流側では飽和し、電流を増やすと、AB振幅は大きく減衰

した。通常の４端子測定も、非局所４端子測定でも同様の電流依存性を示した。

• AB振幅の電流依存性は、測定温度により大きく変わり、電流値と温度との関係は通常の４端子測定も、

非局所４端子測定も、ほぼ同じであった。

• AB振幅の温度依存性は駆動電流によって大きく変わることを見出した。

• 低電流で測定したときの温度依存の形状は、低温側が高温側より急峻な減衰をみせ、全温度領域を exp(−aT )

ではよくフィットできないが、低温側のみを考えると exp(−aT )でよくフィットされる。

• あらゆる駆動電流値においても通常の４端子測定の方が、非局所４端子測定に比べて、温度に対して速やかに減衰した。

• 通常の４端子測定でも、非局所４端子測定でも、AB振幅は駆動電流と温度に対して、同様の減衰を示す

ことを明らかにした。

干渉効果を抑制する原因として、駆動電流（バイアス電圧）と温度による位相擾乱効果や、エネルギー緩和

によるデコヒーレンスでは実験を説明できないことを検証した。

そこでAB振幅の温度依存性と測定法による違いの原因として、電子-電子散乱、電荷ゆらぎ、観測量の違い

の可能性について、それぞれ議論し、定性的には、電荷ゆらぎ説を支持していると考えた。

リングにネットな電流が流れない非局所測定においても、駆動電流を減らすことで、AB振幅が大きくなっ

ていくという傾向がある。また駆動電流を十分に小さくした測定においても、端子配置による AB振幅の温度

依存性の違いが観測されたが、これは測定法に依存した効果である。

これらの結果は Seeligらの電荷ゆらぎの理論と矛盾しないものと考えられる。更に明瞭な結論を得るために

は、定量的な比較はもちろん、試料形状を意図的に変化させた系での系統的な実験が望まれる。

27

第4章 高磁場下のＡＢ振動

本章では、整数量子ホール状態でのエッジを用いたＡＢ振動（正確には AB的振動）について議論する。こ

の実験を通して、多くの実験で観測されている AB振幅の強い温度依存性が、エッジ状態への共鳴トンネルに

よってよく説明されることを議論する。この章では、前章と異なり、実験結果を説明するためのモデルを最初

から提示し、得られる実験結果を逐次説明していくスタイルを取る。これは、磁場がかかった系のエッジ描像

が、多くの実験から比較的良く確立されているためである。

4.1 整数量子ホール効果

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

R14

,23

(kΩ

)

543210Magnetic Field (T)

ν =3ν =4ν =5ν =6ν =7ν =8

図 4.1: 対角抵抗の磁場応答。

まず、ゲート電圧を全て 0Vにしたときの、磁場応答の様子を図 4.1に示す。対角抵抗が 0におちる量子ホー

ル効果が観測された。バルクの試料の電子濃度 ns = 3.8× 1015 m−2から、バルクの占有率 νを求めてみると、

ν = n2πl2 =nh

eB=

15.7B[T]

(4.1)

これより以下の表を得る。

ν 3 4 5 6 7 8 9 10

B[T] 5.2 3.9 3.1 2.6 2.2 2.0 1.7 1.6

図 4.1には対応する磁場を青色の矢印で示した。以下の測定は全て占有率が４に対応する整数量子ホール状態

で測定を行った。

28

4.2 整数量子ホール状態でのエッジチャネルによる伝導

Up Gate

Down Gate

1

2 3

4

B

bb bg g

t

1-t

Left Gate Right Gate

図 4.2: エッジチャネルによる伝導の概念図。磁場は紙面から上向きにあるとし、バルクの占有率を b、ゲート

下の占有率を gとする。中央で上側のエッジから内側のエッジへとトンネルする確率を tとする。

次に、整数量子ホール状態でのエッジチャネルによる伝導の様子を図 4.2に概念図で示した。このとき測定

によって得られる抵抗や伝導度の値を Landauer-Buttiker公式を用いて求めてみる。電極１から４に電流を流

し、電極２、３の間で測定される抵抗を求めると

I1 = ( eh )[bµ1 − bµ2] = I

I2 = ( eh )[bµ2 − (b− g)µ1 − tgµ1 − (1− t)gµ3] = 0

I3 = ( eh )[(b− tg)µ3 − bµ4] = 0

I4 = ( eh )[bµ4 − (b− g)µ3 − (1− t)gµ1] = −I

(4.2)

より、

R14,23 =µ2 − µ3

eI=

h

e2[

1(1− t)g

− 1b] (4.3)

を得る。同様な配置で、電極２から４に電流を流し、電極１、３の間で測定される抵抗を求めると

I1 = ( eh )[bµ1 − bµ2] = 0

I2 = ( eh )[bµ2 − (b− g)µ1 − tgµ1 − (1− t)gµ3] = I

I3 = ( eh )[(b− tg)µ3 − bµ4] = 0

I4 = ( eh )[bµ4 − (b− g)µ3 − (1− t)gµ1] = −I

(4.4)

より、

R24,13 =µ1 − µ3

eI=

h

e2[

1(1− t)g

] (4.5)

29

4

3

2

1

0

Con

duct

ance

(e2 /h

)

-0.3 -0.2 -0.1 0.0

Right Gate Voltage (V)

4

3

2

1

0

Con

duct

ance

(e2 /h

)

-0.3 -0.2 -0.1 0.0

Left Gate Voltage (V)

図 4.3: 左右のゲート特性。ゲートを掃引するときは、他のゲートは全て 0 Vとした。それぞれ青と赤は掃引(1 mV/s)の向きの違いで、ヒステリシスはほとんどない。R14,23のデータを式 (4.3)を用いてゲート下の伝導度 e2

h gに変換してプロットしたもの。

となる。t∼0場合には特に µ1 = µ2 と µ3 = µ4 が成り立ち、電流 I を調整することにより端子１、２と端子

３、４の間に、バイアスを自由にかけることが可能になる。

ここで先ほどのエッジ描像が適用できることを確かめるために、磁場 B=4 T下での左右のゲート特性を調

べた。（図 4.3)

ゲート下のエッジチャネルの数と対応して伝導度は量子化している。実験的には t∼0としてよく、

R14,23 ∼ µ2 − µ3

eI=

h

e2[1g− 1

b] (4.6)

と書ける。図 4.3のように g は量子化された値をとっており、Landauer-Buttiker公式でよく記述できること

がわかる。ゲート下の占有率 gが４のときは測定した抵抗 R14,23 ∼ 0となるべきであるが、シグナル０に対し

てノイズの割合が大きくなるため、コンダクタンスの量子化値４から外れているように見える。

4.3 磁場制御と静電制御

次に、両側のゲートをチャネルが１の電圧 (Vleft= −0.24 V , Vright= −0.27 V)にセットし、図 4.2で示した

概念図のように一番外側の up spinのチャネルだけを通過させるようにした。ゲート電圧 (上部ゲートと下部

ゲートの電圧)や磁場を掃引することによって、図 4.4のようにトンネル伝導度 e2

h tが振動する様子が観測され

た。このとき中央の外側から２、３、４番目のエッジチャネルは閉じた軌道になるため、端子１～４の化学ポ

テンシャルとは異なる値をとることができ、上側と下側のエッジのエネルギー差の間に、閉じた軌道のエネル

ギー準位があると、概念図 4.2に示した水色の矢印のように共鳴トンネルが許される。このとき上から下へと

流れる電流からトンネル伝導度を求められる。

さてここで、ゲートによる静電制御と磁場制御の関係をみるために、図 4.5にイメージプロットを示す。横

に断面をとったものが、ゲートを掃引したときの、Coulomb振動を示しており、縦に断面をとったものが、磁

場を掃引したときの AB的振動を示している。さて Coulomb振動で考えると、Coulomb振動の谷の部分では

30

50x10-3

40

30

20

Con

duct

ance

(e2 /h

)

-0.410 -0.405Center Gate Voltage (V)

(a) 60x10-3

40

20Con

duct

ance

(e2 /h

)

3.973.963.953.94Magnetic Field (T)

(b)

図 4.4: (a)はB=3.95 Tでの断面。上部ゲート と下部ゲートを等電圧に保って掃引したときの、トンネル伝導度の振動（Coulomb振動）。(b)は V =−0.410 Vでの断面。磁場を掃引したときのトンネル伝導度の振動（ＡＢ的振動）。

3.955

3.950

3.945

3.940

Mag

netic

Fie

ld (T

)

-0.410 -0.405Center Gate Voltage (V)

he

2

0.04

0.03

図 4.5: 磁場とゲートに対するトンネル伝導度のイメージプロット。点線部分の断面はそれぞれ図 4.4に対応している。

31

「電子数一定」であり、ゲート電圧を一周期分∆V =1.6 mVだけプラスに掃引すると、内側のエッジを形成す

るバンドに、電子が１つだけ増えるということを表している。電子数が一定の状態は、図 4.5では青色で示さ

れており、これを縦軸の断面で考えると、磁場を一周期分∆B =4 mTだけ印加すると、電子数が１つ増える

ことになる。

これは次のように考えれば説明できる。閉じた軌道は、付録 A.3で議論したように量子化条件を満たす必要

があることから、始状態が図 4.6のように、ｍ本の磁束を囲む状態 |m〉であったとすると、磁場を、量子磁束１つ分増やした場合、図 4.7のように、|m + 1〉の状態に遷移する [22]。

|m>

図 4.6: BS = mΦ0

|m+1>

|m>

図 4.7: (B + ∆B)S = (m + 1)Φ0。

図 4.8: ランダウバンドの一電子状態の概念図 [23]。

これは図 4.8において各ランダウバンドの一電子状態を考えると、磁場を増やすと、エネルギーの低い方向

へ電子状態がシフトすることに対応しており、量子磁束１つ増えるときに、フェルミ面以下の電子状態の数が

ちょうど１つ増えることになる。これについては、付録 A.3で詳しく議論している。エッジ状態間のトンネル

が生じるためには、エネルギー保存から一電子状態がちょうどフェルミ準位に揃っている必要があり、これが

磁場に対する振動の原因と考えられる。この振動は、AB位相がその原因になっているのは間違いないが、メ

ゾスコピック伝導に現れた AB振動とはかなり機構が異なる（強いて言うなら、透過型の干渉と共鳴型の干渉

の違いに近い）ため、正確を期す場合には AB振動ではなく AB的振動と称するが、本論文では特に混乱はな

いと考え、AB振動と称する。一方、ゲート電圧によってリングの静電ポテンシャルを変化させればフェルミ

準位以下の電子数や、最上一電子状態の位置を変化させることができるから、ゲート電圧に対しても同様な振

動が生じる。

さて、フェルミ面以下の状態数が増える際には、当然電子はその状態を占有すると考えられるが、ここで考

慮するべきことは、いまの試料は極めて小さいために、周囲との静電的結合による単電子帯電エネルギーが無

視できない。つまり図 A.2における電荷の飛び込みが起きる際に、帯電エネルギーを考慮する必要があるとい

32

うことである。このとき、式 (A.39)で示したように電子数をN 個とN − 1個の状態との間の静電エネルギー

差は単電子帯電エネルギーと呼ばれ、e2

C と書ける。このエネルギーは結局、状態 |m〉と状態 |m + 1〉を隔てるエネルギーに加算される。ゲート電圧によってリング全体の静電ポテンシャルを調整して振動を生じさせる際

にはその振動間隔にこの帯電エネルギーが現れる。

以上のことから、

• トンネルが許される条件 EN+1 − EN |E=EF < kBT, eVsd

• トンネルが禁止される条件 EN+1 − EN |E=EF > kBT, eVsd

となる。 系が大きい場合や、スクリーニングが起きやすい場合は C が大きくなり、トンネルが常に許され

て、振動はみえなくなる。これは温度が高い場合や、ソースドレインバイアス電圧が高い場合も同様である。

つまり Fermi準位での電子数が１個異なる状態の最大エネルギー差が、温度による Fermi面の広がりや、ソー

スドレインエネルギーの差（上側のエッジと下側のエッジ間のエネルギー差）に比べて大きいときには、内側

のエッジを形成するバンドのエネルギー準位を、磁場やゲート電圧を用いて連続的に変化させることにより、

トンネルが周期的に許されたり、禁止されたりした結果、トンネル伝導度が振動することになる。

33

4.4 クーロンダイアモンドの観測

トンネル伝導度をセンターゲート電圧とソースドレイン電圧に対してプロットすると図 4.9のような単電子

素子に良く見られるクーロンダイアモンド（付録 A.4）と似た構造が得られた。これは、前節の議論を裏付け

るもので、ソースドレイン電圧によって得られるエネルギー eVsdが Fermi準位でのN の異なる状態間のエネ

ルギー EN+1 −EN |E=EF に等しくなると、クーロンブロッケードは解除される。EN+1 −EN |E=EF（ゲート

電圧に依存する）の最大値を∆E とすると図 4.9からは∆E ∼ 63 µeVと見積もることができる。

-0.515

-0.510

Cen

ter G

ate

Vol

tage

(V)

-50 0 50Vsd (µV)h

e2

0.25

0.20

0.15

0.10

図 4.9: クーロンダイアモンド。

34

4.5 AB振幅の温度依存性

次にAB振幅の温度依存性について議論する。図 4.10は磁場に対するトンネル伝導度の振動の様子を、異な

る温度に対して示したものである。

8x10-2

6

4Con

duct

ance

(e2 /h

)

4.084.064.044.02Magnetic Field (T)

200mK180mK160mK150mK130mK120mK110mK100mK90mK70mK50mK30mK

(a)

Spe

ctru

m In

tens

ity (a

.u.)

400380360340320300Inverse Magnetic Field (1/T)

(b) 1.0

0.5

0.0Nor

mal

ized

Osc

illat

ion

ampl

itude

200150100500

Temperature (mK)

(c)

図 4.10: (a)は磁場に対してトンネル伝導度が振動する様子。(b)は (a)の振動成分のパワースペクトル。(c)は(b)のパワースペクトルの面積を最低温 30 mKのデータで規格化したもの

最低温 30 mKで規格化した、AB振幅の温度依存をプロットすると図 4.10のようになった。これまでの多

くの報告 [12, 13, 15] と同様、わずか 200 mK付近で急速に消失する様子が観測された。この値は、例えば前

章の低磁場での AB振動は 800 mK付近まで観測できたように、同じサイズの ABリングの低磁場での消失温

度よりずっと低い温度である。

この現象を、これまでの議論に基づいて説明することを試みる。閉じ込めに伴う量子化が無視でき、単電子

35

0.6

0.4

0.2

0.0

G/G

T=∞

0.30.20.1

kBT/(e2/C)

GmaxGminGmax -Gmin

(b)0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

G/G

T=∞

43210

∆EF/(e2/C)

kBT/(e2/C)0.30.250.20.150.10.05

(a)

図 4.11: (a)単電子帯電エネルギーによるクーロン振動を異なる温度に対してプロットしたもの。(b)式 (4.7)から計算される温度依存の曲線をプロットしたもの。

帯電エネルギー e2

C によって、エネルギー準位が離散化している1ときの量子ドットの伝導度は、

G

G∞=

12

cosh−2[|Vg − Vres|

2.5(kBT

e2

C

)−1] (4.7)

と書けることがよく知られている [27]。このときG∞は高温極限でのコンダクタンスで、Vresは共鳴が起こる

ときのゲート電圧である。

この式を実際にプロットしてみると、図 4.11(a)が得られる。ただし、クーロン振動の間隔 ∆Vg = eCg

= 1

としている。このときの振動成分の振幅は図 4.11(b)に示すように、赤色のグラフがコンダクタンスの最大値

から最小値を引いた値をプロットした温度依存の曲線である。温度上昇にともない AB振幅は減衰する。ただ

し高温領域では式 (4.7)の適用範囲 e2

C À kBT を超えることに注意が必要である。

ここで実験条件を考えると、Φ0に相当する磁場周期から、周回エッジ長は約 3 µmと見積もられ、これによ

る閉じ込め効果は、温度にして 10 µK程度で非常に小さく無視できる。従って、∆Eとしては単電子帯電エネ

ルギー e2/C を考えて良いであろう。この温度依存性を e2

C をパラメータとして、測定された温度依存のグラフ

にフィッティングしたものが図 4.12である。フィッティングの結果、それぞれ単電子帯電エネルギーは、エッ

ジチャネルの囲む面積が小さい方から、(4)は 88 µV,(3)と (2)は 71 µV,(1)は 62 µV程度と見積もられ、こ

の値は、先ほどクーロンダイアモンドから得られた値とおおよそコンシステントな値になっている。

これより、AB振幅の温度依存性は、式 (4.7）でよくフィットされ、さらにエッジチャネルの囲む面積が小さ

いほど、単電子帯電エネルギーが大きく、温度による消失が遅いということが結論される。

ここでキャパシタンス C の幾何的な面積による見積もりを行うことにする。試料の SEM写真 2.2をみて、

両方のゲート下を空乏化させて一番面積が狭いときは縦が 0.5 µm、横が 1.4 µm程度とすると面積は 0.7 µm2

と計算され観測された AB振動の周期の 1.8 mTとよく一致する。片方のゲート下の面積を縦が 0.9 µm、横が

0.8 µmとして 0.7 µm2 とすると、片方のゲート下だけ完全に空乏化させたときの面積は 1.4 µm2 で、両方の

1ただし、帯電効果による「離散化」はあくまで多体の状態に対して定義されるもので、閉じ込めによる一電子状態の量子化とは異なる。Fermi 準位より下の、すでに占有された状態や上の空状態の一電子状態間には当然帯電効果による離散化は働かない。いわば Fermi準位の所のみ帯電効果による間隔の開きがあるようなものである。

36

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Nor

mal

ized

Osc

illat

ion

Am

plitu

de

3002001000Temperature (mK)

∆B=6mT (4)∆B=2.9mT (3)∆B=2.8mT (2)∆B=1.8mT (1)

(1) (2) (3) (4)

図 4.12: ゲートによってエッジの囲む面積を変化させたときの温度依存の様子と、図 4.11(b)の量子ドットの伝導度の式の温度依存の曲線でフィットしたもの。

37

ゲートを 0 Vとして、ゲート下の伝導を許したときの面積は 2.1 µm2と見積もられ、それぞれ AB振動の周期

2.8 mT、6 mTとよく一致する。

実際の試料は図 4.12を見るとわかるように、中央付近がエッチングされており、このような形状のキャパシ

タンスを正確に見積もることは難しいので、概算として、円盤のキャパシタンス C(r)を用いることにする。r

は半径である。すると単電子帯電エネルギーは

Ec =e2

C(r)=

e2

8εrε0r(4.8)

となる。そこで、面積がそれぞれ小さい順に 0.7 µm2、1.4 µm2、2.1 µm2であったが、これに相当する円盤を

考えると、半径 rはそれぞれ対応する順に、470 nm、670 nm、820 nmとなる。これらの値を、式 (4.8)に代

入すると、単電子帯電エネルギーは 360 µeV、250 µeV、210 µeVと計算されて、図 4.12から得られた値より

3,4倍ほど大きく見積もられてしまう。この原因としては、量子ドットにおいても円盤で近似した式 (4.8)から

単電子帯電エネルギーを見積もると 3倍程度大きな値になってしまうことや、実際は中央付近が空乏化してお

り、円盤としてうまく近似できないことが考えられる。

また AB振動の磁場周期によって、Landau準位の間隔そのものが変わる影響を考えてみると、

∆~ωc ∼ 1.75 µeV ×B[mT] (4.9)

となるが、磁場を増やすと Landau準位の間隔が広がり、内側の閉じた軌道からは電子数が減っていくはずであ

り、4.3節で得られた結果と逆になってしまう。式 (4.9)から、それぞれ面積の小さい順に、10 µeV、5.1 µeV、

4.9 µeV、3.2 µeVとなり、これらの値は実験から得られた値より十分小さく無視できる。

これらを考慮して、やはり単電子帯電エネルギーの寄与が最も重要であると結論される。

4.6 本章のまとめ

• 整数量子ホール状態でのエッジチャネルを利用した AB振動を観測した。

• 振動を磁場とゲート電圧によって制御できることから、振動のメカニズムとしてチャージングにより離散化した内側のエネルギー準位への共鳴トンネルを考えた。

• クーロンダイアモンドを観測し、量子ドットに対する伝導度の温度依存の式で、温度依存性が説明できることを示した。

エッジを用いた AB振動の実験は通常の干渉効果をみているのではなく、共鳴トンネルをみている可能

性があり、そういった場合には、温度依存性から系のコヒーレンスを議論することはできないと結論さ

れる。このような SETモデルを用いて議論を試みたが、実験結果をある程度までうまく説明しているよ

うである。

38

第5章 総括

本研究は AB効果を用いてバリスティック系での電子のデコヒーレンスのメカニズムについて調べることを目

的として実験を行った。

低磁場では、まず ABリングの４端子測定を行い、通常の４端子測定も非局所４端子測定も Onsagarの相反

定理が成り立っていることを確かめた。最低温での AB振幅の電流依存性を調べたところ、低電流側では AB

振幅は飽和し、電流を増やすと AB振幅は大きく減衰したが、通常の４端子測定の場合 Yacobyらの実験 [16]

とコンシステントであり、非局所４端子測定にも同様の電流依存性があることは本研究で明らかになった。逆

に電流を一定に保ち、温度を変化させたところ、AB振幅の温度依存性は電流値によって大きく変わることが本

研究で明らかになった。十分低電流で測定したときの AB振幅の温度依存性は、低温側が高温側より急峻な減

衰をみせたのは実験としては初めて観測されたことであるが、傾向としては定性的には Shinらの理論 [18]と

一致している。低温側で exp(−aT )の形でフィットできることは、Hansenらの実験 [9]や、小林らの実験 [10]

と同様の傾向である。あらゆる駆動電流値においても通常の４端子測定の方が、非局所４端子測定に比べて、

温度に対して速やかに減衰し,小林らの実験 [10]と同様の傾向を示した。通常の４端子測定でも、非局所４端

子測定でも、AB振幅は駆動電流と温度に対して、同様の減衰を示すことを明らかにした。まず干渉効果の抑

制の原因として、駆動電流（バイアス電圧）と温度による位相分散の効果や、エネルギー緩和によるデコヒー

レンスを考えたが、このような有限バイアスで生じる単純な要因では実験を説明できないことを検証した。そ

こで、AB振幅の温度依存性、測定法による違いの原因として、電子-電子散乱、電荷ゆらぎ、観測量の違いの

可能性を議論したが、定性的には電荷ゆらぎ説を支持すると考えた。

高磁場では整数量子ホール状態においてゲート電極下の伝導度の量子化を観測し、Landauer-Buttiker公式

によるエッジ描像が適用できることを確認した。閉じたエッジ軌道を形成させて、この軌道をトンネルする伝

導度を調べると、磁場やゲート電圧に対して周期的に振動した。高磁場での Landau準位の電子状態や AB条

件、閉じた軌道のサイズを考慮して、振動のメカニズムとして単電子帯電効果によって離散化した内側のエネ

ルギー準位への共鳴トンネルを考えた。クーロンダイアモンドを観測し単電子帯電効果の存在を確認し、単電

子帯電効果によって離散化した場合の量子ドットの伝導度の温度依存の式で、温度依存性がよくフィットでき

ることを示した。今回の測定では SETモデルが適用でき、振動の消失は単電子帯電効果エネルギーとソース

ドレインバイアス、温度によるエネルギー幅の大小関係で決まり、コヒーレンスに関する議論はできないとい

うことを明らかにした。

39

付 録A

A.1 Aharonov-Bohm(AB)効果

Aharonov-Bohm効果 [25]は電子のコヒーレンスを実験的に議論する際には最も有効な手段の 1つだと考え

られる。

磁場中におかれた電子が満たす Schrodinger方程式は

(p + eA(r))2

2m+ V (r)

ψ(r) = Eψ(r) (A.1)

で書き表され、この方程式の解は磁場がない時の解を ψ0 として

ψ(r) = ψ0(r) exp− ie

~

∫ r

r0

A(r′) · dr′

(A.2)

で与えられる。このように波動関数には経路に沿ってベクトルポテンシャルA(r)を線積分しただけの位相が

付随する。ここで電子が 2つの経路 C1と C2に振幅がそれぞれ A1、A2で一旦別れて, その後再び出会うよう

な状況を考えると、これら２つの波動関数の重ね合わせを考えなくてはならない。

このとき、２つの波には、積分の開始点 r0 の取り方に依らず、

δθ1 − δθ2 = θ1 − θ2 +e

~

∫

C1

A(r) · dr − e

~

∫

C2

A(r) · dr

= θ1 − θ2 +e

h

∮

C

A(r) · dr = θ1 − θ2 + 2πΦΦ0

(A.3)

だけの位相差∆θがついてくることがわかる。ここで Cは経路C1と経路C2が作る閉じた回路、ΦはCによっ

て囲まれる面積 S とそれを貫く磁場の積で Φ = BS、また Φ0 = he は磁束量子である。また、磁場がない時の

位相差 θ1 − θ2 は、２つの経路のポテンシャルや、経路の長さの違いによって、伝播の際に獲得する位相が異

なることに起因する。

したがって、波動関数の干渉強度、すなわちリングの透過係数 T は、

T = |A1ψ0 exp(iδθ1) + A2ψ0 exp(iδθ2)|2 = |ψ0|2A21 + A2

2 + 2A1A2 cos(δθ1 − δθ2)= |ψ0|21 + 2A1A2 cos(θ1 − θ2 + 2π

ΦΦ0

) (A.4)

となる。系の伝導度は、次の節で説明する Landauer-Buttiker公式によって、G = 2e2

h T のように書けて、リ

ングの透過係数 T、すなわち式 (A.4)に比例することになる。ゆえに磁場周期∆B = heS で伝導度は振動する。

AB振動の大きさは A1A2 の積が係数に入るので、二つの経路に均等に分かれて干渉したときに最大となる。

今の場合は、簡単のため単一チャネルによる伝導を考えてきたが、実際には他の経路を通過する電子もあり、

異なるエネルギーで伝播する電子もあるので振動は平均化されて見えにくくなる。

もし経路の途中でデコヒーレンスが起こると、位相情報が失われ、ランダムな位相変化をうけるので、観測

される振幅は小さくなる。

40

A.2 Landauer-Buttiker公式

Landauer-Buttiker(LB)公式 [26]について説明を行なう。この公式は任意数の端子を持つ任意形状の試料へ

の Landauer公式の拡張で、試料を通過する間に電子が位相情報を失わないことが仮定されている。

端子 iは化学ポテンシャル µiの電子溜めにつながっており、温度 T = 0で電子溜めは µiまで端子に電子を

供給する状況を考えると、反射のない場合に、コンダクタンスを求めることができる。波数が kiの状態のエネ

ルギーを E(ki) = µi とし、波動関数を長さ Lで規格化すると、その状態が運ぶ電流は

J(k) =e

Lvg =

e

L

dE(k)~dk

(A.5)

とかけて、µ1 と µ2 の間の伝導を考えると、１チャネルあたり電流は

I =∫ k1

k2

J(k)dk2πL

=e

h(µ1 − µ2) (A.6)

と求められる。(Landauer公式) この結果から、透過確率 1で電子をやりとりするような理想的電極を仮定す

ると、µa の電極から 1チャネルあたり ehµa の電流が供給されると考えることができる。

Landauer-Buttiker(LB)公式では全ての端子を平等に扱う。端子 µi から試料に流れ込む電流 Ii は iから試

料へと向かうチャネルの電流から、i以外の各端子から試料を通して iへ流れ込む電流を差し引いたもので、ま

た端子 iから試料に流れ込む電流 Ii は

Ii =2e

h

∑

j

(Tjiµi − Tijµj) (A.7)

=2e

h

(M −Rii)µi −

∑

j(6=i)

Tijµj

(A.8)

と書ける。

ここでＭは電極 iのチャネル数で、Rii は電極 iから同じ電極に向かう電子流の反射係数の和、Tij は電極 jか

ら電極 iに向かう電子流の透過係数の和である。これらの確率は電流の保存と外部磁場 Bの反転に対するオン

サガーの相反定理から

Rii(B) = Rii(−B), Tij(B) = Tji(−B) (A.9)

という関係を満たす。

m

n k

l

図 A.1: 4本の端子を持つ任意形状の試料。斜線部分で電子はコヒーレントであるとする。

いま端子数を 4としそれらをm,n, k, lとおく。カシミール問題と呼ばれる、Im = −In ≡ J1、Ik = −Il ≡ J2

の様に電流を流したとすると式 (1.8)から J1 と J2 は Vm − Vn と Vk − Vl を使って(

J1

J2

)=

(α11 −α12

−α21 α22

)(Vm − Vn

Vk − Vl

)(A.10)

41

のように表され、行列要素 αは Rii と Tij を使って

π~e2

α11 =(M −Rmm)S − (Tml + Tmn)(Tlm + Tnm)

S(A.11)

π~e2

α12 =TmnTkl − TmlTkn

S(A.12)

π~e2

α21 =TnmTlk − TnkTlm

S(A.13)

π~e2

α22 =(M −Rnn)S − (Tnm + Tnk)(Tkn + Tmn)

S(A.14)

S = Tmn + Tml + Tkn + Tkl

= Tnm + Tlm + Tnk + Tlk (A.15)

のように書けることがわかる。これらの係数は式 (A.9)から

α11(B) = α11(−B), α22(B) = α22(−B), α12(B) = α21(−B) (A.16)

という関係を満たす。

4端子測定でm,nに電流 Imnを流し k, lの電圧 Vklを測定する場合を考える。電圧端子間には電流が流れな

い (Ik = Il = 0)ものとして 4端子抵抗は式 (A.10)から

Rmn,kl ≡ Vkl

Imn

=π~e2

(TkmTln − TknTlm)D

(A.17)

と求まる (LB公式)。ここでDは透過率 T と同じ次元を持つ量でmnklのとり方に依らず

D =(

π~e2

)2

(α11α22 − α12α21)S (A.18)

で与えられてD(B) = D(−B)を満たす。また式 (A.17)から 4端子抵抗は磁場反転に対して恒等的に

Rmn,kl(B) = Rkl,mn(−B) (A.19)

を満たすことがわかる。

42

A.3 Landau準位と量子化条件

一様面直磁場下の２次元自由電子のハミルトニアンを解く。ハミルトニアンの軌道運動のみを考えると、

H =π2

2me(A.20)

ここで π = p− eA　で動的運動量と呼ばれ、交換関係

[πx, πy] = i~eB = −i~2

l2(A.21)

l =√

~|e|B は磁気長である。ここで r = (X + l2

~ πy, Y − l2

~ πx)のように [X, Y ] = il2 をみたす中心座標演算

子 (X,Y)を導入し、さらに、[a, a†] = 1をみたす

a =l√2~

(πx − iπy), a† =l√2~

(πx + iπy) (A.22)

を用いると、

H = ~wc(a†a +12) (A.23)

と書き直せる。すなわち、エネルギー固有値は調和振動子と同様に等間隔の離散的な値をとる。この離散的な

エネルギー準位を Landau準位と呼ぶ。

対称ゲージ A=(-By/2,Bx/2,0)を用いると、角運動量ｚ成分の演算子は

Lz = − ~2l2

(X2 + Y 2) +l2

2~(πx

2 + πy2) (A.24)

とかけて、Lz と Hは交換可能である。

[b, b†] = 1をみたす

b =1√2l

(X + iY ), b† =1√2l

(X − iY ) (A.25)

を用いると、

Lz = ~(a†a− b†b) (A.26)

以上から電子の状態は a†a|n,m >= n|n,m > , b†b|n,m >= m|n, m > で、m,n ≥ 0 であり、~(n −m)は

軌道角運動量の固有値である。本来の座標と運動量で書き直し、複素座標 z=(x-iy)/l を導入し、波動関数を得

ると、

ψn,m(r) = Cn,mexp[i(n−m)θ − r2

4l2](

r

l)|m−n|L|m−n|

(n+m−|m−n|)/2(r2

2l2) (A.27)

と書ける。Cは規格化定数で、Lはラゲール多項式。最低 Landau準位、n=0 での波動関数に注目する。

ψ0,m(r) =1√

2π2mm!lzme−|z|

2/4 =1√

2π2mm!l(x− iy

l)mexp(− r2

4l2) (A.28)

この波動関数では、電子の存在確率は半径√

2mlの円周上で最大値をとり、半径方向に l程度の幅を持つ。古

典的なサイクロトロン運動との対応を考えると、|0,m >の状態は中心座標が半径√

2ml上にある半径 lのサ

イクロトロン軌道の線形結合からつくられている。

43

有限の面積 S = πR2の系を考えると、2ml2 > R2の状態は考えるべきではなく、したがって n=0の Landau

準位に属する一電子状態の個数は S/2πl2であり、このことから、面積 2πl2あたり１つの電子状態が存在する

といってよい。このことは n > 0の Landau準位についても同じである。１つの電子状態に付随する面積 2πl2

を貫く磁束は 2πl2B = h/e ≡ Φ0 である。ここで現れた Φ0 は量子磁束であり、各 Landau準位において、１

電子状態は磁束量子１本につき１つあるということができる。

さて、状態 |0,m >は円周上に局在しているが、この円周に沿って波動関数の位相は１周で −2πmだけ変化

する。量子化条件であるこの変化は磁束を囲むことによる AB位相と解釈できる。すなわち閉曲線に沿って電

子を一周させたときの位相の変化は、

φ =e

~

∮A・ds =

e

~

∫BndS = 2π

ΦΦ0

(A.29)

ここで、Φは閉曲線内の磁束。一方 |0,m >が囲む面積は 2mπl2 であり、この軌道内の磁束はmΦ0 であるか

ら、角運動量による位相の変化は、AB位相の変化に等しい。したがって、角運動量が有限の状態 |0, m >は

対応する有限の磁束mΦ0 を囲む必要がある。

Φ

J(t)

(t)

E(t)

図 A.2: 整数量子ホール状態で量子磁束１個分の磁束が増える際に、その領域に電荷が飛び込む説明図。

さらに、整数量子ホール状態で、無限小のソレノイドが中心を貫いている図 A.2のような状況を考える。磁

束を０からゆっくりと Φ0まで増やしたとする。励起には有限のギャップ∆があるので、~/∆に比べてゆっく

りすると、断熱的に、可逆に行うことができる。ファラデーの法則により、次の関係を満たす電場が生じる。

1c

∂Φ∂t

=1c

∫d~S・

∂ ~B

∂t= −

∫d~S・~∇× ~E = −

∮d~l・~E (A.30)

このとき

~E = ρxy~J × z (A.31)

とかけるから、

−1c

∂Φ∂t

= ρxy

∮~J・(z × d~l) (A.32)

ここで積分の中身は、リングが囲む領域に入ってくる全電流であるので、

ρxydQ

dt= −1

c

dΦdt

(A.33)

となり、量子磁束１個分の磁束が増えると、

44

Q =1cσxyΦ0 =

h

eσxy (A.34)

だけの電荷が内側に流れ込むことになる。ゆえに、占有率 ν の量子化されたプラトーでは、σxy = ν e2

h である

から、

Q = νe (A.35)

を得る。

45

A.4 単電子トランジスタ

最も基本的な SETは、図 A.3のように、電気伝導を測定するための 2本のリード (ソース・ドレインと呼ば

れる)がトンネル接合として取りつけられており、静電容量を介して結合するゲート電極からなる回路で考え

られる。トンネル接合に隔てられて周囲から孤立した部分をクーロン島と呼ぶ。

2つのトンネル障壁の持つ静電容量を C1、C2としゲート電極との間の静電容量を Cgとすると、全静電容量

は C = C1 + C2 + Cg で表される。

Vg

Cg

C1 C2

Vsd

図 A.3: SETの模式図。議論を簡単にするために様々な効果を静電容量 C = C1 + C2 + Cg に押し込めて考

える。

いまクーロン島に電子がN 個あるとすると、ソース・ドレイン電圧が零であれば静電エネルギーはゲート電

圧を Vg として

U(N) =1

2C

e

(N −N0 − CgVg

e

)2

(A.36)

と表される。ただし N0 は Vg = Vsd = 0の時のクーロン島の電子数。ここで µ(N)を次式で定義する。

µ(N) ≡ U(N)− U(N − 1)

=e2

C

(N −N0 − 1

2

)− e

Cg

CVg (A.37)

µ(N)は電子数を N − 1 → N にするのに必要なエネルギーである。量子ドットの静電容量 C が非常に小さい

場合にはこの µ(N)が系の温度よりも小さくなるため電子のトンネリングが禁止された状態になる (クーロン

ブロッケード)。ここでゲート電圧 Vg を e(N −N0 − 1/2)/Cg まで動かすと µ(N) = 0になってトンネルが許

されて有限の伝導度を生じる。更に Vg を動かしていくとクーロンブロッケードが次々と on/offされるために

コンダクタンスの振動が観測される (クーロン振動)。その間隔は

∆Vg =e

Cg(A.38)

で等間隔になる。ゲート電圧 Vg とクーロン島の静電ポテンシャルは比例すると考えられ、N − 1番目のピー

クから、N 番目のピークまでの間の静電ポテンシャルの変化を計算すると、

Ec =e2

C(A.39)

となり、これはクーロン島の電子数をN − 1個の状態からN 個の状態に分離するエネルギーで帯電エネルギー

と呼ばれる。

46

また、クーロンブロッケードは有限のソース・ドレイン バイアス ∆Vsd ∼ eC によっても解除される。バイ

アスを変化させてゆくとリードのフェルミエネルギーが µと交差する毎にコンダクタンスが階段状に変化する

のでクーロン階段と呼ばれる。ゲート電圧とバイアス電圧の両方に対してコンダクタンスを測定すると、クー

ロンブロッケードを表す部分が菱形になって見えるイメージマップが得られる (クーロンダイアモンド)。

Vg

Con

duct

ance

Vg

Vsd

2Cge

2(C2+Cg)e

2Cge-

2C1e-

(a) (b)

図 A.4: SETで見られる (a)クーロン振動と (b)クーロンダイアモンド。(b)で網掛けの部分がクーロンブロッケードの状態でクーロン島にある電子数は固定されている。

GaAsから作成された特にサイズの小さな量子ドットでは、主に電子の小さい有効質量のために閉じ込めポ

テンシャル内で一電子準位 εの離散性が重要になる。このとき式 (A.36)は

U(N) =∑

N

εN +1

2C

e

(N −N0 − CgVg

e

)2

(A.40)

に、式 (A.37)は

µ(N) = εN +e2

C

(N −N0 − 1

2

)− e

Cg

CVg (A.41)

に変更される。離散準位間隔∆ε(≡ εN+1−εN ) の最大値が温度よりも大きい、すなわちmax(∆ε) À kBT のと

きにこのような量子ドットが観測され、ゲート電圧 Vg を掃引したときのクーロン振動の間隔は不均一になる。

最後に Ec, ∆ε, kBT とクーロン振動のピーク形状の関係についてまとめておく [27]。

・離散順位が無視できチャージングの効果が支配的な場合 (∆ε ¿ kBT ¿ Ec)：

G

G∞=

12

cosh−2

(δ

2.5kBT

)(A.42)

・一電子準位の離散化が大きい場合 (kBT ¿ ∆ε, Ec)：

G

G∞=

∆ε

4kBTcosh−2

(δ

2kBT

)(A.43)

G∞ は高温極限でのコンダクタンスで、量子ドットの左右のバリアのコンダクタンスをそれぞれ G1, G2 と

すると 1/G∞ = 1/G1 + 1/G2 で与えられる。また δはゲート電圧のピーク位置 Vres からのずれを表し、ゲー

ト電圧を量子ドット内での静電ポテンシャルに変換するパラメータ Cg/C を用いて δ = e(Cg/C) · |Vres − Vg|と書ける。

47

謝辞

本研究を遂行し論文をまとめるにあたって多くの方々のお世話になりました。ここに感謝の意を表します。

勝本信吾助教授には、興味深いテーマと恵まれた研究環境を与えていただき、また数々の御指導、御助言を

賜わりました。深く敬意を表するとともに心から感謝いたします。

家泰弘教授には、様々な局面で貴重な御助言と御協力を頂きました。心より御礼申し上げます。

小林研介博士、遠藤彰博士には、多くの有益な議論と懇親な御指導を賜り、研究生活のあらゆる面でお世話

になりました。心より感謝いたします。

橋本義昭氏には、特に実験技術に関する助言と御協力を頂き、深く感謝しております。

村山千寿子教務職員、川村順子秘書には研究生活において色々とお世話になりました。

電磁気測定室の小黒勇氏には装置において色々とお世話になりました。感謝致します。

そして研究生活を共にし、様々な指導や議論をして下さった家・勝本研究室のメンバーである原正大氏、相川

恒氏、田中啓安氏、後藤信陽氏、植木雅明氏、小寺克昌氏、倉持英一氏、佐藤政寛氏に厚く御礼申し上げます。

特に小林研介博士と、相川恒氏には研究生活のあらゆる場面でお世話になり、本研究を遂行できたのは、お

二人の御助力、御指導によるところが大きかったことを記しておきます。

最後に、いつも励まし元気づけてくれた友人と家族に感謝します。

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参考文献

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