AHMES (Ahmose)égyptien, vers -1650

Ce scribe égyptien , fils de la Lune, est l'auteur du célèbre papyrus "Rhind", du nom de l'écossais Henry Rhind qui l'acheta en 1858 à Louksor. Il aurait été découvert sur le site de la très ancienne ville de Thèbes (ville de haute Egypte au bord du Nil à ne pas confondre avec la ville grecque de Thèbes) sur lequel furent édifiées les sanctuaires de Louksor et de Karnak.

 ci-contre, le scribe accroupi, pierre polychrome, Vè dynastie (vers -2400)Musée du Louvre, Paris.

Actuellement conservé au British Museum, de Londres, il contient, à l'origine sur plus de 5 m de longueur et 32 cm de large, 87 problèmes relatifs. Entre autres, relatifs à :

la décomposition des fractions en fractions unitaires (dont le numérateur est 1)

l'arithmétique : multiplications et divisions (1 à 23) la résolution d'équations (24 à 34) l'arpentage (mesures des distances) et à la géométrie :

aires planes -du trapèze en particulier-, volumes de greniers à grains, calcul de pyramides (41 à 60).

Le papyrus Rhind est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens.

Ahmes indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens (vers -2000) remontant aux Babyloniens.

Il fut écrit en écriture hiératique. Une transcription hiéroglyphique et commentée, The Rhind Mathematical Papyrus, est due à la Mathematical Association of America (1927-1929), et éditée à Oberlin (Ohio).

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmes étudie le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire de la circonférence à celle d'un carré équivalent : le papyrus Rhind précise en effet une première approche de la quadrature du cercle (construction d'un carré de même aire qu'un cercle donné) : c'est le carré de côté 8d/9 où d est le diamètre du cercle.

En d'autres termes, l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est sensiblement égal à l'aire d'un carré de 8 unités.

R2 équivaudrait donc à (8 x 2R/9)2. Ainsi, notre actuel nombre serait le carré de 16/9, soit :

= 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 = 3,160

 ci-contre à droite, l'obélisque de Karnak, photo de Rolland Chaussade :

http://perso.wanadoo.fr/rolland.chaussade/

 Sur le dessin ci-dessous à gauche, cette approximation consiste à considérer comme équivalentes les aires du cercle de diamètre 9 unités et l'octogone inscrit dans le carré de coté 9. Sur le dessin de droite, on peut estimer que les parties rose et bleue ont même aire. Mais, Ahmes qui se délectait des fractions unitaires aurait pu être plus précis en devançant Archimède avec 3 + 1/7...

Le problème 52 traite

Ahmes, précuseur du système binaire avec la décomposition de tout nombre en somme de puissances de 2 afin d'effectuer une multiplication :

Soit à calculer calculer 23 x 61 :

x 1 61

x 2 122

x 4 244

///// 8 488

x16 976

/////32 /////

On part de 1 en colonne 2; En regard on écrit le second facteur; On double à chaque ligne; On s'arrête lorsque le premier facteur est dépassé.

On a ici 23 = 1 + 2 + 4 + 16 (les croix correspondent aux puissances de 2 choisies pour exprimer 23). Le produit 23 x 61 est obtenu en ajoutant les nombres en regard de la colonne 3. On a bien :

61 + 122 + 244 + 976 = (1 + 2 + 4 + 16) x 61 = 23 x 61

 Ce principe de décomposition selon les multiples de 2 s'accorde avec celui de la décomposition de toute fraction utilisant les formules décomposant 2/n.

Le processus de division est simple. Il part du principe de sa définition :

x = b/a signifie que b = a x x

et utilise la décomposition en fractions unitaires, seules reconnues et "opérationnelles" à l'époque, au sens mathématique du terme : sur lesquelles on peut effectuer des opérations. La méthode est à rapprocher de la division euclidienne :

Soit à diviser 19 par 8 :

On a clairement : 19 = 16 + 2 + 1 = 2 x 8 + 2 + 1, donc :

19/8 = 2 + 2/8 + 1/8 = 2 + 1/4 + 1/8

Soit à diviser 31 par 7 :

31 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = (2 x 7 + 2) + (1 x 7 + 1) + 7 = 4 x 7 + 3, donc :

31/7 = 4 + 3/7

mais 3/7 se décompose en 1/4 + 1/7 + 1/28, d'où

31/7 = 4 + 1/4 + 1/7 + 1/28